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• Jesus Noel Mendoza Ventura

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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA CIVIL

“IMPULSO Y MOMENTO ANGULAR” CURSO:

Dinámica

CICLO:

IV

SEMESTRE ACADÉMICO:

2017-I

DOCENTE:

Lic. Cristian M. Mendoza Flores

ALUMNOS:

Aranguri Alccahua, Amílcar Ascencios Tito, Leslie Elizabeth Bermúdez Tena, Jean Franco Changanaqui Portilla, Irving Huamán Olivares Kenyi Ramírez Cruz, Helen Diana

HUACHO-PERÚ 2017

DINAMICA

ING.CIVIL

INTRODUCCIÓN

El siguiente tema que tocaremos en el presente trabajo es la parte esencial de lo que es impulso y momento angular que representa una pequeña parte de lo que es la física en general y dentro de ella la dinámica de cuerpos. En mecánica, se llama impulso a la magnitud vectorial, denotada usualmente como

I , definida

como la variación en el momento lineal que experimenta un objeto físico en un sistema cerrado. El término difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue acuñado por Isaac Newton en su segunda ley, donde lo llamó vis motrix, refiriéndose a una especie de fuerza del movimiento, ya también el momento angular o momento cinético es una magnitud física de las tres mecánicas (mecánica clásica, cuántica y relativista). En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en

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kg . m /s Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un

papel análogo al momento lineal en las traslaciones. El nombre tradicional en español es momento cinético, pero por influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.

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IMPULSO Y MOMENTO ANGULAR I. IMPULSO El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

I =F . ∆ t

(I.1)

Dónde:

I

= impulso medido en

N .s

F

= fuerza

T

= tiempo medido en segundos

(N )

1.1 IMPULSO DESDE UNA FUERZA DIVERSA Una fuerza que actúa por un intervalo corto no es constante. Puede ser grande al inicio y tiende a cero, como muestra la gráfica.

Figura 01: Impulso Desde Una Fuerza Diversa. En ausencia de cálculo, usamos la fuerza promedio:

I =F prom . ∆ t ……………………………………………………. (I.2)

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1.2 IMPULSO EN DOS DIMENSIONES: Una pelota de béisbol con una velocidad inicial de V(o) es golpeada con un bate y sale en un ángulo de V (f). El impulso horizontal y vertical es independiente.

Figura 02: Grafica De Impulso En Dos Dimensiones.

F=F x i+ FY j ………………………………..…..….…….. (I.3) V o=V x i+V y j ………........ ……………………..…….…..…. (I.4)

V f =V x i+V y j ...….…….…………………..……….. ……...... (I.5) 1.3 CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. La cantidad de movimiento o momento lineal es una magnitud vectorial que relaciona la masa y velocidad de un cuerpo de la siguiente forma:

⃗p = m. ⃗v

(I.6)

1.4 TEOREMA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO A partir de la definición es inmediato que:

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d ⃗p d ⃗v =m =m⃗a =⃗ F …………………………....…..….. … dt dt (I.7) Representa la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula. II. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL En esta sección integraremos la ecuación de movimiento con respecto al tiempo para obtener el principio de impulso y cantidad de movimiento. La ecuación resultante es útil para resolver problemas que implican fuerza, velocidad y tiempo.

m puede escribirse

Con cinemática, la ecuación de movimiento de una partícula de masa como

dv

∑ F=ma=m dt

………..…….…………………...…....

(II.1) Donde

a y v

se miden a partir de un marco de referencia inicial. Al reordenar los términos

e integrarlos entre los limites

v =v 1 cuando t=t 2 , y v =v 2 cuando t=t 2 , tenemos. t2

v2

∑∫ Fdt =m∫ dv t1

v1

……..……………………..

………………..…... (II.2)

t2

∑∫ Fdt =m v 1−m v 1 t1

………….

…………………………………..… (II.3) Esta ecuación se conoce como principio de impulso y cantidad de movimiento lineal. Por la derivación se ve que es simplemente una integración con respecto al tiempo de la ecuación de movimiento. Proporciona un medio directo de obtener la velocidad final

v 2 de la partícula

después de un lapso de tiempo especificando cuando la velocidad inicial de la partícula se conoce

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y las fuerzas que actúan en ella son o constantes o pueden expresarse como una función de tiempo. Por comparación, si

v2

se determinara por medio de la ecuación de movimiento, se

requeriría un proceso de dos pasos; es decir, aplicar

a=

dv dt

para obtener

∑ F=ma

para obtener a y luego integrar

v2 .

2.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Cada uno de los dos vectores de la forma

l=mv

en la ecuación (III.3) se conoce como la

cantidad de movimiento lineal de la partícula. Como m es un escalar positivo, el vector de cantidad de movimiento lineal tiene la misma dirección que v, y su magnitud mv tiene unidades de

masa- velocidad, por ejemplo

kgm slugpies o . s s

2.2 IMPULSO LINEAL La integral

I =∫ Fdt en la ecuación (III.3) se conoce como impulso lineal. El término es una

cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el tiempo en que la fuerza actúa. Como el tiempo es un escalar positivo, el impulso actúa en la misma dirección que la fuerza, y su magnitud tiene unidades de fuerza – tiempo, por ejemplo,

N . s o lb . s .

Si la fuerza se expresa como una función del tiempo, el impulso se determina mediante la evolución directa de la integral. En particular, si la fuerza es constante en cuanto a su magnitud y dirección, el impulso resultante es t2

I =∫ FC dt =F c ( t 2−t 1 ) ………………………….…….. t 1

……… (II.4)

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Gráficamente, el área sombreada bajo la curva de fuerza versus tiempo representa la magnitud del impulso figura 03. Una fuerza contante crea el área rectangular sombreada que aparece en la figura 04.

Figura 03: Fuerza Variable.

Figura 04: Fuerza Constante.

Aunque las unidades de impulso y cantidad de movimiento están de forma diferente, puede demostrarse, que la ecuación (II.4) es dimensionalmente homogénea.

2.3 PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES. Para solucionar problemas, la ecuación (II.4) se reescribirá como

t2

m v 1+ ∑∫ Fdt =m v 2 ……………..……………….. t 1

………….…… (II.5)

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La cual expresa que la cantidad de movimiento inicial de la partícula en el instante

suma de todos los impulsos aplicados a la partícula de

movimiento final de la partícula en el instante

t1

a

t1

más la

t 2 equivale a la cantidad de

t 2 . Estos tres términos se ilustran gráficamente

en los diagramas de impulso y cantidad de movimiento mostrados en la Figura 05. Los dos diagramas de cantidad de movimiento son solo las formas delineadas de la partícula, las cuales indican la dirección y la magnitud de las cantidades de movimiento inicial y final de la partícula,

m v 1 y m v 2 . Semejante al diagrama de cuerpo libre, el diagrama de impulso es una forma delineada de la partícula que muestra todos los impulsos que actúan en ella cuando se encuentran en algún punto intermedio a lo largo de su trayectoria. Si cada uno de los vectores en la ecuación (II.5) se divide en sus componentes

x, y ,z

podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de movimiento lineales.

t2

m(v x )1 + ∑∫ F x dt =m( v x )2 ………………………...………...…(II.6) t1

t2

m(v y )1+ ∑∫ F y dt=m( v y )2 t1

………..……………..

………..… (II.7) t2

m(v z )1 + ∑∫ F z dt =m(v z )2 ……..…..………………………..… (II.8) t1

Figura 05: Diagrama de Impulso y cantidad de Movimiento

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III.PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS. Al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación del movimiento

F=m× a ,

obtenemos el Trabajo y la Energía. Ahora vamos a la integración de la ecuación

del movimiento respecto al tiempo y no a la del desplazamiento; ello nos llevara a las ecuaciones de impulso y la cantidad de movimiento, esto nos ayudara a resolver problemas en los cuales las fuerzas aplicadas actúan durante intervalos de tiempos cortos o intervalos de tiempo determinados.

Figura 06: Diagrama de Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento

d

∑ F=m v´ = dt ( mv )

o sea

∑ F=G´

…………-

…………………..(III.1) Donde, por definición, el producto de la masa por la velocidad es la cantidad de movimiento

G=m . v de la masa puntual o partícula. Según la ecuación

∑ F=G´

la resultante de

todas las fuerzas que actúan sobre un punto material es igual a la variación por unidad de tiempo

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de la cantidad de movimiento. La unidad de cantidad de movimiento será lo mismo

kg . m/s

o lo que es

N .s .

3.1 RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD En la primera parte considerábamos las relaciones de impulso-cantidad de movimiento para una única partícula. Ahora queremos desarrollar las relaciones impulso-cantidad de movimiento para un sistema de partículas. En consecuencia, consideraremos un sistema de n partículas. Comenzaremos con la tercera ley de Newton, pero esta vez para un sistema de partículas:

Figura 07: Sistema de Coordenada Inercial

∑ f i =∑ m i

d vi dt

……………………………………………………..… (III.2) El término representa solo la suma de las fuerzas externas que actúan en las partículas. Recuerde que las fuerzas internas

fi

que actúan en las partículas no aparecen con esta

suma, puesto que de acuerdo con la segunda ley de Newton ocurren en pares coloniales iguales pero opuestos y por consiguientes se cancelan. Al multiplicar ambos lados de la

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ecuación por dt e integrar entre los límites por “dt” e integrar entre los límites

v i ¿2 v i ¿1 y t=t 2, v i=¿ se obtiene. t=t 1 ; V i=¿

t2

vi ¿ ¿

mi ( vi ) .1 +∑∫ Fi dt=¿ ∑ mi ¿ ……………………….… t1

∑¿ (III.3) Esta ecuación establece que los momentos lineales iniciales del sistema más los impulsos que todas las fuerzas externas actúan en el sistema de

t 1 a t 2 son iguales al momento lineal del

sistema. Como la ubicación del centro de masa G del sistema se determina a partir de n

mr G =∑ mi r i ,

donde

m=∑ mi

es la masa total de todas las partículas y si luego

se considera la derivada con respecto al tiempo, tenemos.

m v g =∑mi vi

………………….

…………………………………...… (III.4) La cual establece que la cantidad de movimiento lineal total del sistema de partículas equivalente a la cantidad de movimiento lineal de una partícula aglomerada ficticia de masa

m=∑ mi

que se mueve a la velocidad del centro de masa del sistema. Al sustituir en la

ecuación se obtiene.

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vG ¿ ¿ vG ¿2 ………………………….……………. (III.5) F I dt=m¿ m¿ De esta forma, vemos que el impulso de la fuerza externa total que actúa sobre el sistema de partículas durante un intervalo de tiempo es igual a la suma de los incrementos de las cantidades de movimiento de las partículas durante ese intervalo de tiempo. IV. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS. Cuando la suma de los impulsos externos que actúan en un sistema de partículas es cero se reduce a una forma simplificada a saber.

∑ mi (V i )1=∑ mi ( V i) 2

.................................

(IV.1)

Esta ecuación se conoce como la conservación de la cantidad de movimiento lineal. Establece que la cantidad de movimiento lineal total de un sistema de partículas permanece constante durante el lapso de tiempo

t1 a

t2

. Si estuvimos

mV G =∑ m1 . m2 en la

ecuación (IV.1) también podemos escribir.

(V G )1=(V G)2 ……………..…..……........… (IV.2) La cual indica que la velocidad

V G del centro de masa del sistema de partículas no cambia

si no se aplican impulsos externos al sistema. La conservación de la cantidad de movimiento lineal se suele aplicar cuando las partículas chocan o interactúan. Para su aplicación, deberá estudiarse con cuidado e diagrama de cuerpo libre de todo el sistema de partículas para identificar las fuerzas que crean o impulsos internos o externos para determinar así en qué dirección(es) se conserva la cantidad de movimiento lineal. Como se estableció antes, los impulsos internos del sistema siempre se eliminan, puesto que se presentan en pares colineales pero opuestos. Si el lapso del tiempo durante el cual se estudia el movimiento es muy corto, algunos de los impulsos externos también pueden ser ignorados o

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considerados aproximadamente iguales a cero. Las fuerzas que producen este impulso insignificante se llaman fuerzas no impulsoras .por comparación las fuerzas que son muy grandes y que actúan durante un lapso de tiempo muy corto producen un cambio muy significativo de la cantidad de movimiento y se llaman fuerzas impulsoras. Desde luego, no se pueden omitir en el análisis del impulso-cantidad de movimiento. Por lo común , las fuerzas impulsoras ocurren a causa de la explosión o el choque de un cuerpo a otro, en tanto que las fuerzas no impulsoras pueden incluir el peso de un cuerpo con otro, en tanto que las fuerzas no impulsoras pueden incluir el peso de un cuerpo, la fuerza impartida por un resorte levemente deformado de rigidez en cierto modo pequeña , o en cuanto a eso, cualquier fuerza que sea muy pequeña comparada con otras fuerzas (impulsoras) más grandes .cuando se hace esta distinción entre fuerzas impulsoras y no impulsoras ,es importante darse cuenta que esta solo aplica durante el tiempo 

t1 y t2 .

Ejemplo de Aplicación: Como ilustración, considere el efecto de golpear una pelota de tenis con una raqueta, como se muestra en la fotografía .durante el muy corto tiempo de interacción, la fuerza de la raqueta en la pelota es impulsora puesto que cambia drásticamente su cantidad de movimiento.

Figura 08: Ejemplo de la raqueta y la pelota

4.1 PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS En general, el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales o el de la conservación de la cantidad de movimiento lineal se aplica a un sistema de partículas para determinar las velocidades finales de las partículas justo después del periodo de tiempo considerado. Al aplicar este principio a todo el sistema, los impulsos internos que actuán dentro del sistema, los cuales pueden ser desconocidos, se eliminan del análisis. Para su aplicación se sugiere seguir el siguiente procedimiento.

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Diagrama de cuerpo libre a. Establesca el marco de referencia inercial

x ,

y ,

z y trace el diagrama de cuerpo

libre de la partícula para identificar las fuerzas internas y externas. b. La conservación de la cantidad de movimiento lineal se aplica al sistema en una dirección donde no hay fuerzas externas o donde las fuerzas pueden ser consideradas no impulsoras. c. Establezca la dirección y sentido de las velocidades inicial y final de las partículas. Si se desconoce el sentido, suponga que es a lo largo de un eje de coordenadas inercial positivo. d. Como un procedimiento alternativo, trace los diagramas de cuerpo de impulso y cantidad de movimiento de cada una de las partículas. Ecuaciones de cantidad de movimiento

a. Aplique el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales, o el de la conservación de la cantidad de movimiento lineal en las direcciones apropiadas. b. Si es necesario determinar el impulso interno

∫ Fdt

que actúa en sólo una partícula de

un sistema, entonces debe aislarse la partícula (diagrama de cuerpo libre) y debe aplicarse a esta partícula el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales. c. Después de que se calcula el impulso y siempre que se conozca el tiempo

el cual actúa el impulso, entonces la fuerza impulsora promedio

F prom =



∆t

durante

F prom se determina por

∫ F dt ∆t

Ejemplo de aplicaciones: El martillo de la fotografia Figura 09 aplica una fuerza impulsora a la estaca.Durante este tiempo de contacto extremadamente corto, el peso de de la estaca puede considerarse no impulsor y siempre que esta se hinque en suelo blando, el impulso de èste al actuar en la estaca tambien puede considerarse no impulsor.en contraste , si se utiliza la estaca en un rompepavimentos, entonces dos fuerzas impulsoras actuan en la estaca , una en su extremo superior ,producida por el rompepavimentos , y la otra en su parte inferior debido a la rigidez del concreto Figura 10

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Figura 09

Figura 10

V.IMPACTO

Proceso de interacción interno de un sistema (de dos cuerpos) entre los que se transfiere momento y energía e incluso masa. Se debe tener muy en cuenta que tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética deben conservarse en los choques. Aunque esta afirmación es aproximadamente cierta para cuerpos duros, es falsa para cuerpos suaves o que puedan rebotar más lentamente cuando chocan.

m1 . ⃗v 1 +m2 . ⃗v 2=m1 . ⃗v 1 ’+m2 . ⃗v 2 ’

……………..……… (V.1)

5.1 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL Y DE LA ENERGÍA

Se conocen los movimientos de las partículas antes de la colisión, pero se desconocen las fuerzas de interacción. ¿Qué se puede saber de su movimiento final aunque desconozcamos las fuerzas de interacción? Aunque no se conozca la interacción, los principios de conservación permiten deducir el estado final a partir del inicial o viceversa. 5.2 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL (CML)

Las fuerzas externas son despreciables frente a las fuerzas internas durante la colisión.

⃗ Pi= ⃗ Pf

→

⃗p Ai+ ⃗p Bi=⃗p Af + ⃗pBf

………………….…….. (V.2)

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5.3 LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA EN EL CHOQUE Choque elástico: T se conserva

T f =T i

→

T Ai +T Bi=T Af +T Bf ………...

(V.3)

Choque inelástico: T no se conserva

T f =T i +Q

→

T f −T i= ΔT =Q ……….

(V.4) 5.4 IMPACTO CENTRAL La mecánica del impacto, consideremos el caso que implica el impacto central de las partículas

v v a ¿1 ¿ “A” y “B” .Las partículas tienen los momentos iniciales, siempre ¿ ˃ ¿ ¿

Figura 11: Impacto central Durante la colisión las partículas deben considerarse como deformables o no rígidos, las partículas experimentaran un periodo de deformación de modo que, ejercen un impulso de deformación igual y opuesta.

Figura 12: Impulso por Deformación

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Solo en el instante de deformación máxima ambas partículas se desplazaran con una velocidad constante V, puesto que su movimiento relativo es 0.

Figura 13: Deformación máxima

Después de un periodo de restitución, las partículas recuperaran su forma original o estarán permanentemente deformadas. El impulso de restitución

∫R

.dt, igual pero opuesto separa

las partículas. En realidad las propiedades físicas de cualquiera de los 2 cuerpos son tales que el impulso de deformación siempre será mayor que el de restitución, es decir:

∫R

∫P

.dt ˃

.dt

.

Figura 14: Impulso de restitución Justo después de la separación las partículas tendrán las cantidades de movimiento mostradas en la siguiente figura.

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Figura 15: Después del impacto

5.5 IMPACTO OBLICUO Cuando entre 2 partículas ocurre un impacto oblicuo, estas se apartan una de otra con velocidades de direcciones y magnitudes desconocidas. Siempre que se conozcan las velocidades iniciales, habrá 4 incógnitas en el problema, estas incógnitas pueden representarse

v v a ¿2 ¿ como:. ¿ , ¿ ¿

y

ϕ2 .

Figura 16: Impacto Oblicuo

5.6 IMPACTO ELÁSTICO Si la energía cinética permanece constante después del choque, se dice que este ha sido perfectamente elástico (caso ideal).

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Figura 17: Impacto elástico

K=Energía Mecánica

K ( sist .)i

=

K (sist .) f

v ( 1 ) } ^ {2} + m(2). {v left (2 right ) ¨} ^ {2} right ] m ( 1) . ¿ …………….……..… (V.5) 1 1 (m (1 ) . v (1)2)+m(2). v (2)2 ]= ¿ [ 2 2 NOTA: Coeficiente De Restitución: “e” Para este caso elástico

e=

2 ¿` ¿ 1 ¿` ¿ ¿ ¿ v¿ ¿

; en este caso: e = 1

5.7 IMPACTO INELASTICO Si los cuerpos que chocan entre sí, permanecen juntos después de la colisión, se dice que esta fue perfectamente inelástica. La mayor parte de choques varían entre estos dos extremos.

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ING.CIVIL Figura 18: Impacto Inelástico

K= Energía Mecánica

K ( sist .)i

v 2 ’=v 1 ’

K (sist .) f

˃

→

e=

2 ¿` ¿ 1 ¿` ¿ ¿ ¿ v¿ ¿

; en este caso:

e=0

Observación: 0 ≤ e ≤ 1

%Q =

(

K (sist .)i−K ( sist .)f ) K ( sist .)i

.100%..............................................(V.6) %Q = Es el porcentaje de calor que se pierde según el tipo de choque. VI. MOMENTO ANGULAR El momento angular o momento cinético es una magnitud física de las tres mecánicas (mecánica clásica, cuántica y relativista). En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s. Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv. 6.1. FORMULACIÓN ESCALAR Si una partícula se mueve a lo largo de una curva situada en el plano

x – y , de la figura 19 la

cantidad de movimiento angular en cualquier instante se determina con respecto al punto

O (en

realidad al eje z) por medio de una formulación escalar. La magnitud de Ho es:

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Figura 19: Gráfica De Formulación Escalar

H (¿¿ o)=(d )(mv) ……………… ……………………….. ¿ (VI.1) Aquí, d es el brazo de momento o distancia perpendicular de O a la línea de acción de mv. Unidades para (Ho) z son kg.m2/s o slug.pie2/s. La dirección de

Ho

se define por medio de la

regla de la mano derecha. Como se muestra, la curva de los dedos de la mano derecha indica el sentido de rotación de mv con respecto a O, de modo que en este caso el pulgar (o dirigido perpendicular al plano

H o ) está

x− y a lo largo del eje z.

6.2 FORMULACION VECTORIAL Si la partícula se mueve a lo largo de una curva especial figura 20, el producto vectorial (o producto cruz) puede utilizarse para determinar la cantidad de movimiento angular con respecto a

O . En este caso.

20

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Figura 20: Grafica De Formulación vectorial

H o=r × mv ….……..……………..…………..…………… (VI.2)

Aquí, r denota un vector de posición trazado del punto O a la partícula. Como se muestra en la Figura 20 .Ho es perpendicular al plano sombreado que contiene r y mv. Para evaluar el producto vectorial, r y mv deberán expresarse en función de sus componentes cartesianas, de modo que la cantidad de movimiento angular se determina al evaluar determinante:

|

|

i j k H o= r x ry rz mv x mv y mv z

……….………………..……………

(VI.3)

6.3 RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Los momentos con respecto al punto

O

de todas las fuerzas que actúan en la partícula de

figura 21 pueden relacionarse con su cantidad de movimiento angular al aplicar la ecuación de movimiento. Si la masa de la partícula es constante, podemos escribir.

∑ F=m ´v ……….…..……………….…………………...… (VI.4)

21

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Figura 21: Relación Entre Momento De Una Fuerza

Los momentos de las fuerzas con respecto al punto O se obtienen mediante una multiplicación de producto vectorial en ambos lados de esta ecuación por el vector de posición r, el cual se mide con respecto al marco de referencia inercial x, y, z. Tenemos.

∑ M o=r x ∑ F=r x m ´v ……….……..………………….… (VI.5) Según el apéndice B, la derivada de r x mv se escribe como

Ḣ 0=

d ( r∗mv )=´r∗mv +r∗m ´v ….…………...……… (VI.6) dt

El primer término del lado derecho, r x mv = m(r x r) = 0, puesto que el producto vectorial de un vector por sí mismo es cero. Por consiguiente, la ecuación anterior se escribe

∑ M o=∑ Ḣ 0 ……..….………………………..…… (VI.7) La cual establece que el momento resultante con respecto al punto

O de todas las fuerzas que

actúan en la partícula es igual al cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento angular con respecto al punto

O . Este resultado es semejante a la ecuación es semejante a la

ecuación (VI.7) es decir:

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∑ F=´l …….……..……….………………………… (VI.8) Aquí

L=m v , de modo que la fuerza resultante que actúa en la partícula es igual al cambio con

respecto de su cantidad de movimiento lineal. Por las derivaciones, se ve que las ecuaciones (VI.7) y (VI.8) en realidad son otra forma de formular la segunda ley del movimiento de Newton. En otras secciones de este libro se demostrara que estas ecuaciones tienen muchas aplicaciones prácticas cuando se ampliara y aplican a problemas que incluyen un sistema de partículas o un cuerpo rígido VII. PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES Si la ecuación:

∑ M O =H O

suponer que en el instante

se reescribe en la forma

t=t 1 ,

∑ M O dt=d H O

H O=( H O )1 y en el instante t=t 2 ,

y se integra, al

H O=( H O )2 ,

tenemos: t2

∑∫ M O dt=( H O ) 2−( H O )1 t1

………………………………(VII.1)

O t2

( H O )1 + ∑∫ M O dt=( H O ) 2

(VII.2)

t1

Esta ecuación se conoce como el principio de impulso y cantidad de movimiento angulares. Los momentos angulares inicial y final

( H O )1

de movimiento lineal de la partícula

y

( H O )2

se definen como el momento de la cantidad

( H O=r × m v )

respectivamente. El segundo término del lado izquierdo

en los instantes

∑∫ M o dt

t1

y

t2 ,

, se llama impulso angular. Se

determina al integrar, con respecto al tiempo, los momentos de todas las fuerzas que actúan en la

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t1

partícula durante el lapso de tiempo

punto

O es

a

t 2 . Como el momento de una fuerza con respecto al

M O=r × F , el impulso angular se expresa en forma vectorial como t2

t2

impulso angular=∫ M O dt=∫ ( r × F ) dt t1

(VII.3)

t1

Aquí r es un vector de posición que se extiende desde el punto

O hasta cualquier punto de la línea

t2

de acción de F. Asimismo en la ecuación

( H O )1 +∑∫ M O dt=( H O ) 2 t1

, el principio de impulso y

cantidad de movimiento angulares para un sistema de partículas se escribe como t2

∑ ( H O )1+∑∫ M O dt=∑ ( H O )2

(VII.4)

t1

El primer y tercer término de esta ecuación representa las cantidades de movimiento angulares de todas las partículas

[ ∑ H =∑ ( r × F ) ] o

i

i

en los instantes

t 1 y t 2 . El segundo término es la

suma de los impulsos angulares dados a todas las partículas de

t1

a

t 2 . Recuerde que estos

impulsos son creados solo por los momentos de fuerzas externas que actúan en el sistema donde, para la partícula iésima

M O=r i × F i

7.1 FORMULACIÓN VECTORIAL Con los principios de impulso y cantidad de movimiento es posible, por consiguiente, escribir dos ecuaciones que definan el movimiento de la partícula, como t2

m v i+∫ F dx=m v 2 … … … … … …(VII .5) t1

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ING.CIVIL t2

( H O )1 +∑∫ M O dt=( H O ) 2

..

t1

(VII.6)

7.2 FORMULACIÓN ESCALAR En general, las ecuaciones anteriores pueden expresarse en su forma de componentes

y ,

x ,

z , con lo que se obtiene un total de seis ecuaciones escalares. Si la partícula está

limitada a moverse en el plano

x - y , pueden escribirse tres ecuaciones escalares para

expresar el movimiento, es decir, t2

m ( v x )1 +∫ F x dx=m ( v x ) 2

(VII.7)

t1

t2

m ( v y )1 +∫ F y dx=m ( v y ) 2

(VII.8)

t1

t2

( H O )1 +∑∫ M O dt=( H O ) 2

(VII.9)

t1

Las primeras dos de estas ecuaciones representan el principio de impulso y cantidad de movimiento lineales en las direcciones

x y

y , y la tercera ecuación representa el principio

de impulso y cantidad de movimiento angulares con respecto al eje

z .

7.3 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Cuando todos los impulsos angulares que actúan en la partícula son cero durante el tiempo

t1 a

t 2 , re reduce a la siguiente forma simplificada: 25

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( H O )1= ( H O )2

(VII.10)

Esta ecuación se conoce como la conservación de la cantidad de movimiento angular. Establece

t 1 a t 2 la cantidad de movimiento angular de la partícula permanece constante.

que de

Obviamente, sin ningún impulso externo aplicado a la partícula, tanto la cantidad de movimiento lineal como la cantidad de movimiento angular de la partícula se conservaran, no así la cantidad de movimiento. También podemos escribir la conservación de la cantidad de movimiento angular para un sistema de partículas como

∑ ( H O )1=∑ ( H O ) 2

(VII.11)

En este caso la suma debe incluir las cantidades de movimiento angular de todas las partículas del sistema.

Procedimiento para el análisis Cuando se aplican los principios de impulso y cantidad de movimiento angulares o la conservación de la cantidad de movimiento angular, se sugiere que se utilice el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre 

Trace el diagrama de cuerpo libre de la partícula para determinar cualquier eje con respecto al cual la cantidad de movimiento angular se pueda conservar. Para que esto ocurra, los momentos de todas las fuerzas (o impulsos) deben ser paralelos o pasar a través del eje para crear un momento cero durante todo el periodo

t1 a t2 .



También deben establecerse la dirección y sentido de las velocidades inicial y final de la



partícula. Un procedimiento alternativo seria trazar los diagramas de impulso y cantidad de movimiento de la partícula.

Ecuaciones de cantidad de movimiento

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DINAMICA

ING.CIVIL

Aplique el principio de cantidad de impulso y cantidad de movimiento angulares

,

t2

( H O )1 + ∑∫ M O dt =( H O ) 2 t1

o síes apropiado, la conservación de la cantidad de movimiento

( H O )1= ( H O )2

VIII. APLICACIONES Siempre que se omita la resistencia del aire, los pasajeros de este juego mecánico se ven sometidos a una conservación de la cantidad de movimiento angular con respecto al eje de rotación. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, la línea de acción de la fuerza normal actúa en el pasajero pasa por el eje y el peso dl pasajero del eje

W

N

del asiento que

es paralelo a él. Por tanto, alrededor

z no actúa ningún impulso.

Figura 22: Ejemplo de la caída libre en una estructura IX. EJERCICIOS RESUELTOS

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DINAMICA

ING.CIVIL

B

01. La bola

de

0.8 lb , que se muestra en la figura 15−25 a , esta sujeta a una cuerda,

la cual pasa a través del orificio

A

en una mesa lisa. Cuando la bola está a

del orificio, gira alrededor de un circulo de modo que su rapidez es

F

fuerza

r 1=1.75 pies

v 1=4 pies/s . Al aplicar la

la cuerda se jala hacia abajo a través del orificio con una rapidez constante

v c =6 pies/ s . Determine

( a)

la velocidad de la bola en el instante en que está a

r 2=0.6 pies

(b)

la cantidad de trabajo realizada por

del orificio, y

distancia radial de

F

al acortarse la

r 1 a r 2 . Ignore el tamaño de la bola.

Solución:

Parte

(a) del diagrama del cuerpo libre

Conforme la bola se mueve de

a través del eje

z y el peso y

r 1 a r 2 , la fuerza

F que actua en la bola siempre pasa

N B son paralelos a ella. De ahí que los momentos o

impulsos angulares creados por estas fuerzas, sean cero con respecto a este eje. Por consiguiente, la cantidad de movimiento angular cero con respecto a l eje

z . 28

DINAMICA

ING.CIVIL

Conservación de la cantidad de movimiento angular

v 2 se divide en dos componentes. El componente radial, 6 pies/s ,

La velocidad de la bola

es conocido, sin embargo , produce una cantidad de movimiento angular cero con respecto al eje

z . Por tanto:

H 1=H 2 1.75 pies

lb ( 32.20.8pieslb /s ) 4 pies /s=0.6 pies ( 32.20.8pies/s )v ' 2

2

2

v ' 2=11.67 pies/s La rapidez de la bola es, por consiguiente

v 2= √ ( 11.67 pies/ s ) + ( pies/s ) 2

2

¿ 13.1 pies/s Parte

(b) . La única fuerza que realiza trabajo en la bola es

F . (La fuerza normal y el paso

no se desplazan verticalmente.) Las energías cinéticas inicial y final se determinan pues, con el principio de trabajo y energía, por lo que tenemos

T 1 + ∑ U 1−2 =T 2 1 0.8 lb 1 0.8 lb ( 4 pies/ s )2 +U F= (13.1 pies/s )2 2 32.2 pies/ s2 2 32.2 pies/s 2

(

)

U F =1.94 pies .lb NOTA: La fuerza

(

……………….

)

Rpta

F no es constante porque elcomponente normal de la acelaracion

2 an =v /r , cambia a medida que varía r .

29

DINAMICA

ING.CIVIL

02. Un paquete de

10 kg cae desde una rampa a una velocidad de 3 m/s en un carro de

25 kg . Si el carro está al inicio en reposo y puede rodar libremente, determine a) la velocidad final del carro, b) el impulso ejercido por el carro sobre el paquete, c) la fracción de la energía inicial perdida en el impacto.

Solución: Se aplica primero el principio del impulso y la cantidad de movimiento al sistema paquete-carro para determinar la velocidad

v 2 del carro y el paquete. Después se aplica el mismo principio al

paquete sólo para determinar el impulso

F Δt

ejercido sobre éste.

a) Principio del impulso-cantidad de movimiento: paquete y carro

mP v 1 + ∑ Imp1 →2 =( mP + mC ) v 2 componentes

x :

mP v 1 cos 30 ° +0= ( mP +m C ) v 2

( 10 kg ) ( 3 m/s ) cos 30 ° +0=( 10 kg+25 kg ) v 2

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DINAMICA

ING.CIVIL

∴ v 2=0.742 m/s Se advierte que la ecuación utilizada expresa la conservación de la cantidad de movimiento en la dirección

x .

b) Principio del impulso-cantidad de movimiento: paquete

mP v 1 + ∑ Imp1 →2 =mP v 2 componentes

x :

( 10 kg ) ( 3 m/s ) cos 30 ° + F x Δt=( 10 kg )( 0.742 m/s ) ∴ F x Δ t=−18.56 N ∙ s componentes

y :

−mP v 1 sin 30 ° + F y Δ t=0 −( 10 kg ) (3 m/ s ) sin 30°+ F y Δt=0 ∴+ F y Δ t=+15 N ∙ s El impulso ejercido sobre el paquete es

F Δ t=23.9 N ∙ s

38.9°

c) Fracción de la energía perdida. Las energías inicial y final son

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DINAMICA

ING.CIVIL 2

1 1 3m T 1 = mP v 12= ( 10 kg ) =45 J 2 2 s

( )

1 1 T 2 = ( mP +m C ) v 22= ( 10 kg+ 25 kg ) ( 0.742m/ s )2=9.63 J 2 2

La fracción de energía perdida es

∴

T 1−T 2 T1

X. CONCLUSIONES

En conclusión “los teoremas de la cantidad de movimiento y el impulso dan integrales de las ecuaciones del movimiento respecto al tiempo, son especialmente útiles para resolver problemas en los que hay que relacionar las velocidades de una partícula y un sistema de partículas en dos instantes diferentes, pudiéndose expresar las fuerzas en función del tiempo. La cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales, es el producto de su masa por la velocidad, por lo tanto, el teorema de la cantidad de movimiento expresado por la ecuación conocida puede aplicarse tanto a un sistema de puntos materiales independientes en interacción”. Podemos decir que el impulso y la cantidad de movimiento pertenecen al mismo principio, el cual es la segunda ley de newton, por lo cual no presenta una gran diferencia. Nos ayuda, este tema, para nuestros cursos en adelante que tendremos a lo largo de nuestra carrera y así mejorar nuestro estudio. Determinamos que este tema nos ayuda mucho en el campo de la ingeniería civil para determinar más rápido problemas que intervengan fuerzas, masa, velocidad con un intervalo de tiempo en nuestros campos de trabajo.

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XI. BIBLIOGRAFÍA  Hibbeler, R.C (2004). Mecánica vectorial para ingenieros: “Dinámica”. Décima edición México; Editorial. Prentice Hall. Pearson Educación.  WEB: http://es.scribd.com/doc/86385689/Cinetica-de-Sistemas-de-Particulas.  WEB:https://es.slideshare.net/moises_galarza/impulso-y-cantidad-de-movimiento14158393  WEB: https://www.slideshare.net/ernestoyanezrivera/impulso-y-cantidad-de-movimiento7524877

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