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UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil MOMENTO DE INERCIA EN UN PLANO INCLINADO Paula Andrea Muñoz Alvarado1, Juliana Paola Vásquez Usquiano2 1

2203575 ingeniería civil

2

2203112 ingeniería civil

Resumen Se realiza en la práctica de laboratorio un montaje para determinar el momento de inercia, la velocidad tangencial, la energía cinética rotacional, las revoluciones y la energía cinética traslacional de varias esferas, las cuales se trasladan sobre un plano inclinado. El experimento se desarrolla con la medición de tres tiempos diferentes en el ángulo y distancia dados y con 4 esferas de diversa masa y diversos materiales. Palabras clave: Inercia, aceleración, distancia, velocidad, tiempo.

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil INTRODUCCIÓN

Una esfera uniforme de radio R que rueda sin deslizarse sobre una superficie inclinada. Conforme el cuerpo da vueltas a través de un ángulo �, su centro de masa se mueve una distancia lineal: S=Rθ Ecuación 1 Longitud de arco

Por lo tanto, la rapidez trasnacional del centro de masa para movimiento de rodamiento puro se conoce por: ν CM =

ds dθ =R =Rω(2) dt dt

Ecuación 2 Velocidad del centro de masa

Donde

ω

es la rapidez angular del

cilindro. La ecuación 2 se cumple siempre que una esfera rueda sin deslizarse y es la condición para movimiento de rodamiento puro. La magnitud de la aceleración lineal del centro de masa para movimiento de rodamiento puro es: dv dω aCM = CM =R =Ra(3) dt dt Ecuación 3 Aceleración del centro de masa

Donde

a

es la aceleración angular de

la esfera. La ilustración 1 muestra las velocidades de puntos a la cabeza, en el centro y en la parte baja del objeto según se observa. Además de estas velocidades, cada punto sobre el objeto se mueve en la ν CM misma dirección con rapidez

respecto a la superficie sobre la que rueda. El punto de contacto entre la superficie y el cilindro en La ilustración 1 tiene una rapidez trasnacional cero. En este instante, el objeto que rueda es móvil en exactamente la misma forma que si la superficie Ilustración 1 Esfera que rueda se retirara y sobre un plano inclinado el objeto fuera articulado en el punto P. La energía cinética total de este objeto que se piensa que está girando se expresa como: 1 K= I P ω 2( 4) 2 Ecuación 4 Energía cinética

Donde

IP

es el momento de inercia en

torno a un eje de rotación a través de P. La ecuación 4 también da la energía cinética del objeto en rodamiento. Al aplicar el teorema de ejes paralelos, se 2 puede sustituir I P=I CM + M R en La ecuación 4 y al usar

v CM =Rω

se

obtiene la representación de la energía cinética total de un objeto en rodamiento

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil 1 2 1 2 K= I CM ω + M v CM (5) 2 2 Ecuación 5 Energía cinética total

SECCIÓN EXPERIMENTAL Este experimento permite analizar la inercia de diferentes cuerpos rígidos que rotan y se trasladan sobre una superficie variando los distintos ángulos de inclinación. Para lo cual se tiene en cuenta el concepto de energía cinética de rotación en cuerpos rodantes por ende analizar el movimiento de traslación de CM . El movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m y la Relación entre el movimiento de traslación y rotación. También se tiene en cuenta el momento de inercia para cada cuerpo.

ANALISIS Y RESULTADOS En esta práctica nos apoyamos en el tema de dinámica rotacional y momento de inercia para solucionar los ítems puestos en la guía de laboratorio. Para empezar se especifica la utilización de las ecuaciones utilizadas en la masa de los cilindros. Ʈ =I ∝(6) ¿ ∑¿

aCM =R ∝(9) Despeje de Inercia: Ι=r 2 dm

d=

→

Ι =2 π rh r 3 dr 1 Ι = mr 2 2

→

1 Ι CM = m r 2+ mr 2 2

3 Ι CM = m r 2 2 3 2 mr aCM 2 RMg sin ϴ= r 2 aCM = g sin ϴ 3 Ecuación 8 Aceleración tangencial centro de masa

Para hallar la Fuerza de Fricción en las esferas, hallamos los Ʈ en el centro de masa.

∑ Ʈ CM=Ι CM ∝( 9) a 1 Rfx= m R 2 CM 2 R

RMg sin ϴ=I ∝ ( 7 ) t=¿ R ∝(8) a¿

m 2 πr h

1 ƮX = m aCM (10) 2

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil Los siguientes datos son tomados del sistema establecido, donde el ángulo del plano inclinado es de 12,767°, las siguientes tablas y graficas corresponden a las distancias y los tiempos que recorrieron las masas.

2 aCM = g sin ϴ 3 2 aCM = (9.81) sin(12.767 °) 3 aCM =1.445

m s2

Hierro-Cobre Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

155,9310 g (0,0001g) 0,00965 m (0,0001m) 1s

0,97s

0,83s

1m

0,8 m

0,6 m

-Velocidad tangencial V T =√ 2 Δx a CM V T =√ 2 ( 1 ) (1.445)

Tabla 1 Datos de cilindro Hierro-Cobre V T =1,7

m s

Hierro-Cobre 1.5 1

-Aceleración angular

0.5 0

0

-0.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Grafica 1 Velocidad de cilindro HierroCobre Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica.

∝=

aCM R

∝=

1.445 9.65 x 10−3

∝=149.740

rad 2 s

V =π r 2 h -Aceleración tangencia

-Velocidad angular ω f =∝t

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil ω f =(149,740∗1) ω f =149,740

rad s

Ʈ =1.087 x 10

−3

kg m 2 s2

-Energía Cinética 1 2 K= I ω 2

-Fuerza de fricción 1 Fr= ma CM 2 1 Fr= ( 0.155931 ) (1.445) 2

K=0.0814 J La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

Fr=0.1126 N

μ mgcos ϴ ¿ 0.1126 N

μ=

0.1126 N mg cos ϴ

μ=

0.1126 N ( 0.155931 ) (9.81)cos 12.767°

Aluminio Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

1 I = mr 2 2 I =7.26 x 10−3

1,1s

0,94s

0,89s

1m

0,8 m

0,6 m

Tabla 2 Datos de cilindro Aluminio

μ=0.075

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos

42,7992 g (0,0001g) 0,00915 m (0,0001m)

Aluminio 1.5 1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Grafica 2 Velocidad de cilindro Aluminio

-Torque Ʈ =I ∝

Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica V =π r 2 h

-Velocidad angular ω f =∝t

-Aceleración tangencial 2 aCM = g sin ϴ 3

ω f =(158,269∗1,1) rad s

ω f =174,096

2 aCM = ( 9.81) sin(12.767 °) 3 m aCM =1.445 2 s

-Velocidad tangencial

-Fuerza de fricción 1 Fr= ma CM 2 1 Fr= ( 0.04579 ) (1.445) 2

V T =√ 2 Δx a CM

Fr=0.03309 N

V T =√ 2 ( 1 ) (1.445)

μ mgcos ϴ ¿ 0.03309 N

m V T =1,7 s

μ=

0.03309 N mg cos ϴ

μ=

0.03309 N ( 0.045791 ) (9.81)cos 12.767°

-Aceleración angular ∝=

∝=

aCM R

μ=0.075

1.445 9.13 x 10−3

∝=158,269

rad s2

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos 1 2 I = mr 2 −6

I =3.544 x 10

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil -Torque

Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica

Ʈ =I ∝

kg m2 Ʈ =5.61 2 s

-Aceleración tangencial

-Energía Cinética

2 aCM = g sin ϴ 3

1 K= I ω2 2

2 aCM = (9.81) sin(12.767 °) 3

K=0.053 J

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa. Cobre Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

aCM =1.445

-Velocidad tangencial

151,8096 g (0,0001g) 0,0095 m (0,0001m) 1,01s

1s

0,84s

1m

0,8 m

0,6 m

V T =√ 2 Δx a CM V T =√ 2 ( 1 ) (1.445) V T =1,7

Tabla 3 Datos de cilindro Cobre

1.5 1

∝=

aCM R

∝=

1.445 9.13 x 10−3

0.5 0

0.2

0.4

0.6

m s

-Aceleración angular

Cobre

0

m 2 s

0.8

1

Grafica 3 Velocidad de cilindro Cobre

1.2

∝=153,626

rad s2

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil Ʈ =I ∝ -Velocidad angular

Ʈ =2.08 x 10

−3

ω f =∝t ω f =(153,626∗1,01) ω f =153,626

rad s

kg m 2 s2

-Energía Cinética 1 K= I ω2 2 K=16.16 J

-Fuerza de fricción 1 Fr= ma CM 2 1 Fr= ( 0.1518096 ) (1.445) 2 Fr=0.1096 N μ mg cos ϴ ¿ 0.1096 N

Asimismo se especifica la utilización de las ecuaciones utilizadas en la masa de las esferas. Ʈ =I ∝ ¿ ∑¿ RMg sin ϴ=I ∝

0.1096 N μ= mg cos ϴ μ=

0.1096 N ( 0.1518096 ) (9.81) cos 12.767 °

μ=0.075

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos 1 2 I = mr 2 I =1.37 x 10−5 -Torque

t=¿ R ∝ a¿ aCM =R ∝ Despeje de Inercia: 2

Ι=r dm

→

d=

m 4 3 πr 3

3

Ι =4 π Rd r dr 3 Ι = mr 2 → 5

3 Ι CM = m r 2+ mr 2 5

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil 8 Ι CM = m r 2 5

Distancia (0,001m)

8 mr 2 aCM 5 RMg sin ϴ= r

1m

0,6 m

Tabla 4 Datos de esfera Hierro

Hierro

5 aCM = g sin ϴ 8

1.5

Ecuación 11 Aceleración tangencial centro de masa

1 0.5 0

0

Para hallar la Fuerza de Fricción en los cilindros, hallamos los Ʈ en el centro de masa.

0.2

0.4

0.6

0.8

a 3 Rfx= m R 2 CM 5 R

1.2

1.4

Grafica 4 Velocidad de esfera Hierro

-Aceleración tangencial

3 ƮX = m aCM 5

5 aCM = g sin ϴ 8

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

5 aCM = (9.81) sin(12.767 °) 8 aCM =1.3549

Esfera Hierro 95 g (0,0001g) 0,00143 m (0,0001m) 1,16s

1

Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica

∑ Ʈ CM=Ι CM ∝

Masa Radio Tiempo (0,001s)

0,8 m

0,87s

0,77s

m s2

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil -Velocidad tangencial

Fr=0.077 N

V T =√ 2 Δx a CM

μ mgcos ϴ ¿ 0.077 N

V T =√2 ( 1 ) (1.3549)

μ=

0.077 N mg cos ϴ

μ=

0.077 N ( 0.095 ) (9.81) cos 12.767 °

V T =1,646

m s

-Aceleración angular ∝=

aCM R

μ=0.0847 -El momento de inercia es igual para ambos ángulos

1.3549 ∝= −3 1.43 x 10

3 I = mr 2 5 I =1.13 x 10−5

∝=116,94

rad s2

-Torque Ʈ =I ∝

-Velocidad angular ω f =∝t

kg m2 s2

-Energía Cinética

ω f =(116,94∗1,01) ω f =135.656

Ʈ =1.086 x 10−3

rad s

1 K= I ω2 2 K=0.07 J

-Fuerza de fricción 3 Fr= m aCM 5 3 Fr= ( 0.095 ) (1.3549) 5

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil -Velocidad tangencial

Esfera Madera Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

9,832 g (0,0001g) 0,00175 m (0,0001m) 1,03s

1,01s

0,84s

1m

0,8 m

0,6 m

V T =√ 2 Δx a CM V T =√ 2 ( 1 ) (1.3549) V T =1,646

m s

Tabla 5 Datos de esfera Madera -Aceleración angular

Madera 1.5

∝=

aCM R

∝=

1.3549 0.0175

1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Grafica 5 Velocidad de esfera Madera Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica

∝=77.423

rad s2

-Velocidad angular ω f =∝t

-Aceleración tangencial 5 aCM = g sin ϴ 8 5 aCM = (9.81) sin(12.767 °) 8

ω f =(77.423∗1,03) ω f =79.745

rad s

-Fuerza de fricción m aCM =1.3549 2 s

3 Fr= m aCM 5 3 Fr= ( 0.009832 ) (1.3549) 5

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil Fr=7.69 x 10−3 N μ mgcos ϴ ¿ 7.69 x 10−3 N μ=

7.69 x 10−3 N mg cos ϴ −3

7.69 x 10 N μ= ( 0.009832 ) (9.81)cos 12.767° μ=0.081

Esfera Pimpón Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

3,5432 g (0,0001g) 0,00187 m (0,0001m) 1,02s

1s

0,93s

1m

0,8 m

0,6 m

Tabla 6 Datos de esfera Pimpón

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos 3 2 I = mr 5

Pimpón 1.5 1

−6

I =1.739 x 10

0.5 0

-Torque

0

Ʈ =I ∝

Ʈ =1.35 x 10−4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Grafica 6 Velocidad de esfera pimpón kg m 2 s

2

-Energía Cinética 1 2 K= I ω 2 K=5.12 x 10−3 J

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica

-Aceleración tangencial

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil 5 aCM = g sin ϴ 8 5 aCM = (9.81) sin(12.767 °) 8 aCM =1.3549

m s2

-Velocidad tangencial

ω f =79.34

rad s

-Fuerza de fricción 3 Fr= m aCM 5 3 −3 Fr= ( 3.5432 x 10 ) (1.3549) 5 Fr=2.88 x 10−3 N

V T =√ 2 Δx a CM

μ mgcos ϴ ¿ 2.88 x 10−3 N

V T =√2 ( 1 ) (1.3549)

μ=

V T =1,646

m s

-Aceleración angular ∝=

aCM R

−3

2.88 x 10 N μ= ( 3.5432 x 10−3 ) ( 9.81)cos 12.767 ° μ=0.084 -El momento de inercia es igual para ambos ángulos

1.3549 ∝= 0.01867 ∝=77.79

2.88 x 10−3 N mg cos ϴ

rad s2

3 I = mr 2 5 I =7.83 x 10−5 -Torque Ʈ =I ∝

-Velocidad angular

Ʈ =5.69 x 10−3

kg m2 s2

ω f =∝t -Energía Cinética ω f =(77.79∗1,02)

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil 1 2 K= I ω 2

V =π r 2 h

K=0.21 J

-Aceleración tangencial

Los siguientes datos son tomados del sistema establecido, donde el ángulo del plano inclinado es de 15.545°, las siguientes tablas y graficas corresponden a las distancias y los tiempos que recorrieron las masas.

2 aCM = g sin ϴ 3 2 aCM = (9.81) sin(15.545 ° ) 3 aCM =1.753

Hierro-Cobre Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

155,9310 g (0,0001g) 0,00965 m (0,0001m) 1s

0,97s

0,83s

1m

0,8 m

0,6 m

Tabla 7 Datos de cilindro Hierro-Cobre

m 2 s

-Velocidad tangencial V T =√ 2 Δx a CM V T =√ 2 ( 1 ) (1.445) V T =1,87

m s

Hierro-Cobre -Aceleración angular

1.5 1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Grafica 7 Velocidad de cilindro HierroCobre

∝=

aCM R

∝=

1.753 0.00965

∝=181,658 Ahora bien se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la práctica.

rad s2

-Velocidad angular

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil ω f =∝t

Ʈ =1.318 x 10

ω f =(181,658∗1) ω f =181,658

rad s

−3

kg m2 s2

-Energía Cinética 1 2 K= I ω 2 K=0.12 J

-Fuerza de fricción 1 Fr= ma CM 2 1 Fr= ( 0.155931 ) (1.753) 2

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa. Aluminio

Fr=0.136 N μ mg cos ϴ ¿ 0.136 9 N 0.136 N μ= mg cos ϴ μ=

0.136 N ( 0.155931 ) (9.81)cos 15.545°

Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

1 I = mr 2 2

1,1s

0,94s

0,89s

1m

0,8 m

0,6 m

Tabla 8 Datos de cilindro Aluminio

μ=0.092 -El momento de inercia es igual para ambos ángulos

42,5240 g (0,0001g) 0,00915 m (0,0001m)

Aluminio 1.5 1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

I =7.26 x 10−6 Grafica 8 Velocidad de cilindro Aluminio -Torque Ʈ =I ∝

Ahora bien se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la práctica. V =π r 2 h -Aceleración tangencial 2 aCM = g sin ϴ 3

-Velocidad angular ω f =∝t ω f =(191,58∗1,1) ω f =174.72

rad s

2 aCM = ( 9.81) sin(15.545 °) 3 m aCM =1.753 2 s

-Velocidad tangencial

-Fuerza de fricción 1 Fr= ma CM 2 1 Fr= ( 0.04252 ) (1.753) 2

V T =√ 2 Δx a CM

Fr=0.03726 N

V T =√ 2 ( 1 ) (1.445)

μ mgcos ϴ ¿ 0.03726 N

m V T =1,87 s

μ=

0.03726 N mg cos ϴ

μ=

0.03726 N ( 0.04252 ) (9.81) cos 15.545°

-Aceleración angular ∝=

∝=

aCM R

μ=0.092

1.753 0.00915

∝=191.58

rad s2

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos 1 2 I = mr 2 I =3.544 x 10−6 -Torque

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil Ʈ =I ∝ Ʈ =6.8 x 10

−4

kg m 2 s2

Ahora bien se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la práctica.

-Energía Cinética 1 K= I ω2 2

V =π r 2 h

K=0.055 J

-Aceleración tangencial 2 aCM = g sin ϴ 3

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

aCM =1.753

Cobre Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

m s2

151,318 g (0,0001g) 0,0095 m (0,0001m) 1,01s

1s

0,84s

1m

0,8 m

0,6 m

-Velocidad tangencial V T =√ 2 Δx a CM V T =√ 2 ( 1 ) (1.445)

Tabla 9 Datos de cilindro Cobre

V T =1,87

Cobre 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

2 aCM = (9.81) sin(15.545 ° ) 3

m s

-Aceleración angular

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Grafica 9 Velocidad de cilindro Cobre

∝=

aCM R

∝=

1.753 0.0095

1.2

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil

∝=184.52

rad s2

1 2 I = mr 2 −5

I =1.37 x 10 -Velocidad angular

-Torque

ω f =∝t

Ʈ =I ∝

ω f =(184.52∗1,01)

Ʈ =2.527 x 10−3

ω f =186.37

rad s

-Fuerza de fricción

kg m 2 s

2

-Energía Cinética 1 2 K= I ω 2 K=0.23 J

1 Fr= ma CM 2 1 Fr= ( 0.151318 ) (1.753) 2

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

Fr=0.133 N μ mg cos ϴ ¿ 0.133 N

μ=

0.133 N mg cos ϴ

μ=

0.133 N ( 0.151318 ) (9.81) cos 15.545°

μ=0.092

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos

Esfera Hierro Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

95 g (0,0001g) 0,00143 m (0,0001m) 1,16s

0,87s

0,77s

1m

0,8 m

0,6 m

Tabla 10 Datos de esfera Hierro

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil -Velocidad tangencial

Hierro

V T =√ 2 Δx a CM

1.5 1

V T =√ 2 ( 1 ) (1.643)

0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V T =1,81

Grafica 10 Velocidad de esfera Hierro Ahora seguidamente se desarrollan los cálculos pertinentes para analizar los escenarios propuestos en el laboratorio con los datos obtenidos de la practica

-Aceleración tangencial 5 aCM = g sin ϴ 8

m s

-Aceleración angular ∝=

aCM R

∝=

1.643 −3 1.43 x 10

∝=116.74

rad s2

5 aCM = (9.81) sin(15.545 °) 8 m aCM =1.643 2 s

-Velocidad angular ω f =∝t ω f =(116,74∗1.16) ω f =105.06

rad s

-Fuerza de fricción 3 Fr= m aCM 5 3 Fr= ( 0.095 ) (1.643) 5

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil Fr=0.0936 N μ mgcos ϴ ¿ 0.0936 N μ=

0.0936 N mg cos ϴ

0.0936 N μ= ( 0.095 ) (9.81) cos 15.545° μ=0.1

0,00175 m (0,0001m) 1,03s

1,01s

0,84s

1m

0,8 m

0,6 m

Tabla 11 Datos de esfera Madera

Madera 1.5

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos

1 0.5 0

3 I = mr 2 5

0

0.2

0.4

0.6

I =1.13 x 10 -Torque

-Aceleración tangencial

Ʈ =I ∝

Ʈ =1.319 x 10−3

0.8

1

1.2

Grafica 11 Velocidad de cilindro Madera La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

−2

kg m2 s2

-Energía Cinética 1 K= I ω2 2 K=0.12 J

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa. Esfera Madera Masa

Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

9,832 g (0,0001g)

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil 5 aCM = g sin ϴ 8 5 aCM = (9.81) sin(15.545 °) 8 aCM =1.643

m s2

ω f =81.68

rad s

-Fuerza de fricción 3 Fr= m aCM 5 3 Fr= ( 0.009832 ) (1.643) 5

-Velocidad tangencial V T =√ 2 Δx a CM

Fr=0.00932 N μ mgcos ϴ ¿ 0.00932 N

V T =√ 2 ( 1 ) (1.643) V T =1,81

m s

-Aceleración angular ∝=

aCM R

0.00932 N mg cos ϴ

μ=

0.00932 N ( 0.009832 ) (9.81)cos 15.545°

μ=0.1 -El momento de inercia es igual para ambos ángulos

1.643 ∝= 0.00175 ∝=93.88

μ=

rad s2

3 I = mr 2 5 I =1.739 x 10−6 -Torque Ʈ =I ∝

-Velocidad angular

Ʈ =1.633 x 10−4

ω f =∝t -Energía Cinética ω f =(93.88∗1.03)

kg m2 s2

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil 1 2 K= I ω 2

5 aCM = g sin ϴ 8 5 aCM = (9.81) sin(15.545 ° ) 8

−3

K=5.8 x 10 J

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa.

aCM =1.643

m s2

-Velocidad tangencial Esfera Pimpón Masa Radio Tiempo (0,001s) Distancia (0,001m)

3,5432 g (0,0001g) 0,0187 m (0,0001m) 1,02s

1s

0,93s

1m

0,8 m

0,6 m

V T =√ 2 Δx a CM V T =√ 2 ( 1 ) (1.643) V T =1,81

m s

Tabla 12 Datos de esfera Madera -Aceleración angular

Pimpón 1.5

∝=

aCM R

∝=

1.643 0.0187

1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Grafica 12 Velocidad de cilindro Madera

∝=88

rad 2 s

La siguiente tabla y grafica corresponde a los tiempos y distancias recorridas por la masa. -Aceleración tangencia

-Velocidad angular ω f =∝t

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil -Energía Cinética

ω f =(88∗1.02)

1 K= I ω2 2

rad ω f =89.61 s

K=60,314 J -Fuerza de fricción 3 Fr= m aCM 5 3 Fr= ( 0.00 35432 ) (1.643) 5 Fr=0.003494 N μ mgcos ϴ ¿ 0.003494 N μ=

0.003494 N mg cos ϴ

μ=

0.03494 N ( 0.00 35432 ) (9.81)cos 15.545 °

μ=0.1

-El momento de inercia es igual para ambos ángulos 3 2 I = mr 5 I =7.83 x 10−5 -Torque Ʈ =I ∝ Ʈ =6.89 x 10

−3

kg m2 s2

ANALISIS En el desarrollo del procedimiento nos pudimos dar cuenta que cada uno de los datos calculados representan o deben tener cierto grado de exactitud e implica tener claridad en el manejo de los conceptos para poder interpretarlos. Cuando el movimiento de un cuerpo rígido sobre una superficie es de rodadura, la velocidad del punto o eje de contacto del sólido con la superficie es cero. Cuando rueda, el sólido rota alrededor de esta línea, llamada por ello eje instantáneo de rotación. La condición de rodadura relaciona los movimientos de traslación y de rotación del sólido: relaciona la velocidad del centro de masa, con la velocidad de rotación del sólido alrededor del centro de masa.

Mediante la observación de las variables y el procedimiento para encontrar la inercia es importante destacar que el camino más acertado para encontrar una valor aproximado de la inercia en el sistema dado es por medio de la configuración geométrica ya que depende remediciones directas que son menos

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS Facultad de ingeniería civil propensas a tener errores pues la masa y el radio del cuerpo son dos valores que se pueden hallar sin mucho error aparte de su incertidumbre. Por otro lado, al realizar el experimento y analizarlo mediante la relación de la conservación de la energía comuna función lineal, pueden aparecer muchos errores, tanto instrumentales como del observador.

CONCLUSIONES Para cada figura se necesita hallar la inercia, debido a que son distintas. A medida que el ángulo aumenta, la aceleración disminuye y disminuye la fuerza de fricción. Entre mayor sea el radio de las masas (esferas y cilindros) la velocidad y la aceleración angular disminuyen. El coeficiente de fricción es diferente para cada figura, puesto que depende del contacto que hagan con el suelo en este caso la rampa, dando μ=0,1 y μ=0,92 para la esfera y el

correspondiente segundo ángulo. cilindro

en

el

Del mismo modo el torque aumenta si su ángulo � es mayor, Bibliografías

-Greenslade, Jr., T. B., Packard's Apparatus, Phys. Teach. 34, 156 (1996). Una versión de este dispositivo, similar al original de Packard -Tomo 4. Gil, S., Reisin, H. D., and Rodríguez, E. E., Using a digital camera as a measuring device, Am. J. Phys. 74, 768 (2006). -Volumen 1. Séptima edición. SERWAYy RAYMOND, JEWETT JHOHN, física para ciencias e ingenierías. Pag, 234-236. West J. O, sixth special cases. The Physics Teacher Vol.37, February 1999, pp. 269-271. -GANOT, ADOLPHE: Tratado elemental de física experimental y aplicada a la meteorología. 2º ed. París 1871.