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• Juan Nuñez

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Licenciatura en matemáticas

Geometría analítica I MT-MGAN1-2001-B2-001

Unidad 4. Actividad 1 Excentricidad de secciones cónicas

Gerardo Adrián Álvarez del Castillo Sánchez Matrícula: ES1921008167

mayo 23, 2020

La excentricidad de una cónica puede utilizarse para determinar que tipo de lugar geométrico corresponde. Este razonamiento resulta muy atractivo puesto que utiliza criterios analíticos para llevar a cabo esta clasificación entre parábolas, elipses o hipérbolas. Vale la pena mencionar que una circunferencia es un caso particular de la elipse, en la que los focos coinciden con el centro y cuya excentricidad es cero.

Definición general de una cónica De acuerdo a lo presentado por Lehmann (2003, págs. 220-222), dada una recta fija 𝑙 y un punto fijo 𝐹 no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar geométrico descrito por un punto 𝑃 que se mueve en el plano de 𝑙 y 𝐹 de tal manera que la razón de su distancia de 𝐹 a su distancia de 𝑙 es siempre igual a una constante positiva. La recta fija 𝑙 se llama directriz, el punto fijo 𝐹, foco y la constante positiva 𝑒, se llama excentricidad de la cónica. Sin ninguna pérdida de generalidad, puede tomarse al eje 𝑌 como directriz y al punto 𝐹(𝑝, 0), 𝑝 ≠ 0 como foco. Sea 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto cualquiera del lugar geométrico. Desde 𝑃 puede trazarse el segmento //// 𝑃𝐴 perpendicular al eje Y. Entonces, por la definición anterior, el punto 𝑃 debe satisfacer la condición geométrica: |////// 𝑃𝐹| = 𝑒 , |////// 𝑃𝐴| lo cual puede expresarse analíticamente con la ecuación: 3(𝑥 − 𝑝)5 + 𝑦 5 = 𝑒 . |𝑥| Desarrollando la expresión para llevarla a la forma general se tiene: (𝑥 − 𝑝)5 + 𝑦 5 = 𝑒5 𝑥5 𝑥 5 − 2𝑝𝑥 + 𝑝5 + 𝑦 5 = 𝑥 5 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )𝑥 5 − 2𝑝𝑥 + 𝑦 5 + 𝑝5 = 0 En esta última expresión, puede reconocerse que el lugar geométrico descrito por ella corresponde a una sección cónica. Con parámetros 𝐴 = (1 − 𝑒 5 ), 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 𝐷 = 2𝑝, 𝐸 = 1,

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𝐹 = 𝑝5 , pero que su naturaleza depende del valor de la excentricidad 𝑒. Hay dos casos generales a tratar: 𝑒 = 1; 𝑒 ≠ 1.

Primer caso: 𝑒 = 1 . Bajo esta condición la ecuación toma la forma: −2𝑝𝑥 + 𝑦 5 + 𝑝5 = 0. Esta expresión puede @

@

reescribirse como: 𝑦 5 = 2𝑝 ?𝑥 − 5A, que representa una parábola cuyo vértice es el punto ?5, , 0A y cuyo eje coincide con el eje 𝑋.

Segundo caso: 𝑒 ≠ 1 . Bajo esta condición 1 − 𝑒 5 ≠ 0. Dividiendo la ecuación por (1 − 𝑒 5 ), se obtiene: 𝑥5 −

2𝑝𝑥 𝑦5 𝑝5 + = − 1 − 𝑒5 1 − 𝑒5 1 − 𝑒5

Completando el cuadrado perfecto en 𝑥 y desarrollando: 𝑥5 −

2𝑝𝑥 𝑝5 𝑦5 𝑝5 𝑝5 + + = − 1 − 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )5 1 − 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )5 1 − 𝑒 5 ?𝑥 −

5 𝑝 𝑦5 𝑝5 − 𝑝5 (1 − 𝑒 5 ) A + = (1 − 𝑒 5 )5 1 − 𝑒5 1 − 𝑒5

?𝑥 −

5 𝑝 𝑦5 𝑝5 − 𝑝5 + 𝑝5 𝑒 5 A + = (1 − 𝑒 5 )5 1 − 𝑒5 1 − 𝑒5

?𝑥 −

5 𝑝 𝑦5 𝑝5 𝑒 5 A + = 1 − 𝑒5 1 − 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )5

5 𝑝 𝑦5 A 5 1−𝑒 𝑒5 = 1 + 1− 5 5 5 𝑝 𝑒 𝑝 𝑒5 (1 − 𝑒 5 )5 (1 − 𝑒 5 )5

?𝑥 −

5 𝑝 A 5 𝑦5 1−𝑒 + =1 𝑝5 𝑒 5 𝑝5 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )5 1 − 𝑒5

?𝑥 −

La ecuación canónica encontrada puede representar una elipse o una hipérbola, lo cual depende del valor de e. Existen entonces dos subcasos: 𝑒 < 1 y 𝑒 > 1. Subcaso 𝑒 < 1. En este escenario 1 − 𝑒 5 < 0 y ambos denominadores son positivos. Por lo tanto, se trata de una elipse. Por ser: 𝑎5 =

𝑝5 𝑒 5 , (1 − 𝑒 5 )5

𝑏5 =

𝑝5 𝑒 5 1 − 𝑒5

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Se tiene que: 𝑐 5 = 𝑎5 − 𝑏5 =

𝑝5 𝑒 5 𝑝5 𝑒 5 𝑝5 𝑒 5 − 𝑝5 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 ) 𝑝5 𝑒 H − = = (1 − 𝑒 5 )5 1 − 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )5 (1 − 𝑒 5 )5

Entonces, 𝑝5 𝑒 H 𝑐 (1 − 𝑒 5 )5 = = 𝑒5 𝑝5 𝑒 5 𝑎5 (1 − 𝑒 5 )5 5

I

De donde J = 𝑒 . Subcaso 𝑒 > 1. En este escenario 1 − 𝑒 5 > 0 y con el fin de que ambos denominadores sean positivos, se puede reescribir la ecuación de esta forma: 5 𝑝 A 5 𝑦5 1−𝑒 − =1 𝑝5 𝑒 5 𝑝5 𝑒 5 (1 − 𝑒 5 )5 𝑒5 − 1

?𝑥 −

I

La cual corresponde claramente a una hipérbola. De manera equivalente, J = 𝑒. El siguiente teorema se apoya en el conocimiento generado y lo sintetiza de manera concisa: Una cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola, según si su excentricidad es igual a, menor que o mayor que la unidad. Vale la pena considerar el paralelismo entre los valores del discriminante de la ecuación general de segundo grado, también conocido como indicador 𝐼 = 𝐵5 − 4𝐴𝐶 y de la excentricidad 𝑒 de las diversas cónicas, como aparece en el siguiente cuadro. Indicador 𝐼 = 𝐵 5 − 4𝐴𝐶 Excentricidad. 𝑒

Parábola

Elipse

Hipérbola

𝐼=0 𝑒=1

𝐼1

Bibliografía Lehmann, C. H. (2003). Geometría analítica. México: LIMUSA Noriega Editores. Fuller, G., & Tarwater, D. (1995). Geometría analítica. 7ed. México: Addison Wesley. Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. 3ed. México: McGraw-Hill.

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