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• Wilhelm Sánchez

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Elaborado por Daniel García Moreno

Pachuca, Hidalgo Septiembre 2019

Modelo de Gompertz La función fue diseñada originalmente para describir la mortalidad humana, posteriormente se ha modificado para que se aplique en biología con respecto a poblaciones. También se ha tomado este modelo para lograr estimar el crecimiento de tumores, el comportamiento de poblaciones bacterianas, fertilidad femenina hasta en la predicción de ciertas economías.

Figura 1 (Comportamiento del modelo de Gompertz)

El modelo de Gompertz viene dado por la ecuación diferencial P′(t) = kLN [

A P(t)] ∙ 𝑃(𝑡) ①

Donde   

P A k

Corresponde al tamaño de la población Valor máximo de crecimiento Tasa de crecimiento de la curva (se supone que K > 0).

Que viene siendo lo mismo a: dP

= kLN

2

[

dt

A ]∙𝑃② P

Para poder hacer un despeje de la ecuación diferencial de Gompertz partiremos de la ecuación ②. Dicho lo anterior, se despejan todos los términos P del lado izquierdo de la ecuación y los términos independientes (t ) al lado derecho; en esta ocasión sólo se encuentra dt. Por lo que tendremos lo siguiente: dP = kdt A LN [ ] ∙ 𝑃P Seguido de ello procederemos a Integrar sin límites ambas partes de la ecuación: ∫

Para poder integrar ∫

dP

LN[A ]∙𝑃 P

Sustituyendo:

dP A = k ∫ 𝑑𝑡 LN [ ] ∙ 𝑃 P

haremos una sustitución y diremos que:

� � 𝑢 = 𝐿𝑁 [ ] = 𝐿𝑁[𝐴] − 𝐿𝑁[𝑃] 𝑃⇒

−Pdu

∫

u∙𝑃

𝑑𝑢 𝑑𝑃

=−

1 𝑃 ∴ 𝑑𝑃 = −𝑃𝑑𝑢

= k ∫ 𝑑𝑡

du −∫

u

= k ∫ 𝑑𝑡 ⇒ −𝐿𝑁[𝑢] + 𝐶 = 𝑘𝑡 ∴ −𝐿𝑁[𝑢] = 𝑘𝑡 − 𝐶

𝐴

𝐿𝑁 [𝐿𝑁 [ ]] = −𝑘𝑡 + 𝐶 𝑃

Lo que se desea obtener es el despeje de nuestra variable dependiente (P ), y para lograr esto se debe de usar propiedades de los logaritmos: 𝐿𝑁[𝐿𝑁

𝑒

𝐴

[ ]] 𝑃

= 𝑒−𝑘𝑡+𝐶

� � 𝐿𝑁 [ ] = 𝑒 𝑃

−𝑘𝑡+𝐶

3

𝑒 𝐿

𝐴

[ ] 𝑃

𝑁

= 𝑒 𝑒 −𝑘𝑡+𝐶

𝐴 𝑒−𝑘𝑡+𝐶 𝑃 =𝑒

Ahora, con leyes de los exponentes es posible decir que 𝑒−𝑘𝑡+𝐶 es igual a tener 𝑒−𝑘𝑡 ∙ 𝑒 𝐶 . Entonces, al ser 𝑒 𝐶 una constante, la sustituiremos por una letra, en este documento se ha escogido la letra B, por lo que tenemos lo siguiente:

𝐴 𝐵𝑒−𝑘𝑡 ③ 𝑃 =𝑒 Continuando con el despeje:

𝑃 = 𝐴𝑒−𝐵𝑒 −𝑘𝑡

④

Y será esta la ecuación de Gompertz, siendo:

P Tamaño de la población con respecto al tiempo A Valor máximo de crecimiento B Valor que permite que la curva se desplace a la izquierda o derecha, según sean los datos.  k Tasa de crecimiento de la curva   

Para encontrar los valores de A, B y k se puede usar cualquier método numérico de su preferencia. En este escrito se usará extrapolación lineal para B y k, para A se determinará por extrapolación geométrica (subjetivo). Para este escrito usaremos el ejemplo propuesto por el Dr. Guillen Buendia G. para el crecimiento de una especie de cebolla expresado en peso w está en función del tiempo t. t (meses) 1 3 5 7

w (gf) 25 70 190 390

t (meses) 9 11 13 15

w (gf) 600 725 690 720

w (peso)

Gráfico de disperción 800 700 600 500 400

A

300 200 100 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

t (tiempo)

Lo primero a realizar será la obtención de A, en este trabajo se estimará de una forma subjetiva; sin embargo, existen métodos donde hacen de esta estimación algo más exacto. Para estimarlo se propone adicionarle la unidad al valor más grande de nuestra variable dependiente, esto para evitar indeterminaciones. En este caso el valor de A = 726. Seguido de ello, se procede a hacer uso de la extrapolación lineal, para ello, empleando álgebra haremos de nuestra ecuación una recta (partiendo desde la ecuación ④. 𝑤 = 𝐴𝑒−𝐵𝑒−𝑘𝑡 𝐴

� −𝑘𝑡 � 𝑤 ⇔ 𝐿𝑁 [ ] = 𝐵𝑒 � � 𝐴 𝐿𝑁 [𝐿𝑁 []] = 𝐿𝑁[𝐵] − 𝑘𝑡 � � = 𝑒 𝐵𝑒−𝑘𝑡

Si nos damos cuenta, la ecuación que hemos obtenido (⑤), se asemeja a la ecuación de una recta ( 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ). Por lo que: 𝐴 [𝐿𝑁 [ ]] = 𝐿 𝑁 𝑦 𝑤 ∗

̂ = −𝑘 𝑚 𝑏̂ = 𝐿𝑁[𝐵] Bajo el uso de mínimos cuadrados se hace posible la obtención de 𝑚̂ y 𝑏̂, para hacer posible esto tabularemos los nuevos valores de la variable dependiente ( 𝑦 ∗ ) y mantendremos los datos de t (nuestra variable independiente).

t (meses) 1 3 5 7

w* (gf) = 𝑦∗ 1.2145193 0.8497469 0.293062 -0.475775

t (meses) 9 11 13 15

w* (gf) = 𝑦∗ -1.657471 -6.586861 -2.97871 -4.791644

4 2

2.1861 0 0 -2 -4 -6 -8

Como: 𝑘 = −𝑚̂ ; 𝐵 = 𝑒 𝑏̂ 𝑘 = 0.4941 ; 𝐵 = 𝑒2.1861 Entonces tenemos así la ecuación que satisfará de forma estimada al crecimiento de la cebolla. −𝟎.𝟒𝟗𝟒𝟏𝒕

𝒘 = 𝟕𝟐𝟔𝒆−𝟖.𝟗𝟎𝟎𝟒𝒆

Ahora, si se desea mejorar la ecuación se puede hacer por medio de algebra matricial; sin embargo, en este caso hemos propuesto una modificación para la ecuación de Gompertz. Donde ahora se escribe de la siguiente forma:

𝑃 = 𝐴𝑒−𝑒𝐵−𝑘𝑡

⑥

Repitiendo el proceso anterior tenemos la siguiente ecuación:

𝑃 = 726𝑒−𝑒

2.58759−0.459665 𝑡

Referencias Guillen Buendia, G., Islas Cortes, A. M., & Montoya Vargas, Y. (2019). RESISTENCIA AL IMPACTO DE MATERIALES DE ACERO. TRANSVERSALIDAD CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA Mex. Vol. 3, 94. López Fernández, J. L. (2011). La ecuación diferencial de Gompertz. Parra Márquez, J. C. (2017). Análisis del comportamiento del Modelo de. Universidad del BIO-BIO, 443 – 464.