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METROLOGÍA Es la ciencia que estudia los sistemas de medidas, así como la técnica empleada en las mediciones. Magnitud: Es todo aquello que siendo capaz de aumento o disminución, es susceptible de ser medido o contado, así por ejemplo: la longitud de una carretera, la velocidad de un auto, la fuerza que realiza una persona, etc. Las magnitudes se clasifican en: a)

Por su origen en: Fundamentales y derivadas.

b) Por su naturaleza en: Escalares y vectoriales. Medir: Es comparar una cantidad cualquiera con otra de la misma especie que se toma como unidad. Sistema Internacional de Medidas: En la antigüedad el sistema métrico estaba basado en tres magnitudes fundamentales que eran: longitud, masa y tiempo; pero a partir de 1971 la conferencia internacional de pesas y medidas, amplia, perfecciona y moderniza el sistema métrico, creando un sistema de unidades llamado Sistema Internacional de Unidades (S.I.) El uso del S.I. permite que las medidas sean más simples y uniformes en todo el mundo. Magnitudes Fundamentales: No se definen en términos de otras magnitudes y dependen del sistema de unidades, y son:

No

MAGNITUD

UNIDAD

SÍMBOLO

DIMENSIÓN

1

Longitud

metro

m

L

2

Masa

kilogramo

kg

M

3

Tiempo

segundo

s

T

4

Temperatura

kelvin

°K

θ

5

Cantidad de Substancia

mol

mol

N

6

Intensidad Luminosa

candela

cd

ψ

7

Intensidad de Corriente

amperio

A

I

Magnitudes Suplementarias: Son aquellas que no han sido clasificadas como fundamentales o derivadas, y son:

No

MAGNITUD

UNIDAD

SÍMBOLO

DIMENSIÓN

1

Ángulo plano

radián

rad

α

2

Ángulo sólido

estereorradián

Sr

ω

Física I

MSc. Joselo G. Soriano M.

2

Magnitudes Derivadas: Se forman mediante la combinación de las magnitudes fundamentales, y son: No

MAGNITUD

UNIDAD

SÍMBOLO

DIMENSIÓN

1

Área

metro cuadrado

m2

L2

2

Volumen

metro cúbico

m3

L3

3

Velocidad

metro/segundo

m/s

L.T-1

4

Aceleración

metro/segundo2

m/s2

L.T-2

5

Fuerza

Newton

N

M.L.T-2

6

Densidad

kilogramo/metro3

kg/m3

M.L-3

7

Energía

joule

J = N.m

M.L2.T-2

8

Potencia

vatio

W = J/s

M.L2.T-3

Sistema de Unidades: El sistema absoluto está formado por:   

El sistema M.K.S. (S.I.): metro, kilogramo, segundo El sistema c.g.s.: centímetro, gramo, segundo El sistema F.P.S.: pie, libra, segundo

El sistema técnico está formado por:  

El sistema M.K.S. (europeo): metro, unidad técnica de masa, segundo El sistema F.P.S. (inglés): pie, slug, segundo

PREFIJOS QUE FORMAN LOS MÚLTIPLOS DEL S.I.:

Física I

PREFIJOS

SÍMBOLO

FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

yotta

Y

1024

zeta

Z

1021

exa

E

1018

peta

P

1015

tera

T

1012

giga

G

109

mega

M

106

kilo

k

103

hecto

H

102

deca

D

10 MSc. Joselo G. Soriano M.

3

PREFIJOS QUE FORMAN LOS SUBMÚLTIPLOS DEL S.I.: PREFIJOS

SÍMBOLO

FACTOR DE MULTIPLICACIÓN

deci

d

10-1

centi

c

10-2

mili

m

10-3

micro

µ

10-6

nano

n

10-9

pico

p

10-12

femto

f

10-15

ato

a

10-18

zepto

z

10-21

yocto

y

10-24

CONVERSIÓN DE UNIDADES Factores de Conversión: Masa: 1 arroba = 11,34 kg 1 lb = 454 g 1 g = 10-3 kg 1 kg = 35,274 oz 1kg = 1 000 g 1 slug = 14,594 kg 1 Tm = 1 000 kg 1 quintal largo=50,802 kg 1 kg = 2,2 lb 1 quintal corto = 45,36 kg 1 quilate métrico = 200 mg 1 tonelada = 20 quintales 1 quintal = 4 arrobas 1 arroba = 25 lb 1 lb = 16 oz Longitud: 1 cm = 10-2 m = 0,394 in (pulgada) 1 km = 1000 m = 0,621 millas 1 in = 2,54 cm = 2,54x10-2 m 1 ft = 0,305 m = 30,48 cm 1 milla = 5 280 ft (pie) = 1 609 m = 1,609 km 1 m = 2,28 ft 1 vara = 83,59 cm 1 yd = 91,44 cm 1 m = 1,093 6 yd 1 m = 0,539 96x10-3 millas náuticas 1 legua = 5,57 km 1 A (1 angstróm) = 10-10 m 1 cuadra = 80 m Tiempo: 1 h = 60 min = 3 600 s 1 día = 24 h = 1 440 min = 8,64x10 4 s Física I

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1 año = 365 días = 8,76x103 h = 5,26x105 min = 3,16x107 s Área: 1 cm2 = 10-4 m2 = 0, 155 0 in2 = 1,08x10-3 ft2 1 m2 = 104 cm2 = 10,76 ft2 = 1 550 in2 1 in2 = 6,94x10-3 ft2 = 6,45 cm2 = 6,45x10-4 m2 1 ft2 = 144 in2 = 9,29x10-2 m2 = 929 cm2 1 ha (hectárea) = 10 000 m2 1 acre = 4 046,856 m2 Volumen: 1 cm3 = 10-6 m3 = 3,35x10-5 ft3 = 6,10x10-2 in3 1 m3 = 106 cm3 = 1 000 litros = 35,3 ft3 = 6,10x104 in3 = 264 gal 1 litro = 1 000 cm3 = 10-3 m3 = 0,264 gal = 0,0353 ft3 1 in3 = 5,79x10-4 ft3 = 16,4 cm3 = 1,64x10-5 m3 1 gal = 231 in3 = 0,134 ft3 = 3,785 litros 1 barril = 31,5 gal

Fuerza: 1 N = 105 dinas 1 kg.f = 9,8 N 1 kg.f = 2,2 lb.f 1 g.f = 980 dinas

1 kg.f = 1 000 g.f

Ejercicios de Aplicación: Transformar las siguientes cantidades:

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Ejercicios Propuestos para Desarrollar Destrezas: Transformar las siguientes cantidades: 1) 82 litros a galón 2) 180 dinas a N 3) 78 kg/cm2 a lb/in2 4) 65 m2 a in2 5) 25 m3 a cm3 6) 130 km/h a m/s 7) 74,5 km/h2 a m/s2 8) 235 kg.f a N 9) 315 dinas/cm2 a N/m2 10) 8,5 km a m 11) 220 m a µm 12) Transformar 37,4 kg a µg y comprobar haciendo la operación contraria 13) Transformar 67,12 Ef a pf y comprobar haciendo la operación contraria 14) Transformar 175 TN a mN y comprobar haciendo la operación contraria 15) Transformar 11,2 nJ a MJ y comprobar haciendo la operación contraria 16) Transformar 390 cm a Dm y comprobar haciendo la operación contraria 17) Transformar 73,2 fs a Hs y comprobar haciendo la operación contraria 18) Transformar 83,8 Ps a µs y comprobar haciendo la operación contraria 19) Transformar 117,4 mdina a µN y comprobar haciendo la operación contraria 20) Transformar 260,6 Gdinas a mN y comprobar haciendo la operación contraria

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NOTACIÓN CIENTÍFICA Introducción: Cuando se estudian las propiedades del mundo de lo infinitamente grande (Mundo macroscópico) y las propiedades del mundo de lo infinitamente pequeño (Mundo microscópico), hay que utilizar cantidades muy grandes o muy pequeñas, difíciles de leer, de entender y casi imposibles para operar. Este problema ha sido tratado por la ciencia, mediante un sistema de uso de potencias de 10 inventado por los científicos y conocido con el nombre de Notación Científica. Ejemplos: 1) Velocidad de la luz: 300 000 000 m/s 2) Radio de un átomo: 0,000 000 045 m El modelo de la Notación científica es: N = c.10n u Donde:

N: Un número en notación larga c: Un coeficiente numérico tal que 1 ≤ |c| < 10 10n: Potencia entera de 10 u: Unidad de medida (si es que existe)

Todo número por grande o pequeño que sea siempre puede expresarse como el producto de tres factores: Un coeficiente numérico cuyo valor absoluto quede comprendido entre 1 y 10, una potencia entera de 10 y la unidad de medida si es que ésta existe. Ejemplos: 1) Velocidad de la luz: 3 x 108 m/s 2) Radio de un átomo: 4,5 x 10-8 m

Regla: Para transformar cantidades enteras de notación larga a notación científica, se recorre la coma decimal hacia la izquierda tantos lugares sean necesarios hasta encontrar el coeficiente numérico comprendido entre 1 y 10 con todas las cifras no nulas; y éste número de lugares recorridos será el exponente de la base entera de 10, cuyo signo es positivo. Para transformar cantidades decimales de notación larga a notación científica, se recorre la coma decimal hacia la derecha tantos lugares sean necesarios hasta encontrar el coeficiente numérico comprendido entre 1 y 10 con todas las cifras no nulas; y éste número de lugares recorridos será el exponente de la base entera de 10, cuyo signo es negativo.

Ejercicios de Aplicación para Desarrollar Destrezas: Transformar a notación científica las siguientes cantidades utilizando el modelo: 1.

150 000 000 km =

2.

0,000 000 000 000 000 000 000 001 672 g =

3.

364 000 000 000 000 =

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7

4.

67 541 189 =

5.

– 0,000 000 000 065 =

Transformar a notación larga las siguientes cantidades: 1.

6,2 x 105 =

2.

8,5 x 10-9 =

3.

1,9 x 10-6 =

4.

7,356 x 1012 =

5.

2,867 x 10-7 =

Ejercicios Propuestos para Desarrollar Destrezas: Transformar a notación científica las siguientes cantidades utilizando el modelo: 1.

La tierra está a 93 000 000 millas de distancia del sol = …………………………………………..

2.

La distancia de la tierra a la luna es aproximadamente 380 000 km = …………………………….

3.

El diámetro del sol mide aproximadamente 865 000 millas = …………………………………….

4.

La estrella alfa centauri está aproximadamente a 25 000 000 000 000 millas de la tierra = ………………………………………………………….

5.

5 780 000 000 000 000 = ……………………………..

6.

35 000 000 = ………………………………………….

7.

0,000 000 000 000 092 = ……………………………..

8.

0,000 065 = ……………………………………………

9.

845 657 893 = …………………………………………

Transformar a notación larga las siguientes cantidades: 1. 6,456 x 1015 = …………………………………………. 2.

1,4569 x 10-9 = …………………………………………

3.

7,2 x 10-6 = ……………………………………………..

4.

4 x 108 = ………………………………………………..

5.

– 7,84 x 10-7 = ………………………………………….

6.

3,893 67 x 103 = ………………………………………..

Operaciones con Notación Científica 1.

Principio de Operación Suma y Resta: Para sumar o restar números muy grandes o números muy pequeños se debe proceder de la siguiente manera: Primero se expresa todos los sumandos en notación científica según el modelo, luego se identifica el sumando que contiene la máxima potencia de diez y todos los restantes sumandos se escribirán en función de esa potencia, para lo cual a veces será necesario aplicar “operación simultánea inversa”, se

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factora la potencia común de 10 y se operan los términos no comunes chequeando que el coeficiente numérico del resultado quede comprendido entre 1 y 10.

Notas: a)

De entre varias potencias positivas de 10 la mayor será aquella que tenga el mayor exponente en valor absoluto. Ejemplo: ¿Cuál número es mayor entre 103 y 104? Solución: 103 = 1000 10 000 > 1000 104 = 10 000 104 > 103

b) De entre varias potencias negativas de 10 la mayor será aquella que tenga el menor exponente en valor absoluto. Ejemplo: ¿Cuál número es mayor entre 10-2 y 10-3? Solución: 10-2 = 0,01 0,01 > 0,001 10-3 = 0, 001 10-2 > 10-3 c)

Operaciones con potencias de 10: 1) 10n x 10m = 10n+m 2)

10𝑛 10𝑚

= 10𝑛−𝑚

3) (10n)m = 10n.m 4) 5)

𝑚

√10𝑛 = 10 1

10𝑛

𝑛⁄ 𝑚

= 10−𝑛

d) La denominada “operación simultánea inversa” consiste en multiplicar por un número uno de los factores de un producto y en dividir para el mismo número otro de los factores de ese producto, para que no altere el resultado y se cumpla cierta condición exigida.

Ejemplo: Expresar en notación científica las siguientes cantidades: 1) 345,67 x 104 Solución:

2) 0,045 x 10-3 Solución:

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Ejercicios de Aplicación para Desarrollar Destrezas: Obtener el resultado de las operaciones que siguen aplicando notación científica y con aproximación al tercer decimal: 1) 380 000 + 62 000 000 – 21 000 Solución:

2) – 0,003 972 + 0,000 689 31 – 0,074 757 6 + 0,008 122 4 Solución:

2.

Principio de Operación Combinada: Para realizar operaciones combinadas de multiplicación, división, potenciación y radicación con números muy grandes o números muy pequeños se procederá de la siguiente manera: Primero se expresará todos los términos en notación científica según el modelo, luego en orden sucesivo se irán resolviendo las operaciones siguiendo el orden que marquen los signos de agrupación o las categorías de las operaciones, en general se resuelve primero potencias y raíces, luego multiplicaciones y divisiones y finalmente sumas y restas. También se debe tener en cuenta que las operaciones deben realizarse en tres categorías, primero se opera los coeficientes numéricos, luego las potencias de 10 y finalmente las unidades de medida, si es que existen. Nota: Si tratando de extraer alguna raíz de una potencia de 10 resulta que el exponente no es divisible entre el índice de la raíz, entonces deberá aplicarse operación simultánea inversa para obtener esa divisibilidad.

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Ejercicios de Aplicación para Desarrollar Destrezas: Obtener el resultado de las operaciones que siguen aplicando notación científica: 1) 23 000 000 x 545 000 Solución:

2) 960 000 ÷ 150 000 000 Solución:

3) (0,000 000 000 5)3 Solución:

4) √250 000 000 000 Solución:

5) El diámetro de un átomo mide 0,000 000 000 002 7 cm y su masa es de 0,000 000 000 000 000 000 000 003 1 g, con ésta información determine el volumen medio y la densidad media de dicho átomo utilizando unidades S.I. y con aproximación a tres decimales.

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Ejercicios Propuestos para Desarrollar Destrezas: Realice las siguientes operaciones utilizando notación científica: 1) 4 250 000 000 + 880 000 000 000 + 24 000 000 000 000 2) 135 000 000 000 000 + 45 000 000 000 3) 0,000 000 001 27 + 0,000 005 4 – 0,000 000 62 4) 140 000 000 x 0,000 000 000 004 5) 620 000 000 ÷ 31 000 000 000 000 6) 327 600 ÷ 630 000 7) 8)

(0,000 015).(40 000 000) (0,000 000 000 25) (6 500 000 000).(0,000 000 000 009 2) (0,000 000 000 082)

9) Una máquina de conversión de energía se conoce con el nombre de reactor nuclear, si esta máquina convierte energía eléctrica de 3 g de uranio en cada día y si la rapidez de propagación de la luz vale 300 000 km/s, determinar en unidades S.I. y con aproximación a tres decimales: a) la energía diaria que proporciona la máquina; b) la potencia de salida de la máquina. 10)

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(0,000 415).(0,000 000 000 62 0,000 000 14

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CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cifras Ciertas o Correctas: Son todas las cifras que se leen en las escalas de un aparato medidor y en las que deben coincidir todos los aparatos bajo el supuesto de que usan el mismo instrumento, aplican el mismo método para el mismo cuerpo de prueba, si lo aplican bien. Cifras Aproximadas o Dudosas o Inciertas: Es generalmente una sola y resulta de apreciar al ojo del operador, la fracción de la menor división de una escala, esta cifra constituye la parte subjetiva de la lectura y difiere para diversos observadores, dependiendo de cómo miran, de su apreciación e incluso del estado de su visión. Cifras Significativas: Constituyen el conjunto de todas las cifras ciertas o correctas más la primera cifra dudosa de una lectura. El número de cifras significativas en una lectura depende de la calidad del aparato medidor, es decir de cuántas escalas tiene y de cuántas divisiones existen en cada escala. Ejemplo Lectura al medir una longitud:

Reglas Especiales para el uso de cifras significativas: 1) Ceros a la derecha de otras cifras no nulas o ubicadas entre cifras no nulas, sí se cuentan como cifras significativas; en cambio ceros a la izquierda de otras cifras no nulas, no se cuentan como cifras significativas. Ejemplo: 65,700

→

4,08

→

0,000 045 → Física I

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2) No es lo mismo el número de cifras decimales, que el número de cifras significativas. Ejemplo: →

354

0,006 8 → 5,04

→

0,625

→

3) Ocurre que desde el punto de vista de las cifras significativas son verdaderas las siguientes afirmaciones: 35,0 cm

≠

35 cm

b) 35,7 cm

=

35,2 cm (verdadero)

a)

(verdadero)

4) En ciertas ocasiones para cumplir una cierta condición de conservación del número de cifras significativas debe utilizarse notación científica. Ejemplo:  Transformar 6,45 kg a g Solución: 6,45 kg .|

1000 𝑔 1 𝑘𝑔

| = 6 450 g

La cantidad inicial tiene 3 cifras significativas y al transformar aparecen 4 cifras significativas, por lo tanto la respuesta se debe escribir en notación científica (la base 10 no se toma en cuenta el momento de contar las cifras significativas), así: 6, 45 kg = 6,45 x 103 g 5) Cuando se usan constante físicas en el cálculo de ciertas magnitudes, el número de cifras significativas de esas constantes debe ser el del factor menos numeroso y hay ciertos números que encontramos en fórmulas que no se obtuvieron por medición, no deben tomarse en cuenta al momento de contar las cifras significativas. Ejemplo: 𝜋

El volumen de un cilindro está dado por la expresión: 𝑉 = ( ) . 𝐷2 . ℎ , si D=12,5cm y h=35,42cm, 4

determinar: a) ¿con qué valor de π debe determinarse el volumen?; b) ¿cuántas cifras debe tener el volumen?; c) ¿cuánto vale el volumen? Datos: D = 12,5 cm h = 35,42 cm

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Solución: a) π debe determinarse con 3 cifras significativas, es decir: π = 3,14

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b) El volumen debe tener 3 cifras significativas. c) El volumen vale: 𝜋

𝑉 = ( ) . 𝐷2 . ℎ 4

3,14 𝑉=( ) (12,5)2 (35,42) 4 V = (0,785) (156,25) (35,42) V = 4 344,484 375 cm3 V = 4,34 x 103 cm3

Reglas para redondear números: 1) Cuando la primera cifra eliminada sea menor de 5, la última cifra retenida deberá mantenerse inalterada. Ejemplos: 6,532 45 redondeando a 0,001 queda 6,532 45 redondeando a 0,01 queda 2) Cuando la primera cifra eliminada sea mayor de 5, la última cifra retenida deberá incrementarse en una unidad. Ejemplos: 7,356 78 redondeando a 0,001 queda 7,356 78 redondeando a 0,01 queda 3) Cuando la primera cifra eliminada sea igual a 5 y esté seguida de por lo menos un dígito, la última cifra retenida deberá incrementarse en una unidad. Ejemplos: 12,352 510 redondeando a 0,001 queda 12,352 510 redondeando a 0,1 queda 4) Cuando la primera cifra eliminada sea igual a 5, seguida únicamente de ceros o sin otras cifras a continuación, la última cifra retenida deberá incrementarse en una unidad si es impar, y deberá mantenerse inalterada si es par o cero. Ejemplos: 2,165 50 redondeando a 0,001 queda 2,385 redondeando a 0,01 queda

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Operaciones con Cifras Significativas 1) Suma y Resta: Para sumar o restar cantidades expresadas en lecturas con diverso número de cifras significativas, se comienza por identificar a aquel sumando que tenga el menor número de cifras decimales, y hasta ese lugar se aproximan los demás sumandos, se suma (o se resta) y se obtiene el resultado. Ejemplos: Dadas las siguientes cantidades, sumar aplicando cifras significativas: 2 807,5 + 0,064 8 + 83,645 + 525,35 Solución:

2) Multiplicación y División: Para multiplicar o dividir cantidades expresadas en lecturas con diverso número de cifras significativas, en primer lugar se identifica al factor menos numeroso, se resuelve la operación y el resultado se aproxima al mismo número de cifras de ese factor menos numeroso. Ejemplos: Dadas las siguientes cantidades, multiplicar aplicando cifras significativas: 1) 21,13 x 11,2

2) 3,67 x 2,3

3) 56,45 x 8,6

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Ejercicios Propuestos para Desarrollar Destrezas: I.

Indicar cuántas cifras significativas, cuántas cifras ciertas, cuántas cifras dudosas y cuántas cifras decimales tienen las siguientes cantidades:

II.

No

Cantidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

145 825 0,000 000 708 0,625 0,000 48 35,077 265,708 85 000 0,000 000 000 65 196,003 45 964 405 000

Cifras significativas

Cifras ciertas

Cifras dudosas

Cifras decimales

Redondear las siguientes cantidades: 1) 7,628 49 redondeando a 0,001 queda: …………….…………………………………… 2) 7,628 49 redondeando a 0,1 queda: ….………………………………………………… 3) 12,426 53 redondeando a 0,01 queda: …………………………………………………. 4) 12,426 75 redondeando a 0,001 queda: …….………………………………………….. 5) 9,275 0 redondeando a 0,01 queda: ……………………………………………………. 6) 8,285 redondeando a 0,01 queda: ……………………………………………………… 7) 3,364 51 redondeando a 0,001 queda: …………………………………………………. 8) 6,728 523 redondeando a 0,001 queda: ………………………………………………… 9) 8,133 482 7 redondeando a 0,0001 queda: ……………………………………………... 10) 15,268 125 redondeando a 0,01 queda: ………………………………………………… 11) 3,463 500 redondeando a 0,001 queda: ………………………………………………… 12) 3,462 5 redondeando a 0,001 queda: …………………………………………………..

III.

Dadas las siguientes cantidades, sumar aplicando cifras significativas: 1) 21,135 + 12,45 + 7,2 + 6,667 8 + 235,769 430 2) 125,736 + 432,260 92 + 335,24 3) 64,6 + 12,13 + 14,178 + 8,27 4) - 86,12 - 63,3 - 76,128 - 92,573 43 5) -2,567 – 4,69 – 1,6 6) 358,76 + 23,3 + 2 452,876 + 12,443 2 + 7,51 + 0,078 6

IV.

Dadas las siguientes cantidades, multiplicar aplicando cifras significativas: 1) 3,67 x 2,3 2) 48,86 x 7,8 3) 35,12 x 12,3 4) 56,45 x 8,6

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5) 35,76 x 6,8 6) 47,86 x 7,8 V.

𝜋

El volumen de un cilindro está dado por la expresión: 𝑉 = ( ) . 𝐷2 . ℎ , si D=25,7cm y 4

h=62,85cm, determinar: a) ¿con qué valor de π debe determinarse el volumen?; b) ¿cuántas cifras debe tener el volumen?; c) ¿cuánto vale el volumen? VI.

Una persona desea efectuar la siguiente adición: 25,48 + 6,9; de modo que el resultado tenga solamente números significativos, determinar: a) ¿qué cantidad permanecerá inalterada?; b) ¿cómo deberá escribirse la otra?; c) ¿cuánto vale la suma total?

VII.

Para efectuar la multiplicación 234,5 x 2,23 diga primero: a) ¿cuál de los factores tiene el menor número de cifras significativas?; b) ¿con cuántos números debemos expresar el resultado?; c) ¿cuánto vale el producto total?

VIII.

Al medir la longitud de una carretera se obtuvo 96 km, ¿cuál es el número dudoso en esta medición?, ¿convendría escribir tal medida como 96 000 m?, ¿cuál es la forma de expresar esta cantidad en metros, conservando el número conveniente de cifras significativas?

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TEORÍA ELEMENTAL DE ERRORES Error verdadero (ex): Es la diferencia entre cada valor medido de una magnitud y su valor verdadero. Como el valor verdadero es inaccesible, resulta que el error verdadero también lo es y por ello no se puede elaborar una teoría en base a algo inaccesible, deberá definirse otro tipo de error. Su ecuación es: ex = Xi – X Donde: Xi: Valores individuales X: valor verdadero Error aparente (eix): Es la diferencia entre cada valor medido de una magnitud y el valor medio probable de la misma, su ecuación es: eix = Xi – X Donde: X: Valor medio probable ̅): Constituye el promedio aritmético de todos los valores medidos y se lo Valor medio probable (X calcula con la siguiente ecuación: ̅ X=

ΣXi n

, siendo n el número de mediciones

Cálculo Estadístico del Error Aparente Cuando se realizan mediciones nunca se toma una sola lectura, siempre se toma un conjunto de lecturas (por lo menos 3) para tener la certeza de que se trabajó con un valor representativo del conjunto que es el promedio aritmético y que se supone es el valor que más se aproxima al verdadero. El problema del cálculo estadístico de los errores se centra en la determinación del valor representativo de todas las mediciones, del error representativo de todos los errores cometidos por los diferentes operadores, esto se puede hacer por dos vías, es decir por medio de dos conceptos: La desviación media y la desviación estándar, que en Estadística se conoce con el nombre de “medidas de dispersión”. El cálculo se completa determinando el porcentaje, la proporción que representa el error cometido con respecto al tamaño de la cantidad medida. Los errores que se analizarán en este capítulo son: 1.

Error medio probable (𝐞̅𝐱 ): Es el concepto estadístico de desviación media aplicado en la teoría de errores, se obtiene promediando los valores absolutos de las desviaciones de cada dato con respecto a su promedio, es decir:

e̅x =

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̅| Σ|Xi − X n

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2.

Error cuadrático medio (e̅𝐜𝐱 ): Es el concepto estadístico de desviación estándar aplicado en la teoría de errores, se obtiene extrayendo la raíz cuadrada del cociente entre la sumatoria de los cuadrados de las desviaciones y el número de mediciones menos 1, es decir:

ecx = √

3.

̅)2 Σ(Xi − X n−1

Error porcentual (𝛆x ): Es el concepto estadístico de proporción y porcentaje aplicado en la teoría de errores, se obtiene expresando en porcentaje la relación entre el error medio probable y el valor medio probable, es decir:

εx =

e̅x . 100% ̅ X

El error medio probable y el error cuadrático medio se llaman errores absolutos y se caracterizan porque siempre llevan unidad de medida y no son comparables; mientras que al error porcentual se le llama también error relativo y se caracteriza porque nunca lleva unidad de medida y además sirve para relacionar la precisión de magnitudes de muy diversa especie.

Clasificación de los Errores según su Naturaleza 1.

Errores sistemáticos: Son propios de los fenómenos determinísticos, ocurren siempre por exceso o por defecto, obedecen a leyes bien determinadas de origen y propagación y son controlables. Entre estos errores tenemos: 1.1. Errores instrumentales: Se originan en las deficiencias de los aparatos de medición y se debe a imperfecciones en su construcción, en sus ajustes o a que no se utilizan en las condiciones para las cuales fueron diseñados. 1.2. Errores personales: Se originan en las deficiencias propias del operador, por errores en sus sentidos, por prejuicios o por técnicas deficientes. 1.3. Errores “burdos” (principiantes): Son propiamente equivocaciones, pero muy influyentes en los resultados, y por ello se los clasifica como estos errores: lecturas mal hechas, fallas en los cálculos, aproximaciones mal efectuadas, etc. 1.4. Errores externos: Se deben a condiciones ambientales que cambian, las mismas que debemos tomar muy en cuenta al realizar las mediciones.

2.

Errores causales o accidentales: Son propios de los fenómenos probabilísticos, ocurren indistintamente por exceso o por defecto, y se deben a causas de tipos fortuito y son la superposición de varios errores pequeños.

Desarrollo de Destrezas: Realice una síntesis, mediante organizadores gráficos Física I

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Ejercicios de Aplicación para Desarrollar Destrezas: 1.

En una práctica de laboratorio se obtiene el grupo de mediciones que aparecen a continuación. Con esta información, determinar: a) El valor medio probable b) El error medio probable c) El error cuadrático medio d) El error porcentual e) Expresar el resultado de la medición utilizando el error medio probable y el error cuadrático medio

Xi i cm 1

18,4

2

18,3

3

18,5

4

18,1

5

18,2

6

18,6

Σ:

110,1

Solución:

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PROPAGACIÓN DE ERRORES A LAS MEDIDAS INDIRECTAS 1.

EL PROBLEMA: ¿Por qué es importante? Porque los errores de magnitudes indirectas son errores abultados, puesto que resultan de la acumulación de errores de proceso, además son muy influyentes en los resultados.

2.

SUPUESTO: 

Sean x, y, z tres cantidades físicas cualesquiera que se miden directamente en el laboratorio.



Sea q una cantidad física indirecta, tal que q = f (x, y, z; a, b, c)



Sean a, b, c los exponentes de potencias con los que interviene cada magnitud para obtener el resultado q.

 3.

Sean: e̅x , e̅y , e̅z , e̅q , εq los correspondientes errores de medida.

PREGUNTA: e̅q = (e̅x , e̅y , e̅z ; a, b, c)

4.

PRINCIPIOS DE SOLUCIÓN O LEYES DE PROPAGACIÓN:

4.1. Caso Suma: Si q = x + y

e̅q = e̅x + e̅y (Primera ley de propagación de errores)

4.2. Caso Diferencia: e̅q = e̅x + e̅y (Segunda ley de propagación de errores)

Si q = x - y 4.3. Caso General: Si

𝑞=

𝑥 𝑎 .𝑦 𝑏 𝑧𝑐

εq = a. εx + b. εy + c. εz

(Ley general de propagación de errores)

Ejercicios de Aplicación para Desarrollar Destrezas: 1.

Al medir las dimensiones de una esfera con el instrumental de precisión, se obtienen los siguientes datos: m = (52,10 ± 0,10 ) g, error relativo de la densidad 1,62 %, diámetro medio 15,0 mm. Con esta información, determinar: a) El valor medio probable de la masa y su error medio probable b) El error relativo de la masa c) El error relativo del volumen d) El error relativo del diámetro de la esfera e) El error medio probable del diámetro de la esfera

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Ejercicios Propuestos para Desarrollar Destrezas: 1. ¿Qué sucede si el error medio probable es menor que la apreciación del aparato medidor? 2. ¿Cómo se expresa cualquier resultado de una medición? 3. En una práctica de laboratorio se obtiene el grupo de mediciones que aparecen a continuación: i 1 2 3 4 5 

Xi (cm) 29,33 29,31 29,29 29,27 29,25

Con esta información determinar: a) El valor medio probable.

d) El error porcentual

b) El error medio probable.

e) Expresar el resultado de la medición

c) El error cuadrático medio.

utilizando el error medio probable y el error cuadrático medio.

4. Al medir las dimensiones de una esfera con el instrumental de precisión se obtienen los datos siguientes: m = (82,40 ± 0,30) g;

ε = 3,43 %; D = 16,0 mm. Con esta información determinar:

a) El valor medio probable de la masa y su error medio probable. b) El error relativo de la masa. c) El error relativo del volumen. d) El error relativo del diámetro de la esfera. e) El error medio del diámetro de la esfera. 5. En una práctica de laboratorio se obtiene el grupo de mediciones que aparecen a continuación:

i 1 2 3 4 5 6 

mi g 65,28 65,26 65,27 65,24 65,25 65,29

Con esta información determinar: a) El valor medio probable.

d) El error porcentual

b) El error medio probable.

e) Expresar el resultado de la medición

c) El error cuadrático medio.

utilizando el error medio probable y el error cuadrático medio.

6. Al medir las dimensiones de una esfera con el instrumental de precisión se obtienen los datos siguientes: m = (165,38 ± 0,25) g; ε = 2,67 %; D = 12,0 mm. Con esta información determinar : Física I

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a) El valor medio probable de la masa y su error medio probable. b) El error relativo de la masa. c) El error relativo del volumen. d) El error relativo del diámetro de la esfera. e) El error medio del diámetro de la esfera. 7. Con balanzas de diferente apreciación se miden las masas de dos paquetes de esferas y se obtienen los siguientes resultados: m1 = (63,20 ± 0,20) g; m2 = (29,10 ± 0,10) g. Utilizando esta información determinar: 1.

El valor medio probable de la masa suma y el valor medio probable de la masa diferencia.

2.

El error medio probable de la masa suma y el error medio probable de la masa diferencia.

8. Al medir las dimensiones de un cilindro, se obtienen los siguientes errores relativos: diámetro 1 %; altura 0,8 %; masa 0,5 %. ¿Cuánto valen los errores relativos del volumen y la densidad. 9. Si se duplica la precisión del diámetro, sin cambiar la del resto de dimensiones del cuerpo de la cuestión anterior, ¿a cuánto aumenta o disminuye el error relativo del volumen? 10. Al medir una esfera se obtiene: m = (30,0 ± 0,10) g;

εV = 1,2 %, ¿Cuánto valen el error

𝑚

relativo de la masa y la densidad?(𝜌 = ) 𝑉

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