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MODELADO DE SISTEMAS Pedro Jos´e Toro 815069 Juan Esteban Pach´on 815054 Jhon Edwin Grajales 214030 Docente: Fabiola Angulo Garcia Profesora auxiliar: Luz Adriana Ocampo Monitor: Fernando Burgos Asignatura: Sistemas din´amicos y control Fecha: 7 de septiembre de 2017 Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica, Electr´onica y Computaci´on

Resumen—. El presente documento contiene la informaci´on del desarrollo de la gu´ıa numero 1: Modelado de sistemas donde se tuvo como prop´osito encontrar funciones de transferencia y diagramas de bloques de sistemas de segundo orden y sistemas reales f´ısicos

III-A1. sistema de segundo orden RLC: : El circuito de segundo orden propuesto se encuentra en la figura 1:

La pr´actica se enfoca al uso de herramientas de computaci´on y simulaci´on para comprender mejor el comportamiento de los sistemas, obtener informaci´on y visualizar su respuesta ante una ˜ de escal´on unitario a la entrada. senal

Palabras clave- Sistema de segundo orden RLC, Antena Azimuth, Inductor, Capacitor, Resistencia, MATLAB, Simulink,Transformada de Laplace I.

´ INTRODUCCI ON:

Conocer el funcionamiento general de un sistema es fundamental para poder predeterminar su comportamiento, el modelado de sistemas es importante al momento de tratar de ver como es un fen´omeno f´ısico del mundo real, ya que nos permite a partir de aproximaciones matem´aticas y leyes f´ısicas describir de una manera detallada el sistema. Estas aproximaciones matem´aticas que describen el sistema nos permite conocer la respuesta del sistema a determinada entrada, su error en la salida, su tiempo de establecimiento y dem´as caracter´ısticas del sistema. II.

O BJETIVOS

Obtener la Funci´on de transferencia y el diagrama de bloques de un sistema de 2do orden RLC. Obtener la Funci´on de transferencia y el diagrama de bloques de la Antena Azimuth. Obtener la respuesta ante el escal´on unitario de cada una de las Funciones de transferencia encontradas mediante MATLAB. Obtener la gr´afica de la respuesta ante el escal´on simulando el diagrama de bloques en Simulink.

Figura 1. Sistema de segundo orden. Circuito RLC

El sistema de segundo orden esta compuesto por un circuito que consta de 3 mallas, las cuales tienen componentes pasivos y almacenadores de energ´ıa, resistores, capacitores e inductores. La resistencia es el elemento pasivo que se opone al paso de la corriente encargada de disipar la energ´ıa, el inductor y el capacitor son elementos almacenadores de energ´ıa, el inductor en forma de campo magn´etico y el capacitor a trav´es del campo el´ectrico. El inductor se encuentra conectado en paralelo con el capacitor y as´ı mismo con la resistencia R2 y esta impedancia se conecta en serie con la resistencia R1. La corriente que fluye a trav´es del circuito se divide sobre R2, L y C, de manera an´aloga el voltaje se concentra en R1 y en la impedancia (R2,L,C) debido a su conexi´on en paralelo. El sistema consta de dos salidas, Vr1 y Vr2, por lo tanto se obtendr´an dos funciones de transferencia. III-A2.

Modelado y desarrollo matem´atico 1:

1. Calcular la funci´on de transferencia: III. III-A.

D ESARROLLO DE LAS ACTIVIDADES :

Descripci´on detallada de los sistemas:

En esta secci´on se describen los sistemas propuestos a ser estudiados, para nuestro caso, se tiene el circuito RLC y el sistema f´ısico Antena Azimuth.

Para calcular la primer funci´on de transferencia, se plantean las ecuaciones de nodos, se pasan al dominio de la transformada de Laplace y se procede a hallar la relaci´on entre la tensi´on en la resistencia R1 y la tensi´on de entrada:

2

Ecuaci´on de nodo para Vr1: V r2 − v V r2 V r2 + + + CsV r2 = 0 r1 R2 Ls Se tiene que V r2 = V − V r1, reemplazando en la ecuaci´on de nodo Vr1, se obtiene lo siguiente: −V r1 V V r1 V V r1 + − + − + CsV − CsV r1 = 0 R1 R2 R2 Ls Ls Agrupando t´erminos de Vr1 y V por separado, y factorizando, se llega a lo siguiente: V(

1 1 1 1 1 + + Cs) = V r1( + + + Cs) R2 Ls R1 R2 Ls

2. Obtener el diagrama de bloques del circuito para las salidas en R1 y R2, reducirlos y hallar la funci´on de transferencia: Para realizar el diagrama de bloques de la salida Vr1 se hace uso de las siguientes formulas:

V r1 = Ir1 ∗ R1 Ir1 = Ir2 + Il + Ic

2

V(

Ls + R2 + R2LCs ) LsR2

Ir2 = Il =

= Ls(R1 + R2) + R1R2 + R1R2LCs2 ) V r1( R1R2Ls Haciendo la relaci´on entre

V R1 V ,

se obtiene lo siguiente: 2

V r1 R1Ls + R1R2 + R1R2LCs = V R1R2LCs2 + Ls(R1 + R2) + R1R2

V r2 Ls

Ic = V r2 ∗ Cs V r2 = v − vr1 Para la salida Vr1 del circuito se obtuvo el siguiente diagrama de bloques que se muestra en la figura 2:

Para finalizar se factoriza para expresar la Funci´on de transferencia en forma monica: S 1 s2 + R2C + LC V r1(s) = (R1+R2)s 1 V (s) s2 + R1R2C + LC

Para calcular la segunda funci´on de transferencia, se plantea el mismo procedimiento que la primer funci´on, las ecuaciones de nodos las cuales se pasan al dominio de la trasformada de Laplace y se procede a hallar la relaci´on entre la tensi´on en la resistencia R2 y la tensi´on de entrada:

Figura 2. Diagrama de bloques salida R1

Ahora se procede a reducir el diagrama de bloques, primero se pueden sumar los tres primeros bloques debido a que llegan a un mismo punto de suma, quedando lo siguiente:

Ecuaci´on de nodo para Vr2: V r2 − v V r2 V r2 + + + CsV r2 = 0 r1 R2 Ls V r2 V V r2 V r2 − + + + CsV r2 = 0 R1 R1 R2 Ls Agrupando t´erminos de Vr1 y V por separado, y factorizando, se llega a lo siguiente:

1 Ls + R2 + R2LCs2 1 + + Cs = R2 Ls R2Ls El bloque se reduce y queda como se muestra en la figura 3

1 1 1 V = V r2( + + + Cs) R1 R1 R2 Ls V Ls(R1 + R2) + R1R2 + R1R2LCs2 = R1 R1R2Ls Haciendo la relaci´on entre

V R2 V ,

se obtiene lo siguiente:

V r2 R2Ls = 2 V R1R2LCs + Ls(R1 + R2) + R1R2 Para finalizar se factoriza para expresar la funci´on de transferencia en forma monica: V r2(s) = V (s) s2 +

S R1C (R1+R2)s R1R2C

Figura 3. Diagrama de bloques reducido salida R1

Continuamos reduciendo el diagrama para obtener la funci´on de transferencia: 2

+

1 LC

R1 ∗ ( Ls+R2+R2LCs ) V r1 R2LS = Ls+R2+R2LCs2 V 1 + R1 ∗ ( ) R2LS

3

s2 LCR1R2 + R1Ls + R1R2 + LS(R1R2 + R1R2)

s2 LcR1R2

resultando lo siguiente:

Para finalizar se factoriza para expresar la funci´on de transferencia en forma monica: S 1 s2 + R2C + LC V r1(s) = 1 V (s) s2 + (R1+R2)s R1R2C + LC

1

R2Ls R2+Ls 2 + R2LCs R2+Ls

=

R2Ls R2 + Ls + R2LCs2

El bloque se reduce y queda como se muestra en la figura 6

Para realizar el diagrama de bloques de la salida Vr2 se hace uso de las siguientes formulas:

V r2 = Ir2 ∗ R2 Ir2 = Ir1 − Il − Ic V r1 R1 V r2 Il = Ls Ic = V r2 ∗ Cs Ir1 =

V r1 = v − vr2 Para la salida Vr2 del circuito se obtuvo el siguiente diagrama de bloques que se muestra en la figura 4:

Figura 6. Diagrama de bloques reducido salida R2

Se continua reduciendo el diagrama para obtener la funci´on de transferencia: 1 R2Ls V r2 R1 ∗ R2+Ls+R2LCs2 = 1 R2Ls V 1 + R1 ∗ R2+Ls+R2LCs 2

R2Ls V r2 = 2 V s R1R2LC + LS(R1R2) + R1R2 Para finalizar se factoriza para expresar la funci´on de transferencia en forma monica: S V r2(s) R1C = V (s) s2 + (R1+R2)s + 1 R1R2C

Figura 4. Diagrama de bloques salida R2

Se procede a reducir el diagrama, primero se reduce el punto de suma de los bloques de la salida que contienen a R2 y Ls, de la siguiente manera:

LC

3. Realizar la simulaci´on de la funci´on de transferencia de las salidas en R1 y R2, en Matlab, asignando valores a los par´ametros del circuito. Al realizar la correspondiente simulaci´on de las funciones de transferencia obtenidas, en MATLAB se obtuvieron los siguientes resultados mostrados en la figura 7 y en la figura 8:

R2 R2Ls = R2 R2 + Ls 1 + Ls El bloque se reduce y queda como se muestra en la figura 5

Figura 5. Diagrama de bloques reducido salida R2

A continuaci´on, se reduce el nuevo bloque obtenido y el bloque que contiene a Cs mediante el punto de suma,

Figura 7. Simulaci´on Funci´on de transferencia matlab salida R1

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Figura 11. Resultado simulaci´on diagrama de bloques en Simulink salida R1 Figura 8. Simulaci´on Funci´on de transferencia MATLAB salida R2

Se puede observar que las respuestas ante el escal´on unitario para las salidas Vr1 y Vr2 son estables debido a que seg´un la definici´on de estabilidad tenemos que el sistema responde a una se˜nal de entrada acotada con una salida acotada, en las figuras 7 y 8 es muy perceptible lo anterior mencionado. Adem´as por el comportamiento de la gr´afica se puede observar un sistema con respuesta subamortiguada. 4. Realizar la simulaci´on de los diagramas de bloques obtenidos para la salida R1 y R2, en Simulink, asignando valores a los par´ametros del circuito. Al realizar la simulaci´on de los diagramas de bloques obtenidos en el literal 2 en Simulink con los par´ametros ya definidos de R,L y C, en las siguientes figuras 9 y 10 se muestran los diagramas simulados:

Figura 12. Resultado simulaci´on diagrama de bloques en Simulink salida R2

III-A3. Sistema de control de posici´on: Antena Azimuth:: El circuito que representa el sistema se muestra en la figura 13:

Figura 9. Simulaci´on diagrama de bloques en Simulink salida R1

Figura 13. Circuito Antena Azimuth

Figura 10. Simulaci´on diagrama de bloques en Simulink salida R2

Se obtuvieron los siguientes resultados mostrados en la figura 11 y en la figura 12:

El prop´osito de este sistema es obtener el a´ ngulo de salida de la antena, dado un a´ ngulo inicial o par´ametro de entrada el cual se procesa a trav´es de un sistema. Esta antena (figura 14) funciona de la siguiente manera:

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otro potenciometro se transforma el a´ ngulo de salida en se˜nal de voltaje el cual es llevado por el lazo de retroalimentacion al amplificador para determinar un nuevo desplazamiento. Funci´on de cada componente: El potenciometro: regula la magnitud del potencial.

Figura 14. Antena Azimuth

A la entrada se tiene un desplazamiento angular, el potenciometro convierte este desplazamiento angular en un nivel de voltaje. De manera similar el desplazamiento angular obtenido a la salida es convertido a voltaje por otro potenciometro el cual se usa como retroalimentaci´on del sistema. El preamplificador de se˜nales y el amplificar potencia aumenta la diferencia entre las se˜nales de voltaje de entrada y salida obtenidas de la entrada y del lazo de retroalimentaci´on, esta se˜nal amplificada hace que el sistema funcione. El sistema normalmente opera para obtener un error igual a cero, cuando la se˜nal de entrada y de salida concuerdan, el error se hace cero y el motor no se enciende, as´ı, el motor solo se enciende cuando hay una diferencia de potencial entre la entrada y la salida, entre mas diferencia haya, m´as voltaje de entrada tendr´a el motor y por ende una velocidad de giro mucho mayor. El motor acciona el sistema que hace que la posici´on de la antena cambie hasta llegar a un punto en donde la se˜nal de entrada es igual a la de salida lo que hace que el motor se detenga en la posici´on deseada, este cambio de posici´on (tiempo) depende de la ganancia del amplificador, si se tiene una ganancia alta, la velocidad del motor aumenta por lo cual la respuesta del sistema es r´apida pero pueden haber consecuencias ya que el motor puede excederse y no obtener la respuesta esperada, por el contrario si la ganancia es baja,existir´a una respuesta mas lenta pero que no es tan brusca. Para controlar este comportamiento, normalmente su usa un filtro el´ectrico junto al amplificador para manipular la respuesta din´amica del sistema, lo que permite generar una respuesta m´as acorde a la que se desea, este filtro se denomina compensador, debido a la tarea que realiza. En resumen la entrada indica un a´ ngulo que es transformado en una se˜nal de voltaje usando un potenciometro calibrado para determinar diferentes niveles de voltaje, dependiendo de este nivel de tensi´on, un motor con su respectiva carga empieza a moverse, lo cual genera movimiento en un engranaje conectado en cascada, el cual, hace que la antena se desplace al nuevo a´ ngulo deseado y a la salida a trav´es de

Amplificador diferenciador y de potencia: usados para controlar el rendimiento y la ganancia para que el motor funcione, se asume que el funcionamiento del amplificador es r´apido comparado con la respuesta del motor, por ende se modela como una ganancia pura denominada K. Motor DC y su respectiva carga: encargados de producir el desplazamiento angular a la salida, la velocidad del motor es proporcional al voltaje aplicado al circuito del motor. La carga consiste en una rotaci´on de masa y fricci´on del rodamiento, de esta manera,el modelo consiste en la inercia y amortiguamiento viscoso. Engranajes: encargados de desplazar la antena y definir la posici´on dado un a´ ngulo de salida definido por el sistema, tambi´en lleva la se˜nal al potenciometro de salida que la convierte en tensi´on para ser llevada a la entrada mediante la retroalimentaci´on. III-A4.

Modelado y desarrollo matem´atico 2::

1. Funci´on de transferencia: Para obtener la funci´on de transferencia, se obtiene la funci´on de transferencia de cada subsistema, haciendo uso de la figura 13, se puede dibujar un diagrama de bloques que represente el sistema general, el diagrama se muestra en la figura 15:

Figura 15. Antena Azimuth

Ahora teniendo el diagrama de bloques del sistema, es m´as sencillo trabajarlo partiendo de los subsistemas, de la siguiente manera:

Subsistema Potenciometro input Pre amplificador Amp de potencia Motor y carga Potenciometro output

Input Θi(t) V e(t) = V i(t) − V o(t) Vp(t) Ea(t) Θo(t)

Output vi(t) V p(t) Ea(t) Θo(t) vo(t)

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2. Funci´on de transferencia de cada subsistema: Potenciometro de entrada y salida: Ambos tienen la misma configuraci´on, por ende su funci´on de transferencia es la misma. Se tiene un rango de -10 a 10v, por cada a´ ngulo se relaciona un nivel de tensi´on. En el centro el nivel de voltaje es cero, si se gira a un lado se llega a 10 y por el otro lado a -10. As´ı la funci´on de transferencia se obtiene dividiendo el cambio de voltaje entre el desplazamiento angular: V o(s) 10 1 V i(s) = = = Θi(s) Θo(s) 10π π

Se tiene que el torque generado por el motor es proporcional a la corriente que atraviesa el circuito: T m(s) = KtIa(s) T m(s) kt reemplazando en la ecuacion de la malla se tiene: Ia(s) =

(Ra + Las)Ia(s) + KbsΘm(s) = Ea(s) T m(s) + KbsΘm(s) = Ea(s) Kt Relacionando el torque con el a´ ngulo de giro se obtiene la siguiente ecuaci´on obtenida a partir de la figura 17 (Ra + Las)

Preamplificador y amplificador de potencia: Preamplificador: se define como una ganancia para que el amplificador de potencia aumente la tensi´on que se env´ıa al motor. V p(s) =K V e(s)

Figura 17. Sistema equivalente a un tren de engranajes

Amplificador de potencia: k1 Ea(s) = V p(s) s+a Motor y carga: para obtener la funci´on de transferencia de este sub-bloque, es necesario partir de la armadura del motor DC y desarrollar el circuito hasta llegar a la funci´on de transferencia, la armadura del motor se ve en la figura 16:

T m(s) = (Jms2 + Dms) ∗ Θm(s) Reemplazando en la ecuaci´on de la malla, se obtiene: (Ra + Las)((Jms2 + Dms) ∗ Θm(s)) = Ea(s) Kt Se asume que la inductancia es muy peque˜na, tanto que Ra >> La, as´ı la ecuaci´on queda de a siguiente manera: (Ra) [ ((Jms + Dm) + Kb] ∗ SΘm(s)) = Ea(s) kt La funci´on de transferencia esta dado por: Θm(s) = Ea(s) S[s +

Kt RaJm 1 Jm (Dm

+

KtKb Ra ]

Para deducir los par´ametros Jm y Dm, se usa la figura 18: Figura 16. Armadura o Circuito equivalente al motor

Partiendo de las siguientes consideraciones: dΘm(t) dt debido a propiedades electromagn´eticas. V b(t) = Kb ∗

Figura 18. Sistema con un tren de engranajes

V b(s) = KbsΘm(s) Aplicando la transformada de Laplace.

De esta manera se puede obtener Jm y Dm, de la siguiente manera:

Se hace una malla en el circuito: RaIa(s) + LasIa(s) + V b(s) = Ea(s)

Jm = Ja + Jl(

N1 2 ) N2

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N1 2 ) N2 Se tienen los siguientes par´ametros para evaluar: Dm = Da + Dl(

.

V 10

n 10

k cte

k1 100

a 100

ra 8

Ja 0.02

Da 0.01

6,63K

Θo(s) s(s+10)(s+1,71) = 6,63K Θi(s) 1 + s(s+10)(s+1,71) Θo(s) 6,63K = 3 Θi(s) s + 101,71s2 + 171s + 6,63K 3. Realizar la simulaci´on de la funci´on de transferencia.

Kb 0.5

Kt 0.5

N2 N3 Jl Dl 250 250 1 1 25 2 Jm = 0,02 + 1( ) = 0,03 250 25 2 Dm = 0,01 + 1( ) = 0,02 250 As´ı la funci´on de transferencia esta dada por:

Θm(s) = Ea(s) S[s +

N1 25

0,5 8∗0,03 1 0,03 (0,02

+

0,5∗0,5 ] 8

=

Al realizar la correspondiente simulaci´on de la funci´on de transferencia obtenida en MATLAB, se obtuvieron los siguientes resultados mostrados en la figura 21 y en la figura 22, Se tomaron valores de K para una ganancia alta y para una ganancia baja.: Ganancia alta

2,083 s(s + 1,71)

Engranajes: la funci´on de transferencia esta dada por el radio del engranaje, en este caso Kg = 0.1 Teniendo listo los c´alculos, se procede a reducir el diagrama de bloques que quedar´ıa indicado como se muestra en la figura 19:

Figura 21. Simulaci´on Funci´on de transferencia matlab k = 100

Ganancia baja Figura 19. Diagrama de Bloques Antena Azimuth

Multiplicando la linea directa de los bloques, se obtiene lo siguiente mostrado en la figura 20 num = 0,318k ∗ 100 ∗ 0,2083 = 6,63K den = s(s+100)(s+1,71) = s3 +101,71s2 +171s+6,63K

Figura 22. Simulaci´on Funci´on de transferencia matlab k = 10

Figura 20. Diagrama de Bloques antena Azimuth reducido

Se continua reduciendo el diagrama para obtener la funci´on de transferencia:

Al analizar la respuesta ante el escal´on unitario de la Antena Azimuth, se obtuvieron dos resultados, al variar la ganancia del amplificador y tener una ganancia alta, el sistema tiene una respuesta subamortiguada, pero en el caso de una ganancia baja, el sistema tiene una respuesta sobreamortiguada (como se puede observar en las figuras 21 y 22), adem´as vemos que por el concepto de estabilidad (BIBO-estabilidad, para cualquier se˜nal

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de entrada acotada la respuesta del sistema es acotada) podemos decir que el sistema se estabiliza luego de alcanzar el estado estacionario. 4. Realizar la simulaci´on del diagrama de bloques obtenido en Simulink, asignando valores a los par´ametros del circuito. Al realizar la correspondiente del diagrama de bloques en Simulink se obtuvieron los siguientes resultados mostrados en la figura 23 y en la figura 24: Ganancia alta

se genera un c´odigo en el cual se puede conocer al respuesta al escal´on de la funci´on de transferencia. Se puede ver que ante una entrada acotada la salida tambi´en es acotada, por ende, se puede apreciar que ambos sistemas son estables. Se puede notar que en las funciones de transferencia halladas en el circuito RLC ambos denominadores son los mismos, por esto esta expresi´on es denominada la ecuaci´on caracter´ıstica. V.

R EFERENCIAS

Nise, N. S. (2011). Control Systems Engineering. Sixth Edition

Figura 23. Simulaci´on Funci´on de transferencia simulink k=100

Ganancia baja

Figura 24. Simulaci´on Funci´on de transferencia simulink k=10

IV.

C ONCLUSIONES

Se obtuvo las funciones de transferencia tanto para el circuito RLC como para la Antena Azimuth, como era de esperarse el resultado fue el mismo, mediante los procedimientos realizados uno mediante la transformada de Laplace y el otro mediante la reducci´on del diagrama de bloques. Se logra ver en las simulaciones que el sistema responde de igual manera tanto en Simulink, en donde se simula el diagrama de bloques, como en MATLAB en donde