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• Alberto Zepeda

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1.3 MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDAD I Transmisión de calor en el procesado de alimentos

CALOR Y TEMPERATURA. Calor y temperatura son conceptos que suelen confundirse, pero son diferentes.

CALOR. El calor se define como la energía cinética total de todos los átomos o moléculas de una sustancia.

TEMPERATURA.

Es una medida de la energía cinética promedio de los átomos y moléculas individuales de una sustancia. Cuando se agrega calor a una sustancia, sus átomos o moléculas se mueven más rápido y su temperatura se eleva, o viceversa.

Cuando dos cuerpos que tienen distintas temperaturas se ponen en contacto entre sí, se produce una transferencia de calor desde el cuerpo de mayor temperatura al de menor temperatura. La transferencia de calor se puede realizar por tres mecanismos físicos:

FIGURA 1: Mecanismos de Transferencia del Calor.

CONDUCCION. La conducción es el mecanismo de transferencia denominado como la transmisión de calor de una región a otra, de un cuerpo a otro con el que esta en contacto físico sin que se produzca un desplazamiento apreciable de las partículas del cuerpo (Perry, 1978).

Los mejores conductores de calor son los metales, los objetos malos conductores como los plásticos se llaman aislantes. La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor.

PARA ANALIZAR LA CONDUCCION DE CALOR…. Para un objeto de espesor ∆x, con área de sección transversal A y cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes T1 y T2, con T2>T1, como se muestra en al figura 2; se encuentra que el calor ∆Q transferido en un tiempo ∆t fluye del extremo caliente al frío.

FIGURA 2

Si se llama Q (en Watts) al calor transferido por unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor Q =∆Q/ ∆t, está dada por la LEY DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR DE FOURIER.

𝑸=

𝚫𝑸 𝚫𝒕

𝒅𝑻

= −𝒌𝑨 𝒅𝒙=−𝒌𝑨

(𝑻𝟐 −𝑻𝟏 ) 𝒅𝒙

DONDE: Q = Rapidez de transferencia de calor. A= Área transversal. 𝒅𝒙 = Espesor. T2-T1= Diferencia de Temperatura. 𝒅𝑻/𝒅𝒙=Gradiente de Temperatura k= Conductividad Térmica ( W/mK).

K se le llama Conductividad Térmica del material, magnitud que representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la consiguiente variación de temperatura. El signo menos indica que la conducción de calor es en la dirección decreciente de la temperatura.

FIGURA 3: Tabla de valores de conductividades térmicas más comunes.

Si un material en forma de barra de largo L, protegida por un material aislante, como se muestra en la figura 4, cuyos extremos de área A están en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturas T2>T1, al alcanzar el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de la barra se vuelve constante.

FIGURA 4

En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lo largo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la forma:

𝑸 = −𝒌𝑨

(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 ) 𝑳

De la misma forma la ecuación de Fourier puede analizar sistemas donde la superficie sea de diversas formas, como cilindros o esferas.

CONVECCION. La convección describe el proceso mediante el cual un fluido se mueve en una comunicación termal con una superficie solida o liquida, recibe o libera energía por medio de conducción o radiación y entonces deja la superficie. El movimiento del fluido es necesario para que se efectué el fenómeno de convección, por lo que encontramos dos tipos CONVECCION:

FORZADA: Si el movimiento es causado por algún mecanismo externo, como un ventilador o una bomba.

NATURAL: Si el movimiento es causado por diferencias de temperaturas locales y efectos de flotación.

En la naturaleza, la mayor parte del calor ganado por la atmósfera por conducción y radiación cerca de la superficie, es transportado a otras capas o niveles de la atmósfera por convección.

Un modelo de transferencia de calor Q por convección, llamado Ley de enfriamiento de Newton, es el siguiente:

𝑸 = 𝒉𝑨(𝑻𝑨 − 𝑻) DONDE: Q = Rapidez de transferencia de calor. A= Área de transferencia. TA= Temperatura de la superficie. T= Temperatura del fluido. h= Coeficiente de Convección ( W/ 𝒎𝟐 K). Llamado también “de película”.

FIGURA 5: Tabla de valores de h en función al tipo de convección.

El flujo de calor por convección es positivo (H > 0) si el calor se transfiere desde la superficie de área A al fluido (TA > T) y negativo si el calor se transfiere desde el fluido hacia la superficie (TA < T).

CONVECCION LIBRE O NATURAL Aquí el flujo de calor on es inducido por fuerzas externas, y el movimiento dentro del fluido es llevado a cabo por el efecto de la temperatura sobre la densidad del fluido (Zemansky, 1973); por lo que la ecuación para este tipo de convección es la previamente vista (Ley de enfriamiento de Newton):

𝑸 = 𝒉𝑨(𝑻𝑨 − 𝑻)

CONVECCION FORZADA Si se provoca el movimiento del fluido por acción de una bomba, agitador, o ventilador, se trata de una convección forzada (Zemansky, 1973). Para este tipo de convección se requiere el conocimiento de 3 grupos adimensionales que nos ayuden a conocer el coeficiente h, estos números adimensionales son:

Nu “No. de Nusselt”

Re “No. de Reynolds”

Pr “No. de Prandtl”

La ecuación para la convección forzada será la siguiente ( con ella se pretende encontrar el valor de h a partir de la ecuación con NNU):

𝑵𝑵𝑼

𝒉𝑳 = 𝒌

DONDE: 𝑵𝑵𝑼 = Numero de Nusselt h= Coeficiente Convectivo, es el valor que se pretende despejar para obtener. L= Longitud característica (cilindro o superficie plana). k= Coeficiente de Conducción ( W/ 𝒎𝟐 K). DONDE:

𝑵 𝑵𝑵𝑼 = 𝒇(𝑵𝑴 𝑵 𝑹𝒆 𝑷𝒓 )

f= De acuerdo al carácter del fluido, si es laminar 0.664 y para turbulento 0.036 . 𝑵𝑹𝑬 = No de Reynolds. 𝑵𝑷𝑹 = No de Prandtl. M= Si se trata de un flujo laminar (1/2) y si es turbulento (0.8). N= No hay cambios entre flujos, su valor es (1/3).

𝑵𝑹𝑬

𝑵𝑷𝑹

𝝆𝝂𝑫 = 𝝁

𝑪𝒑 𝝁 = 𝒌

DONDE: 𝑵𝑹𝑬 = No de Reynolds. 𝝆 = Densidad del fluido. 𝑫 = Diámetro de la tubería. 𝝂= Velocidad del fluido. 𝝁 = Viscosidad del mismo.

DONDE: 𝑵𝑷𝑹 = No de Prandtl. Cp= Calor Especifico. 𝝁 = Viscosidad del fluido. k= Conductividad térmica.

RADIACION. La radiación térmica es energía emitida por la materia que se encuentra a una temperatura dada; se produce directamente desde la fuente (materia) hacia afuera en todas las direcciones. La ecuación que expresa el flujo de calor por radiación es dad por la ley de la cuarta potencia e Stefan-Boltzman:

𝑸 = 𝑨𝝐𝝈𝑻𝟒 DONDE: Q= Cantidad de flujo de Calor (W) A= Área de transferencia (𝒎𝟐 ). 𝝐= Emisividad, adimensional. Figura 6 𝝈= Constante de Stefan-Boltzman (5.669 x 𝟏𝟎−𝟖 W/ 𝒎𝟐 𝑲𝟒). T= Temperatura en K.

MATERIALES

EFUSIVIDAD

Metales Pulidos

0-0.2

Metales No Pulido

0.1-0.4

Metales Oxidados

0.2-0.7

Cristales

0.6-0.9

Agua y Vegetales

0.9-1

FIGURA 6: Tabla de valores de efusividad.

En alimentos, la radiación es el empleo de energía radiante que produce su efecto al ser absorbida, por ejemplo, es un método de conservación, pero principalmente también es una operación unitaria más general, utilizada para producir cambios específicos en los materiales alimenticios.

1.4 PROBLEMAS EN ESTADO ESTACIONARIO UNIDAD I Transmisión de calor en el procesado de alimentos

Estimar la conductividad térmica de una manzana a 20 °C que contiene 80 % de agua sobre una base másica y tiene una densidad de 840 Kg/m3 .

SOLUCIÓN DATOS T= 20 °C AGUA = 80 % DENSIDAD = 𝟖𝟒𝟎 𝐤𝐠 𝐦𝟑

Consideramos que la manzana esta compuesta únicamente de carbohidratos, aire y agua.

𝑴𝐇𝟐 𝐎 = (𝝆𝐇𝟐 𝐎 )(𝑽𝐇𝟐 𝐎 ) En donde consideramos como: - 𝑀H2 O = masa de H2 O - 𝜌H2 O = densidad de H2 O - 𝑉H2 O = volumen de H2 O

La ecuación se aplica fácilmente a: 𝑴𝑯𝟐 𝑶 𝑴

=

𝝆 𝑯𝟐 𝑶

𝑽𝑯𝟐 𝑶

𝝆

𝑽

En donde las variables no suscritas se refiere a la masa, densidad o volumen totales.

La fracción volumétrica del agua en la manzana esta dada entonces por: 𝑉H2 O 𝑀H2 O 𝑀 = 𝑉 𝜌H2 O 𝜌 𝑉H2 O 0.8 = = 0.673 𝑉 998 840

En forma semejante la fracción volumétrica de carbohidratos considerando que la densidad de los carbohidratos es de 1550, entonces esta dada por: 𝑉𝑐 𝑀𝑐 𝑀 = 𝑉 𝜌𝑐 𝜌 𝑉𝑐 0.2 = = 0.108 𝑉 1550 840

La fracción volumétrica para el aire es lo restante: 𝑉air = 1 − 0.673 − 0.108 𝑉 𝑉air = 0.219 𝑉

- La conductividad térmica de un producto alimenticio se puede obtener multiplicando las conductividades térmicas de los principales componentes del producto alimenticio por sus respectivas fracciones volumétricas y sumándolas como se muestra:

𝑘ef = 𝑘H2 O

𝑉H2 O 𝑉𝑠 𝑉aire + 𝑘𝑠 + 𝑘aire 𝑉 𝑉 𝑉

- Variables. 𝑘ef = Conductividad térmica efectiva de un producto alimenticio. 𝑘H2 O = Conductividad térmica de agua. 𝑉 = Volumen total del producto alimenticio. 𝑉H2 O = Volumen del agua contenida en el producto alimenticio. 𝑘𝑠 = Conductividad de todos los solidos, incluyendo grasas, aceites, carbohidratos y proteínas. 𝑉𝑠 = Volumen de todos los solidos contenidos en el producto alimenticio. 𝑘aire = Conductividad térmica del aire. 𝑉aire = Volumen del aire contenido en el producto alimenticio. - Los valores tipicos de 𝑘H2 O , 𝑘𝑠 , y 𝑘aire a las temperaturas cercanas a 20 °C son: 𝑘H2 O = 0.60 W m. °C 𝑘𝑠 = 0.16 W m. °C 𝑘aire = 0.024 W m. °C

- Por lo tanto la conductividad térmica se puede calcular:

𝒌𝒆𝒇 = 𝒌𝑯𝟐 𝑶

𝑽𝑯𝟐 𝑶 𝑽𝒔 𝑽𝒂𝒊𝒓𝒆 + 𝒌𝒔 + 𝒌𝒂𝒊𝒓𝒆 𝑽 𝑽 𝑽

𝑘ef = 0.60 0.673 + 0.16 0.108 + 0.024 0.219

RESULTADO

𝑘ef = 0.426 W m. °C

Problema 3: Transferencia de calor entre la leche y la tubería. La leche fluye a través de una tubería de acero inoxidable de diámetro interior de 3.81 cm a la velocidad de 100L/min. En un punto en donde la temperatura de la masa de la leche es de 50°C y la temperatura de las paredes del tubo es de 90°C, calcule el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la leche y las paredes del tubo.

Solución  El área de la sección transversal es: 𝜋𝐷2 𝜋(0.0381)2 𝐴= = = 𝟏. 𝟏𝟒𝒙𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟐 4 4  La velocidad de la leche es: 3 𝐺 (0.1 𝑚 𝑠) 𝒎 𝑣= = = 𝟏. 𝟒𝟔 𝒔 𝐴 (60 𝑠 𝑚𝑖𝑛)(1.14𝑥10−3 𝑚2 )  El número de Reynolds es: 𝑘𝑔 (1028 )(1.46 𝑚 𝑠)(0.0381𝑚) 𝜌𝑉𝐷 3 𝑚 𝑅𝑒 = = = 𝟒. 𝟖𝒙𝟏𝟎𝟒 𝑘𝑔 𝜇 1.19𝑥10−3 𝑚∗𝑠

 El calor específico y la conductividad térmica de la leche a 20°C son

𝑪𝒑 = 𝟑. 𝟖𝟗 𝒌𝑱

𝒌𝒈∗°𝑪

𝒌 = 𝟎. 𝟓𝟓𝟎 𝑾

𝒎∗°𝑪

 El número de Prandtl es 𝐶𝑝 𝜇 (3.89 𝑃𝑟 = = 𝑘

𝑘𝐽

−3 𝑘𝑔 ∗ °𝐶 )(1.19𝑥10

𝑘𝑔

𝐽 𝑚𝑠 )(1000 𝑘𝐽)

0.550 𝑊 𝑚 ∗ °𝐶

= 𝟖. 𝟒𝟐

 Debido a que es un flujo turbulento se usara para evaluar el número de Nusselt. La viscosidad a la temperatura de la pared de 90°C es aproximadamente 6.7𝑥10−4 𝑘𝑔 𝑚∗𝑠 𝑁𝑢 =

0.027𝑅𝑒 0.8 𝑃𝑟1/3 (

𝜇 0.14 ) 𝜇𝑠 1.19

𝑁𝑢 = 0.027(4.8𝑥104 )0.8 (8.42)1/3 (0.67)0.14 =330

El coeficiente de convección de transferencia de calor es: 𝑘 330(0.550 𝑤 𝑚 ∗ °𝐶 ) ℎ = 𝑁𝑢 = = 𝟒𝟕𝟔𝟒 𝒘 𝟐 𝒎 ∗ °𝑪 𝐷 0.0381𝑚

1.5 PROBLEMAS EN ESTADO NO ESTACIONARIO UNIDAD I Transmisión de calor en el procesado de alimentos

Problema 1: Conducción de calor en una barra de Mantequilla Una barra de mantequilla con 46.2 mm de espesor y temperatura de 277.6 K (4.4ºC) se extrae de la nevera y se coloca en un medio ambiente a 297.1 K (23.9ºC). Se puede considerar que los lados y el fondo de la mantequilla están aislados por las paredes del recipiente, por tanto el área expuesta al medio ambiente es la superficie plana superior de la mantequilla. El coeficiente convectivo es constante y tiene un valor de 8.52 W/m2 K. Calcule la temperatura de la mantequilla en la superficie a 25.4 mm por debajo de la superficie y a 46.2 mm por debajo de la superficie en el fondo aislado, después de una exposición de 5 h.

Parámetros adimensionales •𝒀=

𝑻𝟏 −𝑻 𝑻𝟏 −𝑻𝟎

Ecuación de gráfica

𝒎=

𝒌 𝒉𝒙𝟏

Inverso de Numero de Biot

𝒏=

𝒙 𝒙𝟏

𝑿=

𝜶𝒕 𝒙𝟐𝟏

Longitud Modulo de Fourier Long. característica

Debido a la geometría de la mantequilla se considera como una placa grande con conducción vertical en la dirección de x. Al estar solo una superficie con transferencia de calor se considera como 𝑥1 = 46.2 mm Barra de mantequilla aislada

Datos: 𝑇1 = 297.1 𝐾 𝑇0 = 277.6 𝑋1 = 0.0462 𝑚 ℎ =8.52 W/m2 K t= 18000 s

Las propiedades de la mantequilla son: • 𝜌 = 998

kg m3

W

𝑘 = 0.197 m K

kJ

𝐶𝑝 = 2.30 Kg

J

= 2300 Kg K

K

En base a estas propiedades calculamos la difusividad térmica 𝑘

0.197

𝛼 = 𝜌𝐶𝑝 = (998)(2300) = 8.58 x 10−8 m2 /s Cálculo de los parámetros para graficar 𝑚=

𝑘 ℎ𝑥1

=

0.197 = (8.52)(0.0462)

0.50

𝑋=

𝛼𝑡 𝑥12

=

(8.58 x 10−8 )(18000) (0.0462)2

= 0.72

Los análisis se realizaran a 0.0462 m, 0.0208 m y 0.0 m del centro (fondo aislado) de la mantequilla.

0.0462 m

0.0208 m 0.0 m

Para la superficie superior donde x = x1 = 0.0462 m 𝑥

0.0462

𝑛 = 𝑥 = 0.0462 = 1

1.

Graficando con los parámetros adimensionales obtenidos podemos obtener el valor de 𝑌.

Gráfico

En base a grafico obtenemos que Y=0.25, lo cual podemos expresar como: 𝑻𝟏 − 𝑻 𝑌 = 0.25 = 𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 Despejando T y sustituyendo los valores de las temperaturas 𝑇 = −0.25 𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 + 𝑻𝟏 𝑇 = −0.25 297.1 − 277.6 + 297.1 = 292.2 𝐾

Por lo tanto la temperatura de la mantequilla en el fondo aislado es de 292.2 K Para realizar el análisis de transferencia de calor en el punto a 25.4 mm de la superficie o visto desde el centro (fondo aislado) con un valor de 20.8 mm (0.0208m). Calculamos 𝑛

𝑥

0.0208

𝑛 = 𝑥 = 0.0462 = 0.45 . 1

En base a los parámetros adimensionales graficamos para obtener el valor de 𝑌 = 0.45, sustituyendo valores obtenemos Gráfico

𝑇 = −0.45 𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 + 𝑻𝟏

click

𝑇 = −0.45 297.1 − 277.6 + 297.1 = 288.3 𝐾

Finalmente a 0.0 m de la superficie, es decir en el fondo aislado. 𝑥 0 𝑛 = 𝑥 = 0.0462 = 0 . Graficando obtenemos que 𝑌 = 0.55, por lo 1 tanto: click 𝑇 = −0.55 𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 + 𝑻𝟏 𝑇 = −0.55 297.1 − 277.6 + 297.1 = 286.37 𝐾

Gráfico

Problema 2 Congelación de Melones El distribuidor de una corporación de comercialización de productos frescos envía varios vagones cargados de melones a diversos supermercados de una localidad. Los melones deben llegar al supermercado en vagones no refrigerados en la tarde del 2 de julio, cuando se espera que la temperatura sobrepase los 30ºC la mayor parte del día. Para poder tener mayor ganancia al venderlos en las celebraciones del 4 julio los melones deben ser congelados. Si se colocan en un cuarto frio a 5ºC hacia las 6 p.m. del 2 de julio ¿Se reducirá la temperatura del centro de los melones a 10ºC antes de las 10 a.m. del 3 de julio?

• Datos: 𝑇𝑜 = 30ºC 𝑇1 = 5ºC t = 16 h= 57 600 s 𝑟12 =0.13 m Solución Debido a que el melón posee una composición de 90% agua, se supondrá que los melones tienen fundamentalmente las propiedades del agua. 𝜌 = 1000

kg m3

𝑘 = 0.58

W m º𝐶

𝐶𝑝 = 4.2

kJ Kg K

= 4200

J Kg K

La geometría del melón se asemeja a una esfera, por dicha razón se toman la esfera como el modelo de resolución. Los melones se apilan de forma que el aire frio intercambie calor con toda la superficie.

El coeficiente de transferencia de calor por convección libre entre los melones y el aire se estima que es de 6 W/m2 . En base a las propiedades podemos calcular la difusividad térmica.

𝛼=

𝑘 𝜌𝐶𝑝

=

0.58 (1000)(4200)

= 1.38 x 10−7 m2 /s

Se calcula los parámetros adimensionales 𝑚=

𝑘 ℎ𝑟1

=

0.58

= 0.74

(6)(0.13)

𝑋=

𝛼𝑡 𝑟12

=

(1.38 x 10−7 )(18000) (0.13)2

=

0.47

Con los parámetros adimensionales se puede graficar obteniendo un valor de 𝑌 = 0.32 𝑻𝟏 − 𝑻 click 𝑌 = 0.3𝟔 = 𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 Gráfico Despejando T 𝑇 = −0.36 𝑻𝟏 − 𝑻𝟎 + 𝑻𝟏 𝑇 = −0.36 𝟓 − 𝟑𝟎 + 𝟓 = 𝟏𝟒ºC

Por lo tanto la temperatura del centro de los melones no será inferior a 10ºC a las 10 a.m. del 3 de julio.

Bibliografía • Procesos de transporte y principios de proceso de separación, Geankoplis, Christie John, 4 edición, Editorial Patria, México 2011. • Fundamentos de la Ingeniería de Alimentos, J. Clair Batty, Staven L. Folkman, Editorial CECSA, 1983. • Ingenieria de los Alimentos, R.L. Earle E., Editorial Acribia S.A., 2 ed.