Mecanismos y dinamica de maquin - Mabie, Hamilton (Hamilton Horth.pdf
COLECCION TEXTOS POLITECNICOS SERIE TECNOLOGÍAS MECÁNICAS NORIEGA LIMUSA BOSTON PUBLIC UBRAflV Copley Squara ,
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COLECCION TEXTOS POLITECNICOS
SERIE
TECNOLOGÍAS
MECÁNICAS
NORIEGA
LIMUSA
BOSTON PUBLIC UBRAflV
Copley Squara
,
Contenido de esta obra: Introducción
al
estudio de los
Mecanismos de eslabones
mecanismos
articulados
Levas ti; _
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Nní
Engranajes rectos Engranajes rectos no estándar
Engranajes cónicos, helicoidales y de gusano
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.Trenes de engranajes t
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Análisis
*
i
de velocidad y aceleración
l.
Análisis
de fuerzas en maquinaria
Balanceo de maquinaria ?
Introducción a
la
*
síntesis
Mecanismos especiales
y robótica
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MECANISMOS Y DINÁMICA DE MAQUINARIA
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COLECCIÓN TEXTOS POLITÉCNICOS Serie Tecnologías Mecánicas •»s. 91
MECANISMOS Y DINÁMICA DE MAQUINARIA SEGUNDA EDICIÓN
Hamilton H. Mabie h
Charles
F.
Reinholtz
Instituto Politécnico
de Virginia
y Universidad Estatal de Virginia
m LIMUSA NORIEGA EDITORES *
MEXICO
•
España
•
Venezuela
•
Colombia
*
Digitized by the Internet Archive in
2016 •v.
https://archive.org/details/mecanismosydinamOOhami
Acerca de
los autores
Hamilton H. Mabie, profesor de Ingeniería Mecánica en
el Instituto
Politécnico
de Virginia y en la Universidad Estatal de Virginia desde 1964, realizó sus estudios de licenciatura en la Universidad de Rochester, la maestría en la Universi-
dad de Comell y
De
el
doctorado en
la
Universidad Estatal de Pennsylvania.
1941 a 1960, formó parte del cuerpo docente de
Ingeniería
Mecánica en
la
Universidad de Comell.
la
De 1960
Siblye School de
a 1964 trabajó en el
Sandia Laboratory en Albuquerque, Nuevo México, participando en investigación y desarrollo relacionados con armas nucleares. Además de sus trabajos en cinemática, el Dr.
Mabie
realiza investigación
sobre engranajes, características de torsión de los rodamientos de bolas en instru-
vida de fatiga del aluminio y corrosión por desgaste de los rodamientos con elementos rodantes. Es autor y coautor de mu-
mentos, efectos ambientales sobre
la
chos artículos técnicos en estos campos. Tiene licencia
como
ingeniero profesio-
miembro vitalicio de la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME). La primera edición de Mecanismos y Dinámica de Maquinaria fue publicada por John Wiley & Sons con F. W. Ocvirk, finado, como coautor. El coautor de nal y es
esta edición es Charles
Charles en
F.
F.
Reinholtz.
Reinholtz es actualmente profesor asistente de Ingeniería Mecánica
el Instituto
Politécnico de Virginia y en
la
Universidad Estatal de Virginia en
Blacksburg, Virginia, puesto que ha desempeñado desde 1983. Tiene grados de B. S., M.S. y Ph.D. de la Universidad de Florida.
También
trabajó para la
Burroughs
^
ACERCA DE LOS AUTORES
Corporation
como
ingeniero de diseño en
el
Peripheral Products Group. El profe-
sor Reinholtz ha participado activamente en
área de cinemática y diseño de Sociedad Americana de Ingenieros el
mecanismos desde 1976. Es miembro de la Mecánicos, la Sociedad Americana para la Educación en Ingeniería, y Sigma Xi. También es miembro de las sociedades honorarias Tau Beta Pi y Pi Tau Sigma.
Prefacio
Este texto se ha revisado y actualizado completamente. Su contenido se reorganizó para adaptarse mejor a la secuencia de tópicos que se cubren típicamente y
muchos cambios producidos por
empleo de las computadoras en clase. Estos cambios incluyen el empleo de métodos interactivos para el análisis de la posición de mecanismos articulados y de métodos matriciales para el análisis de fuerzas. En todo el texto se han incluido programas de computadora en lenguaje BASIC, desarrollados en una computadora personal, para demostrar la sencillez y potencia de los métodos computacionales. Todos los programas en BASIC que aparecen en el texto también se codificaron en FORTRAN 77 y se presentan en el apéndice tres. El texto ahora puede utilizarse ya sea con unidades del sistema inglés, unidades SI, o una combinación de ambas. Cuando se requiere especificar las unidades de una ecuación, ésta se presenta en los dos sistemas. Se ha hecho un esfuerzo por mantener el balance entre los métodos analíticos y los métodos gráficos. Esta edición se ha ampliado para incluir varios tópicos nuevos. En conformidad con el énfasis adicional en los métodos computacionales, el análisis cinemático y dinámico de los mecanismos articulados se demuestra empleando el programa integrado para mecanismos (IMP), el cual se encuentra disponible para reflejar los
comercialmente. El material sobre
el
el
diseño analítico de levas se amplió para
incluir las ecuaciones para la determinación de diversos contornos de levas de
disco. Para el caso de los elementos de transmisión
mecánica de potencia— que
a
denominan engranes o engranajes, indistintamente— se ofrece un conjunto completo de problemas para cada sistema de unidades. En el capítulo sobre engranes no estándar se agregó una nueva sección relativa a los engralo largo del texto se
PREFACIO
10
nes cilindricos no estándar maquinados con un cortador de piñones. En
capítu-
de engranes planetarios se incluyeron dos nuevos tópi-
lo referente a los trenes
cos: transmisión
el
armónica y
flujo
de fuerzas a través de trenes de engranes
planetarios.
En el análisis de velocidad y aceleración de mecanismos articulados se hace un uso más extenso de los métodos mediante números complejos y de las ecuaciones de cierre del circuito. El capítulo relativo
al
análisis de fuerzas se revisó
completamente. Además del método de superposición, ahora se incluye también el método matricial que es una herramienta poderosa cuando se utiliza conjunta-
mente con una computadora. En el capítulo diez se agregó un método para el balanceo de mecanismos de cuatro barras articuladas. El capítulo referente a la síntesis cinemática se revisó y amplió para incluir otros tópicos, además de un generación de funciones, generación de trayectorias y como problemas sobre defecto de ramificación, defecto de
estudio general sobre
guía de cuerpos, así
la
orden y defecto Grashoff. El capítulo final, sobre mecanismos espaciales y robótica, es totalmente nuevo. El material de este capítulo es cada vez más importante en
el
diseño de maquinaria compleja de producción automática.
Agradecemos
muchos y
comentarios y sugerencias de nuestros revisores: Richard Alexander, Marvin Dixon y William H. Park. Estamos en deulos
útiles
da con los siguientes maestros del Instituto Politécnico de Virginia y de la Universidad Estatal de Virginia por sus útiles sugerencias: Craig A. Rogers, Richard
Cobb. Edgar G. Munday, Joseph W. David y Peter J. Leavesly. Finalmente, deseamos expresar nuestro reconocimiento a la’ayuda y motivación proporcionaE.
dos por nuestros editores en Wiley, Charity Robey y
Bill Stenquist.
Hamilton H. Mabif
Charles
F.
Reinholtz
7
Contenido
Capítulo
1
Introducción 1
.
1
1.2 1.3 1
.4
17
Introducción
al
estudio de los
Mecanismo, máquina Movimiento 21
21
Ciclo, período y fase de
movimiento
Pares
1.6
Eslabón, cadena
1.7
Inversión
1.8
Transmisión de movimiento
.9
1
23
23
1.5
1
mecanismos
24
25 25
Movilidad o número de grados de libertad PROBLEMAS 32
28
Capítulo 2
Mecanismos de eslabones articulados 37 37 Análisis de posición del mecanismo de cuatro barras 2. Movimiento del mecanismo de cuatro barras y ley de Grashoff 2.2 1
2.3
2.4
2.5
2.6 2.7
mecanismos de eslabones articulados mediante ecuaciones de cierre del circuito y métodos iterativos Análisis de mecanismos de eslabones articulados mediante el 49 programa integrado para mecanismos (IMP) Mecanismo biela-manivela-corredera 53 Yugo escocés 56 Mecanismo de retomo rápido 57
42
Análisis de posición de
44
7
J2
1
CONTENIDO Mecanismo de palanca 59 Junta Oldham 59 2.9 2.10 Mecanismos de línea recta 59 2.8
2.13
60 Ruedas de cámara 61 Junta de Hooke 63
2.14
Juntas universalesjJe velocidad constante
65
2.15
Mecanismos de movimiento
69
2.16
Elementos de cálculo Integradores 74 Síntesis 76 Estudio de un caso en el Hydrominer 76
Pantógrafo
2.11
2.12
2.17 2.18
2.19
PROBLEMAS
intermitente
73
el
diseño de mecanismos:
82
Capítulo 3
Levas
91 Clasificación de las levas y su nomenclatura 92 Leva de disco con seguidor radial (diseño gráfico)
3.1
3.2
Leva de disco con seguidor oscilatorio (diseño gráfico) 97 Leva de retomo positivo (diseño gráfico) 99 Leva cilindrica (diseño gráfico) 100 Leva inversa (diseño gráfico") 100 101 Curvas de desplazamiento de las levas Curvas de desplazamiento de las levas métodos avanzados Leva de disco con seguidor radial de cara plana
3.3
3.4 3.5
3.6 3.7
—
3.8
3.9
112
(diseño analítico)
3.10
Leva de disco con seguidor (diseño analítico)
3.1
94
1
1 1
Leva de disco con seguidor
3.13
3.14
oscilatorio de carretilla
128
(diseño analítico) 3.12
radial de carretilla
Levas de contorno 133 137 Levas tridimensionales Métodos de producción de levas
PROBLEMAS
140
141
Capítulo 4
Engranajes rectos 4.
1
151
Introducción a los engranajes rectos de involuta
4.2
Involumetría
4.3
Detalles de los engranajes rectos
4.4
Características de
4.5
Interferencia en los engranajes de involuta
4.6
Estandarización de engranajes
4.7
Número mínimo
1
5
155
la
acción de
la
157
159
involuta
163
165
de dientes para evitar
la
interferencia
1
76
110
0
5
1
CONTENIDO 4.8
4.9
4.10
Determinación del juego entre engranajes Engranajes internos (anulares) 186 Engranajes cicloidales 188
PROBLEMAS
1
8
189
Capítulo 5
Engranajes rectos no estándar 5.
1
197
Teoría de los engranajes rectos no estándar
5.2
Sistema de distancia extendida entre centros
5.3
5.4
Sistema de adendo largo y corto Engranajes de acción de receso
5.5
Engranajes rectos no estándar cortados con un cortador de piñones
PROBLEMAS
2
2
1
97 199
1
212
1
227
Capítulo 6
Engranajes cónicos, helicoidales y de gusano 6. Teoría de los engranajes cónicos 237 6.2 Detalles de los engranajes cónicos 242
237
(sinfín)
1
6.3
Proporciones de los dientes en los engranajes Gleason
comeos
rectos
244
6.4
Engranajes cónicos rectos angulares
6.5
Engranajes cónicos Zerol
246
6.7
246 Engranajes cónicos espirales 247 Engranajes hipoidales 247
6.8
Teoría de los engranajes helicoidales
6.9
Engranajes helicoidales paralelos
252 258
6.10
Engranajes helicoidales cruzados
261
6.11
Engranajes de gusano (sinfín)
6.6
PROBLEMAS
263
267
Capitulo 7
279
Trenes de engranajes
279
7.1
Introducción a los trenes de engranajes
7.2
Trenes de engranajes planetarios
7.3
Aplicaciones de los trenes de engranajes planetarios
7.4
Ensamble de
7.5
Potencia circulante en sistemas controlados
los trenes
de engranajes planetarios
de engranajes planetarios 7.6
Engranaje motriz armónico
PROBLEMAS
281
302
308
310
Capitulo 8 Análisis de velocidad y aceleración 329 Introducción 8.1 8.2
Movimiento
lineal
329
de una partícula
331
293 296
13
14
CONTENIDO
8.4
Movimiento angular Movimiento relativo
8.5
Métodos de
8.6
Análisis de velocidad y aceleración mediante matemáticas vectoriales 337^
8.7
fJeterminación de
8.3
334 335
337
análisis de velocidad y aceleración
la
velocidad en mecanismos mediante
polígonos vectoriales
351
8.8
Velocidad relativa de partículas en los mecanismos
8.9
Velocidad relativa de partículas en un eslabón
8.
1
0
1
1
Velocidad relativa de partículas coincidentes en
8.12
Centros instantáneos de velocidad
8.13
Notación de
8.14
Teorema de Kennedy
1
5
Determinación de
1
6
Determinación de instantáneos
8.17 8.
1
8
punto de
361
364
365
los centros instantáneos
la
el
359
los centros instantáneos
teorema de Kennedy 8.
352
356
contacto de los elementos rodantes
8.
común
Velocidad relativa de partículas coincidentes en distintos eslabones
8.
352
mediante
el
366 velocidad mediante los centros
368
Elementos rodantes
>
370
Determinación gráfica de
la
aceleración en
mediante polígonos vectoriales
mecanismos
371
8.19
Aceleración relativa de partículas en los mecanismos
8.20
Aceleración relativa de partículas en un eslabón
8.2
Aceleración relativa de partículas coincidentes en eslabones
1
distintos.
8.22
8.23
Componente
Coriolis de
la
común
aceleración
Aceleración relativa de partículas coincidentes en
371
372
375 el
punto de
contacto de elementos rodantes
383
Solución vectorial analítica de
ecuaciones de velocidad
relativa y de la aceleración
las
387
8.24
Análisis de velocidad y aceleración mediante diferenciación numérica o gráfica 392
8.25
Análisis cinemático mediante números complejos
398
mecanismo biela-manivela-corredera mediante las ecuaciones de cierre del circuito y números complejos 401 8.27 Análisis del mecanismo invertido biela-manivela-corredera mediante las ecuaciones de cierre del circuito y números complejos 406 8.28 Análisis del mecanismo de cuatro barras mediante las ecuaciones de cierre del circuito y número complejos 408 8.29 Mecanismos complejos 414 8.26
Análisis del
CONTENIDO 8.30
Análisis de velocidad y aceleración empleando integrado para mecanismos (IMP) 415
PROBLEMAS
el
programa
417
Capítulo 9 Análisis de fuerzas en maquinaria
443
443
9.1
Introducción
9.2 9.3
Fuerza centrífuga en los álabes de un rotor Fuerza de inercia, par de torsión de inercia
9.4
Determinación de fuerzas
9.5
Métodos de articulados
mecanismos de eslabones articulados 453
mecanismos de eslabones articulados mediante métodos matriciales 463 Análisis de fuerzas empleando el programa integrado para mecanismos (IMP) 468 Análisis de fuerzas en mecanismos de eslabones articulados 471 mediante el método de trabajo virtual Análisis de fuerzas en mecanismos de eslabones articulados Análisis de fuerzas en
9.7
9.8
9.9
1
mecanismos de eslabones
452
mediante superposición
9.
451
análisis de fuerzas en
Análisis de fuerzas en
9.6
444 448
0
partir de las características
dinámicas
475
9.18
mecanismos de eslabones articulados 480 mediante números complejos 486 Análisis de fuerzas en motores Masas dinámicamente equivalentes 491 493 Aplicación de las masas equivalentes Análisis de fuerzas en motores empleando masas puntuales Monoblocks 501 503 Par de salida del motor Tamaño del volante 509
9.19
Fuerzas en los dientes de los engranajes
9.20
Fuerzas en
9.21
Fuerzas giroscópicas
9.22
Determinación del momento de inercia
9.
1
1
9.12 9.13
9.14 9.
1
5
9.16 9.17
a
Análisis de fuerzas en
las levas
PROBLEMAS
516
522 524
530
533
Capítulo 10
559 Balanceo de maquinaria 559 Introducción 10.1 560 Balanceo de rotores 10.2 567 Balanceo dinámico y estático 10.3 Máquinas para balancear 568 10.4 570 Balanceo de masas reciprocantes 10.5 Determinación analítica del desbalanceo 10.6
572
494
15
3
'
1
1
CONTENIDO
6
Orden de encendido 582 10.8 Motores en V 583 10.9 Motores opuestos 589 0. 0 Balanceo de mecanismos de cuatro barras articuladas PROBLEMAS 594 10.7
1
1
590
~
¥
Capítulo 11
605 Clasificación de problemas en la síntesis cinemática 606 Espaciamiento de los puntos de exactitud para la generación defunciones 610 Diseño analítico de un mecanismo de cuatro barras articuladas
Introducción a 11.1 1
1
.2
1
1
.3
la síntesis
como un generador 1
1
.4
de funciones
1
.5
1
1
.6
1
.7
barras articuladas
el
diseño de un
como un generador
defunciones 618 Diseño gráfico de un mecanismo de cuatro barras articuladas como un generador de funciones 621 Diseño gráfico de un mecanismo de cuatro barras articuladas para
1
1
Correspondencia o ajuste de curvas para
mecanismo de cuatro 1
6
la
guía de cuerpos
623
Diseño analítico de un mecanismo de cuatro barras articuladas para la guía de cuerpos 626
empleando números complejos 629 .9 Diseño de un mecanismo de cuatro barras articuladas como un generador de trayectorias empleando mecanismos afines 632 11.10 Consideraciones prácticas en la síntesis de mecanismos (Defectos en los mecanismos) 635 PROBLEMAS 638 1
1
1
1
.8
Síntesis analítica
Capítulo 12
Mecanismos 12.1
12.2 12.3
12.4 1
2.5
12.6 12.7
espaciales y robótica Introducción 645
645
646 Descripción de movimientos espaciales 651 Análisis cinemático de los mecanismos espaciales Síntesis cinemática de los mecanismos espaciales Introducción a los manipuladores robóticos 664 Cinemática de los manipuladores robóticos 665 PROBLEMAS 672 Movilidad
Apéndices
677
Respuestas a problemas seleccionados Indice
703
695
659 66
Capítulo
Uno
Introducción
INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LOS MECANISMOS
1.1
El estudio
de los mecanismos es
el
importante.
Con
los
continuos avances
diseño de instrumentos, controles automáticos y equipo automaestudio de los mecanismos toma un nuevo significado. Se puede definir
realizados en tizado,
muy
el
mecanismos como la parte del diseño de máquinas que se interesa del diseño cinemático de los mecanismos de eslabones articulados, levas, engranes y trenes de engranes. El diseño cinemático se ocupa de los requerimientos de movimiena los
to, sin
abordar los requerimientos de fuerzas.
A
continuación se proporciona un
ejemplo de cada uno de los mecanismos mencionados anteriormente para presentar un cuadro completo de los componentes que se van a estudiar. La figura .1 muestra un mecanismo de eslabones articulados. Este arreglo 1
específico se conoce es
el
como
el
mecanismo biela-manivela-corredera.
bastidor y es estacionario,
FIGLRA
1.1
el
2 es
la
manivela,
el 3
El eslabón
1
es la biela y el 4 es la co-
Mecanismo hiela-manivela-corredera.
INTRODUCCION rredera.
Una
aplicación
común de
este
mecanismo
se encuentra en
el
motor de
combustión interna en donde el eslabón 4 se convierte en el pistón (figura 2a). Esta figura también demuestra lo difícil que puede ser distinguir el dispositivo cinemático básico en una fotografía o en un dibujo de una máquina completa. La figura \2b muestra el diagrama cinemático del mecanismo biela-manivela-co1
rredera correspondiente la
fotografía de
mucho más del
la
al
conjunto cigüeñal-biela-pistón del lado izquierdo de
figura 1.2a.
fácilmente y
le
Con
permite
este
al
diagrama cinemático se puede trabajar
diseñador separar los aspectos cinemáticos
problema más complejo del diseño de
FIGURA
la
máquina.
Motor V-8 Chevrolet que muestra un mecanismo corredera. (General Motors Corporation.) 1.2 a
FIGURA
1.2 b
cinemático del del motor.
Diagrama mecanismo
biela-nianivela-
Cigüeñal
INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LOS MECANISMOS
FIGURA
19
1.3
FIGURA
Leva hidimensional.
La figura
1
.3
muestra
la
1.4
ilustración de
Leva tridimensional.
una leva y su seguidor. La leva gira a
velocidad angular constante y el seguidor se mueve hacia arriba y hacia abajo. El seguidor se mueve por efecto de la leva en el movimiento hacia arriba, en tanto
movimiento de regreso se mueve por la acción de la gravedad o de un resorte. Las levas se emplean en muchas maquinas, aunque una de las mas comunes es el motor de un automóvil en el que se emplean dos levas por cilindro para operar las válvulas de admisión y de escape, como también se puede apreciar en la figura .4 muestra una leva tridimensional, en la que el movi.2a. La figura miento del seguidor depende no solamente de la rotación de la leva sino también del movimiento axial de ésta. En muchas aplicaciones se usan engranes para transmitir el movimiento de una flecha a otra con una relación constante de velocidades angulares. La figura .5 muestra varios engranes de uso común. que en
el
1
1
1
Engranes helicoidales en flechas paralelas
FIGURA
1.5
(
continúa en
la siguiente
página)
20
INTRODUCCION
Sinfín o
Engranes dobles helicoidales o de espina de pescado
FIGURA
1.5
gusano
engrane del
Engranes helicoidales en
y
flechas cruzadas
sinfin
(continuación)
En algunos casos
la
reducción deseada en
la
velocidad angular es demasia-
do grande para obtenerse usando solamente dos engranes; cuando pasa esto, se deben conectar varios engranes entre sí para formar lo que se conoce como tren de engranes. La figura .6 muestra un tren de engranes en el que se reduce la velocidad al pasar del engrane al 2 y nuevamente al pasar del engrane 3 al 4. El 1
1
engrane
muchos
es el motriz y los engranes 2 y-3 están montados en la misma flecha. En trenes de engranes es necesario poder mover los engranes para acoplar1
o desacoplarlos y así obtener distintas combinaciones de velocidades. Un buen ejemplo de ello es la transmisión de un automóvil en la que se obtienen tres velolos
cidades de avance y una en reversa con sólo desplazar axialmente dos engranes. En dispositivos como los instrumentos y controles automáticos es de suma importancia obtener el movimiento correcto. La potencia transmitida por los ele-
Entrada
FIGURA
1.6
Tren de engranes.
Salida
.
MOVIMIENTO
21
mentos puede ser tan pequeña que casi sea despreciable, lo que permite que las dimensiones de los componentes se asignen primordialmente en base al movimiento, siendo
la
fuerza de importancia secundaria.
Sin embargo, existen otras máquinas en las que
el
análisis cinemático es
forma como van a trabajo deseado, se deben ana-
solamente parte del diseño. Después que se ha determinado funcionar los distintos componentes para hacer
el
la
que actúan en esas partes. A partir de aquí se puede determinar el de las piezas. Un buen ejemplo lo constituye una máquina herra-
lizar las fuerzas
tamaño
físico
mienta; su fuerza y rigidez son deseados.
En
este
momento
mecanismos,
los
lo
más
difíciles
de obtener que los movimientos
es importante definir los términos usados en
el
estudio de
que se hace a continuación.
MECANISMO, MÁQUINA
1.2
Los términos mecanismo y máquina se emplearán con frecuencia en el estudio de los mecanismos; se definen como sigue: Un mecanismo es una combinación de cuerpos rígidos o resistentes forma-
manera y conectados de tal forma que se mueven uno sobre el otro con un movimiento relativo definido. Un ejemplo de ello es la manivela, la biela y el pistón de un motor de combustión interna como se muestra en forma de diagrama dos de
en
la
tal
figura
1
.2b.
Una máquina fuerza desde
ejemplo de
fuente de energía hasta
ello es el
la
resistencia
motor completo de combustión
que se debe vencer.
Un
interna.
MOVIMIENTO
1.3
En
la
mecanismo o conjunto de mecanismos que transmiten
es un
el
estudio de los mecanismos es necesario definir los distintos tipos de movi-
miento producidos por estos mecanismos.
Movimiento plano Traslación
Cuando un cuerpo
rígido se
mueve en
tal
forma que
la
posición de cada
línea recta del
cuerpo es paralela a todas sus otras posiciones,
movimiento de
traslación.
1.
Traslación rectilínea. Todos los puntos del cuerpo se rias
de líneas rectas paralelas. Cuando
el
cuerpo se
el
cuerpo tiene
mueven en trayectomueve hacia atrás y
hacia adelante en esta forma, se dice que tiene un movimiento reciprocante,
como
se ilustra en la figura
1
.7,
en que
reciprocante entre los límites B' y
B"
la
corredera 4 tiene un movimiento
.
22
2.
INTRODUCCION
Traslación curvilínea. Las trayectorias de los puntos son curvas idénticas paralelas a un plano
fijo.
La figura
para conectar las ruedas motrices de
mecanismo que se usó locomotora de vapor. En este meca-
1.8 la
muestra
el
eslabón 3 tiene traslación curvilínea y todos los puntos del cuerpo El dibujan cicloides idénticas cuando las ruedas 2 y 4 giran sobre el riel eslabón 5 se mueve con traslación rectilínea.
nismo,
el
1
.
Rotación cada punto de un cuerpo rigido que tiene movimiento plano permanece a una distancia constante de un eje fijo que está perpendicular al plano del moviSi
miento,
el
cuerpo tiene movimiento de rotación.
en un ángulo dado, se dice que oscila, eslabón 2 gira y
FIGURA
1.9
el
4 oscila entre
Mecanismo de
cuatro barras articuladas.
las
como
Si el
cuerpo se mueve en vaivén
se muestra en la figura
posiciones B' y B"
1
.9
en que
el
pari:s
23
Rotación y traslación
Muchos cuerpos
tienen un
movimiento que es una combinación de rotación
y traslación. Por ejemplo, el eslabón 3 de la figura .7, los eslabones 2 y 4 de figura .8 y el 3 de la figura .9 tienen este tipo de movimiento. 1
1
la
1
Movimiento
helicoidal
Cuando un cuerpo
mueve de manera que cada punto del mismo tiene alrededor de un eje fijo y al mismo tiempo tiene una
rígido se
movimiento de rotación
movimiento helicoidal. Un de una tuerca cuando se atornilla en un perno.
traslación paralela al eje, se dice que el cuerpo tiene
ejemplo de este movimiento es
Movimiento
el
esférico
Cuando un cuerpo
mueve de
manera que cada punto del cuerpo tiene movimiento alrededor de un punto fijo en tanto que permanece a una distinta constante del mismo, el cuerpo tiene movimiento esférico. rígido se
tal
Movimiento espacial Si
un cuerpo tiene movimiento de rotación alrededor de
de traslación en
tres direcciones independientes, se
no paralelos y dice que tiene un movimiento tres ejes
espacial general.
CICLO, PERÍODO Y FASE DE MOVIMIENTO
1.4
Cuando
las partes
de un mecanismo han pasado por todas
las
posiciones posibles
que pueden tomar después de iniciar su movimiento desde algún conjunto simultáneo de posiciones relativas y han regresado a sus posiciones relativas originales, han completado un ciclo de movimiento. El tiempo requerido para un ciclo de movimiento es el periodo. Las posiciones relativas simultáneas de un mecanismo en un instante dado durante un ciclo determinan una fase.
PARES
1.5
Se llaman pares a bros de un
las
formas geométricas mediante
mecanismo de manera que
el
las cuales se
movimiento
unen dos miem-
ambos sea conectan dos miembros
relativo entre
consistente. Si la unión o articulación mediante la cual se
un contacto superficial tal como una unión de perno, la conexión se llama par inferior. Si la conexión ocurre en un punto o a lo largo de una línea tal como en un rodamiento de bolas o entre dos dientes de engranes en contacto, se le conoce como par superior. Un par que sólo permite rotación relativa es un par de tiene
giro o revoluta uno que solamente permite ;
Un
el
deslizamiento es un par deslizante.
par de giro puede ser inferior o superior, dependiendo de que se emplee un
perno y buje o un rodamiento de bolas para la conexión. inferior como entre un pistón y la pared del cilindro.
Un par deslizante es un par
24
INTRODUCCION I
1.6
Un
ESLABÓN, CADENA eslabón es un cuerpo rígido que tiene dos o más pares o elementos de aparea-
miento, por medio de los cuales se puede conectar a otros cuerpos con transmitir fuerza o movimiento. Por lo general, un eslabón es un
el fin
miembro
de
rígido
que tiene en ambos extremos la posibilidad de conectarse a otros dos eslabones. Sin embargc* esto se puede extender a tres, cuatro o incluso más conexiones. Las figuras .10c/, b y c muestran estos arreglos. Quizás el caso extremo de un esla1
bón conectado múltiplemente es el de la biela maestra en un motor radial de avión de nueve cilindros mostrada en la figura .10c/. Un ejemplo bien conocido de un eslabón con tres conexiones es la manivela de campana o palanca acodada que se puede arreglar como se muestra en la figura C7 o b. Este eslabón generalmente se emplea para reducir un movimiento y se le pueden dar dimensiones para una relación dada con un mínimo de distorsión del movimiento requerido. 1
1
.
1
1
1
.
1
1
y
2
4)
AB > O
+ +
A)
2
a
4
B
0 A > AB 2
La segunda y tercera relaciones se pueden obtener a partir de los triángulos O a A' B' B" respectivamente, y por el hecho de que la suma de los dos lados de un y 02A" triángulo debe ser mayor que el tercer lado. La figura 2.5 d muestra un arreglo en el que el eslabón 4 de la figura 2. se ha reemplazado por un bloque deslizante. El movimiento de los dos mecanismos de eslabones articulados es idéntico. El movimiento del mecanismo de cuatro barras articuladas con frecuencia se caracteriza por el término de balancín de manivela para indicar que la manivela 2 gira completamente y que el eslabón 4 oscila como se muestra en la figura 2.5 a. En la forma análoga, el término doble manivela indica que tanto el eslabón 2 como el 4 giran completamente como se aprecia en las figuras 2.5b y c. El ténnino doble balancín indica que tanto el eslabón 2 como el 4 oscilan, como se 1
aprecia en
la
figura 2.2.
Una manera de determinar
un mecanismo de cuatro barras va a operar como balancín de manivela, doble manivela o doble balancín consiste en emplear la
si
ley de Grashoff. Esta ley señala
más
largo y del
más
que
menor que
corto es
suma de las longitudes del eslabón suma de las longitudes de los otros dos,
si la
la
se forman:
más
ma-
1.
dos balancines de manivela distintos cuando
2.
nivela y cuando cualquiera de los otros dos eslabones es el eslabón fijo una doble manivela cuando el eslabón más corto es el fijo
3.
un doble balancín cuando
el
eslabón opuesto
el
al
eslabón
más
corto es
corto es
la
el fijo.
Además, si la suma de las longitudes de los eslabones más largo y más corto es mayor que la suma de las longitudes de los otros dos, solamente se pueden producir mecanismos de doble balancín. También, si la suma de los eslabones más largo y más corto es igual a la suma de los otros dos, los cuatro mecanismos posibles son semejantes a los descritos anteriormente en los incisos 1.2 y 3. Sin embargo, en este último caso las líneas de los centros de los eslabones se pueden
hacer colineales de manera que
el
eslabón movido puede cambiar
la
dirección de
menos que se provea alguna forma para evitarlo. La figura 2.5 b muestra este tipo de mecanismo en el que los eslabones se hacen colineales a lo largo de la línea de centros 6L0 4 En esta posición, la dirección de rotación del eslabón movido 4 puede cambiar a menos que la inercia lleve al eslabón más allá de rotación a
.
este punto.
44
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
2.3
ANÁLISIS DE POSICIÓN DE MECANISMOS DE
ESLABONES ARTICULADOS MEDIANTE ECUACIONES DE CIERRE DEL CIRCUITO Y
MÉTODOS ITERATIVOS mecanismos mediante métodos como el que describió en la sección 2. Éstos se conocen como métodos de forma cerrada; decir, se requiere un número finito de cálculos para encontrar una solución
Es posible Analizar se
es
la
mayoría de 1
los
.
teóricamente exacta. Desafortunadamente, sin embargo, es
un
difícil desarrollar
paquete de análisis auxiliado por computadora mediante este enfoque debido a
que cada tipo diferente de mecanismo generalmente requiere un método de análisis particular y un programa particular de computadora. Por esta razón se han desarrollado varios programas para
mecanismos, disponibles comercialmente, basados en métodos iterativos. Los métodos iterativos tratan de converger en una solución mediante cálculos repetitivos. Debido a esto no se sabe de antemano cuántos cálculos se requerirán y ni siquiera si es posible enconel
análisis de
una solución. Los conceptos básicos del análisis iterativo para mecanismos se ilustrarán a continuación con un ejemplo de un mecanismo de cuatro barras. Considere el mecanismo de cuatro barras de la figura 2.6, con el ejex de las coordenadas a lo largo del eslabón que. está fijo. Debido a que los eslabones de estrar
1
te
mecanismo forman un
circuito cerrado, la
súma de
eslabones debe ser cero. Esto puede expresarse
las
como
componentesxyy de
los
sigue:
Componentes x: r
-lx
r4
eos 0 4
-
r2
-
r2
sen 0 2
eos 0 2
—
r3 eos 0 3
=
0
(2.7)
Componentes y: r4
sen 0 4 y
-
r3 sen 0 3
=
0
(
2 8) .
ANALISIS DE POSICIÓN DE MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
En
análisis de posición se
conocen
45
y r4 de los eslabones y el problema consiste en encontrar los ángulos 0 3 y 0 4 para un valor dado de H v Así, las ecuaciones 2.7 y 2.8 parecen ser un conjunto sencillo de dos ecuaciones el
con
las
longitudes
,
/\, r 3
dos incógnitas 0 3 y 0 4 El problema es que estas ecuaciones son trascendentales y no es posible obtener una solución lineal simple. las
.
Observe que
ecuaciones anteriores sólo quedaran satisfechas para aque-
las
valores particulares de 0 3 y 0 4 que cierren el circuito del mecanismo. Estos valores con frecuencia se conocen como las raíces de la ecuación. Para cualquier llos
valor de 0 y 0 4 diferentes a las raíces, las igualdades no quedaran satisfechas, por 3 lo que en general
+
r,
r4
r4
r2
sen0 4 -
en donde se utilizó Encontrar
-
eos 0 4
la
eos 0 2
-
sen0 2 -
r2
r3
eos 0 3
=
r3
sen 0 3
= /2 (0 3
/j(0 3
notación abreviada 0 = 0 3 0 4 ,
,
,
04 )
=
04 )
= /
(2.9)
/,(0)
2
(2.10)
(0)
.
de estas ecuaciones es ahora equivalente a encontrar
las raíces
de 0 3 y 0 4 para los cuales 7,(0) y/,(0) son simultáneamente iguales a cero. En este punto se podría usar una solución de prueba y error para encontrar los valores
las raíces.
Sin embargo, un procedimiento
una aproximación te
lineal a las
mucho más
eficiente consiste en usar
funciones en búsqueda de soluciones sucesivamen-
mejoradas.
Suponga, por ejemplo, que los valores de los ángulos 0 3 y 0 4 se eligieron arbitrariamente. En general, estos valores no serán raíces de las ecuaciones. Exisdarán las ten, sin embargo, algunos valores A0 3 y A0 4 que, al sumarlos a 0 3 y 0 4 raíces. Esto puede expresarse como sigue: ,
+ A0 3
/,(03
Una aproximación términos de
la
+ A0 4 ) =
04
la
+ A) =
0
i
= l,2
(2.11)
para esta función se obtiene tomando los dos primeros
lineal
/,(B)
+
/
0f,(B)
\
00 .
al
punto 0 3 y 0 4
es posible resolver los valores para los valores de la
aproximadamente
2 12 .
)
A0 y A0 4 que 3
función lineal es una aproximación razo-
función original, estos valores también deberán hacer que
original sea
:
(
llevarán esta función lineal a cero. Si
nable a
/,-(©
expresión de su serie de Tavlor respecto
7(0 + A)
Ahora
,
la
función
igual a cero. Al hacer la función lineal igual a cero,
se obtiene 0,/i(B)
/0MB)
\
A0; 00
/ ;
\
004
A0 4 - o
l
=
(2.13)
,
46
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
Sustituyendo las siguientes
/
=
1
e
/
= 2 en
la
ecuación
2.
1
3 y
reordenando términos, se obtienen
ecuaciones:
jA0, +
-/,(»)
(
2 14
|a0, +
-/:( 0 )
(
2 15 )
.
)
ae,
\
*
B) \
Una vez que
.
ae,
hecho una estimación inicial para los valores de 0 4 y 0 4 los valores de/,(0) y./^(0) pueden calcularse a partir de las ecuaciones 2.9 y 2.10. Las derivadas parciales que se necesitan en las ecuaciones 2.14 y 2. 5 resultan ser se ha
,
1
a/.(0)
=
r,
sen 0
00 , d/,(0)
= — r4
sen 0 4
00 4 (
d/:(0)
= -r,
eos
2 16 .
)
0,
00 , 0/:(0)
=
r4
eos 0 4
00 4
que las derivadas parciales de la ecuación 2. 6 se evalúan con los valores estimados de 0 y 0 4 las ecuaciones 2. 4 y 2. 5 son en realidad dos ecuaciones 3 lineales con las dos incógnitas A0. y A0 4 Al resolver simultáneamente estas ecuaciones se obtienen los valores de A0, y AB 4 que, al sumarse a los valores estimados de 0 3 y 0 4 harán la función lineal aproximada igual a cero. Aun cuando
Debido
a
1
1
,
1
.
,
generalmente estos valores no serán iguales a serán una mejor estimación.
.
la
de
la
función original,
sí
estimación mejorada, se efectúa una
función y se calcula un nuevo conjunto de Este proceso se repite hasta que las raíces de la función
segunda aproximación valores para 0, y 0 4
Empleando
las raíces
lineal para la
aproximada producen valores de la función original que son casi iguales a cero. El método que se acaba de describir es una de las técnicas numéricas mejor conocidas y más utilizadas para encontrar raíces. Se le conoce como el método de Newton-Raphson. El siguiente ejemplo numérico ayudará a mostrar los detalles de este método y su aplicación en el análisis de mecanismos.
Ejemplo
mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 2.6. resuelva el problema de análisis de posición empleando el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces. Use 0^ = 60° y las siguientes dimensiones para los eslabones: /*, = 7 pulg, /\ = 3 pulg, r, = 8 pulg y = 6 pulg. 4 2.2.
Para
el
/
Antes de proceder con 04
con
las
cuales se hará
la
el
análisis deberán obtenerse estimaciones iniciales de 0, y
iteración.
Normalmente,
el
análisis de posición
comienza en
e
ANALISIS DE POSICION DE MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS alguna posición
47
conocida del mecanismo y procede incrementando el ángulo de entrada en una cantidad pequeña. Los valores de B, y 0 en la posición previa generalmen4 te son una buena estimación de los valores correspondientes en la posición actual. Otro inicial
enfoque consiste en estimar estos valores en forma cia rápida del
método de Newton-Raphson
gráfica. Para
B,,
se estimará en 100°. Sustituyendo estos valores estimados junto
y
2. 10)
las
y también en las expresiones para
+
6 eos 100°
/,(0)
7
/:(«)
6 sen 100°
-
8 sen 0°
=
0
-6 sen
100°
d/,(0)
-
convergen-
B,,
con
las
dimensiones co-
ecuaciones de cierre del circuito (ecuaciones 2.9 las
derivadas parciales (ecuación
3 eos 60°
-
3 sen 60°
la
y B 4 que se sabe que o se estimará en 0 y el valor para B 4
se elegirán valores para
están alejados de las raíces verdaderas. El valor para
nocidas del mecanismo articulado en
demostrar
-
8 eos 0
8 sen 0
o
=
o
2. 16).
se obtiene
= -3.542
3.311
C>03
d/i (
)
= -5.909
ae 4 a/:(Q)
= -8
o
= -8.000
6 eos 100°
= -1.042
eos 0
00,
d/:(6)
=
00 4
Sustituyendo estos valores en ecuaciones lineales con
(0)
las
ecuaciones 2.14 y 2.15 se obtienen incógnitas AB, y A0 4 las
las siguientes
:
A0 3 + (-5.909) A0 4 = 3.542
(-8.000) A0 3 + (- 1.042) A0 4 = -3.311 Resolviendo para A0, y AB 4 se obtiene A0,
= 0.492
rad
=
28.185°
A0
4
= -0.599
rad
= -34.344
Al sumar estos resultados a los valores estimados de 0, y 0 4 se obtienen las siguientes estimaciones mejoradas.
0-,
=
0°
04
=
100°
+
28.185°
-
=
34.344°
28.185°
=
65.656°
Los valores de las funciones y de las derivadas parciales se vuelven a calcular usando estos nuevos valores, y de esta forma se obtiene un segundo conjunto de valores B aproximados. Este proceso se repite hasta que los valores de/j(0) y Á(0) son iguales a cero, o hasta que ya no pueda obtenerse una mayor mejora. La figura 2.7 muestra el diagrama de flujo
de ese proceso
BASIC,
iterativo. El
se muestra en
la
programa correspondiente de computadora,
figura 2.8. Los resultados de este
escrito en
programa después de cada
4X
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS I
FIGURA iteración se presentan en
2.7
la
tabla 2.
1
.
Raphson converge rápidamente para
TABLA
Es evidente, de esta tabla, que
el
método de Newton-
este ejemplo.
Resultados del programa de
2.1
análisis iterativo. e,
04
/,(©)
/:(B)
ú/i
/
dB,
0.000
100.000
-3.542
3.311
0.000
28.185
65.656
0.922
-0.910
3.778
22.897
71.663
0.018
-0.015
3.113
22.812
71.798
0.000
- 0.000
3.102
AB,
AB
ófJ ó 6
0/;/00 4
-5.909
-8.000
-
-5.467
d/i
/
rt0 4
a
1.042
28.185
-34.344
-7.051
2.473
-5.287
6.008
-5.695
-7.370
1.888
-0.085
0.134
-5.700
- 7.374
1.874
- 0.000
- 0.000
;
;
"
)
)
ANALISIS DE MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
49
***************************************************************** 20 20 * MECHANISM DESIGN - DISPLACEMENT ANALYSIS (5/27/85) 30 Uses Newton-Raphson root finding method to determine unknown 40 '* angles of links 3 & 4 of a four bar linkage. * 50 Mabie and Reinholtz, 4th Ed. * 60 Program revised by - Steve Wampler (6/ 5/85) ****************************************************************** 70 80 CLS clear the screen then ask user to discribe mechanism 90 INPUT "Enter angular displacement of link 2 (degrees) " ;THETA2 •
'
'
'
'
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370
INPUT "Guess angular displacement for link 3 (degrees) " ;THETA3 INPUT "Guess angular displacement for link 4 (degrees) " ;THETA4 INPUT "Enter link lengths rl r2 , r3 , r4 " ; Rl R2 , R3 , R4 PRINT: PRINT" THETA3 THETA4 FUNC.l FUNC.2 DELT3 DELT4 DEG2RAD=3 . 14159/180 'constant to convert from degrees to radians THETA2=THETA2*DEG2RAD:THETA3=THETA3*DEG2RAD:THETA4=THETA4*DEG2RAD FUNC. 1=1 'forcé next WHILE statement to be true WHILE ABS(FUNC. 1) >.001 OR ABS FUNC. 2 > 001 'loop until roots found Evalúate loop equations FUNC. 1=R1+ R4 *COS THETA4 - R2 *COS THETA2 - R3 *COS THETA3 FUNC. 2= (R4*SIN(THETA4) - R2 *SIN THETA2 - R3 *S I N THETA3 Evalúate partial derivatives DF1DT3 = R3 *SIN( THETA3 'Partial of fuñe. 1 w/respect to theta3 DF1DT4=-R4 *SIN THETA4 'Partial of fuñe. 1 w/respect to theta4 DF2DT3=-R3 *COS THETA3 'Partial of fuñe. 2 w/respect to theta3 DF2DT4=R4 *COS THETA4 'Partial of fuñe. 2 w/respect to theta4 Now solve 2 eq.s in 2 unknowns with Cramer's Rule. DEL=DF1DT3 *DF2DT4— DF1DT4 *DF2DT3 'cale, del function DELTA THETA4= DF2DT3 *FUNC. 1-DF1DT3 *FUNC. 2 /DEL DELTA. THETA3=- (DF2DT4 *FUNC. 1-DF1DT4 *FUNC. 2 )/DEL Output the results PRINT USING "####.### " THETA3/DEG2RAD, THETA4/DEG2 RAD PRINT USING "4###.### " FUNC. 1 , FUNC. 2 PRINT USING "####.### "; DELTA. THETA3/DEG2 RAD DELTA. THETA4/DEG2 RAD make new guess for both theta 3 and theta 4 THETA3=THETA3+DELTA. THETA3 THETA4=THETA4+DELTA THETA4 WEND do loop again if roots have not been found PRINT: LINE INPUT "Press RETURN to rerun program ...";A$:RUN ,
(
)
(
(
.
'
)
(
(
)
)
(
)
)
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
)
)
'
.
(
)
'
; ;
,
'
.
:
'
2.8
ANÁLISIS DE MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS MEDIANTE EL PROGRAMA
INTEGRADO PARA MECANISMOS Como
(
(
'
FIGURA
2.4
,
mencionó en
se
la
(IMP)
sección anterior, se han desarrollado varios programas,
que están disponibles comercialmente, para el análisis de mecanismos y que se basan en métodos iterativos para la solución de ecuaciones de cierre del circuito. Uno de los programas más ampliamente utilizados es el Programa Integrado para Mecanismos (Integrated Mechanisms Program), conocido como IMP. Este programa fue desarrollado por Sheth y Uicker y se distribuye actualmente por 1
Dynamics Research Corporation,
Structural
International
'P.
N. Shct y
System
for
J. J.
2 .
subsidiaria de General Electric
El profesor Uicker y sus asociados
Uicker,
CAE
han desarrollado otro programa
“IMP (Integrated Mechanisms Program), A Computer-Aided Design Analysis
Mechanisms and Linkages”, Journal ofEngineeringforlndustry,
Trans.
ASME,
Vol. 94,
pp. 454-464. 2
“IMP. Integrated Mechanisms Program”, Structural Dynamics Research Corporation, Milford, OH.
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
5 ()
IMF que está
siendo distribuido por
JML
Research Inc
3 .
IMF
El sistema
es capaz
de analizar desplazamientos, velocidades, aceleraciones y tuerzas en una amplia variedad de mecanismos de eslabones rígidos en dos y tres dimensiones. Debe
empleo de
programa no sustituye al conocimiento sólido de los principios cinemáticos básicos. No obstante, puede relevar al diseñador de muchos de lottcálculos rutinarios- y ofrecer capacidades de análisis más avanzadas de las que se pueden obtener mediante cáleulos manuales o programas escritos por el propio usuario. Por estas razones los programas como el IMF se están convirtiendo rápidamente en herramientas indispensables para los diseñadores indestacarse que
el
este
dustriales. El siguiente
ejemplo
ilustrará la
manera en que
este
programa puede plan-
tearse para analizar los desplazamientos angulares de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo de cuatro barras.
Ejemplo
2.3.
En
el
mecanismo de cuatro
barras mostrado en
la
figura 2.9 a.
el
eslabón
motriz y gira completamente, y el eslabón 4 oscila. Utilice el programa IMP para determinar los ángulos que corresponden a las posiciones extremas del eslabón 4. 2 es
el
Las designaciones
OH2 A B ,
,
y
OHA
en
la
figura 2.9 a representan pares de giro o
revolutas (uniones o articulaciones) y sólo penniten rotación relativa. Estas posiciones contendrán los rodamientos en un mecanismo real. Los extremos de cada eslabón termi-
narán en un punto que es
BB4
y
004.
centro de lajevoluta. En
la
figura 2.9 b,
el
eslabón 2 está
002
y AA2. el eslabón 3 por los puntos AA 3, y BB 3 y el eslabón (El empleo de una sola letra. A por ejemplo, para designar una revoluta,
definido por los puntos
4 por
el
y de una letra doble, AA para designar un punto, se escogió por conveniencia para evitar el confusión al especificar el modelo para el mecanismo.) Como se ilustró en el capítulo ,
1
punto
AA
es un punto en
ambos eslabones
2 y 3 y
el
punto
BB
es
común
,
en los eslabones
De manera similar, el punto 002 es común a los eslabones y 2, y el punto 004 es común a los eslabones y 4. Las designaciones adicionales en el mecanismo para especi3 y 4.
1
1
ficar estos
puntos se muestran en
la
figura 2.9 b. Es
muy
importante que las revolutas y los
puntos se distingan claramente.
^‘THE INTEGRATED
MECHANISMS PROGRAM
(IMP):
A
Problem Oriented Language for the
Computer-Aided Design and Analysis of Mechanical Systems”,
JLM
Research
Inc.
2
4
ANALISIS DE MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS li
5J
(REV)
Puntos
AA2, AA3 BB3, BB4 002, 004
OH
OH
(REV)
FIGURA
2.9b
Las declaraciones para
programa IMP
(REV)
004
002
las revolutas
que se van
a enlistar en la entrada para el
se indican a continuación:
GROUND= FRAME REVOLUTE FRAME LNK2 =OH2 REVOLUTE LNK2 LNK3 = A REVOLUTE LNK3 LNK4 = B REVOLUTE LNK4 FRAME =OH4 )
(
,
)
(
,
(
,
(
,
Deberá notarse en eslabón 3 relativo eslabón
)
)
la lista
al
anterior que
eslabón
2, el
patrón es:
eslabón 4 relativo
A' iniciar y terminar con
4.
el
el
el al
eslabón 2 relativo eslabón 3 y
el
bastidor,
el
bastidor relativo
al
al
de que
el
circuito
las revolutas
y darles
bastidor, se satisface el requisito
debe estar cerrado. El siguiente
una designación
paso consiste en determinar
como
las
se muestra en la figura 2.9 c.
coordenadas de
También debe
elegirse la orientación
de dos sistemas de coordenadas locales unidos a los eslabones a cada lado de
Todos
los datos para las
uniones de revoluta deben darse con relación
al
las revolutas.
marco global de
referencia.
Los datos para cada revoluta deben ahora enlistarse en la entrada para el programa IMP con una declaración data:revolute. Esta contendrá (a) las coordenadas de la revoluta. B (9.2242,5.9388,0)
OH 4
OH 2 (
FIGURA
2.9c
0 0 0 ,
,
)
(
10 0 0 ,
.
)
0
0
0
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
52
que son también
origen de los dos sistemas de coordenadas locales; ( b un punto en los
el
)
estos sistemas; y (c) y (d) puntos en los ejes x
comunes de
ejes z positivos, locales y
primer y segundo eslabón menrevoluta. La forma más fácil de dar
positivos de los sistemas de coordenadas locales para
cionados en
la
declaración correspondiente para
la
el
direcciones en los incisos (c) y (d) consiste en pasar desde OH2 hasta A para la dirección x a lo largo c^el eslabón 2 para ta. revoluta OH2, y para el caso de la revoluta A regresar
desde A hasta OH2. Las direcciones de
forma
jan en
similar.
Los datos para
las
coordenadas .y para
las revolutas
son
como
las otras
revolutas se
mane-
sigue:
DATA: REVOLÓTE (OH2 )=0 0,0/0, 0,1/1, 0,0/ -2. 1213, 2. 1213,0 DATA REVOLÓTE A = - 2 .1213, 2. 1213, 0/-2. 1213. 2. 1213, 1/0, 0,0/$ 9 2242 5 9388 DATA REVOLÓTE B = 9 2242 ,5.9388,0/9. 2242 ,5.9388,1 /$ .
)
(
:
,
.
)
(
:
.
,
.
-2.1213,2.1213,0/10,0,0 DATA REVOLÓTE OH4 = 0,0,0/10,0,1/9.2242,5.9388,0/12,0,0 )
A
1
(
:
continuación se enlistan los datos para los puntos dados en
el
sistema de coordenadas
locales de las uniones o articulaciones asociadas.
PO NT LNK2 =002 AA2 DATA PO NT 002 OH2 = 0 DATA PO NT AA2 A = 0 0 PO NT LNK3 = AA3 BB3 DATA PO NT AA3 A = 0 0 DATA PO NT BB3 B = 0 0 PO NT LNK4 = BB4 004 DATA PO NT BB4 B = 0 0 DATA PO NT 004 OH4 = 0 ZOOM 7 = 5 1.5,0 )
(
I
,
:
:
I
(
,
I
(
,
)
,
,
0
,
0
,
,
:
:
I
(
,
)
,
,
I
(
,
)
,
,
)
,
,
(
I
,
)
(
I
)
)
:
:
(
,
I
(
,
I
(
,
)
)
,
,
RETURN El
programa IMP se corrió en una computadora
anterior de datos de entrada. El ángulo
OH4 las
manecillas del
de
rio al
las
toma con
reloj). El
manecillas del
manecillas del la
1/780 utilizando
mínimo de desplazamiento
reloj). El
eslabón 2 relativo
el
IMP
define
reloj. El
(negativo debido a que se toma con
en
1
para
se muestra en la figura 2.9 d. El valor del ángulo para la unión
(positivo debido a que se
de
VAX
como
valor del ángulo para
el
OHA
es de
-
1
1
bastidor relativo
al
la
unión de salida
OH2
es de 15.68°
en sentido contrario
unión
OH2
OHA
eslabón 4, en
ángulo máximo de desplazamiento para
7.55°.
listado
al
positivo a los ángulos en sentido contra-
figura 2.9e. El valor del ángulo para la unión
unión
al bastidor,
la
el
la
unión
el
es de -42.55°
sentido de las
OHA se muestra
es de 2 6.25°, y el ángulo para 1
la
MECANISMO BIELA-MANI VELA-CORREDERA
2.5
53
MECANISMO BIELA-MANIVELA-CORREDERA
mecanismo se emplea ampliamente y encuentra su mayor aplicación en el motor de combustión interna. La figura 2.10a muestra una ilustración en la que el eslabón es el marco (que se considera fijo), el eslabón 2 es la manivela, el eslabón 3, la biela y el eslabón 4, la corredera. En el motor de combustión interna, Este
1
el
eslabón 4 es
el
pistón sobre
por medio de
la biela a la
cual
el
el
gas ejerce presión. Esta fuerza se transmi-
manivela (cigüeñal). Se puede ver que durante el ciclo hay dos puntos muertos, uno en cada posición extrema de la carrera del pistón. Para vencer estos puntos muertos es necesario fijar un volante en el cigüeñal para poder pasar dichos puntos muertos. Este mecanismo también se emplea te
en las compresoras de aire en las que un motor eléctrico cual a su vez
mueve
al
la
ecuaciones para
el
do
la
al
cigüeñal,
el
pistón que
Al considerar este
plazamiento de
comprime el aire. mecanismo, con frecuencia
mueve
es necesario calcular
el
des-
corredera y su velocidad y aceleración correspondientes. Las desplazamiento, velocidad y aceleración se obtienen emplean-
figura 2.10 b:
x
= R + L - R
eos 0
— L
eos eos
= /?(!-
eos 0)
+ L( 1 -
= R(\ —
eos 0)
+ L
1
-
4>
4>)
sen 2 0
(2.17)
)
54
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS *
Para simplificar
dolo con
la
la
expresión anterior,
B^ + _ 2
Por
minos de Por
puede aproximar reemplazán-
radical se
serie binomial
(1
en donde
el
B = R/L (
sen
lo general, es
•
4
1
2
^ 3 II" •
4
6
•
•
1
2
•
3
4
•
•
5 fí
6
•
s
8
B.
bastante exacto emplear solamente los dos primeros
la serie.
lo tanto.
sen 2 0
sen 2 0
(aproximadamente)
y
.v
= R{
en donde B = mí debido a que
co
1
cos B)
+
es constante, y
— 2L R
:
seir 0
tér-
2
MFC'ANISMO
Es posible en este mecanismo dejar
manera obtener figura 2.1
I
a
la
más eslabones,
tres inversiones, las
BII
fijo
LA-MANIVI I.A-COKRI
algún eslabón distinto
cuales se muestran en
manivela se mantiene
tija
la
al
DI
1
RA
55
y de esta
figura 2.11.
En
la
y se permite el movimiento de los deutilizado en los primeros motores de
que da un mecanismo aviación, conocidos como motores rotatorios debido a que el cigüeñal estaba fijo y los cilindros giraban alrededor del mismo. Una aplicación más moderna de esta inversión se encuentra en el mecanismo Whitworth, el cual se estudiará en el tema de los mecanismos de retorno rápido. La figura 2.11/? muestra una inversión en la que la biela se mantiene tija. Esta inversión en forma modificada es la base para el mecanismo de cepillo de manivela que se estudiará posteriormente. La lo
tercera inversión en
la
que
la
corredera se mantiene
tija,
como
se ve en
la
figura
bombas de agua manuales. Una variante del mecanismo biela-manivela-corredera se puede obtener aumentando el tamaño del perno de la manivela hasta que sea mayor que la flecha 2.
le, a
1
a la
veces se usa en
que está unida
y,
las
a la vez,
desplazando
el
centro del perno de
la
manivela del
manivela se denomina excéntrico y se puede emplear para sustituir la minivela en el mecanismo original. La figura 2. muestra un dibujo en en el que el punto A es es centro del excéntrico y el punto O el centro de la flecha. El movimiento de este mecanismo con la longitud equivalente OA de la manivela es idéntico al de la biela-manivela-corredera. Sin embarde
la
ílecha. Este perno
agrandado de
la
1
fic;lra
2.12
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
56
I
go, una seria desventaja de este
cuada entre
el
excéntrico y
transmitir.
2.6
YUGO ESCOCÉS *
es
el
problema de
cual limita
la biela, lo
puede
mecanismo
mecanismo
la
la
lubricación ade-
cantidad de potencia que se
que proporcionan movimiento armónico simple. Su primera aplicación fue en bombas de vapor, aunque ahora se usa como un mecanismo en una máquina de prueba para producir vibraciones. También se emplea como generador de senos-cosenos en dispositivos de cálculo. La figura 2.13« muestra una ilustración de este mecanismo; la figura 2.13/? muestra la forEste
ma como
es
uno de
se genera el
movimiento annónico simple.
dad angular constante las v) se
de
el
los
co
.,
y
proyección del punto
la
mueve con movimiento armónico
círculo corta
el eje
x= Por
de lasx y crece a
r— rcos0 r
El radio r gira a
P
sobre
el eje
de
una velocilas
x (o de
simple. El desplazamiento desde donla
izquierda es
donde 0 =
o> /
(2.20)
lo tanto,
x =
V =
r(l
—
eos
dx —
=
rio r
(o r t)
sen
co r t
= no
r
sen 0 r
(
2 21 )
(
2 . 22 )
.
dt
A -
d~x
=
,
reo;
eos to r í
=
,
reo;
eos 0 r
dt~
Otro mecanismo que proporciona un movimiento armónico simple es
la
leva circular (excéntrica) con un seguidor radial de cara plana, que se estudiará
en
el
siguiente capítulo.
FIGURA
2.13
MECANISMOS DE RETORNO RAPIDO 2.7
57
MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO
Estos mecanismos se emplean en máquinas-herramienta para producir una carre-
de corte y una carrera rápida de retorno para una velocidad angular constante de la manivela motriz. Son una combinación de mecanismos simples de eslabones como el mecanismo de cuatro barras y el mecanismo biela-manivelara lenta
También
emplea una inversión de la biela-manivela-corredera combinada con este mismo mecanismo pero en forma convencional. Al diseñar mecanismos de retomo rápido, es de suma importancia la relación del ángulo de la manivela para la camera de corte con respecto al de la camera de retomo; esta relación se conoce como relación de tiempo. Para producir un retorno rápido de la herramienta de corte, esta relación debe ser obviamente mayor que la unidad y tan grande como sea posible. A manera de ejemplo, el ángulo de la manivela para la carrera de corte del mecanismo mostrado en la figura 2. 4 está marcado con a y para la camera de retomo está marcado con (3. Suponiendo que la manivela opera a velocidad constante, entonces la relación de tiempo es a/(3, que es mucho mayor que la unidad. Existen varios tipos de mecanismos de retomo rápido, los corredera.
se
1
cuales se describen a continuación:
Eslabón de arrastre Este mecanismo se obtiene
a partir del
mecanismo de cuatro bamas
articuladas y
un velocidad angular constante del eslabón 2. el 4 gira a una velocidad no uniforme. El ariete 6 se mueve con velocidad casi constante durante la mayor parte de la camera ascendente para producir una case muestra en la figura 2.15. Para
Carrera
de corte
FIGURA
2.14
FIGURA
2.15
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
58
I
rrera ascendente lenta y una carrera descendente rápida gira en el sentido de las manecillas del reloj.
cuando
el
eslabón motriz
Whitworth Este es una variante de
que
la
la
primera inversión de
manivela se mantiene
eslabón 2
como
el
Mecanismo de mecanismo
fija.
La figura
2.
1
la
biela-manivela-corredera en
6 muestra
el
mecanismo y
tanto
la
el
4 giran revoluciones completas.
cepillo de
manivela
es una variante de
segunda inversión de la biela-manivelacorredera en la cual la biela se mantiene fija. La figura 2. 14 muestra el arreglo en el que el eslabón 2 gira completamente y el eslabón 4 oscila. Si se reduce la Este
distancia
0 04 hasta ser menor que 1
vierte en un
la
la
manivela, entonces
el
mecanismo
se con-
Whitworth.
Mecanismo biela-manivela-corredera descentrado Como lo muestra la figura 2.17, el mecanismo biela-manivela-corredera
puede estar descentrado, lo que produce un movimiento rápido de retorno. Sin embargo, la cantidad de retomo rápido es muy pequeña, por lo que el mecanismo solamente se debe usar en los casos en que^el espacio esté limitado y el mecanismo deba ser sencillo.
i
FIGURA
2.17
MECANISMOS DE LINEA RECTA
59
2.8
MECANISMO DE PALANCA Este
mecanismo
muchas aplicaciones en
que es necesario vencer una gran resistencia con una fuerza motriz pequeña. La figura 2. 8 muestra el mecanismo; los eslabones 4 y 5 tienen la misma longitud. Al disminuir el ángulo a y tiene
las
1
conforme los eslabones 4 y 5 tienden a ser colineales, la fuerza /-'necesaria para vencer una resistencia dada P disminuye en la forma mostrada por la siguiente relación:
— = P Se puede ver que para una
aproxima
al
infinito.
F
2 tan
a
(2.23)
dada, conforme
a
se
aproxima
a cero,
P
se
Las quebradoras de piedra utilizan este mecanismo para
vencer una gran resistencia con una fuerza pequeña. Este mecanismo puede emplearse tanto en forma estática
como
dinámica,
como
se
puede ver en
los
muchos
dispositivos de sujeción de palanca para fijar piezas de trabajo.
FIGURA
2.
IX
JUNTA OLDHAM
2.9
conexión de dos flechas paralelas que están ligeramente desalineadas de manera que se pueda transmitir una relación constante de velocidades angulares desde la flecha motriz a la movida. La figura 2.19 muestra Este
mecanismo permite
una ilustración de
2.10
Como
la
la
misma. Este mecanismo es una inversión
del
yugo escocés.
MECANISMOS DE LÍNEA RECTA
nombre, estos mecanismos están diseñados de manera que un punto de uno de los eslabones se mueve en una línea recta. Dependiendo del mecanismo, esta línea recta puede ser una linea recta aproximada o teóricamente lo indica su
correcta.
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
60
I
FIGURA
FIGURA
FIGURA
2.20
Un ejemplo tra
en
2.19
2.21
de un mecanismo de línea aproximada es
la figura 2.20. El
punto
P se localiza de manera que
sean inversamente proporcionales a las longitudes
O^A y
el
los
Watt, que se mues-
segmentos
Oa B.
Por
AP y BP
lo tanto,
si
los
eslabones 2 y 4 tienen la misma longitud, el punto P debe ser el punto medio del eslabón 3. El punto P sigue una trayectoria en forma de un 8. Una parte de esta
aproxima mucho a una línea recta. El mecanismo Peaucellier es uno que genera una línea recta exacta. La figura 2.21 muestra una ilustración en la cual los eslabones 3 y 4 son iguales. Los eslabones 5, 6, 7 y 8 también son iguales y el eslabón 2 tiene la misma longitud que la distancia 0 2 O r El punto P sigue la trayectoria de una línea recta exacta. Los mecanismos de línea recta tienen muchas aplicaciones; entre las más destacadas están los mecanismos para los indicadores de motores y para el equipo de interruptores eléctricos. trayectoria se
2.11
PANTÓGRAFO
emplea como dispositivo de copiado. Cuando se hace que un punto siga una determinada trayectoria, otro punto del mecanismo traza una trayectoria idéntica amplificada o reducida. La figura 2.22 muestra una ilustración de este mecanismo. Los eslabones 2, 3, 4 y 5 forman un paralelogramo y el punEste
mecanismo
se
RUEDAS DH CAMARA C
FIGURA
P
4
B
4
P
2.22
una extensión del eslabón 4. El punto Q está en el eslabón 5 en la intersección de una línea trazada desde O hasta P. Cuando el punto P dibuja una trayectoria, el punto O traza una trayectoria semejante a escala reducida.
to
está en
Este
mecanismo
tiene
muchas aplicaciones en
los dispositivos
de copiado,
máquinas de grabado y de trazo de perfiles o contornos. Uno de los usos de las contomeadoras es para la fabricación de dados o moldes. El punto P hace la función de un dedo y traza el contomo de una plantilla en tanto que una pequeña fresa giratoria se coloca en Q para maquinar el dado a una escala más en especial en
las
pequeña.
RUEDAS DE CÁMARA
2.12 Este
mecanismo toma
nes. El
distintas
formas
las cuales
caen dentro de dos clasificacio-
primer tipo está formado por dos ruedas con lóbulos que operan dentro de
una caja o alojamiento. Un ejemplo de este tipo es el ventilador Roots, el cual se muestra en la figura 2.23. Los rotores son cicloides impulsadas por un par de engranes acoplados, del mismo tamaño, colocados en el fondo de la caja. En las aplicaciones modernas, el ventilador Roots tiene tres lóbulos en cada rotor y se emplea en el supercargador de baja presión en los motores Diesel. La otra clase de ruedas de cámara tiene solamente un rotor colocado caja y por lo general es una variante del mecanismo biela-manivela-corredera. La figura 2.24 muestra una ilustración de este tipo. El
excéntricamente dentro de
FIGURA
2.23
la
62
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS »
FIGURA
2.24
mecanismo mostrado se diseñó originalmente para las máquinas de que en su aplicación moderna se emplea bajo la forma de bomba. Otro ejemplo del segundo tipo de ruedas de cámara es la
figura 2.25 que ilustra
FIGURA
2.25
el
principio del
vapor, aun-
que se muestra en motor Wankel. En este mecanismo, los el
JUNTA DE HOOKE gases en dilatación actúan sobre
el
rotor de tres lóbulos,
el
fi3
cual gira directamente
excéntrico y transmite el par de torsión a la flecha de salida por medio del excéntrico que forma parte de la flecha. La relación de fases entre el rotor y la rotación de la flecha excéntrica se mantiene por medio de un par de engranes
sobre
el
internos y externos (que no se muestran) de rotor se controla debidamente.
2.13
manera que
el
movimiento
orbital del
JUNTA DE HOOKE
Esta junta se emplea para conectar dos flechas que se intersecan. También se
conoce con
campo
el
nombre de junta
universal y su
mayor aplicación
automotriz. La figura 2.26 muestra una ilustración de
2.27 presenta un modelo comercial. En
FIGURA
la
figura 2.26.
el
se encuentra en el
junta, y la figura eslabón 2 es el motriz y el la
Junta universal de tipo Hooke. (Cortesía de Mechantes Universal Joint División, Borg-Warner Corp.) 2.27
le
64
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
eslabón 4 es
movido. El eslabón 3 es una pieza en cruz que conecta los dos yugos. Se puede demostrar que aunque ambas flechas deben completar una revolución en
el
el
mismo
tiempo,
la
relación de las velocidades angulares de las dos
flechas no es constante durante
ángulo
(3
entre las flechas y
ción está dada
la
revolución, sino que cambia en función del
ángulo de rotación 0 de
el
la
flecha motriz.
La
rela-
como
—
COSP
=
(i>2
- sem
1
La figura 2.28 muestra una gráfica de para un cuarto de revolución de efecto de un ángulo
(3
la
(3
sem
(2.24, 0
esta ecuación en
flecha motriz, en
grande entre
coordenadas polares
donde se indica claramente
el
las flechas.
Es posible conectar dos flechas mediante dos juntas de Hooke y una flecha intermedia de manera que la relación desigual de velocidades de la primera junta
quede cancelada por la segunda. La figura 2.29 muestra esta aplicación cuando las dos flechas 2 y 4 que se van a conectar no están en el mismo plano. La conexión debe efectuarse de manera que las flechas motriz y movida, 2 y 4, formen ángulos iguales (3 con la flecha intermedia 3. También se deben conectar los yugos de la flecha 3 de manera que cuando un yugo esté en el plano de las flechas 2 y 3, el otro yugo esté en el plano de las flechas 3 y 4. Si las dos flechas que se van a conectar están en el mismo plano, entonces los yugos de la flecha intermedia son paralelos. Una aplicación de dos juntas universales que conectan flechas que
ÜJ.
FIGURA
2.28
JUNTAS UNIVERSALES DF VELOCIDAD CONSTANTE
están en la
el
mismo
mayoría de
2.14
plano es
los autos
la
transmisión automotriz Hotchkiss que se emplea en
con tracción
trasera.
JUNTAS UNIVERSALES DE
VELOCIDAD CONSTANTE Durante muchos años,
los ingenieros
han tratado de desarrollar una sola junta
universal capaz de transmitir una relación constante de velocidades. Para ello se
propusieron varias juntas que eran variantes del principio de Hooke, incluso una
desde 1870, en
la
que se reducía
la
longitud de
la
flecha intermedia a cero. Sin
embargo, hasta donde se sabe, las juntas con este diseño nunca se han empleado comercialmente. La necesidad de tener una junta universal capaz de transmitir una relación constante de velocidades angulares aumentó con el desarrollo de la tracción delantera para los automóviles. Ciertamente se podían emplear dos juntas de Hooke y una Hecha intermedia, aunque esta solución no era totalmente satisfactoria.
Con una transmisión como
que se necesita en las ruedas delanteras de un automóvil, en que el ángulo (3 es a veces bastante grande, las condiciones cambiantes hacían casi imposible obtener una relación constante de velocidades angulares.
La introducción de Francia satisfizo
la
la
juntas Weiss y Rzeeppa en Estados Unidos y la Tracta en necesidad que se tenía de una junta universal de velocidad
las
La junta Weiss se patentó originalmente en 925,1a Rzeppa en 1928 y la Tracta en 1933. La operación de estas juntas no se basa en el mismo principio que la junta de Hooke. La figura 2.30 muestra una junta Benclix-Weiss. Como se ve en la figura, se forman ranuras simétricas entre sí alrededor de las líneas de los extremos de los constante.
1
66
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
yugos y hay cuatro bolas de acero localizadas entre estos extremos en un punto en el que los ejes de las ranuras de un yugo intersecan los ejes de las ranuras del otro yugo. La potencia se transmite desde la flecha motriz a la flecha movida por medio de estas bolas. Una quinta bola con una ranura proporciona la fijación del conjunto de las partes a la vez que absorbe el empuje longitudinal. Durante la operación, las bolas cambian sus posiciones automáticamente según cambia el desplazamiento angular de las dos flechas, de manera que el plano que contiene los centros de las bolas siempre biseca 'el angqlo entre las dos flechas, bn consecuencia, se obtiene una relación constante de velocidades angulares a partir de
una fotografía de la junta Bendix-Weiss. La figura 2.3 muestra una junta Rzeppa (se pronuncia “shepa") de tipo de campana. La junta está formada por un alojamiento esférico y una pista interna con ranuras correspondientes en cada parte. Seis bolas de acero insertadas en esta condición. La figura 2.33 muestra 1
estas ranuras transmiten la torsión de
la
flecha motriz a
la
flecha movida. Las
bolas se encuentran en ranuras curvas en las pistas y quedan en posición mediante una jaula que está entre las pistas. Los centros de curvatura para las pistas
ranuradas están desplazados en direcciones opuestas respecto ta
o articulación a
centro de
la
jun-
Los desplazamientos controbolas de manera que sus centros siempre se encuentran
lo largo
lan las posiciones de las
al
de
los ejes
de
las flechas.
en un plano que biseca los ángulos entre
FIGURA
2.31
las flechas.
Con
los centros
de
las tle-
JUNTAS UNIVERSALES DL VELOCIDAD CONSTANTE chas en este plano,
la
67
junta o articulación transmitirá una relación constante de
velocidades angulares. La figura 2.33 muestra una fotografía de una junta R/eppa.
La figura 2.32 muestra una junta Tracto que está formada por cuatro partes: dos flechas con extremos bifurcados y dos piezas semiesféricas, una con una lengüeta y la otra con una ranura para recibir la lengüeta. Adicionalmente, cada uno de los cuerpos semiesféricos tiene una ranura que permite la conexión de la horquilla. Las horquillas subtienden un ángulo mayor de 80° de manera que se autofijan cuando se ensamblan. La lengüeta y su ranura están perpendiculares a las ranuras que reciben a las horquillas. Cuando la junta se ensambla, los ejes de las piezas semiesféricas siempre deben permanecer en el mismo plano gracias a la unión de la lengüeta y la ranura. También, al ensamblar la junta, las horquillas quedan en libertad de girar alrededor de los ejes de los cuerpos semiesféricos que I
están en
plano de
lengüeta y la ranura. En las aplicaciones industriales la junta se mantiene debidamente alineada el
la
mediante dos alojamientos esféricos que no se muestran. Cuando se arman, los alojamientos proporcionan una cubierta del tipo de rótula que soporta las flechas
momento en un punto equidistante miembros semiesféricos. Con esta alineación, la junta Tracta
de manera que sus ejes se intersecan en todo de los centros de los
movimiento con una relación constante de velocidades. La figura 2.33 muestra una fotografía de una junta Tracta. transmite
el
Además de
las
juntas de velocidad constante estudiadas anteriormente, se
ha desarrollado otro tipo de junta conocida
FIGURA
2.32
como
junta tri-pot. La junta tri-pot
68
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS \
FIGURA
2.33
un alojamiento cilindrico con tres barrenos axiales, equidistantes y parcialmente cilindricos. Los barrenos axiales alojan a una araña que tiene tres muñones, con una bola montada en cada uno de éstos. Los puntos de contacto entre las bolas y los barrenos de alojamiento siempre se encuentran en un plano que biseca tiene
el
ángulo entre
las
dos flechas. En consecuencia, siempre se transmitirá una velo-
cidad angular constante entre
flecha de entrada y la flecha de salida a cualquier ángulo entre las flechas. La araña generalmente se encuentra acoplada mediante
estrías a
una flecha, y
La junta
el
la
alojamiento se une mediante tornillos a
tri-pot se usa
extensamente en
las
la
otra flecha
4 .
transmisiones automotrices de
tracción delantera en combinación con
la
junta Rzeppa, empleándose esta ultima
primera para
la
junta interior.
para
4
la
junta exterior y
la
Machine Design (1984 Mechanical Drivers Reference ,
Issue), "Universal Joints”. pp. 72-75.
MEC ANISMOS OH MOVIMIENTO INTERMITENTE
59
Rzeppa
Tripot
FIGURA
Unidad para tracción delantera. (Cortesía de Saginavv Steering Gear División, General Motors Corporation.) 2.34
La figura 2.34 muestra una unidad de transmisión delantera con una junta Rzeppa y una junta tri-pot. En los vehículos con tracción delantera, si las ruedas delanteras se diseñan con una suspensión independiente, es necesario emplear dos juntas de velocidad constante por eje para tener en cuenta el movimiento de la
suspensión y
2.15
el
ángulo de
la
rueda.
MECANISMOS DE MOVIMIENTO INTERMITENTE
Hay muchos casos en
que es necesario convertir un movimiento continuo en movimiento intermitente. Uno de los ejemplos más claros es el posicionamiento de la masa de trabajo de una máquina-herramienta para que la nueva pieza de trabajo quede frente a las herramientas de corte con cada posición de la mesa. Hay varias formas de obtener este tipo de movimiento. los
Rueda de Ginebra Este mecanismo es muy
útil
para producir un movimiento intermitente debido a
choque durante ei acoplamiento. La figura 2.35 muestra una ilustración en donde la placa que gira continuamente, contiene un perno motriz P que se embona en una ranura en el miembro movido 2. En la ilustración, el que se minimiza
el
1
,
70
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
miembro
2 gira un cuarto de revolución por cada revolución de
ranura en
el
to
miembro
la
el
choque. Esto significa que
el
1
.
La
momenángulo O PO^
2 debe ser tangente a la trayectoria del perno
de embonarse para reducir
placa al
x
También se puede ver que el ángulo (3 es la mitad del ángulo que miembro 2 durante el período de posicionamiento. Para este caso, p es
debe ser gira el
recto.
igual a 45°.
miemformas más
Es necesario proporcionar un dispositivo de fijación de manera que bro 2 no tienda a girar cuando no esté siendo posicionado.
Una de
las
el
montar una placa de fijación sobre la placa cuya superficie convexa se acopla con la superficie cóncava del miembro 2, excepto durante el período de posicionamiento. Es necesario cortar la placa de fijación hacia atrás para proporcionar espacio para que el miembro 2 gire libremente a través del sencillas de hacerlo es
1
ángulo de posicionamiento. El arco de holgura o igual al doble del ángulo a. Si
una de
las
P
en
la
placa de fijación es
miembro 2 está cerrada, entonces la placa solaun número limitado de revoluciones antes de que el perno
ranuras del
mente puede efectuar
libre
1
ranura cerrada y se detenga el movimiento. Esta modificación se conoce con el nombre de parada o tope de Ginebra y se emplea en relojes de pulso y dispositivos análogos para evitar que la cuerda se enrolle demasiado. llegue a
la
MECANISMOS DE MOVIMIENTO INTERMITENTE
7J
Mecanismo de trinquete mecanismo se emplea para producir un movimiento circular intermitente a partir de un miembro oscilatorio o reciprocante. La figura 2.36 muestra los detalles. La rueda 4 recibe movimiento circular intermitente por medio del brazo 2 y Este
el
trinquete motriz
cuando
3.
Un segundo
trinquete 5 impide que la rueda 4 gire hacia
brazo 2 gira en el sentido de las manecillas del reloj al prepararse para otra carrera. La línea de acción PN del trinquete motriz y del diente debe pasar entre los centros O y A, como se muestra, con el proposito de que el trinqueatrás
el
permanezca en contacto con
te 3
el
diente.
La
línea
de acción (que no se muestra)
O
trinquete de fijación y el diente debe pasar entre los centros y B. Este mecanismo tiene muchas aplicaciones, en especial en dispositivos de conteo.
para
el
Engranaje intermitente mecanismo
cargas son ligeras y el choque es de importancia secundaria. La rueda motriz lleva un diente y el miembro movido Este
se aplica en los casos en
que
las
un número de espacios de dientes para producir
el
ángulo necesario de posiciona-
miento. La figura 2.37 muestra este arreglo. Se debe emplear un dispositivo de
que la rueda 2 gire cuando no está marcando. En la figura se muestra un método; la superficie convexa de la rueda se acopla con la superfifijación para evitar
1
cie
cóncava entre
los espacios de los dientes del
miembro
2.
Mecanismos de escape mecanismo
uno en que
una rueda dentada, a la que se aplica torsión, con pasos discretos bajo la acción de un péndulo. Debido a esta acción, el mecanismo se puede emplear como dispositivo de tiempo, y es precisamente como tal que encuentra su máxima aplicación en los relojes de paEste tipo de
es
se permite girar a
72
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
red y de pulso. Una segunda aplicación consiste en emplearlo para controlar el desplazamiento, la torsión o la velocidad.
Hay muchos gran exactitud es
que se usa en los relojes debido a su escape de volante mostrado en la figura 2.38.
tipos de escapes, pero el
el
como gobernador
FIGURA
2.38
ELEMENTOS DE CALCULO
73
El volante y el pelo (resorte fino) constituyen un
período
péndulo de torsión con un oscilación en un ciclo). La rueda de escape se
tiempo para la mueve por la acción de un resorte principal y un tren de engranes (que no aparece ilustrado) y tiene una rotación intermitente en el sentido de las manecillas del reloj, gobernado por la palanca. La palanca permite a la rueda de escape avanzar un diente por cada oscilación completa del volante. En consecuencia, la rueda de lijo (el
escape cuenta energía
número de veces que el volante oscila y también proporciona volante por medio de la palanca para compensar las pérdidas por fric-
al
el
ción y por efecto del aire. Para estudiar el movimiento de este sidere
la
palanca detenida contra
el
la
rueda de escape que actúa sobre
en
el
sentido contrario
contra la
la
las
A de
la
la
el
diente
A
piedra de paleta izquierda. El volante gira
manecillas del reloj de manera que su joya choca
palanca, moviéndola en
palanca hace que
diente
de
a lo largo de un ciclo, con-
perno del lado izquierdo mediante
de
al
mecanismo
el
sentido de las manecillas. El movimiento de
piedra izquierda de paleta se deslice y que destrabe el rueda de escape, con lo que ahora la rueda gira en el sentido de las la
manecillas y la parte superior del diente A da un impulso a la parte inferior de la piedra izquierda al deslizarse por debajo de la misma. Con este impulso la palanca comienza a
mover
la
joya, con lo que da energía
al
volante para mantener su
movimiento.
Después de que la rueda de escape gira una pequeña distancia, vuelve al reposo nuevamente cuando el diente B choca contra la piedra derecha de paleta, la que ha bajado debido a la rotación de la palanca. Esta choca contra el perno del lado derecho y se detiene, aunque el volante sigue girando hasta que su energía es vencida por
la
tensión del pelo,
fricción del pivote y la resistencia del aire. de la rueda de escape sobre la piedra de paleta derela
La fuerza del diente B cha mantiene a la palanca asegurada contra el perno del lado derecho. El volante completa su giro, invierte la dirección y vuelve con un movimiento en el sentido de las manecillas del reloj. Ahora la joya choca contra el lado izquierdo de la reloj.
palanca y mueve a ésta en el sentido contrario al de las manecillas del Esta acción libera el diente B. el cual da un impulso a la palanca por medio
de
piedra derecha. Después de una pequeña rotación de
ranura de
la
vuelve
al
la
reposo cuando
Otro nombre con
el
diente
A choca contra
la
la
rueda de escape,
piedra izquierda.
que se conoce al escape de volante es el de escape de palanca desprendida debido a que el volante está libre y sin contacto con la palanca durante la mayor parte de su oscilación. Debido a esta libertad relativa del volante, el escape tiene una exactitud de ± 1%. El lector interesado en obtener mayor información con relación a los escapes y sus aplicaciones puede consultar una de las muchas referencias acerca del tema.
2.16
el
ELEMENTOS DE CÁLCULO elementos de cálculo mecánico encontraron una amplia aplicacomputadoras analógicas para la solución de ecuaciones complicadas.
En una época, ción en las
los
74
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
Se utilizaban para el control de misiles guiados, control de amias de fuego, visores de bombardeo, y muchos otros sistemas, tanto comerciales como militares. Aun
cuando
los sistemas
los sistemas
de cálculo electrónicos han reemplazado en gran medida a
mecánicos, hay muchos casos en que
los dispositivos
preferibles debido a que no requieren energía eléctrica.
Con
mecánicos son
esta ventaja, las uni-
dades mecánicas se adaptan'particularmente para su uso en ambientes peligrosos
como
de tuberías o ductos de petróleo y gas. Los elementos mecánicos de cálculo, además de su habilidad para generar
y en lugares remotos
los sistemas
funciones matemáticas particulares, también se emplean para producir diversos tipos de
movimientos en
son los integradores,
la
maquinaria de producción. Ejemplos notables de esto
las levas
de contorno, engranes de contorno o no circulares,
y los diferenciales. Estos mecanismos tienen una gran contabilidad y larga vida.
2.17
INTEGRADORES
La figura 2.39 muestra un mecanismo para integración. El disco 2 gira moviendo las bolas que se posicionan mediante el portador 3 de las bolas. Las bolas, a su vez, mueven el rodillo 4. La acción de rodamiento puro se mantiene entre el disco y las bolas y entre el rodillo y las bolas. Las variables de entrada son la velocidad de rotación del disco 2 y el desplazamiento axial r de las bolas. El resultado es la
mecanismo de
salida del rodillo 4. Por lo tanto, la acción de)
R debido a que
la
d0 4
=
la
relación
r í/0 2
distancia lineal recorrida por
ser igual a la recorrida por la bola inferior en
la el
bola superior en
el
disco 2 debe
rodillo 4. Integrando la ecuación
anterior se tiene
6j
=
rde -jj
FIGURA
2.39
J
2
(2.25)
INTFGRADORHS en donde r es una función de
muy
importante en
el
MR
75
constante de integración y es diseño de un sistema integrador. La unidad también se 0-,.
El valor
es
la
puede emplear como multiplicador tomando a r como una constante durante cada operación. La unidad generada entonces 0 = (r/R) 0^. 4 La ecuación 2.25 también se puede expresar en función de x y y z. Si .v ,
representa
mediante
v,
la
rotación 0 2
,
que es igual a
yen estas cantidades en
la
la
posición r del portador de las bolas se representa
y la salida 0 4 se representa mediante z y se sustituecuación 2.25, se obtiene
/(x),
(
Estas cantidades se muestran esquemáticamente en
En que
la
el
integrador, la entrada
entrada
y
.r
y
la
la
2 26 ) .
figura 2.40.
salida z son rotaciones de flechas, en tanto
es una distancia lineal desde el portador de las bolas hasta
el
movimiento axial necesario para y, con frecuencia se emplea un tomillo de avance, con lo que se puede emplear la rotación del tornillo, que es proporcional a la posición del ponador, para representar ay. En consecuencia, la entrada y la salida son rotaciones de flechas. La figura 2.41 centro del disco. Para proporcionar
.V
=
el
f(x)
FIGURA
.v
FIGURA 2.41 Un integrador. (Cortesía de LIBRASCOPE, división de la SINGER Company.) Continúa en la si(
guiente página.)
2.40
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
76
FLECHAS DF IMPULSION DEL DISCO
RESORTE DE TENSION
CARRO NUEVO DE LAS SOLAS DEL
MICRO-RODAMIENTO
ESTAS FLECHAS TIENEN AJUSTE EXCÉNTRICO
DISCO
BOLAS
ENTRADA DF:I INTEGRANDO
CILINDRO DE SALIDA
FLECHA DEL CILINDRO
FIGURA
continuación )
2.41
(i
muestra un integrador comercial. La teoría de en
el
capítulo
En
de contorno se presenta
3. •V
2.18
las levas
.
SÍNTESIS
mecanismos estudiados en este capítulo se han dado las proporciones de ios mecanismos y el problema ha consistido en analizar el movimiento producido por dichos mecanismos. Sin embargo, un problema completamente diferente consiste en comenzar con el movimiento requerido y tratar de adecuar un mecanismo los
que produzca dicho movimiento. Este procedimiento se conoce como sintesis de mecanismos. La siguiente sección describe un problema típico de diseño de un mecanismo y muestra cómo puede aplicarse la síntesis para encontrar una solución. El Introducción a la síntesis, describe el problema de síntesis en térmicapítulo nos más generales y presenta diversos métodos gráficos y analíticos para la solución. 1
2.19
1
,
ESTUDIO DE UN CASO EN EL DISEÑO DE MECANISMOS: EL HYDROMINER 5
El diseño de
mecanismos y
su implementación en las
un proceso iterativo complejo en
"C. R. Barker,
el
máquinas es con frecuencia
que se deben considerar muchos factores
“Hydrominer Spray Ami Drive System Design". Proceedings ofthe Fifth
Mechanisms Conference.
OSU Applied
ESTUDIO DE UN CASO EN EL DISEÑO DE MECANISMOS relacionados en cada etapa del diseño. Por
lo tanto, sería
77
imposible condensar los
detalles de un diseño real en una sola sección de un libro de texto.
No obstante,
es
examinar unas cuantas de las consideraciones cinemáticas detalladas que entran en el diseño de una máquina. El ejemplo que se presenta en esta sección muestra que, aun cuando la cinemática de un dispositivo puede ser sencilla, el diseño de una máquina completa es generalmente bastante complicado. instructivo
El valor del
carbón mineral
como
fuente de energía a largo plazo está bien
documentado. Igualmente documentadas están
condiciones sucias y peligrocarbón se extrae típicamente. En un esfuerzo por superar
sas bajo las cuales
el
estos problemas,
Departamento
el
las
del Interior de los Estados
Unidos comisionó
a
Universidad de Missouri en Rolla para desarrollar un dispositivo para la explotación de minas de carbón que utilizara chorros de agua a alta presión en lugar de la
hojas de sierra mecánica para cortar dispositivo para
la
carbón. El principio de operación de este
el
explotación de minas, conocido
como el hvdrominer
.
se
mues-
Los chorros de agua socavan la superficie del carbón. Una cuña móvil es forzada dentro de la abertura hecha por los chorros de agua para desprender mecánicamente grandes secciones de carbón en forma de vigas en cantiliver, transferidas posteriormente en un transportador. El empleo de chorros de agua es mejor que el empleo de sierras ya que se elimina el polvo y se reduce el riesgo de explosiones de gas provocadas por chispas. El diseño del hydrominer requiere que tres chorros de agua a alta presión oscilen verticalmente a lo largo del borde del separador o arado como se muestra en la figura 2.43. Cada brazo rociador pivotea en torno a una unión giratoria y se requiere que se balancee a lo largo de un arco de 29° y que oscile a una frecuencia de hasta 200 ciclos/s. Las toberas operan a una presión de 0 000 Ib- pulg- con un diámetro de salida de 0.004 pulg, produciendo una velocidad de salida de mas de tra
en
la
figura 2.42.
1
000 pies/s para el chorro de agua. Este diseño es capaz de cortar un canal en el carbón de 2 pulg de ancho y 20 pulg de largo, y de 24 a 30 pulg adelante del arado. 1
Mi Chorro de agua '
Carbón de piedra
—
‘
>
...A
mmm
y'
:>;>
' '
'
'
'' :
.
:
:
;
Hydrominer
Carbón que está siendo desprendido
FIGURA
2.42
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
78
Chorro de agua
FIGURA
En
el
2.43
diseño
inicial del
hydrominer.
la
oscilación de los brazos rociadores
mediante cilindros hidráulicos accionados por medio de un sistema combinado de control eléctrico e hidráulico. Sin embargo, pronto se hizo manise controlaba
que este sistema sería demasiado lento y produciría movimientos con sacudidas en los brazos que dañarían la consistencia del chorro. También se notó que este sistema no sería confiable trabajando en un ambiente húmedo y sucio. Por lo tanto, se investigó una solución alterna que empleara un sistema de accionamiento fiesto
con un mecanismo de cuatro barras.
mecanismo de cuatro barras es una elección lógica debido a que es sencillo y confiable. El empleo de un mecanismo del tipo de palanca acodada oscilante proporciona el movimiento oscilatorio requerido en el brazo de salida, en El
tanto que
embargo,
eslabón de entrada se acciona a una velocidad angular constante. Sin
el
se impusieron varias restricciones para el diseño del
requería que
el
no interrumpir
que
el
mov imiento de la
brazos de salida fuera suave y continuo a fin de consistencia de los chorros de agua. Obviamente, se requería
mecanismo
interfiriera
con
mecanismo. Se
los
los
se ajustara a las
miembros
dimensiones
físicas del
hydrominer y que no
estructurales del dispositivo. Finalmente, para
me-
ESTUDIO DE UN CASO EN EL DISEÑO DE MECANISMOS
79
acción cortante en los puntos extremos del recorrido de los hra/os rociadores, se requería que el brazo intermedio encontrara a los brazos exteriores en sus dos posiciones extremas. En otras palabras, el brazo intermedio tenía que
jorar
estar
la
1
80
fuera de fase con los brazos exteriores.
Al diseñar un mecanismo de accionamiento se deben reconocer varias características importantes del movimiento. Primeramente, la velocidad del brazo rociador debe ser igual a cero en los puntos extremos del ciclo de oscilación. Esto se ve fácilmente al observar que la posición angular del brazo alcanza un valor
máximo
en uno de los puntos extremos y un valor mínimo en el otro. En estos extremos, la velocidad (la derivada de la posición con respecto al tiempo) debe ser igual a cero.
tomo
Asimismo,
es deseable hacer que las carreras de avance y de re-
aproximadamente el mismo lapso de tiempo. Debido a que el eslabón de entrada girará a una velocidad angular constante, este requisito puede satisfacerse haciendo que la posición del eslabón en las dos posiciones extremas difiera en 80°. Una suposición final es que el mismo brazo rociador funcione como un eslabón del mecanismo. En la figura 2.44 aparece un sistema cinemático del concepto propuesto (un mecanismo de cuatro barras articuladas). Este mecanismo es similar al que se del brazo rociador ocurran en
1
sección 2.3, pero con
analizó en
la
ángulo
Escribiendo
B,.
Componentes
eslabón de
tierra) inclinado a
un
ecuaciones de cierre del circuito se obtiene
+
r*
eos 0 4
—
r4
eos B 4
—
sen B : +
r?
sen B,
-
rA
sen 0 4
-
eos B :
Posición extrema superior del brazo rociador
'77V77'
RA
base (de
r,
eos
B,
=
0
(
2 27
)
(
2 28
)
.
v:
r:
FIGl
la
v:
r:
Componentes
las
el
2.44
/,
sen
B,
=
0
.
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
80
*
Tomando nen
derivadas con respecto
las
tiempo de estas dos ecuaciones se obtie-
al
ecuaciones de velocidad del cierre del circuito
las
-
c
ü) 2 r 2
t
sen 0 3
+
eos 0 2 ~-4- o> 3 r3 eos 0 3
-
-
ú 2 r2 sen 0 2
ü) 3 r 3
ü) 4 r 4
o) 4 r 4
sen 0 4
=
0
(
2 29 )
eos 0 4
=
0
(
2 30 )
.
.
notando que 0 es constante. Los siguientes parámetros se sustituyen en estas ecuaciones en cada una de las dos posiciones: ,
Posición
(posición extrema superior):
1
—
02
=
03
021
=
ü) 3
031
04
00 31
=
165.5°
=
ü) 4
0
Posición 2 (posición extrema inferior): 02
=
+
021
180°
03
=
Sustituyendo estos valores en 2.30) se obtiene un total 0-p, co 30 ,
r
y
o) /o)^ 3
0 32
ü> 3
=
0) 32
=
©4
194.5°
0) 4
=
0
ecuaciones de velocidad (ecuaciones 2.29 y de cuatro ecuaciones con siete incógnitas ( 0 ^,, 0 31 o) 31 las
,
,
y r 3 ). Dividiendo las cuatro ecuaciones entre y considerando a r-J como una variable cada una de ellas (es decir, usando a r, y como
factores de escala) se obtienen cuatro ecuaciones con cinco incógnitas. Resol-
viendo para 0 31 y 0 32 en función de 0 n| se obtiene ®31
que significa que
—
Y
^2i
^32
—
®21
y 3 están en línea en las dos posiciones de interés. Este resultado es importante ya que muestra que las dos posiciones extrelo
los eslabones 2
mas de un mecanismo de
cuatro barras del tipo de palanca acodada oscilante
(balancín de manivela) ocurren cuando
el
eslabón de entrada y
eslabón de
el
acoplamiento son colineales.
Usando
este resultado y sustituyendo los valores conocidos de las dos posiciones en las ecuaciones 2.27 y 2.28 se obtienen cuatro ecuaciones con seis inr
cógnitas
(
0 21
0,, r,, r2 , r3 ,
,
eos 0 21
r2
r2
r2
+
eos (0 21
r2
sen(0 2
,
+
sen 0 21
180°)
180°)
+ -f
T +
y r4 ). Estas pueden escribirse
r3
eos 0 2
r3
r3
sen 0 2
eos 0 2
r}
i
,
i
sen 0 21
-
r4
r4
r4
r4
eos 165.5°
-
sen 165.5°
-
eos 194.5°
-
sen 194.5°
-
como
sigue:
r,
eos
0,
=
0
(
2 31 )
r,
sen
0,
=
0
(
2 32 )
r,
eos
0,
=
0
(
2 33 )
r,
sen
0,
= 0
(
2 34 )
.
.
.
.
*
ESTUDIO DE UN Restando
la
ecuación 2.33 de
la
(
ASO EN EL DISEÑO DE MEC ANISMOS
ecuación 2.3
I
y notando que cosfO^ +
I
#1
S()°)
=
-eos 0 2| se obtiene ,
=0
2/y eos 0^,
lo
que significa que o bien 0 O| = 90° ó 0^ = —90°
positiva para 0
2|
en
las
si
r
±
0.
ecuaciones 2.32 y 2.34 y sumando
/*!
sen 0
Sustituyendo
las
la
raíz
dos se obtiene
=
(2.35)
(
De manera
similar, restando la ecuación 2.34
4/ 2
=
0j
=
la
ecuación 2.32 se obtiene
/*
(2.36)
4
Finalmente, sustituyendo este resultado de
eos
de
la
ecuación 2.31 se obtiene
(2.37)
3 .873/%
Las ecuaciones 2.35, 2.36 y 2.37 muestran que hay dos elecciones libres a disposición de! diseñador. Por ejemplo, el diseñador puede elegir /\ y 4 para satisfacer /
otros requerimientos del sistema y calcular /*,. 0, y r a partir de las ecuaciones. 2 La figura 2.45 muestra una familia de seis posibles soluciones para las ecuaciones
=
0 pulg. La figura 2.46 muestra el diseño final del método para obtener la relación de fases correcta entre el
de diseño, todas ellas con
%
1
sistema motriz y el brazo intermedio y los brazos exteriores.
FIGURA
2.45
MECANISMOS
82
ESLABONES ARTICULADOS
DF.
I
Problemas 2. 1 .
mecanismo de cuatro barras articuladas mostrado en la CM - 2: pulg, AB = pulg y 04 B - i, 2\ y 3) pulg. Dibuje
En
2 pulg,
el
1
1
'
figura el
el
caso de que oscilen, determine
las
sea
0^0 4 =
mecanismo a
natural para los tres juegos de dimensiones y determine para cada caso
y 4 giran u oscilan. En
2. 1,
si
los
escala
eslabones 2
posiciones límite.
mecanismo de cuatro barras articuladas mostrado en la figura 2. el eslabón 2 debe girar completamente y el 4 debe oscilar dentro de un ángulo de 75°. El eslabón 4 debe tener 14 mm de longitud, y cuando este en una posición extrema, la distancia 2 2. .
En
el
1
.
1
0~,B debe ser de 102
mm,
y en
la
otra posición
extrema debe ser de 220
longitud de los eslabones 2 y 3 dibuje el mecanismo a escala mine los ángulos de transmisión máximo y mínimo. 2 3. .
mm. Determine
como comprobación.
la
Deter-
mecanismo de eslabón de arrastre mostrado en la figura 2.5r, LM = 76.2 = 02 mm y O B = 27 mm. ¿cuál puede ser la longitud máxima de 0-,0 para la a 4
Si para el
mm, AB
1
1
operación correcta del eslabón? 2 4 .
.
En
mecanismo de cuatro barras
el
articuladas mostrado en
la
figura 2.47.
la
parte del eslabón fijo y su línea de centros es un arco circular de radio R. Dibuje
nismo a escala natural
y,
velocidad angular
w4
es igual a
Indique
1
rad/s.
de
la
usando
la
construcción gráfica, determine
corrredera cuando el
sentido de
co
4
.
el
mecanismo
la
guia es
el
meca-
magnitud de
esta en la fase
mostrada y
la
to.
PROBLEMAS
2 5 .
Considerando
.
obtenga
las
el
mecanismo biela-manivela-corredera mostrado en
ecuaciones para
función de R, L.
0, cu
y
.
el
No
.
el
.
constante Obtenga
las
figura
2. 10/).
desplazamiento, velocidad y aceleración de la corredera en debe hacer aproximaciones; oj debe ser constante.
La ecuación aproximada para biela-manivela-corredera es x - R( 2 6
la
83
desplazamiento de cosO) + (R
I
ecuaciones para
la
2
la
corredera en
2L) serrO, v H -
velocidad y
la
es
si uj
no es constante. 2 7 .
Escriba un programa de computadora para calcular
.
el
desplazamiento,
la
velocidad
y aceleración de la corredera del mecanismo mostrado en la figura 2. 10. Emplee tanto las ecuaciones exactas como las aproximadas. Sea R = 2 pulg, L = X pulg. tu — 2 400 rpm.
Calcule
el
desplazamiento,
la
velocidad y
la
aceleración a intervalos de 10° de 0 desde 0
hasta 360°.
Un mecanismo
2 8. .
biela-manivela-corredera tiene una longitud
R de
la
minivela igual a
mm
y opera a 250 rad/s. Calcule los valores máximos de velocidad y aceleración y determine los ángulos de la manivela en los que ocurren estos valores máximos para
50
bielas de longitudes de 200,
que
o
230 y 250 mm.
Utilice ecuaciones
aproximadas y suponga
es constante.
movimiento armónico simple del yugo escoces figura 2.13) con el movimiento de la biela-mam vela-corredera. Sea n 800 rpm. R - 2 pulg. L- 8 pulg. para el mecanismo biela-mamv ela-corredera. y = 2 pulg para el yugo escoces. Varié el ángulo 0 desde 0 hasta 360° (en sentido contrario 2 .9
Escriba un programa de computadora para comparar
.
el
(
I
/-
manecillas del reloj) y calcule el desplazamiento, la velocidad y la aceleración para cada valor de 0. Utilice las ecuaciones aproximadas para el mecanismo biela-mani-
al
de
las
vela-corredera y suponga que 2 10 .
.
En
el
|
3
i
Q.
ID
Jl.
FIGURA
2.28.
Demuestre que
los
2.52
puntos
P y Q en
el
pantógrafo mostrado en
la
figura 2.22 trazan
trayectorias semejantes. 2.29.
En
de 76.0
pantógrafo mostrado en
el
mm,
en tanto que
P traza otra
la
figura 2.54,
de 203
mm.
Si
el
punto
Q debe trazar una trayectoria
OP debe tener un distancia máxima de
394 mm, diseñe un pantógrafo que produzca el movimiento requerido usando una escala de 10 mm = 30 mm. Dibuje el mecanismo en sus dos posiciones extremas y dé trabajo de
las
dimensiones de
2.30.
Para
del eslabón
de 60°.
el
los eslabones.
mecanismo mostrado en
la
de salida (eslabón 4) cuando
figura 2.55, determine las posiciones angulares
el
eslabón de entrada (eslabón 2) esta a un ángulo
PROBLEMAS
FIGURA
FIGURA
2.53
2.54
0
2
A = 4 pulg (102 mm)
AB = 8
pulg
B = 4 pulg a AC = 6 pulg BC = 4 pulg
()
AD
2.31 6-,
Para
el
mecanismo de
y 0 4 en función de
C
0-,,
la
= 3 pulg
mm) mm) (152 mm) (102 mm) '76.2 mm) (203 (102
figura 2.56, construya una tabla que muestre los ángulos
o en incrementos de 10° de este último ángulo desde 0 hasta
O, A = 15 pulg
(381
(254 (254
(762 (437
FIGURA
2.56
S7
mm) mm) mm) mm) mm)
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
88
I
360°. Indique claramente cuáles son los valores de
0-,
para los que
el
mecanismo no
se
ensamblará.
Encuentre
2.32.
para
el
el
rango de posiciones angulares para
eslabón de salida (eslabón 4) para
el
eslabón de entrada (eslabón 2) y mecanismo de cuatro barras mostrado en la el
figura 2.57.
Para
2.33.
mecanismo mostrado en
el
del eslabón 3
ambos 2.34.
cierres del
Determine
mostrado en 2.35.
cuando
Para
cuando
la
el
(a) 0
2
el
la
eslabón 4 está en
figura 2.58. encuentre las posiciones angulares la
posición mostrada. Asegúrese de considerar
mecanismo. la
velocidad de
la
manivela del mecanismo biela-manivela-corredera
figura 2.59.
mecanismo mostrado en la figura =-30°; ( b ) 6, = 0 o (c) 0 2 = 30°.
2.60, determine los valores de 0 4 y
;
OyA = 6 pulg (152 mm) AB = 8 pulg (203 mm) 04 B = 6 pulg (152 mm)
FIGURA
2.57
FIGURA
2.58
y
PROBLEMAS
i'
H
A,.
= 8.79 pies/s
= 79.1 pies/s 2
=3
0,1
puig
IB = 7 pulg
89
(2.68 m/s)
(24
i
(76.2
(178
m/s 2
)
mm) mm)
(152 mm) = 3.79 pulg (96.2 mm)
0^4 = 6 pulg
AB
mecanismo combinado de barras articuladas de la figura 2.61, determine las posiciones angulares máxima y mínima para el eslabón de salida (eslabón 6) durante la 2
.
36
.
Para
el
rotación completa de res
de
2 . 37 .
la
la
manivela (eslabón
manivela cuando
Una
junta de
muestra en
la
rpm, calcule
el
2).
Determine también
las
posiciones angula-
eslabón de salida está en sus posiciones extremas.
Hooke conecta dos
flechas a un ángulo de 135°
((3
= 45°) como
se
figura 2.26. Si la velocidad angular de la flecha motriz es constante a 100
la
velocidad
máxima y mínima de
la
fecha movida.
desplazamiento angular y la velocidad angular del miembro movido de un mecanismo de Ginebra (figura 2.35) desde el punto en 2
.
38
.
donde
Obtenga el
las
ecuaciones que describen
perno motriz se acopla con
Encuentre
(3
ecuación de
la
rueda movida hasta
el
punto de desacoplamiento.
da/dj ) = dfi/di para determinar velocidad angular del miembro movido.
=/(a) y d$!da = /(a), y la
el
utilice {dfi/da)
(
la
0
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS
9 ()
I
(50 8
(102 (203 (102 (102 (104
2
.
39
.
Utilizando las ecuaciones obtenidas en
problema 2.38. escriba un programa de o para a desde 60° hasta 0 en decrcmentos el
computadora y calcule los valores de (3 y o de Considere que a en el punto del primer contacto = 60°, 000 rpm (constante). pulg. /7 — 1
mm) mm) mm) mm) mm) mm)
.
O P= ,
1
1
pulg, 0,0-,
=
3.'
1
1
2
.
40
.
nes: el
Diseñe un mecanismo de rueda de Ginebra que satisfaga
elemento motriz debe girar continuamente en tanto que
las siguientes el
condicio-
miembro movido
gira
intermitentemente efectuando un cuarto de revolución por cada revolución completa del
elemento motriz. La distancia entre 3; pulg. El
los centros de Lis flechas motriz y
diámetro del perno motriz debe ser de
x
pulg.
movida debe
Los diámetros de
ser de
las flechas
motriz y movida deben ser de * pulg y pulg, con un cunero para cuñas de ¿ x ^ pulg y 4 x 1 pulg, respectivamente. Muestre un cubo en cada miembro, con el cubo del elemento 1
motriz mostrado atrás de
la placa.
Los diámetros de
los
cubos deben ser de
diámetros de los barrenos. Asigne dimensiones a los ángulos a y
(3.
1
i
a 2 veces los
Capítulo Tres
Levas
Las levas desempeñan un papel
muy
importante dentro de
la
maquinaria moderna
y se emplean extensamente en los motores de combustión interna, máquinasherramienta, computadoras mecánicas, instrumentos y en muchas otras aplicacio-
Una
puede diseñarse en dos formas: (R
.
r
mencionó anteriormente, el ángulo de presión es una consideración importante cuando se diseñan levas con seguidores de carretilla. Es necesario mantener el ángulo máximo de presión tan pequeño como sea posible, mismo que se ha establecido en 30°. Sin embargo, en ocasiones se emplean mayores valores cuando las condiciones lo permiten. Aun cuando es posible hacer el diagrama de la leva y medir el ángulo máximo de presión, es preferible emplear métodos analíticos. Existen varios métodos disponibles, uno de los cuales fue desarrollado por Kloomok y Muffley, con el que el ángulo de presión se puede determinar en se
forma analítica ya sea para un seguidor oscilatorio. Aquí solamente se estudiará Para ra 3.30, el
radial de carretilla o
seguidor radial de
el
un seguidor radial carretilla.
leva de disco y el seguidor radial de carretilla mostrados en la figuángulo de presión OCA se designa mediante a y el centro de la leva
la
mediante O. Se supone que la leva es estacionaria y el centro del seguidor gira en recorriendo el el sentido de las manecillas del reloj desde la posición C hasta
C
ángulo pequeño A0. De acuerdo con
a
el
dibujo,
tan
1
CE CE
aproxima a cero, los ángulos OCE y ACC' se aproximan a 90°. Al mismo tiempo, CD se aproxima a CF, que es igual a R A0, y ambos se aproximan a CE. Por lo tanto.
Conforme A0
se
LF.VAS
124
Debido a que los lados de a y a' se vuelven mutuamente perpendiculares cuando A0 se aproxima a cero, a' se hace igual a a. Por lo tanto, .
J
a = tan
A
partir
de
la
ecuación
3.
1
dR
R ¿0
tan
/'( 9 )
,[
r» +
la
ecuación para
el
ángulo
m
2 se puede determinar una expresión para
cualquier tipo de movimiento. Sin embargo, con frecuencia es ver
'
máximo de
presión debido a
dental compleja que resulta. Por esta razón,
la
muy
(
3 12 )
a
para
.
difícil resol-
ecuación trascen-
Kloomok y Muffley emplean
no-
el
mograma desarrollado por E. C. Vamum que se presenta en la figura 3.3 (3 y U R 0 son los parámetros definidos anteriormente. El valor máximo del ángulo de presión se puede determinar a partir de este nomograma para los tres tipos de movi1
;
miento.
También
la
pueden determinar puntos en la superficie de figura 3.30. Las coordenadas del punto C están dadas por se
xc
- R
eos 0
yc
= R
sen 0
la
leva
empleando
(
3 13 ) .
a
LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR RADIAL DE CARRETILLA
FIGURA
3.31
Nomograma para determinar
el
125
ángulo máximo
de presión en una leva de disco con seguidor radial de carretilla. (Cortesía de E. C.
Varnum, Barber Colman Company.)
Las coordenadas del punto de contacto (punto A) se obtienen de las proyecciones x y y del segmento de línea CA y de las distancias x c y yc como sigue:
en donde
Rr
es
el
*4
= xc + R
,
eos
ya
= yc — R
r
sen
(tt
(tt
-
0
-
a)
-
0
-
a)
radio del rodillo. Simplificando estas expresiones mediante
identidades trigonométricas se obtiene
xA = xc -
R, eos (0
—
R, sen (0
)'
Ejemplo
3.5.
desplazamiento
-
)'c
a) (
Se desea que un seguidor total
-E
radial
+
3 14 ) .
a)
de carretilla se mueva a
de 0.75 pulg con movimiento cicloidal mientras
la
lo largo
de un
leva gira 45°. El
seguidor permanece en reposo durante 30° y luego regresa con movimiento cicloidal en ,0 Encuentre el valor de R 0 que limite a áx a 30°. El movimiento hacia afuera predomi'
.an debido a su
menor
(3.
)
levas
126
Para
—
= 45° y a
(3
=
.
(de
0.26
= 30°,
la
figura 3.3
1
Ru Por
lo
tanto.*
R,
—— 0.75
=
t
=
0.26
espacio no permite dicho valor de
Si el
que
la
2.NK pulg F h
leva gire
R (r
más rápidamente para mantener
valor de
el
el
puede aumentar y hacer
se
(3
tiempo de elevación en un valor cons-
tante.
El cálculo analítico de los
parámetros de
la
leva y
el
seguidor mediante una
calculadora manual se vuelve tedioso cuando se deben considerar varios ángulos
de
Afortunadamente, estos cálculos repetitivos se realizan conveniente-
la leva.
mente en una computadora digital. En el ejemplo siguiente se presenta un programa de computadora desarrollado para el caso de una leva de disco y un seguidor de carretilla con movimiento de traslación. El programa se escribió en BASIC en una computadora personal IBM. Aunque.este programa se escribió especi ticamente para una elevación cicloidal, reposo y reforno cicloidal, es muy sencillo generalizarlo para incluir otros tipos de especificaciones de movimiento u otras configuraciones del seguidor.
Ejemplo total
de 50.0
mantiene en cicloidal
de 25.0
Un
3.6.
C
-
seguidor radial de carretilla debe elevarse (subir) un desplazamiento
mm con movimiento cicloidal C-5 mientras la leva gira X0°. El seguidor se reposo durante los siguientes 90° y luego regresa 50.0 mm con movimiento 1
6 durante 90° de giro de
mm.
El radio
la leva.
tnimmo R de
la
()
Escriba un programa de computadora para calcular
el
superficie de peso es
desplazamiento
.S,
la
velocidad V y la aceleración A del seguidor a cada 10° de giro de la leva. El programa también deberá calcular el radio de la superficie de paso R. el radio de curvatura (p) y el
ángulo de presión (a) a cada 10° de giro de
Solución.
programa BASIC que
El
la leva.
se muestra en la figura 3.32 se desarrolló para re-
solver este problema. La corrida de este programa en una computadora personal
produjo
la
salida
que se presenta en
máximo de presión que el ángulo máximo de
la
tabla 3.
durante
y Estos valores son
presión durante
muy
grandes para
.
Observe en
la
salida del
la
el
retomo será de 54.2°
mayoría de
La corrida
el
del
programa
se ha escrito, dichos
programa usado R ()
= 50.0
el
el
= 70°
un valor de 9 = 320°. diseñador podría
radio del círculo base.
cambios requieren un mínimo de esfuerzo.
mm
máximo de
dio por resultado un ángulo
elevación y de 41 .6° durante el retomo. Observe también que a 350° superficie de paso tiene un valor mínimo tabulado de 14.
presión de 24.0° durante
la
curvatura p de la de giro de la lena. Debido a que ésta es una porción cóncava de la
a
las aplicaciones. El
desear que se mejoraran estos ángulos de presión incrementando
Una vez que
programa que
elevación será de 35.6° a un ángulo de leva 6
ángulo
la
1
IBM
1
la
mm
superficie de
la leva.
L
)
)
)
LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR RADIAL DE CARRETILLA
|
27
********************************************************** 10 BASIC program for cam design (3/27/85) 20 Disk cam with radial roller follower 30 40 Cycloidal rise - Dwell - Cycloidal return Mabie and Reinholtz, 4th Ed. 50 60 Program revised by Steve Wampler (5/28/85) ********************************************************** 70 80 INPUT "Mínimum pitch radius";R0 90 INPUT "Total follower displ acement " ; 100 INPUT "Rise angle (in degrees) " ;DEG . RISE 110 INPUT "End of dwell angle (in degrees) " ;DEG. DWELL 120 INPUT "Angle increment (in degrees) "; DEG . INC 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480
PI=3 .1415926# TWO. PI=2*PI PRINT PRINT " INPUT ANG DISPL VELOCITY :
PRINT PRINT PRINT
:
RADIUS
"
"
(
THETA)
"
(S)
(R)
(ALPHA)
"
****
.
(
.
)
)
(
)
.
(
(
.
NEXT THETA I
****
****
e1 1
FOR THETA=DEG RISE TO DEG. DWELL STEP DEG. INC S=L V=0 A=0 GOSUB 420 'Calcúlate R, RHO, ALPHA and print results NEXT THETA '**** C-6 return **** BETA2=360-DEG DWELL FOR THETA= DEG. DWELL TO 360 STEP DEG. INC T= TH ETA-D EG .DWELL S=L* 1- T/BETA2 + (l/TWO.PI) *SIN TWO. PI*T/BETA2 V=- L/BETA2 * (l-COS(TWO.PI*T/BETA2) A=-(TWO.PI*L/BETA2~2) * SIN (TWO. PI*T/BE rr A2) GOSUB 420 'Calcúlate R, RHO, ALPHA and print results NEXT THETA .
:
:
.
(
(
(
)
(
)
)
)
(
)
)
)
(
END I
'Suboutine to calcúlate R, RHO, ALPHA and print results R=R0+S VR=V*1 80/PI AR= A* 1 80/PI) ~2 'Convert degrees to radians R~2) + 2* VR~2) -R*AR) RHO= (R"2) + (VR"2) " (3/2) )/ ALPHA= (1 80/PI) *ATN(VR/R) " PRINT USING " ##.## TH ETA, S,V,A,R,RHO, ALPHA RETURN :
(
)
(
(
(
(
(
mm. En
(
)
;
3.32
valor límite de p es en realidad de tabla 3.1 deberá desarrollarse usando incre-
aquí no ocurrirá socavación o rebaje, y de esta forma práctica,
la
una tabla
como
mentos para en ángulo de entrada de extremos mas exactos para Otra ventaja con
el
rápidamente de aspectos ficie
(A)";
(V)
RHO)
(
C-5 rise **** BETA1=DEG RISE-0 FOR THETA=0 TO DEG. RISE STEP DEG. INC S=L* ( (THETA/BETA1) -(1/TWO.PI) * S I N TWO P I * TH ETA/ B ETA1 V= ( L/BETA1 * (l-COS(TWO.PI*THETA/BETAl) A= TWO PI *L) / (BETAl'2) *SIN TWO PI *THETA/BETA1 GOSUB 420 'Calcúlate R, RHO, ALPHA and print results i
FIGURA
25.0
ACCEL";
PRESS ANG"
CURVATURE
de paso de
la lev a.
computadora de
la
o I
la
ó 2
o
el
en lugar de 10°. Esto producirá valores
ángulo de presión y la curvatura. empleo de la computadora es la habilidad para generar gráficas el
como desplazamientos,
Para este ejemplo,
superficie de paso de
proporciona una retroalimentación
v
la
velocidades, aceleraciones v de
la
super-
figura 3.33 muestra una gráfica generada por
la leva.
isual rápida
y
Dicha salida gráfica es valiosa ya que fácil
de interpretar.
1 2
1
TABLA 3.1
Salida generada por
INPUT ANG
DISPL
(THETA)
(S)
00E+00 1 .00E+01 2.00E+01 3.00E+01 4 GOE+O 5.00E+01 6.00E+01 7 .00E+01 8 00E+01 9 .00E+01 1.00E+02 1 .10E+02 1 .20E+02 1 .30E+02 1 .40E+02 1 .50E+02 1 .60E+02 1 .70E+02 1 80E+02 1 .90E+02 2 00E+02 2 10E+02 2 20E+02 2.30E+02 2.40E+02 2 50E+02 2 60E+02 2.70E+02 2.80E+02 2 90E+02 3 00E+02 3.10E+02 3 20E+02 3 30E «"O 3 40E+02 3 50E+02 3.60E+02
1
5
0 1
6 1
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
0
.
0 0 0
.
.
.
.
.00E + 00 .00E + 00 .00E + 00 .00E + 00
.00E+00 .00E+00 0 .00E+00 0 .00E+00 0 .00E+00 0 .00E+00 -1.30E-01 -4.59E-01 -8.33E-01 -1.08E+00 -1 .08E + 00 -8.33E-01 -4.59E-01 -1.30E-01 0 .00E+00
.
.
.
.
.
.
.00E + 00 .68E-02 0 £- 0 2 .39E-01
. .
50E+0 2.51E+01 2.54E+01 2.64E+01 2 83E + 0 3 .11E+01 3.48E+01 3.93E+01 4.45E+01 5.00E+01 5.55E+01 6.07E+01 6.52E+01 6 89E+01 7.17E+01 7.36E+01 7.46E+01 7 4 9E+0 7 50E+01 7 5 0E+0 7 50E+0 7 5 0E+0 7.50E+01 7 .50E+01 7.50E+01 7 5 0E+0 7 50E+0 7 5 0E+0
.00E+00 3.32E-03 6.23E-03 8 .40E-03 9 55E-03 9.55E-03 8.40E-03 6 .23E-03 3 32E-03 1 .46E-09 -3 32E-03 0
2
.
.
.
.
-6.23E-03 -8.40E-03 -9.55E-03 -9 55E-03
.
.
-8
.
4
OE-O 3
-6.23E-03 -3.32E-03 -2.93E-09 0 .00E+00 0 .00E+00 0
0
0
0
0
0 0
. . .
.
.00E + 00 .00E + 00
.
.00E+00 .00E+00 .00E+00
0 ..
Es posible generar
al
la
ángulo leva
si
se
c{).
puede ver que
= B—A
(3.15)
en donde
A = El
ángulo
(3
es una constante para
partir del triángulo
OAO' como
el
(3
—T
(3.16)
sistema y su ecuación se puede obtener a
LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR OSCILATORIO
DI-
CARRETILLA
129
milímetros
IGURA 3.33 Superficie de paso de una leva generada con IBM y un graficador digital IBM Instruments XY/749. E
FIGURA
3.34
una computadora personal
r
LEV^S
130
+ Rj 2 SR 0
2
.V
COS P
2
/
(3.17)
R y / son dimensiones fijas. El ángulo r es una fupción de /?; su ecuación triángulo ORO' en donde
S,
{)
eos
A
partir del triángulo
S2 + R2 -
f
se
puede obtener a
partir del
2
l
(3.18)
2SR
OBO' también
puede escribir una ecuación para R de
se
la
siguiente forma:
R2 =
2
El ángulo
+ 5 2
2
I
2 IS eos
(v|i
+ 2)
es una constante determinada a partir del triángulo
eos
Í =
(3.19)
OAO'
+ s 2 - rí
r-
(3.20)
2/5
y
el
ángulo Por
leva.
i|j
es
el
ángulo de desplazamiento para un ángulo 0 determinado de
la
y a partir de las ecuaciones anteriores, se pueden calcular los para valores dados del ángulo 0 de la leva y sus ángulos corres-
lo tanto,
valores de
R
y pondientes de desplazamiento
iá.
Al diseñar este tipo de leva es necesario verificar igualmente
el
ángulo
máximo de
presión. Las ecuaciones para el radio de curvatura y el ángulo de presión se pueden desarrollar de una mejor forma usando variables complejas. La
figura 3.35 muestra la ilustración de una leva de disco y un seguidor oscilatorio de carretilla, en donde el radio de curvatura de la superficie de paso se designa
O
como
D el
es el centro de la leva, el punto p y el ángulo de presión como a. El punto centro de la curvatura y el punto O' el centro de oscilación del seguidor. El
desplazamiento angular del seguidor desde la
la
horizontal es o, que está dado por
ecuación cr
=
c
en donde/(0) es
el
de referencia
(que no se muestra).
cr
a
está
(3.21)
De acuerdo
a la figura 3.35,
el
el
ángulo
ángulo de
dado por
a = Sustituyendo
+/(0)
desplazamiento angular deseado del seguidor desde
()
presión
o
la
ecuación 3.2
a =
1
(T
7T — — — y
en lugar de
K+
/(©)]
ct.
- ^ - 7
(3.22)
)
LEVA DE DISCO CON SEGUIDOR OSCILATORIO DE CARRETILLA
Con
el fin
de obtener una expresión para
independientes para trayectoria de la
1
31
ángulo y, se escriben dos ecuaciones centro del rodillo A. Una de ellas se escribe siguiendo la
el
O a D a A,
la otra
y
el
yendo desde
OaBa
O' a A. La ecuación para
primera trayectoria ( O-D-A está dada por )
R = = La ecuación para
Separando
la
re
,h
pe ,y
+
+
sen 8)
p(cos y
R =
a
+
bi
+
le
=
a
+
bi
+
/(eos
r
r
las
/
+
/
sen y)
(
3 23 )
(
3 24 )
.
segunda trayectoria ( O-B-O’-A está dada por
las partes real e
Diferenciando
+
r(cos 8
i,T
a +
/
sena)
imaginaria de las ecuaciones 3.23 y 3.24, se tiene que
eos 8
+
sen 8
+
p eos
p sen
y = 0 +
1
eos
a
(
3 25 )
+
/
sen
a
(
3 26 )
y
=
b
ecuaciones 3.25 y 3.26 con respecto a ^
.
db
dy
8,
da
.
.
]
ifvas
132
—
dh -
_
r
eos o
—y =
Y
presen-
ecuación 3.28
y con la ayuda de las ecuaciones 3.21, 3.25 y 3.29 se puede obtener ecuación para p:
D
las
es necesario diferenciar primera-
p,
Sustituyendo dy/dti de
[C 2 +
la
siguiente
2
- (aC + bC) f'(d) +
(a sen
o - b eos a)//"(0) (
en donde
C —
a
+
l
eos
D =
b
+
l
sen a[
cr[
1
1
.
ángulo de presión a. Para
encontrar
y MutTley. Para encontrar el radio de
3 29 )
+ -I-
f'(0)] f'(0)]
3 30 ) .
LEVAS
Di:
CONTORNO
]
33
Para evitar rebaje o socavaeión, p debe ser mayor que el radio del rodillo. En consecuencia, debe ser posible determinar p mj para cada porción del perfil de la leva. Para hacerlo, será necesario elaborar diagramas de diseño similares a los
presentados por
Kloomok y
Una vez que
Muffley.
se ha encontrado
nar fácilmente puntos en
la
el
radio de
superficie de
R =
re
ih
+
Rv
en donde
seguidor de
es
el
vector que localiza
el
curvatura, se pueden determi-
leva a partir de
la
(p
y
la
la
figura 3.35:
— R ) e iy
(3.31)
f
punto de contacto y R r es
el
radio del
carretilla.
LEVAS DE CONTORNO
3.12
La aplicación de este tipo de levas se encuentra principalmente en el diseño de sistemas de control mecánico y por computadora. La figura 3.36 muestra un croquis de estas levas. Con este tipo de leva, los miembros ruedan uno sobre el otro sin deslizamiento; esto facilita el
P siempre
diseño por dos razones: (a)
el
punto de contacto
línea de centro y (b) ambas superficies rodarán una sobre la otra a lo largo de la misma distancia. Empleando estos factores se pueden obte-
estará en
la
ner fácilmente ecuaciones para
la
distancia desde los centros de las levas
al
punto
de contacto.
En
figura 3.36, /C y R, son las distancias instantáneas desde los centros de las levas hasta el punto de contacto y es la distancia fija entre los centros. Si la
C
la
leva 2 gira un ángulo
leva 2 se /? ¿/0 3
3
.
moverá
pequeño
a lo largo de
c/ff
y
la
R^dQ 2 y
leva 3 gira r/0 el punto de contacto en la 3 ,
el
de
la
Para rodamiento puro.
R
di)-,
= /C
c/0
3
leva 3 se
moverá
a lo largo de
,
lev^s
134
También,
R2 + Por
/? 3
C
-
lo tanto.
C
*•
(3.32)
+
i
(í/0 2 /rfe 3 )
y
c (3.33)
+ (¿e /¿e 2 )
i
3
Estas levas se pueden emplear para generar varios tipos de funciones, tres de las
cuales se describen a continuación. 1.
Función cuadrada. Para generar
la
03
=
*05
=
2*0»,
¿0,
función cuadrada,
dd 2 y
Por
d$2
1
¿0 3
2* 0:
lo tanto.
2 *C0 :
R = 2
1
+
2Á:0 2
y
C 1
A de
partir
de
las levas
las
ecuaciones para
que generarán
la
+ 2*0 2
R y R}
se
pueden determinar
Funciones logarítmicas. Para generar 03
contornos
función cuadrada dada. Si las levas se operan
en reversa, se obtienen raíces cuadradas. 2.
los
=
el
logio 02
logaritmo,
LEVAS DE CONTORNO
J
35
1
03
ln 0 2
2.303
J0 3
1
je 2
2.3030-
^=
2.3039,
y
rfe,
Por
lo tanto.
+
1
2.3039,
y
2.303C9 2
+ 2.3039,
1
A partir de estas ecuaciones se pueden determinar los contornos de las levas 3.
que generarán el logaritmo dado. La operación en reversa dará antilogaritmos. Función trigonométrica. Para ilustrar la generación de una función trigonométrica, considere tan 0 2
03
J03 sec
2
02
J0 2 y J02
J0 3 Por
1
sec
2
eos 02
lo tanto.
C 1
+
eos 2 0 2
y
C 1
+
eos 2 0 2 eos 2 0 2
2
02
=
LEV$S
136
hace referencia a
Si se
tres funciones, es
cuando
0^
=
0.
ecuaciones para
las
evidente que en
En
(3),
(
1
R } = 0 cuando
y /C desarrolladas para las ),/?, = 0 cuando 0\ = 0, y en (2), /C = 0
= 90°. Cuando uno de los radios pasa a Con las funciones ilustradas, el hecho de
0^
cero, se obtiene un diseño impráctico.
que
R
escala de 0, no puedejniciar en cero en los dos primeros casos, ni exten-
la
derse hasta*90° en
el
probablemente no limitará
tercer caso,
la
generación de
embargo, existen casos en los que dichas limitaciones resultarán ser una desventaja y deberá encontrarse una forma de resolver este problema cuando sea necesario. Otro problema que a veces surge al diseñar levas de contorno es que con ciertas funciones el valor de c/B^/c/B^ puede llegar a ser igual estas funciones. Sin
a— 1,
hace infinitos los radios R y R y Cualquiera de estos problemas debe llegan a presentarse en el rango de trabajo de la función. Esto se puede
lo cual
evitarse
si
lograr desplazando
la
función en un valor constante,
Como
riormente mediante un diferencial.
03
=
el
cual
puede restarse poste-
ejemplo, considere
la
función
sen 2 0.
y )
v los ángulos de
para pasar de (a) movimiento cicloidal a movimiento armomeo.
(3-,
/.
(
para que una curva cicloidal C-l corresponda con una curva de velocidad constante, y la relación para que una curva de velocidad constante corresponda con la curva C-4
y
,
.
//-
2 y
(/>) la
relación
curva C-4.
relación entre los ángulos de leva
y las elevaciones L r para que una curva armónica //-I corresponda a una curva cicloidal C-2 y (ó) la relación
para que 3.29.
la
la
() la
(a) la relación entre los
(3,, (3,
relación para que una curva armónica //- 2 corresponda con una curva polinomial
de octavo grado P- 2. Seleccione una combinación de movimiento cicloidal, armónico y polinomial de octavo grado que no produzca un jalón infinito. 3.32.
3.33.
Determine
(a) la relación entre los
para que una curva polinomial de octavo grado P//-6 y (h) la relación para
con una curva armónica 3.34.
ti
\
(3,.
(3-,
que una curva polinomial de octavo grado P -
que corresponda 1
//-3.
Seleccione una combinación de movimiento armónico v polinomial de octavo gra-
do que no produzca jalón 3.35.
y las elevaciones L r L corresponda con una curva armónica
ángulos de leva
I
mueve con movimiento armónico de la leva. El seguidor se mueve
Jn seguidor se
4 rad de rotación
movimiento
infinito. (//-
a
1
)
una distancia de 25
continuación 25
cicloidal (C-2) para completar su desplazamiento. El seguidor
mm
mm en
más con
permanece en
mm
con movimiento cicloidal (C-3) y luego se mueve los restantes 25 reposo y retorna 25 con movimiento armónico (//-4) en n/A rad. (a) Encuentre los intervalos de rotación
mm de
la
movimientos cicloidales y el reposo haciendo corresponder las velociaceleraciones, (h) Determine la ecuación para S en función de 0 para cada tipo
leva para los
dades y las de movimiento. Estas ecuaciones deben escribirse de manera que
el
desplazamiento me-
lemas
148
dido desde
posición cero se pueda calcular para cualquier ángulo de leva usando
la
la
ecuación correcta. 3.36.
En
el
diagrama de desplazamiento de
completa de
1
.5
determine el*ángulo
la
curvajirmónica
para
(3^
//- 2. (r/)
longitud teórica
Con
los datos
máxima de
la
B
la
la
elevación
la
curva cicloidal
dados en
evento armónico de manera que tanto
el
aceleración del seguidor correspondan en la
figura 3.47 se desea obtener
pulg de un seguidor radial de cara plana haciendo que
C-l corresponda con
mine
la
diagrama,
el
velocidad
como
la
en donde se unen los dos eventos, (h) Deter-
cara del seguidor necesaria para los dos eventos
mostrados.
Una
mueve un seguidor radial de cara plana con movimiento armónico simple. El seguidor se mueve hacia afuera y de regreso en una revolución de la leva. Si el desplazamiento total es de 50 mm y el radio mínimo de 25 mili, determine las ecuaciones
3.37.
leva del disco
paramétricas fvy
de
la
contorno de
la leva.
contorno de
la leva.
r) del
curva, que es
el
Elimine
el
parámetro para obtener
Determine
la
la
longitud teórica de
ecuación
la
cara del
seguidor. 3.38.
Un
mueve
seguidor radial de cara plana se
1.6 pulg. El
mueve
seguidor se
a lo largo
de un desplazamiento
total
de
hacia arriba 0.40 pulg con aceleración constante durante
60°, 0.80 pulg con velocidad constante durante 60° y las restantes 0.40 pulg con desaceleración constante durante otros 60° de rotación de la leva. El seguidor permanece
en reposo durante 45° y retorna con movimiento armónico simple mientras pleta su revolución.
Para cada tipo de movimiento, escriba una ecuación que exprese
función del ángulo H de
la leva.
desplazamiento, medido desde
de
la
leva usando
contacto
de
la
/ )vtx
la
la
leva
com-
**-
la
el
desplazamiento
5'
Estas ecuaciones deberán escribirse de manera que
en el
posición cero, se pueda calcular para cualquier ángulo
ecuación correcta. Calcule
el
para cada movimiento. Especifique
mínimo ( y la longitud maxima de radio mínimo de la leva v la longitud
radio el
cara del seguidor.
Un seguidor radial de cara plana se mueve a lo largo de un desplazamiento total de 38 mm. El seguidor se mueve hacia arriba 25 mm con aceleración constante durante 20
3.39.
1
mm
con desaceleración constante de 60° de rotación de la leva. El sey los restantes 13 guidor retorna con movimiento armónico simple en 90° v permanece en reposo durante el resto de
la
revolución de
la leva.
FIGURA
Complete
3.47
la
solución según se describe en
el
problema
3.38.
.
PROBLEMAS En
3.40. el
la
ilustración
mostrada en
la
figura 3.48,
seguidor radial de cara plana en un mecanismo de cálculo. El
diseñar para producir un desplazamiento el
sentido contrario
desde
al
de
las
S del seguidor
manecillas del
reposo. La elevación del seguidor es de
el
1
0
perfil
de
leva se debe
la
para una rotación 0 de
de acuerdo a
reloj
la
49
emplea para posieionar
leva de disco se
la
1
función
S=
leva en
la
Á(E partiendo
mm para una rotación de 60° de la leva
Mediante métodos analíticos, determine las distancias R y / cuando la leva se ha girado 45° desde la posición inicial. Calcule también si se presentarán picos en el perfil de la leva durante la rotación total de 60° de la leva. desde
posición
la
Un
3.41
inicial.
seguidor radial de carretilla se
mueve a
con movimiento armónico simple en media revolución de
no es de
el
mismo
en media revolución de
la leva.
elevación para dibuje
la
el
la leva. El
Empleando un
superficie de paso y un diámetro del rodillo de
la
1
mm,
9
mm
de un desplazamiento de 25
lo largo
movimiento de
retor-
mm
mínimo R u de 38
radio
calcule un conjunto de cifras de
centro del seguidor para incrementos de 15° del ángulo de
la
leva y
leva a escala natural. Calcule los ángulos de presión para determinar los puntos
de contacto.
Un
3.42.
50
mm
seguidor radial de carretilla se mueve a
lo largo
con movimiento cicloidal de 135° de rotación de
de un desplazamiento
mm con
movimiento
mm de
R de 25 {)
Un
3.43.
el
seguidor radial de carretilla se va a mover a
toma una forma puntiaguda
R de
la
la
superficie
el
de L = 0.75 pulg con movimiento armónico mientras leva
cicloidal de
desplazamiento, velocidad, aceleración y ángulo de seguidor a cada 10° de rotación de la leva.
de paso, calcule con una computadora presión para
de
seguidor permanece
la leva. El
en reposo durante los siguientes 90° y luego retorna 50 135° de rotación de la leva. Empleando un radio mínimo
total
superficie de paso es de
si el
radio
R i
1
lo largo la
de un desplazamiento
leva gira
(3
=
total
30°. Verifique
del rodillo es de 0.25 pulg y el radio
si la
mínimo
.875 pulg.
()
3.44.
Un
seguidor radial de carretilla se va a mover a
de L = 6.5
mm
FIGURA
con movimiento armónico mientras
3.48
Posición
inicial
lo largo
la
de un desplazamiento
leva gira
(3
=
30°. El radio
total
R
del t
5
150
i.
rodillo es
i-vas
Determine
6.5*111111.
valor
el
mínimo de R que produzca un
perfil
()
aguzado de
la
leva durante este evento.
3 45 .
.
Un seguidor
radial
de carretilla se mueve a
= 0.75 pulg con movimiento curvatura p de ()
3 46 .
superficie de paso
la
la
cuando 0 =
leva gira o
1
.
Un
L= 19 ininton movimiento armónico mientras de R n que limite a a 30°. Mediante
la
ecuación
ecuación para
el
movimiento
.
la
(3
El radio
.
seguidor radial de cara'tilla se va a mover a
de
3 47
de un desplazamiento
=
30°. Determine
R r del
rodillo es
total
el
de L
grado de
de 0.25 pulg
e s igual a 1.875 pulg.
/?
y
cicloidal mientras
lo largo
.
3.
la
lo largo
leva gira
de un desplazamiento (3
=
30°. Encuentre
2 y las expresiones apropiadas para
1
cicloidal.
Con
los datos del
ejemplo
R y
total
valor
el
desarrolle
cJR/ci0,
3.5, calcule el
ángulo
de presión a cuando 0 = 22.5°. 3 48 .
de
.
Un
L- 6 1
seguidor radial de carretilla se va a mover a nuil
con movimiento cicloidal mientras
mui, determine
a
imponen que no
se
Con
ax
.
Si
a
la
lo largo
leva gira
(3
de un desplazamiento
=
30°.
total
Suponiendo R = 38 ()
demasiado grande y si los requerimientos de espacio mencione otras recomendaciones para limitar 0 nvix a 30°.
es
aumente R {V
de desplazamiento del problema 3.5. calcule los valores de R y para una leva de disco con seguidor oscilatorio de carretilla. La leva debe girar en 3 49 .
.
las cifras
ct>
el
pulg. El manecillas del reloj y tiene un radio mínimo de diámetro del rodillo debe ser de i pulg y la distancia desde el centro del cubo del seguidor
sentido contrario
al
de
las
1
i
al
centro del rodillo es de 2s pulg. El centro del cubo está a 3 pulg a
la
leva.
de
la
Considere que
leva.
.
En
posición cero del seguidor cae sobre
Dibuje una leva a escala natural *a
compruébela en forma 3 50 .
la
el
.
.
Con
problema anterior
la
relación para
if;
(3.49),
el
ij;
=
.
.
Con
la
el
linea vertical
centro de
de centros
partir
de los valores calculados de R y
.
relación para
i{j
como una
174(1
—
Em-
el
eos 0) rad aproximadamente. la
posición
y
3.
función de 0 según se indicó en
como una
datos del problema 3.49, calcule
0.
ángulo de presión en
y con los datos del problema 3.49, calcule pruébelo en forma gráfica. 3 52
derecha
gráfica.
pleando esta relación, calcule 3 51
la
la
el
ángulo de presión para
función de 0 según
radio de curvatura para
la
el
la
el
problema 3.50
posición 0 v com-
problema 3.50 y con
posición
2.
los
Capítulo Cuatro
Engranajes rectos
4.1
INTRODUCCIÓN A LOS ENGRANAJES RECTOS DE INVOLUTA
Al considerar dos superficies curvas en contacto directo, se ha demostrado que
la
relación de las velocidades angulares es inversamente proporcional a los seg-
mentos en que es cortada
común
a las
de centros por
dos superficies en contacto.
línea de centros en res
la linea
un punto
dientes de engranes:
la
entonces
fijo,
permanece constante. Esta
es
Si la línea
la
la
la
línea de acción o
normal
de acción siempre interseca
la
relación de las velocidades angula-
condición que se desea cuando se acoplan dos
relación de las velocidades angulares debe ser constante.
forma del diente en uno de los engranes y, aplicado el principio anterior (la normal común interseca la línea de centros en un punto fijo), determinar el perfil del diente que se acopla. Dichos dientes se consideran dientes conjugados y las posibilidades solamente están limitadas por la habilidad personal para formar los dientes. De las muchas formas posibles, solamente se Es posible suponer
han estandarizado
la
la
cicloide y
la
involuta.
La cicloide
se
empleó inicialmente,
aunque ahora se ha reemplazado con la involuta en todas las aplicaciones excepto en los relojes de pulso y de pared. La involuta tiene varias ventajas, siendo las más importantes su facilidad de fabricación y el hecho de que la distancia entre los centros de dos engranes de involuta puede variar sin cambiar la relación de velocidades. En los siguientes párrafos se estudiará en detalle el sistema de engranajes de involuta. La figura 4. muestra un par de engranes rectos de involuta. 1
Considere dos poleas conectadas por un cable cruzado la
como
se muestra en
figura 4.2. Es evidente que las dos poleas girarán en direcciones opuestas y
que
152
engranajes rectos
FIGURA 4.1
Engranes rectos (Cortesía de Philadelphia Gear Works.) A
FIGURA
4.2
INTRODUCCION A LOS ENGRANAJES RECTOS DE INVOLUTA la
relación de las velocidades angulares será constante
si
¡53 no
es que el cable
res-
bala y dependerá de la relación inversa de los diámetros. También se puede ver que la relación de las velocidades no cambiara cuando se cambia la distancia
suponga que se quita un lado del cable y que se rueda (figura 4.3 a). Coloque un lápiz en un punto
entre centros. Por conveniencia, fija
un pedazo de cartón a
Q en
el
cable y gire
la
la
1
rueda 2 en sentido contrario
al
de
las
manecillas del
reloj.
Q trazará una línea recta con respecto a tierra, en tanto que con respecto a la rueda 1, Q trazará una involuta en el cartón. La misma involuta se puede generar cuando se corta el cable en Q y se desenrolla el cable de la rueda manEl punto
1
teniéndolo tenso. Si ahora se
fija
un cartón a
proceso, se genera una involuta en cartones a lo largo de
la
el
involuta, se
,
rueda 2 (figura 4.3 b) y se repite el cartón de la rueda 2. Si ahora se cortan los la
forma un lado de un diente en ambas ruedas
La involuta en la rueda ahora se puede emplear para mover la involuta en la rueda 2. La relación de las velocidades angulares se mantiene constante debido a que la línea de acción, que es normal a las involutas en el punto de contacto Q debido al método de construcción de la involuta, corta la línea de centros en un punto fijo. Como sucede en el caso de las poleas con el cable cruzado, la relación 1
y
de
2.
las
1
velocidades angulares es inversamente proporcional a los diámetros de
las
cambia la distancia entre centros, la involuta seguirá moviendo a la involuta 2, aunque ahora estarán en contacto diferentes porciones de las dos involutas. En tanto no se cambien los diámetros de las ruedas, la relación de velocidades seguirá siendo la misma. ruedas. Si se
FIGURA
1
4.3
154
ENGRANAJES RECTOS
Los cífculos empleados como base para generar las involutas se conocen como circuios base y son el corazón del sistema de engranajes de in voluta. En la figura 4.4, el ángulo comprendido entre una línea perpendicular a la linea de acción que pasa por el centro del círculo base y una línea desde O, a Q o desde CE a Q) se conoce como el ángulo de presión de la involuta y es una dimensión del punto en la involuta en donde está ocurriendo el contacto. Si en la figura 4.4 se marca como P el punto de. intersección de la línea de acción y la línea de (
centros, la relación de las velocidades angulares será inversamente proporcional
segmentos en que este punto divide a la línea de centros. Es posible dibujar círculos por el punto P usando primero a ü como centro y luego a 6L. La figura 4.5 muestra esta situación. El punto P se conoce como punto de paso y los círculos que pasan por este punto se conocen como circuios de paso. Se puede demostrar que cuando la involuta mueve a la involuta 2, los dos círculos de paso se mueven juntos con una acción de rodamiento puro. Debido a que los segmentos en que el punto P divide a la línea de centros son ahora los radios de los círculos de paso, la relación de las velocidades angulares es a los
]
1
inversamente proporcional a los radios de los dos círculos de paso.
FIGURA
4.4
FIGURA
4.5
Si el
diámetro
INVOLUMETRIA del círculo de paso
1
es D, y
el
al
DJD r
55
En una
número de dientes en un engrane es direc= D/ 1 /D = NJN diámetro de paso. Por lo tanto.
sección posterior se demostrará que
tamente proporcional
entonces cu,/^ =
del círculo 2 es
1
el
]
4.2
INVOLUTOMETRÍA
Al considerar
la
involuta para
determinadas propiedades de
forma de un diente, es necesario poder calcular
la la
involuta.
La figura 4.6 muestra una involuta que se generó a partir de un círculo base de radio R h La involuta contiene dos puntos, A y B, con radios correspondientes R y R b y ángulos de presión de involuta y Es fácil establecer una relación para los factores anteriores debido a que el radio del circulo base permanece constante sin importar el punto que se este considerando. Por lo tanto, .
(
,
R h = R A cos4> 4
(4.1)
o
Rh = R b
eos
g
y
Ra COS
(j) [j
Rb
FIGURA
4.6
,
COS Ój
(4.2)
engranajes rectos
156
A partir de l& ecuación 4.2 es posible determinar el ángulo de presión de la involuta en cualquier punto de radio conocido en
La todo
el
figura 4.7 muestra
sor en
A
diente del engrane.
ecuación para encontrar
involuta.
ilustración de la figura 4.6
partir
ampliada para incluir
de esta ilustración es posible desarrollar una
espesor del diente en cualquier punto
B dado ,
el
espe-
punto A.
el
Por longitud
el
la
la
el
principio de
Bu. Por
la
generación de una involuta,
lo tanto.
lDOG
DG ~ OG
BG
are
~
OG
BG tan
íb/
.
Es
— 4>
-DO =
(
— 4>
i(
denomina función involuta y a veces se escribe función involuta cuando el ángulo es conocido; d>
se
fácil calcular la
se expresa en radianes. Sin
tan
embargo, es
muy
convertir de inv
difícil
que se han publicado extensas tablas de funciones involutas. Ver Haciendo referencia nuevamente a la figura 4.7,
L DDE = LDOB +
el
a
,
por
apéndice
lo
2.
2¿fí
Rb
=
inv
j
+
fl
2Rh
También
LDOE
De
las
=
LDOA
=
inv
(f).,
+
+
U 2R a
relaciones anteriores.
tB
—
U
2Rb
2R a
+
inv
fí
Es posible calcular el espesor del diente por medio de la ecuación 4.3 en cualquier punto de la involuta, si se conoce el espesor en cualquier otro punto. Una aplicación interesante de esta ecuación consiste en determinar diente toma
el
4.3
la
el
radio en
el
que
forma de pico.
DETALLES DE LOS ENGRANAJES RECTOS
Para poder continuar con
el
estudio de los engranajes de involuta, es necesario
elementos básicos de un engrane como se muestra en las figuras 4.8c/ y 4.8/x También se debe señalar que al menor de dos engranes acoplados se le llama piñón el piñón es generalmente el engrane motriz. Si el radio de paso R de definir los
:
un engrane se hace
infinito,
entonces se obtiene una cremallera
como
se ve en las
figuras 4.8c y 4.9. El lado del diente de una cremallera es una línea recta, que es la forma que toma una involuta cuando se genera sobre un círculo base de radio infinito.
ente
:
1
al
De
la
figura 4.8c/.
el
paso base p h es la
distancia desde un punto en un
medido en el circulo base. misma forma, excepto que se mide en el círculo
punto correspondiente en
naso circular p se define en
la
el
siguiente diente
engranajes rectos
158
i
FIGl'RA
4.9
Piñón recto
\
cremallera. (Modelos por cortesía de Illinois
Gear
&
Machine Compans.)
de paso. El adeudo a y el dedendo h son distancias radiales medidas como se muestra. La porción del flaneo debajo del circulo base es aproximadamente una linea radial.
diente y
la
La curva
del diente es
la
linea
de intersección de
superficie del
superficie de paso.
Aunque
es imposible mostrarlo en las ilustraciones de
go entre engranes es un aspecto importante en dientes es
la
la
cantidad en que
el
ancho
la
figura 4.8, el jue-
los engranajes. El
del espacio de un diente
juego entre
excede
al
espesor
que se acopla en los círculos de paso. En teoría, el juego entre engranes debería ser cero, aunque en la práctica se debe conceder determinada tolerancia
del diente
dilatación térmica y el error en los dientes. A menos que se especifique lo contrario, en este texto se supone que el juego entre engranes es cero. En una
para
la
CARACTERÍSTICAS DE LA ACCIÓN DE LA INVOLUTA sección posterior se proporcionará un método para calcular nes para un cambio en
el
distancia entre centros.
estudio de
la
generación de
también se
le
llama
la
normal común a las dos dos círculos base. A esta normal común
involuta se vio que
la
superficies involutas es tangente a los
línea
juego entre engra-
CARACTERÍSTICAS DE LA ACCIÓN DE LA INVOLUTA
4.4
En
la
el
159
la
línea de acción. El inicio del contacto ocurre en
de acción interseca
al
contacto ocurre en donde
la
engrane movido y el final del línea de acción interseca al círculo de adendo del
círculo de
la
donde
adendo
del
puede apreciar que esto ocurre, como se muestra con el par de dientes que se aproximan al contacto y el mismo par que posteriormente abandona el contacto (señalado con líneas punteadas). El punto A engrane motriz. En
es
el inicio
toria del
donde
la
figura 4.10 se
del contacto y el punto
punto de contacto está a
el perfil
del diente (engrane
FIC.l
RA
4.10
B
el final
lo largo 1
)
corta
del contacto. Por lo tanto, la trayec-
de el
la
línea recta
círculo de paso
APB. al
El
punto
C
es
inicio del contac-
ENGRANAJES RECTOS
160
I
to.
El punto C' es
donde
el
perfd corta
el
círculo de paso
al final
del contacto.
D
Los
CC
y D' son puntos similares en el engrane 2. Los arcos y DD' se denominan arcos de acción y deben ser iguales para que ocurra acción de roda-
puntos
miento puro de
como
mencionó anteriormente. Los ángulos de movimiento generalmente se descomponen en dos partes como se muestra en la figura 4. 10, en donde ct.es el ángulo de aproximación y (3 es el ángulo de receso. En general, el ángulo de aproximación no es igual al ángulo de receso. Para que ocurra una transmisión continua de movimiento, el arco de acción debe ser igual o mayor que el paso circular. Si esto se cumple, entonces un nuevo par los círculos
de paso,
de dientes entrará en acción antes de que
se
el
par anterior deje de actuar.
La relación del arco de acción con respecto al paso circular se conoce como la relación de contacto. La relación de contacto para los engranes de involuta también es igual a la relación de la longitud de acción (o sea. la distancia desde el inicio hasta el final del contacto medida en la línea de acción) con respecto al paso base y generalmente se calcula en esta forma, como se mostrará posteriormente. Considerada físicamente, la relación de contacto es el número promedio de dientes que están en contacto. Por ejemplo, decir que hay
si la
relación es de
1
.60,
no quiere
que alternadamente hay un par y dos pares de dientes en contacto y que bajo una base temporal el número promedia .00. Este valor, por .60. El valor mínimo teórico de la relación de contacto es supuesto, se debe aumentar para las condiciones reales de operación. Aunque es difícil señalar valores específicos debido a las muchas condiciones involucradas, .60 dientes en contacto, sino
1
1
1
se ha establecido
1
.40
como
un mínimo practico, con
Sin embargo, se debe notar que entre será
menor
sea
la
.20 para casos
extremos
relación de contacto,
grado de exactitud requerida para maquinar
el
1
mayor
y asegurar un
los perfiles
funcionamiento silencioso.
La figura
4.
10 también muestra un ángulo 6, formado por
y una línea perpendicular a
la
linea
de centros en
el
la
linea
de acción
punto de paso P. Este ángulo
conoce como el ángulo de presión de los dos engranes acoplados o engranados y se debe distinguir del ángulo de presión de involuta de un punto en una m voluta. Cuando los dos engranes están en contacto en el punto de paso, el ánguse
lo
las
engranes acoplados y los ángulos de presión de involuta de dos involutas en contacto en el punto de paso serán iguales. Estos ángulos se
de presión de
pueden ver en
A
partir
los
la
de
figura 4.11. la
figura 4.11 se
puede obtener una ecuación para
la
longitud de
acción Z.
en donde
E }
A =
inicio del contacto
B -
final del
contacto
y £\ = puntos de tangencia de
RO -
radio exterior
Rh -
radio base
la
línea de acción y los círculos base
CARACTERÍSTICAS DE LA ACCIÓN DE LA INVOLUTA
4>
C De acuerdo
161
= ángulo de presión = distancia entre centros
a la figura,
Z = AB = E^B + E2A— Por
lo tanto.
Z = El paso base
ph
X'TliJestá
V («„,)
- (R h y- +
=
- C sen
(
4 4)
(
4 5)
2irR h
N
en donde
N
-
.
dado por
Pb
Rh =
2
radio base
= número de dientes
La relación de contacto
mp es entonces
.
1
engranajes rectos
162
i
mp = —
(
4 6) .
Pb
La ecuación para la longitud de acción para una cremallera y un piñón puede obtener de una manera similar
Z = V(Rj2 - ( R b ) 2 - R
sen
+
se
a (
sen
4 7) .
4>
en donde
R=
radio de paso
a = adendo
una relación de contacto dividiendo la medida de una línea recta entre una medida circular, observe los dibujos de la figura 4.12. En la figura 4. 12a se muestran dos dientes adyacentes de uno de los engranes de un par que está acoplado. El paso base p h está dimensionado en el círculo base de acuerdo con su definición. También se designó como p h a su segmento recto Si parece extraño calcular
sobre
la línea
de acción.
puede ver que las dos círculo base también se dos correspondientes de se mide el paso base en se
FIGURA
Ejemplo
4. 1.
De
forma como se generan dos involutas adyacentes, distancias marcadas p h deben ser iguales. Por lo tanto, el puede considerar como la distancia normal entre los ladientes adyacentes. La figura 4. 2b ilustra la forma como una cremallera. la
4.12
Un
piñón de 24 dientes mueve un engrane de 60 dientes a un ángulo de
presión de 20°. El radio de paso del piñón es de terior es
de
1
.5000 pulg, y la dimensión del radio ex.6250 pulg. El radio de paso del engrane es de 3.7500 pulg, y el radio exterior 1
es de 3.8750 pulg. Calcule la longitud de acción y la relación de contacto.
Solución.
Z =
V(K,„) 2 -
(/?,,)’
+
\\R„Y - (R h; y - C sen4>
INTERFERENCIA EN LOS ENGRANAJES DE INVOLUTA
/?„,
=
/?„,
= R
163
1.6250 pulg
]
eos
=
4>
=
1.5000 eos 20°
1.4095 pulg
Ro 2 = 3.8750 pulg
= R
R
C sen
=
4>
(
:
eos
1.500
=
c{)
+
3.750) sen 20°
Z = Vl.6250 2
= V2.6406 = Por
0.8099
+
=
3.75 eos 20°
1.40 95
1.9867
1.7956 pulg
+ V3.8750 -
-
1.79 56
+ V15.0156 - 12.4172 -
1.7956
2
2
-
1.6115
=
3.5238 pulg
1.7956
=
3.52 38
2
0.6258 pulg
lo tanto.
Z — AB = Z m = —
P»
p
2tt /?*,
=
0.6258 pulg
_
2tt
N,
P»
x 1,4095
=
0.3689 pulg
24
En consecuencia,
m
4.5
0.6258 p
1.6964
0.3689
INTERFERENCIA EN LOS ENGRANAJES DE INVOLUTA
Anteriormente se mencionó que una involuta comienza en genera hacia afuera. En círculo base.
La
círculo base y se consecuencia, es imposible tener una involuta dentro del el
un par de límites extremos de la lon-
línea de acción es tangente a los dos círculos base de
engranes acoplados y estos dos puntos representan los gitud de acción. Se dice que estos dos puntos son puntos de interferencia. Si los
que se encuentre el punto de interferencia, entonces la porción involuta del engrane movido se acopla con una porción no involuta del engrane motriz y se dice que ocurre una interferencia de involuta. Esta condición se muestra en la figura 4.13; E y muestran los puntos de interferencia que deben limitar la longitud de acción, A muestra el inicio del contacto y B muestra el final. Se ve que el inicio del contacto ocurre antes de que se encuentre el punto de interferencia £j; por lo tanto, hay interferencia. La punta del diente movido socava o rebaja el flanco del diente motriz como se muestra mediante la línea punteada. Hay varias formas de eliminar la interferencia, una de las cuales consiste en limitar el adendo del engrane movido de manera que pase por el punto de interferencia £j, con lo que se da un dientes tienen una proporción
tal
que
el inicio
del contacto ocurre antes de
]
nuevo
inicio de contacto. Si se
hace esto en este caso, se elimina
la interferencia.
ENGRANAJES RECTOS
164
I
Engrane
La cia
y
el
(motriz)
interferencia de involuta es indeseable por varias razones.
rebaje resultante no solamente debilitan
bién pueden quitar una pequeña porción de lo
1
que puede reducir seriamente
Ahora
la
la
el
La
interferen-
diente del piñón sino que tam-
involuta adyacente
al
círculo base,
longitud de acción.
se estudiarán las condiciones para que se presente interferencia entre
una cremallera y un piñón. En la figura 4. 14 aparece un piñón y una cremallera acoplados. El punto de tangencia de la línea de acción y del círculo base del piñón
FIGURA
4.14
ESTANDARIZACIÓN DE ENGRANAJES
como
está señalado
piñón y
el
máximo
para
la
En consecuencia,
engrane. la
cremallera para
cremallera mostrado en
tará
socavación
como
la
el
entonces
,
elimina
el
el
,
igual
punto de interferencia
figura 4.14, el contacto
se muestra
que como en
mediante la línea
la línea
Con el comienza en A y
punteada. Si
que pasa por
punto de interferencia se convierte en
el
caso del
el
adendo adendo de
fija el
ángulo de presión mostrado.
cremallera se extiende solamente a
E
E
punto de interferencia
el
165
se presen-
adendo de
el
la
punto de interferencia
el inicio del
contacto y se
la interferencia.
En la figura 4. 4 se puede ver también que si un engrane de radio finito con mismo adendo que la cremallera (el adendo de la cremallera ahora pasa por el 1
el
punto de interferencia) se llegara a acoplar con
piñón,
el
el inicio del
ocurriría en la línea de acción en algún lugar entre el punto de paso
Py
contacto el
punto
de interferencia E. En consecuencia, no habría probabilidad de que ocurriera
in-
terferencia entre el piñón y el engrane. Por lo tanto, se puede concluir que si el número de dientes en el piñón es tal que éste se acople con una cremallera sin interferencia, entonces
engrane que tenga
el
también se acoplará
sin interferencia
mismo o un mayor número de
con cualquier otro
dientes.
Aunque puede
se debe evitar la interferencia de involuta y su rebaje resultante, se tolerar una pequeña cantidad si no reduce la relación de contacto, para un
par de engranes acoplados, por debajo de un valor adecuado. Sin embargo, es
problema de determinar la longitud de acción cuando ha ocurrido el rebaje y no se puede calcular a partir de la ecuación 4.4. De la figura 4.11 y la ecuación 4.4 se puede ver que si el valor de cualquier radical es mayor que C sen 4>, difícil el
entonces se tendrá interferencia.
4.6
ESTANDARIZACIÓN DE ENGRANAJES
Hasta
el
los
momento no
ha intentado
se
engranes rectos para
tratar el
problema de
facilitar el desarrollo
la
estandarización de
de engranes intercambiables.
Lo
que se vio anteriormente sólo se aplica a los engranes rectos en general sin considerar el aspecto de la intercambiabilidad. Junto al problema de la intercambiabilidad se encuentra la forma como se van a cortar los engranes. Existen varias formas para maquinar los engranes rectos, la más antigua de las cuales consiste en utilizar una fresa de forma para quitar el material entre los dientes a medida que el disco para el engrane se posiciona a lo largo de una revolución completa en una fresadora. Este método produce un perfil compuesto de involuta y cicloide y encuentra aplicación principalmente en la fabricación de engranes de repuesto que no se pueden obtener económicamente a partir de las formas convencionales. Este método también se utiliza para producir engranes con dientes de gran tamaño que no pueden cortarse en generadores para engranes convencionales. Los engranes rectos modernos se generan para producir un perfil de involuta en los dientes. Los dos métodos más usuales para producir los engranes rectos actuales son
el
método de fresado y
el
método de formado Fellows.
Las figuras 4.15 y 4.16 muestran, respectivamente,
los principios del fresado
y
1
166
engranajes rectos »
Eje del disco
para
FIGURA 4.15a
del
el
engrane
Generación de un engrane recto con una fresa generatriz.
método Fellows para
el corte
de engranes externos. Para
método Fellows;
el
corte de engranes
embargo, si se cuenta con espacio es posible fresar engranes internos grandes. El método Fellows también se emplea para cortar engranes con resalto o reborde en donde el espacio en un extremo de los dientes es insuficiente para permitir la carrera de una fresa, como se muestra en la figura 4. 5a. internos pequeños es necesario utilizar el
Al desarrollarse
la
sin
tecnología de los engranes se buscó una forma para cla-
y los engranes que éstos producen. El método adoptado en los Estados Unidos consistió en especificar la relación del número de dientes con
sificar los cortadores
ESTANDARIZACIÓN DE ENGRANAJES
FIGURA
167
Operación de un engrane. (Fotografía por cortesía de
4.15Ó
Barber-Colman.)
respecto
diámetro de paso.
al
y se expresa
A esta relación se le dio el nombre de paso diametral
como
Pd
N D
(
4 8) .
en donde
N= D= Aunque
número de
dientes
diámetro de paso, pulg.
las
unidades del paso diametral están en dientes por pulgada, no se acos-
tumbra dar las unidades cuando se especifican valores numéricos. En Europa, el método de clasificación consiste en especificar la relación del diámetro de paso con respecto al número de dientes, y a esta relación se le denomina módulo. Por lo tanto, el módulo es el recíproco del paso diametral y se expresa
como
m en donde
D N m
= diámetro de paso, = número de dientes = módulo.
mm
D N
(
4 9) .
i
ENGRANAJES RECTOS
168
Engrane recto
I
.Círculo
externo!
de paso
de corte Cortador generador
í
l!
¡i
I'
¡¡
i
H
M
i'
ni
I
H
i
mu M I
|
I
i
i
\
1
»
i
*
1
i
.
lu H¡ i
ii
¡¡§¡|§¡||
" i
i'v ¡
'uj "j.r'
FIGURA 4.16 a Método
i
iZ
Fellows degeneración de engranes. (Cortesía de
Fellows Corporation.)
FIGURA
4.166 Operación de formado de un en-
grane. (Fotografía por cortesía de Barber-Colman.)
t
ESTANDARIZACION DE ENGRANAJES Los valores numéricos de
los
módulos
169
se especifican en unidades de milí-
metros.
Debe notarse que
paso diametral y el módulo se definen como relaciones y no son distancias físicas que se puedan medir en un engrane. El paso circular, por el contrario, se definió anteriormente como la distancia medida a lo largo del el
círculo de paso desde un punto en un diente hasta
La relación
siguiente diente.
entre
el
paso circular y
el
punto correspondiente en el
el
paso diametral o módulo
puede expresarse como sigue: ttD
=
"át
t
j
(FPS)
(
4 10 )
(SI)
(
4 11 )
.
d
y
tt
m
.
en donde
p - paso
P m
{
circular
= paso diametral = módulo.
Para fines de especificar los cortadores de engranes, los valores del paso diametral y del módulo se tomaron generalmente como números enteros. La siguiente es una lista de fresas para engranes disponibles comercialmente en pasos
diametrales con ángulos de presión de 14|° y 20°: 2,
3,
2i,
4,
3i,
20,
22,
24,
26,
72,
80,
96,
120
5,
7,
6,
28,
30,
32,
9,
8,
36,
10,
40,
12,
42,
14,
16,
48,
50,
18,
64,
Se pueden especificar pasos más finos con incrementos pares hasta llegar a 200. Los pasos que se utilizan comúnmente para los engranes de precisión en instru-
mentos son 48, 64, 72, 80, 96 y 120. La AGM A (Asociación Americana de Fabricantes de Engranes) también incluye en la lista pasos diametrales de i y 1 aunque los fabricantes de herramientas generalmente no mantienen en existencia fresas con estos tamaños. La siguiente es una lista de fresas estándar en módulos mé,
tricos (ángulo
1,
10,
de presión de 20°).
1.25, 12,
Cuando
1.50, 16,
1.75,
2,
2.25,
2.50,
3,
5,
6,
8,
20
los cortadores se estandarizaron, se
14í°. Esto se dio
2.75,
como consecuencia
empleaba un ángulo de 14|° debido
a
adoptó un ángulo de presión de
del proceso de fundido de engranes
que seno 14i° se aproxima a
4.
que
Posterior-
.
ENGRANAJES RECTOS
170
»
mente, también se adoptó un ángulo de 20°. Tanto 142°
como 20°
se
han utilizado
durante muchos años, pero la tendencia en años recientes ha sido hacia el empleo 0 de 20° en preferencia sobre el ángulo de 2 En una sección posterior se mues-
M
.
que es posible cortar un piñón con menos dientes y sin socavación cuando se 0 utiliza una fresa con un ángulo de presión de 20° en lugar de una de 2 Como resultado de la tendencia hacia mayores ángulos de presión, la AGMAha adoptado 20° y 25 f para engranes de paso grueso (1-19.99 Pd ) y 20° para engranes de paso fino (20-200 Pd). Los estándares métricos británicos y alemanes especifican un ángulo de presión de 20°. La Sociedad de Ingenieros Automotrices (SEA) en tra
M
.
norma aeroespacial AS 1560 para engranes métricos recomienda un ángulo de presión de 20° para propósitos generales. También se incluyen ángulos de presión de 22.5° y 25° debido a que estos ángulos de alta presión se emplean para los su
engranes de
la industria
aeroespacial.
Las proporciones de los dientes de los engranes rectos de involuta de norma americana (FPS) se presentan en la tabla 4.
la
1
TABLA 4.1
Proporciones de
los
dientes— Engranajes rectos de involuta Paso grueso (1-19.99
AGMA 201.02
(20-200 Pd)
Agosto 1974
AGMA 207.06
20° ó 25°
Noviembre, 1977
Profundidad
Adendo
(a)
Paso fino
PJ
total
20° Profundidad total
1.000
1.000
pd
pd
1.250
Dedendio
(b)
Pd
Pd
0.250
Claro (c)
(dedendo
-
adendo)
Profundidad de trabajo (h k ) (doble del adendo)
Profundidad
total
(
h t
)
(adendo + dedendo)
Pé
Pd
2.000
2.000
Pd
Pd
2.250
Pd
Pd
+
0.002 (min)
+
a 0.002 (min)
+
0.002 (min)
0.300
Radio de básica
filete
de
la
cremallera
Pd
No
está
(/y)
Espesor del diente
( t)
1.5708
1.5708
Pd
Pd
Para dientes recortados o rectificados, c = 0.350/.P + 0.002 (mín). (/
dado
(
ESTANDARIZACIÓN DE ENGRANAJES La
tabla 4.2 da las proporciones para los engranes rectos de
1
4Í°
J
7J
de profun-
y de 20° con escote. Aunque estos engranes raras veces se especifican en los diseños nuevos, son esenciales para los engranes de repuesto de maquina-
didad
ria
total
más
antigua.
Debido
forma para engranes se clasifican no solamente de acuerdo al paso diametral o módulo, sino también de acuerdo al diámetro de paso y al número de dientes. La tabla 4.3 muestra una lista de cortadores de forma estándar para engranes rectos clasificados según el paso diametral, y la tabla 4.4 muestra una lista de cortadores de forma para engranes rectos métricos.
La
a su diseño, los cortadores de
tabla 4.5 muestra los
módulos métricos de
la
norma
la
norma alemana. Las
británica.
Las pro-
porciones de los dientes son las siguientes:
Adendo (a) Dedendo (b)
1
.000
1.250
m m
r
Angulo de presión La
20°
(c|>)
tabla 4.6 muestra los
porciones de los dientes son
módulos métricos de
pro-
las siguientes:
Adendo ( a ) Dedendo ( b )
1
.000
1
.
1
57
m m
ó
1. 1
67
m
r
Angulo de presión Debido a que
como
20°
()
los cortadores para engranes tanto del sistema
del sistema métrico se
TABLA 4.2
tomaron generalmente como números enteros,
Proporciones de
los dientes
para engranajes rectos de 141° de profundidad total y 20° escotados 14|°
Adendo ( a ) Dedendo b ) Claro
Profundidad
20° con
total
escote
1.000
0.800
Pé
Pd
1.157
1.000
Pé
pd
0.157
0.200
Pd
Pd
0.209
0.304
Pd
Pd
(c)
Radio de
americano (FPS)
fílete (rj)
Espesor del diente
(t)
1.5708
1.5708
Pd
Pd
la
172
ENGRANAJES RECTOS
TABLA 4.3
Cortadores de forma para
engranajes rectos 0 Paso
Diámetro de
Número de
diametral
paso, pulg
dientes
(afÁngulo de presión de
14Í°
20
4
4
5
4
6
4
5
24
30
8
4
5
32
40
10
3
5
30
12
3
4
36
48
16
3
4
48
64
20
3
4
60
80
24
3
72
32
3
96
(
5
16
20
4
40
50
b ) Ángulo de presión de 20°
3
4
4
4
12 5
^
6 '
16
20
24
20
25
30
30
36
5
4
5
6
6
4
5
6
24
8
3
6
24
10
3
4
5
30
40
50
12
3
4
5
36
48
60
14
4
16
3
18
4
20
3
24
3
72
32
3
96
4
5
40
32
48
56 4
64
48 72
4
60
80
“Los siguientes cortadores también se fabrican en de precisión Fellows de paso
fino:
los límites
paso diametral de 32, 48,
64, 72, 80, 96 y 120. Cortesía de Fellows Corporation.
conversión de los pasos diametrales a los milímetros de los módulos no produce valores de números enteros. Ver
la tabla 4.7.
emplean para designar las proporciones de los engranes rectos varían considerablemente con respecto a los recomendados por la AGM A. La tabla 4.8 muestra la comparación entre los símbolos de la AGM A y la propuesta ISO 701 de la norma internacional. En el capítulo 6 se presentan Los símbolos métricos que
se
tablas similares para engranes cónicos, helicoidales
y
sinfín.
ESTANDARIZACION DE ENGRANAJES
TABLA 4.4
Cortadores de forma métricos para engranajes rectos: Angulo de presión de 20° Profundidad total"
—
r
Paso
Módulo
diametral
Diámetro de paso, pulg
Número de dientes
1.0
25.400
2.992
76
1.5
16.933
2.953
50
2.0
12.700
2.992
38
2.5
10.160
2.953
30
3.0
8.466
3.071
26
3.5
7.257
3.031
22
4.0
6.350
4.094
26
4.5
5.644
3.897
22
5.0
5.080
3.937
20
6.0
4.233
4.252
18
S.O
3.175
5.039
16
"Cortesía de Illinois Tool Works.
TABLA 4.5
Módulos métricos normales de
Módulos preferidos
la
norma
británica"
Módulos secundarios 25
1
1
1.25
1.375
1.5
1.75
.
1
2 2.5
2.75
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
18
20 25
28
32
36
40
45
50 "Los valores están en milímetros. Siempre que sea posible se deberán aplicar los módulos preferidos en lugar de los secundarios. B.S. 436: Parte 2: 1970. Del Machinen’
Handhook
,
22a. edición,
p.
823.
|
73
174
engranajes rectos
TABLA 4.6 de
Módulos métricos norma alemana 0
la
0.3
2.5
8
27
0.4
2.75
9
30
3
10
33
0.6
3.25
11
36
0.7
3.5
12
39
0.8
3.75
13
42
0.9
4
14
45
1
4.5
15
50
1.25
5
16
55
1.5
5.5
18
60
1.75
6
20
65
2
6.5
22
70
2.25
7
24
75
^
0.5
*
recto estándar con socavación, con
N
2
eos
2 P,
FIGURA
Engrane
4.18
=
10,
producido por una
= 20°. Dibujos generados con un graficador IBM 7375. (Cortesía del Laboratorio CAD-CAM del Instituto Politécnico y la Universidad Estatal de V irginia.)
fresa de
P =
1
y
4>
:
NUMERO MINIMO DE DIENTES PARA EVITAR EA INTERFERENCIA
179
y
C
N
+
Ni
= R + R2 =
:
]
2 1\,
Por
lo tanto,
N + 2
N
+
2k
eos
+
2
2
2 Pd
2P á
\
sen
2
6
)
y
(N 2 + 2k) 2 = (N
2
2)
eos
2
+
(A/,
+
N
2
2)
sen
2
2 + cos 2 4> = se obtiene la siguiente y utiliza la relación sen cj> ecuación a partir de la cual se puede determinar el mayor engrane recto (/V2 ) que se puede acoplar con un engrane dado (TV, ) sin que haya interferencia de involuta
Si se desarrolla
en
el
engrane
1
1
4Á' :
(N ¡)
2i\,sen
La ecuación
4.
1
3
2
sen
6 -
2
(
4k
puede desarrollarse para obtener
4 13 ) .
engranajes rectos
180
I
2 (N,) 2 sen
De
4)
+ 2N2 N¡
sen 2
- Ak(N2 +
k)
=
0
esta forma, '
*
4k
r- (N 2 +
{N j) + 2N2 N, 2
serr
La ecuación 4.14
=
Si
2
En
la figura
si
0
(4.14)
puede simplificar como sigue:
se
(/V,)
do
4>
=
1).
como una
ecuación 4. 16, mostranpara dientes de 20° de profundidad
función de
la
Esta curva también se puede emplear para aproximar los números
mínimos de dientes que se pueden cortar mediante un cortador de piñones considerando a /V, como el número de dientes que st están cortando en el engrane y N2 como el número de dientes en el cortador de piñones. Sin embargo, los valores de
N
sólo serán aproximados debido a que
el
radio exterior del engrane 2 que se
]
utilizó para desarrollar la
FIGURA 4.20
ecuación
4.
1
3 se
tomó como R (P = R 2 +
a. Si el
engrane
'
.
DETERMINACIÓN DEL JUEGO ENTRE ENGRANAJES 2 se considera
para cortar ser igual al
en
la tabla
como un
cortador de piñones, su radio exterior se debe aumentar
claro en el engrane
En
adendo del cortador debe dedendo del engrane que está siendo cortado. Además, como se puede ver 4.1, la ecuación para el claro no es idéntica para los engranes de paso el
1
.
otras palabras, el
grueso y los de paso fino. En la figura 4.20 se agregó una curva punteada para mostrar la relación de A,, que es el número de dientes generados sin socavación, con respecto al número de dientes que se suponen en el cortador cuando se ha agregado el claro. En 2
N
este caso se utilizó el claro para los engranes de paso grueso y los cálculos se efectuaron empleando la ecuación 4.16 con k = .250. 1
DETERMINACIÓN DEL JUEGO ENTRE ENGRANAJES
4.8
En la
la
figura 4.21 a se muestra el perfil de dos engranes estándar
que se acoplan a
distancia estándar entre centros
C = „ = c
/V,
+ n2 2Ph
(FPS)
M—+ n2 m — 2)
(SI)
con un juego entre engranes igual a cero. Los círculos de paso a que operan estos dos engranes son los círculos de paso a que fueron cortados y sus radios están dados por R - N/2P Los círculos de paso de corte también se conocen como círculos de paso estándar. El ángulo de presión a que operarán estos engranes es el ángulo de presión a que fueron cortados; es decir, 142°, 20° ó 25°. En otras palabras, los círculos de paso de corte de operación son idénticos al igual que los ángulos de presión de corte y de operación. La figura 4.2 16 muestra el caso en el que dos engranes se han separado una .
cj
distancia
AC
para dar una nueva distancia entre centros
de centros en un nuevo punto de paso
C. La
línea de acción
F
Se puede observar que los círculos de paso estándar o de corte (radios R y /? 7 ) ya no son tangentes en entre sí. También, el punto de paso divide la distancia entre centros segmentos que son inversamente proporcionales a la relación de velocidades angulares. Estos segmentos se convierten en los radios R\ y R de los nuevos círcu2 ahora cruza
la línea
]
F
los
de paso que son tangentes entre
como
círculos de
sí
paso de operación y
determinar a partir de
en
el
las
C
punto F. Estos círculos se conocen
ecuaciones para sus radios se pueden
)
182
ENGRANAJES RECTOS \
\
(a)
(
(c)
FIGURA
4.21
b
DETERMINACION DEL JUEGO ENTRE ENGRANAJES
183
y
para dar
R
Ni
t 1
C'
+
Ni
N-,
y
N,
R2 t
Además
N
+
Ni
C ,
cambio en los círculos de paso, el ángulo de presión también aumenta. El ángulo ' se conoce como el ángulo de presión de operación y es mayor que el ángulo de presión de corte 4>- A partir de la ecuación 4.2 b se puede del
1
obtener fácilmente una ecuación para
el
ángulo de presión de operación
4>'
de
la
siguiente forma:
C
Rh x
+ Rh
2
(K,
+ R
COS 4 >'
COS 2)
'
COS
(j)
como
se
-
1
.
4>'
engranes se operan bajo
tendrá juego entre ellos
- C
4>'
cos cos
Cuando
4>
muestra en
la
condición de
la
figura 4.21c.
la
figura 4.21 b, se
La relación de veloengranes permanez-
cidades angulares no se verá afectada siempre y cuando los can acoplados. Sin embargo, si se invierte la dirección de rotación, se tendrá
movimiento perdido. Se puede obtener una ecuación para el juego entre engranes a partir del hecho de que la suma de los espesores de los dientes y el juego entre engranes debe ser igual al paso circular, estando medidos todos ellos en el círculo de paso de operación. A partir de la figura 4.21c se puede escribir la siguiente ecuación:
ENGRANAJES RECTOS
184
t
t\
T-
+ B —
tí
2t:RÍ
2ttR[
(
4 19 ) .
N.
en donde C = espesor del diente en
B = R'
=
N= De
la
el
círculo de paso de operación
yaego entre engracies radio del círculo de paso de operación
número de
dientes.
ecuación 4.3 que se desarrolló en
t[
=
2 R[
R[ — R\
tí
4-
tx
-
la
sección sobre involutometría.
inv
+
inv
-
4>'
2/?|(inv
= 2RÍ
—
4>
-
4>
inv
'
inv
inv
4>)
(
4 20 )
(
4 21 )
(
4 22 )
(
4 23 )
.
4>'
2 Ry
=
R'i —
R
-
U -
2/?4(i nv
-
r (t>
inv
4>)
.
2
en donde t
= espesor
del diente en el círculo de paso estándar o de corte
(t=p/2 = ir/2Pd)
R = 4> 4>'
radio del círculo de paso estándar o de corte (R
= ángulo de presión de corte (142°, = ángulo de presión de operación.
= N/2P ) d
20°, 25°)
También,
_ Ri _ R[~ R'2 ~ C' Ri
.
y
C = R\+R^ Sustituyendo
las
ecuaciones 4.20, 4.21, 4.22 y 4.23 en
dando que
^ 2ttR
= p =
tt
j
d
la
.
ecuación 4.19 y recor-
)
DETERMINACION DEL JUEGO ENTRE ENGRANAJES
B = B =
c_
TT
C
C —
m
[tt
-
(*!
+
t2 )
+ 2C(inv
4>'
-
(t l
+
t2
+ 2C(inv
'
—
to
)
-
inv
)
(FPS)
-
inv
4>)]
(SI)
185
(
4 24 ) .
Para los engranes estándar,
1
1
—
—
_
7T
(FPS) 2P,
t\
y
la
—
—
ti
—
_
ir
m (SI)
ecuación 4.24 se reduce a
= 2C(inv
Z?
'
— inv
(4.25)
4>)
La ecuación 4.24 debe utilizarse si los engranes no son estándar, es decir, si t A t r En el capítulo 5 se verán los engranes no estándar. En el manual de engranes AGMA Gear Handbook, Volumen 1, 390.03, se pueden encontrar los valores recomendados para el juego entre engranes. ]
Ejemplo
4.2.
(
Un
a
piñón de 20°, módulo
3,
de 24 dientes mueve un engrane de 60
dientes. Calcule la longitud de acción y la relación de contacto sin
que haya juego entre
=
Ri
r =
24 x 3
2
2
N->m
60 x 3
2
2
2
=
Bb 2
= R
«I
C
/?,
:
36.000
mm
- 90.000
mm
=
eos
4>
=
36.000 eos 20°
=
33.829
mm
eos
4)
=
90.000 eos 20°
=
84.572
mm
=
a2
3.0000
mm
=
/?,+£!,'= 39.000
mm
=
/?,
=
m
+
Nx + =
z =
y/(R o
=
«•,
=
93.000
N\
y
2
los
engranes se acoplan
ellos.
N,m
K»,
si
]m =
/
mm 24
1
+ 60 :
,
13
=
126.00
- (R h[ y + V(/?„V - (RJ- -
= V39.000 -
33.829 :
= V1521.0 -
1144.4
2
mm C sen4)
+ V93.000 - 84.572 2
2
+ V8649.0 -
7152.4
126.00 sen 20°
- 43.095
186
ENGRANAJES RECTOS I
=
19.406 + 38.686
Z ~ ~
mr
2TrR,
=
Pb
y
fh,
Por
- 43.095 =
—= ~T N
14.997
x 33.829
2 ti
TT 24
,
t
mm
= 8.8564
mm
lo tanto. *1
ni r
4.997 1
.6934
8.8564
(b) Si la distancia entre centros se
de paso de operación,
los círculos
incrementa en 0.5000
mm,
calcule los radios de
ángulo de presión de operación y
el
el
juego entre
engranes producido.
C
C + AC =
R\
(— + \ ;V,
C' - R\
R'
6
,
(1)'
B
=
C
:
=
=
i-^—) \24 + 60/
126.50
=
126.50
mm
x 126.50 - 36.143
- 36.143 - 90.357
mm
mm
126.00 eos 20° 126.50
= 20.61-
-
(inv 6'
2(
x
1
2 x
-
inv
6)
26.50(inv 20.61°
126.50(0.016362
= 0.3689
Con
)c )
ó —
eos
C
2
4.9
N
126.00 + 0.5000
-
-
inv 20°)
0.014904)
mm
ENGRANAJES INTERNOS (ANULARES) el fin
de obtener determinadas ventajas, en muchas aplicaciones se acoplan
un engrane interno de involuta con un piñón en vez de emplear dos engranes
más importante es la de una transmisión más compacta. Adicionalmente, para las mismas proporciones de los dientes, los engranes internos tienen mayor longitud de contacto, mayor fuerza en los dientes y menor externos. Quizás
la
ventaja
deslizamiento relativo entre los dientes en comparación con los engranes externos.
En un engrane
interno, los perfiles de los dientes son
cóncavos en vez de ser
convexos como ocurre en un engrane externo. Debido a esta forma, puede ocurrir un tipo de interferencia que no es posible que ocurra en un engrane externo o en una cremallera. Esta interferencia se conoce como choque (fouling ) y ocurre entre perfiles inactivos a medida que los dientes se acoplan y desacoplan. El choque ocurre cuando no hay una diferencia suficiente entre el número de dientes en el engrane intemo y el número de dientes en el piñón. La figura 4.22 muestra un piñón que se acopla con un engrane intemo. Son casi del mismo tamaño por lo
ENGRANAJES INTERNOS (ANULARES)
FIGURA
187
4.22
que ocurre choque en los puntos a b c, d y e. Cuando se corta un engrane interno, se usa un cortador Fellows con dos dientes menos que el engrane que se está ,
,
cortando, lo que automáticamente libera las puntas de los dientes del engrane
intemo para evitar
el
choque en
los
puntos mencionados. También puede ocurrir
interferencia de involuta entre perfiles activos
como sucede
en los engranes ex-
ternos. Esto se estudia en el siguiente párrafo.
La
figura 4.23 muestra dos dientes en contacto de
de acción tangente
FIGURA
4.23
al
círculo base del engrane en
el
la
figura 4.22 con
punto/y tángeme
al
la
línea
círculo
\
88
engranajes rectos
FIGURA
4.24 Fresado de un engrane interno. (Cortesía
de Cincinnati Gear Companv.)
base del piñón en zar en el
punto
g.
el
punto g.
Un perfil
de involuta para
el
engrane puede comen-
punto/ pero la involuta para el piñón no puede comenzar sino hasta el En consecuencia, el punto g es el primer punto posible de contacto sin
interferencia de involuta y determina el adendo máximo del engrane. El punto h que es la intersección del círculo de adendo del piñón y la línea de acción, es el
,
y la longitud de acción es gPh. Se debe señalar que la relación es válida para un engrane interno al igual que para un engrane externo.
final del contacto,
Pd - N/D La
figura 4.24 muestra una fotografía de un engrane interno que está siendo cor-
tado por
4.10
el
método de
fresado.
ENGRANAJES CICLOIDALES
Aunque
los
engranes cicloidales han sido reemplazados en gran medida por los
de involuta,
el perfil cicloidal tiene ciertas
se estudian
brevemente a continuación.
ventajas que vale la pena señalar. Estas
Los engranes cicloidales no presentan interferencia, además de que un diente cicloidal generalmente es más fuerte que uno de involuta debido a que tiene flancos extendidos en comparación con los flancos radiales de un diente de involuta. Adicionalmente, los dientes cicloidales tienen menos deslizamiento cuencia,
menos
desgaste.
La
figura 4.25 muestra el diente de
y,
en conse-
un engrane cicloidal
y uno de involuta para su comparación. Sin embargo, una desventaja importante de los engranes cicloidales es el hecho de que para un par de engranes cicloidales
PROBLEMAS— NORMA AMERICANA
ÍFPS)
189
solamente hay una distancia entre centros teóricamente correcta para la que transmiten movimiento a una relación constante de velocidades angulares. Otra desventaja es que aunque es posible fresar un engrane cicloidal, la fresa no se fabrica tan fácilmente
como
en
el
cicloidales de cremallera
caso de una fresa de involuta debido a que los dientes
no tienen lados rectos como
los dientes
de involuta de
Debido a esta razón es posible producir los engranes de involuta con mayor exactitud y economía que los engranes cicloidales. Los engranes de involuta han reemplazado completamente a los engranes cremallera.
cicloidales para la transmisión de potencia.
No obstante,
los
engranes de involuta
ampliamente en los relojes de pulso y de pared y en determinados instrumentos en los casos en que el problema de interferencia y resistencia es de interés primordial. En los relojes, el tren de engranes desde la fuente de poder al escape aumenta su relación de velocidades angulares con el engrane moviendo al piñón. En un reloj de pulso, este aumento puede llegar a ser hasta de 5 000: En consecuencia, los engranes serán tan pequeños que para evitar usar dientes excesivamente pequeños es necesario usar piñones (que son los engranes movidos en este caso) que tengan apenas seis o siete dientes. Además, el perfil del diente de estos piñones debe poder actuar en 60° de rotación. Debido a lo anterior, se prefiere el empleo de engranes cicloidales sobre los engranes de involuta. El problema de la distancia entre centros y de la relación de velocidades angulares no es importante en este caso debido a que todo el tren, que es gobernado por el escape, queda en reposo y vuelve a entrar en movimiento varias veces por segundo. En consecuencia, la operación del tren involucra cambios tan grandes de momentum que el efecto de la forma del diente en este cambio es despreciable. Así, el efecto de la forma del diente en la consistencia de la relación de velocidad no es importante en sí misma. se usan
1
.
Problemas— Norma americana (FPS) 4
.
1.
Una
generarse
involuta se genera en un círculo base que tiene un radio la
involuta, el ángulo que corresponde a inv
incrementos de 3 radio
R
o
en este ángulo, calcule
para puntos en
la involuta.
el
Grafique
cj>
varía desde 0
o
pulg. Al
hasta 15°.
Con
correspondiente y el serie de puntos en coordenadas polares y
ángulo de presión
la
R h de 4.000
conéctelos mediante una curva continua para obtener
la
involuta.
4>
ENGRANAJES RECTOS
190
I
con R h = 3.000, 4.000 y valores correspondientes del ángulo de presión ct> y el radio R
Escriba un programa de computadora para
4.2.
5.000 pulg. Determine los
Rh
para cada valor de
el
problema
4.
1
.
4 3 El espesor del diente de un engrane de involuta es de 0.3 140 pulg a un radio de 3.500 .
.
pulg y un ángulo de presión de 4y°. Calcule el espesor del diente y la involuta que tenga un ángulo de presión de 25°. 1
4 4 Si se extienden las involutas que forman .
.
intersecan y
diente se aguza. Determine
el
el
el
el
radio en un punto en
contorno del diente de un engrane, éstas se
radio a que ocurre esto para un diente con un
espesor de 0.2620 pulg a un radio de 4.000 pulg y un ángulo de presión de 20°. 4.5. El espesor del diente
de un engrane de involuta es de
pulg y un ángulo de presión de 20°. Calcule
0.
960 pulg
1
espesor del diente en
el
a un radio de
el
2.000
círculo base
Los radios de paso de dos engranes rectos acoplados son de 2.000 y 2.500 pulg y los radios exteriores son de 2.250 y 2.750 pulg, respectivamente. El ángulo de presión es de
4 6 .
.
20°. Elabore un dibujo a escala natural de estos engranes
como muestra
en
la
figura 4. 10
y señale el inicio y el final del contacto. El piñón es el engrane motriz y gira en el sentido de las manecillas del reloj. Determine y señale los ángulos de aproximación y receso para
ambos engranes. 4 7 .
Un
.
piñón de 2.000 pulg de radio de paso gira en
el
sentido de las manecillas del reloj
y mueve una cremallera. El ángulo de presión es de 20° y el adendo del piñón y de la cremallera es de 0.2000 pulg. Elabore un dibujo a escala natural de estos engranes y señale el inicio y el final del contacto. Determine y señale el ángulo de aproximación y de «v-.
receso para 4 8 .
el
Dos engranes
.
y adendos de
Zv 4 9 .
piñón.
la
0.
1
rectos iguales de
670 pulg.
Si el
relación de contacto
mp
48 dientes se acoplan con radios de paso de 4.000 pulg
ángulo de presión es de
paso circular o
como
la
4s°, calcule la longitud
de acción
.
La relación de contacto se define ya sea como
.
1
relación de
la
el
arco de acción dividido entre
longitud de acción con respecto
al
el
paso base. De-
muestre que
Arco de acción _ Longitud de acción Paso circular
4 10 .
.
Verifique
la
Paso base
ecuación 4.7 para
la
longitud de acción
cremallera en función del radio de paso presión
4
.
11 .
Un
piñón con un radio de paso de el
interferencia de involuta en
el
.
.
total,
.
.
el
dedendo y
Un piñón de
45 dientes. Calcule pesor del diente en 4 14 .
.
total,
,
1
.500 pulg.
máximo adendo
mueve una
posible para
I
el
cremallera. El ángulo de
cremallera sin que haya
la
piñón.
Un piñón de 24 dientes, cortado con una fresa de paso mueve un engrane de 40 dientes. Calcule los radios de
adendo, 4 13
radio base
/?
Pd
R
Rh
4>
N
R Por
eos
2 Pd
lo tanto,
k_
- R(l -
e
eos
2
4>)
Pd
J_
e
5 2) .
(SI)
1.000
ral
Dos ecuaciones que
se desarrollaron en la sección sobre involumetria (ca-
una aplicación particular en
eos
(
Pd
e
pítulo 4) tienen
(FPS)
(\>
eos
B
tR
=
2RB
el
estudio de los engranajes no estándar:
4>,4
2R
+
inv
(\>
A
-
inv
4> B
(
5 3)
(
5 4)
.
.
Mediante estas ecuaciones es posible determinar el ángulo de presión y el espesor del diente a cualquier radio R B si se conocen el ángulo de presión y el espesor del diente en algún otro radio R r Para los engranes no estándar, el espesor de referencia que corresponde te
en
el
al
espesor tA en
circulo de paso de corte,
ecuación
5.1
el
la
ecuación 5.4 es
el
espesor del dien-
cual se puede calcular fácilmente mediante
la
para cualquier descentramiento del cortador. El ángulo de presión
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
202
I
de referencia que corresponde a
es el ángulo de presión del cortador. El radio
cf> }
de este ángulo de presión es
Cuando
el
radio del círculo de paso de corte.
tados con una fresa descentrada e y vos círculos de paso de radios /?[ y
y engrane
que han sido correspectivamente, éstos operarán en nue-
se acoplan dos engranes, engrane
1
2,
]
^ y y a un nuevo ángulo de presión
(J/.
El
espesor de los dientes en los círculos de paso de operación puede expresarse
como
y t'2 y se puede calcular fácilmente a partir de la ecuación 5.4. Estas dimensiones se muestran en la figura 5.3 junto con el espesor /, y t 2 de los dientes t\
R
de los círculos de paso de corte de radios
y R-,. continuación se desarrollará una ecuación para determinar ]
A presión
4>'
el
ángulo de
a que operarán estos dos engranes:
w_2 ü),
_ Aj _ Ai
N
(5.5)
R2
2
y
t\
+
2i:R[ t\
A, Sustituyendo
la
ecuación 5.4 en lugar de
t\
_ ”
2tt/? 2
N
(5.6) 2
y 4,
-
2R
+
(inv
4>
x
2
\ FIGURA
5.3
-
inv 4>')
+ 2R 2
h -T
2R
2
(inv
')
N\
SISTEMA DE DISTANCIA EXTENDIDA ENTRE CENTROS
203
Dividiendo entre 2 /?'
+
(inv
cf>
-
Ri
+
inv 4>')
2R
R\
2 /?,
^2
h
=
I
R[2R 2
2 /?,
Sustituyendo
la
^
+
+
(inv
-
4>
1+ fd (inv'-
(
IT
inv 4>')
inv
inv
c}))
)
ecuación 5.5 y 2P =
hPd
N¡
N, Multiplicando por
t2
.
+ A\/P
Pd
N
N
+
A/]
tx
+ ,
-
4>'
(inv
N,
2
2
N,
,
cj
t\
—
N
tt
+ h =
+
la
2e tan
4>
x
ecuación
+ - T
2 tan
Sustituyendo
p=
inv
(e!
5.1
+
e2 )
4>
ei
+
+
e2
e2
=
inv
4>
+ p =
+
=
=
(Ni
+
la
inv
&
;
7.
—
— TT
+
Ni +
(inv
4>'
-
inv
4>)
2
4>'
-
inv 4>)
'.
4>
(5.7)
+ Ni ~
yV 2 )(inv 4>'
m(Ni + A^)(inv
N
(inv
e 2 ) tan
x
1
Pd
r
2Pd (e +
2 Pd tan
—
H
Pd
2 tan
Empleando
t
y
+ ^ = 2 Pd
Ni
e,
t.
tr/P, y resolviendo para inv
4>'
-
Pd
en lugar de
2e 2 tan
2
(inv
Pd
Sustituyendo
N
+
{
inv 6)
(FPS)
(5.7a)
4>
4>'
—
inv
4>)
(SI) 4>
ecuación 5.7 es posible determinar
el
ángulo de presión
4)'
a
dos engranes después de haber sido cortados con una fresa descentrada e y e,, respectivamente. Para calcular el incremento en la distancia entre centros (con respecto a la distancia estándar entre centros C) debido al án-
que operarán
los
]
gulo de presión aumentado, se puede utilizar
la
ecuación 4.18,
la
cual se repite a
continuación:
AC = C
eos eos
4>
4>'
-
1
(5.8)
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
204
»
Con mucha
frecuencia es necesario diseñar engranes que se ajusten a una
distancia entre centros predeterminada.
En
este caso, el ángulo de presión se fija
condiciones del problema y es necesario determinar los descentramientos e, y e de la fresa. La suma e + e se puede determinar a partir de la ecuación 1 2 5.7 a. Sin embargo, debe señalarse que la suma de e y e-, no es igual al incremen-
por
las
}
}
to
en la distancia entre centr'dscon respecto a
la distancia
estándar entre centros.
Desafortunadamente, no hay forma de determinar e
y e en forma racional e independiente uno del otro. Debido a esto, los valores generalmente se selecciox
nan suponiendo uno de ellos o empleando alguna relación empirica como podria ser haciendo que e y e 1 varíen inversamente (o directamente, si e + e es nega2 x
tiva)
con
los
}
números de dientes en
No
los engranes,
en un intento de fortalecer los
método de seleccionar e y e 2 generalmente no produce dientes en el piñón y en el engrane que remotamente lleguen a tener la misma resistencia. En un intento por corregir esta situación, Walsh y Mabie desarrollaron un método para determinar el descentramiento e de la fresa a partir del valor de e + para un par de engranes rectos diseñados para operar a una distancia entre centros no estándar. Empleando una computadora digital fue posible ajustar e y e 2 para diversas relaciones de velocidades y cambios en la distandientes del piñón.
obstante, este
x
1
}
]
]
cia entre centros a fin de
madamente
que
la resistencia
de los dientes del piñón fuera aproxi-
igual a la de los dientes del engrane.
Debido a la complejidad del probtema, Iqs resultados tuvieron que darse en la forma de gráficas de diseño. Estas muestran curvas de ej(e + e ) contra N ! 2 2 + Estas gráficas de (TV, TV ) para diversos cambios en la distancia entre centros. 2 diseño se desarrollaron para un ángulo de presión de corte 4> de 20°, dientes de r
x
profundidad
total
Aunque
la
(k=
1)
y paso grueso.
gráficas se elaboraron para datos basados en un paso diametral
pueden usar para cualquier paso diametral hasta de 19.99 (final del paso grueso). Las gráficas también se elaboraron para TV, = 18 y N2 desde 18 hasta 30 dientes. Cuando TV, asume otros valores, se introduce un error muy ligero (menor del 4%). En la figura 5.4 se presenta una gráfica de muestra para cambios en la distancia entre centros AC = 1.175 pulg para P = 1 de
1,
éstas se
1
d
Ejemplo
.
Un
piñón y un engrane de 20 y 30 dientes, respectivamente, se van a cortar con una fresa de paso 5 y 20° de profundidad total para operar sobre una distancia 5.1.
entre centros de 5.25 pulg sin que haya juego entre dientes. Determine el valor de e, y e 2
que produzcan dientes del espesor adecuado de manera que del piñón y los dientes del engrane sean
aproximadamente
las resistencias
iguales.
La
de los dientes
distancia estándar
entre centros está dada por
Walsh y H. H. Mabie, “A Simplified Method for Detemining Hob Offset Valúes in the Design of Nonstandard Spur Gears”, Proceedings Segunda conferencia OSU de mecanismos aplicados, Stillwater, Oklahoma. 'E.
J.
,
:
SISTEMA DE DISTANCIA EXTENDIDA ENTRE CENTROS
N + N _ 2
i
20
205
+ 30
"2x5
2 Pd
5.00 pulg
Angulo de presión de operación: eos
v
=
í})'
c =
'
Cambio en
distancia entre centros:
la
VC =
26.50°
C
- C =
5.25
-
5.00
= +0.25 pulg El valor de
VC debe multiplicarse por el paso diametral debido a que las gráficas estándar
basadas en
P =
1
/
AC = VC =
x Pá = 0.25 x
5
1.25 pulg
También
N + N x
1.00
0.90
0.80 )
0.80
0 85
0.90
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
206
I
Por
lo tanto,
de
la figura 5.4,
e,
0.543 e¡
+
Calculando
e2
el
valor de e + e^a partir de la ecuación 5.1a
,
]
* e,
+
e-,
+
(N¡
—
N )( inv
4)'
2
2 Pd tan (20
+
Combinando e
x
inv
4>)
4>
30)(inv 26.5°
2x5 =
-
-
inv 20°)
tan 20°
0.29073 pulg
estos resultados,
-
0.543(e,
=
0.543(0.29073)
=
0.15787 pulg
+
e2 )
y e2
= 0.13286
Aunque no
pulg
es práctico dar todos los cálculos necesarios para determinar los esfuer-
zos en los dientes del piñón y
o 5,
=
—
9.952 W„
tl
,
engrane, se puede demostrar que
el
,
,
Ib/
pulg-
Ib/
pulg 2
r
S,
=
10.18W,,
F
en donde
W
n
F
= carga normal en = ancho de la cara
Además de en
el
punta del diente
la
del diente (pulg).
las gráficas
artículo publicado por
para cambios positivos en
Walsh y Mabie también
cas para cambios negativos en
la
al
la
distancia entre centros,
se ofrece
una
serie de gráfi-
distancia entre centros.
Es una tarea laboriosa calcular rectos no estándar debido
(Ib)
los esfuerzos en los dientes de los
cambio en
las
dimensiones estándar de
engranes
los dientes
provocado por los descentramientos e y de la fresa. Por esta razón, se desarrollaron curvas que dan los factores de esfuerzo ( SFIW ) en función de la relación ]
SISTEMA DE DISTANCIA EXTENDIDA ENTRE CENTROS
N
J
207
(N +
Para diversos cambios en la distancia entre centros y en el paso diametral. Sin embargo, no fue posible desarrollar gráficas para P. = como se hizo en el caso para las gráficas para el descentramiento de la fresa y que se muestran en la figura 5.4. Las figuras 5.5 y 5.6 muestran curvas de factores de esfuerzo para el engrane y el pinon para P - 5 del ejemplo 5. En la tabla \
,
I
d 5. se muestra una comparación de los factores de esfuerzo para los datos del ejemplo la comparación se obtuvo a partir de cálculos detallados que se dan en la referencía 2 y a partir de las curvas de las figuras 5.5 5.6. 1
.
1
I
•
y
-H. H. Mabie, E.
Walsh y V. I. Bateman. “Determination of Hob Offset Required Nonstandard Spur Gears with Teeth of Equal Strength". Mechanism and J.
to
Generated
Machine Tlieon
pp. 181-192.
18 v(3)
208
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
FIGURA
TABLA
5.6
Factores de esfuerzo (Ejemplo
5.1
Cálculos manuales Piñón
9.952 pulg
Engrane
Siegel y
10.18 pulg
_1
-1
Mabie 3 desarrollaron
5.1).
Gráficas de diseño 10.0 pulg 10.0 pulg
-1
-1
(Fig. 5.5) (Fig. 5.6)
otro enfoque para la solución del
problema
de determinar e y e 2 Mediante este método, se seleccionan valores de e y e .
]
¡
y H. H. Mabie, “Determination of Hob Offset Valúes for Nonstandard Gears Based on Ratio of Recess to Approach Action”, Proceedings Tercera conferencia OSU de meca-
’R. E. Siegel
Máximum
nismos aplicados,
,
Sitllwater,
Oklahoma.
SISTEMA DE DISTANCIA EXTENDIDA ENTRE CENTROS
209
para una aplicación en particular que den proporciones de los dientes que pro-
duzcan una relación máxima de la acción de receso con respecto a la acción de aproximación y que, al mismo tiempo, produzcan una relación de contacto m de 1.20 o mayor. Este sistema se basa en el hecho de que un par de engranes se
fi
acoplan
más suavemente
al salir del
cuencia, es ventajoso que sea tan grande
como
contacto que
al
entrar en contacto.
relación del receso con respecto a
la
la
En conse-
aproximación
sea posible, especialmente en los engranes que se
emplean
en los instrumentos.
No
adendo y
dedendo de un engrane del sistema de distancia extendida entre centros a menos que se cuente con información respecto al engrane con el que se va a acoplar. La figura 5.7 muestra dos engranes que se van a acoplar a una determinada distancia entre centros C\ Los engranes se van a cortar con una fresa que está descentrada e sobre el piñón y e sobre el engrane. 2 es posible calcular
el
el
x
diámetro exterior de cada engrane y la profundidad de corte. La línea de centros del engrane 2 se movió a la derecha para poder mostrar
Es necesario calcular
el
acoplado un diente del cortador con cada uno de se
conoce
la
los discos para los engranes. Si
distancia entre los centros, los radios de paso de corte, los
descentramientos de
es posible escribir las
FIGLRA
5.7
y la forma del diente y el paso diametral de la fresa, ecuaciones para los radios exteriores de la siguiente forma:
la fresa,
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
210
C' - R¡ - e 2 +
R o, =
£
(FPS)
m
(SI)
*
=
R„
- R2 -
e2
+
C' - R, -
e,
+ -£
C'
t
Rc = 2
*
Ro
Debe
2
=
d
— R -
C'
x
e
x
^ (FPS)
d
m
+
(SI)
señalarse, de acuerdo al dibujo, que los adendos de los dos engranes
no son
y que ninguno de ellos es igual a la relación klP de la fresa. partir del dibujo también se puede obtener fácilmente una ecuación para
iguales entre
sí,
¡
A la
profundidad de corte: h,
en donde c se obtiene de
= R 0l + R 02 tabla 4.
la
1
C'
+
c
(5.10)
ó 4.2.
SISTEMA DE ADENDO LARGO Y CORTO
5.3 Si el
cortador se avanza hacia
retira del piñón,
entonces e 1
el
disco para ehengrane
=—e t
tanto, el
y,
de acuerdo a
ángulo de presión a que operarán
los
la
la
misma
distancia que se
ecuación 5.7,
engranes es
el
cf)'
mismo que
de presión a que fueron cortados. Debido a que no hay cambio en presión, R'
=
y
R'-,
=R
y los engranes operarán a
la
=
el
cj>.
el
Por
lo
ángulo
ángulo de
distancia estándar en-
tre centros.
adendo del piñón se aumenta a klP + e y el adendo del engrane se reduce a klP —e. Los espesores de los dientes en los círculos de paso de corte se pueden d calcular fácilmente a partir de la ecuación 5.1, teniendo en mente que el espesor del diente del engrane disminuye la misma cantidad que la que aumenta el espesor del diente del piñón. Como se mencionó anteriormente, existen condiciones bajo las que el sistema de adendo largo y corto no funcionará correctamente. Para que el sistema de adendo largo y corto trabaje correctamente, el profesor M. F. Spotts, de la Northwestern University, encontró que la suma de los dientes en los engranes debe ser por lo menos igual a 64 para engranes de 14^°; por lo menos igual a 34 para engranes de 20° y que para engranes de 25° la suma de los dientes no debe ser menor que 24. Las proporciones de los engranes cortados con un cortador de piñones para cualquiera de estos dos sistemas no serán las mismas que cuando se cortan con El
{
una
fresa.
Las fórmulas anteriores solamente se aplican a engranes cortados con una
con un cortador de tipo de cremallera. No obstante, se pueden desarrollar fórmulas para engranes cortados con cortadores de piñones empleando los prinfresa o
cipios anteriores,
como
se verá en
una sección posterior.
SISTEMA DE ADENIX) LARGO Y CORTO
Ejemplo
Dos engranes
5.2.
rectos de
1
21
1
2 y 15 dientes, respectivamente, se van a cortar
con una fresa de paso 6 y 20° de profundidad total. Determine la distancia entre centros a la que deben operar los engranes para evitar rebaje o socavación.
= ¿(100 - V2
sen 2 20)
= 0.04968 pulg e2
inv
(t>'
-
sen 2 20)
=
¿(1.00
=
0.02045 pulg
=
inv
+
c{)
2P ,(e, + (
/V,
+
N
:
12
=
4)
x 6(0.04968 + 0.02045) tan
2
= 0.01490 +
e 2 ) tan
+
20'
15
0.01490 + 0.01134
- 0.02624 De
la
tabla de funciones involutas,
'
=
C
= R\ +
23.97
y
Ejemplo
R'_
=
2.3144 pulg
Dos engranes
módulo
de 20°, de 32 y 48 dientes, respectivamente. están operando conjuntamente en una distancia estándar entre centros de 120.00
mm. Con
5.3.
el
reemplazar
el
rectos de
3,
propósito de producir un cambio en
la
relación de velocidades, se desea
engrane de 32 dientes con uno de 31 dientes. El espesor del diente en
el
círculo de paso de corte del engrane de 48 dientes y la distancia entre centros de 120.00
mm
deben permanecer Determine
el
sin
cambio.
valor de e que dé dientes del espesor adecuado para que se acoplen ]
con
el
engrane de 48 dientes.
R
yV,m 2
31
X 3 2
= 46.500
mm
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
212
= N?m
/?,
48 x 3
Ni
=
r:
+
./V,
¥
R
eos
i
=
e,
+
=
e7
21 88
C
+ 48 48
=
+ 48
31
x 120.00 = 47.089
mm
x 120.00 = 72.911
mm
46.500 eos 20°
~
~R[
31 31
4)
(})'
d)'
mm
72.000
=
2/
+ N^l
/V,
COS
N
C'
N-,
=
R'
=
2
2
47.089
°
.
m(N + N |
2
){
inv
2 tan
3(31
+
c})'
—
inv
cj>)
4>
48)(inv 21.88°
-
inv 20°)
2 tan 20°
=
1
.5660
Para e , = 0,e, = 1.5660
mm
mm.
ENGRANAJES DE ACCIÓN DE RECESO A
5.4
Otro tipo interesante de engranes no estándar son los de acción de receso, llamados
así
debido a que toda o casi toda
la
acción entre los dientes ocurre durante
la
porción de receso del contacto. El sistema de adendo largo y corto es una forma de engranes de acción de receso. Se sabe que la porción de receso del contacto de
un par de engranes es mucho más suave que la porción de aproximación. Con esta base se desarrollaron los engranes de acción de receso y se ha encontrado que estos engranes resisten más el desgaste y operan con menos fricción, vibración y ruido que los engranes con dientes de proporciones estándar.
Los engranes de acción de receso se pueden maquinar empleando fresas y cortadores estándar. La forma de los dientes de dichos engranes es la misma que de los engranes estándar y se acoplan a la misma distancia entre centros. En consecuencia, un par de engranes de acción de receso se pueden usar en sustitula
ción de un par de engranes rectos estándar sin cambiar
la
distancia entre centros.
La resistencia de los engranes de acción de receso es aproximadamente la misma que la de los engranes estándar. Sin embargo, un engrane de acción de receso se debe diseñar para operar
como engrane
motriz o
como engrane
dor (movido); no se puede diseñar para que trabaje en ambas formas.
No
segui-
obstan-
un piñón de acción de receso puede mover a un seguidor en cualquier dirección, es decir, puede cambiar la dirección de rotación durante un ciclo de operate,
ción.
Además,
de velocidad flujo
los
así
engranes se pueden emplear para una transmisión con aumento
como
para una transmisión reductora de velocidad, aunque
de potencia siempre debe ser en
la
misma
ei
dirección. Si la dirección del flujo
ENGRANES DE ACCION DE RECESO de potencia cambia durante
la
213
operación, entonces ocurrirá un atascamiento en
área de contacto de los dientes
dando por resultado una
el
fricción y desgaste eleva-
Debido a estas limitaciones, los engranes de acción de receso no se pueden emplear como engranes locos operando a distancias estándar entre centros. dos.
Hay dos en que todo
tipos de engranes de acción de receso:
(
a ) de acción de receso
total
contacto es de receso y ( b ) de acción de semi-receso o receso parcial. Para que un par de engranes de acción de receso tengan una relación de el
contacto adecuada, deben tener poco o ningún rebaje y que los dientes no estén aguzados, los engranes de acción de receso total no deberán tener menos de 20 dientes en
engrane motriz
el
menos de 27
ni
dientes en
engrane seguidor. Sin
el
embargo, para los engranes de acción de semi-receso el número mínimo de dientes en el engrane motriz se reduce a 10 y en el engrane seguidor se reduce a 20.
Deben
preferirse los engranes de acción de receso total debido a
ción se encuentra en
la
la
ac-
porción de receso. Sin embargo, en muchas ocasiones
uso de los engranes de acción de receso ro de dientes
que toda
ve limitado debido
total se
al
el
gran núme-
que requieren y en su lugar se deben emplear engranes de acción de
semi-receso.
La
tabla 5.2 muestra las proporciones para los dos sistemas de engranes de
acción de receso. Para poder comparar los engranes de acción de receso y los engranes estándar, la figura 5.8 muestra los círculos de adendo, de paso y base y la
longitud de acción de (a) engranes estándar, ( b ) engranes de acción de receso
y ( c ) engranes de acción semi-receso acoplados. En la figura 5.86, para el sistema de acción de receso total, el círculo de paso del seguidor (engrane 2) se
total
convierte en
el
círculo de adendo debido a que
adendo es
el
cero.
En consecuen-
porción de aproximación de contacto de los dientes es cero y toda la longitud de acción se encuentra en la porción de receso. La figura 5.8c, para el sistema cia, la
TABLA receso.
5.2
Proporciones de
(Ángulo de presión
c{>
en
los dientes
engranes de acción de
= 20°)
Acción de semi-receso
Adendo
los
Acción de receso
Seguidor
Motriz
1.500
0.500
2.000
Pé
Pé
Pé
0.796
1.796
0.296
2.296
Pé
Pd
Pé
Pd
(6)
Diámetro de paso (D)
0
N
N
N
N
Pd
Pd
Pd
Pd
N Radio exterior (RJ
Espesor del diente
Seguidor
Motriz
(a)
Dedendo
total
+
3
N
+
1
N
+
4
N 2 Pd
2Pé
2 Pé
2 Pd
1.9348
1.2068
2.2987
0.8429
Pé
Pé
Pd
Pd
(/)
214
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR O »
¥
FIGURA
5.8a
A
FIGURA
5.86
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR Engranes de acción de receso parcial
o '
Engrane
de acción de semi-receso, muestra
grande que
5.5
La
la
la
1
(motriz)
215
|
3!
S
«
3
3
§
porción de receso considerablemente
más
porción de aproximación para este sistema.
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR CORTADOS CON UN CORTADOR DE PIÑONES
una aplicación de distancia extendida entre centros cuando se cortan con un cortador de piñones es mucho más compleja que cuando los engranes se cortan con una fresa o una cremallera. Cuando se emplea una fresa para cortar un engrane no estándar, el círculo de paso de corte del engrane que está siendo cortado y el ángulo de presión de corte son los mismos que en el caso de un engrane estándar. Este hecho teoría referente a la producción de engranes rectos para
medida el análisis, como se ha visto en secciones anteriores. Sin embargo, cuando el corte se efectúa con un cortador de piñones y éste se retira una distancia e, se define un nuevo círculo de paso de corte en el engrane y en el cortador de piñones. Además, también se desarrolla un nuevo ángulo de presión de corte. Estos cambios hacen que el análisis sea mucho más complejo. simplifica en gran
Esta situación se muestra en
la
figura 5.9.
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
216 1
FIGURA La
o
0\
5.9
Comparación
del corte de
Y
un engrane estándar y un engrane no estándar.
figura 5.9 a muestra el caso de un cortador de piñones generando un engrane a
una distancia estándar entre centros. La ecuación para
la
distancia estándar de
corte entre centros es
Ces =
N
+
N (FPS)
,
c
est
=
(
N
+ V >'
= ángulo de .
217
presión estándar del cortador.
(
La figura 5.9 b muestra el caso en que la distancia entre centros de corte se incrementa en una cantidad e. Debido a que los radios de los círculos base permanecen sin cambio,
el
ángulo de presión de generación
eos 4c
está
4>
;
dado por
(N + K)p h 2n < Ces. + e )
(5.13)
en donde
= descentramiento
e
La ecuación de
la
del cortador de piñones.
involutometria para
espesor
el
t
de un diente de un en-
B
grane de involuta a diversos radios y sus correspondientes ángulos de presión de involuta está dada por
tB
=
2RB
T-
2R
inv
= ángulo de presión de involuta en
el
= ángulo de
el
radio
4>
&
presión de involuta en
Esta ecuación también se puede expresar
eos
h
4>/l
radio
.
como
r — COS 2 Rb
(inv
eos 4^s
R Rs 4
,
1 cj>^
-
X
inv
= R eos B
,
4> B
.
ecuación 5.15 es posible escribir una ecuación para
el
espesor del
de un cortador en su círculo de paso de generación:
t
tc t
COS
o
(}> c
(inv
8c
cos 4c
eos
.
t
-
inv
(\)
g)
(5.16)
4>^
en donde t
c
= espesor
del diente del cortador en el círculo estándar de paso
siendo p c
Rb =
el
paso circular de un diente estándar
radio del círculo base del cortador.
El espesor del diente del cortador, según está al
ancho
pj 2,
dado por
la
ecuación 5.16, es igual
del espacio del engrane en su círculo de paso de generación. El espesor
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
218
t
del diente al
del engrane en su círculo de paso de generación es, por lo tanto, igual
/
paso circular en dicho círculo menos
dado por
la
ancho del espacio. Este espesor está
el
ecuación
pb
h
tc
eos 4
eos 4\
2Rh
eos 4> c >
— (inv
4> c
-
inv4>
eos 4> g
g
(
)
5 17 ) .
*
Cuando
el
engrane se acopla con un segundo engrane, se obtiene un círculo de
paso de corrida o funcionamiento. Empleando diente
t
r
ecuación 5.15,
la
el
espesor del
de un engrane en un círculo de paso de corrida se determina con eos eos
(j)
g
2R b r — (inv
+
eos
r
.
4) s
-
.
V
.
inv 4 > r )
(
5 18 )
(
5 19 )
(
5 20 )
.
,.
= ángulo de presión de
Rh =
radio base del engrane.
Sustituyendo
tr
=
corrida
Pb
la
eos 4
tc
eos 4>r
ecuación 5.17 en >
la
—2 R—r (mv eos
ecuación 5.18 da
b
c
eos 4>r
r
2 H
7- (inv eos 4>r
4>#
-
inv 4> r )
.
y
inv 4>p
tr
=
eos 4 ) r
- pb +
tc
eos
2 R b inv 4 > f
+
4> c
2 (R bc
+
2 R b inv 4 > r
+ Rb)
.
El ángulo de presión de generación a que debe cortarse un engrane para dar un
espesor específico de dientes a un ángulo de presión de corrida determinado pue-
ecuación 5.20. El descentramiento requerido en
el
cortador para dar este ángulo de presión puede entonces calcularse a partir de
la
de calcularse a partir de
la
ecuación 5.13.
Cuando
y 2 han sido cortados con un cortador de piñones para acoplarse a una distancia extendida entre centros, pueden escribirse ecuaciones los
engranes
1
a partir de la ecuación 5.19 para dar el espesor del diente de cada engrane en su
círculo de paso de corrida:
ph -
tc
eos
4>r
— 2R b
(inv
4>
4>
r
gl )
+
2/?
(inv
/, ¡
4>
g]
-
inv
4> r )
R
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR ph -
tc
eos
- 2R h
4> r
(inv
-
4> f
+ 2R h Xinv
invef)^)
eos
inv
4\-
219
4),)
4> r (
El diámetro del círculo de paso de corrida del engrane
5 21 ) .
es
1
2/V,
N
N, + en donde
A
es
el
incremento en
engranes. Por lo tanto,
el
(C + A)
D
el
”
+
jY,
círculo de paso de corrida es
+ A)
2 tt(C
r
"¡vT
5 . 22 )
distancia estándar entre centros de los dos
la
paso circular en
7T
(
2
n
(
5 . 23 )
(
5 . 24 )
2
y 2tr(C /v,
A)
-I-
n
-f
2
para pares de engranes con juego entre dientes igual a cero. Sustituyendo ción 5.21 en lugar de
inv
4> gl
t
y
t
(R hf + R b] ) + inv
r
en
ecua-
ecuación 5.24 y simplificando, se obtiene
la
4> g2 (^¿,
la
.
+ Rb
(
=
2
)
2
bc
inv
4> t
.
+
+ R bl )
inv 4>r(^¿>,
La ecuación 5.25 se puede simplificar aún más expresando R h ción del número de dientes, el ángulo de presión del cortador y
,
(
5 25 ) .
Rh el
y R h en funpaso diametral
para dar
(/V,
-f
N
c)
inv
g:
2
N
c
inv
4» (
+ (N + x
N
2)
inv
4>r
ecuación 5.26 se puede ver que no hay forma de determinar la
5 26 ) .
y
4> g2
: y e2 no se pueden calcular direc ecuación 5.13. Para superar esta dificultad se desarrolló una
independientemente uno de otro; por tamente a partir de
4>g
(
lo tanto,
segunda relación entre e y e 0 igualando
los esfuerzos de flexión estáticos en los
]
dos engranes.
4
Para balancear los esfuerzos en los dientes se escribió un programa de
computadora en
4
el
que se ajustan
los descentramientos del cortador
de piñones
Green y H. H. Mabie, “Determination of Pinion-Cutter Offsets Required to Produce Nonstandard Spur Gears with Teeth of Equal Strength”, Mechanism and Machine Theory, 15 (6), R. N.
pp. 491-506.
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
220
I
utilizado para cortar los engranes. El sistema de engranes se definió mediante los
números de dientes en
el
piñón y en
diámetro de paso y el paso distancia entre centros a la que van a operar los engrael
engrane,
el
diametral del cortador, y la nes. El sistema se utilizó para producir un conjunto de gráficas de diseño para
y e 1 como una función de NJN para diversos valores de AC. Las gráficas se basaron en un ángulo de presión de 20° para el cortador y en un piñón (te 20 dientes. Desafortunadamente, no es posible emplear las gráficas determinar valores de
e,
]
para
la
obtención de los descentramientos para conjuntos de engranes con piñones
que contengan un número significativamente mayor o menor que los 20 dientes que se supuso para la generación de los valores. En las figuras 5.10 y 5.1 se presentan gráficas de muestra para determinar e y e respectivamente, para un v cortador de paso 10 y diámetro de 4 pulg para cambios AC = 0.010 a 0.100 pulg en la distancia entre centros. La tabla 5.3 muestra el rango de los pasos diametrales que se utilizaron en el desarrollo de las gráficas. En las gráficas puede observarse que las curvas para cada valor de AC, excepto para AC = 0, tienen una discontinuidad en la pendiente en algún punto a lo largo de su longitud. El cambio en la pendiente marca el punto en el que el 1
]
diseño de los dientes del engrane deja de ser
el
resultado de balancear los esfuer-
zos en los dientes y entonces el diseño queda regido por la necesidad de evitar el rebaje o socavación. Esto se logra limitando la profundidad de corte que se hace
en los engranes
al
valor permitido de^profundidad de corte para un cortador de
piñones estándar. El segmento a
go sobre
P j= (
el
que
10
FIGURA 5.10
los esfuerzos
la
izquierdaAde
la
continuidad representa
de los dientes han sido balanceados.
Diámetro del cortador = 4.0 puig
Descentramiento del cortador.
= 20
el
ran-
C
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
221
Diámetro del cortador = 4.0 pulg
AC
pulgadas
.1000 .0900 .0800 .0700 .0600 .0500 .0400 .0300
.0200 .0100 0.0000
FIGURA
Descentramiento del cortador.
5.11
TABLA
Rango de
5.3
las gráficas
Diámetro de
de diseño"
Paso diametral
paso del cortador, pulg
6
4
3
8
10
12
X
X
X
4
X
X
X
X
X
5
X
X
X
X
X
6
X
X
X
a
N
=
20,
4)
=
20°,
1
^ N2/N ^
6.
]
{
Para completar
la
geometría del sistema de engranes se figura 5.12, los radios exteriores de los dos
definición de
requieren otras ecuaciones. Según
la
la
engranes son
R„ =
C -
R
C
(>:
=
-
(
(
Cest,
+
e i)
+
~
c
e s tl
+
e
+ Ra -
c
x
)
(c
=
claro del diente)
(5.27)
(5.28)
La profundidad de corte requerida es
h,
-
/?„,
+ R 0: -
C
+
c
(5.29)
222
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
I
T ^
esti
+ e
-\
JL
o.
FIGURA 5.12
Radios exteriores y profundidad de corte en
La ecuación para
los radios exteriores se
R
~
=
c
R0 = R + m +
c
i
(FPS)
d
c
,
engranes rectos no estándar.
puede simplificar aún más reconociendo que
+
o,
los
^SI)
Así,
R„
=
C'
- R -
e2
+
^
(FPS)
=
C
- R2 -
e2
+
m
(SI)
= C' - R, -
e,
+
~
(FPS)
2
t
R
R
0l
,
2
*
R,> :
= C' - R
}
e¡
+
(
5 30 )
(
5 31 )
.
.
d
m
(SI)
y de esta manera las ecuaciones para el radio exterior y la profundidad de corte para engranes no estándar cortados con un cortador de piñones se pueden poner en
la
misma forma que
las
cortados con una fresa.
ecuaciones correspondientes para engranes no estándar
R
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
223
Finalmente, los radios de dedendo para los engranes no estándar están da-
dos por
las siguientes
ecuaciones:
= R R di = R
0}
2
~
h,
(
5 . 32 )
-
h,
(
5 33 )
Se puede desarrollar una ecuación para determinar
comienzo del rebaje. Empleando la triángulo CUEjO, de la figura 5.13 que
cortador que marcará
puede observar del
(Ro,)
al
comienzo
2
el
el
= (C + ef + (R h y est
del rebaje.
De I
C
la
est
2
hi
(Ccst +
descentramiento del ley de los cosenos, se
e) eos
ecuación 5.13,
+
e) eos
=
(N + ,
N
c
)p b
2tt
Oí
FIGURA
5.13 Límite para
el
.
rebaje de los dientes.
4>
(
5 . 34 )
t
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
224 que,
al susjituirse
en
la
ecuación 5.34, da
= J(R o y - (R h y + R bl
e*
en donde e* es
(N,
+
N )p c
b
- cest
(5.35)
TT
descentramiento mínimo que impedirá que se presente rebaje o
el
socavación.
la
Para ti caso especial de Tos engranes de adendo largo y corto, el cambio en distancia entre centro AC es igual a cero. De la ecuación 5.1a se vio que e = ]
—e 2 para
engranes cortados con
los
fresa.
Para los engranes no estándar cortados
con un cortador de piñones no se tiene tal simplificación, y la relación entre e y Por lo e sigue siendo sumamente no lineal y e no es igual al negativo de e tanto, los engranes de adendo largo y corto no se pueden cortar con cortadores de piñones estándar. ]
¡
Ejemplo
Se requiere diseñar un piñón de 20 dientes y un engrane de 40 dientes para operar a una distancia entre centros de 3.100 pulg sin que haya juego entre dientes. 5.4.
Los engranes
se
0 y 20°, con un diámetro para balancear en forma aproximada los
van a cortar con un cortador de piñones de paso
de paso de 4 pulg. Determine
valor de e y e-, esfuerzos de flexión en los dientes del piñón y del engrane. el
]
N
C
N
+
]
20 + 40
2
3.000
i~ r p
t
C =
A C = C' -
3.100
-
3.000
N: _ 40 _ . ~ “ ~
Por
/V,
20
lo tanto,
de
=
e i
y de
la
la
figura 5.10.
0.063 pulg
figura 5.11,
e
—
0.042 pulg
Los esfuerzos calculados resultaron
S,
=
22.85
y
Ib/
pulg 2
=
22.87
~r
Ib
pulg 2
y
.V.
pult>
2 ( 10 )
i
r
ser
= 0.100 pulg
1
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR P(j=
Diámetro del cortador = 4.0 pulg
10
225
áC
= 20
pulgadas
0.0000 .0100 .0200 .0300 .0400 .0500 .0600 .0700
.0800 .0900
.1000
FIGURA
5.14 Factor de esfuerzo en los dientes.
pCl=
io
4.0
3.0
N 2 /N
FIGURA
= 20
Diámetro del cortador = 4.0 pulg
i
5.15 Factor de esfuerzo en los dientes.
5.0
6.0
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
226
en donde
W
n
F
%
= carga normal en = ancho de la cara
Como
en
la
punta del diente (Ib)
del diente (pulg).
caso de los engranes rectos no estándar cortados con fresa,
el
muy
también es una tarea
tediosa calcular los esfuerzos en los dientes de los
engranes rectos no estándar cortados con un cortador de piñones. Por esta razón se desarroyaron curvas paraobtener los factores de esfuerzo
de
N /N 1
para diversos cambios en
la
(,
distancia entre centros.
SF/W
5
)
en función
Las figuras
5.
14 y
engrane para
P -
]
5.15 muestran curvas de factores de esfuerzo para
En
10 del ejemplo 5.4.
tabla 5.4 se muestra una
la
el
piñón y
el
comparación de
los factores
¡
de
esfuerzo para los datos del ejemplo 5.4; estos valores se obtuvieron mediante los cálculos detallados que se dan en figuras 5.14 y 5.1
referencia 5 y a partir de las curvas de las
5.
TABLA 5.4
Ejemplo
la
Factores de esfuerzo (Ejemplo 5.4)
Cálculos manuales
Gráficas de diseño
Piñón
22.85 pulg"
22.90 pulg
Engrane
22.87 pulg
1
1
-1
-1
22.90 pulg
(Fig. 5.14)
(Fig. 5.15)
Dos engranes
rectos de 32 y 48 dientes cortados con un cortador de piñones de paso 8 y 20° se acoplan sin juego entre dientes a la distancia estándar entre
5.5.
centros de 5 pulg.
A fin
de cambiar
piñón de 32 dientes con uno de 3 corte del engrane de 48 dientes y
cambio. Determine
el
la
relación de velocidades es necesario reemplazar el
dientes. El espesor del diente en el círculo de paso de
1
distancia entre centros de 5 pulg
la
deben permanecer
sin
valor de e que produzca dientes del espesor adecuado para acoplar¡
se con el
engrane de 48 dientes. El diámetro de paso
3.000 pulg y
el
número de /V,
*2
31
~
2 Pj
2(8)
N
48
:
~ 2 Pd A,
C
dientes
+
5
=
el
del cortador de piñones es
de
cortador es igual a 24.
=
1.9375 pulg
=
3.000 pulg
2(8)
N
z
=
2 P,
C
Nc en
D
31
+
48 4.938 pulg
2(8)
5.000 pulg
Green y H. H. Mabie, “Determination of Static Tooth Stresses in Nonstandard Spur Gears Cut by Pinion Cutter”, Mechanism and Machine Theory, 15 (6). pp. 507-514. R. N.
PROBLEMAS— NORMA AMERICANA 4.938 eos
(EPS)
227
20'
5.000
=
'
=
21.87°
4>,
Debido a que e 2 - 0, el ángulo de presión de generación ecuación 5.26 se puede resolver fácilmente para cj>^
del
engrane
=
4>
20°, y
la
:
(
N
+
(31
Por
W
+
i
(
)
inv
24) inv
N
=
4> S|
+
(
2
+
A/
(J)^
+
(48
+
24) inv 20°
(
)
inv
=
2
N
r
inv
4>,
+
2(24) inv 20°
(/V,
+
+ AL)
(31
+
inv
r
48) inv 21.87°
lo tanto,
inv
=
K|
0.021773
y
=
4),,
De
la
22.59°
ecuación 5.13, (/V, .
2tt
(C cs
+ N,)p h eos
4> x
est ,
es a distancia estándar entre centros del engrane I
t
p h - p eos
4>,
= £ 8
eos 20°
=
1
y
el
cortador)
0.3690 pulg
C
est
e
= 0.06096
pulg
Problemas— Norma americana (FPS) Un
piñón de 12 dientes se va a cortar con una fresa de paso 2 y 20°. Elabore un dibujo de los dientes teóricos de la cremallera y el piñón en la posición estándar como se 5
.
1
.
muestra en
la
figura 5.2 a. Dibuje la involuta del piñón
involutometría. Muestre
el
efecto sobre
el
empleando
diente del piñón
hasta que su línea de adendo pase apenas por
el
al retirar la
las
ecuaciones de
cremallera básica
punto de interferencia. Este dibujo deberá
mostrarse con líneas punteadas y superimpuesto sobre el primer dibujo con el lado del diente de la cremallera pasando por el punto de paso. Señale el círculo base, el círculo de
paso de corte,
el
descentramiento de
(de corte y estándar) de
la
cremallera.
la fresa, el
ángulo de presión y
las líneas
de paso
ENGRANAJES RECTOS NO ESTANDAR
228
»
Un
piñón de 24 dientes se va a cortar con una fresa de paso 10 y \4\°. Calcule la distancia mínima que la fresa tendrá que retirarse para evitar rebaje. Calcule el radio del 5.2.
círculo de paso de corte y
el
espesor del diente en
Un engrane de 26 dientes se va a distancia máxima que la fresa se puede 5.3.
presente rebaje. Calcule
el radio,
el
círculo de paso de corte.
cortar con una fresa de paso 7 y 20°. Calcule la
avanzar hacia
el
disco para
el
engrane sin que se
del círculo de paso de corte y el espesor del diente en el
círculo de pÜso de corte.
Un
engrane de 20 dientes se corta con una fresa de paso 4 y 14 i° que se ha retirado 0.10 pulg. Determine si este descentramiento de la fresa es suficiente para eliminar el 5.4.
rebaje. Si es así, calcule el espesor del diente en el círculo de paso de corte y en el círculo
base.
Un engrane
5.5.
cambio en
la
de 35 dientes se va a cortar con una fresa de paso 4 y 14i°. Calcule el posición del cortador desde su posición estándar para dar un espesor de
diente de 0.400 pulg en un círculo para
que
el
ángulo de presión es de 20°.
Un
piñón de 20 dientes se va a cortar con una fresa de paso 6 y 20°. ¿Cuál debe ser cambio en la posición del cortador desde su posición estándar para dar un espesor de
5.6. el
el
diente de 0.274 pulg en un círculo para
el
que
el
ángulo de presión es de
14?°.
Un
piñón de 20 dientes se va a cortar con una fresa de paso 6 y 20°. Calcule el ancho mínimo de diente que se puede producir en un círculo para el que el ángulo de presión es 5.7.
de
14:
5.8.
0 .
Un
El diente no se debe rebajar.
piñón de
1
1
dientes y un engrane de 14 dientes se cortaron con una fresa de paso
8 y 20°. Para evitar rebaje o socavación, la fresa seretiró 0.0446 pulg en el piñón y 0.0227
ángulo de presión y la distancia entre centros a que operaran estos engranes cuando se acoplen. Determine la diferencia entre la distancia entre centros en
engrane. Calcule
el
calculada y
la
el
distancia estándar entre centros, y compárela con e
}
+
Demuestre que
5.9.
(e
+e
> AC
para
'
>
+
< AC
para
cf>'
5 dientes y un engrane de 2
1
dientes se van a cortar con una fresa de
peso 6 y 14|° para operar en una distancia entre centros de 3.20 pulg. Determine engranes se pueden cortar sin rebaje para operar a esta distancia entre centros.
Con
5 . 11 .
engranes,
Un
5.12.
los datos del
ejemplo
5.2, calcule los radios exteriores
de
si
estos
los discos para los
profundidad de corte y la relación de contacto. piñón y un engrane de 13 y 24 dientes, respectivamente, se van a cortar con una la
fresa de paso 4 y 20° para operar a
una distancia entre centros de 4.83 pulg. Calcule
ángulo de presión a que operarán
engranes y
inversamente con
el
número de
evitar el rebaje o socavación.
los
el
dientes. Verifique
Determine
valor de si e,
e,
es lo
los radios exteriores
el
varíen y e Haga que e, y suficientemente grande para
de los discos para los engra-
nes, la profundidad de corte y la relación de contacto.
Un piñón de 12 dientes tiene un espesor de diente de 0.2608 pulg en su círculo de paso de corte. Un engrane de 32 dientes que se acopla con el piñón tiene un espesor de diente 5.13.
de
0.
1
880 pulg en su círculo de paso de
corte. Si
ambos engranes
se cortaron
con una fresa
PROBLEMAS—NORMA AMERICANA de paso 7 y 20°, calcule el descentramiento e de el ángulo de presión a que operan los engranes.
la
(FPS)
229
fresa utilizado al cortar cada engrane y
Un
piñón no estándar de 35 dientes tiene un espesor de diente de 0. 88 pulg a un radio de 2.50 pulg y un ángulo de presión de 20°. El piñón se acopla con una cremallera en el radio de 2.50 pulg con un juego entre dientes igual a cero. Si la cremallera es de paso 7 5 14 . .
1
y 20°, calcule
la
distancia desde
centro del piñón hasta
el
la línea
de paso estándar de
la
cremallera.
5 15 .
.
Un
piñón de
1
1
dientes va a
mover un engrane de 23
dientes a una distancia entre
centros de 2.00 pulg. Si los engranes se van a cortar con una fresa de paso 9 y 20°, calcule el valor de e y e para que el inicio del contacto durante el corte del piñón ocurra en el 2 }
punto de interferencia del piñón.
Un
piñón de 20 dientes cortado con una fresa de paso
0 y 20° mueve un engrane de 30 dientes a una distancia entre centros de 2.50 pulg. Se requiere reemplazar estos engranes con un par que dé una relación de velocidades de 3: y que mantenga la misma 5.
6
.
1
distancia entre centros.
Empleando
la fresa del
los
1
mismo paso
originales, seleccione un par de engranes para este trabajo
con respecto a
1
engranes estándar. Determine
los
diametral que los engranes
que varíen
lo
menos
descentramientos de
posible
la fresa, los
radios exteriores y la profundidad de corte.
Se requiere conectar dos flechas cuya distancia entre centros es de 3.90 pulg con un par de engranes rectos que tengan una relación de velocidades de .25: 1 Empleando una 5 17 .
.
1
.
0 y 14i°, recomiende un par de engranes para este trabajo cuya relación de velocidades angulares se aproxime lo más que sea posible a .25: 1 y no presenten rebaje. fresa de paso
1
1
Calcule los descentramientos de la
y
la fresa, los
diámetros exteriores,
la
profundidad de corte
relación de contacto.
Un
piñón y un engrane de 27 y 39 dientes, respectivamente, se van a cortar con una o fresa de paso 6 y 42 para dar dientes de adendo largo y corto. La fresa está descentrada 0.03 pulg. Determine para cada engrane el diámetro de paso, el diámetro exterior, la pro5 18 .
.
1
fundidad de corte y
el
espesor del diente en
el
círculo de paso.
Un
par de engranes de adendo largo y corto de 1 8 y 28 dientes, respectivamente, se cortaron con una fresa de paso 4 y 20° con un descentramiento de 0.060 pulg. Compare la 5.19.
relación de contacto de estos engranes con la relación de contacto de un par de engranes
estándar del
mismo paso y números de
dientes.
piñón de 30 dientes cortado con una fresa de paso 20 y 20° mueve un engrane de 40 dientes a una distancia estándar entre centros. Se requiere un juego entre dientes de 5 20 .
.
Un
piñón y hacia el engrane para dar este juego. Suponga que ambos engranes se adelgazan la misma canti0.004 pulg, calcule
la
distancia que
la fresa
debe alimentarse hacia
el
dad.
dientes cortado con una fresa de paso 8 y 25° se va a acoplar con un engrane de 40 dientes a una distancia entre centros de 3.80 pulg. Si la fresa se saca 0.0352 5.21.
Un piñón de 20
piñón y 0.0165 pulg cuando se corta entre dientes que se produce. pulg cuando se corta
el
el
engrane, calcule
el
juego
Un
par de engranes de adendo largo y corto de 18 y 30 dientes, respectivamente, cortados con una fresa de paso 6 y 25° están diseñados para producir un juego entre 5.22.
valor de e, y e 2 estos engranes se modifican para dar un juego entre dientes de 0.005 pulg, suponiendo
dientes igual a cero si
cuando
la fresa está
que ambos engranes se adelgazan
la
descentrada 0.05 pulg. Calcule
misma
cantidad.
el
.
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
230
Un
2 y 20° mueve un engrane de 42 dientes. Si estos engranes son del tipo de acción de semi-receso, calcule la relación de la 5 23 . .
piñón de
1
8 dientes cortado con una fresa de paso
acción de receso con respecto a 5 24 .
Un
.
1
acción de aproximación.
la
par de engranes de acción semi-receso se acoplan sin que haya juego entre
dientes. El piñón tiene
20 dientes y
el
engrane 48 dientes. Si los engranes se cortan con
una fresa dt^paso 10 y 20°, cafcule la relación de contacto. 5 25 Un par de engranes de acción de receso se van a diseñar para que se acoplen .
.
sin
que
haya juego entre dientes. El piñón va a tener 20 dientes y el engrane 44 dientes, y los dos engranes se van a cortar con una fresa de paso 8 y 20°. Calcule si se puede obtener una relación de contacto de
1
empleando engranes de acción de receso
.40
total
o de semi-
receso, o ambos.
Un
5.26.
piñón de 24 dientes cortado con una fresa de paso
1
0 y 20°
mueve un engrane de de acción Z = 0.4680
40 dientes. Los engranes tienen acción de semi-receso y la longitud pulg. Calcule la relación de la acción de receso con respecto a la acción de aproximación. 5 27 .
Un piñón
.
N
con
de 24 dientes se va a cortar con un cortador de piñones de paso
= 30 y D = 3 c
pulg. Calcule la distancia
para evitar rebaje. Calcule el
el
mínima que
el
1
0 y
1
4|°,
cortador tendrá que retirarse
radio del círculo de paso de corte y
el
espesor del diente en
círculo de paso de corte.
5 28 .
Un engrane de 26 dientes se va a cortar con
.
N
con
hacia
= 24 y
el
corte y
5 29 .
= 16 y
=
disco para el
Un
.
D
D
l
3 pulg. Calcule la
engrane sin que cause rebaje. Calcule
el
espesor del diente en
pasóle
corte.
el
el
rebaje. Si es así, calcule el espesor del diente en el círculo
de
círculo de base.
Un
.
engrane de 35 dientes se va a cortar con un cortador de piñones de paso 4 y 4?°, = 20 y D = 5 pulg. Calcule el cambio en la posición del cortador desde su posición
N
con
círculo de
radio del círculo de paso de
1
paso de corte y en .
el
el
engrane de 20 dientes se corta con un cortador de piñones de paso 4 y 4y° (2V = 4 pulg) que se ha retirado 0.100 pulg. Determine si este descentramiento es
suficiente para eliminar
5 30
un cortador de piñones de paso 8 y 20°, distancia máxima que el cortador se puede avanzar
1
estándar para dar un espesor de diente de 0.400 pulg en un círculo para
el
que
el
ángulo de
presión es de 20°.
5 31 .
Un
.
Nc
con
piñón de 20 dientes se va a cortar con un cortador de piñones de paso 6 y 20°, = 36 y Z) = 6 pulg. ¿Cuál debe ser el cambio en la posición del cortador desde su .
posición estándar para dar un espesor de diente de 0.274 pulg en un círculo para
ángulo de presión es de 14 5 32 . .
con
el
que
el
|°?
Un
piñón de 20 dientes se va a cortar con un cortador de piñones de paso 6 y 20°, = 30 y = 5 pulg. Calcule el ancho mínimo de diente que se puede producir en un c c
D
N
círculo para el que el ángulo de presión es de 14i°. El diente no se debe rebajar.
5 33
Un
piñón de
dientes y un engrane de 14 dientes se cortaron con un cortador de piñones de paso 8 y 20°, con c = 24 y c = 3 pulg. Para evitar rebaje o socavación, el .
.
1 1
N
D
cortador se retiró 0.0446 pulg en
de presión y la plen. Determine
piñón y 0.0227 pulg en el engrane. Calcule el ángulo distancia entre centros a los que operarán estos engranes cuando se acoel
diferencia entre la distancia entre centros calculada y la distancia estándar entre centros y compare con e + e,. la
]
5 . 34
.
Un
piñón de
1
5 dientes y
un engrane de 2
de piñones de paso 6 y 14i° (Nc = 24 y
Dc = 4
1
dientes se van a cortar con
un cortador
pulg) para operar en una distancia entre
PROBLEMAS— SISTEMA INTERNACIONAL centros de 3.200 pulg. Determine
231
estos engranes se pueden cortar sin rebaje para operar
si
a esta distancia entre centros.
Dos engranes
5.35.
rectos de 12 y 15 dientes, respectivamente, se van a cortar con un
N
D
cortador de piñones de paso 3 y 20°, con = 4 pulg. Determine la distancia = 12 y c entre centros a la que se deben operar los engranes para evitar rebajes. Calcule los radios ext
teriores
de los discos para los engranes,
Un
5.36.
piñón de
so de corte.
profundidad de corte y la relación de contacto. 2 dientes tiene un espesor de diente de 0.2608 pulg en su círculo de pa-
1
Un engrane de 32
la
dientes que se acopla con
el
piñón tiene un espesor de diente
de 0.1880 pulg en su círculo de paso de corte. Si ambos engranes se cortaron con un cortador de piñones de paso 8 y 20° (N = 24 y D = 3 pulg), calcule el descentramiento e c c utilizado al cortar cada engrane y el ángulo de presión a
Un
5.37.
piñón de
dientes va a
1 1
que operan
mover un engrane de 23
los engranes.
dientes a una distancia entre
centros de 2.000 pulg. Si los engranes se van a cortar con un cortador de piñones de paso
= 40 y
10 y 20° (TV
contacto durante
Un
5.38.
el
D
=4
]
corte del piñón ocurra en
el
y
e~,
de manera que
el inicio
del
punto de interferencia del piñón.
0 y 20° (N = un engrane de 30 dientes a una distancia entre centros de 2.500
piñón de 20 dientes cortados con un cortador de piñones de paso
Dc = 4 pulg) mueve
40 y
pulg), calcule el valor de e
pulg. Se requiere reemplazar estos engranes
1
con un par que dé una relación de velocida-
y aún así mantenga la misma distancia entre centros. Empleando el mismo cortador que para los engranes originales, seleccione un par de engranes para este trabajo des de
lj:l
que varíen
lo
menos
posible con respecto a los engranes estándar. Determine los
descentramientos, los radios exteriores y
la
profundidad de corte.
5.39. Se requiere conectar dos flechas, cuya distancia entre centros es de 3.900 pulg, con
un par de engranes rectos que tengan una relación de velocidades de
1
.25:
1
.
Utilizando un
D
cortador de piñones de paso 10 y 1 4i° (Nc = 30 y = 3 pulg), recomiende un par de c engranes para este trabajo cuya relación de velocidades angulares se aproxime tanto como
y no presenten rebaje. Calcule los descentramientos del cortador, los diámetros exteriores, la profundidad de corte y la relación de contacto. 5.40. Un piñón de 30 dientes cortado con un cortador de piñones de paso 20 y 20° (vV. = sea posible a
60 y
1
.25:
1
D =3 pulg) se va a acoplar con un engrane de 40 dientes a la distancia estándar entre
centros. Si se requiere un juego entre dientes de 0.004 pulg, calcule la cantidad
que
el
piñón y hacia el engrane para producir este juego. Suponga que ambos engranes se van a adelgazar la misma cantidad.
cortador se debe alimentar hacia
el
piñón de 20 dientes cortado con un cortador de piñones de paso 8 y 20° (Af. = 48 y D = 6 pulg) se va a acoplar con un engrane de 40 dientes a una distancia entre centros de 3.800 pulg. Si el cortador se saca 0.0352 pulg cuando se corta el piñón y 0.0165 pulg 5.41.
Un
cuando
se corta el engrane, calcule el
juego entre dientes producido.
Problem as-Sistem a In temado nal 5.
1
m. Un piñón de
1
2 dientes se va a cortar con una fresa de
involutometría. Muestre
el
1
20°. Elabore
cremallera y el piñón en la posición estándar como Dibuje la involuta del piñón empleando las ecuaciones de
un dibujo de los dientes teóricos de se muestra en la figura 5.2 a.
módulo 2 y
la
efecto sobre
el
diente del piñón
hasta que su línea de adendo pase justamente por
el
al retirar la
cremallera básica
punto de interferencia. Este dibujo
ENGRANAJES RECTOS NO ESTÁNDAR
232
\
deberá mostrarse con líneas punteadas y superimpuesto sobre el primer dibujo con el lado del diente de la cremallera pasando por el punto de paso. Señale el círculo base, el círculo
de paso de corte,
el
descentramiento de
(de corte y estándar) de
ángulo de presión y
las líneas
de paso
cremallera.
Un
piñón de 16 dientes se va a cortar con una fresa de módulo 2.5 y 20°. Calcule distancia mínima que la fresadendrá que retirarse para evitar rebaje. Calcule el radio del
5.2m. la
la
la fresa, el
círculo de pÜso de corte y
el
espesor del diente en
el
círculo de paso de corte.
Un engrane de 26 dientes se va a cortar con máxima que
la
una fresa de módulo 3.5 y 20°. Calcule fresa se puede avanzar hacia el disco para el engrane sin que se
presente rebaje. Calcule
el
radio del círculo de paso de corte y
5.3m. la
distancia
el
espesor del diente en
el
círculo de paso de corte.
Un
engrane de 16 dientes se corta con una fresa de módulo 6 y 20° que se ha retirado 0.5000 mm. Determine si este descentramiento de la fresa es suficiente para eli-
5.4m.
minar el
el rebaje. Si
el
espesor del diente en
el
círculo de paso de corte y en
círculo base.
Un
engrane de 35 dientes se va a cortar con una fresa de módulo 6 y 20°. Calcule cambio en la posición del cortador desde su posición estándar para dar un espesor de
5.5m. el
es así, calcule
diente de 10.2
mm en un círculo para el que el ángulo de presión es de 20°.
Un piñón de 20 dientes se va a cortar con una
5.6m.
cambio en
ser el
diente de 6.960
la
de módulo 4 y 20°. ¿Cuál debe posición del cortador desde su posición estándar para dar un espesor de fresa
mm en un círculo para el cuál el ángulo de presión es de
14:°?
Un
piñón de 20 dientes se va a cortar con úna fresa de módulo 4 y 20°. Calcule el ancho mínimo de diente que se puede producir en un círculo para el que el ángulo de
5.7m.
presión es de 14|°. El diente no se debe rebajar.
Un
dientes y un engrane de 14 dientes se cortaron con una fresa de módulo 3 y 20°. Para evitar rebaje o socavación, la fresa se retiró .0698 en el piñón en el engrane. Calcule el ángulo de presión y la distancia entre centros a que y 0.5434
5.8m.
piñón de
1 1
mm
1
mm
operarán estos engranes cuando se acoplen. Determine
la
diferencia entre
entre centros calculada y la distancia estándar entre centros y
c,
distancia
+ e2
.
Demuestre que
5.9m.
(
compare con
la
e \
+ e2 )
> Ac
para
'
>
+ e2 )
< Ac
para
'
y que
(