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• Kevin Suasnabar

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METODO DUAL SIMPLEX CON 3 VARIABLES 1) 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 5𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 Sujeto a: 6𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≤ 350 5𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 150 𝑥3 ≥ 20 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0

Para problemas de maximización no podemos aplicar el método simplex dual directamente primero tenemos que determinar el dual del problema. Ahora es simetrico

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 5𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3

Multiplicamos por -1 a x3

Sujeto a:

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 5𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 Sujeto a:

6𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≤ 350 5𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 150 𝑥3 ≥ 20 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0

Sacamos su dualidad

𝑀𝑖𝑛 𝑊 = 350𝑦1 + 150𝑦2 − 20𝑦3 Sujeto a: 6𝑦1 + 5𝑦2 ≥ 5 2𝑦1 + 3𝑦2 ≥ 4 3𝑦1 − 𝑦3 ≥ 5 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≥ 0

Luego multiplicamos por -1 a todo y entonces nos da:

6𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≤ 350 5𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 150 −𝑥3 ≤ −20 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = −350𝑦1 − 150𝑦2 + 20𝑦3 Sujeto a: −6𝑦1 − 5𝑦2 ≤ −5 −2𝑦1 − 3𝑦2 ≤ −4 −3𝑦1 + 𝑦3 ≤ −5 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≥ 0

Ponemos las variables de holgura

𝑀𝑎𝑥 𝑍 + 350𝑦1 + 150𝑦2 − 20𝑦3 = 0 Sujeto a: −6𝑦1 − 5𝑦2 + 𝑆1 = −5 −2𝑦1 − 3𝑦2 + 𝑆2 = −4 −3𝑦1 + 𝑦3 + 𝑆3 = −5 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 ≥ 0

Lo pasamos a la tabla

Z Z S1 S2 S3

1 0 0 0

Y1 350 -6 -2 -3

Y2 150 -5 -3 0

Y3 -20 0 0 1

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

SOLUCION 0 -5 -4 -5

Buscamos el mas negativo de -5 -4 y -5 … como dos son iguales podemos escoger cualquiera de esas: Hacemos la división para eso tienen que ser signos opuestos y así encontrar el pivote:

350/-6 = -58.33333

y

150/-5 = -30

Tomamos -5 ya que su división se acerca mas a 0 VS= S1 VE=Y2

INTERACION 1 Z Z S1 S2 S3

1 0 0 0

Y1 350 -6 -2 -3

Y2 150 -5 -3 0

Y3 -20 0 0 1

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

SOLUCION 0 -5 -4 -5

Y3 -20 0 0 1

S1 30 -0.2 -0.6 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

SOLUCION -150 1 -1 -5

ITERACION 2 Dividimos para hallar el pivote 170/-3 = -56.6666

y

-20/1= -20

Tomamos el valor mas cercano a cero VS=S3 VE= Y3 Z Z Y2 S2 S3

1 0 0 0

Y1 170 1.2 1.6 -3

Y2 0 1 0 0

Dado que las columnas de solución siguen negativos tenemos que seguir iterando

ITERACION 3 Como y1 es el único que queda tomamtos como VS= Y3 VE= Y1

Z Z Y2 S2 Y3

1 0 0 0

Y1 110 1.2 1.6 -3

Y2 0 1 0 0

Y3 0 0 0 1

S1 30 -0.2 -0.6 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

SOLUCION -250 1 -1 -5

ITERACION 4 Como siguen signos negativos en la solución seguimos iterando Dado que signos iguales no se tienen que considerar tomamos a: VS=S2 VE=S1

Z Y2 S2 Y1

Z

Y1 0 0 0 1

Y2 0 1 0 0

Y3 36.66667 0.4 0.533333 -0.33333

S1 30 -0.2 -0.6 0

S2 0 0 1 0

S3 56.666667 0.4 0.533333 -0.333333

SOLUCION -433.3333 -1 -3.66666 1.6666667

Z

Y1 0 0 0 1

Y2 0 1 0 0

Y3 63.3333 0.22222 -0.88889 -0.33333

S1 0 0 1 0

S2 50 -0.33333 -1.66666 0

S3 83.333333 0.2222222 -0.888889 -0.333333

SOLUCION -616.6667 0.222222 6.111111 1.6666667

1 0 0 0

ITERACION 5 Z Y2 S1 Y1

1 0 0 0

DADO que en la columa de solución no hay valores negativos se podría decir que llegamos a la solución La solución seria el valor absoluto de -616.66667 porque anteriormente el problema lo habíamos multiplicado por -1 para pasarlo denuevo a un ppl de maximización El valor máximo de la función objetivo es Z=616