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MODULO CLEI V MATEMÁTICAS

JUAN CARLOS MÁRQUEZ 2014

2

INTRODUCCION Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos, actividades diagnosticas, actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES.

TABLA DE CONTENIDO UNIDAD 1 “PENSAMIENTO GEOMETRICO Y METRICO” .................................................................................. 3 Trigonometría. Conceptos previos. Angulo (definición, elementos, graficación). Ángulos sobre el plano cartesiano (Posición normal o Canónica). Medición de ángulos (Sistema sexagesimal, Sistema Cíclico). Triángulos

(Teorema

de

Pitágoras).

Funciones

trigonométricas.

Definición

de

las

funciones

trigonométricas de un ángulo en posición normal. Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º, y 60º (Ángulos Notables). Gráficas de las funciones trigonométricas: SENO, COSENO, TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE, COSECANTE. Funciones trigonométricas inversas. Aplicación de la trigonometría. Algunas Identidades trigonométricas. Ley del seno y del coseno. UNIDAD 2 “PENSAMIENTO NUMERICO-VARIACIONAL” ........................................... 36 Funcionemos las ecuaciones. Medición en el plano cartesiano. Distancia entre dos puntos. Gráfica de rectas. Función afín y función lineal. Ecuación de una recta. Pendiente y coeficiente de posición de una recta. Puntos colineales. Posición de dos rectas en el plano. Función valor absoluto. Ecuación con valor absoluto. Función parte entera. Secciones cónicas. (Circunferencia, parábola, elipse, hipérbola). Graficas y ecuaciones.

BIBLIOGRAFIA............................................................................................ 92 NOTA: todas las unidades cuentan con actividades, ejercicios, talleres, evaluaciones, trabajos prácticos, actividades de nivelación, talleres tipo SABER-ICFES, ejercicios o actividades complementarias, ejercicios resuelto, entre otras.

3 UNIDAD 1 PENSAMIENTO GEOMETRICO-METRICO TRIGONOMETRÍA La palabra trigonometría proviene del griego: trigonos (triángulo) y metria (medida). En sus orígenes esta rama de la matemática se utilizó para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en la física, la ingeniería, la medicina y todo otro proceso en el que se encuentren comportamientos que se repiten cíclicamente. Sirve para estudiar fenómenos vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad., etc. Sistemas de Medición de Ángulos Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son  Sistema sexagesimal, cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º. La sesenta-ava parte de un grado es un minuto (1’) y la sesenta-ava parte de un minuto es un segundo (1”).

ángulo recto 1º 90

1º 1' 60

1' 1" 60

Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.  Sistema circular o radial, cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida del ángulo el cociente

arco  s . Un ángulo central de 1 radián es aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio r radio.

r1

s = r,

r3

Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y cuyoas lados determinan sobre ella un arco s de longitud igual al radio r .

s2 s 3  s1

por lo tanto

s 1 . r

r2

4

Ejemplo: Si  determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio, entonces la medida en

6 cm radianes de β es: s   3 . En el sistema circular, β mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sin r 2 cm

indicar la unidad de medida.

2..r  2 . r

La medida en radianes de un ángulo de un giro es

La medida en radianes de un ángulo llano, que es la mitad de un giro, es La medida en radianes de un ángulo recto es

2..  2

. 2

Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla: Ángulo

Sistema sexagesimal

Sistema circular

1 giro

360º

2

llano

180º



recto

90º

/2

¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián? Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del ángulo llano, tenemos π

180º

1

1180º  57º 17' 45" 

Nota:  es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de  radianes equivale a un ángulo de 180º. Pero   180.

Actividad 1 a) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando fracciones de : 30º

45º

60º

120º

b) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes: 2

1/2

/2

2

5 c) Efectuar las siguientes operaciones. 

Hallar el ángulo complementario de 56º 41’ 27’’



Hallar el ángulo sumplementario de 102º 25’



¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º 33’ a la quinta parte de 39º 40’ ?



El minutero de un reloj es de 12 cm de largo. ¿Qué recorrido realiza la punta de la manecilla en 20 minutos? Teorema de Pitágoras

Triángulo Rectángulo

Hipotenusa Cateto Cateto "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".

a

c b

a2 + b2 = c2

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos determinar la medida de un lado de un triángulo rectángulo conociendo el valor de los otros dos lados. Ejemplo: 3

x 4

2

2

2

3 + 4 = x

9 + 16 = x2 x2 = x=5

25

a2 + b2 = c2

6

a2 + b2 = c2 6

10

x 62 + x2 = 102 36 + x2 = 100 x2 = 100 – 36 x2 = 64 x2 =

64

x= 8 ACTIVIDAD 1 El Teorema de Pitágoras nos sirve para encontrar un lado de un triángulo rectángulo sabiendo los otros dos I) Dados los siguientes lados de un triángulo rectángulo, calcule el que nos falta. Usa una calculadora para el cálculo aproximado. 1) 2) 3)

a = 12 cm

c=

b = 16 cm

a = 12 m

c = 13 m

b=

a=

c = 15 cm

b = 9 cm

II) Aplica el Teorema de Pitágoras al ejemplo siguiente. Una escalera de incendios se apoya en la fachada. Evidentemente se coloca a una distancia normalmente fijada. Vamos a considerar que se pone a 10 metros. Como sabes, se puede alargar. Calcula la medida que debe alargarse para alcanzar un edificio de 20 m, 25 m, 30 m, 35m, 40 m, 45m, 50 m. etc. Completa los resultados en la tabla. escalera

22.36

altura

20

41,23 25

30

35

40

45

50

III) Las escaleras o grúas modernas tienen un pequeño ordenador que tiene estos datos introducidos. Cuando se estima donde debe llegar, se le da el dato, y la escalera se alarga sola al número correspondiente. Como puedes calcular, la diferencia con la altura del edificio no es mucha.

7 Puede pensar en elaborar una tabla ahora para el caso de que la distancia a la base del edificio sea de 20 m. escalera altura

36,05 20

25

30

35

40

45

50

IV) Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? V) Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?

Teorema de Pitágoras Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 ¿Seguro... ? Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25

¡sí, funciona! ¿Por qué es útil esto?

8 Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!) ¿Cómo lo uso? Escríbelo como una ecuación: a2 + b2 = c2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos: a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13 a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12 ACTIVIDAD EVALUATIVA 1.- Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm respectivamente. Averigua si ese triángulo es rectángulo.

2.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto? (Sol: 12 cm.)

3.- El lado de un cuadrado mide 10 cm. ¿Cuánto mide su diagonal? (Aproxima el resultado hasta las décimas). (Sol:14,1 cm ) 4.- Dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cuánto mide su hipotenusa y halla su perímetro y su área. (Sol: a=17 cm

P=40 cm

y A=60cm2)

9 5.- El lado mayor de un triángulo rectángulo mide 15 cm y uno de los dos lados menores mide 9 cm. ¿Cuánto mide el tercer lado? (Sol:12 cm) Razones trigonométricas de un ángulo agudo Recordemos las definiciones de las razones trigonométricas.

cateto opuesto sen   hipotenusa tg  

cateto adyacente cos   hipotenusa

B



cateto opuesto cateto adyacente

C

A

Observación: Estas razones dependen sólo del ángulo  y no de las medidas de los lados del triángulo construido. Las definiciones de las razones trigonométricas de ángulos agudos pueden extenderse para cualquier ángulo. Para eso, consideramos el ángulo  en el plano cartesiano, haciendo coincidir su vértice con el origen de un sistema cartesiano ortogonal, y su lado inicial con el semieje positivo de las x .

P

y0

r 

sen  

cateto opuesto ordenada de P y 0   hipotenusa r OP

cos  

cateto adyacente abscisa de P x 0   hipotenusa r OP

x0

y0

P

tg  

r



y cateto opuesto  0 cateto adyacente x 0

si x0  0

x0

También definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente:

10 cos ec  

hipotenua  r catetoopuesto y 0

sec  

hipotenusa  r cateto adyacente x0

cot g  

cateto adyacente x0  cateto opuesto y 0

Nota: Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores. También se verifican las siguientes relaciones

tg  

sen  cos 

cosec  

1 sen 

sec  

1 cos 

cot g  

1 tg 

Ejemplo:, queremos determinar los valores de las relaciones trigonométricas de un ángulo  cuyo lado terminal pasa por el punto P = (3 , 4)

x0 = 3, r=

3

y

y0 = 4 2

4

 42  5

sen  = 4 ; 5 cosec  = 5 ; 4

P cos  =  3 ; 5 sec  =  5 ; 3

r

tg  =  4 3



cotg  =  3 4

x

-3

Para un ángulo cualquiera, puede aplicarse el teorema de Pitágoras: (cat. op.)2 + (cat. ady.)2 = (hipotenusa)2 Dividimos ambos miembros por (hipotenusa)2:

(cat. op.)2 (cat. ady.)2 (hip.)2   (hip.)2 (hip.)2 (hip.)2

P

y0

 x0

(cat. op.)2 (cat. ady.)2  1 (hip.) 2 (hip.) 2 Resulta, entonces: (sen )2 + (cos )2 = 1 donde por comodidad escribimos sen 2  + cos 2  = 1 y que llamamos identidad pitagórica. Esta identidad, por ejemplo, nos permite calcular las funciones trigonométricas de un ángulo α sabiendo que es agudo y que sen  = 3 .

5

11 sen2  + cos2  = 1

Entonces, si



cos2  = 1  sen2  2

y como  < /2 , cos  = cos   cos  = 1   3  

5

3 sen  5 3 tg  =   ; cos  4 4 5 cotg  = 1  4 ; tg  3

cosec  = sec  =

cos  = 1  sen 2 



16  4 . 25 5

1 5 sen  3

1 5 cos  4

Actividad 2 2 cos  = , hallar las restantes relaciones trigonométricas de 3

Sabiendo que

 . Con frecuencia se

utilizan expresiones que vinculan a cada una de las relaciones trigonométricas con las demás para poder utilizar, en cada caso, la expresión más conveniente. Por ejemplo, podríamos expresar la tangente de



en función del coseno:

tg  

sen  cos 

y utilizando la identidad pitagórica:

tg  

 1 cos 2  . cos 

Análogamente, podemos expresar el coseno de  en función de la tangente de  :

tg  

1  tg 2  

sen 2  cos 2 

sen  cos 



tg 2  

1 cos 2 



cos 2  

1 1  tg 2 

tg 2  

 

1  cos 2  cos 2 

cos  

1 1  tg 2 

Más adelante veremos cómo seleccionar el signo del resultado. Actividad 3 a) Expresar la secante de  en función de la cosecante de  . b) Expresar la tangente de  como función del seno de .

 .

tg 2  

1 1 cos 2 





12 La circunferencia trigonométrica – Ángulos orientados Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x. Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que el ángulo es positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido horario. Puede, además, realizar más de un giro completo. Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano divido en cuatro sectores, llamados cuadrantes y una circunferencia con centro en el origen y radio 1 que llamaremos circunferencia trigonométrica. II cuadrante

P1

P1

I cuadrante P0

  

δ P2 P III cuadrante

3

Para hallar el segmento asociado al

En la figura, como r = 1 tenemos que: y y sen   0  0  y 0  el segmento de r 1 ordenadas está relacionado con el sen  . x x cos   0  0  x0  el segmento de r 1 abscisas está relacionado con el 

IV cuadrante

sen , se construye en el segundo cuadrante el triángulo rectángulo

con las componentes de P1 y el segmento de ordenadas corresponde a seno de . Análogamente sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento de ordenada se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa, con el coseno del ángulo. Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto sobre el lado terminal del ángulo. Esta información se resume en la siguiente tabla, que se debe completar: Actividad 4 a)

sen 

cos 

tg 

I

+

+

+

II

sec 



III IV

cosec 

 

cotg 

13

9  <  < 5 , ¿qué se puede asegurar respecto del signo de sen  , cos  y tg ? 2

b) Si

Razones trigonométricas de ángulos notables Para los ángulos de 0, /2 , 

y

3/2 , teniendo en cuenta las coordenadas del punto P asociado a

cada ángulo en la circunferencia trigonométrica, podemos deducir y completar:

Actividad 5 1

1 O

 P sen  cos  tg 

1

/2 (0; 1) 1 0 no existe

0



3/2

1

Para los ángulos de /6 , /4

y

/3 radianes pueden calcularse las razones trigonométricas usando

recursos geométricos. Damos aquí una tabla que contiene los valores de los ángulos notables pertenecientes al primer cuadrante.



sen  cos  tg 

0

0

 6

 4

1 2

1

3 2

0

3 3

2 2 2 2 1

 3

 2

3 2 1 2

1 0

3

no existe

14 Actividad 6 Construir y observar la circunferencia trigonométrica y completar en los casos en que existan:

 sen    =  2

cos (4) =

tg (–5) =

cosec 0 =

sec  =

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Necesitamos

medir la altura de una torre. Alrededor de ella hay una cerca que impide

que nos

aproximemos a su base. No disponemos de aparatos de medida a distancia. ¿Cómo medirías la torre? Ayuda: Un antiguo sabio griego resolvió este problema con una cinta métrica (no es necesario que sea muy larga), un espejo y conociendo su propia altura.

Ejercicio: La Noria: En una feria se ha instalado una noria cuyo radio mide 5 metros. Tarda 32 segundos en dar una vuelta completa. En la siguiente tabla completa la altura de una cesta que estaba a nivel del suelo cuando se inició el movimiento de la noria. Tiempo en segundos

0”

8”

16” 24” 32” 36” 40” 48” 56”

Altura de la cesta en

0

5

0

m.

m

m

m

10

60” 64” 0

Aquí tienes una representación de la altura que tendrá la cesta en cada instante. Responde a las siguientes preguntas: 

¿Cada cuánto tiempo la cesta está a 10 metros de altura?



¿Y a 5m?



¿Cada cuánto tiempo se repite una misma posición? Seno de un ángulo

El punto P, en la figura, se desplaza sobre la circunferencia centrada en el origen y cuyo radio vale 1. Al ángulo de giro lo llamamos . A la ordenada del punto P la llamaremos seno de . y se representa por:

sen 

15 ACTIVIDAD 1 Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora: 0 30 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360

ángulo º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

seno

La función seno ACTIVIDAD 2 Representa la función sen. En el eje de abcisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º desde 0º hasta 360º. La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abcisas aparece la medida del ángulo en radianes.



Es la gráfica de una función continua y definida en R.



Los valores del seno se repiten cada 2 radianes (cada 360º). Este valor se llama periodo de la función



Esta gráfica se llama sinusoide.

Coseno de un ángulo

Ahora en la figura 3 observaremos la abcisa del punto P. La llamaremos coseno del ángulo . y se representa por: cos 

16 ACTIVIDAD 3 Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora: ángulo 0 30 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360 º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

coseno La función coseno ACTIVIDAD 4 Ahora representa la función cos , en el eje de abscisas sitúa los valores del ángulo en grados, en intervalos de 30º desde 0 hasta 360º. La gráfica que has representado debe de ser semejante a la que tienes a continuación. Ahora en el eje de abscisas está la medida del ángulo en radianes.



También su domino es todo el conjunto R y se trata de una función continua.



Los valores del coseno también se repiten cada 2 radianes (cada 360º).



Esta gráfica se llama cosinusoide.

Relaciones entre el seno y el coseno La relación fundamental de la trigonometría es: sen2 + cos2  = 1 Relación que es cierta para cualquier ángulo. ACTIVIDAD 5 Comprueba esta relación completando la siguiente tabla:

17 Ángulo

sen 

sen2 

cos 

cos2 ()

SUMA CUADRADOS

30º 45º 60º 120º 180º 270º -30º ACTIVIDAD 5 Demuestra la relación fundamental de la trigonometría ayudándote del Teorema de Pitágoras. Tangente de un ángulo

Ahora en la figura 4 observaremos el triángulo rectángulo ABC. Al cociente CO/CC

lo llamaremos

tangente de  y se representa por: tan . Esta definición sólo es útil para ángulos agudos. En general la tangente de un ángulo cualquiera se define como:

tan  

sen cos 

ACTIVIDAD 6 Completa la siguiente tabla ayudándote de la calculadora:

18 ángulo

0 30 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360 º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

tangent e 

¿Qué ocurre con la tangente de 90º y con la de 270º? La función tangente

ACTIVIDAD 7 Ahora representa la función tan . Sólo para valores del intervalo ] -/2 , /2 [. (Este intervalo en grados sexagesimales se corresponde de –90º hasta 90º).

En el eje de abscisas sitúa los valores del

ángulo en radianes.

La gráfica de la función tangente que has obtenido será semejante a la que tienes a continuación: 

Esta función no está definida para cualquier valor de x. Como has podido ver los ángulos 90º (/2 rad) y 270º (3/2 rad) no tienen tangente. Tampoco existe la tangente para los ángulos que se obtiene a partir de los anteriores sumándoles 360º.



El dominio de la función tangente será: D(f) = R  { / 2 + k ·  siendo k Z



Las rectas y = /2 + k · , son asíntotas verticales de la función.



Los valores de la tangente se repiten cada  radianes (180º).

En conclusión y de repaso:

19 Gráficas de las funciones trigonométricas

y  sin x

y  cos x

y  tan x

y  cot x

y  sec x

y  csc x

20 Tabla de valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales

Ángulo en grados 0º

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

0

1

0



1

1 2

3 2 2 2 1 2

3 3 1

3

3

3 3

0



0

1 2

- 3

30º 45º

2 2 3 2 1

60º 90º 120º

3 2 2 2 1 2

135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

0 -

1 2

2 2 3 2 -1

-

3 2 2 2 1 2 -

0

-

2 2 3 2 -1

-

-1

-

3 3

1

3 3 -1

0



3 2 2 2 1 2

3 3 1

3

3

3 3

0



0

1 2

- 3

-

2 2 3 2 1

-1

-

3 3 0

2 3 3 2 2



-

- 3

1

3 3 -1

-

- 3



Cosecante Ángulo en radianes

-2 - 2 -

2 2 3 3 1

 6  4  3  2 2 3 3 4 5 6 

2 3 3 2 2

 -2 - 2 -

 2

2

2 3 3 1

-

-2

0

2

2 3 3 -1

2 3 3 - 2



2 3 3 -1

2 3 3 - 2

-

-2



7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 2

21 Tabla de signos de las funciones Trigonométricas en el plano

Cuadrante II Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x

+ +

Cuadrante III Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x

+ + -

Cuadrante I Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x

+ + + + + +

Cuadrante IV Sen x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x

+ + -

Identidades de funciones Trigonométricas del ángulo doble.

sin(2 x)  2sin( x)cos( x)

cos(2 x )  cos2 ( x)  sin 2 ( x)  1  2sin 2 ( x ) 2 tan( x ) tan (2 x )  1- tan 2 ( x ) Fórmulas de producto – suma

1 cos( x  y )  cos( x  y ) 2 1 cos x cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) 2 1 sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 2 1 cos x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 2 sin x sin y 

Identidades pitagóricas

sin2 x  cos2 x  1 1  tan 2 x  sec2 x 1  cot 2 x  csc2 x

Identidades de funciones Trigonométricas de ángulos negativos

Sin (  x )   Sin ( x ) Cos (  x )  Cos ( x ) Tan (  x )  Tan ( x ) Cot (  x )   Cot ( x ) Sec (  x )  Sec ( x ) Csc (  x )   Csc ( x ) Identidades de funciones Trigonométricas Reciprocas

1 tan x 1 sec x  cos x 1 csc x  sin x cot x 

Fórmulas de suma y diferencia

sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y cos( x  y )  cos x cos y sin x sin y tan x  tan y tan( x  y )  1 tan x tan y Fórmulas de suma y diferencia

sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y cos( x  y )  cos x cos y sin x sin y tan x  tan y tan( x  y )  1 tan x tan y x y x y sin x  sin y  2sin   cos    2   2  x y x y sin x  sin y  2cos   sin    2   2  x y x y cos x  cos y  2cos   cos    2   2  x y x y cos x  cos y  2sin   sin    2   2 

22 Algunas Identidades Trigonométricas Las siguientes identidades son de utilidad para distintos procedimientos, como cálculos de límites e integrales. No es necesario memorizarlas porque suelen estar incluidas en tablas de derivadas, integrales, etc. Simplemente enumeramos sólo algunas de ellas. Para  y  cualesquiera:

sen (   ) = sen  cos   cos  sen  cos ( +  ) = cos  cos   sen  sen  cos (   ) = cos  cos  + sen  sen  tg ( + ) =

Para cualquier  :

tg   tg  1  tg  tg 

sen (2) = 2 sen  cos  cos (2) = cos2  sen2 tg (2) =

2 tg  1  tg 2 

1  cos   sen   2 2   1  cos   cos   2 2 sen   tg     2  1  cos  cos2  =

1  cos 2  2

sen2  =

1  cos 2  2

23 Actividad 7 Verificar las siguientes identidades (se aconseja trabajar en cada miembro de la igualdad sustituyendo las expresiones por otras identidades conocidas hasta llegar a una igualdad evidente). Ejemplo:

sen  sec   1 

sen   cos  cos 



sen 

sen  1 1 1  cos  cos 

sen  sen   cos  cos 

cot g 2  b) sen  = 1 – cos ec 2 

cos  a) sec  – tg  = 1  sen 

2

c) (cosec  + cotg   1)  (cosec   cotg  +1) = 2 cotg  d) sen2 + 2 cos2 +cos2  cotg2 = cosec2

Resolución de Triángulos rectángulos Resolver trigonométricamente un triángulo rectángulo consiste en, dados algunos elementos del triángulo, obtener los restantes. Ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo dados la hipotenusa a = 20 cm y

Bˆ , y las incógnitas

Entonces los datos son: a y y c. Como Cˆ y Bˆ son complementarios, resulta

Cˆ , b

Bˆ = 28º 35'

C a b

Cˆ = 90º – Bˆ  Cˆ = 61º 25’ A ˆ =b Como sen B

B

ˆ = 20 cm  0,4784 = 9,568 cm  b = a sen B

a

ˆ = Además, cos B

c

c a

ˆ = 20 cm  0,8781 = 17,562 cm  c = a cos B

Actividad: a) Para un triángulo rectángulo similar al del ejemplo, hallar c, B y C sabiendo que cm.

a = 15 cm y b = 9

24 b)

Un globo sujetado por un cable de 180 m es inclinado por el viento formando el cable un ángulo de

60º con la horizontal. Calcular la distancia del globo al suelo. c)

Calcular la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en una pared alcance una altura de

2,85 m al formar con el plano de la base un ángulo de 58º 1’.

Rta: 3,36 m.

d) Un alambre carril recto de 320 m une dos estaciones A y B y tiene una pendiente de 0,532. Calcular la diferencia de altura sobre el nivel del mar entre A y B.

Rta: 150,23 m

ACTIVIDAD EVALUATIVA 3 10 1 2) Si cos β  , encuentra las otras funciones. 2

1) Si cos β 

3) Si tan  

5 , encuentra las otras funciones. 9

4) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Use calculadora. a)  = 24º y c =16. b) a = 32.46 y b = 25,78

B



c)  = 24º y a =16 d)  = 71º , c = 44 e) a = 312,7 ; c = 809 f) b = 4.218 ; c = 6.759 g)  = 81º ; a = 43,6

c

a

 C

A b

5) Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla? 6) ¿Cuál es la sombra que proyecta un hombre que mide 1,93 m de altura, si el sol forma un ángulo de elevación de 30º? 7) Desde la parte superior de una torre de 120 metros de altura se observa que el ángulo de depresión a un objeto que está a nivel de la base de la torre que es de 0º¿Aqué distancia se encuentra el objeto de la cúspide y de la base de la torre? 8) Qué distancia tiene un poste que se encuentra a 10 metros de una persona de estatura 1,6 metros que observa con un ángulo de elevación de 30º?

25 TALLER 1 1) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos. a)



b)

10

6

3 2

2







8 5 2

2) Resolver un triángulo equivale a determinar el valor de los tres ángulos y los tres lados. A continuación se dan los tres mínimos que necesitarás para resolver cada triángulo.

a) sen 23º =

2 5

b) cos 73º =

2 7

c) tg 7º =

1 8

3) Algunos valores de las funciones trigonométricas los puedes calcular directamente sin usar calculadora. Calcula según la figura y luego comprueba con tu calculadora. a) sen 30º b) cos 30º

a

c) sen 60º

h

a

d) cos 60º e) ¿es necesario conocer las medidas

a

del triángulo?

4) Si se sabe que tg 

sen . Calcule, sin usar calculadora, los valores de la tangente para los ángulos cos 

dados en el ejercicio anterior. 5) Si se sabe que cosec  =

1 1 , sec  = y sen cos 

cotg  =

1 . Calcule, sin usar calculadora los tg 

valores de la cosecante(cosec), la secante (sec) y la cotagente (cotg) para los ángulos usados en el ejercicio número3, realizado antes. 6) Con la ayuda de un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a” puedes calcular el valor de las razones trigonométricas del ángulo de 45º. Dibújalo y escribe tus cálculos.

a

a

26

7) Utiliza una calculadora y encuentra las razones trigonométricas de los ángulos: 0º, 25º,45º,70º y 85º. ¿Entre qué valores varía el seno y el coseno?

8) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 19º

b) 34º12`32``

c) 55º

d) 12,5º

9) Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema. 10) Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema 11) Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema 12) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa? 13) Manuel, un astrónomo principiante, midió el ángulo que se muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es 6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel? Tierra

Luna

1º

14) Determina el ángulo de inclinación mínimo necesario para que el avión de la figura pueda despegar sobrevolando el cerro.

100m

27 Avión ____________________________________________________________________

250m 15) En un momento determinado, los dos brazos de un compás están separados por una distancia de 5 cm. Si cada brazo mide 10 cm, ¿cuál es el grado de abertura del compás? 16) Al colocarse a cierta distancia del pie de un árbol, se ve la punta del árbol con un ángulo de 70º. ¿Bajo qué ángulo se verá el árbol si uno se aleja el triple de la distancia inicial?. Haz el dibujo. TALLER TIPO TEST ( ICFES-SABER) Marca la alternativa correcta. 1) Si sen  = I) cos  =

5 y  es un ángulo agudo, entonces de las siguientes afirmaciones son verdaderas: 7

2 3 7

a) Sólo I

II) sec  =

b) Sólo II

3 6

c)Sólo III

III) cosec  =

d) I y III

7 5

e) Todas

2) El valor de la expresión sen245º + cos230º es:

a)



2 3



2

 b)

2 3 4



2

c)

5 4

d)

5 4

e) N.A.

3) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuando el ángulo de elevación del sol es de 50º? a) 23,8 m

b) 12,8 m

c) 15,3 m

d) 16,8 m

e) 1,53 m

4) ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con que la tangente sea un valor negativo? a) 181º

b) 335º

5) Sabiendo que sen  = a) 1,55

c) 85º

d) 0,52º

e) 258º

3 , entonces el valor de cos  + tg  - sen  es: 5

b) 0,95

c) 1,45

d) 1,95

e) N.A.

6) En la cima de un cerro se ha levantado una antena de telefonía celular. Desde un punto ubicado en el valle se miden los ángulos de elevación del extremo superior y la base de la antena. ¿Cuál es la altura del cerro si estos ángulos son 57º y 42º respectivamente y además la antena mide 80 m de alto?

28 a) 100 m

b) 112,6 m

c) 154 m

d) 168,3 m

e) N.A.

7) ¿En qué ángulo de elevación está el sol si un edificio proyecta una sombra de 25 m y tiene una altura de 70 m? a) 19,6º

b) 20,9º

8) Si sen  = a)

7 3

c) 69º

d) 70,3º

e) N.A.

3 , entonces el valor de la tg  es: 7

b)

2 10 7

c)

3 10 20

d)

9) En la figura, BD = 100 dm. Entonces AC mide:

2 10 3

e) N.A.

C

a) 150 3 dm b) 100 3 dm c) 50 3 dm d) 25 3 dm

60º

A

e) 15 3 dm

30º

D

B 10) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base si uno de sus lados mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30º. a) 0,05 cm

b) 0,17 cm

c) 12,3 cm

d) 17,32 cm

e) N.A.

11) ¿Qué altura tiene un puente si al medir la elevación a 50 m de uno de sus pilares es de 22º? a) 18,7 m

b) 46,3 m

c) 20,2 m

d) 19,2 m

12) Sea el triángulo ABC. ¿Cuánto vale el lado AB?

a) 3 2 b) 4

C 2

e) N.A.

29 c)

12 A

d) 4 3

30º

30º

B

e) 2 5 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo es oblicuángulo si no posee entre sus ángulos internos un ángulo recto, es decir, los ángulos internos o son agudos a dos agudos y uno obtuso. Recuerda que: - Se ha convenido que la notación de sus ángulos agudos sean

Â, B, Ĉ y las longitudes de sus

correspondientes lados opuestos se identificarán como: a, b y c. - La suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°, es decir; Â + B + Ĉ = 180°. Para resolver un triángulo oblicuángulo, sólo se usan las leyes del seno y/o del coseno. B

a c

C b

A

LEY DE LOS SENOS En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante; esto es:

a Sen 



b Sen 



c Sen 

En la resolución de los triángulos oblicuángulos se aplica dos a dos según los datos conocidos y el desconocido (incógnita).

a Sen 



b Sen 

a Sen 



c Sen 

30

b Sen 



c Sen 

LEY DE LOS COSENOS

En todo triángulo oblicuángulo ABC, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido entre dichos lados.

a 2  b 2  c 2 - 2 . b . c . Cos 

b 2  a 2  c 2 - 2 . a . c . Cos  c 2  a 2  b 2 - 2 . a . b . Cos 

En estas relaciones, sólo se puede despejar el coseno del ángulo y nunca ninguno de los lados.

SOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS Cuando se conocen tres elementos de un triángulo oblicuángulo, (no todos los ángulos) se dice que el triángulo está bien determinado o en forma única. En la resolución de los triángulos oblicuángulos se pueden presentar los siguientes casos:

1.- Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Se recomienda aplicar la ley de los senos para calcular en primer lugar el lado opuesto del segundo ángulo dado. 2.- Conocidos

dos ángulos y el lado comprendido entre ellos se debe calcular en primer lugar la medida

del tercer ángulo y después mediante la aplicación de la ley de los senos cualquiera de los lados restantes (desconocidos). 3.- Dados los dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados.

Para resolver los triángulos rectángulos, según este caso se aplica la ley de los senos y se calcula en primer lugar la medida del ángulo opuesto al segundo de los lados conocidos, cuando el Sen   1 .

31 4.- Dados un ángulo y los lados que lo forman. En primer lugar se calcula el tercer lado mediante la aplicación de la ley de los cosenos.

5.- Dados los tres lados. En este caso, se aplica la ley de los cosenos y se despejan los cosenos para calcular las medidas de los ángulos.

TALLER 1 En cada uno de los siguientes problemas construye un triángulo que muestre las medidas dadas y resuelve para lo que se pide.

1. Resolver el triángulo ABC tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º. 2. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm. 3. Resolver el triángulo ABC con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m. 4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80°. 5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50°. Hallar el perímetro del paralelogramo. 6. Desde un punto se observan unos chopos con un ángulo de 36°, si avanzamos hacia ellos en línea recta y los volvemos a observar el ángulo es de 50°. ¿Qué altura tienen los chopos? 7. Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C?. 8. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2 m, otro 1.5 m y el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40°. ¿Lo conseguirá? ___ Explica 9. Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38° y cada uno va por su lado, uno camina a 3 km/h y el otro a 3.5 km/h, ¿a qué distancia se encuentran al cabo de media hora? 10. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden PAB=42°, PBA=37° y PAC=50°

32 TALLER 2

TALLER TIPO SABER-ICFES EL PARQUE (PREGUNTAS 1 Y 2): En un lote de forma rectangular cuyos lados miden 80 y 60 metros, se va a construir un parque. La figura muestra el plano del parque. Los puntos F y G son los puntos medios de los lados del rectángulo ACEH.

33 1. LA longitud de FG es: a) 70 mts. b) 50 mts. C) 40 mts. D) 40

3 mts.

2. AE mide respectivamente: a) 2400 mts

b) 1000 mts

c) 100 mts d) 240 mts

3. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared:

la medida en dm de la altura en que se apoya la parte superior de la escalera en la pared es: a)

4850

b) 90

c)

3600

d) 1625

Responde las preguntas 4 y 5 con la siguiente información: “SÍ en un triángulo rectángulo

Sen θ=

”

4. Entonces tangente de θ es: a.

b.

c.

d.

5. Secante es: a.

c. 2

b.

d.

6. En un triángulo ABC, el ángulo con vértice en B es recto y la medida del ángulo en C es el doble de la medida del ángulo en A. a. ABC es un triángulo isósceles. b. El ángulo A mide 30º y el ángulo C mide 60º. c. La hipotenusa mide el doble de la longitud del cateto BC. d. El cateto BC mide la mitad del cateto AB. 7. En la siguiente igualdad del teorema de Pitágoras a. 2

b. 4

c. 3

el término faltante es: d. 6

34 8. De acuerdo con el Teorema del señor Pitágoras, el cateto opuesto al ángulo α mide:

a.5 cm b. 8 cm 9. La conversión de a. 60º

b. 180º

c.12 cm

d. 25 cm

a grados es: c. 120º

d. 540º

10. La conversión de 30º a radianes es: a.

b.

c.

d.

11. La inversa de la función secante es: a. seno b. coseno c. tangente. d. cosecante

12. según el triangulo, La secante de α equivale a: a. 4/5 b. 3/5

c. 5/4 d. 5/3

El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zonas verdes, las cuales ocupan igual área, además muestra el tráfico a cierta hora del día

13. Un taxi que parte del centro hacia la iglesia San Mateo, a velocidad constante, no puede continuar por la avenida central y debe desviar por una de las vías alternas. Para gastar menos gasolina, el taxista debe:

35 A. desviar por la avenida L, porque el ángulo es mayor que el ángulo B. elegir cualquiera de los desvíos, porque las zonas verdes son de igual área C. desviar por la avenida S, porque recorrerá una distancia menor D. desviar por la avenida L, porque la zona verde L es de menor área que la zona verde S 14. Andrea construyó una cometa con cuatro triángulos de papel que cortó de dos rectángulos con las medidas que se señalan en los dibujos

La cometa armada tiene la siguiente forma:

La distancia entre los puntos K y S es A. 40 cm. B. 55 cm. C. 60 cm. D. 75 cm. 16. Se puede afirmar que existe un triángulo que tiene un ángulo recto, y que los otros dos ángulos deben medir. a. 45º 17.

b. 180º

c. 60º

d. 90º

El siguiente plano muestra las medidas de una sección del zoológico:

Según el plano, ¿cuánto mide la superficie total del pasillo?: A) 20 m² B) 33 m² C) 34 m² D) 40 m²

36 UNIDAD 2 PENSAMIENTO NUMÉRICO- VARIACIONAL

“FUNCIONEMOS LAS ECUACIONES”

Antes de comenzar la unidad deseo proponerte lo siguiente...

1. Plantea

las

ecuaciones

que

conoces. 2. ¿

Cuántas

soluciones

puede

tener una ecuación ? 3. ¿

Cuántas

incógnitas

puede

tener una ecuación? 4. ¿ Qué importancia tienen las ecuaciones?

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA : Uno de los genios más extraordinarios de la historia de las Matemáticas fue el matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) . En 1799, Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra, que dice que cada ecuación algebraica tiene una raíz de la forma

a + bi, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de -1. Los números expresados en la forma a + bi se llaman números complejos y Gauss demostró que se podían representar análogamente a los puntos de un plano. En 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: “ todo número natural se puede

representar como el producto de primos de una y solamente una forma”. Así dejó fundamentada la Aritmética Superior. Su obra principal fue “ Disquisitione Arithmeticae”

37

Se ve interesante el tema... Ahora voy a investigar de que trata esto para luego aplicar lo que haya aprendido.

Trata de soñar y piensa cuántas ecuaciones existen, cuántas incógnitas pueden tener, qué es necesario conocer si existen ecuaciones con más de una incógnita. Investiga en los textos sobre estos temas y verás cómo las matemática va creciendo y siempre existen formas de resolver problemas. Aunque se dice que hay más problemas sin resolver que problemas resueltos.

Esto es verdad, es por eso que la

Matemática sigue avanzando y siempre se van creando cosas nuevas y con aplicaciones nuevas.

Ecuación de la recta y otras funciones

modelos de situaciones diarias: En esta unidad veremos cómo modelar información utilizando la línea recta. EVIDENCIA NUMÉRICA: MUERTES POR CÁNCER PULMONAR

La información que se presenta en la siguiente tabla fue extraída del libro del Ministerio de Educación de segundo año medio de Gonzalo Riera Lira, y pretende mostrar la relación entre el número de cigarrillos consumidos y el número de muertes por cáncer al año por cada cien mil habitantes.

38 PROMEDIO

DE MUERTE AL AÑO POR CADA 100.000 HABITANTES

CONSUMO

DE

CIGARROS AL AÑO POR PERSONA

CÁNCER

DE CÁNCER

DE CÁNCER

DE LEUCEMIA

PRÓSTATA

PULMÓN

RIÑÓN

1.600

3,10

15,60

1,77

6,08

1.820

2,95

17,25

1,80

6,10

2.000

3,02

14,12

3,32

7,00

2.100

3,45

17,44

2,65

7,20

2.150

3,90

23,15

2,32

6,72

2.200

4,00

15,40

3,25

7,95

2.250

4,05

17,83

3,10

7,20

2.330

3,30

16,10

3,14

7,54

2.370

4,55

20,75

3,12

6,92

2.500

5,27

21,23

2,85

6,76

2.580

4,10

21,22

3,17

6,81

2.600

4,60

23,40

2,85

6,95

2.650

4,58

22,00

3,02

7,10

2.750

4,04

21,00

2,55

6,82

2.800

4,01

24,75

2,56

5,94

2.860

5,20

24,00

3,36

7,11

2.900

5,50

24,34

2,98

6,75

3.030

3,46

25,88

4,32

4,90

3.200

5,12

23,84

3,35

6,82

4.100

6,25

25,12

3,05

6,80

Las conclusiones que podemos obtener de la tabla no son muy precisas, para obtener resultados más exactos y visibles te sugerimos que dibujes una gráfica de puntos que represente , por ejemplo, las muertes por cáncer pulmonar (eje vertical) v/s cigarrillos consumidos (eje horizontal).

39 Aun así la información es muy difusa y poco práctica, te sugerimos:

-

Calcula el promedio de los datos en la horizontal, y a su vez el promedio de los datos en la vertical.

-

Marca el punto promedio sobre tu gráfico, toma una regla y hazla girar sobre el punto promedio.

-

Dibuja una recta que se ajuste mejor los puntos que marcaste en tu gráfico.

-

Determina la razón de aumento de consumo de cigarrillos y aumento de muertes por cáncer al pulmón. LA LINEA RECTA

I Ejes de coordenadas y 5 4

P(a, b)



b 3 2 1

1

-1

2

3

a

4

x

-1

El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes. El eje horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas. Sobre el sistema de ejes coordenados es pueden ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b), como lo muestra la figura. En el punto P(a, b) los elementos a y b se llaman coordenadas del punto P

40 Distancia entre dos puntos

y Supongamos que P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) Son dos

y2

La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por

y1

ejemplo, mediante el teorema de Pitágoras, de la

P2



P1

y2 – y1

puntos del plano tal como se observa en la figura.



x2 – x1

siguiente manera:

x1

PP 

2

1 2

x2

x

 (x2 - x1 )2  (y2 - y1 )2

Así la distancia de P1 a P2 es:

P1P2 

Ejemplo:

La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:

(3 - (-4))2  (-5 - 7 )2

AB 

 AB 

(x2 - x1 )2  (y2 - y1 )2

49  144 193

Representación gráfica de la línea recta

En toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. Ejemplo: la ecuación L: x + y = 4

41 Tabla de valores

Gráfico



y 5

x

y

(x, y)

4

2

2

(2, 2)

3

1

3

(1, 3)

2

0

4

(0, 4)

1

-1

5

(-1, 5)



1

-1

2

3

x

4

-1

L

Observaciones: 

A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta.



Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación .



Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a la recta correspondiente.

PENDIENTE DE UN RECTA Se denomina pendiente “m” de una recta al grado de inclinación “” que tiene respecto del eje de las abscisas (eje x)

y L



m 

y2 - y1 x2 - x1

y2 – y1

y2



y1 

x1

x2 – x1

x2

x

42 ACTIVIDAD 1

Supongamos que se tienen 4 rectas L1 , L2 , L3 y L4 de modo que :

L1 pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1) L2 pasa por los puntos: P(1, 2) y Q(5,2) L3 pasa por los puntos: D(1,2) y E(1,-5) L4 pasa por los puntos: R(1,2) y T(-2,-6)

1. Grafica cada una de éstas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. 2. Calcula la pendiente de cada una de éstas rectas. 3. Establece conclusiones válidas en relación a la inclinación de cada una de estas rectas con respecto al eje x y compáralo con el valor de su pendiente. 4. ¿Qué ocurre cuando y2 = y1 ?, ¿y si x2 = x1 ? Interpreta y dibuja las siguientes situaciones:

5.

m

2 3

6.

m

-2 3

Dado el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son los puntos A(1,2), B(5,2), C(3,4) y D(7,4)

7. Demuestra que éste cuadrilátero es un paralelógramo. 8. Calcula el perímetro del paralelógramo. Decimos que tres o mas puntos son colineales cuando pertenecen a una misma línea recta, determina, en cada caso, si los puntos son o no colineales. Realiza además el gráfico correspondiente:

9. A(2, 3) ; B(4, 5) ; C(6, 7)

10. A(-5, 1) ; B(1, 15) ; C(-4, 15)

43 Haz el gráfico correspondiente a las siguientes rectas, en un mismo sistema de ejes coordenados y establece conclusiones válidas respecto a lo que observas en ellas.

11. L1 : y = 2x –1

12. L3 : x + y = -3

15. L2 : y = 14. L5 : 2x – y + 3 = 0

13. L4 : y = x

1 x 2

16. x + 2y = 1

PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA con los ejes coordenados

y y x L

x

Según la gráfica que se muestra a continuación, los puntos donde la recta L corta al eje x son de la forma (x, 0) y donde corta al eje y , de la forma (0, y). Ejemplo: Hallar la intersección de la recta 2x – 3y = 12 con los ejes coordenados:

Intersección con el eje x : se hace y = 0

Resulta:

2x = 12

de donde :

Intersección con el eje y : se hace x = 0 Resulta: de donde :



6

x=6

Así la recta corta al eje x en el punto (6, 0)

-

y

-3y = 12 y = -4

Así la recta corta al eje y en el punto (0, -4)

-4 

x

x

44 ACTIVIDAD 2

Dadas las siguientes rectas encuentra la intersección de ellas con los ejes coordenados:

17. x – 2y = 2

19. x +

18. 3x – 6y = 18

1 y=1 2

20.

1 1 x  y 1 2 3

ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA

Toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, también se puede escribir en la forma y = mx + n , es decir como una función, donde m es la pendiente o coeficiente de dirección y n es la intersección de la recta con el eje y , llamada también coeficiente de posición. De esta forma, podemos afirmar que una recta está perfectamente definida si se conocen:

-

dos puntos de ella

Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5, 4) y B(7, 8)

Calculemos su pendiente m 

8-4 7-5

 m

4 2

 m2

Como

y = mx + n , considerando el punto A(5,4) con x = 5 e y = 4

Tenemos

4=2·5+n 4 = 10 + n /-10 -6 = n

Luego:

y = 2x – 6 es la ecuación pedida

un punto y su pendiente.

45 Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, -5) y tiene pendiente -4

Como, el punto dado es A(2,-5) con x = 2 e y = -5 y el valor de la pendiente es m=-4 Entonces Tenemos

y = mx + n -5 = -4 · 2 + n -5 = -20 + n /+20 15 = n

Luego:

y = -4x + 15 es la ecuación pedida

ACTIVIDAD 3

Encuentra la ecuación de la recta que:

1. Pasa por el punto P(-1, 3) y cuya pendiente es -2 2. Pasa por los puntos R(-1, 2) y T(1, 7) Analiza cuidadosamente las rectas que cumplen:

3. Su pendiente es m = 0 4. Sus ecuaciones son de la forma x = a 5. Sus ecuaciones son de la forma y = mx Posiciones de dos rectas en el plano

¿De qué manera puedes poner dos rectas en un plano? ¿Cuándo dos rectas son paralelas y cuándo perpendiculares?

Consulta y realiza

46 Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas que sean paralelas, indica en ellas

-

sus ecuaciones respectivas y destaca sus pendientes. Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas que sean perpendiculares, indica

-

en ellas sus ecuaciones respectivas y verifica la propiedad de sus pendientes. Representa en un gráfico de ejes cartesianos una recta cualquiera y luego varía el valor de

-

la pendiente dándole valores positivos y negativos. Representa en un gráfico de ejes cartesianos dos rectas secantes e indica el punto de

-

intersección de ellas. Establece conclusiones válidas en cada uno de los puntos anteriores

-

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. Recordemos que son aquellas que tienen la incógnita dentro de un valor absoluto. Para esto recordemos el concepto de valor absoluto:  x  x =  0 -x 

, si , si , si

x>0 x=0 x0 y b>0 el punto está en el …... cuadrante,

ii)

Si a