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• Pakoo PrEzaa

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PROBLEMAS

I

2.1 Dos marcas de calibración se colocan a una separación exacta de 250 rnm en una varilla de aluminio que tiene. un diámetro de 12 rnm. Si se sabe que al aplicar una carga axial de 6 000 N sobre la varilla, la distancia entre las marcas de calioración es de 250.18 mm, determine el módulo de elasticidad del aluminio usado en la varilla.

2.2 Una varilla de poliestireno de 12 in. de longitud y 0.5 in. de diámetro se somete a una carga de tensión de 800 lb. Si se sabe que E = 0.45 X 106 psi, determine a) la elongación de la varilla, b) el esfuerzo normal en la varilla. 2.3 Un alambre de acero de 60 m de largo se sujeta a una carga de tensión de . Si se sabe que E = 200 GPa y que la longitud del alambre aumenta 48 rnm, termine a) el diámetro mínimo que puede seleccionarse para el alambre, b) el es- erzo normal correspondiente. 2.4 Un alambre de acero de 28 ft de longitud y 0.25 in. de diámetro será emeado en un gancho. Se observa que el alambre se estira 0.45 in. cuando se le aplica a fuerza P de tensión. Si se sabe que E = 29 X 106 psi, determine a) la magnitud la fuerza P, b) el esfuerzo normal correspondiente en el alambre. 2.5 Un tubo de hierro fundido se usa para soportar una carga de compresión. i se sabe que E = 69 GPa y que el cambio permisible máximo en longitud es de ,025%, determine a) el esfuerzo normal máximo en el tubo, b) el grosor de pared zaínimo para una carga de 7.2 kN si el diámetro exterior del tubo es de 50 rnm. 2.6 Una varilla de control de latón amarillo no debe estirarse más de 3 mm mando la tensión en el alambre es de 4 kN. Si se sabe que E = 105 GPa y que el , irno esfuerzo normal permisible es de 180 MPa, determine a) el diámetro mío que puede seleccionarse para la varilla, b) la longitud máxima correspondiente la varilla. 2.7 Dos marcas de calibración se colocan a una separación exacta de 10 in. en varilla de aluminio, que tiene un diámetro de ~ in., con E = 10.1 X 106 Y una reistencia última de 16 ksi. Si se sabe que la distancia entre las marcas de calibración de 10.009 in. después de que se aplica una carga, determine a) el esfuerzo en la -:arilla, b) el factor de seguridad. 2.8 Un alambre de 80 m de largo y 5 rnm de diámetro está hecho de un acero E = 200 GPa y una resistencia última a la tensión de 400 MPa. Si se desea un tor de seguridad de 3.2, determine a) la tensión máxima permisible en el alambre, la elongación correspondiente del alambre. 2.9 Un bloque de 250 rnm de longitud y de 50 X 40 rnm de sección transal debe soportar una carga centrada a compresión P. El material que se emple, es un bronce para el que E = 95 GPa. Determine la carga máxima que puede licarse, si se sabe que el esfuerzo normal no debe exceder 80 MPa y que el decremento en longitud del bloque debe ser, cuanto mucho, de 0.12% de su longitud iginal.

65

66

Esfuerzo

y deformación.

2.10

Carga rodal

Una varilla de aluminio de 1.5 m de largo no debe estirarse más de 1 mm

y el esfuerzo normal no debe exceder los 40 MPa cuando la varilla está sujeta a una carga axial de 3 kN. Si se sabe que E = 70 GPa, determine el diámetro requerido

para la varilla. 2.11 Una varilla de control de aluminio debe estirarse 0.08 in. cuando se le aplique una carga de tensión de 500 lb. Si se sabe que (Tperm = 22 ksi y E = 10.1 X 106 psi, determine el menor diámetro y la longitud más corta que puede seleccionarse para la varilla. 2.12 Una barra cuadrada de aluminio no debe estirarse más de lA mm cuando se someta a una carga de tensión. Si se sabe que E = 70 GPa y que el esfuerzo permisible a tensión es de 120 MPa, determine a) la longitud máxima permisible de la barra, b) las dimensiones requeridas para la sección transversal si la carga de tensión es de 28 kN. 2.13 La varilla BD está hecha de acero (E = 29 x 106 psi) y se utiliza para reforzar al elemento axialmente comprimido ABC. La máxima fuerza que puede desarrollarse en el elemento BD es de 0.02P. Si el esfuerzo no debe exceder 18 ksi y el máximo cambio en longitud de BD no debe sobrepasar 0.001 veces la longitud de ABC, determine el diámetro mínimo que puede utilizarse para la varilla del elemento BD.

Figura P2.13

2.14 El cable BC de 4 mm de diámetro es de un acero con E = 200 GPa. Si se sabe que el máximo esfuerzo en el cable no debe exceder 190 MPa y que la elongación del cable no debe sobrepasar 6 mm, encuentre la carga máxima P que puede

A

njof i.c e r-s e corno

2in.

se muestra

en la figura.

f

2.5m ~ p

r

3.5m 10 in. tino

J----.:.~

e

1--4.0m~ Figura P2.14

B

P = 800lb Figura P2.15

2.15 Un cilindro hueco de poliestireno (E = 0045 X 106 psi) con iin. de grosor y una placa circular rígida (de la cual se muestra sólo una parte) se usan para soportar una varilla AB de acero (E = 29 X 106 psi), con una longitud de 10 in. y un diámetro de ~ in. Si se aplica una carga P de 800 lb en B, determine a) la elongación de la varilla AB, b) la deflexión del punto B, e) el esfuerzo normal promedio en la varilla AB.

2.16 La probeta que se muestra en la figura está compuesta por una varilla cilíndrica de acero de 1 in. de diámetro y por dos soportes de 1.5 in. de diámetro exterior unidos a la varilla. Si se sabe que E = 29 X 106 psi, determine a) la carga P tal que la deformación total sea de 0.002 in., b) la deformación correspondiente de la porción central Be.

Problemas

2.17 Dos varillas cilíndricas están unidas en B y son sometidas a la carga que e muestra en la figura. La varilla AB está hecha de acero (E = 200 GPa) y la varilla BC de latón (E = 105 GPa). Determine a) la deformación total de la varilla compuesta ABC, b) la deflexión del punto B.

P = 30 kN

Figura

~

---30

P2.16

rnm

250mm

r

300mm

40 kN

P ---50

mm

L~ Figura

P2.17

2.18 Para la varilla compuesta del problema 2.17, determine a) la carga P tal _ e la deformación total de la varilla sea -0.2 rnm, b) la deflexión correspondiente - 1 punto B. 2.19

Las dos porciones de la varilla ABC están hechas de un aluminio para el E = 70 GPa. Si se sabe que la magnitud de P es de 4 kN, encuentre a) el valor Q para que la deflexión en A sea cero, b) la deflexión correspondiente de B. 2.20 La varilla ABC está hecha de un aluminio para el que E = 70 GPa. Si se que P = 6 kN Y que Q = 42 kN, determine la deflexión de a) el punto A, b) el to B. 2.21 Para la armadura de acero (E = 200 GPa) y la carga mostradas en la fi, determine las deformaciones de los elementos AB y AD, si se sabe que sus restivas áreas de sección transversal son de 2 400 mrrr' y 1 800 rnrrr'.

228 kN

Figura

P2.21

A

-1 20 mrn de diámetro

OAm

t

B

Q

0.5 m

60 mm de diámetro

L~c Figura

P2.19 Y P2.20

67

PROBLEMAS

4.1 Y 4.2 Si se sabe que el par mostrado en la figura actúa en un plano venical, determine los esfuerzos en a) el punto A, b) el punto B.

-lITI~Ij:M(~2~ 1 in. 2 in. 1 in.

~

I --l

r=0.75in.

~

'.

1in.

B-

'T

,~'

M=2

.,;}2h J.2

B

,,:c, ,

~

Figura P4.1

•

1--- 4.8

in.

(

t~~~~ .~C ..

":=::C"_.ld

in.~

.

'/1

Figura P4.2

4.3 Una viga con la sección transversal que se muestra en la figura se troque con una aleación de aluminio para la que (Ty = 250 MPa y (Tu = 450 MPa. zando un factor de seguridad de 3.0, determine el par máximo que puede aplicarse la viga cuando se flexiona alrededor del eje z.

y

M(nm z

-~~! le M~

1

80111111

---r 24111111

1

j

1\~-s:~.\1 16111111 Figura P4.3

16111111

YI

4.4 Retorne el problema 4.3, y ahora suponga que la viga se flexiona aln dor del eje y.

1 -t 260111111 10 111~

LI~--2-0-0-111-111-~-1 Figura P4.5

224

t

t

4.5 La viga de acero que se muestra en la figura está hecha de un tipo de a para el cual (Ty = 250 MPa y (Tu = 400 MPa. Con un factor de seguridad de 2..5 determine el mayor par que puede aplicarse a la viga cuando se dobla alrededor eje x.

16 tnl11

4.6 Retorne el problema 4.5, y ahora suponga que la viga se flexiona al dor del eje y por medio de un par con momento My.

4.7 a 4.9 Dos fuerzas verticales se aplican a una viga con la sección transversal que se muestra en las figuras. Determine los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en la porción BC de la viga.

r~:t ~r l:k -

Problemas

1- 8in·1

3 in. 3 in. 3 in.

rH

10 m 111

10 m 111

-

.

__

1 in.

6r.

~t

4in. 25ldps

e

A

~~60in.~~ 20 in.

40 in.

Figura P4.7

-1

t

T

1 in.

t

U60in.-~1 40 in.

~ 1in

20 in.

Figura P4.8

r- -1 r-

10 kN

U

50111111

.

r

10 kN

e

B A

~lOmm

~50mJll~t

--I~,---

, !.-- 250 111m

I'

150 111m

Figura P4.9

4.10 Dos pares iguales y opuestos de magnitud M = 25 kN . m se aplican a una viga con sección de canal AB. Puesto que los pares provocan que la viga se flexione en un plano horizontal, determine el esfuerzo a) en el punto C, b) en el punto D, e) en el punto E.

r-fE L 120 JllI11

el'

I -.

180 mm

'Iti 30 m 111

-36n:T E

-\0111111

-t

y

A

_t

-r

[,,/

Figura P4.10

1.8 in.

·e

Z

J

/

~.11 Si se sabe que una viga con la sección transversal que se muestra en la fi .ura s exiona alrededor de un eje horizontal y que el momento flector es de 8 kip . in., determine la fuerza total que actúa en la porción sombreada de la viga.\ 4.12 Retome el problema 4.11, y ahora suponga que la viga se flexiona alrededor de un eje vertical y que el momento flector es de 8 kip . in.

__ 0.3 in.

0.3 in.

.II-=:T

1 1, /

0.3 in.

1.2 in.

Figura P4.11

~

0.3 in.

D

225

226

t\l 4.13 Si una viga con la sección transversal que se muestra en la figura se flexiona alrededor de un eje horizontal y se sabe que el momento flector es de 6 kN . m, determine la fuerza total que actúa en la aleta superior.

Flexión pura

~f,,¡

.

.

t

.• --

36mm

54mm

-t

z

108mm

l

L-j

H

72mm

Figura P4.13 y P4.14

4.14 Si una viga con la sección transversal que se muestra en la figura se flexiona alrededor de un eje horizontal y se sabe que el momento flector es de 6 kN . m, determine la fuerza total que actúa en la porción sombreada del alma. 4.15 Si se sabe que para la fundición mostrada en la figura el esfuerzo permisible es de 6 ksi en tensión y 15 ksi en compresión, determine el máximo par M que puede aplicarse.

r----

5 in.

------1 ~

,

,

0.5 in.----I

r

40 ml11

-,

.1 in.

t

------1

t

_t_

el

2m.

= 30 111m

_1 "

-""

~

I

15 m 111

1 ' --

1---

0.5 in.

M(~

1

Figura P4.15

4.16 La viga mostrada en la figura está hecha de un nylon para el cual el esfuerzo permisible es de 24 MPa en tensión y de 30 MPa en compresión. Determine el máximo par M que puede aplicarse a la viga.

.~)M Figura P4.16

4.17

Retorne el problema 4.16, y ahora suponga que d

=

40 rnrn.

4.18 Y 4.19 Si se sabe que para la viga extruida mostrada en la figura el esfuerzo permisible es de 120 MPa en tensión y de 150 MPa en compresión, determine el máximo par M que puede aplicarse.

1--

80 ml11

------+-1

t125mm

I

54111111

_t l.

50 111m

,1 40 m 111

~ M

Figura P4.18

(

;,~¡ ..';-;;.~

125 mm

-;I .. ,I_h_,- t E={-'¡50 mm

Figura P4.19

M(

:::::::,

. _

3-3 Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante

201

Solución: EMArt. RB

= 25 kN

EFy:

EMA: RA = 75 kN· = 200 kN-m

MA

PROBLEMAS 3-15

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-15. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

Fig. P 3-15

3-16

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-16. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

W lb/pie

_tt~ '

~4

81

A

1..

1

••

Fig.P 3-16

3-17

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-17. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

r-~~w ~f

L Fig. P 3-17

lE

"2 l

./

202

3-18

Esfuerzos en Vigas

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-18. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

~t

/

1500

lb/pie

~

~ :{""""""""""""""{""""'"'''''''''''''',,''','' """",""""",,/¿ihiiiííiwywywj:0tttt

L6

pies

>

1:

6

p¡es~

Fig. P 3-18

3-19

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-19. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas. 5

1 kiplpie

kips

_

~~:::::x:::::::::m::::::;"}:$~~:::

)\ 1/

12pies

Fig. P3-22

3-23

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-23. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas. 6kN

Fig. P 3-23

3-24

Construir a escala losdiagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-24. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

204

Esfuerzos en Vigas

2

t1¡al~~~-f 2

kíps/pie

kíps/pie

~

.

~~~B

I"

j

10 pies

•• < .

JD,.Djes

•••)

Fig. P 3-24

3-25

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-25. También escríbanse 'las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

{" l" ";{{''''''''' Lx~;

JP

"""""""""",~.,¡" ,}""""'r,',""'""",'",}}'",,', """"""""""""":':"""'·"""'?}""""'I~x--j

l

Fig. P 3-25

3-26

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-26. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas. 3.kíps

3 kips

7 --!-7 pies

D

:.:.:.:::::::::::::;::::~:::::::

Píes~

;:;:;:;:::::::1

Píes---l

Fig. P 3-26

3-27

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. 3-27. También escríbanse lasecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

Fig. P 3-27 20kN

I_~~h~jr L -1E

2m

7m

~1-2m~

3-4

3-28

Esfuerzos flexionantes en vigas rectas

205

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-28. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

Fig. P 3-28

3-2~

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-29. También escríbanse las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas . -,,

0.25

4

kip/' pie·

~:~:;;v;·t lE

l Optes

•• 1

E

6 pies~4pies

~4

pies

kips

J

j

Fig. P 3-29

3-4 Esfuerzos flexionantes

en vigas rectas

Cuando se somete una viga a un momento f1exionante, el material de la viga se deforma, dando como resultado una curvatura de la viga. Tal vez todos hemos notado esto en algún momento u otro cuando f1exionamos un objeto tal como un metro (de madera). También podemos haber observado que si el momento f1exionante se incrementaba lo suficiente, daba como resultado la ruptura. Las fibras del metro en el lado exterior (lado convexo) se rompían en tensión; no obstante, aquellas de la parte interior (lado cóncavo) parecían permanecer intactas. Si bien la deformación y la subsecuente ruptura del metro pueden servir como evidencia de la relación entre el momento externo y los efectos internos, éstos tienen que ser analizados de una manera sistemática con el fin de relacionar causa y efecto con exactitud y sentido. , Demostraremos la relación existente entre esfuerzo flexionante«, y momento f1exionante M para una sección transversal dada, empezando por las suposiciones siguientes: l. Los planos transversales antes de la f1exión permanecen planos transversales después de la flexión; esto es, no hay alabeo.

212

Esfuerzos en Vigas

~~ON (b)

8

A

t

t

RA= 5 000 N

~ON

(e)

e

R8= 25 000 N

10 000 N

v ~

~-m (d)

M

~m

PROBLEMAS Aunque la mayoría de las vigas siguientes están sometidas a otros efectos distintos del momento puro en la sección donde el esfuerzo f1exionante se va a investigar, los cálculos para esfuerzos f1exionantes que difieren de la condición de momento puro dan resultados que son bastantes aceptables; es decir, u = My/I es aplicable. Asimismo, supóngase que la sección transversal de cualquier viga es constante a lo largo de toda su longitud. Véase el Apéndice B, Tabla B-2 para las propiedades de algunas de las secciones roladas que se usan.

3-30

Prni

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-30. También escribir las ecuaciones y señalar valores significativos para estas curvas.

.--------

3-4 Esfuerzos flexionantes en vigas rectas

213

Fig. P 3-30

3-31

Construir a escala los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en la Fig. P 3-31. Escríbanse también las ecuaciones y señálense los valores significativos para estas curvas.

~

~4

PiesL16

+10

pies

pies.,

Fig. P 3-31

3-32'

La viga en cantilever en la Fig. P 3-32 soporta una carga que varía desde O en el apoyo hasta \VB = 2000 lb/pie en el punto B. Si la viga es una de 254 mm estándar (37.8 kg/m), determinar la longitud I que puede tener la viga si el esfuerzo de trabajo permisible en flexión es de 20000 psi. (Despréciese el peso de la viga.)

Fig. P 3-32

3-33

Seleccionar la sección más económica de una viga 1 estándar para soportar la carga mostrada en la Fig. P 3-33 para un esfuerzo flexionante permisible de 22000 psi, si I = 14 pies.

14

fu

2000

r

11

I 111 I

VI

r L,

3-36

Determinar el Fig. P 3-36.

esfuerz

n

11

11

xl n IlIt

III

hllllllll

11 V

im en la vi a m

strud

lb/pie

~::-~::~~

~I

A

I~

~

lA

Fig. P 3-33

E

'. ' ..

B~ 14 pies

••

6 pies

j 1 plg

Fig. P 3-36

3-34

Seleccionar la sección de viga más económica (Apéndice B) para soportar la carga mostrada en la Fig. P 3-34 si el esfuerzo tlexionante permisible es de 24000 psi.

3-37

El esfuerzo tlexionante permisible en la viga mostrada en la Fig. P • 37 es de 10000 psi en tensión y 15000 psi en compresión. Det fl l· nar la w máxima permisible.

~.:rPie

~

lE

20 pies

••/

Fig. P 3-34 Fig. P 3-37

3-35

Seleccionar la sección de viga más económica (Apéndice B) para soportar la carga mostrada en la Fig. P 3-35 para un esfuerzo tlexionante permisible de 20000 psi.

{

~

Para la viga en cantilever en la Fig. P 3-38, (a) trazar los diagrarn I de fuerza cortante y de momento, y (b) determinar los esfuerzo xionantes máximos, de compresión y de tensión.

3-38

n

5 kips w lb/pie

. 1 kip/pie

~~

~6

el

lB

A pies

Fig. P 3-35

---+-6

lE

12 pies

Pies--1

Fil:. P 3-38

••1

, 1 3-39

n VI

·4

I

La viga en cantilever en la Fig. P 3-39 es Una viga estándar de 203.2 mm que pesa 27.3'8 kgin. Determinar el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

3-42

5000lb

17

11 V

f'UlI'

n la Fig. P 3-42 tenemos una viga de cajón fabricada s ldand u l· tro placas de 4 plg de ancho y 314 plg de grueso, como se indi a. l r· minar el esfuerzo flexionante máximo en la sección para la ti dada. (Despréciese el área de la sección transversal de la soldadur I cuando se calcule l.)

M 4plg

Soldadura

-~

4.8 kips

I;lS'PI

B 4Pies~

~Plg

Fig. P 3-39

3-40

1~