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Universidad Nacional Mayor de San Marcos FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

Métodos numéricos 2 Ing. William Wilfredo Chauca Nolasco

2018 1

use el método de Liebmann para resolver cuál sería la temperatura de la placa cuadrada calentada que se ilustra en la figura 1, pero con la condición de frontera superior incrementada a 120º y la frontera izquierda disminuida a 60ºC. Utilice un factor de relajamiento de 1.2 para iterar a es = 1%. Calcule los flujos para el problema Suponga que la placa es de 40 × 40 cm y que está hecha de aluminio [k′ = 0.49 cal/(s · cm · °C)].

Solución: Para resolver este problema, usaremos el programa Matlab, donde: clear all close all Lx=40; Ly=40; nx=5; ny=5; dx=Lx/(nx-1); dy=Ly/(ny-1); k=0.49; lamdda=1.2; T=zeros(ny,nx); T(1,:)=120; T(ny,:)=0; T(:,1)=60; T(:,nx)=50; iter=0; E=ones(ny-2,nx-2); e=100; while e>1 iter=iter+1; for i=ny-1:-1:2 for j=2:nx-1 a=T(i,j); T(i,j)=(T(i-1,j)+T(i+1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1))/4; T(i,j)=lamdda*T(i,j)+(1-lamdda)*a; E(i-1,j-1)=abs((T(i,j)-a)/T(i,j))*100; end end T E e=max(max(E)); end qx=zeros(ny,nx); qy=zeros(ny,nx);

qn=zeros(ny,nx); theta=zeros(ny,nx); x=zeros(ny,nx); y=zeros(ny,nx); for j=2:nx-1 for i=2:ny-1 qx(i,j)=-k*(T(i+1,j)-T(i-1,j))/(2*dx); qy(i,j)=-k*(T(i,j+1)-T(i,j-1))/(2*dy); qn(i,j)=sqrt(qx(i,j)^2+qy(i,j)^2); theta(i,j)=atan(qx(i,j)/qy(i,j)); %x(i,j)=qn(i,j)*cos(theta(i,j)); %y(i,j)=qn(i,j)*sin(theta(i,j)); end end ang=theta*180/pi %lo siguiente es para reordenar los datos y quiver pueda graficarlo bien for j=2:nx-1 for i=2:ny-1 theta(i,j)=theta(i,j)*(1+pi/(2*abs(theta(i,j)))); b=ny-i+1; x(b,j)=qn(i,j)*cos(theta(i,j)); y(b,j)=qn(i,j)*sin(theta(i,j)); end end quiver(y,x) Sus resultados de este programa se presenta a continuación: Para la primera iteración: T = 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000 60.0000

120.0000 61.0200 23.4000 18.0000 0

Y sus errores :

E=

|

|

T N −T o ∗100 TN

120.0000 56.8980 8.6400 5.4000 0

120.0000 74.8428 22.5780 16.6200 0

50.0000 50.0000 50.0000 50.0000 50.0000

E = 100 100 100

100 100 100

100 100 100

Para la segunda iteración: T = 60.0000

120.0000

120.0000

120.0000

50.0000

60.0000

71.2044

79.9776

75.3913

50.0000

60.0000

41.1300

38.4768

51.2220

50.0000

60.0000

23.0400

13.4100

22.4724

50.0000

60.0000

0

0

0

50.0000

14.3030

28.8576

0.7276

43.1072

77.5449

55.9213

21.8750

59.7315

26.0426

y sus errores : E =

y así sucesivamente, hasta llegar a la iteración numero 6 Donde T = 60.0000

120.0000

120.0000

120.0000

50.0000

60.0000

80.7192

83.8443

77.1426

50.0000

60.0000

59.0195

57.5173

54.7388

50.0000

60.0000

37.8067

32.4163

34.2944

50.0000

60.0000

0

0

0

50.0000

0.0338

0.0372

0.0247

0.0109

0.0209

0.0491

0.6882

0.1302

0.0199

Y sus errores : E =

Y sus ángulos respectivos en cada nodo son los siguientes valores sexagesimales ang = 0

0

0

0

0

0

-68.6437

86.7239

62.5888

0

0

86.6888

85.2419

80.0493

0

0

64.9502

86.5056

-72.1915

0

0

0

0

0

0

Y su gráfica , con la dirección de sus vectores :

Conclusiones del problema 1 : -

Observamos que los errores hallados en la sexta iteración son menores que 1%, eso debido a que al programa hemos indicamos que basta que el mayor valor de error de un nodo sea menor a 1% , para que la iteración quede ahí y nos dará los valores de temperatura .

-

Se observa que los valores de temperaturas si tienen sentido cuando el flujo fluye desde la temperatura mayor y superior que es 120 C° hacia la parte inferior.

-

También la dirección de los vectores nos indica que el flujo viene de la parte superior a la inferior.

-

Si comparamos los valores de los ángulos sexagesimales con la gráfica, se observa que no hay mucha relación debido al sentido de giro del Angulo, eso es debido a que Matlab no acepta ciertas condiciones que queremos.

-

También observamos que el cuadro de la gráfica del supuesto nodo (1,1) Nos da en la gráfica (2,2), es debido a que nos facilita mas el calculo en el programa.