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• Lucas Andres Yanac Durand

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SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES En esta parte nos ocuparemos del problema de determinar raíces de ecuaciones. Las raíces de una función f ( x) son aquellos x tales que f ( x) =0. Son ejemplos de ecuaciones no lineales: i) ex + 3x =0 ii) tan x =senh (x2 +1) 5 4 iii) x -x +1=0 Todas las ecuaciones mencionadas no pueden ser resueltas en un número finito de pasos, es por eso que carece de solución “exacta” y para resolver se usan métodos computacionales. METODO DE BISECCION

f ( x) una función continua en [ao , bo ] con f (ao ) * f (bo )  0 . Entonces por el teorema del valor intermedio, la gráfica y  f ( x) cruzará al eje OX en un cero x  a que está en dicho intervalo. Sea

El método de la bisección consiste en dividir repetidamente a la mitad a los subintervalos

de

[ao , bo ] y en cada paso localizar la mitad que contiene a  .

ALGORITMO DE LA BISECCION. Para encontrar una solución  de f(x) = 0, dada la función continua f en el intervalo [ao, bo] donde f (ao) y f (bo) tienen signos opuestos con una tolerancia ε específica se procede como sigue: Entrada: Extremos a,b ; tolerancia ε , máximo número de iteraciones No Salida: Solución aproximada α ó mensaje de fracaso. PASO 1: Tomar i=0 PASO 2: Mientras que i ≤ No Seguir Pasos 3 – 6

ba 2 ba   entonces PASO 4: Si f(x) = 0 ó 2 PASO 3: Tomar α = a 

Salida (α). Parar. PASO 5: Tomar i = i+1. PASO 6: Si f (a) f (b)>0, entonces tomar a = α. Si no b= α PASO 7: Salida (El método fracaso después de iteraciones,); (Procedimiento completado sin éxito). Parar.

TEOREMA (Convergencia del método de bisección). Supongamos que f Є C [a, b] y que f (a) y f (b) tienen signos distintos. Sea {Cn} n≥0 la sucesión de punto medios de los intervalos generados por el método de bisección. Entonces existe un numero r Є [a,b] tal que f(r) = 0 y además ,

r  Cn 

ba Para n= 0, 1,2,………… 2 n 1

En particular, la sucesión {Cn} n≥0 converge al cero x = r , esto es lim C n  r n 

Prueba: Para cada n≥0, tenemos:

1 (b  a ) y r Є < an , bn > 2n b  an b  a a b  n1 ya que cn  n n para todo n = 0,1,2,…… Luego | r  cn | n 2 2 2 bn-an =

1 (b  a ) representa el máximo error posible cuando la raíz se aproxima al n2n esimo punto medio. Por lo tanto si la tolerancia del error está dada por  el nº de pasos o La expresión

iteraciones necesarias es el mínimo entero que satisface.

ba  2n 1

Para todo n ≥ 0

En forma equivalente

2 n 1 1 ba ba > )  2n+1 >  n+1 > log 2 ( ba    ba n > log 2 ( ) -1  Ejemplo. x

Halle el valor aproximado de la raíz con una tolerancia de ε = 0.01 de la función f(x) = e – 2 con x Є [0,2] Solución: Podemos averiguar cuantas iteraciones son necesarias para hallar la raíz con una tolerancia ε = 0.01 n> log 2 (

20 )-1  n > 6,643856  n ≈ 7 número de iteraciones 0.01

N

an

αn

bn

f(an)

f(αn)

f(bn)

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0.5 0.5 0.625 0.6875 0.6875 0.6875

1 0.5 0.75 0.625 0.6875 0.7187 0.7031 0.6953

2 1 1 0.75 0.75 0.75 0.7187 0.7031

-1 -1 -0.3512 -0.3512 -0.1317 -0.0112 -0.0112 -0.0112

0.7182 -0.3512 0.1170 -0.1317 -0.0112 0.0518 0.0200 0.0043

5.3890 0.7182 0.7182 0.1170 0.1170 0.1170 0.0518 0.0200

Tol:

ba 2 n 1

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

La séptima aproximación para la raíz es α = 0.6953 su cota de error (máximo error posible) es 0.0078 está dentro ε =0.01 El método de bisección tiene como ventajas la de ser un método sencillo y que siempre converge. Más bien tiene como desventajas el hecho de ser lento y la necesidad de construir varias sucesiones para llegar a una solución aproximada.

METODO DEL PUNTO FIJO En este método trataremos de obtener una raíz de la ecuación f(x) = 0 .......... (1) Expresando dicha ecuación en la equivalente X = g(x)……. (2) Esto es, una raíz α de la ecuación (1) también es solución de la ecuación (2). DEFINICION. Un punto fijo de una función

g ( x) ) es un número real  tal que   g ( ) . Geométricamente un punto fijo de una función g ( x) son los puntos de intersección de la curva y  g ( x) con la recta yx

Ejemplo 4 2 Sea la ecuación f (x) = x -3 x -1=0 En este caso se tiene: a) X = g1(x) = (1+3x2)1/4 1/ 2

 x 4 1  b) X = g2(x) =   3  1 c) X = g3(x) = 3 x  3x 1/ 2  1  d) X = g4(x) =  2   x 3 Cada una de estas funciones g(x) recibe el nombre de función de iteración para resolver la ecuación (1). Una vez que se escoge una función de iteración se define el algoritmo de punto fijo, como: Xn+1 = g(xn ) para todo n ≥ 0........(3) Donde xo es una aproximada inicial. TEOREMA Sea g una función continua y que {xn}n≥0 es una sucesión generada por iteraciones del punto fijo . Si lim xn   entonces  es un punto fijo de g  x  n 

Prueba

g    g (lim xn )  lim g  xn   lim xn1   n 

n 

n 

Por lo tanto α es un punto fijo de g (x). TEOREMA Sean i) g , g' Є C [a , b] ii) K es una constante positiva iii) xo Є iv) g(x) Є [a , b] para todo x Є [a , b]. Entonces hay un punto fijo α de g en [a , b] *Si g ( x ) ≤ K < 1 para todo x Є [a , b] , entonces α es único punto fijo de g en [a , b] y la iteración Xn+1 = g(xn) converge a dicho punto α . en este caso se dice que α es un punto fijo atractivo. *Si g () > 1 y

  xo entonces la iteración Xn+1 = g(xn) no converge a α . En este caso se dice

que α es un punto fijo repulsivo y la iteración presentan divergencia total. COROLARIO Supongamos que g verifica las hipótesis dadas en el apartado * entonces las siguientes desigualdades proporcionan cotas de error que comete cuando usamos x n como aproximación a α.

  x n ≤ Kn   x o para todo n ≥ 1   x n ≤ Kn

x1  x o 1 k

para todo n ≥ 1

El teorema anterior no nos dice que ocurriría si g () = 1 El siguiente ejemplo se ha construido especialmente para que {x n} converge cuando xo >  y diverge cuando xo <  Ejemplo Sea para g(x) = 2(x-1)1/2 para x ≥ 1 Esta función sólo tiene un punto fijo en  = 2 y su derivada es g ( x ) 

1 de manera que ( x  1)1 / 2

(2) = 1 y no se puede aplicar el teorema anterior consideramos CASO i) inicio CASO ii) inicio xo = 1.5 x o = 2.5 x1 = 1.41421356 x 1 = 2.44948974 x2 = 1.28718851 : : : : : x5 = 2(-0.464091)1/2 lim x n  2 n 

Como x4esta fuera del dominio de g(x) El termino x5 no puede calcularse

Esta sucesión converge muy lentamente  = 2 de hecho  1000 = 2.00398714

ALGORITMO DEL PUNTO FIJO Encontrar una solución de  = g (  ) dada una aproximación inicial x o: ENTRADA: Aproximación inicial x o; tolerancia Tol; número máximo de iteraciones Nº SALIDA: Solución aproximada  ó mensaje de fracaso. Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras que i ≤ Nº seguir pasos 3 y 5 Paso 3: Tomar  = g(xo) calcule po

  xo < tol entonces  Salida (  );

Paso 4: Si

Parar Paso 5: Tomar i = i+1 Paso 6: Tomar  o = x (redefinir  o ) Paso 7: Salida “el método fracasa después de Nº, iteraciones” Parar.

g

Ejemplo La fórmulas de Bazin para la velocidad de un fluido en canales abiertos está dada por:

v  c r e 1 / 2

87

c

con

0,552 

m

r 1 / 2

donde: m : coeficiente de rugosidad r : Radio hidráulico en pies (área dividida entre el perímetro mojado) e : Pendiente de la superficie del fluido. v : Velocidad de fluido en pies / segundo Calcule el radio hidráulico correspondiente a los siguientes datos(dados en unidades consistentes) por el método del punto fijo.

m  1,1

e  0,001

v5

Solución Sea c con los datos dados: c 

87 r 1/ 2 .Luego de v  c r e con datos dados se tiene 0,552 r  m

v

87 r 0, 001 0,552 r  m

De esta última ecuación consideremos r  g (r ) 

5(0,552 r  1,1) , puesto que, del criterio de 87 0, 001

convergencia

| g '(r ) | I. II. III. IV.

V.

2, 76 0,5016   0, 2681  1 , r  [3,5; 4,5] 2(87) 0, 001 r r

g (r ) es una función continua en [3,5;4,5] y g '(r ) es una función continua en [3,5;4,5] K  0, 2681 r0  3,9 g (r ) [3,5;4,5] , r [3,5; 4,5] Pues g (r ) es creciente, 3,5  r  4,5 3,5  3,88  g (r )  4,13  4,5 Como | g '(r ) | 0, 2681  1 entonces por el teorema de punto fijo, existe un único punto fijo

 y la iteración rn1  g (rn )  5(0,552 rn  1,1) converge a dicho punto fijo  . 87 0, 001

rn

n 0 1 2 3 4 5 7 8

3,9 3,9803 4,0006 4,0057 4,0070 4,0073 4,0074 4,0074

Por lo tanto, el radio hidráulico es 4,0074.

METODO DE NEWTON RAPHSON El método de Newton Raphson que descansa en la continuidad de f ( x ) y f ( x ) es uno de los algoritmos más útiles y mejor conocidos lo introduciremos gráficamente y luego daremos un tratamiento más riguroso basado en el Teorema de Taylor.

y  f (x 0 )  f (x 0 )(x  x 0 ) {y  0}  Lt 1  0  f (x 0 )  f (x 0 )(x  x o ) f (x) x  x0   x1 f ( x ) Lt1:

TEOREMA Supongamos que la función f Є C2[a,b] y que existe un número  Є [a,b] tal que f(  ) = 0 . Si f ()  0 , entonces existe δ > 0 tal que la sucesión {αn}n≥0 definida por el proceso iterativo

f (x n ) para todo n = 0, 1, 2, 3,......... f ( x n ) Converge a  cualquiera que sea la aproximación inicial x o Є [  -δ,  + δ] Xn+1 = g(xn) = xn -

Observación La función g(x) definida por la relación g(x) = x -

f (x) f ( x )

Se llama función de iteración de Newton Raspón. Puesto que f(  ) = 0 ,es fácil ver que g(  ) =  lo que nos dice que la iteración de Newton –Raphson para hallar una raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en hallar un punto fijo de g(x). Como g(x) es continua y g ()  0 , podemos encontrar δ > 0 tal que la hipótesis g ( x ) < 1 del teorema del punto fijo, se cumple en el intervalo<  -δ,  + δ>.Por consiguiente, que x o Є <  -δ,  + δ> es una condición suficiente para que x o sea el punto de partida de la sucesión {x n}n≥0 que converge a la única raíz de f(x) = 0 en dicho intervalo, siempre que δ sea elegido tal que.

f ( x) f ''( x) f ( x) EJEMPLO Dada la ecuación

2

0

5. Un proyectil de M=2 gm se ha lanzado en lanzado en forma vertical al aire y está descendiendo a su velocidad terminal. Dicha velocidad se determina mediante la ecuación

gM  Ddrag donde g es la gravedad y M es la masa; esta ecuación se puede escribir después de evaluar las constantes como

(2)(9,81)  1,4 * 10 5 v 1,5  1,15 * 10 5 v 2 1000 donde v es la velocidad terminal en m/seg. El primer término del lado derecho representa la fuerza de fricción y el segundo la fuerza de la presión. Determine la velocidad terminal mediante el método de la bisección, con una tolerancia de 0,001. 6. La configuración superficial de la aeronave NACA0012 de longitud de arco 1m y con espesor máximo de 0,2m está dada por

y( x)  [0,2969 x  0,126 x  0,3516 x 2  0,2843x 3  0,1015x 4 ] donde los signos más y menos se refieren a las superficies superior e inferior, respectivamente. Determine x, donde el espesor del aparato es 0,1m por medio de bisección. Haga la tolerancia igual a 0,00001. (existen dos soluciones). 7. Encuentre la raíz de f ( x)  sen x  1 que se sabe que está en 1