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DE ÁREAS CURSO DE ESTÁTICA DOCENTE : ANGEL DARIO CANLLAHUI AQUISE INGENIERO AGRÍCOLA

I. INTRODUCCION

• El momento de inercia es la capacidad de resistencia que tiene un cuerpo, a sufrir una transformación. • Por ello podemos decir que el momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

II. DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA POR INTEGRACIÓN

MOMENTO DE INERCIA PARA UNA AREA POR INTEGRACION: Considere la Área dada en el plano 𝑥 − 𝑦, tomamos el diferencial de área(𝑑𝐴)

Se define los siguientes momentos de inercia: 1)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “X”

𝐼𝑥 =

𝑦 2 𝑑𝐴

2)- MOMENTO DE INERCIA RESPECTO AL EJE “y”

𝐼𝑦 =

𝑥 2 𝑑𝐴

III. MOMENTO POLAR DE INERCIA DE UNA AREA

• Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión del objeto , en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones.

Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones. El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por J.

El momento de dA con respecto al polo O o al eje z, es denominado momento polar de inercia

Aquí, r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Para toda el área el momento polar de inercia es: 𝐽𝑜 =

𝑟 2 𝑑𝐴 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦

𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , lo que hace posible una relación entre 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 y 𝐽𝑜 :

RADIO DE GIRO DE UN ÁREA El radio de giro de un área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro se determinarán de la siguiente manera. Tenemos un área A:

• Consideremos que el área A tiene un momento de inercia 𝐼𝑥 con respecto al eje x. Imagine que se ha con centrado esta área en una tira delgada paralela al eje x.

Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje x, la tira debe ser colocada a una distancia 𝑘𝑥 desde el eje x, donde 𝑘𝑥 está definida por la relación: Y despejando 𝑘𝑥 se obtiene:

• En forma similar se pueden definir los radios de giro 𝑘𝑦 y 𝑘𝑜 :

• Y reescribiendo la ecuación del momento polar de inercia en términos de radio de giro tenemos:

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Problemas

PROBLEMA RESUELTO - 1 Determine el momento de inercia de un triángulo con respecto a su base.

SOLUCIÓN y

Se dibuja un triángulo de base b y altura h; el eje x se selecciona de manera que coincida con la base del triángulo. Se selecciona dA como una tira diferencial paralela al eje x. Como todas las porciones de la tira están a la misma distancia a partir del eje x, se escribe

l h–y

dIx  y2 dA

h

Si se utilizan triángulos semejantes se tiene que

y

dy

hy l    h b

x

b

dA  l dy

hy l  b  h

hy dA  b  dy h

Con la integración de dIx desde y  0 hasta y  h, se obtiene Ix 

y

2

dA 



h

0

y4 b y3   h   4 h 3



hy b y 2b  dy   h h



 (hy h

0

2

 y3) dy bh3 I x   12

h 0

PROBLEMA RESUELTO -2 a) Determine el momento polar centroidal de inercia de un área circular por integración directa; b) utilice el resultado del inciso a) y determine el momento de inercia de un área circular con respecto a uno de sus diámetros.

SOLUCIÓN y

a) Momento polar de inercia. Se selecciona dA como un elemento anular diferencial de área. Como todas las porciones del área diferencial están a la misma distancia desde el origen, se escribe du

r

dJO  u2 dA

u O

x

JO 

dA  2u du

 dJ   u (2u du)  2  u r

O

r

2

0

0

3

du  JO  r4 2

b) Momento de inercia con respecto a un diámetro. Debido a la simetría del área circular, se tiene que Ix  Iy. Entonces, se escribe JO  Ix  Iy  2Ix

 r4  2Ix 2

 Idiámetro  Ix  r4 4

V. TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN ÁREA O TEOREMA DE STEINER

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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER

Considere el momento de inercia I de un área A con respecto a un eje AA (figura ). Si se representa con y la distancia desde un elementode área dA hasta AA, se escribe

I

y

2

dA

Ahora, se dibuja a través del centroide C del área un eje BB que es paralelo a AA, dicho eje es llamado eje centroidal. Representando con

dA

y⬘ B

B⬘

C

y d A

A⬘

y la distancia desde el elemento dA hasta BB, se escribe y  y  d, donde d es la distancia entre los ejes AA y BB. Sustituyendo por y en la integral anterior, se escribe

 y dA   (y  d) dA   y dA  2d  y dA  d  dA

I

2

2

2

2

La primera integral representa el momento de inercia I del área con respecto al eje centroidal BB. La segunda integral representa el primer momento del área con respecto a BB; como el centroide C del área está localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por tanto, se tiene

I  I  Ad2 Esta fórmula expresa que el momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje dado AA es igual al momento de inercia I del área con respecto a un eje centroidal BB que es paralelo a AA más el producto del área A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes. Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner. Sustituyendo k2A por I y k2A por I, el teorema también se puede expresar de la siguiente forma

k2  k2  d2 Se puede utilizar un teorema similar para relacionar el momento polar de inercia JO de un área, con respecto a un punto O, con el momento polar de inercia JC, de la misma área con respecto a su centroide C. Denotando con d la distancia entre O y C, se escribe

JO  JC  Ad2

o

2 d k2O  kC

2

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Ejemplo 1. Como una aplicación del teorema de los ejes paralelos, se procederá a determinar el momento de inercia IT de un área circular con respecto a una línea tangente al círculo (figura a). Enel pro blema resuelto 2 se en contró que el momento de inercia de un área circular con respecto a un eje centroidal es I  14r4. Por tanto se puede escribir

C r

IT  I  Ad2  14r4  (r 2)r 2  54r4

d=r T Figura a

D

D⬘

IAA  IBB  Ad2 IBB  IAA  Ad2  112 bh3  12bh(13h)2  316 bh3

d⬘ = 2 h 3

h C

B d=

A⬘ b

Figura b

B⬘

1 h 3

A

Ejemplo 2. El teorema de los ejes paralelos también se puede utilizar para determinar el momento centroidal de inercia de un área cuando se conoce el momento de inercia del área con respecto a un eje pa ra le lo. Por ejem plo, con si de re un área trian gu lar (fi gu ra b). En el problema resuelto 1 se en contró que el momento de inercia del triángulo con respecto a su base AA es igual a 112 bh3. Con el teorema de los ejes paralelos, se escribe

Es necesario resaltar que el producto Ad2 fue restado del momento de inercia dado, con el fin de obtener el momento centroidal de inercia del triángulo. Observe que dicho producto se suma cuando se pasa de un eje centroidal a un eje paralelo, pero debe restarse cuando se pasa a un eje centroidal. En otras palabras, el momento de inercia de un área siempre es menor en relación con un eje centroidal que con respecto a cualquier otro eje paralelo. En la figura 9.11 se observa que el momento de inercia del triángulo con respecto a la línea DD (la cual se ha dibujado a través de un vértice del triángulo) se puede obtener escribiendo IDD  IBB  Ad2  316 bh3  12bh(23h)2  14bh3 Observe que IDD no se habría podido obtener directamente a partir de IAA. El teorema de los ejes paralelos sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes paralelos pasa a través del centroide del área.

VI. MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS COMPUESTAS

ÁREA COMPUESTA: Es aquella que esta divida en varias áreas componentes, por ejemplo el área A esta dividida en varias áreas: A1,A2 y A3

El momento de inercia de un área compuesta que consta de figuras conocidas se hallará aplicando las formulas que se encontraran en las tablas, sin embargo en algunas ocasiones antes de sumar los momentos de inercia será necesario utilizar el teorema de los ejes paralelos estudiado anteriormente.

• EL MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA SIEMPRE ES POSITIVO sin importar la posición del eje respecto al cual se realizará. • PARA CALCULAR EL MOMENTO POLAR DE INERCIA se pueden utilizar las formulas ya conocidas. Jo = Jx + Jy • Antes de realizar el procedimiento para hallar el momento de inercia es posible hallar el centroide.

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y

1

⎯Ix⬘ = 12 bh3

y⬘

1

⎯Iy⬘ = 12 b3h Rectángulo

h

x⬘

C

Ix = Iy =

x

b

h

Triángulo

1 3 1 3

bh3 b3h

1

JC = 12 bh(b2 + h2)

1

⎯Ix⬘ = 36 bh3

C x⬘

h 3

1

Ix = 12 bh3

x

b

y 1 ␲r 4 4 1 ␲ r4 2

⎯Ix =⎯Iy =

r

Círculo

x

O

JO =

y 1

Ix = Iy = 8 ␲ r 4

C

Semicírculo O

1

x

r

JO = 4 ␲ r 4

y

Cuarto de círculo O

1 ␲r4 16 1 ␲r4 8

Ix = Iy =

C x

r

JO =

y 1

⎯Ix = 4 ␲ab3

b Elipse

x

O

1

⎯Iy = 4 ␲ a3b 1

a

Figura 1

JO = 4 ␲ ab(a2 + b2)

Momentos de inercia de formas goemétricas comunes.

Es necesario señalar que el radio de giro de un área compuesta no es igual a la suma de los radios de giro de las áreas componentes. Para determinar el radio de giro de un área compuesta, es necesario que primero se calcule el momento de inercia del área.

05Chapter05Beer estática.qxd:BEER 05.qxd 25/10/09 12:49 PM Página 225

Forma

⎯y

Un cuarto de área circular

bh 2

4r 3

4r 3

 r2 4

0

4r 3

 r2 2

4a 3

4b 3

 ab 4

0

4b 3

 ab 2

3a 8

3h 5

2ah 3

0

3h 5

4ah 3

3a 4

3h 10

ah 3

b 2

C

C

r

⎯y

O

O

⎯x Un cuarto de área elíptica

C

b

C

⎯y

O

O

⎯x

a

a

Área semiparabólica C Área parabólica

h 3

C b 2

Área semielíptica

Área

h

Área triangular

Área semicircular

⎯y

⎯x

C

⎯y

O

O

⎯x

h a

a y = kx2 Enjuta parabólica

h

C

⎯y

O ⎯x a y = kxn

Enjuta general

h C

O

n+1 a n+2

n+1 h 4n + 2

ah n+1

⎯y

⎯x r Sector circular C

O ⎯x Figura A Centroides de áreas comunes.

2r sen α 3α

0

α r2

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PROBLEMA RESUELTO 5

y 240 mm

120 mm

Determine el momento de inercia del área sombreada con respecto al eje x.

r = 90 mm

x

SOLUCIÓN El área dada puede obtenerse restándole un semicírculo a un rectángulo. Los momentos de inercia del rectángulo y del semicírculo serán calculados en forma separada. y

y

y

240 mm A

−

120 mm

a

C

A⬘ x⬘

b

=

x

x

x

Momento de inercia del rectángulo. Haciendo referencia a la figura 1, se obtiene Ix  13bh3  13(240 mm)(120 mm)3  138.2  106 mm4 y A 120 mm

C

a = 38.2 mm

Momento de inercia del semicírculo. Haciendo referencia a la figura A, se determina la ubicación del centroide C del semicírculo con resA⬘ pecto al diámetro AA. x⬘

b = 81.8 mm x

4r (4)(90 mm) a      38.2 mm 3 3 La distancia b desde el centroide C hasta el eje x es b  120 mm  a  120 mm  38.2 mm  81.8 mm Ahora, en referencia a la figura 9.12, se calcula el momento de inercia del semicírculo con respecto al diámetro AA; además, se calcula el área del semicírculo. IAA  18r4  18(90 mm)4  25.76  106 mm4 A  12r2  12(90 mm)2  12.72  103 mm2 Con el teorema de los ejes paralelos, se obtiene el valor de Ix: IAA  Ix  Aa2 25.76  10 mm4  Ix  (12.72  103 mm2)(38.2 mm)2 Ix  7.20  106 mm4 6

De nuevo, con el teorema de los ejes paralelos, se obtiene el valor de Ix : Ix  Ix  Ab2  7.20  106 mm4  (12.72  103 mm2)(81.8 mm)2  92.3  106 mm4 Momento de inercia del área dada. Si se le resta el momento de inercia del semicírculo al momento de inercia del rectángulo, se obtiene Ix  138.2  106 mm4  92.3  106 mm4 Ix  45.9  106 mm4

VII. PRODUCTOS DE INERCIA

• El producto de inercia es importante para hallar el momento de inercia máximo y mínimo para el área. Estos valores máximos y mínimos son importantes para diseñar elementos estructurales y mecánicos como vigas y columnas.

El producto de inercia del área con respecto a la figura mostrada con respecto a los ejes X y Y se define como:

Al igual que momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia y pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de la ubicación y orientación de los ejes coordenados. Ya que si el área analizada es simétrico con el eje X o el eje Y el producto inercial será cero. De todo esto podemos inferir que el producto inercial depende mucho de como este ubicada el área con respecto a los ejes de coordenadas.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

VIII.EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA

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y

PROBLEMA RESUELTO 6 Determine el producto de inercia del triángulo rectángulo mostrado en la figura, a) con respecto a los ejes x y y, y b) en relación con los ejes centroidales que son paralelos a los ejes x y y.

h

x

b

SOLUCIÓN y

y⬘

a) Producto de inercia Ixy. Se selecciona una tira rectangular vertical como el elemento diferencial de área. Con el teorema de los ejes paralelos, se escribe dIxy  dIxy  xel yel dA

h ⎯ xel y

x⬘

Como el elemento es simétrico con respecto a los ejes x y y, se observa que dIxy  0. Con base en la geometría del triángulo se obtiene

⎯ yel



x



 

x y  h 1   b

x dx

xel  x

b



x dA  y dx  h 1   dx b x 1 1 yel  2 y  2h 1  b

Integrando dIxy desde x  0 hasta x  b, se obtiene Ixy 

 dI

 h2

xy



 x

el y el

dA 



b

0





x x(12)h2 1   b

2

dx

 2x  xb  2xb dx  h x4  3xb  8xb

b

2

3

2

3

4

2

2

0

2

b 0

Ixy  214 b2h2

y

b) Producto de inercia Ixy. Las coordenadas del centroide del triángulo con respecto a los ejes x y y son

y

x  13 b h

1 y  3h

Con la expresión para Ixy obtenida en el inciso a), se aplica el teorema de los ejes paralelos y se escribe

⎯x x

C ⎯y

x b

 Ixy  x y A  Ixy  (13b)(13h)(12 bh) Ixy  214 b2h2  118 b2h2

Ixy 1  b2h2 24

Ixy  712 b2h2

IX. CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS Y PRODUCTOS DE INERCIA

• demostramos : • si elevamos y sumamos las ecuaciones, se encuentra que: 𝐼𝑥 −𝐼𝑦 2 ) 2

• (𝐼𝑢 − (𝐼𝑥𝑦 )2 •

𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 2 ) 2

+ (𝐼𝑢𝑣 )2 = (

+

Aquí 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 , 𝐼𝑥𝑦 son constantes conocidas (𝐼𝑢 − 𝑎)2 +(𝐼𝑢𝑣 )2 = 𝑅2

• Entonces la gráfica resulta representada un circulo de radio.

•

𝑅=

𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 ) +(𝐼𝑥𝑦 )2 2

(

• Con su centro ubicado( a,0) donde : 𝐼𝑥 +𝐼𝑦 a= 2

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PROBLEMA RESUELTO 7

y

x

Para la sección mostrada en la figura, se sabe que los momentos y el producto de inercia con respecto a los ejes x y y están dados por

y

Ix  7.20  106 mm4

L152 × 102 × 12.7

q = 60°

Ixy  2.54  106 mm4

Con el uso del círculo de Mohr, determine: a) los ejes principales de la sección con respecto a O, b) los valores de los momentos principales de inercia de la sección con respecto a O y c) los momentos y el producto de inercia de la sección con respecto a los ejes x y y que forman un ángulo de 60° con los ejes x y y.

x

O

Iy  2.59  106 mm4

SOLUCIÓN Dibujo del círculo de Mohr. Primero se grafica el punto X de coordenadas Ix  7.20, Ixy  2.54 y el punto Y de coordenadas Iy  2.59, Ixy  2.54. Uniendo los puntos X y Y con una línea recta, se define el centro C del círculo de Mohr. La abscisa de C, la cual representa Iprom, y el radio R del círculo se pueden medir directamente o se pueden calcular de la siguiente forma:

Ixy(106 mm4) Y(2.61, +2.54)

O

C B

E

D

A Ix, Iy (106 mm4)

2qm

X(7.20, –2.54)

b

Iprom  OC  12(Ix  Iy)  12(7.20  106  2.59  106)  4.895  106 mm4 CD  12(Ix  Iy)  12(7.20  106  2.59  106)  2.305  106 mm4 2  (210 6)2 R  (CD) 2X)  (D2  (2.305 )  106.54   3.430  106 mm4 a) Ejes principales. Los ejes principales de la sección corresponden a los puntos A y B en el círculo de Mohr y el ángulo a través del cual se debe rotar CX para llevarlo a CA define el ángulo 2␪m. Así se tiene que

y

DX 2.54 tan 2␪m      1.102 CD 2.305

qm = 23.9° x

Imáx  OA  OC  CA  Iprom  R  (4.895  3.430)106 mm4 Imáx  8.33  106 mm4 Imín  OB  OC  BC  Iprom  R  (4.895  3.430)106 mm4 Imín  1.47  106 mm4

Ixy 4.895 × 106 mm4 X⬘ 3.430 × 106 mm4 O

␪m  23.9°l

Por tanto, el eje principal Oa correspondiente al valor máximo del momento de inercia se obtiene rotando el eje x a través de 23.9° en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj; el eje principal Ob correspondiente al valor mínimo del momento de inercia se puede obtener rotando el eje y a través del mismo ángulo. b) Momentos principales de inercia. Los momentos principales de inercia están representados por las abscisas de los puntos A y B. Por tanto, se tiene que

a

O

2␪m  47.8°l

Y

2q = 120°

f G C

F Ix, Iy

X Y⬘

2qm = 47.8°

c) Momentos y producto de inercia con respecto a los ejes x y y. En el círculo de Mohr, los puntos X y Y corresponden a los ejes x y y, aquéllos se obtienen rotando CX y CY a través de un ángulo 2␪  2(60°)  120° en sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj. Las coordenadas de X y Y proporcionan los momentos y el producto de inercia buscados. Observe que el ángulo que CX forma con la horizontal es   120°  47.8°  72.2°, se escribe Ix  OF  OC  CF  4.895  106 mm4  (3.430  106 mm4) cos 72.2° Ix  5.94  106 mm4 Iy  OG  OC  GC  4.895  106 mm4  (3.430  106 mm4) cos 72.2° Iy  3.85  106 mm4 6 4 Ixy  FX  (3.430  10 mm ) sen 72.2° Ixy  3.27  106 mm4