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• Silvia Chiuyari Ruiz

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Metodo de las esferas auxiliares

Este procedimeinto para la resolución de los problemas geodésicos principales, se basa en el establecimiento de relacione sentrelso puntos d elipsoide y determinadas esferas de forma que sea posible trasladar a ellas distintos problemas planteados sobre el elipsoide, y resolverlos mediante la trigonometría esférica clásica. Estos son validos para lados de los triangulación que alcancen hasta los 60 km.

Problema directo Como ya se sabe, los datos son las coordenadas de un punto A (øA, λA), el azimut ZAB de la geodesia a otro punto B, y la distancia s que los separa las incógnitas son las coordenadas (øB, λB) del punto B, y el acimut inverso ZBA. Para resolver el problema, se seguirá el proceso que detalla a continuación (fig 5—4) Sobre el elipsoide de polo P, se traza desde B, el arco de la línea geodésica BQ, perpendicular| al meridiano de A llamamos a los arcos BQ = x y AQ y coordenadas geodésicas ortogonales de B respecto de A. el paralelo elipsoidal del punto B, en T. Para calcular la diferencia de latitud entre los puntos A y B se calculara la diferencia de latitudes entre A y Q que es la misma. Esta diferencia le da el arco AQ, que es suma algebraica de lso arcos , cuyos valores se debe determinar. Se ha especificado suma algebraica, ya que el valor del arco y, será positivo o negativo, dependiendo de que el incremento de latitud asi los ea. Sin embargo, el arco siempre se restara ya que tanto como incrementos de latitud norte, como sur, siempre queda pro debajo del punto Q (5) por tanto será: (5 – 26)

Por aplicación del Teorema de Gauss en el punto A (Fíg.5-5), se calculan los valores x e y sobre la esfera tangente en A, de radio R= √(N_A P_A ) , resolviendo el triángulo esférico equivalente al elipsoidal ÁBQ P

Q Q

B

A P

Por aplicación del Teorema de Legendre, se calculará el anterior triángulo esférico como plano, disminuyendo los ángulos A, B y Q en la tercera parte del exceso esférico. (Fig 5—5)

Si se llama a al ángulo B del triángulo plano se cumplirá: [

]

Aplicando el teorema del seno al triangulo plano

(

)

( (

)

(

)

)

Despejando;

Al ser g de pocos segundos, se pueden aproximar a la unidad los denominadores de ambas expresiones (

)

(5 – 27)

Desarrollando por el coseno y seno de la diferencia, respectivamente. [

(

]

{

)

(

}

[

)

]

(

{

)

}

Para determinar de hallar los valores x e y, es necesario determianr el valro del exceso esférico g. para ello, hay que calcular el área del triangulo ABQ mediante el triangulo plano correspondiente, después de aproximarlo a recto en Q y utilizando las expresiones ( 5 – 27)

(

)

{

}

La expresión (5-2) da el exceso esférico g en función del área T, recién calculada, y del radio R de la esfera local en A:

(√

)

Donde NAyPa son los rdios de curvatura principales del elipsoide elegido, en el punto A llevando este valor de g, a las expresiones (5-28) y (5-29) seo btiene los vlaores x e y. (

)

(

)

(

)

(

)

Una vez determinado el valor del arco y se calcula la diferencia la latitudes que lo definen. Para ellos, se utiliza la expresión (2 – 44), que da la longitud del arco de meridiano:

(

(2 – 44)

Por ser

pequeño, se puede hacer:

Sustituyendo

)

(

)

(

)

Como 1 + x – 1/(1 – x) cuando x es un infinitésimo, queda como valor para

(

)

(5-33)

Esta expresión da una primera aproximación de cpm este vañpr se podra calcular también en primera aproximación, la latitud del punto Q mediante

(5-34)

(5-35)

(

)

(5-36)

(5-37)

(

)

(5-38)

(5-39)

(

)

(5-40)

[

(2-46)

]

(5-41)

(

)

(5-42)

(2-53)

(5-13)

√

√

(2-46)

(5-43)

Ejemplo: (2-6)

√

(2-13)

(2-20)

(5-31)

(5-32)

(5-33)

(

)

(

(

)

)

(5-34)

(5-35)

(5-36)

(

)

(5-34)

√

(2-13)

(5-37)

(2-20)

(

(5-38)

)

(5-39)

(2-13)

(5-41)

√

[

]

(2-53)

(2-53)

(5-13)

(5-42)

(5-43)

√

√

(5-44)

(5-45)

(5-46)

(

{

)

(

(5-40)

}

)

(

(5-47)

)

(5-37)

(2-20)

(

(2-44)

)

(5-48)

(2-6)

(2-53)

(2-53)

(5-13)

(5-44)

(5-44)

√

√

(5-45)

(2-13)

√

√

(2-20)

(5-40)

(2-20)

(2-44)

(

)

(5-37)

(5-38)

(5-47)

(

(

)

)