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• Fernando Casaravilla Huelmo

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MOMENTO ESTÁTICO y BARICENTRO de una región del plano    Se denomina ​ momento estático o de primer orden de una superficie respecto al eje x​ , al producto del  valor de la superficie dada por la distancia del centro de gravedad de dicha superficie superficie al eje, si el  centro de gravedad de dicha superficie está situado por encima de dicho eje, y el opuesto de dicho valor si el  centro de gravedad está situado por debajo del eje x, si el baricentro está en el eje x el momento es 0.   La unidad de medida de este momento estático será el de una longitud elevada al cubo, cm3​ ​ , m3​ ​ , etc.  Dicho de otro modo si G=  

   es   ​

   donde  ​

 es el área de la región.  ​  

        Para la figura de la izquierda si F representa el área y S el momento entonces    ​ S = F x d​ x 

  Concepto de baricentro o centro de gravedad de una región acotada R del plano (x, y).​  Para figuras  con simetría, el baricentro es su centro geométrico. En general, para figuras cualesquiera, el baricentro es el  punto en el que, idealmente, una placa plana homogénea con la forma de la región R podría apoyarse y  permanecer en equilibrio. En una placa plana y homogénea la materia está distribuida uniformemente y cada  parte de la placa tiene un peso proporcional a su área.     En el caso de un ​ paralelogramo​ , (rombo, rectángulo, o cuadrado) el centro de gravedad es el corte de las  paralelas medias o de las diagonales, y las diagonales se cortan en su punto medio, por lo tanto, se puede  emplear las fórmulas de punto medio de un segmento para determinar las coordenadas del centro de  gravedad del paralelogramo.  El punto medio de un segmento AB se determina por las fórmulas  

Ejemplo​   El momento respecto del eje x para el rectángulo (b=base) de la fig de arriba se puede calcular como   

     De manera análoga se define el ​ momento estático de un área respecto del eje y​ .    También se pueden calcular estos Momentos mediante Integrales Dobles del siguiente modo     

 

Cálculo del Baricentro empleando Integrales Dobles  

  En donde el denominador es el área de la región. Para ver la deducción de estas fórmulas consultar    http://www.ceset.unicamp.br/~cicolin/ST%20309/Capitulo_1_Geometria_das_Massas%5B1%5D.pdf    DISGRECIÓN :::::::::::::::::::: ​ Cálculo de áreas con integrales dobles     En caso de tomar una función de 2 variables, f(x,y) = 1 en una región D del plano xy, se   obtiene el área de D          Observación:   Si la región D se representa como una región del tipo I, tendríamos que: 

      Tal como lo conocíamos de los cursos elementales donde vimos integrales simples     

Baricentro de figuras compuestas    

Si el recinto R se puede dividir en dos recintos “disjuntos” R1 y R2, es decir, tal que R1 U R2 = R y  cuya intersección sea “vacía” o lo que es lo mismo que R1∩R2 no tenga área, entonces: 

De dicha propiedad de integrales dobles  se deduce entonces la siguiente  propiedad para los momentos (dado que  son integrales dobles)       

y como     ​   Se obtiene que  para la región R podemos calcular las coordenadas de su centroide G del siguiente  modo                              

 

  En donde  A=área(R)   o sea        Esto se generaliza de manera obvia si se tiene que dividir la figura R en más de dos figuras para  determinar su centroide.    La primera fórmula está en el libro de matemática de la farq, cap 6, pág 274 del siguiente modo   

    Observaciones    1) Los centroides G   G​   y  G​   no tienen porque estar alineados.  1 ​ 2​ 2) Si una figura tiene eje de simetría entonces su centroide está en dicho eje, por lo que  prescindimos de usar una de las dos fórmulas anteriores.  3) Si una figura tiene un hueco o una figura la consideramos como “diferencia” de dos figuras ( en  el sentido de la definición de diferencia de conjuntos) se resta  en lugar de sumar.    Por ejemplo, si    se obtiene, tal como muestra el  ​ libro de farq en la pág 275 

 

Ejemplos      Como la figura tiene eje de simetría horizontal la recta de ecuación y=2 

       Luego              

Facultad de Arquitectura  Examen  31 de enero de 2014 

En este caso la figura presenta como eje de  simetría la recta horizontal de ecuación y=3 por lo que se tiene que   .  No se puede con esto  ​ descartar alguna de las 4 opciones porque en ellas colocaron el 3 como la segunda coordenada en todas.  Descomponiendo la figura en 4 regiones, 2 rectángulos y dos paralelogramos, y hallando   y el área para  ​ cada una de estas figuras se puede calcular la x del centroide de la seccción. Respuesta correcta: B.   

Cálculo de Integrales Dobles empleando Momento Estático    Empleamos las fórmulas siguientes, en donde  

=​ área (R)  

                                   

 

 

Baricentro de un Triángulo   

         

Ejemplos    Examen – 9 de diciembre de 2014 

 

  PARCIAL 3 – 27 de febrero de 2016        Se puede usar los resultados de la  Tabla de centroides de figuras simples   

http://www.demecanica.com/TeoriaEst/TeoriaEst.htm