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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA GEOLÓGIA

GEOESTADISTICA “MODELO POISSON”

PRESENTADO POR: AGUILAR MALIMBA MELANY GRISSEL ALCANTARA CHAVEZ EDINSON ALBERTO , BURGA GONZALES CHRISTIAN RICHARD CARUAJULCA PEREZ EXER WALBERTO CHILON CALUA HECTOR EDUARDO DE LA CRUZ CHUQUIMANGO JHOEL LUCANO CHUAN DEYSI LIZBETH

DOCENTE: ING. WILDER CHUQUIRUNA CHAVEZ

CAJAMARCA, MAYO DE 2018

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería Escuela Académico Profesional de Geológica Modelo Poisson Muchos hechos no ocurren como resultado de un número definido de pruebas de un experimento, sino en puntos de tiempo, espacio o volumen al azar. El hecho puede ser el número de ocurrencias de fósiles con ciertas características en x cm3 de sedimentos, el número de partículas radiactivas emitidas por x cantidad de sustancia, el número de terremotos en x años, etcétera. Experimentos de este tipo se conocen como experimentos Poisson (atribuido al matemático francés S.D. Poisson, 1781 -1840) y reúnen las siguientes características: a) El número de ocurrencias del hecho es independiente de una unidad especificada a otra. La unidad especificada puede ser un intervalo de tiempo, de espacio o un volumen. b) El valor esperado de la variable es proporcional al tamaño de la unidad especificada. c) La probabilidad de más de una ocurrencia del hecho en una unidad especificada muy pequeña es despreciable en comparación con la probabilidad de una sola ocurrencia; por lo tanto puede considerarse nula. d) Las pruebas son independientes. e) La variable aleatoria bajo estudio es X, el número de ocurrencias por unidad especificada. f) La variable aleatoria Poisson es discreta y tiene infinitos valores posibles. g) La función de probabilidad Poisson, del número de ocurrencias por unidad especificada queda completamente definida por su promedio de ocurrencia en esa unidad especificada, el parámetro llamado Lambda ( λ) h) La función de probabilidad que permite calcular la probabilidad de obtener exactamente x ocurrencias en la unidad especificada es

Pt(𝑥, λ)= 𝑒 −λ

λ𝑥 𝑥!

i) La Esperanza de una variable Poisson es E(X) = λ j) La varianza de una variable Poisson es V(X) = λ k) La función de distribución acumulada de una variable Poisson, como la de cualquier variable aleatoria discreta, da la probabilidad de obtener r ó menos ocurrencias, se obtiene sumando las probabilidades de obtener las

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería Escuela Académico Profesional de Geológica probabilidades individuales para todos los valores Poisson iguales o menores a r, es decir

Pt(𝑟, λ)= 𝑃(𝑥 ≤ 𝑟) 𝑟

Pt= ∑𝑥=0 𝑃(𝑥; λ)

figura N° 1:

Distribuciones de Poisson para: a) λ = 1, b) λ =15 y c) λ = 5.

EJEMPLO MODELO POISSON

Un evento que ocurre más de una vez, o se espera que ocurra más de una vez, se dice que es recurrente. El periodo de retorno es el intervalo de tiempo esperado entre ocurrencias. El Popoctepetl es el volcán activo más alto de México. A partir del estudio del historial de las erupciones se estimó el periodo de retorno en 0,0202 años-1. RESOLUCION a) Calcular las probabilidades de tener 1, 2 y ninguna erupción en 20 años. El dato inicial λ = 0,0202 erupciones en un año. Como es proporcional a la unidad entonces para 20 años λ = 0,404 Ninguna erupción x = 0, una erupción x=1 y dos erupciones x=2. e=2,71828

Pt(0, 0.404)= 𝑒 −0,404

0.4040 0!

Pt(1, 0.404)= 𝑒 −0,404

0,4041 = 1!

0,270

Pt(2, 0.404)= 𝑒 −0,404

0,4042 = 2!

0,054

= 0.668

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a) ¿Cuántas erupciones se espera que ocurran en 50 años? Para este caso λ=1,01. Dado que la esperanza de la distribución de probabilidades Poisson es E(X) = λ, se espera que ocurra una erupción cada 50 años.

Algunas variables geológicas que siguen el modelo Polisón son: minerales raros en rocas expresados como número de granos en muestras de un tamaño dado, número de pozos de petróleo por área en un yacimiento, el número de partículas emitidas por unidad de tiempo de sedimentos radioactivos y todo evento u objeto que se pueda contar en unidades iguales de área, volumen o intervalos de tiempo iguales. También suele describir adecuadamente a los eventos raros como inundaciones, tsunamis, actividad volcánica, etcétera. Fuente: Introducción al análisis estadístico de datos geológicos, Marta Alperin, 1a ed. - La Plata: Universidad Nacional de La Plata, 2013. Pág. 55-56