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• ANDRES JAVALOIS

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1- Media aritmética La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos. Ejemplo: ¿Cuál es la media de las edades de Andrea y sus primos?

La media aritmética de un grupo de datos se calcula así: Se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos.

Ejemplo: Se ha anotado el número de hermanos que tiene un grupo de amigos. Los datos obtenidos son los siguientes: Hermanos: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4 Si hacemos el recuento de los datos y seguimos los pasos anteriormente descritos, tenemos:

2- Moda La moda de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún valor, no existe moda. - Ejemplo1: ¿Cuál es el dato que más se repite en el ejemplo anterior? El dato que más se repite es el 1, es el que tiene mayor frecuencia absoluta (4 veces). La moda del número de hermanos es 1

- Ejemplo 2: 2, 3, 4, 5 , 6 , 9 En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.

- Ejemplo 3: 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9

Mo= 1, 5, 9

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas. - Ejemplo 4: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8

Mo = 4

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

3- La mediana La mediana es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. La mediana se representa por Me. Calculo de la mediana: 1° Ordenamos los datos de menor a mayor. - La mediana de un conjunto con un número impar de datos es, una vez ordenados los datos, el dato que ocupa el lugar central. Ejemplo: Calcular la mediana del conjunto de datos:

- También podemos usar la siguiente fórmula para determinar la posición del dato central: (n + 1) /2 = mediana datos impares.

- La mediana de un conjunto con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales. Ejemplo: Calcular la mediana del conjunto de datos:

4- Rango El rango da la idea de proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor. Este dato permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Ejemplo: Se preguntó a 9 familias cuántas bicicletas tenían en total, dieron las respuestas ordenadas en la siguiente tabla:

- ¿Cómo hallarías el rango? Se resta el dato mayor al dato menor: 3 - 0 = 3; Por lo tanto el rango sería 3 en este caso.

Si el conjunto de datos que se recolecta es muy numeroso, o bien, si el rango es muy amplio, es conveniente agruparlos y ordenarlos en intervalos o clases. La amplitud o tamaño de cada intervalo se puede calcular dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desean obtener. 4- Ejercicios: 1- Se le pregunta a un grupo de personas acerca de la cantidad de libros que leyó durante el año 2015, y las respuestas son: 4; 3; 2; 7; 10; 8; 2; 9; 3; 6; 8; 1; 1; 9; 2. La moda de la muestra es: a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 9

2- Halla la mediana de las siguientes series estadísticas. a) 1, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 5, 6 b) 4, 2, 1, 3, 8, 5, 3, 1, 6, 7 3- Se tienen dos distribuciones cuyos datos son los siguientes: Distribución A: 9, 5, 3, 2, 1, 2, 6, 4, 9, 8, 1, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 2, 5, 6, 7 Distribución B: 1, 1, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 5, 4, 3, 1, 2, 1, 5, 7, 8, 9, 9, 2, 1 a) Halla el rango de ambas distribuciones. 4- Se tiene el siguiente conjunto de datos: 10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 a) Obtén la mediana

Respuestas: 1- a 2- a) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7 M=4 b) 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8; La mediana es la media aritmética de los dos valores centrales, M = 3,5. 3- Rango de A: 9 - 1 = 8 Rango de B: 9 - 1 = 8 4- a) Ordenamos los datos de menor a mayor: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20 Como hay 26 valores, la mediana es la media de los dos valores centrales: M= 10 + 10 / 2 = 10

3.2 RANGO

Rango (estadística) Es el intervalo entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con loobtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto. Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos: es posible ordenar los datos como sigue: donde la notación x(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:

En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.

Rango estadístico Requisitos del rango 

Ordenamos los números según su tamaño.



Restamos el valor mínimo del valor máximo

Ejemplo Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Medio rango o Rango medio El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

Ejemplo Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

Representación del medio rango: EJEMPLO La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y el mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar también todos los valores de resultado de una función.

EJEMPLO Hallar el rango de la matriz siguiente:

F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2.

Histograma En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. Sirven para obtener una "primera vista" general, o panorama, de la distribución de la población, o de la muestra, respecto a una característica, cuantitativa y continua (como la longitud o el peso). De esta manera ofrece una visión de grupo permitiendo observar una preferencia, o tendencia, por parte de la muestra o población por ubicarse hacia una determinada región de valores dentro del espectro de valores posibles (sean infinitos o no) que pueda adquirir la característica. Así pues, podemos evidenciar comportamientos, observar el grado de homogeneidad, acuerdo o concisión entre los valores de todas las partes que componen la población o la muestra, o, en contraposición, poder observar el grado de variabilidad, y por ende, la dispersión de todos los valores que toman las partes, también es posible no evidenciar ninguna tendencia y obtener que cada miembro de la población toma por su lado y adquiere un valor de la característica aleatoriamente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia, entre otras cosas.

En el eje vertical se representan las frecuencias, es decir, la cantidad de población o la muestra, según sea el caso, que se ubica en un determinado valor o sub-rango de valores de la característica que toma la característica de interés, evidentemente, cuando este espectro de valores es infinito o muy grande el mismo es reducido a sólo una parte que muestre la tendencia o comportamiento de la población, en otras ocasiones este espectro es extendido para mostrar el alejamiento o ubicación de la población o la muestra analizada respecto de un valor de interés.

Se utilizan para relacionar variables cuantitativas continuas. Para variables cuantitativas discretas las barras se dibujan separadas y el gráfico se llama diagrama de frecuencias, porque la variable representada en el eje horizontal ya no representa un espectro continuo de valores, sino valores cuantitativos específicos, igual que ocurre en un diagrama de barras, usado para representar una característica cualitativa o categórica. Su utilidad se hace más evidente cuando se cuenta con un gran número de datos cuantitativos y que se han agrupado en intervalos de clase. Gato Ejemplos de su uso es la representación de edades o estaturas de una población. Por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, en intervalos continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.

Tipos de gráficos relacionados con el histograma[editar] 

Histograma de frecuencias absolutas Representa la frecuencia absoluta mediante la altura de las barras. Se usa mucho en educación no universitaria por su sencillez, pero sólo se puede aplicar cuando todos los intervalos son iguales, ya que en ese caso las alturas y las superficies son proporcionales. En esos niveles educativos se introduce una estadística elemental y todavía no se puede profundizar en estos detalles. 

Histograma de frecuencias relativas

Representa la frecuencia relativa mediante la altura de las barras. Igual que en el caso anterior se usa mucho en educación no universitaria. La elaboración del gráfico es más complicada pues los números ya no son enteros. Como en el caso anterior sólo se puede aplicar cuando todos los intervalos son iguales, ya que en ese caso las alturas y las superficies son proporcionales.  Histograma Representa la frecuencia relativa mediante la superficie de las barras. Aunque esto sea cierto en todos los histogramas, cuando se agrupan los datos en intervalos desiguales hay que atender a la superficie de las barras, que no se corresponderá con la altura como ocurría en los casos anteriores. Es el que se suele usar en educación universitaria. Para su elaboración debe introducirse el concepto de altura de histograma, que es un concepto equivalente al de densidad de probabilidad, y que se calcula dividiendo la frecuencia relativa de ese intervalo (o sea la superficie que queremos darle) entre la anchura del intervalo (la base del rectángulo). Ahora las barras tendrán siempre superficie igual a la frecuencia relativa y la suma de todas esas superficies (de todas las barras) será 1, o sea el 100%.  Función densidad Representa la probabilidad mediante la superficie de las barras. Es un gráfico idéntico al histograma pero aplicado a distribuciones teóricas. El concepto de frecuencia relativa se cambia por el de probabilidad, pero también se representa por superficies y la suma de todas esas superficies (de todas las barras) será 1, como en el histograma, o sea el 100% de probabilidad. 

Curva acumulativa u ojiva Es un gráfico acumulativo (véase Función_de_distribución) que representa la frecuencia relativa acumulada hasta cada valor de la variable. Si el rango es finito el primer valor del rango tiene frecuencia acumulada (anterior) cero y el último tiene frecuencia acumulada 1 (100%). Así el eje vertical siempre toma valores de cero a uno y representa frecuencias relativas (o probabilidades si se trata de distribuciones teóricas). Se utiliza para introducir el concepto y el cálculo de la mediana, los cuartiles, los deciles y en general los parámetros llamados de posición. Si el rango es infinito, como suele ocurrir en las distribuciones teóricas (Normal, student, chi-cuadrado, etc,) el cero puede no alcanzarse y será el valor asintótico por la izquierda, si tampoco se alcanza el uno también será el valor asintótico derecho, y en muchos casos no se alcanza ni uno ni otro, teniendo dos asintotas. Este gráfico es la integral del histograma (cuando trabajamos con distribuciones reales) o de la función densidad (cuando trabajamos con distribuciones teóricas).  Curva acumulativa de frecuencias absolutas Es un gráfico acumulativo que representa la frecuencia absoluta acumulada hasta cada valor de la variable. Realmente no es un gráfico relacionado con el histograma, pero es muy parecido a la curva acumulativa y a la función de distribución. Se usa mucho en enseñanza no universitaria por su sencillez, ya que permite trabajar con números enteros (frecuencias absolutas) y, como la anterior, permite introducir y calcular mediana, cuartiles, etc. Esta curva no irá entre cero y uno sino entre cero y el total de individuos de la muestra.  Nota En todos estos diagramas la muestra o la población se divide en intervalos (del parámetro a estudiar, por ejemplo estatura) y aparece el dilema de si incluir el extremo del intervalo (por ejemplo 180 cm) en el primer o en el segundo intervalo en los que aparece. Tradicionalmente se incluye en el segundo y los intervalos quedan abiertos por la derecha: [170, 180) y [180,190). Sin embargo, dependiendo del problema a estudiar (problemas en que los extremos salen con mucha frecuencia frente a otros en que no salen nunca) y de la costumbre, se pueden encontrar otras elecciones.

Construcción de un histograma de frecuencias[editar] 

Paso 1

Determinar el rango de los datos. Rango es igual al dato de proporción menos el dato de desigualdad. 

Paso 2

Obtener todos los números de grupos, existen 4 criterios para determinar el número de clases (o barras) –por ejemplo, la regla de Sturges etc. 

Paso 3

Establecer la anchura de clase. Si queremos intervalos iguales tomaremos el rango dividido por el número de clases y comparar con los resultado obtenidos de la dispercion. 

Paso 4

Construir los intervalos de clases: Los intervalos resultan de dividir el rango de los datos en segmentos iguales usando la anchura de clase obtenida en el PASO 2. 

Paso 5

Graficar el histograma: Como todas las clases tienen la misma amplitud las bases de las barras son los intervalos de clases y la altura es la frecuencia de las clases.