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• Pedro B.

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MOVIMIENTO ONDULATORIO. Magnitudes de las ondas:  

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Amplitud (A): máxima elongación con la que vibran las partículas del medio. Se mide en metros. Longitud de onda (λ): distancia mínima entre dos puntos del medio que están en la misma fase o estado de vibración. Se mide en metros. λ= V·T Período (T): tiempo que emplea una partícula del medio en realizar una oscilación alrededor de su posición de equilibrio. Se mide en segundos. 1 2π λ T= ; T= ; T= =λ·υ υ ω V Frecuencia (ʋ): número de oscilaciones que realiza una partícula del medio en la unidad de tiempo. Se mide en Hertzios o s-1. 1 ʋ= T Frecuencia angular (ω): número de periodos contenido en 2π unidades de tiempo. Se mide en rad/s. 2π ω= = 2π · ʋ T Número de onda (k): número de longitudes de onda contenidos en 2π unidades de longitud. Se mide en m-1. 2π k= λ Velocidad de propagación o velocidad de fase (Vp): es la rapidez con la que la onda se traslada en el medio en el que se propaga. Se mide en m/s. 𝑒 λ 𝑉𝑝 = = = λ · υ 𝑡 𝑇

2𝜋

λ 𝜔 𝑘 𝑉𝑝 = = 2𝜋 = 𝑇 𝑘 𝜔

Ecuación de la onda armónica (unidimensional): 𝑡 𝑥 y(x, t) = A · cos [2π ( ± ) + 𝜑0 ] 𝑇 λ

y(x, t) = A · cos(𝜔𝑡 ± 𝑘𝑥 + 𝜑0 )

 Signo (-): la onda se propaga hacia la derecha (sentido positivo del eje OX).  Signo (+): la onda se propaga hacia la izquierda (sentido negativo del eje OX). Velocidad de oscilación o de vibración en una onda: y(x, t) = A · sen(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑0 ) V(x, t) =

dy(x,t) dt

= 𝐴 · 𝜔 · cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑0 )

𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝑨 · 𝝎

Aceleración de oscilación o de vibración en una onda: a(x, t) =

dV(x,t) dt

= −𝐴 · 𝜔2 · sen(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 + 𝜑0 )

𝒂𝒎𝒂𝒙 = −𝑨 · 𝝎𝟐

Diferencia de fase espacial y temporal: 

Diferencia de fase espacial (Δφ entre dos puntos distintos en el mismo instante): 𝛥𝜑 = 𝑘 · (𝑥2 − 𝑥1 ) =



2𝜋 𝜆

· (𝑥2 − 𝑥1 ) =

2𝜋 𝜆

· 𝑑 ; 𝑑: 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑚)

Diferencia de fase temporal (Δφ de un mismo punto en dos instantes diferentes): 𝛥𝜑 = 𝜔 · (𝑡2 − 𝑡1 ) =

2𝜋 𝑇

· (𝑡2 − 𝑡1 ) =

2𝜋 𝑇

· 𝛥𝑡 ; 𝛥𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 (𝑠)

Energía de una onda: 1

1

1

E𝑚 = 2 𝑘𝐴2 = 2 𝑚 · 𝜔2 · 𝐴2 = 2 𝑚 · 𝐴2 · 4𝜋 2 · 𝑓 2 ;

E𝑚 = 2𝜋 2 · 𝑚 · 𝐴2 · 𝑓 2

Potencia de una onda: P=

E t

; P=

2π2 ·m·A2 ·f2 t

: Se mide en vatios: W

Intensidad de una onda: energía por unidad de tiempo que atraviesa la unidad de superficie. Se mide en 𝑊 ⁄ 𝑚2.

𝐼=

𝐸 𝑡·𝑆

=

𝑃·𝑡 𝑡·𝑆

;

𝐼=

𝑃 𝑆

Interferencias: sean y1 e y2 dos ondas que van a interferir: { 𝑡

La interferencia y1+y2 queda como: y1 + y2 = A · cos [2π (𝑇 − 𝑎

t

x

t

x

𝑡

𝑥2

y1 = A · cos [2π (T − λ1 )] y2 = A · cos [2π (T − λ2 )]

𝑥1 λ

)] + A · cos [2π (𝑇 −

λ

)]

𝑏

2πt 2πx 2πt 2πx a+b a−b ⏞ ⏞ y1 + y2 = A · [cos ( T − λ 1 ) + cos ( T − λ 2 )] ; ∗ cos(a) + cos(b) = 2 · cos ( 2 ) · cos ( 2 )

2πt 2πx1 2πt 2πx2 2πt 2πx1 2πt 2πx2 − + T − − − T + T λ λ λ λ )] y1 + y2 = A · [2 · cos ( ) · cos ( T 2 2 4πt 2π 2π (x1 + x2 ) (x2 − x1 ) − T λ y1 + y2 = A · [2 · cos ( ) · cos ( λ )] = 2 2 π 𝑡 (x1 + x2 ) π y1 + y2 = 2A · cos ( (x2 − x1 )) · cos 2π ( − ) ; Ar = 2A · cos ( (x2 − x1 )) λ 𝑇 2λ λ

 Interferencia totalmente constructiva: la amplitud resultante será máxima. Ar = 2A π

π

cos ( λ (x2 − x1 )) = ±1 → λ (x2 − x1 ) = 𝑛𝜋 → x2 − x1 = 𝑛λ Diferencia de fase: {

2π

Δφ = k · (x2 − x1 ) =

λ

· (x2 − x1 )

π

Δφ

A𝑟 = 2A · cos ( λ (x2 − x1 )) = 2A · cos (

2

)

Δφ

Δφ

2

2

; 𝐴𝑚á𝑥 → cos (

) = ±1 →

= 𝑛𝜋 → Δφ = 2nπ

 Interferencia totalmente destructiva: la amplitud resultante será mínima. Ar = 0 π

π

𝜋

λ

cos ( λ (x2 − x1 )) = 0 → λ (x2 − x1 ) = (2𝑛 + 1) 2 → x2 − x1 = (2𝑛 + 1) 2 Diferencia de fase: 𝐴𝑚í𝑛 → cos (

Δφ

Δφ

2

2

)=0→

𝜋

= (2𝑛 + 1) 2 → Δφ = (2𝑛 + 1)π

Ondas estacionarias: t x y1 = A · cos [2π ( − )] T λ ; y + y = A · cos [2π ( t − x)] + A · cos [2π ( t + x)] { 1 2 t x T λ T λ y2 = A · cos [2π ( + )] T λ 𝑎

𝑏

2πt 2πx 2πt 2πx a+b a−b ⏞ ⏞ y(x, t) = A · [cos ( T − λ ) + cos ( T + λ )] ; ∗ cos(a) + cos(b) = 2 · cos ( 2 ) · cos ( 2 )

2πt 2πx 2πt 2πx 2πt 2πx 2πt 2πx − + + − − T − T λ λ ) · cos ( T λ λ )] y(x, t) = A · [2 · cos ( T 2 2 4πx 4πt − 2πt 2πx T y(x, t) = A · [2 · cos ( ) · cos ( λ )] = A · [2 · cos ( ) · cos (− )] 2 2 T λ

y(x, t) = 2A · cos ( 

Vientre o antinodo: se da cuando la amplitud es máxima. 2πx

Amáx → cos ( 

2πx 2πt 2πx ) · cos ( ) ; Ar = 2A · cos ( ) λ T λ

λ

)=1→

2πx λ

λ

λ

= nπ → x = n 2 → x = 2n 4

Nodo: se da cuando la amplitud es nula. 2πx

Amín → cos (

λ

)=0→

2πx λ

π

λ

= (2n + 1) 2 → x = (2n + 1) 4 λ

λ

Distancia entre dos vientres: dv = 2 ; Distancia entre dos nodos: dn = 2 λ

Distancia entre un vientre y un nodo: dvn = 4

Armónicos: Primer armónico (n = 1) → λ = 2L

Segundo armónico (n = 2) → λ = L

2

Tercer armónico (n = 3) → λ = 3 L

L

Cuarto armónico (n = 4) → λ = 2 Número de nodos: n + 1 Número de vientres: n Refracción de una onda:

sen î sen r̂

=

V1 V2

SONIDO. Velocidad de propagación de las ondas sonoras: 

γ·P0

Gases: V = √ Vaire = 343

m s

ρ0

γ: coeficiente adiabático del gas P0 : Presión atmosférica ρ0 : densidad del aire

; γaire = 1,4 J



Sólidos: V = √ρ



Líquidos: V = √ρ

β

J: módulo de Joung N/𝑚2 ρ: densidad Kg/𝑚3 β: módulo volumétrico N/𝑚2 ρ: densidad Kg/𝑚3

Intensidad de una onda sonora:  Ondas esféricas: 𝐼 =

𝐼=

𝑃 𝑆

𝐸 𝑡·4𝜋·𝑅 2

 Relación entre dos ondas esféricas:

𝐼1 𝐼2

=

𝑅2 2 𝑅1

2

; 𝐼 ≃ 𝐴2 →

𝐴1 𝐴2

=

𝑅2 𝑅1

Nivel de intensidad sonora o sonoridad (β): se mide en decibelios (dB). β = 10 · log

I I: intensidad sonido determinado 0 dB: umbral de audición β{ −12 2 120 dB: umbral de dolor I0 I0 : intensidad umbral: 10 (W/m )

Efecto Doppler 

Receptor en movimiento y foco en reposo: λ no varía. Cuando el observador se acerca recibe las ondas con mayor frecuencia y viceversa. V ′ : velocidad que capta el receptor frecuencia que V′ V±V V ′ = V ± VR V: velocidad del sonido ; fR = λ = λ R ; fR : percibe el receptor VR : velocidad del receptor V (+): El observador se aproxima V±V fR = f · ( V R ) ; R VR (−): El observador se aleja



Receptor en reposo y foco en movimiento: cuando el foco se acerca el observador percibe una frecuencia mayor y una λ menor y viceversa.

λR = λ − dF

λ: longitud de onda del frente de ondas. V±V dF : distancia recorrida por el foco. ; λR = f F λR : longitud de onda percibida por el receptor.

fR = f · (



V Velocidad VF (+): El foco se aleja del observador ) ; VF : ; del foco VF (−): El foco se acerca al observador V ± VF

Receptor y foco en movimiento: V ± VR fR = f · ( ) V ± VF

Si se aproximan: Si se alejan:

VF (−) ; f : aumenta VR (+) R VF (−) ; f : disminuye VR (+) R