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“Construcción de un mecanismo de Reloj en madera” Índice 1. Introducción y Justificación .............................................................................................................. 3 2. Formulación del problema ............................................................................................................... 4 3. Delimitación ......................................................................................................................................... 5 4. Marco teórico ...................................................................................................................................... 6 4.1 Relojería Mecánica .............................................................................................................. 6 4.2 Mecanismos de escape .................................................................................................... 7 4.2.1 Mecanismo de corona y borde ....................................................................... 8 4.2.2 Escape de ancla de retroceso ........................................................................ 9 4.2.3 Mecanismo de escape de Graham ........................................................................ 10 4.3 Engranes .............................................................................................................................. 11 4.3.1 Tipos de Engranes ............................................................................................. 11 4.3.2 Diseño de Engranajes ...................................................................................... 12 4.4 Péndulo ................................................................................................................................ 13 4.4.1 Isocronismo ........................................................................................................ 14 5. Hipótesis .............................................................................................................................................. 15 6. Metodología ....................................................................................................................................... 15 6.1 Diseño y construcción del reloj ...................................................................................... 15 6.1.1 Proporciones entre los engranajes ................................................................ 17 6.1.2 El mecanismo de escape ............................................................................... 18 6.1.3 Polea y pesos ..................................................................................................... 20 6.1.4 Construcción ...................................................................................................... 20 6.1.5 Ajustes ................................................................................................................. 22 6.2 Análisis experimental del prototipo ............................................................................... 23 6.2.1 Péndulo ............................................................................................................... 23 6.2.2 Dinámica rotacional de los engranes .......................................................... 23 6.2.3 Contrapeso ........................................................................................................ 25 7. Conclusiones ...................................................................................................................................... 26 Bibliografía .............................................................................................................................................. 27

Resumen A lo largo de este trabajo se investigaron y aplicaron principios de mecánica clásica para la construcción de un reloj en madera con escape tipo ancla. Se tuvo como propósito la aplicación de conceptos de física clásica para entender el funcionamiento de los mecanismos utilizados, maximizar su eficiencia y precisión, entre otros. Se utilizaron también conceptos sobre el funcionamiento de máquinas simples y se hizo una descripción del funcionamiento del producto obtenido a través de herramientas de física clásica y matemáticas. Una vez obtenido el mecanismo, se realizaron pruebas experimentales para determinar su precisión y eficiencia en su funcionamiento. Se descubrió que diversos factores inherentes al material del que se fabricó, la construcción del mismo y las simplificaciones que hicimos a los cálculos provocan que el modelo funcione de forma errática y falle en su propósito de medición de tiempo. Sin embargo, el objetivo principal de aplicación de conceptos logró cumplirse por completo y la experiencia fue enriquecedora para todos los integrantes del equipo.

Abstract During the development of this work, basic principles of classic mechanics were investigated and applied to the construction of a wooden clock with anchor escapement. The main purposes were the application of classic physics concepts to understand how the used mechanisms work, maximize their efficiency and precision, among others. Simple machine concepts were also used and a description about the function of the product was made using physical and mathematical tools. Once the mechanism was built, a series of experimental tests were made to determine is precision and function efficiency. It was discovered that a variety of factors inherent to the material we used on its fabrication, the construction process and the simplification on our calculus caused the model to work in an erratic way and fail on its measuring time purpose. However, the application of physics concepts, our main goal, was completely achieved and it was an enriching experience for each member of our team.

1. Introducción y justificación. Desde que el hombre tiene consciencia, ha buscado formas de interpretar el cambio. Y la base principal de cualquier cambio es el tiempo. Ahora bien, para el hombre primitivo la medición del tiempo era una tarea muy rudimentaria, puesto que no disponían de los conocimientos necesarios para crear marcos de referencia y estándares que les permitieran uniformizar sus mediciones. Así, existieron desde un inicio distintas maneras de interpretar el paso del tiempo:

calendarios solares, lunares o estelares, basados cada uno en la importancia que cada cultura le daba a los distintos astros. Con el paso de los siglos, se volvió imperativo uniformizar la manera de medir el tiempo. De este modo, en occidente se adoptó un sistema sexagesimal (basado en el 60) para la medición del tiempo. Esto es claro si consideramos que cada hora tiene 60 minutos, cada minuto a su vez tiene 60 segundos. Se entiende entonces que la medición del tiempo no es un concepto trivial, menos una disciplina que estudia el cambio de forma metódica como la física. Para la medición del tiempo contamos ahora con sistemas exactísimos como los relojes atómicos o los recientemente surgidos relojes de lógica cuántica, que únicamente pierden un segundo cada 3,400 millones de años. Pero esto no siempre fue así, si nos remontamos a los primeros intentos de crear mecanismos para medir el tiempo sin necesidad de aparatos enormes e imprácticos debemos llegar a los talleres suizos donde los artesanos, sin saberlo, aplicaban principios físicos para la creación de relojes. En el curso de física clásica que se desarrolló, se trataron sobre todo principios básicos de mecánica., cinemática y estática que permiten explicar la manera en que estos primeros relojes funcionaban. Al no existir electricidad, los relojes obtenían su movimiento a través de energía potencial que, mediante un mecanismo de escape, se liberaba gradualmente convirtiéndose en energía cinética en ciclos determinados. Sabiendo esto, nos pareció interesante desarrollar un reloj con un mecanismo tradicional que no requiera energía eléctrica sino únicamente que se le “de cuerda” para funcionar. Todo ello utilizando principios de estática y mecánica para obtener mayor precisión y funcionalidad. El proyecto busca tener el doble propósito de entender más a fondo el funcionamiento de engranes y máquinas simples, a la vez que nos permite utilizar principios de mecánica clásica para lograr un correcto funcionamiento en la medición del tiempo.

2. Formulación del problema ¿Qué es lo que queremos conocer al finalizar este proyecto? Lo que queremos conocer al finalizar el proyecto es identificar las ventajas y usos que nos pueden brindar los componentes de este mecanismo que son los engranes y el péndulo, conocer los principios por los que se rigen sus movimientos para hacerle mejoras y aprovecharlos al máximo, conocer las posibles aplicaciones que podríamos darle a estas máquinas en la aeronáutica, buscamos también comprender el movimiento oscilatorio de un péndulo. Otra cosa que nos proponemos es investigar a fondo los engranes ya que son muy útiles en la ingeniería, así como también las ventajas y mejoras que podríamos hacerles a estos para un fin específico para una necesidad que se nos presente en un futuro.

3. Delimitación El objetivo de nuestro equipo al desarrollar el reloj compuesto es poder explicar teóricamente el funcionamiento interno de este cuerpo mecánico por los diversos efectos de las fuerzas actuantes sobre los engranajes y demás componentes del reloj. Con esto se demostraría la importancia de los conocimientos teóricos adquiridos en clase. Para conseguirlo se estudiaran diversos temas relacionados con la mecánica para poder determinar la coordinación perfecta del movimiento de los engranajes basándonos en su tamaño, posición y las fuerzas que actúan sobre ellos, así como estimar la capacidad de conservación del movimiento de estos. Para desarrollar nuestro proyecto tendremos que considerar un periodo de desarrollo de máximo un mes y medio antes de la fecha de entrega del proyecto, tiempo en el que tendremos que maximizar nuestro entendimiento de los diversos temas a tratar, y familiarizarnos con el correcto uso de diversas herramientas con el fin de ensamblar el reloj de la mejor manera y con el menor desperdicio de material posible. Tendremos que desarrollar nuestro proyecto en León Gto, ya que es la ciudad en la que se hospedan o vivimos los miembros del equipo y no hay que gastar mucho dinero en transporte, sin embargo, puede provocar dificultades el tener que transportar herramientas y materiales a una casa o locación en específico. Para ensamblar el reloj necesitaremos madera, por lo que no tendremos muchos gastos económicos en materia prima, sin embargo tendremos que considerar las herramientas necesarias para trabajarla, habría que conseguir cortadoras, lijadoras o lijas sueltas (aunque tomaría más tiempo) y demás, lo que tal vez requiera de más dinero u nos retrase en el desarrollo en caso de tener que contactar a alguien que nos preste esas herramientas. Un factor importante para conseguir realizar el proyecto con éxito será el hecho de que todas y cada una de las piezas tenga la forma y medida necesaria para que el prototipo funcione correctamente y por lo tanto nuestros cálculos también sean correctos, puesto que mientras más diferencia exista entre los datos reales con los que nosotros consideremos o mientras incluso despreciemos ciertos factores importantes nuestros cálculos tendrán un porcentaje de error mayor.

4. Marco Teórico Para el desarrollo de este proyecto decidimos dividir el marco teórico en dos partes: la primera concerniente a los mecanismos e historia de los relojes mecánicos y la segunda dedicada a los principios mecánicos necesarios para el desarrollo de nuestro modelo. 4.1 Relojería Mecánica La historia de la relojería mecánica inicia cerca del siglo XVIII, aunque no se tiene una certeza clara de su origen debido a que en un principio los cronistas de la época no consideraban importante el desarrollo de relojes mecánicos y se centraban en la descripción de sus antecesores: los relojes de agua. Estos sistemas se caracterizaban por lo complejo de su operación aunado a su poca precisión (tenían un margen de error de cerca de 15 minutos). En la ilustración 1 se puede observar un reloj de agua colocado en una plaza pública. Pasó mucho tiempo hasta que artesanos e inventores idearan una forma mecánica de medir el tiempo. Los registros más antiguos de uso de pesas y engranes en relojes nos llevan a la era pre-cristiana, este desarrollo estuvo ampliamente ligado a la invención de molinos de viento. (H. Lienhard, 2000) Ahora bien, el uso de engranes y pesas hubiese sido imposible sin algún mecanismo de escape. La caída de una pesa no podría medir el tiempo porque se movería de forma acelerada y estaría en el piso en poco tiempo. Queda claro entonces que la parte central en el diseño de relojes mecánicos es el llamado sistema o mecanismo de escape. Sin éste el reloj simplemente no

funciona. Uno de los más antiguos sistemas de escape de los que se tiene registro aparece en el “Album of Villard de Honnecourt”. La idea es bastante primitiva y no se utilizó primordialmente para medir el tiempo de forma precisa, puesto que únicamente permitía saber si era de día o de noche (Abbott Payson, 1929). En la ilustración 2 se puede ver el sistema referido. A partir del mencionado mecanismo hay una gran brecha de tiempo hasta que se tenga registro de nuevos y mejorados sistemas. Es hasta 1348 que se tienen registros sólidos de avances en la materia: existe un reloj en el castillo de Dover

4.4 Péndulo Un péndulo es un cuerpo grave que puede oscilar suspendido de un punto por un hilo o varilla. (Real Academia Española de la Lengua, 2001). En este caso, se utilizó un péndulo de madera para controlar los ciclos del reloj. Es importante hacer notar que la mecánica de un péndulo no es nada sencilla, aunque aparente serlo. Diversos factores pueden alterar la uniformidad de su periodo, desde la gravedad a la temperatura. Es por ello que nosotros realizamos una serie de simplificaciones en nuestros cálculos teóricos para hacer más comprensible el desarrollo de éstos y menos complejo el análisis. Así pues, el péndulo que utilizamos se trató al momento de hacer cálculos como el llamado “péndulo ideal” o “péndulo simple” que cumple con las siguientes suposiciones: (Baker, G. L., & Blackburn, J. A., 2005)    

La barra que une la masa inferior con el punto superior tiene masa despreciable, es completamente rígida e inflexible. La masa inferior es una masa puntual. El movimiento ocurre en dos dimensiones únicamente, formando un arco y no una elipse. El movimiento no pierde energía por fricción o resistencia del aire. Habiendo considerado estas condiciones previas, se pueden obtener las siguientes fórmulas y descripciones matemáticas sobre el comportamiento de un péndulo, mismas que se utilizarán para el diseño del reloj en la parte de metodología. En la ilustración 8 se puede observar un diagrama que describe las fuerzas involucradas en la oscilación del péndulo.

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico. (Serway, Vuille, & Faughn S., 2010)

Ilustración 8 Diagrama de fuerzas en un péndulo simple (Serway, Vuille, & Faughn S., 2010) 14 Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg ) y la tensión del hilo (N ), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: Ft= -mg sin 0 = mat

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner: At = l * α Siendo α la aceleración angular del sistema, de modo que la ecuación queda como: Esta ecuación no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general. Sin embargo, Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ , para θ suficientemente pequeño), y la ecuación anterior se reduce a: Lα + g 0 = 0 Que sí corresponde al comportamiento del movimiento armónico simple y de la cual podemos obtener una expresión para el periodo de la oscilación: (Serway, Vuille, & Faughn S., 2010) 4.4.1 Isocronismo Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ