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• Tití Henrry

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ETN 506 - SISTEMAS LINEALES MODELADO DE UN SISTEMA MECÁNICO Sea el sistema mecánico que se muestra en la figura 1, Realizar el análisis completo y modelarlo en MATLAB.

Figura 1: Sistema Mecánico 1. MODELADO MATEMATICO Según los diagramas de cuerpo libre se analiza las fuerzas que actúan en los puntos de referencia x1 y x2 respectivamente. Punto x1: 𝑟 𝑚1 ∙ 𝑎𝑥1 = 𝐹𝑢 − 𝐹𝑘1 − 𝐹𝑏1 − 𝐹𝑘3

𝑚1 𝑥1 = 𝑢 𝑡 − 𝑘1 𝑥1 − 𝑏1 𝑥1 − 𝑘3 𝑥1 − 𝑥2

...①

Punto x2: 𝑟 𝑚2 ∙ 𝑎𝑥2 = −𝐹𝑘3 − 𝐹𝑘2 − 𝐹𝑏2 𝑚2 𝑥2 = −𝑘3 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑘2 𝑥2 − 𝑏2 𝑥2

...②

Transformando ①,② con Laplace y ordenando términos 𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 + 𝑘3 𝑋1 − 𝑘3 𝑋2 = 𝑈 𝑠

...③

𝑚2 𝑠 2 + 𝑏2 𝑠 + 𝑘3 + 𝑘2 𝑋2 − 𝑘3 𝑋1 = 0

...④

De ④ despejamos x2 𝑋2 =

𝑚2

𝑠2

𝑘3 𝑋1 + 𝑏2 𝑠 + 𝑘3 + 𝑘2

Reemplazando en ③ 𝑚1 𝑠 2 + 𝑏1 𝑠 + 𝑘1 + 𝑘3 𝑋1 − 𝑘3

𝑚2

𝑠2

𝑘3 𝑋1 =𝑈 𝑠 + 𝑏2 𝑠 + 𝑘2 + 𝑘3

Función de transferencia inversa - Despejando y ordenando: 𝑈 𝑠 𝑋1

=

𝑚 1 𝑚 2 𝒔𝟒 + 𝑚 1 𝑏2 +𝑚 2 𝑏1 𝒔𝟑 + 𝑚 1 𝑘 2 +𝑘 3 +𝑏1 𝑏2 +𝑚 2 𝑘 1 +𝑘 3 𝒔𝟐 + 𝑏1 𝑘 2 +𝑘 3 +𝑏 2 𝑘 1 +𝑘 3 𝒔+ 𝑘 1 𝑘 2 +𝑘 1 𝑘 3 +𝑘 2 𝑘 3 𝑚 2 𝒔𝟐 +𝑏 2 𝒔+ 𝑘 2 +𝑘 3

...⑤

De acá que obtenemos el modelo matemático en t de x1, suponiendo que el sistema no tenía condiciones iníciales: 𝐴0 𝑥1 + 𝐴𝑥1 + 𝐴2 𝑥1 + 𝐴3 𝑥1 + 𝐴4 𝑥1 = 𝐵2 𝑢 + 𝐵3 𝑢 + 𝐵4 𝑢 . . . ⑥ Donde: 𝐴0 𝐴1 𝐴2 𝐴3

= 𝑚1 𝑚2 = 𝑚1 𝑏2 + 𝑚2 𝑏1 = 𝑚1 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑚2 𝑘1 + 𝑘3 = 𝑏1 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑏2 𝑘1 + 𝑘3

𝐴4 = 𝑘1 𝑘2 + 𝑘1 𝑘3 + 𝑘2 𝑘3 𝐵2 = 𝑚2 𝐵3 = 𝑏2 𝐵4 = 𝑘2 + 𝑘3

De la misma manera, obtenemos la Función de transferencia inversa 𝑈 𝑠 𝑋2

=

𝑚 1 𝑚 2 𝒔𝟒 + 𝑚 1 𝑏2 +𝑚 2 𝑏1 𝒔𝟑 + 𝑚 1 𝑘 2 +𝑘 3 +𝑏1 𝑏2 +𝑚 2 𝑘 1 +𝑘 3 𝒔𝟐 + 𝑏1 𝑘 2 +𝑘 3 +𝑏 2 𝑘 1 +𝑘 3 𝒔+ 𝑘 1 𝑘 2 +𝑘 1 𝑘 3 +𝑘 2 𝑘 3 𝑘3

El modelo matemático en t de x2, suponiendo que el sistema no tenía condiciones iníciales: 𝐴0 𝑥2 + 𝐴𝑥2 + 𝐴2 𝑥2 + 𝐴3 𝑥2 + 𝐴4 𝑥2 = 𝑘3 𝑢 . . . ⑧

2. PROGRAMA MODELADO EN MATLAB Recordemos nuestras funciones de transferencia ecuaciones ⑤ y ⑦: 𝑋1 𝐵2 𝒔𝟐 + 𝐵3 𝒔 + 𝐵4 = 𝑈 𝑠 𝐴0 𝒔𝟒 + 𝐴1 𝒔𝟑 + 𝐴2 𝒔𝟐 + 𝐴3 𝒔 + 𝐴4 𝑋2 𝑘3 = 𝟒 𝟑 𝑈 𝑠 𝐴0 𝒔 + 𝐴1 𝒔 + 𝐴2 𝒔𝟐 + 𝐴3 𝒔 + 𝐴4 Donde: 𝐴0 𝐴1 𝐴2 𝐴3

= 𝑚1 𝑚2 = 𝑚1 𝑏2 + 𝑚2 𝑏1 = 𝑚1 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑚2 𝑘1 + 𝑘3 = 𝑏1 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑏2 𝑘1 + 𝑘3

𝐴4 = 𝑘1 𝑘2 + 𝑘1 𝑘3 + 𝑘2 𝑘3 𝐵2 = 𝑚2 𝐵3 = 𝑏2 𝐵4 = 𝑘2 + 𝑘3

De ahí que podemos modelarlo en Matlab % MODELADO DE SISTEMA MECANICO % Con respuesta a fuerza "u" cualquiera % Ft= fuerza de entrada al sistema % t= tiempo de análisis % m1,m2,k1,k2,k3,b1,b2= constantes del sistema function sismec(ft,t,m1,m2,k1,k2,k3,b1,b2) A0=m1*m2; A1=m1*b2+m2*b1; A2=m1*(k2+k3)+b1*b2+m2*(k1+k3); A3=b1*(k2+k3)+b2*(k1+k3); A4=k1*k2+k1*k3+k2*k3; B2=m2; B3=b2; B4=k2+k3; num1=[0 0 B2 B3 B4]; den1=[A0 A1 A2 A3 A4]; num2=[0 0 0 0 k3]; den2=den1; % RESPUESTA A UNA ENTRADA % respuesta a fuerza impulso X1i=impulse(num1,den1,t); subplot(2,2,1); plot(t,X1i), grid on; title('Respuesta X1 - a Fuerza Impulso'); ylabel('Desplazamiento (m)'),xlabel('tiempo (s)'); X2i=impulse(num2,den2,t); subplot(2,2,2); plot(t,X2i), grid on; title('Respuesta X2 - a Fuerza Impulso'); ylabel('Desplazamiento (m)'),xlabel('tiempo (s)'); % respuesta a una fuerza definida externa X1f=lsim(num1,den1,ft,t); subplot(2,2,3); plot(t,ft,'g',t,X1f,'r'), grid on;

...⑦

title('Respuesta X1 - a Fuerza Definida "ft"'); ylabel('Desplazamiento (m)'),xlabel('tiempo (s)'); X2f=lsim(num2,den2,ft,t); subplot(2,2,4); plot(t,ft,'g',t,X1f,'r'), grid on; title('Respuesta X2 - a Fuerza Definida "ft"'); ylabel('Desplazamiento (m)'),xlabel('tiempo (s)');

3. ANALISIS DE RESULTADOS Se analizo respuestas a una fuerza tipo impulso a la entrada

m1==m2 m1>>m2 m2>>m1 k1>>k2 y k3 k2>>k1 y k3 k3>>k1 y k2 b1>>b2 b2>>b1

x1 Oscilación predominante hacia delante de la referencia Se estabiliza en t1 Oscilación a ambos lados de la referencia Se estabiliza en t2>>t1 Oscilación predominante hacia delante de la referencia Se estabiliza en t3 (t3>t1 Oscilación a ambos lados de la referencia Se estabiliza en t2>>t3 (t3