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MOVIMIENTO DE RODADURA EN UN PLANO INCLINADO

a. Movimiento de rodar sin deslizar b. Movimiento de rodar deslizando c. Velocidad final del centro de masa del cuerpo en función de la altura h Estudiamos en esta página el movimiento de un cuerpo (cilindro, aro o esfera) a lo largo de un plano inclinado. Este ejemplo, nos permite mostrar en otro contexto el papel que juega la fuerza de rozamiento. Las principales dificultades asociadas al papel de la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar se refieren a: 1. Es necesaria la existencia de una fuerza de rozamiento para que el cuerpo ruede sin deslizar, pero dicha fuerza no realiza un trabajo neto, por lo que la energía mecánica se conserva. 2. En el caso en el que exista un movimiento de rodar con deslizamiento, la naturaleza de la fuerza de rozamiento cambia de estática a cinética y realiza un trabajo que se transforma en una disminución de la energía final del cuerpo a. MOVIMIENTO DE RODAR SIN DESLIZAR Ecuaciones de la dinámica Examinaremos el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:   

El peso La reacción del plano inclinado La fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la rueda y el plano.

Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:  Movimiento de traslación del c.m.

 Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

 Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar)

Si conocemos el ángulo de inclinación  y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, calculamos ac y el valor de la fuerza de rozamiento Fr. CUERPO

MOMENTO DE INERCIA

ESFERA ARO CILINDRO

Expresamos el momento de inercia Ic=k·mR2 donde k es un factor geométrico 2/5 para la esfera, 1/2 para el cilindro y 1 para el aro

Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, empleamos las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La velocidad final vc del c.m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es

Siendo h la altura de partida del cuerpo referida a la posición final, h=x·sen Balance de energía 

Energía cinética en el movimiento de rodar

La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética de rotación alrededor del c.m.



Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo

El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación

 El trabajo en el movimiento de traslación  El trabajo en el movimiento de rotación  El trabajo neto

Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la

que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética (de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.)

La velocidad final vc del c.m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es la misma que hemos calculado a partir de la dinámica.

El cuadrado de la velocidad del c.m. vc es proporcional a la altura inicial h. b. MOVIMIENTO DE RODAR CON DESLIZAMIENTO Cuando un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento Fr es desconocida y se calcula resolviendo las ecuaciones del movimiento, tal como hemos visto en el apartado movimiento de rodar sin deslizar

Para que haya movimiento de rodar sin deslizar se tiene que cumplir que Fr µs·N Donde µs es el coeficiente de rozamiento estático que depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, la rueda y el carril, y N la reacción del plano inclinado N=mg·cos El cuerpo rueda por el plano inclinado sin deslizar hasta un determinado ángulo límite, aquél en el que se cumple que

Ecuaciones de dinámica: Si no se cumple esta condición el cuerpo rueda y desliza, la fuerza de rozamiento toma el valor f=µk·N. Donde µk es el coeficiente de rozamiento dinámico. Las ecuaciones de movimiento del centro de masa del cuerpo son ahora: 

Movimiento de traslación del c.m.



Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Despejamos ac y 

Se deja de cumplir la condición de rodar sin deslizar ac= R La velocidad final vc del c.m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado después de haber recorrido una distancia x, o haber descendido una altura h

La velocidad angular  del cuerpo después de haber girado un ángulo  es

Balance energético: La energía inicial del cuerpo es la energía potencial mgh La energía final del cuerpo es la suma de la energía cinética de traslación del c.m., más la energía cinética de rotación alrededor del c.m.

Trabajo Wr de la fuerza de rozamiento f=µk·mg·cos 

En el movimiento de traslación



En el movimiento de rotación

El trabajo total es:

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía del cuerpo, y es igual a la diferencia entre la energía final e inicial del cuerpo, Wr = Ef - Ei

Se anula el trabajo de la fuerza de rozamiento correspondiente al movimiento de rotación f·R· con la energía cinética de rotación. Obtenemos la misma expresión para la velocidad del c.m. vc que la deducida a partir de las ecuaciones de la dinámica.

c. VELOCIDAD FINAL DEL c.m. DEL CUERPO EN FUNCIÓN DE LA ALTURA “h” 

Si el ángulo del plano inclinado θ≤θc el cuerpo rueda sin deslizar. La velocidad final vc que alcanza el cuerpo en función de su altura inicial h es



El cuadrado de la velocidad del c.m. es proporcional a la altura h Si el ángulo del plano inclinado θ>θc el cuerpo rueda y desliza

Siendo x la distancia fija que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado El ángulo crítico se calcula mediante la ecuación:

Ejemplo: 

El cuerpo es un cilindro k=0.5



El coeficiente μ= μs= μk=0.15



Distancia que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado x=1 m

El ángulo crítico θc =24.2° En la figura, se representa en el eje horizontal las alturas h de partida del cuerpo h=x·senθ. En el eje vertical, los cuadrados de la velocidad del c.m. del cuerpo.  La recta de color rojo, muestra el comportamiento del cilindro cuando rueda sin deslizar, el ángulo del plano inclinado θ≤θc  La curva de color azul, muestra el comportamiento del cilindro cuando rueda y desliza, el ángulo del plano inclinado θ>θc