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• Marco Antonio Quispe Berrocal

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MEDICIÓN Y TEORÍA DE ERRORES 1. Cifras Significativas y Redondeo 1.1 Cifras Significativas Por cuanto todo instrumento de medida tiene un límite de sensibilidad, es lógico pensar que al medir, por ejemplo el tiempo, con un reloj de pulsera, es imposible obtener una exactitud de milésimas o millonésimas de segundo. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento en cuanto a su precisión se refiere, es usando las cifras significativas. Son cifras significativas (c.s) todos aquellos dígitos que pueden leerse directamente del aparato de medición utilizado, tienen un significado real o aportan alguna información, son dígitos que se conocen con seguridad (o existe cierta certeza). Cuando uno hace ciertos cálculos, las cifras significativas se deben escribir de acuerdo a la incertidumbre del instrumento de medición. Condiciones para considerar las cifras significativas: Cuando las cifras no tienen sentido La medida 2.04763 kg obtenida con una balanza con resolución de 0.0001 kg, debe tener tiene cinco cifras significativas: 2; 0; 4; 7 y 6. El 3, no puede leerse en esta balanza y por consiguiente no tiene sentido. La coma decimal Cuando tenemos que 3,714 m = 37,14 dm = 371,4 cm = 3714 mm, en todos los casos hay 4 cifras significativas. La posición de la coma decimal es independiente de ellas. Números diferentes de cero como cifras significativas Cualquier dígito distinto de cero es significativo. Ejm: 235 mm tiene tres cifras significativas 3124 g tiene cuatro cifras significativas El cero como cifra significativa.  Los ceros utilizados para posicionar la coma (antes de números diferentes de él), no son cifras significativas. 3

Ejm: 0.00593, tres cifras significativas (en notación científica 5.93 x 10 ) -3

Ejm: 3.714 m = 0.003714 km = 3.714 x10 km Tomando en cuenta la segunda igualdad se ve que el número de c.s es 4 y los ceros agregados no cuentan como c.s 

Los ceros situados entre dígitos distintos de cero son significativos Ejm: 301 mm tiene tres cifras significativas 1004 g tiene cuatro cifras significativas



Si un número es mayor que la unidad, todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas Ejm: 3.501 m tiene cuatro cifras significativas 9.050 g tiene cuatro cifras significativas



Para números sin coma decimal, los ceros ubicados después del último dígito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas. Ejm: Así 23000 cm puede tener 4

2 cifras significativas (2.3 x 10 ), 4

3 cifras significativas (2.30 x 10 ) ó 4

4 cifras significativas (2.300 x 10 ). Sería más correcto indicar el error, por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas).

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1.2 Redondeo en números Es muy común que en cocientes como por ejemplo 10/3 o 1/6 o en números irracionales como son ó e, se tenga un sin número de cifras decimales. En estos casos, el redondeo se efectúa usando los siguientes criterios: a) Si el dígito que sigue a la derecha de la última cifra significativa es menor que cinco, simplemente se suprime éste y todos los demás que le siga. Ejm: Si se trata de redondear a décimas: 7,83 (3 c.s) redondeado, da 7.8 (2 c.s) 12,5438 (6 c.s) redondeado, da 12.5 (3 c.s) b) Si lo que sigue a la derecha de la última cifra significativa es mayor que cinco, la última cifra significativa crece una unidad. Ejm: si se trata de redondear a milésimas: 3,4857 (5 c.s) redondeado, da 3.486 (4 c.s) 6,1997 (5c.s) redondeado, da 6.200 (4 c.s) c) Si la cifra que sigue a la que se quiere redondear es precisamente cinco, la cifra redondeada sube una unidad si es impar, y se conserva suprimiendo el cinco, si es par. Ejm: si la última cifra significativa es la de las centésimas. 1.485 redondeado, da 1.48 45.335 redondeado, da 45.34

1.3 Operaciones con cifras significativas En la práctica experimental, muy comúnmente se dan los casos en que se tienen que hacer operaciones aritméticas con mediciones de diferente número de cifras significativas. En estos casos las mediciones se deben escribir de acuerdo a la incertidumbre del instrumento de medición con mayor error, es decir con respecto a aquel que da la peor medida. a) Suma y resta con cifras significativas El resultado se expresa con el menor número de cifras decimales. Si se quieren sumar una medida con milésimas a otras dos con centésimas y décimas, el resultado deberá expresarse en décimas. Ejm:

26.03 1.485 0.9 28.415 56. 830

Menor número de cifras decimales (1c.d)

El resultado redondeado sería: 56.8 (1 cifra decimal)

b) Multiplicación y división con cifras significativas Si se tiene un producto con diferentes cifras significativas, entonces el resultado redondeado obedecerá a aquella medida que tenga el menor número de cifras significativas: 32.5054 x 2.20

Menor número de cifras significativas (3)

71.51188 El resultado redondeado es: 71.5 (3 c.s)

Al dividir: 4.580

0.372 = 12.311828

El resultado redondeado que se reporta es: 12.3 (3 c.s)

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2. Medición y Teoría de Errores 2.1 Definiciones Instrumento de medida: dispositivo empleado para determinar el valor o la magnitud de una cantidad o variable. Exactitud: Se denomina exactitud a la capacidad del instrumento de acercarse a la magnitud física real. Si realizamos varias mediciones, mide lo cercana que está la media de las mediciones al valor real (lo calibrado que está el aparato de medición). La exactitud se refiere a la cercanía del dato al valor real. La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como de la calidad del experimentador Precisión: Es la cercanía con la que sucesivas observaciones se ajustan a sí mismas. Se refiere a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes, realizadas en las mismas condiciones. No tienen nada que ver con la relación con un valor real Incertidumbre: Grado de exactitud, seguridad o confianza con que fue hecha la medición. Error: la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de medida. El error de medición depende de la escala de medida empleada, y tiene un límite. Las medidas de las diferentes magnitudes físicas que intervienen en una experiencia dada, sean estas obtenidas de forma directa o indirecta, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisión limitada que todo instrumento de medida posee, así como de otros factores externos, se debe aceptar el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de una magnitud, siempre habrá un error, por muy mínimo que sea. Por lo tanto, cualquier resultado numérico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompañado de un número que indique cuanto puede alejarse dicho resultado al valor exacto. Esto es un margen o rango de error.

2.2 Teoría de errores Medir consiste en comparar una magnitud con otra que utilizamos como patrón (unidad). Este proceso lleva siempre implícito una indeterminación, es decir siempre que medimos, por razones muy diversas y, en general, difíciles de evitar, corremos el riesgo de no “acertar” con el valor exacto de la magnitud que queremos conocer. Unas veces esto es debido a la imperfección de nuestros instrumentos, o al diseño del proceso de medida, o a factores ambientales, así como también, a las capacidades del experimentador, etc. De manera que cuando expresamos el valor “medido” de una magnitud debemos siempre hacer una estimación del grado de confianza con el que hemos realizado la medida, la teoría de errores establece ese grado de confianza. Tipos de errores: Error sistemático Son los debidos a la presencia de un factor no considerado en el montaje experimental o al mal conocimiento de algún otro. Como consecuencia el valor medido está siempre por encima o por debajo del valor verdadero. Pueden tener su origen en deficiencias de los aparatos. Su existencia es difícil de detectar pero son los más fáciles de corregir pues sólo requieren de la adecuada calibración del aparato. Error aleatorio o accidental Son los resultantes de la contribución de numerosas fuentes incontrolables que desplazan el valor medido por encima y por debajo del valor real, es decir que al repetir un experimento en condiciones idénticas, los resultados obtenidos no son iguales en todos los casos. Idealmente puede considerarse que su contribución es absolutamente al azar, de forma que aunque son imposibles de eliminar totalmente, pueden ser estimados y de esta forma obtener el grado de confianza con el que hemos realizado la medida. Este tipo de error se trabaja estadísticamente y se puede minimizar aumentando el número de mediciones. La incertidumbre o error total

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x es la suma de estos dos tipos de errores. 3

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2.3 Mediciones Magnitud física Atributo observable y medible de un fenómeno, de un cuerpo o de una substancia. Cada atributo se puede distinguir por su naturaleza y se puede expresar como el producto de una unidad de esa misma naturaleza por un valor numérico (medida), de tal manera que: Magnitud física = valor numérico x unidad Ejm: 3 km, 2 kg, 5 s, 330 m/s El conjunto de todas las magnitudes de la misma naturaleza constituye una Clase de Magnitud (por ejemplo: longitud, masa, tiempo). Medir Comparar una magnitud con su unidad con el fin de averiguar cuantas veces la primera contiene a la segunda. Ese número de veces es el valor de la magnitud. En la práctica el número que se obtiene está afectado de error, por lo que dicho valor de la magnitud no se conoce si no es asociado con una incertidumbre que, por consiguiente, debe incluirse en el resultado. Medida Resultado de una medición una longitud).

x

x

x . (Por ejemplo: 500 mm ± 0,1% es la medida de

Método de medida Conjunto de operaciones prácticas y teóricas que se llevan a cabo en la obtención de una medida. Método de medida directo El que consiste en comparar una magnitud con otra de la misma clase elegida como patrón o con un instrumento considerado como patrón. Ejemplo: medida de una masa frente a otra con una balanza. Método de medida indirecto Aquél en que el valor del mesurando se obtiene a partir de mediciones de otras magnitudes ligadas funcionalmente a ella. Ejemplo: medida de la aceleración a partir de mediciones de la velocidad y del tiempo. Incertidumbre de medida Estimación del intervalo de valores dentro del cual se encuentra el verdadero valor de la magnitud medida. Caracteriza la bondad de la medida. Una medida debe expresarse por el valor convencionalmente verdadero seguido de la incertidumbre (bien en forma absoluta o en forma relativa) precedida de ±. Ejemplos: 5,25 mm ± 0,01mm 25,7 g ± 0,3% 3 (3,28 ± 0,01)·10 rad/s

2.4 Estimacion de Errores de Medida a) Medidas directas realizadas una sola vez Se toma como valor de la incertidumbre de la medida la incertidumbre del instrumento. En principio, no se puede acotar el error aleatorio con una sola medida. En los instrumentos más simples (reglas, calibres, balanzas, termómetros de mercurio, etc.) se puede considerar que la incertidumbre sistemática del instrumento es de una división de la escala. Ejemplo: se mide la longitud L de una mesa con la cinta métrica de la figura, que está dividida en centímetros. Podemos considerar que la incertidumbre de medida es de ΔL = 1 cm. La lectura del instrumento será L = 148 cm que es la división más próxima a la longitud que se quiere medir, y la medida resulta: L = (148 ± 1) cm

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Si las divisiones de la escala están suficientemente separadas y es razonable estimar «a ojo» cual es la posición de las medias divisiones o de los cuartos de división se puede leer la escala como si estas subdivisiones estuviesen presentes y tomar como valor de la incertidumbre la mitad o un cuarto respectivamente de una división de la escala. Ejemplo: si en la misma situación del ejemplo anterior se considerase aceptable estimar «a ojo» la posición de las medias divisiones. Se tomará entonces ΔL = 0,5 cm. Como la longitud de la mesa parece estar más próxima al centro de la división que a cualquiera de sus extremos, la lectura será L = 147,5 cm. La medida resulta finalmente: L = (147,5 ± 0,5) cm

b) Medidas directas repetidas numerosas veces en condiciones prácticamente idénticas Cuando se repite una medida varias veces en condiciones idénticas, se observa una variabilidad de los resultados que es independiente de lo cuidadosamente que se hayan realizado las medidas. A esta variabilidad se le llama dispersión de las medidas y es la manifestación de la componente aleatoria del error. La incertidumbre de este tipo de medidas Δx es la suma de dos componentes: sistemática y aleatoria : Δx = Δxs + Δxa La componente sistemática se toma, como en el caso de una medida directa aislada, igual a la incertidumbre del instrumento. La componente aleatoria se acota, con un cierto margen de confianza, mediante técnicas estadísticas.

Errores en observaciones directas Los errores estadísticos o aleatorios pueden ser estimados realizando un cierto número de veces, n, el experimento. A estas medidas repetidas de una cierta magnitud, x 1, x2, x3, … xn, las llamaremos datos. Valor Medio El mejor valor que podemos entonces ofrecer para la magnitud medida es la media, o valor medio de acuerdo con la expresión bien conocida: Este valor se expresa:

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x

xi n 5

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Donde:

x : la media aritmética

xi : mediciones experimentales n : número de mediciones Desviación Se define la desviación de cada medida como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Como el valor verdadero es imposible de medir, tomaremos como desviación de cada medida la diferencia entre su valor y el valor medio, y la denominaremos desviación estimada: Desviación respecto a la media = ( xi

x)

Desviación Estándar Para estimar el error cometido en una serie de medidas se puede realizar una media de sus desviaciones. Como éstas se producen al azar para que no se compensen unas con otras lo mejor es promediar sus cuadrados. En estadística se llama desviación estándar a este promedio de desviaciones, de acuerdo con la expresión:

Desviación Tipica Muestral y Desviación Tipica de la Media Para acotar el valor del error aleatorio que se comete al tomar x como valor de la medida se parte de un parámetro estadístico denominado desviación típica muestral:

sn

n

1 1

n 1i

( xi

x) 2

1

que proporciona una cota para el error aleatorio de cada una de las lecturas. Un teorema de la estadística establece que la incertidumbre aleatoria asociada a la media de n valores está acotada por otro parámetro denominado desviación típica de la media:

sm

sn

1

n

que es tanto menor que la incertidumbre de cada una de las medidas cuanto mayor es el número de éstas. Por tanto, cuantas más lecturas se realicen, menor error aleatorio tendrá su valor medio. Una vez sustituido el valor de la desviación típica muestral en la expresión anterior, la componente aleatoria de la incertidumbre resulta:

xa

sm

1 n(n 1)

n

( xi

x) 2

i 1

En resumen, la expresión final de la medida realizada es: x

x ( xs

sm )

Error Absoluto Tomaremos como valor del error en la medida la mayor de sus estimaciones, es decir: o la desviación estándar o la precisión de los instrumentos. El error absoluto se expresa en las mismas unidades que la magnitud que se está midiendo en la forma

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x

x

x

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Ejemplo: Midiendo varias veces la longitud de un segmento con una regla milimetrada, hemos obtenido los siguientes valores:

1 2 3 4 5 6 7

Resultado xi (mm)

a la media ( xi

255 253 256 254 257 253 256

xi

Cuadrado de la desviación

Desviación respecto

N° medida

x)

( xi

0.14 -1,86 1,14 -0,86 2,14 -1,86 1,14

x) 2

0,0196 3,4596 1,2996 0,7396 4,5796 3,4596 1,2996

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El valor medio es

( xi

x)2

xi n

x

254.86 mm

14,8572

Incertidumbre:

x

( xi

x) 2

n(n 1)

14,8572 7 x6

0,59 mm

como este valor es mayor que la precisión del instrumento lo tomaremos como estimación del error absoluto Así pues, L = (255 ± 1) mm ó (254.9 ± 0,6) mm Error Relativo Se define como el cociente entre el error absoluto estimado y valor medio de las medidas ε=

x x . Se expresa habitualmente como porcentaje ε (%) = x100 y se escribirá en x x

la forma:

x

x

(%) .

Ejemplo: Valor medio = 254,86 mm, y desviación estándar = 0.59 mm Así pues, el ε (%) =

0,59 x100 % =0,23% 254,86

De modo que tendremos, L = 255mm ± 0.2% Ejemplo: Se mide el tiempo de caída de un cuerpo desde cierta altura. Los resultados de las 4 mediciones realizadas con un cronómetro son: t1 = 12,0 s ; t2 = 12,5 s ; t3 = 13,0 s ; t4 = 12,8 s El valor promedio del tiempo según la calculadora es: Redondeando obtenemos: Incertidumbre:

x

t

t1 t2 t3 t4 4

12,575 s

t 12,6 s

0.2174

La expresión correcta del resultado es:

t

t

t

t (12,6 0, 2) s t 12,6 s 1,7% AAF

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Ejemplo: Los valores de 10 mediciones de una resistencia son: 101,2; 101,7; 101,3; 101,0; 101,5; 101,3; 101,2; 101,4; 101,3 y 101,1. Calcular la media aritmética y la desviación estándar. El valor medio es R = 101,31 La desviación estándar

R = 0,0604

R

R

R = (101,31

R

R

(%) = 101,31

0,06 ) 0,05%

c) Determinación de errores en medidas indirectas. La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida. Debe tenerse muy presente que si en la expresión matemática que relaciona las magnitudes aparecen números irracionales (tales como π o e) se deben elegir con un número de cifras significativas que no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar. En cualquier caso, esta elección determinará el valor del error asignado a dicha constante; en muchas ocasiones, sobre todo cuando se trabaja con calculadora u ordenador, lo más conveniente es tomar todos los decimales que aparecen para el número en cuestión: de esta manera, su error es muy pequeño y puede despreciarse frente a los del resto de las magnitudes que intervengan. El procedimiento para determinar el error de la medida hecha de manera indirecta es el siguiente. Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas, estando relacionadas con ellas por la expresión genérica: F = f(x1, x2, x3, xN) Supongamos, además, que se han realizado medidas de las variables, x i, y se han determinado su valor y su error. Se obtiene la diferencial total de F en función de las diferenciales de las variables xi:

dF

F dx1 x1

F dx2 ... x2

n

F dxn xn

i 1

F dxi xi

A continuación se asimilan las diferentes diferenciales a los errores absolutos y además consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decir, el error mayor posible; así, se tomarán los valores absolutos de las derivadas parciales con el fin de tener una suma de términos positivos. Por tanto, el n

error en F viene dado por:

F i 1

F xi

xi

Ejemplo: En una fuente, se ha llenado completamente de agua un recipiente de base cuadrada de lado l y altura h en un tiempo t y se quiere determinar el caudal medio q que mana de la fuente. Los valores medidos han sido: l = (22,4 ± 0,1) cm; h = (53,5 ± 0,5) cm; t = (323,2 ± 0,3) s. El caudal medio se calcula dividiendo el volumen total de agua por el tiempo que ha tardado en llenarse el recipiente:

q

l 2 .h t

q(l , h, t )

Para estimar la incertidumbre asociada a este valor calculado del caudal es necesario derivar parcialmente esta expresión de q respecto de l, h y t; esto es, calcular la derivada respecto de cada una de las variables considerando que las demás son constantes. Así para derivar parcialmente respecto de l se tratan h y t como si fuesen constantes

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q l

l 2h l t

h l2 t l

h .2l t

2lh t

y se procede de forma análoga para derivar parcialmente respecto de h y de t

q h

l 2h h t

l2 h t h

q t

l 2h t t

l 2h

l2 t

1 t t

l 2h t2

La incertidumbre de q responderá pues a la expresión

q

q l l

q h h

q t t

2lh l t

l2 t

h

l 2h t t2

teniendo en cuenta que l, h y t son siempre valores positivos, se puede escribir

q

2lh l2 l 2h l h t t t t2

2*(22, 4 cm)(53,5 cm) (22, 4 cm) 2 (22, 4 cm) 2 (53,5 cm) *0,1 cm *0,5 cm *0,3 cm 323, 2 s 323, 2 s (323, 2 s) 2 0, 74 cm3 s 1 0, 78 cm3 s 1 0, 077 cm3 s 1 1, 60 cm3 s 1 1, 6 cm3s 1 Al particularizar estas dos expresiones para los valores que se hayan medido se obtiene la medida indirecta del caudal con su incertidumbre.

q

l 2h t

(22, 4 cm) 2 (53,5 cm) 323, 2 s

83, 06 cm3 s

1

NOTE que: – La incertidumbre calculada por propagación de errores tiene las mismas unidades que el valor calculado del mesurando. – Todas las componentes de la incertidumbre se suman entre sí, nunca se restan. Hemos realizado las operaciones intermedias guardando una cifra de seguridad como se indica en las recomendaciones para la realización de cálculos con cantidades aproximadas y al sumar todas las componentes de la incertidumbre hemos encontrado que su valor tiene probablemente dos cifras significativas. Podemos, entonces, expresar el resultado como

q

(83,1 1, 6) cm3 s

1

o, también podemos redondear el error por exceso a una sola cifra significativa

q

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(83 2) cm3 s

1

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