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• Jonathan Farias

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ÍNDICE DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 2 1.

JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................. 2

2.

OBJETIVOS ......................................................................................................................... 2 2.1 Objetivo general .................................................................................................................. 2 2.2 Objetivos específicos .......................................................................................................... 3

3.

MARCO REFERENCIAL .................................................................................................... 3 3.1 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS ....................................... 3 3.1.1 Primer Teorema de Área – Momento........................................................................... 4 3.1.2 Segundo Teorema de Área – Momento........................................................................ 6

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 10 ANEXOS ..................................................................................... Error! Bookmark not defined.

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INTRODUCCIÓN Una viga es un elemento estructural generalmente horizontal (en algunos casos es ligeramente inclinado) sometido a cargas axiales, flexión y torsión. Las vigas reciben las cargas de las losas y se encargan de transmitirlas a las columnas. [1] Pueden ser isostáticas o hiperestáticas, las isostáticas pueden resolverse con las ecuaciones de equilibrio, en cambio las hiperestáticas necesitan de algún método adicional, por ejemplo: Doble Integración, Superposición o Área de Momentos. [1] [2] Por lo general los ingenieros civiles emplean elementos estructurales hiperestáticos, por ello es de suma importancia conocer los métodos anteriormente mencionados para diseñarlos de la mejor forma posible. Esta investigación bibliográfica se centra específicamente en el método de Áreas de momentos aplicados para vigas hiperestáticas. 1. JUSTIFICACIÓN Esta investigación bibliográfica se ha realizado con el fin de profundizar, ampliar y fortalecer los conocimientos adquiridos en las clases de la asignatura de Resistencia de Materiales 2, impartida en la carrera de ingeniería civil de la Universidad Técnica de Machala (UTMACH). Para que la información contenida en esta investigación resulte útil tanto para estudiantes y profesionales, ya que proporciona información precisa y estructurada acerca del método de Áreas de Momentos, el cual es un tema de estudio importante dentro la vida profesional de un ingeniero civil. 2. OBJETIVOS 2.1 Objetivo general Sintetizar información acerca del método de Áreas de Momentos aplicado en vigas hiperestáticas y realizar un ejemplo de aplicación del mismo, a partir del análisis documental, discerniendo información bibliográfica básica y complementaria consultada en libros y manuscritos, para afianzar conocimientos que contribuyen a la formación de un ingeniero civil. 2

2.2 Objetivos específicos 

Consultar y recopilar información referente al método de Áreas de momentos.



Elaborar y resolver el ejemplo del método de Áreas de momentos aplicado en una viga hiperestática.



Discernir la información para rescatar lo más importante.



Estructurar y organizar los datos obtenidos. 3. MARCO REFERENCIAL

3.1 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS Otro método para encontrar deflexiones y ángulos de rotación en vigas es el de Áreas de Momento. Este método se basa en dos teoremas relacionados con el área del diagrama de momentos flectores de ahí su nombre.[3] La hipótesis que se usa en la deducción de sus 2 teoremas son las mismas que las empleadas para deducir las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión.[3]

𝑬𝑰 𝑬𝑰

𝒅𝟐 𝒚 = 𝑴 → 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒙𝟐

𝒅𝒚 = 𝑴 𝒅𝒙 + 𝒄𝟏 → 𝑷𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒐 á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐 𝒅𝒙 𝑬𝑰𝒚 = 𝑴 𝒅𝒙𝟐 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐 → 𝑫𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊ó𝒏

Nota: “El método de área-momento es válido solo para vigas elástico lineales con pendientes pequeñas, en un punto de vista práctico se limita a encontrar deflexiones y ángulos de rotación en puntos específicos sobre el eje de una viga.”[3]

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3.1.1 Primer Teorema de Área – Momento Consideremos un segmento AB de la curva de deflexión de una viga en una región donde la curvatura sea positiva (fig.1). En el punto A, la tangente AA’ a la curvatura de deflexión forma un ángulo 𝜃𝐴 con el eje x y en el punto B, la tangente BB’ forma un ángulo 𝜃𝐵 . Esta dos tangentes se encuentran en el punto C el ángulo entre ambas, denotado como 𝜃𝐵/𝐴 ,es igual a la diferencia entre 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 . [3] 𝜃𝐵/𝐴 = 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴

Fig.1 obtención del primer teorema de Área-Momento

El ángulo 𝑑𝜃 entre las normales y las tangentes está dado por la siguiente ecuación. 𝑑𝜃 =

𝑑𝑠 𝜌

Donde 𝜌 es el radio de curvatura y 𝑑𝜃 se mide en radianes. En virtud que las normales y las tangentes (𝑚1 𝜌1 𝑦 𝑚2 𝜌2 ) son perpendiculares se infiere que el ángulo de las tangentes también es igual a 𝑑𝜃.[3] Entonces para una viga con pequeños ángulos de rotación, se puede reemplazar 𝑑𝑠 con 𝑑𝑥 por lo que: 𝑑𝜃 = 4

𝑑𝑥 𝜌

Además: 1 𝑀 = 𝜌 𝐸𝐼 Finalmente: 𝑑𝜃 =

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

En la que M es el momento flector y EI es la rigidez por flexión de la viga. La cantidad 𝑀 𝑑𝑥/𝐸𝐼 tiene una interpretación geométrica simple en la que cualquier punto a lo largo del eje x, la altura de este diagrama es igual al momento flector M en el punto dividido entre la rigidez por flexión EI en dicho punto. [3]

El diagrama 𝑀/𝐸𝐼 tiene la misma forma que el diagrama de momento flector, siempre que EI sea constante. 𝐵

𝐵

∫ 𝑑𝜃 = ∫ 𝐴

𝐴

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝐵

𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 = ∫ 𝐴

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Entonces: 𝜃𝐵/𝐴 = 𝜃𝐵 − 𝜃𝐴 : 𝐵

𝜃𝐵/𝐴 = ∫ 𝐴

𝜃𝐵/𝐴 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐴 𝑦 𝐵 𝐸𝐼

Primer Teorema de Área –Momento: el ángulo 𝜃𝐵/𝐴 entre las tangentes a la curva de deflexión en dos puntos A y B es igual al área del diagrama 𝑀/𝐸𝐼 entre esos puntos.[3] Convecciones de Signos: 1) Los ángulos 𝜃𝐴 𝑦 𝜃𝐵 son positivos en sentido anti-horario 2) El ángulo 𝜃𝐵/𝐴 entre las tangentes es positivo cuando el ángulo 𝜃𝐵 es algebraicamente mayor que el ángulo 𝜃𝐴

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3) El momento flector M es positivo de acuerdo con la convención usual de signos, esto es, M es positivo cuando produce compresión en la parte superior de la viga. 4) Se da un signo positivo o negativo al área del diagrama M/EI según el momento flector sea positivo o negativo. 3.1.2 Segundo Teorema de Área – Momento El segundo teorema se refiere principalmente a deflexiones en vez de ángulos de rotación (pendiente). Consideremos nuevamente la curva de deflexión entre dos puntos A y B. (fig.2). Dibujamos la tangente entre el punto A y se nota que su intersección con una línea vertical por el punto B está en el punto 𝐵1. La distancia vertical entre los puntos B y 𝐵1 se denota con 𝑡𝐵/𝐴 en la figura y se llama desviación tangencial de B respecto a A; de una manera más específica, es la desviación del punto B sobre la curva de deflexión respecto a la tangente en A. La desviación tangencial es positiva cuando e punto B está arriba de la tangente en A. [3]

Fig. 2 Obtención del Segundo Teorema de Área- Momento

Para determinar la desviación tangencial se selecciona otra vez 2 puntos 𝑚1 𝑦 𝑚2 separados por una pequeña distancia sobre la curva de deflexión. El ángulo entre las tangentes entre estos 2 puntos es 𝑑𝜃 y el segmento sobre la línea 𝐵𝐵1 entre dichas 6

tangentes es 𝑑𝑡 . Puesto que los ángulos entre las tangentes y el eje x son muy pequeños la distancia vertical 𝑑𝑡 es igual a 𝑥1 𝑑𝜃, donde 𝑥1 es la distancia horizontal del punto B al pequeño elemento 𝑚1 𝑚2 . Como 𝑑𝜃 = 𝑀 𝑑𝑥/𝐸𝐼 obtenemos: [3]

𝑑𝑡 = 𝑥1 𝑑𝜃 = 𝑥1

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

La distancia 𝑑𝑡 representa la contribución de la flexión del elemento 𝑚1 𝑚2 a la desviación tangencial 𝑡𝐵/𝐴 . La expresión 𝑥1 𝑀𝑑𝑥/𝐸𝐼 puede verse geométricamente como el primer momento estático del área de la franja sombreada de ancho 𝑑𝑥 dentro del diagrama 𝑀/𝐸𝐼. Este primer momento estático se evalúa con respecto a una línea vertical del punto B. [3] Al integrar: 𝐵

𝐵

∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥1 𝐴

𝐴

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

Integrando el lado izquierdo se obtiene 𝑡𝐵/𝐴 , es decir, es igual a la desviación en el punto B respecto a la tangente en A. La Integral de la derecha representa el primer momento estático con respecto al punto B del área del diagrama 𝑀/𝐸𝐼 entre A y B. Entonces se puede decir que: 𝐵

𝑡𝐵/𝐴 = ∫ 𝑥1 𝐴

𝑀 𝑑𝑥 𝐸𝐼

𝑡𝐵/𝐴 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎

𝑀 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝐸𝐼

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐴 𝑦 𝐵, 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝐵 Segundo Teorema de Área –Momento: la desviación tangencial 𝑡𝐵/𝐴 del punto B desde la tangente en el punto A es igual al primer momento estático del área del Acotaciones con respecto al Segundo Teorema de Área-Momento: diagrama M/EI entre A y B, evaluado con respecto a B. [3]

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Si el momento flector es positivo, el momento estático del diagrama también lo es, siempre que B esté a la derecha del punto A, lo cual hace que la desviación tangencial 𝑡𝐵/𝐴 sea positiva. lo que significa que el punto B está arriba de la tangente en A. [3] Si al movernos de A a B en la dirección x, el área del diagrama 𝑀/𝐸𝐼 es negativa, entonces el momento estático también lo es y la desviación tangencial es negativa lo que significa que el punto B está debajo de la tangente en A. [3]

EJERCICIO En la viga de la figura mostrada determinar la reacción R y el valor de 𝑬𝑰𝜹 en el centro.

Del diagrama del cuerpo libre:

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El diagrama de momentos por partes:

Como la desviación de la elástica en A con respecto a la tangente en B es nula, por el método de área de momentos:

̅𝑨 = 𝟎 𝑬𝑰 𝒕𝑨/𝑩 = 𝑨̅̅̅̅ 𝑨𝑩 ∗ 𝒙 Así: 𝑅𝐿(𝐿) 2 1 𝐿 𝐿 𝐿 2 𝐿 ( 𝐿) − (𝑃 ) ( ) ( + ( )) = 0 2 3 2 2 2 2 3 2 𝑅=

5𝑃 16

Siendo 𝛿 la desviación de la elástica en C (centro) con respecto a la tangente en B, tenemos:

̅𝑪 𝑬𝑰 𝒕𝑪/𝑩 = 𝑬𝑰 𝜹 = 𝑨̅̅̅̅ 𝑪𝑩 ∗ 𝒙

1 𝐿 𝐿 2 𝐿 𝐿 𝐿 1 𝐿 1 𝐿 𝐿 2 𝐿 𝑬𝑰 𝜹 = (𝑅 ) ( ) ( ∗ ) + 𝑅 ( ) ( ) ( ∗ ) − (𝑃 ) ( ) ( ∗ ) 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 Simplificando:

𝑬𝑰 𝜹 = −

7 𝑃𝐿3 768

El signo menos indica que la deflexión es hacia abajo.

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Conclusión El método de área de momentos es algo más complejo de entender que el de superposición y el de doble integración y sumado a esto presenta la limitación de ser válido solo para vigas elástico lineales con pendientes pequeñas, razón por la cual no es un método recomendable para aquellos que simplemente deseen analizar vigas hiperestáticas, pero si para aquellos que quieran profundizar más en el ámbito teórico de las deflexiones BIBLIOGRAFÍA [1] J. E. S. Trujilo, Resistencia de Materiales Básica para Estudiantes de Ingeniería Civil, Manizales: Centro de Publicaciones, 2007. [2] P. Andrew. Resistencia de materiales. Cuarta edición. New York: Oxford University Press, 1987. [3] Gere James, Stephen Timoshenko, Mécanica de Materiales, Mexico D.F: Iberoaméricana, 1984.

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