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• Cesar Pereyra

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

DEDICATORIA

A la Universidad Alas Peruanas por abrirnos sus puertas para alcanzar nuestro objetivo el de ser un buen profesional en la rama de Ingeniería Civil.

A nuestro profesor el Ing. Jose Luis Chuquillanqui Suarez por impartir sus enseñanzas y compartir sus conocimientos en este largo camino que tenemos por recorrer.

A Dios y nuestras familias por el apoyo y la fortaleza que nos brindan diariamente a cumplir este sueño el de realizarnos profesionalmente.

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

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INDICE

I.

INTRODUCCION………………………………………………………..….4

II.

MOTIVACION……………………………………………………………....5

III.

OBJETIVOS……………………………………………………………..…...5

IV.

METODOLOGIA……………………………………………………..……..5

V.

MARCO TEORICO…………………………………………………..……..6 1. Introduccion al comportamiento de las estructuras……………..…….6 1.1.

Generalidades………………………………………………….. …….6

1.2.

Concepto estructural…………………………………………. ……..6

1.3.

Comportamiento especial……………………………………….. …..7

2. Modelos de comportamiento estructural………………………….……7 2.1. Hipotesis……………………………………………………………...7 2.2.

Modelos de piezas………………………………………………….. …8

2.3.

Modelos de uniones………………………………………………... …8

3. Imperfecciones a considerar en el analisis………………………………8 3.1.

Imperfecciones en el analisis global de la estructura……………….9 3.1.1. Imperfecciones de los elementos para el analisis global…………………………………………………………12 3.1.2. Sistema de fuerzas equivalentes a las imperfecciones……………………………………………….13

3.2.

Imperfecciones en el analisis de sistemas de arriostramiento………………………………………………………15 3.2.1. Sistema de fuerzas equivalentes sobre los arriostramientos……………………………………………..15

4. Estabilidad lateral de las estructuras………………………….……….18 4.1.

Efectos de la geometria deformada de la estructura…………………………………………………………….18 4.1.1. Clasificacion de estructuras intraslacionales y traslacionales…………………………………………………18 4.1.2. Clasificacion de estructuras arriostradas y no 2

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arriostradas…………………………………………………..21 5. Metodos de analisis de la estabilidad global…………………………...23 5.1.

Principios basicos……………………………………………………23

5.2.

Analisis global elastico………………………………………………23

5.3.

Analisis global plastico………………………………………………25

5.4.

Consideraciones sobre la eleccion del tipo de analisis…………….27

6. Analisis no lineal de estructuras………………………………………..28 7. Analisis estatico no lineal……………………………………………….31 7.1.

Cuando utilizer el analisis no lineal………………………………..32

7.2.

Tipos de no linealidades…………………………………………….33 7.2.1. No linealidades estructurales……………………………….33 7.2.2. No linealidades geometricas………………………………..34 7.2.3. No linealidades del material………………………………...35 7.2.4. No linealidades de contacto…………………………………36

7.3.

Procedimiento de solucion para problemas no lineales………….37

7.4.

Concepto de curva de tiempo………………………………………38

7.5.

No linealidades estructurales……………………………………… 38

7.6.

Diferencia entre analisis lineal y analisis no lineal………………..40

VI.

CONCLUSIONES……………………………………………………..……41

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I.

INTRODUCCIÓN

Un análisis no lineal es aquel que considera el comportamiento tensodeformacional de los materiales y la no linealidad geométrica, descartando de manera directa el principio de superposición. En las estructuras de hormigón, el comportamiento elástico-lineal difiere en gran medida del observado experimentalmente, especialmente cuando éstas se encuentran bajo niveles elevados de carga. Esto se debe a los fenómenos intrínsecos de los materiales que componen a estas estructuras (e.g. fisuración del hormigón, plastificación del acero, etc.), su interacción y su proceso constructivo. Este tipo de análisis requiere del conocimiento previo completo de la estructura (e.g. cuantía de armaduras, geometría, etc.), por lo que se suele utilizar para efectuar comprobaciones posteriores al dimensionamiento. Actualmente existen varias propuestas para el proyecto de estructuras de hormigón en este régimen, algunas la podemos encontrar en normativas internacionales como es el caso del método elástico con redistribución limitada. Recientemente se ha desarrollado en el Departamento de Ingeniería de la Construcción de la UPC, un método directo de diseño no lineal el cual permite diseñar la estructura para tener un comportamiento no lineal determinado. Debido a la invalidez del principio de superposición, los formatos de seguridad aplicados en los análisis lineales, no pueden ser aplicados de forma directa en los no lineales. Esto ha incentivado el desarrollo de formatos de seguridad para ser aplicados tanto en el análisis, como en el diseño no lineal, promoviendo también el estudio de los parámetros que más afectan la respuesta ultima real de la estructura.

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II.

MOTIVACIÓN

El comportamiento no lineal de una estructura hace que la respuesta final de ésta dependa de la historia de cargas. Es por ello que, en muchos casos, para determinar la carga última es preciso dividir el proceso en escalones de carga, permitiendo viajar por el estado elástico, fisurado y el previo agotamiento de la estructura. Esta respuesta última es función de varios factores, los cuales debido a su relevancia, pueden jugar o no un papel importante. Así pues resulta de vital importancia conocer cuáles son los parámetros más sensibles a la hora de realizar un análisis de fiabilidad estructural. En otro contexto, también es de importancia ver si el análisis o el dimensionamiento no lineal, cumple con los índices de fiabilidad establecidos en las normativas. Esto se podría evaluar con herramientas que permitan establecer si una determinada estructura, es segura o no cuando se comporta de forma no lineal. III.

OBJETIVOS

Los objetivos específicos que sirven de base a esta tesina se detallan a continuación: 1. Desarrollar una herramienta para el análisis de la fiabilidad de estructuras en régimen no lineal, la cual tenga la capacidad de adaptarse a cualquier modelo de análisis comercial que permita trabajar por línea de comandos. 2. Estudiar la sensibilidad en la respuesta última de las estructuras de hormigón que trabajan de forma no lineal, identificando las variables más relevantes para la respuesta. 3. Evaluar la fiabilidad de varios casos de estudio, verificando si el nivel de seguridad en régimen no lineal, cumple o no los requisitos establecidos por las normativas. IV.

METODOLOGÍA

Para alcanzar los objetivos planteados se realizará, en primer lugar un estudio del estado del arte de los diferentes métodos de estudios de fiabilidad. En particular se estudiará el método simplificado FORM y los algoritmos para su implementación. El desarrollo de la herramienta requiere la implementación de estudios de sensibilidad de forma sistemática, ello se llevará a cabo de forma numérica mediante múltiples evaluaciones del estado límite de la estructura en régimen no lineal. La herramienta a desarrollar permitirá acoplar modelos de análisis estructurales de forma general; en particular en esta monografia se trabajará mediante el modelo CONS, desarrollado en el Departamento de Ingeniería de la Construcción de la UPC.

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V.

MARCO TEORICO

1. INTRODUCCIÓN AL COMPORTAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS 1.1.

Generalidades

La finalidad del análisis global de pórticos es obtener la distribución de los esfuerzos y los correspondientes desplazamientos de la estructura sometida a una carga dada. Para conseguir este propósito es necesario adoptar modelos adecuados, basados en varias suposiciones que incluyen tanto el comportamiento geométrico de la estructura y sus elementos como el comportamiento de las secciones y las uniones. Una vez calculados los esfuerzos y los desplazamientos, es necesario realizar varias comprobaciones en la estructura y en sus componentes (elementos y uniones). Estas comprobaciones dependen del tipo de análisis realizado y del tipo de verificación de las secciones (es decir, el criterio de estado límite último) adoptado. En general la comprobación ante cada EL se realiza en dos fases: determinación de los efectos de las acciones (esfuerzos y desplazamientos de la estructura) y comparación con los correspondientes estados límites. Son admisibles los siguientes procedimientos: 1) Los basados en métodos incrementales que, en régimen no lineal, adecuen las características elásticas de secciones y piezas al nivel de esfuerzos actuantes. 2) Los que se basan en métodos de cálculo en capacidad. Por ejemplo para el dimensionado de las uniones se puede partir no de los esfuerzos del análisis global sino de los máximos esfuerzos que les transmitan las piezas a conectar. 1.2.

Concepto estructural

La forma de la estructura debe basarse en las funciones que vaya a desempeñar. Se precisa clasificar los elementos estructurales en categorías: 1. Elementos principales: incluyendo los pórticos principales, sus uniones y sus cimentaciones, que constituyen la vía para transmitir las cargas horizontales y verticales que actúan sobre el edificio al terreno. 2. Elementos secundarios: como vigas secundarias o correas, que transmiten las cargas a los elementos principales. 3. Otros elementos: elementos que sólo transmiten cargas a los elementos principales o secundarios. Por ejemplo, cierres, cubiertas, tabiques divisorios, etc. En los casos donde las tres categorías de elementos estén sujetas a diferentes requisitos de seguridad, deberán modelizarse de forma separada si fuera necesario.

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1.3.

Comportamiento espacial

Una alternativa al análisis de la estructura principal como un pórtico tridimensional puede ser el análisis como dos series de pórticos planos independientes trabajando en dos direcciones horizontales perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura, siempre que cada pórtico plano tenga suficiente arriostramiento en dirección transversal al propio plano para asegurar su estabilidad lateral.

Plano B Plano A

Plano A

Plano Plano BA

2. MODELOS DE COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL 2.1.

Hipótesis

El análisis se lleva a cabo de acuerdo con hipótesis simplificadoras mediante modelos, congruentes entre sí, adecuados al estado límite a comprobar y de diferente nivel de detalle, que permitan obtener esfuerzos y desplazamientos en las piezas de la estructura y en sus uniones entre sí y con los cimientos. Se tendrá en cuenta que: 1. Los elementos y uniones deben ser modelizados para el análisis global de forma que reproduzcan propiamente el comportamiento previsto bajo la carga pertinente. 2. La geometría básica del pórtico debe ser representada por los ejes de las piezas. 3. En general es suficiente representar las piezas mediante elementos lineales situados en sus ejes, sin tener en cuenta el solapamiento debido al ancho real de las piezas. 4. Alternativamente, se puede considerar en los nudos el ancho de todas o algunas piezas que confluyan. En las comprobaciones frente a ELS se utilizarán normalmente modelos elásticos y lineales. Para los ELU se podrán emplear modelos elásticos o cualquier procedimiento que dé como resultado un conjunto de esfuerzos en equilibrio con las acciones consideradas para la clase de sección transversal que se disponga en las piezas. En todos los casos es necesario considerar el efecto de las posibles no linealidades de tipo geométrico o de otro tipo. 7

2.2.

Modelos de piezas

1.

La piezas de acero se representarán mediante modelos uni o bidimensionales de acuerdo a sus dimensiones relativas. Si la relación entre las dos dimensiones fundamentales de la pieza es ≤ 2, deberán usarse modelos bidimensionales.

2.

Las luces de cálculo de las piezas unidimensionales serán las distancias entre ejes de enlace. En piezas formando parte de entramados o pórticos estos ejes coinciden con las intersecciones de la directriz de la pieza con las de las adyacentes. En piezas embutidas en apoyos rígidos de dimensión importante en relación con su canto, puede situarse idealmente el eje en el interior del apoyo a medio canto de distancia respecto del borde libre.

3.

En el análisis global de la estructura las piezas se representarán considerando sus secciones brutas, salvo en secciones de clase 4.

4.

La rigidez en torsión de las piezas puede ser ignorada en el análisis en los casos en que no resulte imprescindible para el equilibrio.

2.3.

Modelos de uniones

1.

Los modelos de enlace entre dos o más piezas deben representar adecuadamente la geometría, la resistencia y la rigidez de la unión.

2.

Según su resistencia, las uniones pueden ser articulaciones, de resistencia total o de resistencia parcial.

3.

Según su rigidez, las uniones pueden ser articuladas, rígidas o semirrígidas, según que su rigidez a la rotación sea nula, total o intermedia.

4.

Los métodos de análisis global utilizados y las hipótesis adoptadas respecto al comportamiento de las uniones deben ser coherentes. De modo que cuando se lleve a cabo un análisis global elástico se considerará el comportamiento de la unión solo en función de su rigidez. Si se realiza un análisis global elastoplástico se deberá considerar el comportamiento de la unión según su resistencia y rigidez y en caso de llevar a cabo un análisis global rígido-plástico, para modelar el comportamiento de las uniones bastará considerar su resistencia.

5.

Las uniones semirrígidas entre cada dos barras se podrán modelar como un resorte que une los ejes de las barras que concurren en el nudo.

3. IMPERFECCIONES A CONSIDERAR EN EL ANÁLISIS Cuando la rigidez de la estructura frente a las acciones horizontales no esté garantizada será necesario llevar a cabo un análisis en 2º orden que tenga en cuenta su deformación y la influencia de ésta en los esfuerzos, en lugar del simple análisis en primer orden que considera la estructura en su posición inicial (sin influencia de las deformaciones). Además el análisis de 2º orden de las estructuras reales debe considerar los efectos de las tensiones residuales sobre la respuesta no lineal de los materiales, las inevitables imperfecciones geométricas, las excentricidades y los defectos de fabricación y montaje 8

En general, estos efectos se incorporan en los análisis estructurales adoptando unas imperfecciones geométricas equivalentes. Concretamente se deben considerar: 3.1.

Imperfecciones globales de la estructura en el análisis global de estructuras.

3.2.

Imperfecciones en el análisis de los sistemas de arriostramiento.

3.3.

Imperfecciones en el análisis local de los elementos aislados.

Estas imperfecciones serán incluidas en los análisis estructurales para el control de los ELU, no afectando, en cambio, a los controles de los ELS. El uso de imperfecciones geométricas equivalentes permite, en la mayoría de los casos, resolver con suficiente aproximación el problema de la inestabilidad global de estructuras y/o elementos, sin recurrir al método general de análisis no lineal en teoría de 2º orden. Si se considera más conveniente, las imperfecciones geométricas equivalentes pueden sustituirse por fuerzas equivalentes, transversales a la directriz de los elementos comprimidos. 3.1.

Imperfecciones en el análisis global de la estructura

La geometría del modelo de cálculo deberá ser el resultado de incorporar a la geometría teórica de la estructura, las imperfecciones geométricas equivalentes, establecidas de forma que produzcan los efectos más desfavorables. En general, es necesario estudiar la posibilidad de pandeo global de la estructura en su plano y fuera de él, aunque de forma no simultánea. Además En aquellas estructuras de baja rigidez global torsional será, asimismo, necesario controlar la posibilidad de un pandeo generalizado por torsión, antimétrico, como consecuencia de aplicar las imperfecciones en sentido contrario sobre dos caras opuestas de la estructura.

Posibles formas de inestabilidad, por translación o torsión, de una estructura

9

Para obtener las imperfecciones laterales globales equivalentes de una estructura porticada se considera un desplome lineal en altura dado por:

⎧ ⎪ 0 1 ⎪ 200 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪      0 h m ⎨ h   co 3 ⎪ n ⎪ h h ⎪ ⎪  0,5 ⎜ ⎟ ⎪ m ⎝m ⎩ ⎛1 siendo:

 1,0

 1⎠

0 Valor de base de la imperfección lateral: 0 = 1/200

⎞

h Coeficiente reductor para la altura ‘h’ (en metros) de la estructura m Coeficiente reductor para el número de alineaciones, ‘m’, de pilares comprimidos En ‘m’ sólo se contabilizan los elementos solicitados por una compresión, NEd, ≥50% de la media por elemento, en el plano de pandeo e hipótesis de carga considerados.

En estructuras porticadas de edificación, la imperfección lateral global  podrá omitirse, para una cierta hipótesis de carga y modo de pandeo, si se verifica H Ed V

 0,15 ,

Ed

siendo: HEd Suma

de las acciones horizontales solicitantes, incluyendo las fuerzas

horizontales equivalentes de las imperfecciones geométricas globales. VEd

Resultante de las acciones verticales totales, en la base del edificio. 10

11

Planteamiento del CT-DB-SE-A Para estructuras porticadas es suficiente a efectos de estabilidad tomar un desplome lineal en altura, de valor L/200, en cada dirección analizada, si en esa dirección hay sólo dos soportes y una altura, y un desplome de L/400 si hay al menos cuatro soportes y tres alturas. Para situaciones intermedias puede tomarse el valor L/300, siendo L la altura total del edificio si es constante, y la altura media si es ligeramente variable. 3.1.1. Imperfecciones de los elementos para el análisis global En el análisis de la inestabilidad global de las estructuras traslacionales, deberá ser considerada, además de la imperfección global de la estructura asociada al desplome, la influencia de las imperfecciones a nivel local de las barras cuando éstas sean esbeltas y se cumplan las dos condiciones siguientes: 3.1.1.1. Que al menos uno de los dos nudos extremos del elemento no se pueda considerar como articulado. 3.1.1.2. Que su esbeltez adimensional, en el plano de pandeo considerado, calculada como barra biarticulada en sus extremos, sea tal que:

A fy NE

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  0,5 

⎧ Esbeltez adi mensional del elemento en el plano ⎪ siendo ⎨ ⎪ Valor de cálculo de la compresión del ⎩ N Ed elemento

Esta condición equivale a que el axil de cálculo del elemento, NEd, para la hipótesis de carga analizada sea superior al 25% de su carga crítica de Euler, Ncr. En dichos casos puede adoptarse una curvatura inicial equivalente en los elementos comprimidos afectados, con forma parabólica de segundo grado y una flecha máxima e0, tal que:

13

Planteamiento del CT-DB-SE-A Cuando algún pilar presente un coeficiente de reducción por pandeo, χ menor de 0,85 el modelo de pórtico deberá incluir las imperfecciones locales de dichos pilares además de las globales. Las imperfecciones locales serán de forma senoidal y amplitud e 0 relativa a la longitud indicada en la tabla 5.8 del CT. En estos casos el pandeo de los pilares para el plano considerado queda ya representado en el modelo global.

3.1.2. Sistema de fuerzas equivalentes a las imperfecciones Los efectos de las imperfecciones laterales globales y de las curvaturas iniciales en los elementos comprimidos pueden asimilarse a unos sistemas de fuerzas transversales autoequilibradas equivalentes, proporcionales a las cargas verticales aplicadas en la hipótesis de carga correspondiente, y estimadas como sigue para cada elemento: * Para el caso de defectos iniciales de desplome de elementos comprimidos: Htd =  NEd * Para curvaturas iniciales en piezas comprimidas cuando haya que considerarlas

qtd 

8  NEd  e0.d ; L2

Imperfecciones iniciales globales

Htd  4  NEd  e0.d L

Curvaturas iniciales de la pieza

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Ejemplos: 1. Pórtico de edificación de una altura Las dos fuerzas transversales equivalentes por defectos de verticalidad ( V1Ed/2) se aplican a la altura del dintel y son proporcionales a la carga vertical V1Ed sobre el dintel.

2. Pórtico de edificación de varias plantas Las dos fuerzas transversales equivalentes ( ViEd/2) se aplican en los nudos de cada nivel de forjado de piso y de cubierta, resultando proporcionales al valor de las cargas verticales ViEd aplicadas sobre la estructura en dicho nivel.

3. Fuerzas equivalentes a las curvaturas iniciales en pórtico de una planta Cuando haya que considerarlas, se aplicarán de acuerdo con la deformada principal de pandeo correspondiente a la hipótesis de carga analizada.

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4. Fuerzas equivalentes a las curvaturas iniciales en porticos de varias plantas Cuando haya que considerarlas, se aplicarán para cada elemento de acuerdo con la deformada principal de pandeo en cada piso correspondiente a la hipótesis de carga analizada. Téngase en cuenta la deformada en sintonía para los pisos adyacentes.

3.2.

Imperfecciones en el análisis de sistemas de arriostramiento

Los efectos de las imperfecciones también deben incorporarse en el análisis de los sistemas de arriostramiento que se utilizan para asegurar la estabilidad lateral de las piezas sometidas a flexión o compresión. Se asumirá que la pieza a estabilizar presenta una curvatura inicial equivalente e0 e0  m  L 500

siendo L

Luz del sistema de arriostramiento.

m Coeficiente reductor del número de elementos a considerar. Puede estimarse según: m 

0,5  ⎜⎟ ⎛1⎝ m 1⎞ ⎠

en donde m es el número de piezas a arriostrar.

3.2.1. Sistema de fuerzas equivalentes sobre los arriostramientos Los efectos de las imperfecciones presentes en las piezas a estabilizar, pueden sustituirse por un sistema de fuerzas equivalentes de estabilización de valor: q   NEd

8

e0  q L2 16

siendo

q Flecha del sistema de arriostramiento obtenida tras un proceso iterativo a partir de un cálculo elástico en primer orden bajo la acción de las fuerzas q y de las eventuales acciones exteriores que solicitan al arriostramiento.

Ed Valor máximo del esfuerzo normal que solicita cada pieza a estabilizar, supuesto uniforme sobre la longitud L del sistema de arriostramiento. En el caso de esfuerzos no uniformes, esta hipótesis queda del lado de la seguridad.

Imperfecciones sobre el sistema de arriostramiento

Fuerzas equivalentes incluyendo acciones exteriores En el análisis de la estabilidad lateral de los cordones comprimidos de piezas sometidas a flexión, la fuerza axil a considerar en las expresiones anteriores será:

NEd 

MEd h

siendo MEd el momento de cálculo actuando sobre la viga y h el canto de la viga. En piezas de sección constante, MEd será el momento en la sección más solicitada. En piezas de sección variable se adoptará el NEd correspondiente a la sección en la que el cociente MEd/h sea máximo. 17

Planteamiento del CT-DB-SE-A En los cálculos relativos a los elementos de arriostramiento de estructuras porticadas, se deberá tener en cuenta la inclinación inicial  para todos los pilares que deban ser estabilizados por dichos elementos. Cuando la estabilidad se asegure por medio de vigas o triangulaciones que enlazan las piezas comprimidas con determinados puntos fijos, las fuerzas laterales que se deberán tener en cuenta en los cálculos se obtienen a partir de flecha inicial w0 en las piezas a estabilizar. Además, también se tendrán en cuenta las imperfecciones de los propios arriostramientos. La flecha inicial w0 se obtiene de: w0 

L  500 k

r

 60mm

nr: número de elementos a estabilizar kr 

0,2  1

 1 nr Las fuerzas laterales debidas a NEd y w0 pueden incrementarse de manera sustancial por

las imprecisiones de ejecución y la deformación w del sistema de arriostramiento.

Cada elemento de arriostramiento de un cordón comprimido o pieza comprimida, deberá dimensionarse para que sea capaz de resistir una fuerza lateral equivalente al 1,5% de la máxima compresión que solicite a la pieza o cordón a estabilizar.

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4. ESTABILIDAD LATERAL DE LAS ESTRUCTURAS 4.1.

Efectos de la geometría deformada de la estructura

Los esfuerzos en los elementos de una estructura se pueden obtener mediante un análisis en primer orden, lo que implica utilizar la geometría inicial de la estructura (no deformada) o bien un análisis en segundo orden teniendo en cuenta la deformación de la estructura y su influencia en los esfuerzos cuando sea significativa. La magnitud de la influencia de los efectos de segundo orden en la respuesta estructural depende básicamente de su rigidez lateral. Por ello el edificio debe disponer de los elementos necesarios para materializar una trayectoria clara de las fuerzas horizontales, de cualquier dirección en planta, hasta la cimentación. El control de la estabilidad lateral de una estructura suele, en general, garantizarse por medio de: 1. La propia rigidez de los sistemas estructurales de nudos rígidos 2. Sistemas de arriostramiento lateral triangulados 3. Sistemas de arriostramiento lateral mediante pantallas o núcleos rígidos 4. Por combinación de algunos de los esquemas estructurales precedentes siempre y cuando se den las condiciones: 1. Sean bien proyectados considerando su trabajo en conjunto, mediante una adecuada interacción con la estructura principal y su conexión a la cimentación. 2. Se asegure la permanencia durante el periodo de servicio del edificio 3. Se considere los posibles esfuerzos que el sistema de arriostramiento puede generar sobre la estructura al coaccionar su libre deformación. 4. Se asegure la resistencia de los medios de conexión a la estructura. Los elementos del esquema resistente de arriostramiento se diseñaran con la resistencia adecuada a los esfuerzos, y con la rigidez suficiente para satisfacer los estados límites de servicio establecidos y garantizar cuando sea necesario la intraslacionalidad. 4.1.1. Clasificación de estructuras intraslacionales y traslacionales Una estructura puede clasificarse como intraslacional cuando su rigidez lateral es suficiente para que la influencia de los efectos de segundo orden sea despreciable en su respuesta estructural. De este modo el análisis global puede llevarse a cabo según la teoría de primer orden. Una estructura se considera intraslacional si se cumple:

cr  F cr FE d

 10

Análisis elástico;

F

cr  cr  FE d

15

Análisis plástico 19

siendo: Fcr Carga vertical total crítica elástica, de pandeo global basada en la rigidez inicial. FEd Carga vertical total de cálculo que actúa sobre la estructura αcr Factor de amplificación a multiplicar la configuración de cargas de cálculo para provocar la inestabilidad elástica en el modo de pandeo global considerado. *Simplificación para estructuras porticadas En el caso particular de pórticos de una altura con dinteles planos, o de poca pendiente, así como el caso de estructuras aporticadas planas de edificación, con nudos rígidos, el criterio de intraslacionalidad anterior puede suponerse satisfecho si se verifica en cada planta. El factor de amplificación αcr se obtiene para cada planta a partir de: ⎛ HEd ⎞ ⎛ h ⎞ cr  ⎜ ⎟ ⎜⎜⎟  ⎟ ⎝ VEd ⎠ ⎝ H , Ed ⎠ siendo: HEd Fuerza horizontal total, estimada en el nivel inferior de cada planta, resultante de cargas horizontales por encima de ese nivel, incluyendo efectos de imperfecciones. VEd Fuerza vertical total, estimada en el nivel inferior de cada planta, resultante de cargas verticales por encima de ese nivel. h

Altura de la planta considerada.

H,Ed Desplazamiento horizontal relativo entre el nivel superior e inferior de la planta, bajo la acción de las cargas y de las acciones equivalentes de las imperfecciones.

La aplicación del criterio simplificado supone que: 1. La estructura tiene vigas conectando todos los pilares en cada planta. 2. En pórticos con dinteles inclinados, la pendiente no supera a 1:2 (26º). 3. El esfuerzo de compresión en dinteles, sea pequeño, tal que:

  0,3

A fy NE

esta condición equivale a que se cumpla Ncr

>11,11·NEd

d

20

4. El control de la intraslacionalidad se llevará a cabo para todas las hipótesis.

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4.1.2.

Clasificación de estructuras arriostradas y no arriostradas Una estructura puede clasificarse como arriostrada cuando su rigidez lateral está garantizada a través de un sistema de arriostramiento que permita despreciar la influencia de los efectos de segundo orden en su respuesta estructural y por tanto su análisis global puede llevarse a cabo según la teoría en primer orden. Cuando un sistema de arriostramiento rigidiza varias estructuras, o subestructuras, la aplicación de los criterios de intraslacionalidad deberá hacerse de modo simultáneo para el arriostramiento vinculado a todas las estructuras arriostradas por él. El sistema de arriostramiento deberá dimensionarse para hacer frente a: 1. Los efectos de las imperfecciones tanto del propio sistema de arriostramiento como de todas las estructuras a las que arriostra. 22

2. Las fuerzas horizontales que soliciten a las estructuras a las que arriostra. 3. Las fuerzas horizontales y verticales que actúan directamente sobre el propio sistema de arriostramiento. Planteamiento del CT-DB-SE-A Se dice que una estructura está arriostrada de manera eficaz en una dirección cuando el esquema resistente frente a las acciones horizontales se base en sistemas triangulados o en pantallas o núcleos de hormigón que aportan al menos el 80% de la rigidez frente a los desplazamientos horizontales en dicha dirección. En este caso es admisible suponer que todas las acciones horizontales son resistidas exclusivamente por el sistema de arriostramiento y, además, considerar la estructura como intraslacional.

Pórtico arriostrado (puede ser traslacional si es muy flexible)

Pórtico no arriostrado (puede ser intraslacional si es rígido horizontalmente)

No debemos asociar siempre el concepto de arriostramiento con el de intraslacionalidad dado que se puede dar una estructura arriostrada tal que el sistema de arriostramiento no proporcione la rigidez suficiente frente a las cargas horizontales y que sea por tanto traslacional. De modo inverso podríamos encontrarnos un pórtico sin arriostramiento pero con suficiente rigidez horizontal para ser considerado como intraslacional.

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Análisis de traslacionalidad según el CT-DB-SE-A Un modo de evaluar la influencia de los desplazamientos en la distribución de esfuerzos y, por tanto, de caracterizar la condición de traslacionalidad, aplicable a estructuras de pórticos planos, consiste en realizar un primer análisis en régimen elástico lineal y obtener, para cada planta, el coeficiente r (coeficiente inverso de cri)

 V r  HEd  H ,d h Ed siendo HEd Valor de cálculo de las cargas horizontales totales (incluyendo las debidas a imperfecciones) en la planta considerada y en todas las superiores. Este valor coincide con el cortante total en los pilares de la planta VEd Valor de cálculo de las cargas verticales totales en la planta considerada y en todas las superiores. Este valor coincide con el axil total en los pilares de la planta h

Altura de la planta

δH,d Desplazamiento horizontal relativo de la planta (del forjado de techo al de suelo) Si en alguna de las plantas resultase r > 0,1, la estructura debe

considerarse

traslacional y, entonces, el análisis global de la estructura deberá considerar los efectos de los desplazamientos en alguna de las formas siguientes: 1.

Análisis en segundo orden. Para el dimensionado posterior de los pilares se tomarán como longitudes de pandeo las correspondientes al modo intraslacional.

2.

Análisis elástico y lineal pero multiplicando todas las acciones horizontales sobre 1 el edificio por el coeficiente de amplificación: . Opción válida si r < 0,33. 1r Para el dimensionado de los pilares se tomarán como longitudes de pandeo las correspondientes al modo intraslacional. Las reacciones en la cimentación se obtendrán a partir del citado modelo reduciendo las componentes de fuerza horizontal en el valor del coeficiente de amplificación, de modo que resulten equivalentes a la resultante horizontal de las acciones de cálculo no amplificadas.

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5. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD GLOBAL 5.1. Principios básicos En toda estructura con rigidez lateral insuficiente para ser considerada intraslacional o arriostrada, en base a los criterios establecidos previamente, deberá ser verificada su estabilidad lateral global, según métodos que consideren tanto los efectos de segundo orden como las imperfecciones geométricas equivalentes, definidas con anterioridad. En función del tipo de estructura y del método de análisis global a realizar, el modo de considerar los efectos de segundo orden y de las imperfecciones puede abordarse por alguno de los métodos siguientes: 1.

Análisis global en segundo orden considerando imperfecciones iniciales globales y en la geometría de las piezas. En este caso en las comprobaciones de resistencia de las piezas no se considerarán los efectos de pandeo ya incluidos en el modelo.

2.

Análisis global en segundo orden considerando sólo las imperfecciones iniciales globales, seguido de un control de los efectos de la inestabilidad en los elementos comprimidos aislados. En este caso en las comprobaciones de resistencia individual de las piezas se considerarán los efectos de pandeo en la pieza aislada.

Hay que tener presente que la verificación de la estabilidad lateral global de una estructura no exime del control de la misma según eventuales modos de inestabilidad intraslacionales, ya que, en algunos casos, los esfuerzos en ciertos elementos (soportes o dinteles) pueden ser superiores a las solicitaciones según modos de inestabilidad traslacionales. Por ello, cualquier pieza comprimida (soporte o dintel) deberá siempre controlarse ante su posible pandeo local, tanto en el plano de la estructura como en el normal al mismo, considerando adecuadamente las vinculaciones en ambos extremos del elemento, y los posibles efectos no lineales de la traslacionalidad de la estructura. 5.2. Análisis global elástico Los análisis elásticos en segundo orden, bajo la acción de las cargas exteriores y las imperfecciones geométricas equivalentes, son aplicables a cualquier tipo de estructura traslacional. En general son métodos iterativos que incorporan los efectos de 2º orden, a través de la actualización paso a paso de la geometría de la estructura deformada. Los pasos de cálculo del método iterativo pueden resumirse de la forma siguiente: Realizar un análisis elástico de 1º orden del pórtico con las cargas aplicadas (V+H) y las imperfecciones laterales iniciales ( ·V), si son relevantes. Del análisis se obtienen 1)

la fuerza de compresión N

Ed,i

(1)

init

y ángulo de traslación  (1) para cada pieza comprimida. i

25

2)

Obtener las fuerzas opuestas (

(1)

i

·N

(1)

) para cada pieza comprimida, que deben

Ed,i

aplicarse en las direcciones que amplifican los ángulos de desplazamiento lateral. Realizar un nuevo análisis elástico de 1º orden del pórtico, con todas las fuerzas aplicadas (V+H), las imperfecciones laterales iniciales ( ·V) si fuesen relevantes, y 3)

todas las fuerzas traslacionales (

i (1)

·NEd,

(1)

init

) aplicadas en los extremos de cada pieza

i

comprimida. Los resultados que se deben considerar del análisis son: la fuerza de compresión N (2) y ángulo de traslación  (2) para cada pieza comprimida. Ed,i

4)

i

(n)

Volver al paso 2) hasta lograr la convergencia de los desplazamientos 

i

(n-1)

≈

i

Generalmente, son suficientes 3 iteraciones, para alcanzar una convergencia bastante aceptable. Al final del proceso, las fuerzas y los momentos internos, así como los desplazamientos, se pueden considerar como los obtenidos del análisis de 2ºorden.

26

Método del momento traslacional amplificado De modo alternativo puede realizarse un análisis elástico en 1º orden, con las acciones exteriores y las imperfecciones geométricas equivalentes, amplificando los esfuerzos debidos estrictamente a la deformación lateral, por el coeficiente siguiente: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝  cr ⎠

1 En el CT: 1  r . Válida si r < 0,33

siendo: αcr Factor de amplificación a multiplicar la configuración de cargas de cálculo para provocar la inestabilidad elástica en el modo de pandeo global considerado. Este método simplificado sólo resulta aplicable a: 1.

Pórticos de edificación de una sola planta, si se cumple que αcr ≥ 3,0.

2. Pórticos regulares de edificación de varias plantas, si αcr ≥ 3,0 y todas las plantas presentan condiciones similares de: - Distribución de cargas verticales - Distribución de cargas horizontales - Rigideces laterales de pórtico en relación a las acciones horizontales También se puede proceder a amplificar por el mencionado coeficiente las acciones horizontales (p.e. las debidas al viento) y las cargas horizontales equivalentes  VEd debidas a las imperfecciones laterales y obtener los esfuerzos finales ya amplificados. 5.3. Análisis global plástico Los métodos plásticos de análisis son válidos si se cumplen las siguientes condiciones: 1.

El acero cumple los siguientes requerimientos específicos:

-El cociente entre la resistencia a tracción mínima garantizada fu y el límite elático mínimo garantizado fy cumple que fu/fy  1,2 -El alargamiento en rotura en una longitud de

5,6 5

A

no es menor del 15%

0

(siendo A0 el área de la sección transversal inicial) -La deformación última eu en el ensayo de tracción correspondiente a fu es al menos 20 veces la deformación ey correspondiente al límite elástico fy. 2. Se dispondrán arriostramientos laterales en todos los puntos en los que se formen rótulas plásticas. El arriostrado se dispondrá a una distancia del punto de formación de la rótula teórica, no mayor que la mitad del canto del elemento en dichos puntos. 27

3. La estructura poseerá la suficiente capacidad de rotación en los lugares donde se ubican las rótulas plásticas, tanto si se trata de secciones intermedias de las piezas (Clase 1 o Clase 2 si no se requiere gran capacidad de giro) o de las uniones. En definitiva se debe asegurar el cumplimiento de las condiciones de ductilidad. El análisis global plástico puede llevarse a cabo utilizando un análisis rígido-plástico cuando no es preciso considerar los efectos de la geometría deformada, suponiendo que las deformaciones plásticas se concentran en las rótulas plásticas o mediante un análisis elasto-plástico que en ocasiones puede ser idealmente elástico-perfectamente plástico. La figura siguiente resume las diferentes posibilidades de llevar a cabo el análisis global plástico y las comprobaciones relevantes con referencia al Eurocódigo 3 Parte 11. Para más detalle ver lecciones 4 a 8 del proyecto SSEDTA. www.ssedta.com.

Pórtico intraslacional

Pórtico traslacional

Análisis de primer orden (casos particulares). Método Eurocódigo 3

Análisis de primer orden Análisis de segundo orden

Análisis global plastico

Rígido-plástico (casos particulares)

Elásticoperfectamente plástico

Elástico- perfectamente plástico

Rígido-plástico (casos particulares)

Elásticoperfectamente plástico

Mayoración de cargas (equivalente a reducción del multiplicador plástico)

Consideración de los efectos de segundo orden

El valor del multiplicador de la carga de colapso debe ser al menos igual a uno

Estabilidad de las piezas en el plano de pórtico con la longitud de pandeo del modo intraslacional y teniendo en cuenta las rótulas plásticas Capacidad de giro de las secciones y resistencia, si es necesario, y estabilidad local Comprobación del pórtico y de las piezas

Capacidad de giro de las uniones si es necesario Estabilidad de las piezas fuera del plano del pórtico

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5.4. Consideraciones sobre la elección del tipo de análisis Una vez que se ha establecido la configuración del pórtico, se lleva a cabo un diseño preliminar de las características de las piezas y las uniones. Puede hacerse un análisis preliminar para clasificar el pórtico como traslacional o intraslacional. De modo alternativo, se puede suponer una clasificación que será comprobada después. Basándose en esta información, se puede elegir un método apropiado de análisis global para determinar los esfuerzos. El análisis de primer orden es adecuado para la mayoría de los pórticos típicos aunque siempre se puede realizar un análisis de segundo orden, elástico o plástico (con ciertas condiciones de clasificación de las piezas y uniones). Las comprobaciones de diseño a realizar después del análisis dependen de la sofisticación de la herramienta de cálculo utilizada. Por ejemplo, si se utiliza análisis de segundo orden, generalmente no hay necesidad de comprobar la estabilidad del pórtico y las piezas en el propio plano. La elección del análisis global no sólo dependerá de los requisitos de los códigos de diseño, sino también de elecciones particulares, dependiendo de situaciones específicas, software disponible, etc. Se puede encontrar un equilibrio entre el coste destinado al análisis global y el requerido en las restantes comprobaciones de Estados Límite Último. Sofisticacion del análisis Análisis global Comprobaciones ELU Proporción de costes

Simplificacion del análisis global

Balance de coste entre análisis global y comprobaciones en ELU

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6. ANALISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS Un análisis no lineal es aquel que considera el comportamiento tenso-deformacional de los materiales y la no linealidad geométrica, descartando de manera directa el principio de superposición. En las estructuras de hormigón, el comportamiento elástico-lineal difiere en gran medida del observado experimentalmente, especialmente cuando éstas se encuentran bajo niveles elevados de carga. Esto se debe a los fenómenos intrínsecos de los materiales que componen a estas estructuras (e.g. fisuración del hormigón, plastificación del acero, etc.), su interacción y su proceso constructivo. Debido a la invalidez del principio de superposición, los formatos de seguridad aplicados en los análisis lineales, no pueden ser aplicados de forma directa en los no lineales. Esto ha incentivado el desarrollo de formatos de seguridad para ser aplicados tanto en el análisis, como en el diseño no lineal, promoviendo también el estudio de los parámetros que más afectan la respuesta ultima real de la estructura. En esta tesina tiene como objetivo principal desarrollar una herramienta para el análisis de la fiabilidad de estructuras en régimen no lineal, la cual tenga la capacidad de adaptarse a cualquier modelo de análisis comercial que permita trabajar por línea de comandos. Esto se realizará con la combinación de un modelo de análisis que permita tener en cuenta tanto la no linealidad por el material como por la geometría, más un método simplificado de fiabilidad, el cual se centra en encontrar el índice de fiabilidad a través de una aproximación de primer orden de la ecuación de estado limite dada. Otro de los objetivos es estudiar la sensibilidad y seguridad en la respuesta última de las estructuras de hormigón que han sido diseñadas para trabajar en rango no lineal, identificando las variables más relevantes para la respuesta, esto a través del planteamiento de varios casos de estudio . 30

Motivación y Métodos Numéricos El análisis de una estructura consiste en establecer ciertas hipótesis mecánicas y físicas sobre el comportamiento de la misma, obtener y resolver el modelo matemático correspondiente, e interpretar los resultados. Si las hipótesis establecidas son tales que las ecuaciones del modelo matemático son no lineales, el análisis es considerado no lineal. La validez de los resultados de un análisis estructural depende de las aproximaciones de la realidad dadas por las hipótesis debidas y de la precisión de la resolución del modelo matemático correspondiente. Dado este marco, se enumeran a modo de motivación una serie de estructuras o problemas estructurales reales que requieren el uso de modelos no lineales. Posteriormente, se introducen algunos métodos numéricos que permiten, mediante herramientas computacionales, llevar a cabo el análisis no lineal de una estructura. Motivación y enfoque Motivación El análisis no lineal de estructuras forma parte esencial de los conocimientos de los ingenieros estructurales en disciplinas como: Civil (infraestructura), Mecánica, Naval, Aeroespacial, Automotriz, Biomecánica, etc. En algunas aplicaciones en el área Civil, en particular en estructuras de edificación sencillas, los efectos resultantes del comportamiento no lineal de las estructuras están contemplados mediante procedimientos codicados en las normas de diseño estructural (ver por ejemplo ACI 318-14, AISC 360-16, Euro códigos). No obstante, para estructuras que se apartan de las hipótesis asumidas en los procedimientos codicados, las normas mencionadas 31

describen y admiten análisis más renados de los efectos resultantes de la respuesta no lineal de las estructuras. La necesidad de llevar adelante estos análisis se vuelve imprescindible para ciertos tipos de estructuras que trabajan en régimen no lineal bajo cargas de servicio. Algunos ejemplos de estas estructuras son: mástiles atirantados (Sparling, 1995), puentes suspendidos (Larsen et al., 2000), puentes atirantados (Wu et al., 2015; Madrazo-Aguirre et al., 2015), análisis de placas o cáscaras delgadas (Hunt and Wadee, 1998), estructuras reticuladas y a porticadas esbeltas (Morozov et al., 2011), cubiertas con membranas tensas (Bridgens and Birchall, 2012), cubiertas formadas por cables (Feng et al., 2013). Métodos Numéricos para Ecuaciones No Lineales Determinar las configuraciones de equilibrio de una estructura con comportamiento no lineal requiere la capacidad de resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Por ende, los procedimientos de análisis no lineal de estructuras están directamente basados en métodos numéricos de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. En varios casos, las aplicaciones prácticas de resolución de estructuras han sido las precursoras de los que posteriormente serían métodos numéricos aplicados a diversas ramas de la Ingeniería, como el Método de los Elementos Finitos (Zienkiewicz, 1972) (ver (Criseld, 1996; Bathe, 2014) por más detalle). Con el objetivo de evitar la asimilación en simultáneo de procedimientos numéricos y conceptos estructurales, se opta por comenzar presentando de forma aislada los métodos numéricos más importantes para, en capítulos posteriores, aplicarlos en el contexto de problemas estructurales. El estudio y desarrollo de estos métodos numéricos forma parte del área llamada Continuación Numérica, perteneciente a la disciplina Matemática Aplicada (Doedel, 2014). En las siguientes secciones se presentan las tres clases principales de métodos numéricos que son 32

de utilidad para resolver sistemas de ecuaciones no lineales, descritos a continuación: Métodos Incrementales, Métodos Iterativos, Métodos de Longitud de Arco. Actualmente existen diversos programas generales basados en implementaciones de estos métodos. Asimismo, estos programas pueden ser aplicados al estudio de problemas de estabilidad estructural. Si se analiza los desplazamientos se puede hacer las siguientes consideraciones: Caso 1.-Las deformaciones específicas y los desplazamientos son pequeños este es el caso del análisis de estructuras lineales donde los desplazamientos son pequeños y el equilibrio se analiza sin tener en cuenta. Caso2.- Las deformaciones especificas no son pequeñas y los desplazamientos son pequeños este es el caso de análisis de estructuras en régimen inelástico(Calculo plástico) donde en ciertas zonas de la estructura se alcanza deformaciones muy importantes que se traducen en la formación de articulaciones plásticas, a pesar de los cuales los desplazamientos de la estructura se mantienen pequeños y el equilibrio puede seguir siendo analizado sin tenerlos en cuenta esta es, una no linealidad física . Caso 3.- Las deformaciones especificas son pequeñas y los desplazamientos no son pequeños, en este caso de un comportamiento no lineal de estructura debido a la no linealidad geométrica. 7. ANALISIS ESTATICO NO LINEAL. El análisis estático no lineal supone que las relaciones entre las cargas y la respuesta inducida es lineal. Por ejemplo, si duplica la magnitud de las cargas, la respuesta (desplazamientos, deformaciones unitarias, tensiones, fuerzas de reacción, etc.) también se duplica.

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Todas las estructuras reales se comportan de forma no lineal de uno u otro modo en algún nivel de la carga. En algunos casos, el análisis lineal puede ser adecuado. En muchos otros, la solución lineal puede producir resultados erróneos debido a que se violan las suposiciones sobre las que se basa. La no linealidad puede ser provocada por el comportamiento del material, los grandes desplazamientos y las condiciones de contacto. Utilice un estudio no lineal para solucionar un problema lineal. Los resultados pueden ser ligeramente diferentes debido a los procedimientos diferentes. En el análisis estático no lineal, no se consideran los efectos dinámicos como las fuerzas inerciales y de amortiguación. El procesamiento de un estudio no lineal difiere del procesamiento de un estudio estático de la siguiente manera: 7.1. CUANDO UTILIZAR EL ANALISIS NO LINEAL El análisis lineal se basa en las superposiciones estáticas y de linealidad y, por lo tanto, es válido siempre y cuando dichas suposiciones sean válidas. Cuando falla una de estas suposiciones (o más), el análisis lineal produce predicciones incorrectas y se debe utilizar el análisis no lineal para modelar las no linealidades. La suposición de linealidad es verdadera si: Todos los materiales del modelo cumplen con la Ley de Hook, que dice que la tensión es directamente proporcional a la deformación unitaria. Algunos materiales presentan dicho comportamiento sólo si las deformaciones unitarias son pequeñas. Al aumentar las deformaciones unitarias, las relaciones tensión-deformación unitaria se tornan no lineales. Otros materiales muestran comportamiento no lineal incluso cuando las deformaciones 34

unitarias son pequeñas. Un modelo de material es una simulación matemática del comportamiento de un material. Se dice que un material es lineal si sus relaciones tensióndeformación unitaria son lineales. Se puede utilizar el análisis lineal para analizar modelos con materiales lineales suponiendo que no haya otros tipos de no linealidades. Los materiales lineales pueden ser isotrópicos, orto trópicos o aniso trópicos. Siempre que un material del modelo presenta un comportamiento tensión-deformación unitaria no lineal bajo la carga especificada, debe utilizarse el análisis no lineal. El análisis no lineal ofrece muchos tipos de modelos de material. Los desplazamientos inducidos son lo suficientemente pequeños como para ignorar el cambio en la rigidez causado por la carga. El análisis no lineal ofrece una gran opción de deformación al definir las propiedades de material de un componente sólido o un vaciado. Los cálculos de rigidez de matriz pueden repetirse en cada paso de la solución. El usuario controla la frecuencia de la repetición del cálculo de rigidez de la matriz. Las condiciones de contorno no varían durante la aplicación de las cargas. Las cargas deben ser constantes en cuanto a magnitud, dirección y distribución. No deben cambiar mientras se deforma el modelo. Por ejemplo, los problemas de contacto son de naturaleza no lineal debido a que las condiciones de contorno cambian al producirse el contacto con la carga. Sin embargo, el análisis lineal ofrece una solución aproximada para problemas de contacto donde se considera el efecto de gran deformación. 7.2. TIPOS DE NO LINEALIDADES. Material no lineal. No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones. No linealidad geométrica por grandes desplazamientos y deformaciones. No linealidad de contorno. Consideración del proceso constructivo

7.2.1. NO LINEALIDADES ESTRUCTURALES.

35

Las fuentes principales de no linealidades estructurales que se encuentran en las 36

aplicaciones prácticas son las siguientes:

7.2.2. NO LINEALIDADES GEOMETRICAS En el análisis de elementos finitos no lineales, una fuente principal de no linealidades se debe al efecto de grandes desplazamientos en la configuración geométrica general de las estructuras. Las estructuras que están siendo sometidas a grandes desplazamientos pueden tener cambios significativos en su geometría debido a las deformaciones inducidas por la carga que pueden causar que la estructura responda de forma no lineal en un modo de reagudización y/o ablandamiento. Por ejemplo, las estructuras tipo cable. suelen presentar un comportamiento de rigidizacion al incrementar las cargas aplicadas mientras que los arcos podrían experimentar un ablandamiento seguido de una reagudización, un comportamiento que se conoce como pandeo snap-through

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7.2.3. NO LINEALIDADES DEL MATERIAL Otra fuente importante de no linealidades deriva de la relación no lineal entre la tensión y la deformación unitaria que ha sido reconocida en varios comportamientos estructurales. Varios factores pueden causar que el comportamiento del material sea no lineal. La dependencia de la relación tensión-deformación unitaria del material en el historial de carga (como en el caso de los problemas de plasticidad), la duración de la carga (como en el caso del análisis de fluencia) y la temperatura (como en el caso de la termo plasticidad) son algunos de estos factores. Esta clase de no linealidades, conocidas como no linealidades materiales, puede idearse para simular dichos efectos que son pertinentes a aplicaciones diferentes a través del uso 38

de relaciones constitutivas. El límite de las conexiones entre vigas y columnas durante los terremotos es una de las aplicaciones en las que pueden producirse las no linealidades materiales.

7.2.4. NO LINEALIDADES DE CONTACTO. Una clase especial de problemas no lineales está relacionada con la naturaleza cambiante de las condiciones de contorno de las estructuras que intervienen en el análisis durante el movimiento. Esta situación se presenta en el análisis de problemas de contacto. E pandeo de estructuras, los contactos de los dientes de los engranajes, los problemas de empalme, las conexiones roscadas y los sólidos de impacto son varios ejemplos que necesitan la evaluación de los contornos de contacto. La evaluación de los contornos de contacto (nodos, líneas o superficies) se puede lograr utilizando elementos de separación 39

(contacto) entre los nodos en los contornos adyacentes.

7.3. PROCEDIMIENTO DE SOLUCION PARA PROBLEMAS NO LINEALES. En los problemas no lineales, la rigidez de la estructura, las cargas aplicadas y/o las condiciones de trazado pueden verse afectadas por los desplazamientos inducidos. El equilibrio de la estructura debe estar establecido en una forma deformada que es desconocida y debe suponerse. En cada estado de equilibrio a lo largo de la ruta de equilibrio, el conjunto de ecuaciones resultante es no lineal. Por lo tanto, no es posible una solución directa y es necesario un método iterativo. Se han desarrollado varias estrategias para realizar el análisis no lineal. A diferencia de los problemas lineales, es sumamente difícil, si no imposible, implementar una sola estrategia con validez general para todos los problemas. Muy a menudo, el problema en cuestión fuerza al analista a probar procedimientos de solución diferentes o a seleccionar determinado procedimiento para obtener la solución correcta con éxito (por ejemplo, los problemas de pandeo "snap-through", que es la pérdida violenta de estabilidad 40

geométrica, en los marcos y en los vaciados requieren estrategias de carga con control de deformación tales como los controles basados en el desplazamiento y en la longitud del arco más que de carga con control de fuerza). Por estos motivos, es estrictamente necesario que un programa informático utilizado para los análisis lineales cuente con varios algoritmos alternativos para abarcar un amplio espectro de aplicaciones no lineales. Dichas técnicas conducen a una flexibilidad incrementada y el análisis puede obtener mayor confiabilidad y eficiencia para la solución de un problema en particular.

7.4. CONCEPTO DE CURVA DE TIEMPO. Para el análisis estático no lineal, las cargas se aplican en pasos incrementales a través de la utilización de curvas de "tiempo". Una curva de tiempo indica cómo cambia una carga o restricción durante los pasos de la solución. Para análisis dinámico no lineal y análisis estático no lineal con propiedades de material dependiente del tiempo (por ejemplo, la fluencia), "tiempo" representa el tiempo real asociado con la aplicación de las cargas. La elección del tamaño del paso "tiempo" depende de varios factores como el nivel de no linealidades de los problemas y el procedimiento de solución. Un programa informático debe estar equipado con un algoritmo de escalonamiento automático adaptativo para facilitar el análisis y reducir el costo de la solución. 7.5. NO LINEALIDADES ESTRUCTURALES. No linealidades estructurales Las fuentes principales de no linealidades estructurales que se encuentran en las aplicaciones prácticas son las siguientes: No linealidades geométricas En el análisis de elementos finitos no lineales, una fuente 41

principal de no linealidades se debe al efecto de grandes desplazamientos en la configuración geométrica general de las estructuras. Las estructuras que están siendo sometidas a grandes desplazamientos pueden tener cambios significativos en su geometría debido a las deformaciones inducidas por la carga que pueden causar que la estructura responda de forma no lineal en un modo de rigidizarían y/o ablandamiento. Por ejemplo, las estructuras tipo cable muestran generalmente un comportamiento de reagudización al aumentar las cargas aplicadas mientras que el arco puede experimentar ablandamiento seguido de reagudización, un comportamiento que se denomina pandeo snap-through. Estructuras tipo cable Pandeo snap-through (pérdida violenta de estabilidad geométrica) No linealidades de material. Otra fuente importante de no linealidades deriva de la relación no lineal entre la tensión y la deformación unitaria que ha sido reconocida en varios comportamientos estructurales. Varios factores pueden causar que el comportamiento del material sea no lineal. La dependencia de la relación tensión-deformación unitaria del material en el historial de carga (como en el caso de los problemas de plasticidad), la duración de la carga (como en el caso del análisis de fluencia) y la temperatura (como en el caso de la termo plasticidad) son algunos de estos factores. Esta clase de no linealidades, conocidas como no linealidades materiales, puede idearse para simular dichos efectos que son pertinentes a aplicaciones diferentes a través del uso de relaciones constitutivas. El límite de las conexiones entre vigas-columnas durante los terremotos es una de las aplicaciones en las que pueden producirse las no linealidades materiales. Conexiones entre vigas-columnas No linealidades de contacto Una clase especial de problemas no lineales está relacionada con la naturaleza cambiante de las condiciones de contorno de las estructuras que intervienen en el análisis 42

durante el movimiento. Esta situación se presenta en el análisis de problemas de contacto. No linealidades estructurales. El pandeo de estructuras, los contactos de los dientes de los engranajes, los problemas de empalme, las conexiones roscadas y los sólidos de impacto son varios ejemplos que necesitan la evaluación de los contornos de contacto. La evaluación de los contornos de contacto (nodos, líneas o superficies) se puede lograr utilizando elementos de separación (contacto) entre los nodos en los contornos adyacentes

7.6. DIFERENCIA ENTRE ANALISIS LINEAL Y ANALISIS NO LINEAL Un análisis lineal es aquel en donde las fuerzas son directamente proporcionales a los desplazamientos y tal como su nombre lo indica hay una relación lineal entre estas dos variables, podríamos utilizar una analogía con la línea recta, la curva que describe este comportamiento es una línea recta. podemos estar en el rango elástico (se cumple la ley de Hook) o podemos también estar en el rango inelástico, pero la linealidad se conserva. Las ecuaciones de equilibrio las obtienes a partir de la geometría no deformada (en su estado inicial) y por esto se les llama de primer orden. En cambio, un análisis no lineal ya no existe. Esta proporcionalidad y dependiendo del problema o caso a analizar, las relaciones dejan de ser una recta y pueden ser relaciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales, radicales, hiperbólicas etc. Esto se ve reflejada en la matriz de rigidez. En realidad, todas las estructuras se comportan de manera no lineal pero los ingenieros realizamos una simplificación e idealización al problema y casi siempre hacemos análisis lineales.

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Las ecuaciones de equilibrio en el análisis no lineal las obtienes a partir de una geometría deformada inicial que será su punto de partida y a partir de este momento dando incrementos de carga obtienes otra geometría deformada la cual servirá de base para la siguiente …y así sucesivamente hasta llegar al nivel de precisión deseado por esto se le llama de segundo orden. Entre muchas no linealidades las más comunes son: No linealidad geométrica, no linealidad del material, efectos p delta (mayúscula) efectos p delta (minúsculas) los efectos de conexiones semirrígidas etc. Como es un proceso iterativo demanda demanda mucho tiempo y capacidad por que obligatoriamente se requieren de programas de computación que utilizan muchos algoritmos para buscar la solución dependiendo de lo que se necesite. esto es el pushover.hay algoritmos como las de Newton-Rapshon, el Runge Kutta que son métodos que tratan de seguir la no linealidad, pero al mismo tiempo linealizando el problema.

VI.

CONCLUSIONES.

En el análisis no lineal de estructuras de hormigón armado también se ha podido comprobar que el número de capas en los que se encuentra dividida la sección y el número y posición de los nodos, influye de manera importante en la aproximación de la solución. Se considera que la discretización transversal, es decir, el número de capas en los que se encuentra dividida la sección, influye al igual que antes, porque es la forma de aproximar la tensión. En este caso, se consigue una solución correcta con un número mayor de capas que el empleado en el caso del acero. Esto es debido a que la ley constitutiva que presenta el 44

hormigón es más compleja que la presenta un material como el acero, pues el primer tramo del hormigón se representa mediante una parábola frente al tramo inicial recto que define al acero. Además, se cree que la dificultad obtenida en la simulación de ciertas discretizaciones, está influenciada por el método de resolución empleado (método de Newton-Raphson modificado). Respecto a los nodos, queda claro que más que el número de nodos empleados, es su posición la que influye en la solución. Como se dijo con anterioridad para el problema del acero, es debido a la ley de momentos flectores que presente la estructura considerada. En el caso de este proyecto, se analiza una viga en ménsula donde el máximo momento flector se alcanza en el empotramiento. Tal distribución aconseja el empleo de un mayor número de elementos en zonas cercanas al nodo fijo.

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