Momento Angular Orbital B&W
Momento angular Como se viu, os estados estacionários do átomo de hidrogénio dependem de três números quânticos: – deter
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- afonso_marques974395
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Momento angular Como se viu, os estados estacionários do átomo de hidrogénio dependem de três números quânticos: – determina a energia do estado
,
, ,
– estão relacionados com o momento angular orbital, como se verá.
Classicamente, no âmbito dos potenciais centrais (forças centrais), a energia e o momento angular são grandezas fundamentais, sujeitas a princípios de conservação. Para definirmos os operadores quânticos tomamos as relações clássicas e substituímos variáveis pelos correspondentes operadores quânticos: com
Quais são as funções próprias e os valores próprios de Mecânica Quântica I - 2016/17
,
e
? 1
Valores próprios de
Relações de comutação:
,
,
,
(1)
(2)
Prova no slide seguinte
(3)
(4) Viu-se que: ,
, ,
,
,
+ Mecânica Quântica I - 2016/17
2
Termo (2)
Termo (3)
,
Valores próprios de
,
,
,
, , Permutação cíclica Mecânica Quântica I - 2016/17
, 3
Valores próprios de ,
,
ℏ
Não há estados que sejam simultaneamente funções próprias de
?
,
- operadores de observáveis “incompatíveis”
Princípio de incerteza generalizado:
E quanto a
,
e de
!
Igualmente para os outros pares!
Um operador comuta consigo próprio
Calculemos, por ex.:
Mecânica Quântica I - 2016/17
4
Valores próprios de
De modo semelhante se prova que
Mecânica Quântica I - 2016/17
comuta com
,
,
e com
5
Valores próprios de Tomemos, então
,
,
e
Para determinarmos os valores próprios ( e ), vamos utilizar a técnica algébrica dos operadores de subida e descida, que definiremos como: Não correspondem a observáveis; São “ajudantes” algébricos (importantes!).
Propriedades: Não - comutação com ,
±
,
: ,
±
, Comutação com Mecânica Quântica I - 2016/17
:
,
±
±
± 6
Valores próprios de
,
,
Uma vez que e comutam, se existir uma função que seja função própria de ambas, então ± também é função própria. Verifiquemos. Tomemos Como
,
,
±
E, assim, Por outro lado,
±
Mecânica Quântica I - 2016/17
±.
±
±
Portanto,
±
é uma função própria de
±
,
±
±
±
±
±
com o mesmo valor próprio,
Consideremos
±
é função própria de
±
±
±
, com o novo valor próprio 7
Resumindo: ±
±
é uma função própria de é função própria de
Valores próprios de
,
,
com o mesmo valor próprio,
, com o novo valor próprio
- é um operador de subida porque aumenta a quantidade de a
ao valor próprio de
(que passa
- é um operador de descida porque diminui a quantidade de a
ao valor próprio de
(que passa
Mecânica Quântica I - 2016/17
8
Valores próprios de
,
Para um dado valor de obtemos uma escada de estados possíveis em que cada estado (degrau) está separado do seguinte e anterior por uma unidade no valor próprio de
,
.
Para subir na escada, aplica-se o operador subida; para descer, aplica-se o operador descida. Contudo, este processo de subida ou descida não pode continuar indefinidamente. Continuando a subir, por exemplo, acabar-se-á por atingir um valor de 𝑧 superior ao do próprio , o que não tem sentido visto que 𝑧 é a projeção de sobre o eixo z. Portanto, deve existir uma função , acima da qual se tem que: .
Mecânica Quântica I - 2016/17
9
Valores próprios de Consideremos que é o valor próprio de possível e definamos: e
,
,
no máximo
± ∓
De onde: ± ∓
Então, selecionando os sinais inferiores:
Mecânica Quântica I - 2016/17
Valores próprios de de acordo com o máximo valor próprio de .
10
Valores próprios de
,
Consideremos agora que é o valor próprio mínimo de modo que e definamos: e
, , de
Usando novamente: ± ∓
e selecionando os sinais superiores:
Portanto,
Mecânica Quântica I - 2016/17
Valores próprios de de acordo com o mínimo valor próprio de . 11
Valores próprios de Mas o valor próprio não se altera com o sentido de
,
,
e, assim:
+1 Absurda!
Ok! Mecânica Quântica I - 2016/17
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Sistematizando para
:
Valores próprios de
,
,
Valor máximo
Valor mínimo
varia em números inteiros de , como se viu através da ação dos operadores de subida e descida. Para um dado valor de há
Mecânica Quântica I - 2016/17
valores de
possíveis. 13
Valores próprios de Sistematizando para
varia de
a
em
,
,
:
passos (os degraus da escada)
= Logo, pode ter valor inteiros e semi-inteiros
As funções próprias Mecânica Quântica I - 2016/17
serão funções de e de 14
Valores próprios de
Comentários a propósito da figura
,
,
As setas representam valores possíveis do momento angular orbital, em unidades de . Todas as setas têm o mesmo comprimento (em unidades de , dado por Neste caso, Os valores de
vale
.
permitidos são: -2, -1, 0, 1, 2.
O comprimento ( a grandeza) do vetor (o raio da esfera) é maior do que a componente máxima: exceto no caso .
,
nunca aponta exatamente na direção . Se assim fosse, conhecer-se-iam todas as componentes de , o que violaria o princípio da incerteza.
Medir
é, apenas, medir . Nada se fica a saber sobre as outras componentes e, portanto, sobre o momento angular orbital. A precisão do traçado da figura é extremamente enganadora…
Mecânica Quântica I - 2016/17
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1ª tarefa – Escrever
Mecânica Quântica I - 2016/17
,
,
em coordenadas esféricas
Funções próprias
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e
em coordenadas cartesianas:
Mecânica Quântica I - 2016/17
Funções próprias
17
Funções próprias
2ª tarefa – Operadores de subida e descida
±
±
±
±
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±
18
Funções próprias ±
±
Em particular:
E, portanto:
Vamos agora determinar
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. É uma função própria de
, cujo valor próprio é
:
19
Funções próprias
Mas esta equação é precisamente a EQUAÇÃO ANGULAR (derivação da eq. de Schrödinger a 3 dim):
Além disso,
é também uma função própria de
, com valor próprio é
:
Mas esta equação é equivalente à EQUAÇÃO AZIMUTAL (derivação da eq. de Schrödinger a 3 dim):
Mecânica Quântica I - 2016/17
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Funções próprias Este sistema de duas equações já foi resolvido e a solução encontrada foram as funções HARMÓNICAS ESFÉRIAS:
Ou seja, ao resolvermos a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas por separação de variáveis, encontrámos como funções próprias do operador Hamiltoniano as funções harmónicas esféricas, , que agora percebemos serem também funções próprias de e de .
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Uma última nota Podemos usar a equação
para reescrever a equação de Schrödinger
na forma
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