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• Elizabeth Jazmín Espinoza Callan

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Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC

Mecanica para Ingenieros Diagramas de fuerza cortante y momento flector Las vigas son elementos cuya disposition en las estructuras es principalmente horizontal, aunque también pueden ser inclinadas, pero que en todo caso tienen la importante función de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad, las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje. Gracias a estos elementos se pueden construir todo tipo de maquinarias y estructuras, tales como chasis de vehículos, soporte de maquinarias, vigas de puentes y edificaciones, etc. Esta condición hace que las vigas estén sometidas ha esfuerzos diferentes a la tensión simple, representados por los esfuerzos de flexión. En este caso las fuerzas externas pueden variar de una sección a otra a lo largo de la viga, además la disposición de ellas, las condiciones de soporte y la geometría, genera en el interior de la misma la aparición de cuatro fuerzas llamadas resistentes. Si consideramos un sistema espacial tenemos: 1. Fuerza Cortante: se produce con dirección perpendicular al eje de la viga y su efecto es similar al generado por una tijera al cortar un papel, es decir una fuerza cortante paralela a la cara de la sección de la viga. 2. Fuerza Axial: se produce cuando la disposición de las fuerzas externas no es totalmente perpendicular al eje de la viga, existiendo componentes de ellas a lo largo del eje. Cuando aparece esta fuerza junto con la flexión, se genera un esfuerzo combinado de flexión con esfuerzo axial. Este estudio esta fuera del alcance del presente trabajo. 3. Momento Flector: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del sólido en un eje perpendicular a su eje y fuera de su plano, y que produce sobre la viga un efecto de curvatura a largo de su eje. 4. Momento Torsor: es una fuerza del tipo “par”, que contribuye a equilibrar la rotación del sólido según un eje paralelo al eje longitudinal de la viga, y que produce sobre la misma un efecto de giro alrededor de su propio eje. La aparición de esta fuerza 7 interna depende de la aplicación de las fuerzas externas, de tal manera que generen alguna componente de momento alrededor del eje de la viga. Esta fuerza no se considera en este estudio. En el presente trabajo solo se considera el estudio de vigas a flexión pura y no uniforme, es decir bajo la aplicación de cargas externas que generan en su interior fuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudia la relación que existe entre las fuerzas externas y las internas. Como varían estas ultimas a lo lago de la viga, mediante la elaboración de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores, a los fines de poder diseñar su dimensionado de manera económica con la condición

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Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC mas crítica de fuerza interna. Se estudia también por varios métodos, lo relacionado a las deformaciones producidas por el efecto de las fuerzas externas. Finalmente se aborda el tema de las vigas hiperestáticas, y la forma de encontrar las reacciones externas, utilizando las ecuaciones adicionales proporcionadas por las deformaciones. Los primeros cuatro capítulos comprenden un estudio teórico muy simplificado, de los conceptos arriba descritos, teniendo como base los planteamientos del libro texto recomendado en clases, del profesor Ferdinand L. Singer, abundando en aquellas explicaciones, en donde por mi experiencia docente, presentan más dudas los alumnos. En los últimos cuatro capítulos, se resuelven problemas relacionados con casos prácticos de utilización de vigas en la Ingeniería, haciendo énfasis tanto en los aspectos conceptuales de los principios que rigen la resistencia de materiales, como de aquellos conceptos prácticos relacionados con el diseño y verificación de secciones, destacando la importancia de los aspectos económicos que siempre están relacionados con la Ingeniería. Se hace más énfasis en la explicación de la resolución de problemas que en la cantidad de problemas resueltos. Por último se incluye un disco, que contiene un apoyo visual computarizado, de la teoría aquí contenida, donde de manera animada se explican los principios físicos que rigen el estudio de las vigas, para una mejor comprensión de los alumnos.

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Tipos de vigas De acuerdo al número y tipo de los apoyos que soportan la viga, existen dos grandes grupos de vigas:

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

Vigas Isostáticas o estáticamente determinadas: en estas vigas el numero de reacciones externas coincide con el numero de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan reacciones para que el sólido permanezca en equilibrio estable, tiene grado de indeterminación (G.I) cero. A continuación se muestran algunos ejemplos:



Vigas hiperestáticas o estáticamente indeterminadas: presentan un número mayor de reacciones externas que de ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas presentan al menos una condición de sujeción adicional a las mínimas requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen reacciones sobrantes, cuya eliminación las convertiría teóricamente en isostáticas. A continuaron se muestran algunos ejemplos:

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Definición de fuerza cortante y momento flector En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un solo tramo, con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte imaginario para observar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer las condiciones de equilibro, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de abajo.  Fuerza Cortante: del equilibrio de fuerzas verticales practicado a cualquiera de los dos segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna “Va-a”, llamada resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas externas, cuya dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual coincide a su vez con el eje “X” del sistema de referencia particular “XY” de la viga . Para el caso de vigas inclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma inclinación, puesto que se orienta según el eje particular de la viga y no según el sistema global vertical-horizontal. En este sentido se define la fuerza cortante como la sumatoria de la componente perpendicular al eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección de viga estudiada:

La convención de signos más común, es aquella que considera positiva la fuerza cortante que hace deslizar hacia arriba, la porción de viga situada a la izquierda

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Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC de la sección estudiada, en caso contrario se considera negativa. En otras palabras cuando la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección es positiva la fuerza cortante tiene el mismo signo, igual para el caso contrario, tal como se muestra en el siguiente diagrama fig 1.3.a. En la Fig. 1.3.b. se muestra la convención de signos desde el punto de vista de la deformación de un elemento diferencial situado justo en la sección a-a.

 Momento Flector: el equilibrio rotacional de los segmentos de viga estudiados se logra con la aparición del Momento Flector Ma-a, señalado en el diagrama de cuerpo libre anterior. De esta manera este se puede definir como la sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección estudiada, considerando que el plano de aplicación de las fuerzas es XY (hoja de papel), y la dirección del momento flector es perpendicular a este, es decir el eje particular Z:

En cuanto al signo del momento flector, es importante resaltar que este no depende de su sentido de rotación, tal como sucede con el momento de equilibrio, sino más bien de la curvatura que sufre la viga por la aplicación del mismo. De tal manera que una curvatura cóncava hacia arriba se considera positiva, lo contrario es negativo. En la siguiente figura se ilustra esta convención.

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Los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en las fibras inferiores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores, los negativos producen lo contrario, como se muestra en la parte superior de la figura anterior. En los gráficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el efecto de fuerzas individuales y el sentido de curvatura de la viga, considerando un empotramiento imaginario en la sección a-a.

Relación entre carga, corte y momento flector

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Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del momento flexionante en un punto de la viga, sino mas bien a lo largo de todo el elemento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más desfavorable de esfuerzo

resistente en el interior del sólido, por lograr esto se construyen los llamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La realización de estos diagramas requiere conocer la relación existente entre las cargas externas y las fuerzas internas de corte y momento flector. En el siguiente gráfico, se ha considerado una viga simplemente apoyada, con un sistema de cargas distribuida general “q”, de signo positivo, por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia dx. A la derecha se ha graficado en forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga contenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas “q”, como las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron con signo positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y momentos flexionantes son respectivamente V y M, mientras que para la sección 02, son los valores de la sección 01 más un cierto diferencial dV y dM respectivamente.  Relación Carga – Corte: por sumatoria de fuerzas verticales

De esta manera se encuentran las siguientes relaciones:

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El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama de corte.

La de la carga “q” define la variación de la pendiente del diagrama de corte.

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intensidad

Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC Se puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la sección 01, más el área del diagrama de carga existente entre las secciones 01 y 02:

- Relación Corte – Momento: por sumatoria de momentos en el punto “0”

Las relaciones entre corte y momento son:

El signo del diagrama de corte, define la inclinación de la pendiente del diagrama de Momentos:

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La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a continuación:

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Se puede calcular el momento en la sección 02, con el momento anterior en la sección 01, más el área del diagrama de corte existente entre las sección 01 y 02 :

Centroide Problema 1: Hallar el centroide de la siguiente figura.

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Triangulo

Area 4500.00

X 80.00

Y 25.00

Cuadrado

5625.00

157.50

37.50

cuarto de circunferencia

-4417.86

163.17

43.17



Total

5707.14

Resolución en Excel: Resultados:

12

X= Y=

92.00 23.26

AX 360000.0 0 885937.5 0 720858.5 6 525078.9 4

AY 112500.0 0 210937.5 0 190714.8 0 132722.7 0

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 Resolución en inventor:

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Problema 2: Hallar el centroide de la figura.

 Resolución en Excel:

Rectangulo cuarto de circunferencia cuarto de circunferencia Total Respuesta:

Area

X

Y

7200.00

-30.00

60.00

2827.43

25.47

94.54

-2827.43

-25.47

25.47

7200.00

X= Y=

-10.00 87.12

AX AY 216000.0 432000.0 0 0 267291.3 72000.58 8 72000.58 72000.58 - 627290.8 71998.84 0

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Resolución en Inventor:

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Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC Problema 3: Hallar el centroide de la siguiente figura

 Resolución en Excel: semielipse

Area 1919.51

X 0.00

Y 11.04

Triangulo

3290.00

-15.67

-23.33

Total

Resultado:

5209.51

X= Y=

-9.89 -10.67

AX AY 0.00 21181.83 51544.43 76765.57 51544.43 55583.74

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 Resolución en

Inventor:

Laboratorio 2 Mecánica para ingenieros UPC Problema 4: Hallar el centroide de la siguiente figura: Considerando que a=20

 Resolucion en Excel: Área

Rectángulo

X Y X= 38.50 1600.00Y= 40.0097.85 170.00

Rectángulo Cuadrado

1200.00 400.00

10.00 10.00

130.00 10.00

semicircunferencia

5654.87

45.47

60.00

semicircunferencia

-2513.27

36.98

60.00

Total

Resultados:

6341.59

AX 64000.00 12000.00 4000.00 257098.5 3 92928.31 244170.2 2

AY 272000.0 0 156000.0 0 4000.00 339292.0 2 150796.4 4 620495.5 8

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