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• Noe Felix Sinchi

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METODO DE MUTO Está en los resultados de la deformación por flexión en las barras son más exactos, incluso pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación El análisis sísmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de métodos que permiten resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo o viento). Entre este método encontramos el método de muto que se utiliza principalmente para resolver pórticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales. Es uno de los métodos que se usa para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida por el viento o los sismos. La diferencia que contempla a este método de otros (método del portal o del voladizo) axial son despreciables.

1. RIGIDEZ LATERAL Supongamos la siguiente columna bien empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral

Se define a la rigidez lateral absoluta (K0 Da) como aquella fuerza cortante V capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene: 𝑣

𝑅𝐼𝐺𝐼𝐷𝐸𝑍 𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐴𝐵𝑆𝑂𝐿𝑈𝑇𝐴 = 𝐾 = 𝐷𝑎 = 𝑑 =

12𝐸𝐾𝑜 ℎ2

= 𝐷𝑜(𝑎 ∗ 𝐾𝑐) = 𝐷𝑜 ∗ 𝐷

𝑅𝐼𝐺𝐼𝐷𝐸𝑍 𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐸𝑆𝑇𝐴𝑁𝐷𝐴𝑅 = 𝐷𝑜 = 12 ∗

𝐸𝐾𝑜 ℎ2

La rigidez lateral estándar depende de la altura de cada columna, pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor Do

El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos, para el caso que la columna este biempotrada (vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un ¼

El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos, para el caso que la columna este biempotrada (vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un 1/4

El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la máxima rigidez lateral (K) se obtienen cuando la columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce en 75 % y si luego se articulase en su extremo superior, k se degrada en 100% convirtiéndose en un mecanismo inestable.

Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendría que ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante, sin embargo, muto concluye que en los pórticos compuestos por vigas y columnas, la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K. CALCULO DEL COEFICIENTE “a” (MUTO RECOMIENDA) 1.-COLUMNAS QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL PRIMERO a.- si 𝐾 → 𝑎 ⟹ 𝑎 = 1 b.-el método es válido solo cuando K ≥ 0.2, de lo contrario, la fórmula es imprecisa. El valor K es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una placa.

2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS a.- base semi-empotrada empotrada: aparte de existir vigas de cimentación (vc), la rigidez aportada por los pilotes.

Cuando la base de la columna esta semi empotrada, el valor que se obtenga de a deberá ser inferior al caso en que la base este empotrada (sub-caso b).

b.- base empotrada

c.- base articulada:

MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS El método asigna a cada columna un valor característico “D” que viene a ser la relación entre el corte que toma la columna y la deformación que la produce. Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relación entre las sumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna. El corte que forma cada columna “j” del entrepiso, está dado por:

𝑉𝑗 = 𝑣𝐻𝑗 + 𝑉𝑇 𝑉𝑗 : 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗 𝑉𝐻𝐽 : 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜 𝑄 𝑉𝑇 : 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS Los pasos a seguir son: 1) Calculo de los valores de D 2) distribución de la cortante de entrepiso Q entre las columnas proporcionalmente a sus valores D.

𝑉𝐻𝐽 =

𝐷𝑖 𝑄 ∑𝐷𝑗

Dj: constante relativa de la columna j Σ Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado 3) determinación de los puntos de inflexión de las columnas y cálculo de los momentos flectores. 4) Calculo de las solicitaciones en vigas y fuerzas axiales en columnas. 5) Corrección de torsión.

VALORES D EN LAS COLUMNAS

a) Para columnas de altura uniforme

𝐷 = 𝑎𝐾𝐶 a: constante que depende de K Kc: rigidez de la columna considerada

𝐷=

𝐼 𝐿

Si KV3+KV4 es mucho mayor que KV1+ KV2, o a la inversa; el valor de A no debe ser mayor que el que resultaría de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente:

CASO Nº 02: extremo empotrado (primer piso)

CASO Nº 03: extremo articulado

CASO Nº 04: caso en que las columnas son de altura no uniforme. Una columna de altura “h” que difiere de la altura estándar “h”:

CASO Nº 05: Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h1 y h2 las cuales sumadas dan la altura estándar h.

CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MÉTODO DE MUTO

Para el cálculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para calcular las rigideces DX DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. Ya que las limitaciones del método están dadas por el valor de K. En cuento K se haga más pequeño el error se incrementara, debido a que una hipótesis base es que las vigas son suficientemente rígidas; un pequeño valor de K indicara que esta condición no se cumple satisfactoriamente. Posteriormente hallamos las rigideces para vigas y columnas tanto en la dirección X como Y. Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.

CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES

CÁLCULO DE RIGIDECES PRIMER PISO 𝟎. 𝟓 + 𝑲𝑽𝟏 + 𝑲𝑽𝟐 𝟏𝟐𝑬 𝑲𝑪 𝑲𝑮 = ( ) ∗ 𝑲𝑪 ∗ 𝟐 𝑲 +𝑲 𝑯 𝟐 + 𝑽𝟏𝑲 𝑽𝟐 𝑪 PISOS SUPERIORES 𝑲𝑽𝟏 + 𝑲𝑽𝟐 + 𝑲𝑽𝟏 + 𝑲𝑽𝟐 𝟏𝟐𝑬 𝟐 ∗ 𝑲𝑪 𝑲𝑮 = ( ) ∗ 𝑲𝑪 ∗ 𝟐 𝑲𝑽𝟏 + 𝑲𝑽𝟐 + 𝑲𝑽𝟏 + 𝑲𝑽𝟐 𝑯 𝟐+ 𝟐 ∗ 𝑲𝑪

Donde:  B: base(cm)  H: altura (cm)  L: luz de la viga (cm)  H: altura de columna (cm)  E:15000√fc(tn/cm2) En

este

caso

utilizaremos

fc=280kg/cm2entonces

RIGIDEZ DE LA COLUMNA Y VIGAS EN DIRECCION X-X 𝑩𝟑 ∗ 𝑯 𝑲𝑪 = 𝟏𝟐 𝑯𝑪

𝑩 ∗ 𝑯𝟑 𝑲𝑽 = 𝟏𝟐 𝑳𝑽

RIGIDEZ DE LA COLUMNA Y VIGAS EN DIRECCION Y-Y 𝑩 ∗ 𝑯𝟑 𝑲𝑪 = 𝟏𝟐 𝑯𝑪

𝑩 ∗ 𝑯𝟑 𝑲𝑽 = 𝟏𝟐 𝑳𝑽

E=250.998tn/cm2

RIGIDEZ DE LA COLUMNA Y VIGAS EN DIRECCION X-X

RIGIDEZ RELATIVA COLUMNA

COLUMNA LONGITUD INERCIA(cm^4) 1 5 762552.0833 2 5 1080000 3 5 1080000 4 5 762552.0833 5 3.5 762552.0833 6 3.5 1080000 7 3.5 1080000 8 3.5 762552.0833 9 3.5 762552.0833 10 3.5 1080000 11 3.5 1080000 12 3.5 762552.0833 13 3.5 762552.0833 14 3.5 1080000 15 3.5 1080000 16 3.5 762552.0833 17 3.5 762552.0833 18 3.5 1080000 19 3.5 1080000 20 3.5 762552.0833 21 3.5 762552.0833 22 3.5 1080000 23 3.5 1080000 24 3.5 762552.0833

K relativa(cm^3) 1525.104167 2160 2160 1525.104167 2178.720238 3085.714286 3085.714286 2178.720238 2178.720238 3085.714286 3085.714286 2178.720238 2178.720238 3085.714286 3085.714286 2178.720238 2178.720238 3085.714286 3085.714286 2178.720238 2178.720238 3085.714286 3085.714286 2178.720238

K empotrado (Tn/cm) 18.37430859 26.02347264 26.02347264 18.37430859 53.5694128 75.87018262 75.87018262 53.5694128 53.5694128 75.87018262 75.87018262 53.5694128 53.5694128 75.87018262 75.87018262 53.5694128 53.5694128 75.87018262 75.87018262 53.5694128 53.5694128 75.87018262 75.87018262 53.5694128

RIGIDEZ RELATIVA VIGA

VIGAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

LONGITUD 9 7 9 9 7 9 9 7 9 9 7 9 9 7 9 9 7 9

INERCIA(cm^4) 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75 189843.75

K relativa(cm^3) 210.9375 271.2053571 210.9375 210.9375 271.2053571 210.9375 210.9375 271.2053571 210.9375 210.9375 271.2053571 210.9375 210.9375 271.2053571 210.9375 210.9375 271.2053571 210.9375

RIGIDEZ LATERAL COL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

K 0.138310225 0.223214286 0.223214286 0.138310225 9.68171572982ᴇ−2 0.15625 0.15625 9.68171572982ᴇ−2 9.68171572982ᴇ−2 0.15625 0.15625 9.68171572982ᴇ−2 9.68171572982ᴇ−2 0.15625 0.15625 9.68171572982ᴇ−2

a Klcolumna(Tn/cm) 0.298511515 5.484942694 0.325301205 8.465467003 0.325301205 8.465467003 0.298511515 5.484942694 4.61733904462ᴇ−2 2.473481413 7.24637681159ᴇ−2 5.497839321 7.24637681159ᴇ−2 5.497839321 4.61733904462ᴇ−2 2.473481413 4.61733904462ᴇ−2 2.473481413 7.24637681159ᴇ−2 5.497839321 7.24637681159ᴇ−2 5.497839321 4.61733904462ᴇ−2 2.473481413 4.61733904462ᴇ−2 2.473481413 7.24637681159ᴇ−2 5.497839321 7.24637681159ᴇ−2 5.497839321 4.61733904462ᴇ−2 2.473481413

KL(piso)(Tn/cm)

27.9008194

15.94264147

15.94264147

15.94264147

17 18 19 20 21 22 23 24

9.68171572982ᴇ−2 0.15625 0.15625 9.68171572982ᴇ−2 9.68171572982ᴇ−2 0.15625 0.15625 9.68171572982ᴇ−2

PISO 1 2 3 4 5 6

4.61733904462ᴇ−2 7.24637681159ᴇ−2 7.24637681159ᴇ−2 4.61733904462ᴇ−2 4.61733904462ᴇ−2 7.24637681159ᴇ−2 7.24637681159ᴇ−2 4.61733904462ᴇ−2

2.473481413 5.497839321 5.497839321 2.473481413 2.473481413 5.497839321 5.497839321 2.473481413

15.94264147

15.94264147

RESUMEN KL(Tn/cm) 27.9008 15.9426 15.9426 15.9426 15.9426 15.9426

RIGIDEZ DE LA COLUMNA Y VIGAS EN DIRECCION Y-Y RIGIDEZ RELATIVA COLUMNA COLUMNA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

LONGITUD 5 5 5 5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5

INERCIA(cm^4) 1080000 2000833.333 2000833.333 1080000 1080000 2000833.333 2000833.333 1080000 1080000 2000833.333 2000833.333 1080000 1080000 2000833.333 2000833.333 1080000 1080000 2000833.333 2000833.333 1080000 1080000

K relativa(cm^3) 2160 4001.666667 4001.666667 2160 3085.714286 5716.666667 5716.666667 3085.714286 3085.714286 5716.666667 5716.666667 3085.714286 3085.714286 5716.666667 5716.666667 3085.714286 3085.714286 5716.666667 5716.666667 3085.714286 3085.714286

Kempotrado (Tn/cm) 26.02347264 48.21169584 48.21169584 26.02347264 75.87018262 140.55888 140.55888 75.87018262 75.87018262 140.55888 140.55888 75.87018262 75.87018262 140.55888 140.55888 75.87018262 75.87018262 140.55888 140.55888 75.87018262 75.87018262

22 23 24

3.5 3.5 3.5

2000833.333 2000833.333 1080000

5716.666667 5716.666667 3085.714286

INERCIA(cm^4) 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5 415937.5

K relativa(cm^3) 462.1527778 594.1964286 462.1527778 462.1527778 594.1964286 462.1527778 462.1527778 594.1964286 462.1527778 462.1527778 594.1964286 462.1527778 462.1527778 594.1964286 462.1527778 462.1527778 594.1964286 462.1527778

a 0.322480868 0.337449191 0.337449191 0.322480868 6.96686681671ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2

Klcolumna(Tn/cm) 8.39207204 16.26899774 16.26899774 8.39207204 5.285774577 11.88815335 11.88815335 5.285774577 5.285774577 11.88815335 11.88815335 5.285774577 5.285774577 11.88815335 11.88815335

140.55888 140.55888 75.87018262

RIGIDEZ RELATIVA VIGA VIG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

LONGITUD 9 7 9 9 7 9 9 7 9 9 7 9 9 7 9 9 7 9

RIGIDEZ LATERAL COL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

K 0.213959619 0.263977311 0.263977311 0.213959619 0.149771734 0.184784118 0.184784118 0.149771734 0.149771734 0.184784118 0.184784118 0.149771734 0.149771734 0.184784118 0.184784118

KL(piso)(Tn/cm)

49.32213955

34.34785586

34.34785586

16 17 18 19 20 21 22 23 24

PISO 1 2 3 4 5 6

0.149771734 0.149771734 0.184784118 0.184784118 0.149771734 0.149771734 0.184784118 0.184784118 0.149771734 RESUMEN KL(Tn/cm) 49.3221 34.3479 34.3479 34.3479 34.3479 34.3479

RIGIDEZ DE LA PLACA

6.96686681671ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 8.45777467116ᴇ−2 6.96686681671ᴇ−2

5.285774577 5.285774577 11.88815335 11.88815335 5.285774577 5.285774577 11.88815335 11.88815335 5.285774577

34.34785586

34.34785586

34.34785586

RESUMEN DE RIGIDEZ EN LA DIRECCIÓN X-X; Y-Y EJE "X"

PISOS

EJE 1-1

EJE 2-2

EJE 3-3

EJE 4-4

PLACA 11

PLACA 2-2

PLACA 3-3

PLACA 44

RIGIDEZ TOTAL(Tn/cm)

1

27.900819

49.3221396

49.3221396

27.900819

0

1625.435

1625.435

0

3405.315918

2

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

3

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

4

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

5

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

6

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

PISOS

EJE A-A

EJE B-B

EJE C-C

EJE D-D

PLACA AA

PLACA B-B

PLACA C-C

PLACA DD

RIGIDEZ TOTAL(Tn/cm)

1

27.900819

49.3221396

49.3221396

27.900819

0

1625.435

1625.435

0

3405.315918

2

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

3

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

4

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

5

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

6

15.942641

34.3478559

34.3478559

15.942641

0

3104.24

3104.24

0

6309.060995

EJE "Y"