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UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO. Probabilidad Unidad 2. Teoría de la probabilidad

Alumna: Yuridia Lizbeth Cepeda Ramos Matricula: ES1921018014 Asignatura: Probabilidad Grupo: MT-MPRO1-2001-B2-001. Profra. Paula García Lejia

Probabilidad I Unidad 2. Teoría de la Probabilidad Instrucciones: Para resolver estos problemas utiliza las fórmulas correspondientes de probabilidad condicional, el Teorema de probabilidad total y el Teorema de Bayes. Puedes ayudarte a visualizar el experimento mediante un diagrama de árbol, pero es necesario que utilices las fórmulas mencionadas. Como referencia para su solución revisa la bibliografía y videos recomendados para la unidad.

Problema 1. Se lanzan dos dados; (a) encuentra la probabilidad de que la suma sea 7; (b)

encuentra la probabilidad de que la suma sea 7 si el primer dado resultó un 6; (c) encuentra la probabilidad de que la suma sea 7 si el primer dado resultó un número impar; (d) encuentra la probabilidad de que la suma sea menor que 7 si el primer dado cayó 2.

Solución: Primero debemos visualizar el espacio muestral, si se lanzan dos dados tenemos que:

Ω={1−1 , 1−2 , 1−3 , 1−4 , 1−5 , 1−6 , 2−1 , 2−2 , 2−3 , 2−4 , 2−5 , 2−6 , 3−1, 3−2 ,3−3 ,3−4 , 3−5 , 3−6 , 4−1 , 4− Ω=36

a) La probabilidad de que la suma sea 7: Para este caso buscamos el “espacio de evento” que no es otra cosa más que la condición asignada: ε =que la suma de los dos valores obtenidos sea 7

Para esta condición, tenemos que los casos que favorecen esta condición son: F={1−6 , 2−5 , 3−4 , 4−3 , 5−2, 6−1}

|ε|=6 Para determinar la probabilidad de un evento nos auxiliamos de la ley de Laplace que nos dice:[ CITATION Wal07 \l 2058 ] P ( A )=

P ( E )=

numero de casos favorables numero de casos posibles

|cardinalidad del evento| cardinalidad del espacio muestral

|ε|

=

Ω

=

6 1 = =0.1666=16.666 % 36 6

b) La probabilidad de que el resultado de la suma de ambos valores sea 7 si el primer resultado es 6. Para este caso el espacio muestral dado se reduce puesto se limita a que el primer valor obtenido sea 6:

Ω={6−1 ,6−2 , 6−3 , 6−4 ,6−5 , 6−6 ¿

En este caso la probabilidad disminuye puesto que ya estamos limitando a que solo podemos obtener un segundo numero cuya suma con 6 sea 7 y ese valor es único, por lo tanto: ε =que la suma de los dos valores obtenidos sea 7 , su el primer dado resulto 6 F={6−1 }

|ε|=1 Para determinar la probabilidad de un evento nos auxiliamos de la ley de Laplace que nos dice:[ CITATION Wal07 \l 2058 ] P ( A )=

P ( E )=

numero de casos favorables numero de casos posibles

|cardinalidad del evento| cardinalidad del espacio muestral

|ε| 1

=

Ω

= =0. 1666666=1. 6666 % 6

c) La probabilidad de que la suma sea 7 si el primer dado resulto un numero impar. Espacio muestral:

Ω={1−1 , 1−2 , 1−3 , 1−4 , 1−5 , 1−6 , 3−1 , 3−2 , 3−3 ,3−4 ,3−5 , 3−6 , 5−1 ,5−2 ,5−3 ,5−4 , 5−5 , 5−6 ,}

En este caso tenemos que: ε =que la suma de los dos valores obtenidos sea 7 , si el primer dado resultoun numero impar F={1−6 , 3−4 , 5−2 }

|ε|=3 Para determinar la probabilidad de un evento nos auxiliamos de la ley de Laplace que nos dice:[ CITATION Wal07 \l 2058 ] P ( A )=

P ( E )=

numero de casos favorables numero de casos posibles

|cardinalidad del evento| cardinalidad del espacio muestral

|ε|

=

Ω

=

3 1 = =0. 166666=1 . 66666 % 18 6

d) La probabilidad de que la suma sea menor que 7 si el primer dado cayo 2 Definimos el espacio muestral: Ω={2−1 , 2−2 , 2−3 , 2−4 , 2−5 , 2−6 }

En este caso tenemos que: ε =que la suma de los dos valores obtenidos sea menor que 7 , s i el primer dado resulto 2 F={2−1,2−2 , 2−3 , 2−4 }

|ε|=4

Para determinar la probabilidad de un evento nos auxiliamos de la ley de Laplace que nos dice:[ CITATION Wal07 \l 2058 ] P ( A )=

P ( E )=

numero de casos favorables numero de casos posibles

|cardinalidad del evento| cardinalidad del espacio muestral

|ε| 4

=

2 = = =0 .6666=66.666 % Ω 6 3

Problema 2. En un supermercado se tienen 3 cajas (una regular, una para productos

voluminosos y de alto valor, y una rápida). En la caja 1 pasan el 40% de los clientes; en la caja 2 el 10% de los clientes; y en la caja 3 el 50% de los clientes. En la primera el 60% son pagos en efectivo y 40% pagos con tarjeta; en la segunda 20% son pagos en efectivo y 80% pagos con tarjeta; y en la tercera 85% son pagos en efectivo y 15% pagos con tarjeta. Suponemos que cada cliente realiza una sola compra y pasa sólo una vez por una de las cajas. Si escogemos un cliente al azar: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado con tarjeta? 2. Sabiendo que ha pagado en efectivo, ¿cuál es la probabilidad de que haya pagado en la caja 3?

Solución: Para el desarrollo de este problema nos auxiliamos de los diagramas de árbol para observar el espacio muestral y observamos que:

caja 1 40%

Supermercado

caja 2 10%

caja 3 50%

Efectivo 60% Tarjeta 40% Efectivo 20% Tarjeta 80% Efectivo 85% Tarjeta 15%

Probabilidad condicional. [ CITATION Wal07 \l 2058 ] La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama “probabilidad condicional” y se denota con P(B|A). El símbolo P(B|A), por lo general, se lee “la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A” o simplemente “la probabilidad de B, dado A”. Definición 2.9 [ CITATION Wal07 \l 2058 ]

La probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B|A), se define como:

P ( B| A )=

P( A ∩B) P(A )

si P( A)>0

Suponemos que cada cliente realiza una sola compra y pasa sólo una vez por una de las cajas. Si escogemos un cliente al azar: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado con tarjeta? P ( T ) =P ( C 1 ) ∙ P ( T ∨C 1 ) + P ( C 2 ) ∙ P ( T ∨C 2 ) + P (C 3 ) ∙ P(T ∨C 3) P ( T ) =0.4 ∙ 0.4+0.1 ∙ 0.8+0.5 ∙0.15 P ( T ) =0.16+0.08+0.075=0.315 P ( T ) =¿ 0.315∙ 100=31.5% 2. Sabiendo que ha pagado en efectivo, ¿cuál es la probabilidad de que haya pagado en la caja 3? P ( C 3 ) ∙ P ( E∨C 3 ) P ( C 1 ) ∙ P ( E∨C 1 )+ P ( C 2 ) ∙ P ( E∨C 2 ) + P ( C 3 ) ∙ P ( E∨C 3 ) 0.50 ∙ 0.85 P ( C 3/ E ) = 0.40 ∙ 0.60+0.10 ∙ 0.20+0.50 ∙ 0.85 0.425 0.425 P ( C 3/ E ) = = =0.6115 0.25+ 0.02+ 0.425 0.695 P ( C 3/ E ) =

P ( C 3/ E ) =0.6115 ∙100=61.15 %

Problema 3. Se tienen dos urnas; en la primera hay: 2 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra; en la segunda hay: 5 bolas rojas, 1 bola blanca y 1 bola negra. Si se extrae una bola de una de las urnas: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? 3. Sabiendo que la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la 1ª urna? Realizamos el diagrama de árbol para observar el espacio muestral: bolas rojas 2/6

urna 1 1/2

bolas blancas 3/6

bolas negras 1/6 urnas bolas rojas 5/7

urna 2 1/2

bolas blancas 1/7

bolas negras 1/7

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea negra? 26 13 = = =0.1547=15.47 % ( 12 )( 61 )+( 12 )( 17 )= 121 + 141 = 14+12 168 168 84

P ( N )=

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? 54 27 9 = = = =0.3214=32.14 % ( 12 )( 36 )+( 12 )( 17 )= 123 + 141 = 42+12 168 168 84 28

P ( B )=

3. Sabiendo que la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la 1ª urna? P(U 1)∙ P (U 1∨R ) P ( U 1 ) ∙ P ( U 1∨R ) + P(U 2)∙ P ( U 2∨R ) 1 2 ( )( ) 2 6 P ( U 1 /R )= 1 2 1 5 ( )( )+( )( ) 2 6 2 7 2 1 1 12 6 6 21 ¿ = = = =0.3181=31.81 % 2 5 28+60 11 66 + 12 14 168 21 P ( U 1 /R )=

Problema 4. En una gasolinera, 40% de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A1),

35% usan gasolina extra sin plomo (A2), y 25% gasolina premium sin plomo (A3). De los clientes que consumen gasolina regular, sólo 30% llenan sus tanques (B). De los que compran gasolina extra, 60% llenan sus tanques, en tanto que quienes llevan gasolina Premium, 50% llenan sus tanques. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? c. Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular? ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina extra? ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina premium?

Solución: Primero definimos el espacio muestral:

Gasolina

Gasolina sin plomo 40%

tanque lleno 30%

Gasolina extra 35%

tanque lleno 60

Gasolina premium 25%

tanque lleno 50%

Definimos las variables:  A1 ≡ 'Gasolina Regular sin plomo'. · A2 ≡ 'Gasolina Extra sin plomo'. · A3 ≡ 'Gasolina Premium sin plomo'. · B ≡ 'Llenar el tanque'. · P(A1) = 0.4. · P(A2) = 0.35. · P(A3) = 0.25. · P(B|A1) = 0.3. · P(B|A2) = 0.6. · P(B|A3) = 0.5.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque? P( A 2 ∩B)=P (B∨ A 2)· P (A 2)=0.6 ·0.35=0 . 21 b. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? Para encontrar la probabilidad del suceso B, llenar el tanque, empleamos la expresión de la probabilidad total: P( B)=P( B∨ A 1)· P( A 1)+ P(B∨A 2)· P (A 2)+ P(B∨ A 3) · P( A 3)=0.3· 0.4+ 0.6 ·0.35+ 0.5· 0.25=0.455

c. Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular? ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina extra? ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina premium? Para dar solución a este inciso, empleamos la expresión del Teorema de Bayes  · Para la gasolina Regular sin plomo:

P ( A 1∨B ) =26.37 % · Para la gasolina Extra sin plomo:

P ( A 2∨B ) =0.4615=46.15 %

· Para la gasolina Premium sin plomo:

P ( A 3∨B ) =0.2747=27.47 %

Bibliografía Barrera, D. (05 de Octubre de 2016). Modelos deterministicos y Probabilisticos. Obtenido de http://proyectoeypii.blogspot.com/ Garza Olvera, B. (2014). Estadística y probabilidad . México: Pearson Educación. Morales Robayo, A. (2007). Probabilidad. Bogota D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Rincon, L. (2014). Introducción a la probabilidad. México: Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM. saber, A. a. (12 de Nov de 2012). Redes 125: Descifrar las probabilidades en la vida - matemáticas. Obtenido de Video You tube: https://www.youtube.com/watch?v=p_SWxgyeb-s Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2007). Probabilidad y estadística para igeniería y ciencias. México: Pearson Educación.