• Author / Uploaded
• Alvaro

Citation preview

CINEMÁTICA MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO OBJETIVO Verificar que efectivamente el móvil vaya con aceleración constante, a partir del análisis posición – tiempo y velocidad – tiempo. MARCO TEORICO La aceleración promedio ax, prom de la partícula se define como el cambio en velocidad ΔVx dividido por el intervalo de tiempo Δt durante el que ocurre el cambio:

ax , prom=

ΔVx Vxf −Vxi = Δt tf −ti

(2.1) Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, su movimiento es complejo y difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento unidimensional, es aquel en el que la aceleración es constante. En tal caso, la aceleración promedio ax, prom en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea ax en cualquier instante dentro del intervalo, y la velocidad cambia con la misma proporción a lo largo del movimiento. Esta situación ocurre con suficiente frecuencia como para que se le identifique como un modelo de análisis: la partícula bajo aceleración constante. En la discusión que sigue se generan varias ecuaciones que describen el movimiento de una partícula para este modelo. Si en la ecuación 2.1 se sustituye ax, prom con ax y toma ti = 0 y tf como cualquier tiempo t posterior, se encuentra que:

ax =

Vxf −Vxi t−0

o Vxf = Vxi + ax t (para ax constante) (2.2) Esta poderosa expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier tiempo t, si se conoce la velocidad inicial Vxi del objeto y su aceleración ax (constante). En la figura 2.1b se muestra una gráfica velocidad-tiempo para este movimiento con aceleración constante. La grafica es una línea recta, cuya pendiente es la aceleración ax; la pendiente (constante) es consistente con ax = dvx/dt constante. Note que la pendiente es positiva, lo que indica una aceleración positiva. Si la aceleración fuese negativa, la pendiente de la línea en la figura 2.1b seria negativa. Cuando la aceleración es constante, la gráfica de aceleración en función del tiempo (figura 2.1c) es una línea recta que tiene una pendiente cero.

Figura 2.1 Una partícula bajo aceleración constante ax que se mueve a lo largo del eje x: a) grafica posición – tiempo, b) grafica velocidad – tiempo, c) grafica aceleración - tiempo

Puesto que la velocidad con aceleración constante varia linealmente en el tiempo, de acuerdo con la ecuación 2.2, se expresa la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media aritmética de la velocidad inicial Vxi y la velocidad final Vxf :

Vx , prom=

Vxi+Vxf 2

(para ax constante )

(2.3) Note que esta expresión para la velocidad promedio sólo se aplica en situaciones en que la aceleración es constante. Ahora es necesario aplicar las ecuaciones Δx = xf - xi, Vx,prom = Δx/Δt y 2.3 para obtener la posición de un objeto como función del tiempo. Al reconocer que Δt = tf - ti = t - 0 = t, se encuentra que xf – xi =Vx,prom t =

1 2

(Vxi + Vxf) t

xf = xi +

1 2

(Vxi + Vxf) t

(2.4) Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el tiempo t en términos de las velocidades inicial y final. Otra expresión útil para la posición de una partícula bajo aceleración constante se obtiene al sustituir la ecuación 2.2 en la ecuación 2.4: xf = xi +

1 2

[Vxi + (Vxi + ax t)] t

x f = xi + Vxi t +

1 2

ax t²

(para ax constante)

(2.5) Esta ecuación proporciona la posición final de la partícula en el tiempo t en términos de la velocidad inicial y la aceleración constante. La grafica posición-tiempo para movimiento con aceleración constante (positiva) que se muestra en la figura 2.1a se obtiene de la ecuación 2.5. Perciba que la curva es una parábola. La pendiente de la línea tangente a esta curva en t = 0 es igual a la velocidad inicial Vxi, y la pendiente de la línea tangente en cualquier tiempo posterior t es igual a la velocidad Vxf en dicho tiempo.

MATERIALES -Carril con colchón de aire, móvil, imán de retención, bomba de aire, generador de chispas, cinta metálica, nivel de mano. (Equipo Leybold). DESARROLLO Armar el equipo de acuerdo a la figura 2.2. El plano superior del carril debe estar horizontal.

Hacer un registro en cinta del movimiento de la masa m2 (carrito), cuando es jalado por la masa m 1 que cuelga. Usar el generador de chispas a una frecuencia de 10 [Hz]. Condiciones bajo las cuales se tomaron lo datos: m1 = (15,11 ± 0,01) g m2 = (92,06 ± 0,01) g M = m1 + m2 = (107,17 ± 0,01) g ANÁLISIS POSICIÓN - TIEMPO REGISTRO DE DATOS En la tabla # 1, se registran las medidas de los desplazamientos de la posición en función del tiempo que realiza el móvil. Frecuencia del generador de chispas 10 Hz. x [cm] 1 2 3

t [s] 0,5 2,4 5,8

0,1 0,2 0,3

4 5 6 7 8

10,6 16,85 24,55 33,6 44,15 Tabla # 1

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

GRÁFICOS Y ECUACIONES

Gráfica # 1 Posición – Tiempo. Según la curva de ajuste de la gráfica #1, el modelo de ajuste es: x=a

tb

Como el modelo no corresponde a una relación lineal, asumiendo que la curva es una parábola esto es b = 2, entonces la gráfica # 2 representa posición (x) en función de z=t².

x 1 2 3 4 5 6 7 8

z=t² 0,5 2,4 5,8 10,6 16,85 24,55 33,6 44,15

0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64

Tabla # 2

Grafica # 2 x = x (z) A partir de la gráfica # 2 modelo de ajuste es: x=az RESULTADOS Utilizando el método gráfico, los parámetros de la relación funcional x = x (z) son: Por lo que la relación funcional x = x (z)

A = - 0,5 B = 69,05

despreciando el parámetro A es:

x = 69,05 z Entonces la relación funcional x = f (t) será: x = 69,05 t² Usando el método analítico (mínimos cuadrados), los parámetros de ajuste de la relación funcional x = x (z) son: A = ( - 0,4 ± 0,2 ); 50% B = ( 69,4 ± 0,5) ; 0,72% r = 0,99998 Por lo que la relación funcional x = x (z) despreciando el parámetro A es: x = 69,4 z Entonces la relación funcional x = f (t) será: x = 69,4 t² Igualando relación funcional x = f (t) con la ecuación 2.5 en las condiciones iniciales x i = 0 y Vxi = 0, el valor de la aceleración es: a = (138,8 ± 1,0) cm/s² ; 0,72%

ANÁLISIS VELOCIDAD – TIEMPO x [cm] t [s] Δx [cm] Δt [s] V = Δx/Δt [cm/s] V [cm/s] t' [s] 1 0,5 0,1 0,5 0,1 5 5 0,05 2 2,4 0,2 1,9 0,1 19 19 0,15 3 5,8 0,3 3,4 0,1 34 34 0,25 4 10,6 0,4 4,8 0,1 38 38 0,35 5 16,85 0,5 6,25 0,1 62,5 62,5 0,45 6 24,55 0,6 7,7 0,1 77 77 0,55 7 33,6 0,7 9,05 0,1 90,5 90,5 0,65 8 44,15 0,8 10,55 0,1 105,5 105,5 0,75 REGISTRO DE DATOS La velocidad media está definida por:

Δx ⃗ V= Δt

Con los datos de la tabla # 1 se construye la tabla # 3 para la velocidad media e instantánea:

Tabla # 3 GRÁFICOS Y ECUACIONES

Grafica # 3 velocidades instantáneas (V) en función de t’.

Grafica # 4 velocidad media en función del tiempo, V = V (t) Según la curva de ajuste de la gráfica #4, el modelo de ajuste es: V=A+B t

RESULTADOS Utilizando el método gráfico, los parámetros del modelo de ajuste son: A = - 10 B = 142,6 Por lo que la relación funcional V = f (t)

despreciando el parámetro A es: V = 142,6 t

Usando el método analítico (mínimos cuadrados), los parámetros de ajuste del modelo escogido son: A = ( - 9,3 ± 0,6 ); 6,4% B = ( 143,4 ± 1,2) ; 0,84% r = 0,99996 Por lo que la relación funcional V = f (t) despreciando el parámetro A es: V = 143,4 t

Comparando relación funcional V = f (t) con la ecuación 2.2 en las condiciones iniciales V xi = 0, el valor de la aceleración es: a = (143,4 ± 1,2) cm/s² ; 0,84%

CONCLUSION Para el análisis posición – tiempo: con los datos registrados de los desplazamientos de la posición en función del tiempo (tabla 1), en la gráfica # 1 se puede apreciar que la pendiente corresponde a una parábola, por lo el modelo de ajuste es potencial, entonces se linealiza mediante un cambio de variable, donde b = 2 debido a la curva (parábola) y t² = z, posteriormente se encuentran los parámetros de ajuste en la curva y en la recta mediante el método gráfico y analítico. Igualando relación funcional x = f (t) con la ecuación 2.5 en las condiciones iniciales x i = 0 y Vxi = 0, se obtiene el valor de la aceleración. Para el análisis velocidad – tiempo: con los datos de velocidad media en función del tiempo (Tabla 3), en la gráfica # 4 se puede apreciar que la pendiente corresponde a una línea recta, por tanto el modelo de ajuste es lineal, posteriormente se encuentran los parámetros de ajuste en la curva y en la recta mediante el método gráfico y analítico. Igualando relación funcional V = f (t) con la ecuación 2.2 en la condición inicial Vxi = 0, se obtiene el valor de la aceleración.

Finalmente los valores de la aceleración que se obtuvieron mediante el análisis: a) Posición -tiempo : a = (138,8 ± 1,0) cm/s² ; 0,72% b) Velocidad – tiempo : a = (143,4 ± 1,2) cm/s² ; 0,84% Tienen una diferencia notable de 5 cm/s², esta diferencia podría atribuirse a que cuando queremos obtener los datos para la relación V = f (t), estos sufren pequeñas variaciones en los cálculos. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Raymond A. Serway y John W. Jewett, Jr., Física para ciencias e ingeniería, Volumen 1. Séptima edición. Facultad de ciencias y tecnología, Universidad Mayor de San Simón, Guía y cartilla de laboratorio física básica I y II. CUESTIONARIO 1. ¿Qué tipo de curva obtuvo al graficar los datos de posición - tiempo? ¿Esperaba obtener este tipo de curva? ¿Por qué? Se obtuvo una parábola, se esperaba obtener este tipo de curva para esta grafica por que el móvil ya no se mueve con velocidad constante en todo el recorrido debido a la aceleración. 2. ¿La relación obtenida para velocidad instantánea – tiempo es la que esperaba? ¿Por qué? Si, por que los valores de velocidad media e instantánea son los mismos pero teóricamente la velocidad instantánea es tangente a la velocidad media. 3. ¿Cuál es la interpretación física de los parámetros de la ecuación v = f (t)? El parámetro A representaría la velocidad inicial del móvil (Vxi) y el parámetro B la aceleración constante (a) con la que se mueve el móvil. 4. ¿Qué valores obtuvo para la aceleración, a) en el análisis posición – tiempo, b) en el análisis velocidad tiempo. Existen diferencias? ¿A que atribuye usted la diferencia entre ellos? Para el análisis posición – tiempo se obtuvo a = (138,8 ± 1,0) cm/s² ; 0,72% Para el análisis velocidad – tiempo se obtuvo a = (143,4 ± 1,2) cm/s² ; 0,84% Se puede apreciar que existe una diferencia de aproximadamente 5 cm/s², esto podría atribuirse a que cuando trabajamos con los datos posición – tiempo para obtener los datos de velocidad – tiempo se alteran debido operaciones que se realizan para obtener dichos datos. CÁLCULOS Análisis posición - tiempo Para hallar los parámetros de la función lineal mediante el método gráfico: En la gráfica # 2. Ordenada al origen: x=0 t =A A = -1 Pendiente: B=

Δx Δt

=

(34,5−20) = 69,04761905 (0,5−0,29)

Para hallar los parámetros mediante el método analítico (mínimos cuadrados): Realizados en calculadora científica usando los datos de la tabla 2. n=8 A = - 0, 3971428571 B = 69,42507003 r = 0,9999755388 Ʃdi² = Ʃy² + nA²+B²Ʃx²-2AƩy-2BƩxy+2ABƩx = 0,08418312325 σ² =

Ʃ di ² n−2

= 0,0143052054

Δ = n Ʃx² - (Ʃx)² = 2,856

σA

=

σB =

√ √

Ʃ x²σ ² Δ

nσ ² Δ

=0,1607987718

= 0,4855996993

Entonces: A = (-0,4 ± 0,2), 50% B = (69,4 ± 0,5); 0,72% Igualando la ecuación teórica 2.5 en las condiciones iniciales xi = 0 y Vxi = 0, con la relación funcional x = f (t) : xf = xi + Vxi t +

1 2

ax t²

(teórico)

x = 69,4 t²(relación funcional) ax = 2 * 69,4 ax = (138,8 ± 1,0) cm/s² Análisis velocidad - tiempo Para hallar los parámetros de la función lineal mediante el método gráfico: En la gráfica # 4. Ordenada al origen: x=0 t =A A = -10 Pendiente: B=

Δx Δt

=

(83−40) = 142,62229508 (0,65−0,345)

Para hallar los parámetros mediante el método analítico (mínimos cuadrados): Realizados en calculadora científica usando los datos V = f (t). n=8

A = - 9,339285714 B = 143,3928571 r = 0,9999632986 Ʃdi² = Ʃy² + nA²+B²Ʃx²-2AƩy-2BƩxy+2ABƩx = 0,6339285711 σ² =

Ʃ di ² n−2

= 0,1056547619

Δ = n Ʃx² - (Ʃx)² = 3,36

σA

=

σB =

√ √

Ʃ x²σ ² Δ

nσ ² Δ

=0,6203911701

= 1,228557585

Entonces: A = (- 9,3 ± 0,6), 6,4% B = (143,4 ± 1,2); 0,84% Igualando la ecuación teórica 2.2 en la condición inicial Vxi = 0, con la relación funcional V = f (t): Vxf = Vxi + ax t

(teórico)

V = 143,4 t (relación funcional) ax = (143,4 ± 1,2) cm/s²