• Author / Uploaded
• Robin Aguilar

Citation preview

Universidad de El Salvador Facultad Multidisciplinaria de Occidente

Movimientos Verticales de la Corteza Carrera: Licenciatura en Geofísica

1

Asignatura: Matemática II Docente: Lic. Juan José Ramírez Robin Stanley Aguilar Vega | AV18002 José Adolfo Lima Morales | LM18038 Fernando Gabriel Hernández Andrade |HA18004

ÍNDICE Página Tema Principal

3

- Área de investigación - Autores del proyecto Marco Histórico

4

Marco Teórico

5-6

- Geológico

5

- Físico

6

Objetivos

7

- Objetivo General - Objetivo Específico DATO IMPORTANTE

8 2

Desarrollo del Proyecto

9-11

Conclusión

11

Referencias

12

Modelo matemático del movimiento vertical de la corteza terrestre:

 Área de investigación: El siguiente proyecto se desarrolla en el área de investigación de la geofísica, ya que estudia los fenómenos geológicos ocurridos mediante la aplicación de leyes físicas, planteando así nuevas hipótesis sobre el funcionamiento aparente del planeta Tierra.

 Autores del proyecto: Los miembros participantes de la realización del presente proyecto fueron los siguientes estudiantes de la carrera de Licenciatura en Geofísica, en la Universidad de El Salvador: - Robin Stanley Aguilar Vega. - José Adolfo Lima Morales. - Fernando Gabriel Andrade.

Fecha de presentación del proyecto: 14 de Diciembre del 2018

3

 Marco Histórico: Uno de los principales avances en la determinación de la estructura de las montañas se produjo en la década de 1840, cuando Sir George Everest (en cuya memoria se dio nombre al monte Everest) realizo la primera investigación topográfica en India. Durante este estudio se midió la distancia entre las localidades de Kalianpur y Kaliana, situadas al sur de la cordillera del Himalaya, mediante dos métodos diferentes. En un método se utilizaba la técnica de investigación convencional de la triangulación y en el otro método se determinaba la distancia astronómicamente. Aunque ambas técnicas deberían haber dado resultados similares, los cálculos astronómicos situaron estas localidades casi 150 metros más cerca la una de la otra que la investigación por triangulación. La discrepancia se atribuyó a la atracción gravitacional ejercida por el masivo Himalaya sobre el peso de plomo utilizado para nivelar el instrumento. (Un peso de plomo es un peso metálico suspendido por una cuerda utilizada para determinar la orientación vertical.) Se sugirió que el desvío del peso de plomo sería mayor en Kaliana que en Kalianpur porque la primera está situada más cerca de las montañas. Unos años después, J. H. Pratt estimó la masa del Himalaya y calculó el error que debería haber sido causado por la influencia gravitacional de las montañas. Sorprendido, Pratt descubrió que las montañas deberían haber producido un error tres veces mayor que el que se observó en realidad. En otras palabras: las montañas no estaban «tirando de su peso». Era como si tuvieran un núcleo central hueco. George Airy desarrolló una hipótesis para explicar la masa aparentemente “ausente”. Airy sugirió que las rocas más ligeras de la corteza terrestre flotan en el manto más denso y que se deforma con mayor facilidad. Además, argumentó correctamente que la corteza debe de ser más gruesa debajo de las montañas que debajo de las regiones bajas adyacentes. En otras palabras, los terrenos montañosos son aguantados por material ligero de la corteza que se extiende en forma de «raíces» en el manto más denso. Los icebergs, que flotan por el peso del agua desplazada, exhiben este fenómeno. Si el Himalaya tiene raíces de rocas ligeras de la corteza que se extienden muy por debajo de la cordillera, estas montañas ejercerán una menor atracción gravitacional, tal como Pratt calculó. Por tanto, el modelo de Airy explicaba por qué el peso de plomo se desvió mucho menos de lo esperado. Los estudios sismológicos y gravitacionales han confirmado la existencia de raíces de la corteza bajo algunas cordilleras montañosas. El grosor de la corteza continental es en general de unos 35 kilómetros, pero se han determinado grosores de la corteza superiores a los 70 kilómetros para algunos cinturones montañosos.  Marco Teórico:

4

Geológico: Dentro de esta categoría, podemos mencionar la teoría realizada por los descubrimientos de Sir George Everest, J. H. Pratt y George Airy, que habla sobre el movimiento vertical de la corteza terrestre. Este fenómeno ocurre muy comúnmente en los bordes de convergencia (zonas donde las placas tectónicas chocan una con la otra), y en zonas donde se producen “acumulaciones de masa” en la corteza, por ejemplo, las montañas. Este fenómeno es conocido como isostasia, que es cuando un “bloque” flota sobre un fluido (en este caso sería el manto, ya que es una capa de la Tierra casi plástica y se considera como fluido) y una parte del bloque está afuera del fluido y otra parte está sumergida dentro del fluido, además, si se agrega más masa sobre la parte del bloque que esta fuera del fluido, este realiza un ajuste isostático, equilibrando nuevamente el porcentaje del bloque que esta fuera del fluido como la parte que está dentro del fluido. Como lo podemos observar en la siguiente imagen.

Físico:

5

Para explicar el fenómeno de la isostasia se utiliza fundamentalmente una ley de la mecánica de fluidos, en este proyecto se tomara únicamente el principio de Arquímedes, el cual establece lo siguiente: “Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, este ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”. En el fenómeno físico descrito anteriormente podemos observar que actúan dos fuerzas sobre el objeto, que son el peso del objeto y el empuje que el fluido ejerce sobre el objeto. Y de igual forma se estableció ciertos parámetros que dependen de los valores de cada fuerza.

Empuje

(E = Empuje y W = Peso).

E > W | El cuerpo flota sobre la superficie. E = W | El cuerpo flota en la mitad de fluido. E < W | El cuerpo se hunde totalmente en el fluido. Peso

EW



Objetivo General:

6

Poder entender mediante un modelo matemático el fenómeno geológico del movimiento vertical de la corteza para comprender la teoría de la isostasia, sus inicios y un corto resumen de su desarrollo.  Objetivos Específicos: 1. Establecer una idea general sobre el movimiento vertical de la corteza sin establecer ninguna ley física o matemática, para poder observar de manera adecuada lo sucedido en dicho fenómeno. 2. Definir un modelo matemático que pueda ser aplicado a dicho fenómeno para así tener una comprensión completa sobre lo que sucede en el movimiento vertical de la corteza, de igual forma, para reforzar la teoría de la isostasia y el ajuste isostático.

 Importancia del estudio: Podemos mencionar como una justificación del proyecto realizado el establecer él porque pueden ser generadas anomalías al momento de realizar distintos tipos de mediciones cerca o en una montaña, ya que la masa de la montaña es mayor a la visible, lo cual genera ciertas anomalías en las mediciones debido a que la cantidad enorme de masa modifica los valores de los datos físicos donde la masa juega un papel muy importante y puede variar los resultados en grandes cantidades.

7

DATO IMPORTANTE: La palabra “modelo” es utilizada para designar una réplica en miniatura, y en la matemática y la física no es una excepción, y puede ser definida como una versión simplificada de un sistema físico demasiado complejo para poder ser analizado con todos sus detalles. Para crear un modelo idealizado de un sistema se deben omitir ciertos efectos menores, pero a la vez debemos tener cuidado de no omitir demasiado, ni datos que sean relevantes para su comprensión. Para este proyecto, vamos a establecer las densidades de la corteza terrestre y del manto como densidades homogéneas, ya que las rocas en la corteza presentan distintas densidades, los cuales serían muy difíciles de establecer en grandes extensiones, como lo son las montañas. Además, para el fenómeno explicado en este proyecto, del movimiento vertical de la corteza, se podrían tomar en cuenta muchos otros factores que influirían en los resultados, pero consideramos que son detalles menores que pueden ser omitidos, para así tener una mejor comprensión y de manera más fácil lo que sucede en los fenómenos con su modelo matemático.

El fenómeno a explicar es el movimiento vertical de la corteza, el cual ha sido descrito anteriormente (ver marco teórico), y hemos establecido que la manera más adecuada de establecer un modelo matemático que explique dicho fenómeno es con el principio de Arquímedes. De dicho principio físico obtenemos la siguiente ecuación, que ha sido establecida de forma experimental: E=ρgv En la ecuación, 8

E es la fuerza de empuje que el fluido ejerce sobre el cuerpo. ρ es la densidad del fluido. g es la fuerza de aceleración de la gravedad. V es el volumen del cuerpo que está sumergido en el fluido (Si el cuerpo no está sumergido totalmente, este valor será únicamente el volumen de la parte del cuerpo que está sumergida en el fluido). El principio de Arquímedes también presenta una igualdad, que sería la siguiente ecuación: E=W (Donde E es el empuje del fluido sobre el cuerpo y W es el peso del cuerpo, que es el resultado de multiplicar la masa por la gravedad [W=mg]). Así que utilizando las dos ecuaciones anteriores, podemos reemplazar E y W.

E=W ρgv=mg ρv=m Conocemos también que la masa de un cuerpo está definida como el producto de su densidad por su volumen. m=ρv Entonces, al reemplazar este valor en la ecuación tenemos que:

ρmanto v sumergido= ρmontaña v montaña

v sumergido=

ρmontaña v montaña ρmanto

9

Ahora, las densidades establecidas para ejemplificar son las siguientes:

ρcorteza =ρ montaña=2.9 ρmanto =3.3

g cm3

g cm 3

(La densidad de la corteza es igual a la densidad de la montaña ya que las montañas están formadas por las rocas de la corteza terrestre). Se reemplazan los valores en la ecuación:

2.9 v sumergido=

g v montaña cm3 g 3.3 3 cm

v sumergido=0.87 v montaña v sumergido=87 % v montaña De este resultado podemos establecer que: g g 2.9 3 , la parte 3 y la montaña una densidad de cm cm de la montaña que esta “sumergida” en el manto es el 87% de todo el volumen de la montaña, así que la parte “visible” es únicamente un 13% de la montaña. Si el manto posee una densidad de 3.3

En este ejemplo, se podría asignar el 0.87 como una constante de proporcionalidad, únicamente si las densidades son las mismas en todo momento y solo varía el volumen de la montaña, que es la variable independiente. Pero como sabemos, las densidades son distintas en diferentes zonas del planeta, así que no se puede utilizar como una constante en todo momento, y este valor dependería de las densidades de la ecuación, la densidad de la montaña y la densidad del manto.

10

CONCLUSIÓN: Como hemos visto, el principio de Arquímedes puede ser utilizado como un modelo matemático idealizado para comprender y explicar un fenómeno natural que no puede ser observado a simple vista, el cual es el movimiento vertical de la corteza, donde se ha creado como explicación a esto lo que es la isostasia, la cual puede ser explicada con dicho modelo, por ello se puede apoyar la validez de dicha teoría.

 REFERENCIAS: Para la teoría física y modelación: - Sears y Zemansky – Física Universitaria (Volumen 1, 13° Edición) * Unidades, cantidades físicas y vectores – Modelos idealizados. * Mecánica de fluidos – Flotación (Principio de Arquímedes). - julioprofe: (Utilizado para mayor comprensión de los principios físicos). *Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 67: Problema 1 de Principio de Arquímedes. Tema: Estática en Fluidos. (ENLACE: https://www.youtube.com/watch?v=Mozv_nQqAeA) *Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 68: Problema 2 de Principio de Arquímedes. Tema: Estática en Fluidos. (ENLACE: https://www.youtube.com/watch?v=cae__ydEShc&t=188s) *Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 69: Problema 3 de Principio de Arquímedes. Tema: Estática en Fluidos. 11

(ENLACE: https://www.youtube.com/watch?v=oyWE8qutgmo&t=5s) Para la teoría geológica: - Ciencias de la Tierra: Una introducción a la geología física. (8va Edición) [Edward J. Tarbuck y Frederick K. Lutgens] * Introducción a la geología – Estructura interna de la Tierra (Capas definidas por su composición); Para la comprensión de la corteza y el manto. * Bordes convergentes: formación de las montañas y evolución de los continentes – Movimientos verticales de la corteza (Isostasia).

12