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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERÍA

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Eliecer Agudelo1, Camilo Álvarez1, Jesús Arias1, Emmanuel Ariza1 1

Ingeniería Química

Laboratorio de física Grupo: 3 Fecha de entrega: octubre 30 de 2017

Resumen En la presente práctica se estudió el movimiento uniformemente acelerado, para su realización se utilizó un deslizador y un carril de aire junto con dos fotoceldas las cuales marcaron el tiempo que tardó la placa del deslizador en pasar por éstas, con estos datos se analizó la variación de la velocidad del objeto con respecto al tiempo. Además, se realizó el mismo estudio con otro montaje, el cual constaba de un balín y un carril inclinado, se tomó el tiempo de desplazamiento en diferentes puntos con un incremento de 0.1m. Estos datos se analizaron con el fin de obtener las funciones que describen este movimiento, para así, comprobar que la velocidad varía con el tiempo y la aceleración permanece constante. Al final del análisis se encontró que la velocidad crecía linealmente respecto al tiempo, y la aceleración era invariable. Palabras claves Movimiento acelerado, aceleración constante, velocidad creciente. Abstract In the present practice uniformly accelerated motion was studied, it was used a sliding object and a lane of air along with two photocells, which marked the time it took the plate of the sliding object to go through the photocells, with these data was analyzed the variation of the speed of the object with respect to time. In addition, the same study with another assembly was carry out, which consisted of a shot and a sloping lane, it was took the time of displacement at different points with an increase of 0.1m. These data were analyzed in order to obtain the functions that describe this movement, in order to verify that the speed varies with time and the acceleration remains constant. At the end of the analysis it was found that the speed increased linearly with respect to time, and the acceleration was unchanged. Keywords Accelerated movement, constant acceleration, increasing speed.

1. Introducción

2. Fundamentos teóricos

Se puede describir el movimiento uniforme acelerado como el movimiento el cual la aceleración que experimenta un cuerpo permanece constante en el trascurso del tiempo durante su desplazamiento. En este tipo de movimiento la velocidad se incrementa en tiempo iguales, pero la aceleración seguirá siendo la misma. A partir de esto, se estudió y analizó el comportamiento de un objeto bajo estas condiciones y se comprobó por medio del análisis de los datos experimentales el cambio lineal de la velocidad con respecto al tiempo, y la invariabilidad de la aceleración.

Un tipo muy común y simple de movimiento unidimensional, es aquel en el que la aceleración es constante. En tal caso, la aceleración promedio a x.prom en cualquier intervalo de tiempo es numéricamente igual a la aceleración instantánea a x en cualquier instante dentro del intervalo, y la velocidad cambia con la misma proporción a lo largo del movimiento. Esta situación ocurre con suficiente frecuencia como para que se le identifique como un modelo de análisis: la partícula bajo aceleración constante. En la discusión que sigue se generan varias ecuaciones que describen el movimiento de una partícula para este modelo [1].

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERÍA Sean ahora t1 = 0 y t2 cualquier instante arbitrario posterior t. Entonces, la ecuación es [1]: vx − v0 x ax = ⟹ vx = v0x + a x t (𝐄𝐜. 𝟏) t−0 Donde: vx = velocidad final a x = aceleración (constante) t = tiempo

Para el cálculo de la incertidumbre para N pequeño [3]: Se calcula el promedio de los tres valores: a̅ =

a1 + a 2 + a 3 3

La incertidumbre se calcula restando al máximo de estos valores el valor mínimo de los mimos y dividendo entre 2 [3]: ∆a =

Esta expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier tiempo t, si se conoce la velocidad inicial V0x del objeto y su aceleración ax [1]. Una ecuación para la posición en función del tiempo con aceleración constante que se utiliza es [1]:

(𝐄𝐜. 𝟕)

a max − a min (𝐄𝐜. 𝟖) 2

Finalmente, el intervalo de medición se puede escribir [3]: a = a̅ ± ∆a El error relativo porcentual viene dado por [3]: εr = |

xt − xa | (𝐄𝐜. 𝟗) xt

Donde: xt = valor teórico xa = valor aprox. o experimental

1 x = x0 + v0x t + a x t 2 (𝐄𝐜. 𝟐) 2 Donde:

3. Desarrollo experimental

x = desplazamiento 𝑣0𝑥 = velocidad inicial 𝑎𝑥 = aceleración t = tiempo La aceleración instantánea o promedio (en MRUA) se puede obtener a partir de una gráfica de su posición con el tiempo. Dado que a x =

dvx dt

y vx =

dx dt

, se puede

escribir [2]: ax =

dvx d dx d2 x = ( )= 2 dt dt dt dt

(𝐄𝐜. 𝟒)

La velocidad en función de la aceleración y desplazamiento [1]: 2 2 vxf = vxi + 2a(xf − xi ) (𝐄𝐜. 𝟓)

A partir de la ecuación 1 y 5, se obtiene una ecuación en función de la velocidad y el desplazamiento, para hallar el tiempo: t=

2(xf − xi ) vxf + vxi

(𝐄𝐜. 𝟔)

Para el primer ensayo, se utilizó un carril de aire y un deslizador el cual incluía una pequeña placa para tomar el tiempo que tarda dicho objeto en pasar por las fotoceldas, se tomaron dos tiempos en dos puntos con una distancia de separación de 1m, reduciendo dicho intervalo hasta una longitud de 0.2m. Para el segundo ensayo, se dejó rodar un balín sobre un carril inclinado, se tomaron los tiempos de desplazamiento del balín en diferentes puntos específicos con un incremento de 0.1m.

4. Datos obtenidos en el laboratorio Longitud de placa del deslizador: 0.02m. Distancia Intervalo de Tiempo Tiempo (m) tiempo (s) placa 1 (s) placa 2 (s) 1 1.597 0.04432 0.02435 0.8 1.25 0.03956 0.02525 0.6 0.932 0.03634 0.02651 0.4 0.627 0.03361 0.02747 0.2 0.33 0.03175 0.02873 Tabla 1. Distancias (m), tiempos promedio (s) para el ensayo 1.

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x(m) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 t(s) 1.19 1.70 2.53 2.93 3.50 3.90 4.22 Tabla 3. Tiempo de desplazamiento. Datos ensayo 2. 4. Cálculos y análisis de resultados Se calcula la incertidumbre de los tiempos de tabla 1 y tabla 3, utilizando la ecuación 7 y 8 para expresarlos de la forma: a = a̅ ± ∆a. Estos valores calculados se tabulan en la tabla 4 y tabla 5, respectivamente. Intervalo de tiempo (s) 1.597±1e-3 1.25±1.5e-3 0.932±5e-4 0.627±5e-4 0.33±0.00

Tiempo placa 1 (s) 0.04432±4e-5 0.03956±2.5e-5 0.03634±5.5e-5 0.03361±4.5e-5 0.03175±1.5e-5

Tiempo placa 2 (s) 0.02435±2.5e-5 0.02525±1e-5 0.02651±4e-5 0.02747±1.5e-5 0.02873±2e-5

Distancia (m) Velocidad (m/s) Tiempo (s) 0 0.45 0 0.1 0.51 0.21 0.2 0.55 0.40 0.3 0.6 0.57 0.4 0.63 0.74 0.5 0.7 0.87 0.6 0.73 1.02 0.7 0.75 1.17 0.8 0.79 1.29 0.9 0.82 1.42 Tabla 6. Velocidad por cada distancia (m). Tiempo de desplazamiento. Ensayo 1 (carril de aire).

Tabla 4. Datos experimentales (tabla 1) con incertidumbre. t(s) 1.19±0.03 1.70±0.08 2.53±0.04 2.93±0.09 3.50±0.1 3.90±0.035 4.22±0.115 Tabla 5. Datos experimentales (tabla 3) con incertidumbre. Utilizando el tiempo que tarde la placa en pasar por el sensor y la longitud de ésta (tabla 1), se halla la velocidad en cada punto; esto con el fin de obtener el tiempo que tarda el objeto en desplazarse de la posición inicial (0m) hasta un punto x.

Gráfica 1. Distancia vs. Tiempo. Datos tabla 6.

Longitud placa: 0.02m Tiempo placa 1: 0.04432s Se toman como valores iniciales: Velocidad: x/t= 0.02m/0.04432s= 0.45m/s x0: 0m t0= 0s Se utiliza la longitud de la placa (0.02m) y su respectivo tiempo para hallar la velocidad en cada punto y se varía dicho punto cada 0.1m. los datos de velocidad se tabulan en la tabla 6. Se utilizan las distancias, velocidades (tabla 6) y a partir de la ecuación 6 se obtienen los tiempos de desplazamiento, estos se tabulan en la tabla 6. Gráfica 2. Distancia vs. Tiempo. Ensayo 2. Datos tabla 3.

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERÍA Se observa que las gráficas 1 y 2 (x vs. t) tienen forma de parábola, por ende, se puede deducir que la velocidad no es constante. A partir de las ecuaciones experimentales que describen el movimiento de estos cuerpos, se puede hallar la aceleración de éstos comparándolas con la ecuación cinemática (ecuación 2) o calculando la segunda derivada (ecuación 4). En el siguiente análisis se aplicarán los dos métodos. Para el ensayo 1 (carril de aire). Comparando la ecuación 2 con la ecuación experimental del ensayo 1 (gráfica 1), se tiene que: Del coeficiente cuadrático: 1 𝑎 = 0.126 2 𝑥 Se despeja 𝑎𝑥 : 𝑎𝑥 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝒎/𝒔𝟐

Para el ensayo 2. A partir de la ecuación experimental del movimiento, se tiene que: Del coeficiente cuadrático: 1 𝑎 = 0.0234 2 𝑥 Se despeja 𝑎𝑥 : 𝑎𝑥 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟔𝟖 𝒎/𝒔𝟐 Del coeficiente lineal: 𝑣0 = 0.0642 𝑚/𝑠 Se considera que el cuerpo parte del reposo, pero la gráfica muestra que por lo menos hubo una cierta velocidad inicial. Esto pudo haber sido por errores cometidos al dejar rodar el cuerpo, que probablemente se aceleró al realizar esta acción la cual se hacía cada vez que se soltaba.

El coeficiente lineal indica la velocidad inicial, por tanto: 𝑣0 = 𝟎. 𝟒𝟓𝟕 𝐦/𝐬 Esta magnitud de velocidad coincide aproximadamente con el primer dato experimental de velocidad tabulada en la tabla 6. Aplicando la segunda derivada a la siguiente ecuación experimental que describe el movimiento, se tiene que: 2

𝑦 = 0.126𝑥 + 0.457𝑥 + 0.001 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑑𝑦 = 0.252𝑥 + 0.457 𝑑𝑥

De la primera derivada se obtiene una función que corresponde a la velocidad instantánea, la cual depende del tiempo debido a que no es constante. En este caso x=t, siendo t un tiempo determinado. 2

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎

𝑑 𝑦 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟐 𝑑𝑥 2

La segunda derivada no depende de otras variables, esto muestra que la aceleración es constante en todo el movimiento. Por tanto, el valor 0.252 m/s2 corresponde a la aceleración promedio o instantánea (en MRUA).

Gráfica 3. Velocidad (m/s) vs. Tiempo (s). Ensayo 1. Datos tabla 6. La grafica 3 muestra que la velocidad linealmente con el tiempo, a partir de también se puede hallar la aceleración inicial, comparando la ecuación 1 con obtenida experimentalmente. Así:

se relaciona esta grafica y velocidad la ecuación

Del coeficiente lineal: 𝑎𝑥 = 𝟎. 𝟐𝟔 𝒎/𝒔𝟐 Del intercepto de la ecuación: 𝑣0 = 𝟎. 𝟒𝟓 𝒎/𝒔 El valor de la aceleración coincide con la aceleración hallada anteriormente por diferentes métodos (comparación y derivación). La velocidad inicial hallada a partir de la gráfica 3. Es la misma tabulada en la tabla 6.

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO FACULTAD DE INGENIERÍA Para hallar la aceleración experimental de cada ensayo y su respectivo error absoluto, se utilizan los datos de la tabla 1 y 3. Ensayo 1. De la tabla 1, se tiene que: V0: 0.02m/0.04432s= 0.45m/s T0: 0s Vf: 0.02m/0.02435s= 0.82m/s Tf: 1.597s

Por lo tanto, el error absoluto en la aceleración para el ensayo 2: 0.0468𝑚/𝑠 2 − 0.0528𝑚/𝑠 2 𝜀𝑟 = | | ∙ 100 = 𝟏𝟐. 𝟖 % 0.0468𝑚/𝑠 2 Estos porcentajes indican que hubo una diferencia no tan alejada del valor real, y esto se debe a errores aleatorios, es decir, que los resultados se vieron afectados por causas externas no controlables ni posibles de descubrir.

Se parte de que la aceleración promedio es igual a la instantánea en todo momento del movimiento, entonces, utilizando la ecuación 1:

5. Conclusiones 

0.82m 0.45m − 𝑣𝑓 − 𝑣0 s = 𝟎. 𝟐𝟑 𝒎/𝒔𝟐 𝑎𝑥 = = s t 1.597s − 0s



Por lo tanto, el error absoluto en la aceleración para el ensayo 1:



0.25𝑚/𝑠 2 − 0.23𝑚/𝑠 2 𝜀𝑟 = | | ∙ 100 = 𝟖 % 0.25𝑚/𝑠 2

 

Ensayo 2. De la tabla 3, se tiene que: X0: 0.1m T0: 1.19s Xf: 0.7m Tf: 4.22s Con la ecuación 6 se halla la velocidad en cada punto. 𝑣0 =

2(xf − xi ) 2 ∙ 0.1m = = 𝟎. 𝟏𝟕𝐦/𝐬 t 1.19s

𝑣𝑓 =

2(xf − xi ) 2 ∙ 0.7m = = 𝟎. 𝟑𝟑𝒎/𝒔 t 4.22s

Se parte de que la aceleración promedio es igual a la instantánea en todo momento del movimiento, entonces, utilizando la ecuación 1: 0.33m 0.17m − 𝑣𝑓 − 𝑣0 s = 𝟎. 𝟎𝟓𝟐𝟖 𝒎/𝒔𝟐 𝑎𝑥 = = s t 4.22s − 1.19s

La velocidad varía linealmente con respecto al tiempo de desplazamiento. La aceleración permanece contante durante el movimiento de un objeto que experimenta MRUA. Las funciones que describen el movimiento acelerado de un objeto presentan un comportamiento cuadrático o parabólico. La aceleración instantánea es la misma que la aceleración promedio en el MRUA. La pendiente en una gráfica V vs. T, es la aceleración del objeto en movimiento y el intercepto indica la velocidad inicial de éste.

Bibliografía [1] SERWAY, R. and Jewett, J. (2014). FISICA PARA CIENCIAS E INGENIERIA, VOLUMEN 1. 7th ed. [México]: Sergio R. Cervantes González, pp.32-34 [2] Sears, F., Freedman, R. and Zemansky, M. (2004). Física universitaria. 11th ed. Pearson Educación de México, S.A. de C.V., p.52. [3] Eugenio Coral, E. (2014). Guía para Análisis de Experimentos. Uniatlantico, p.28.