• Author / Uploaded
• Richard Steve

• Categories
• Cantidades fisicas
• Mecanica clasica
• Física y matemáticas
• Física
• Mecánica de Medios Continuos

Citation preview

201 7

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

“Año de la buena atención del ciudadano”

UNIVERSIDAD PRIVADA AUTONOMA SAN FRANCISCO Carrera profesional de

INGENIERIA MECANICA

INGENIERIA MECANICA

curso: Mecanica de fluidos ii Integrantes: - Richard - Gilda Marca Escobar - Manuel Chambilla Valdez semestre: IV ciclo académico: 2017 Arequipa – Perú 2017

0 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

INDICE INTRODUCCIÓN ………………………………………………………….… 3 CAPITULO I MECANICA DE FLUIDOS 1.- Reseña histórica: …………………………………………………………… 4 2.- Definición de fluido ……………………………………………………….. 6 3.- Clasificación de los fluidos …………………………………………….… 6 3.1.- De acuerdo a la velocidad del flujo …………………………....…….6 3.2.- De acuerdo a sus cambios de densidad respecto al tiempo ….…7 3.3.- Por variación de velocidad con respecto al tiempo …………….….7 3.4.- Por magnitud y dirección de la velocidad del fluido ………….…..8 3.5.- Por efectos de vector velocidad …………………………………….…9 4.- Flujos viscosos incompresibles ……………………………………………..14 4.1 Flujos incompresibles estacionario en conductos a presión …….18 4.2.- Flujo Laminar y Turbulento ………………………………………….18 4.3.- Flujo principal Remolinos Flujo turbulento ……………………….19 4.3.1.- Regímenes de flujo laminar y turbulento ………………………20 4.4.Número de ………………………………………….21

Reynolds

Crítico

5.- Análisis dimensional, semejanzas y sus aplicaciones ……………….. 22 5.1.- Introducción ……………………………………………………………..22 5.2.- Definiciones ……………………………………………………………..22 5.3.- Teorema de Buckingham-Pi ………………………………………….24 5.4.- Aplicación de las leyes de semejanza al diseño de modelos físicos ……………………………………………………………………………25

1 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

5.5.- Leyes de semejanza condicionantes del diseño ………………... 27 5.6.- Modelos a semejanza de Froude ………………………………….. 27 5.7.- Modelos a semejanza de Reynolds ………………………………… 27 5.8.- Modelos a semejanza de Weber …………………………………….28 5.9.- Principios de Semejanza en modelos físicos ……………………..28 5.10.- Semejanza geométrica ………………………………………………28 5.11.- Semejanza cinemática ………………………………………………30 5.12.- Semejanza dinámica ………………………………………………… 31 5.13.- Semejanza sedimentológica ………………………………………..32 5.14.- Selección del material del lecho móvil ……………………………33 5.16.- Semejanza con parámetros dependientes múltiples ………….36 6.- Degradación de La Energía …………………………………..……………. 39 6.1.- La Energía ………………………………………………………….…… 39 6.2.- Tipos De Energía …………………………………………...………… 39 6.3.- Conservación ……………………………………………………...…… 39 6.4.- Degradación de la Energía……………………….………………… 39 6.5.- Fuentes de Energía …………………………………………………… 40 6.6.- El petróleo …………………………………………………………….… 44 6.8.- Energía nuclear …………………………………………..……………45 6.9.- Renovables o verdes………………………………………………… 46 7.- Pérdidas Primarias y Secundarias en Tuberías ………………………. 50 7.1.- Pérdidas Primarias: Ecuación de Darcy ………………………….. 50 7.2.- Perdidas secundarias ……………………………………………….. 51 7.3.- Diagrama de Moody ………………………………………………….. 51

2 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

7.4.- Marco Teórico ………………………………………………………….. 52 7.5.- Ecuación general de energía ……………………………………….. 53 7.6.- Procedimiento Experimental ……………………………………….. 55 7.7.- Análisis de Datos ……………………………………………………....62

CAPITULO II CONCLUSIONES ……………………………………………………………………….65 BIBLIOGRAFIA ……………………………………………………………………….67

INTRODUCCIÓN La Mecánica de Fluidos es la rama de la ciencia que estudia el equilibrio y el movimiento de los fluidos, esto es, líquidos y gases. En los fluidos, puede producirse un movimiento relativo de las moléculas u átomos que forma parte de la estructura interna tanto en movimiento como en reposo, situación que no se produce nunca en los sólidos. La mecánica de fluidos puede dividirse en dos partes diferenciadas. La primera de ellas es la que estudia, básicamente, el movimiento de fluidos que circula por una trayectoria concreta, en el que el fenómeno característico es su transporte. En este tipo de circulación de fluidos, éstos circulan canalizados por el interior de conducciones o cauces, y por ello se denomina flujo interno. Es una ciencia básica en todas las ingenierías. Cuando el fluido objeto de estudio es el agua, la parte de la mecánica de fluidos que estudia su movimiento es la Hidráulica.

3 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

La segunda parte en que se divide la mecánica de fluidos es cuando estos circulan, en vez de por el interior de conducciones, a través en un conjunto de partículas sólidas, denominándose flujo externo, ya que en vez de circular el fluido por el interior de un sólido (una conducción), es el fluido el que envuelve toda la superficie exterior de los sólidos.

CAPITULO I MECANICA DE FLUIDOS 1.- Reseña histórica: Como la mayor parte de las ciencias, la mecánica de fluidos tiene una historia de antecedentes lejanos aislados, después de una época de descubrimientos fundamentales en los siglos XVIII y XIX, y finalmente, una época de "práctica actual", como denominamos a nuestros conocimientos ya bien establecidos. Las civilizaciones antiguas tenían conocimientos rudimentarios, pero suficientes para resolver algunos problemas. La navegación a vela y el regadío datan de tiempos prehistóricos. Los griegos introdujeron la información cuantitativa. Arquímedes formuló las leyes de flotabilidad y los supo aplicar a cuerpos sumergidos, utilizando cierta forma de cálculo diferencial en su análisis. Los romanos construyeron multitud de acueductos, pero no dejaron escrito sobre los principios cuantitativos de sus diseños.

4 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Hasta el renacimiento hubo mejoras sustanciales en el diseño de naves, canales, etc. Pero tampoco nos queda evidencia de los análisis realizados. Leonardo Da Vinci (1452-1519) obtuvo una ecuación de continuidad para flujos unidimensionales. Fue una excelente experimentalista y en sus notas dejó descripciones muy reales sobre chorros, alas, resalto hidráulico, formación de torbellinos y diseños de cuerpos de baja y alta resistencia (cuerpos fuselados y paracaídas). Un francés Edme Mariotte (1620-1684) construyó el primer túnel aerodinámico y realizó diversas pruebas en él. Pero el definitivo impulso se debe a Sir Isaac Newton (1642-1727), que propuso las leyes generales del movimiento y la luz de resistencia viscosa lineal para los fluidos que hoy denominamos newtonianos. Los matemáticos del siglo XVIII (Daniel Bernoulli, Leonhard Euler, Jean D ´alembert, Joseph Louis Lagrange y Pierre Simón Laplace) obtuvieron soluciones a muchos problemas de flujos no viscosos. Euler desarrolló las ecuaciones diferenciales del movimiento de flujos incompresibles no viscosos, y posteriormente dedujo su forma integrada, que hoy conocemos como ecuación de Bernoulli. Utilizando estas ecuaciones, D´alembert propuso su famosa paradoja: un cuerpo inmerso en un flujo no viscoso tiene resistencia nula. Estos brillantes resultados deslumbran, pero en la práctica tienen pocas aplicaciones, porque la viscosidad siempre juega un papel crucial. Los ingenieros de la época rechazaron estas teorías por irreales y desarrollaron la ciencia denominada "hidráulica", que es esencialmente empírica. Experimentalistas como Chézy, Pitot, Borda, Weber, Francis, Hazen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin y Wiesbach trabajaron en gran variedad de flujos como canales abiertos, resistencia de barcos, flujos en tuberías, olas y turbinas. La mayor parte de los datos eran utilizados sin tener en cuenta los fundamentos físicos de los flujos. Al final del siglo XIX comenzó la unificación entre hidráulicos e hidrodinámicos. William Froude (1810-1879) y su hijo Robert Froude

5 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

(1846-1924) desarrollaron leyes para el estudio con modelos a escala; Lord Rayleigh (1842-1919) propuso la técnica del análisis dimensional; y Osborne Reynolds (1842-1912) publicó en 1883 su clásico experimento, mostrando la importancia de los efectos viscosos a través de un parámetro adimensional, el número de Reynolds, como se denomina hoy a dicho parámetro. Mientras tanto, la teoría de los flujos viscosos que habían sido desarrollado por Navier (1785-1836) y Stokes (1819-1903), añadiendo los términos viscosos a las ecuaciones del movimiento, permanecía en el olvido debido a su dificultad matemática. Fue entonces en 1904, cuando un ingeniero alemán Ludwig Prandtl (1875-1953), publicó el artículo quizá más importante de la historia de la mecánica de los fluidos. Según Prandtl, en los flujos de fluidos poco viscosos como los del aire y del agua, el campo fluido puede dividirse en dos regiones: una capa viscosa delgada o capa límite en las proximidades de superficies sólidas y entre fases donde los efectos viscosos son importantes, y una región exterior que se puede analizar con las ecuaciones de Euler y Bernoulli. La teoría de la capa límite ha demostrado ser la herramienta más importante en el análisis de los flujos. Las aportaciones esenciales a la mecánica de fluidos durante el siglo XX son diversos trabajos teóricos y experimentales de Prandtl y de sus dos principales competidores, Theodore Von Kármán (1881-1963) y Sir Geoffrey I. Taylor (1886-1975). 2.- Definición de fluido: Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas sólo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad definitoria es que los fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas

restituidas

tendentes

a

recuperar la forma original.

6 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Así entonces, un flujo es el estudio del movimiento de un fluido, involucrando las leyes del movimiento de la física, las propiedades del fluido y características del medio ambiente y conducto por el cual fluyen. 3.- Clasificación de los fluidos: El movimiento de los fluidos puede clasificarse de muchas maneras, según diferentes criterios y según sus diferentes características, este puede ser: 3.1.- De acuerdo a la velocidad del flujo: 3.1.1.- Flujo turbulento. En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden establecido. 3.1.2.- Flujo laminar. Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de láminas o capas más o menos paralelas entre sí.

3.2.- De acuerdo a sus cambios de densidad respecto al tiempo: 3.2.1.- Compresible. Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro no son despreciables. 3.2.2.- Incompresible. -

7 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Es aquel en los cuales los cambios de densidad de un punto a otro son despreciables, mientras se examinan puntos dentro del campo de flujo.

3.3.- Por variación de velocidad con respecto al tiempo: 3.3.1.- Flujo permanente. Se caracteriza porque las condiciones de velocidad de escurrimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, o sea que permanecen constantes con el tiempo o bien, si las variaciones en ellas son tan pequeñas con respecto a los valores medios. 3.3.2.- Flujo no permanente. Las propiedades de un fluido y las características mecánicas del mismo serán diferentes de un punto a otro dentro de su campo, además si las características en un punto determinado varían de un instante a otro se dice que es un flujo no permanente.

3.4.- Por magnitud y dirección de la velocidad del fluido: 3.4.1.- Flujo Uniforme. Ocurren cuando el vector velocidad en todos los puntos del escurrimiento es idéntico tanto en magnitud como en dirección para un instante dado.

8 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

3.4.2.- Flujo no Uniforme. Es el caso contrario al flujo uniforme, este tipo de flujo se encuentra cerca de fronteras sólidas por efecto de la viscosidad.

3.5.- Por efectos de vector velocidad: 3.5.1.- Flujo Rotacional e irrotacional. Decimos que el flujo es irrotacional cuando cualquier partícula fluida no posee velocidad angular neta respecto al punto en que se encuentra. En caso contrario, el flujo es rotacional. Podemos tener una aproximación intuitiva a estos dos tipos de flujo imaginando una ruedecilla con paletas inmersa en el fluido en movimiento. Si la ruedecilla tan sólo se traslada, el flujo es irrotacional; si gira y se traslada (o sólo gira), el flujo es rotacional. El flujo rotacional incluye el movimiento de vórtice (remolinos) y los flujos con gradiente transversal de velocidad. 3.5.1.1.- Fuente vectorial y escalar: Al campo vectorial , que se obtiene calculando el rotacional de un campo en cada punto. vectoriales de

se conoce como las fuentes

(siendo las fuentes escalares las que se obtienen

mediante la divergencia).

9 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar o, dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):

3.5.1.2.- Expresión en coordenadas cartesianas: Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

3que

se

puede

expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además, dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional. En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi Civita se escribe como: 3.5.1.3.- Expresión en otros sistemas de coordenadas:

10 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

(donde, en cartesianas,

y reobtenemos la

expresión anterior. En coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas

3.5.1.4.- Expresión mediante formas diferenciales: Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como: Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co) vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una

forma o

un campo de bivector, escrito correctamente como:

Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³ dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un seudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos. 3.5.1.5.- Propiedades:

11 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

 Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es: Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.  En particular, el campo electrostático de una carga puntual

(y

por

superposición,

cualquier

campo

electrostático) es irrotacional.  El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula: El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

3.5.1.6.- Ejemplos: Un campo vectorial sencillo Sea el campo vectorial:

que depende linealmente de x e y, que se muestra a continuación:

Mediante inspección visual, se observa que el campo está girando. Si indicara la dirección de un fluido y se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, tendería a rotar en el sentido de las agujas del reloj. Utilizando la Regla de la mano derecha el vector rotacional apuntará a la parte

12 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

negativa del eje zeta (hacia dentro) y no contendrá componentes en el eje x o y.

3.5.1.7.- Calculando el rotacional:

Que está en la parte negativa del eje z, como se esperaba. En este caso, el rotacional es constante, independientemente de su posición. La "cantidad" de rotación es el mismo en todo punto del espacio. 3.5.2.- Flujo Unidimensional. Es un flujo en el que el vector de velocidad sólo depende de una variable espacial, es decir que se desprecian los cambios de velocidad transversales a la dirección principal del escurrimiento. Dichos flujos se dan en tuberías largas y rectas o entre placas paralelas. 3.5.3.- Flujo Bidimensional. Es un flujo en el que el vector velocidad sólo depende de dos variables espaciales. Es decir (X y Y) En este tipo de flujo se supone que todas las

partículas

fluyen

sobre

planos

paralelos a lo largo de trayectorias que resultan idénticas si se comparan los planos entre sí, no existiendo, por tanto, cambio

alguno

en

dirección

perpendicular a los planos. 3.5.4.- Flujo Tridimensional El vector velocidad depende de tres coordenadas espaciales, es el caso más general en que las componentes de la velocidad en tres direcciones

mutuamente

perpendiculares

son

función

de

las

coordenadas espaciales x, y, z, y del tiempo t.

13 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Un flujo de tal naturaleza se denomina

tridimensional

(también constituye un flujo no estacionario) debido a que

la

velocidad

de

cualquier punto del campo del flujo depende de las tres coordenadas necesarias para poder localizar un punto en el espacio. 3.5.5.- Flujo ideal: Es aquel flujo incompresible y carente de fricción. Un fluido que no presente fricción resulta no viscoso y los procesos en que se tenga en cuenta su escurrimiento son reversibles. 4.- Flujos viscosos incompresibles: En los sólidos, tales como los metales, se ha observado que su deformación es proporcional a las solicitaciones aplicadas; sin embargo, medios como el agua y el aire presentan comportamientos muy diferentes, ya que éstos no son capaces de soportar ni siquiera los esfuerzos de corte, producto de su propio peso. Por ejemplo, al aplicarse una solicitación a corte entre dos placas, el fluido continuará su deformación a corte mientras la solicitación permanezca. Queda claro, entonces, que cualquier fluido será incapaz de soportar solicitaciones de corte sin deformarse de manera permanente. La velocidad de desplazamiento será proporcional a la solicitación aplicada y al eliminarse la carga, la deformación permanecerá. En presencia de la gravedad un fluido como el agua, tomará la forma del recipiente que la contiene, resultando imposible que mantenga su forma al retirar las paredes del recipiente.

14 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Lo anterior significa que no soporta esfuerzos cortantes generados por su propio peso, siendo entonces que en presencia de estos cortantes el fluido se deformará de manera permanente y continua, limitada esta deformación solo por la tensión superficial existente entre el fluido y la superficie sobre la cual se extiende. Con base en las condiciones de movimiento del fluido, se define a éste como un medio idealizado que durante su movimiento como cuerpo rígido (considerando el propio estado de reposo) es incapaz de soportar cualquier tipo de solicitaciones a corte. Asimismo, se tiene que para algunos casos la densidad del fluido es aproximadamente constante. Esta situación aplica, por ejemplo, para el agua, en la cual en condiciones de carga muy variadas se considera que su densidad no se altera (por lo tanto, se describe como incompresible), por otra parte, el aire, como todos los gases, se analiza sobre la premisa de que al variar la presión su densidad también se ve afectada. Sin embargo, la descripción de compresibilidad o invariabilidad de la densidad en un fluido depende de las condiciones del estudio; por ejemplo, el aire a bajo número de Match se le analiza como si se tratara de un fluido incompresible; por lo contrario, cuando se estudia la propagación de ondas elásticas en el agua se describe a ésta como un fluido compresible. En los fluidos se observa que la resistencia al flujo depende de la velocidad y, por consecuencia, de su velocidad de deformación, esto de manera análoga a lo que sucede en los sólidos con relación a su deformación. Análisis más detallados revelan que existen fluidos en los que la relación de las cargas aplicadas con la velocidad de deformación es lineal; tal como pasa en los sólidos de Hooke con la deformación. Por otra parte, fluidos como la miel o la propia sangre no presentan relaciones lineales. Es entonces que se pueden clasificar a los fluidos como: a) Fluidos newtonianos. - Son aquellos en los que la relación esfuerzo de corte velocidad de deformación es lineal

. A esta

relación de proporcionalidad se le denomina como viscosidad, razón

15 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

por la cual este tipo de fluidos se describen como linealmente viscosos. b) Fluidos no newtonianos. - En este caso la relación es no lineal, presentándose fenómenos de almacenamiento de energía a la vez de los disipativos característicos de los fluidos, a este tipo de medios se les denomina como fluidos viscosos no lineales

.

Desde el punto de vista de la variación de su densidad se describen como: 1) Fluidos compresibles.

-

2) Fluidos incompresibles. - Se puede considerar idealmente que la densidad del fluido bajo estudio permanece constante

Como ya ha sido mencionado un fluido es un medio idealizado, el cual, en cualquier punto, durante movimiento de cuerpo rígido o en reposo, no es capaz de soportar esfuerzos de corte, por lo que con cualquier base que se analice el sistema, el estado de esfuerzos siempre se presentará como

Esto debido a que el fluido en reposo o en movimiento de cuerpo rígido no presenta ningún esfuerzo de corte; por otro lado, partiendo de la misma lógica se tiene que para un elemento diferencial cualquiera en el seno del fluido al cortar éste con cualquier plano, solamente se presentarán esfuerzos normales, lo que se expresa entonces como: “Mecánica de fluidos II”

16

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Para cualquier

,el esfuerzo en cualquier punto y para cualquier plano es

normal al plano. Considerando que el punto (elemento diferencial de fluido) es cortado por dos planos cualesquiera cuyas normales son

, entonces se cumplirá

que

Por otra parte,

Dado que

Existen entonces dos posibilidades:

Ya

que

los

planos

no

necesariamente

son

perpendiculares

17 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Presión atmosférica

donde el escalar p representa la magnitud de los esfuerzos normales compresivos y por consecuencia se define como presión hidrostática. 4.1 Flujos incompresibles estacionario en conductos a presión. – Estos flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático y científico suizo Daniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. Para el autor John Muller: "Este principio es importante para la medida de flujos, y también puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo. 4.2.- Flujo Laminar y Turbulento. Los

primeros

experimentos

cuidadosamente

documentados

del

rozamiento en flujos de baja velocidad a través de tuberías fueron realizados independientemente en 1839 por el fisiólogo francés Jean Louis Marie Poiseuille, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero hidráulico alemán Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones matemáticas se debió al ingeniero francés Claude

Louis

Marie

Navier

en

1827

e,

independientemente,

al

matemático británico George Gabriel Stokes, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes, y son tan complejas que sólo se pueden aplicar a flujos sencillos. Uno de ellos es el “Mecánica de fluidos II”

18

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

de un fluido real que circula a través de una tubería recta. El teorema de Bernoulli no se puede aplicar aquí, porque parte de la energía mecánica total se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería. Las ecuaciones sugieren que, dados una tubería y un fluido determinados, esta caída de presión debería ser proporcional a la velocidad de flujo. Los experimentos realizados por primera vez a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades mayores, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Según James A. Fay "Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones calculadas, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos"; gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia. Puede observarse la transición del flujo laminar al turbulento y la complejidad del flujo turbulento cuando el humo de un cigarrillo asciende en aire muy tranquilo. Al principio, sube con un movimiento laminar a lo largo de líneas de corriente, pero al cabo de cierta distancia se hace inestable y se forma un sistema de remolinos entrelazados. 4.3.- Flujo principal Remolinos Flujo turbulento. Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en cuenta la estructura interna del flujo. En un régimen laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento de láminas o capas. La estructura del flujo en un régimen turbulento por otro lado, se caracteriza por los movimientos tridimensionales, aleatorios, de las partículas de fluido, superpuestos al movimiento promedio. En un flujo laminar no existe un estado macroscópico de las capas de fluido adyacentes entre sí. Un filamento delgado de tinta que se inyecte en un flujo laminar aparece como una sola línea; no se presenta dispersión de la tinta a través del flujo, excepto una difusión muy lenta debido al movimiento molecular.

19 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Por otra parte, un filamento de tinta inyectado en un flujo turbulento rápidamente se dispersa en todo el campo de flujo; la línea del colorante se descompone en una enredada maraña de hilos de tinta. Este comportamiento del flujo turbulento se debe a las pequeñas fluctuaciones de velocidad superpuestas al flujo medio de un flujo turbulento; el mezclado macroscópico de partículas pertenecientes a capas adyacentes de fluido da como resultado una rápida dispersión del colorante. El filamento rectilíneo de humo que sale de un cigarrillo expuesto a un ambiente tranquilo, ofrece una imagen clara del flujo laminar. Conforme el humo continúa subiendo, se transforma en un movimiento aleatorio, irregular; es un ejemplo de flujo turbulento. El que un flujo sea laminar o turbulento depende de las propiedades del caso. Así, por ejemplo, la naturaleza del flujo (laminar o turbulento) a través de un tubo se puede establecer teniendo en cuenta el valor de un parámetro adimensional, el número de Reynolds,

, donde p es

la densidad del fluido, V la velocidad promedio, D el diámetro del tubo y u la viscosidad. El flujo dentro de una capa límite puede ser también laminar o turbulento; las definiciones de flujo laminar y flujo turbulento dadas anteriormente se aplican también en este caso. Como veremos más adelante, las características de un flujo pueden ser significativamente diferentes dependiendo de que la capa. límite sea laminar o turbulenta. Los métodos de análisis también son diferentes para un flujo laminar que para un flujo turbulento. Por lo tanto, al iniciar el análisis de un flujo dado es necesario determinar primero si se trata de un flujo laminar o de un flujo turbulento. Veremos más detalles a este respecto en capítulos posteriores. 4.3.1.- Regímenes de flujo laminar y turbulento. Las ecuaciones que rigen el régimen laminar de flujo son las mismas que en el flujo turbulento, las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes que para un flujo de un fluido newtoniano e incompresible.

20 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Las incógnitas de estas ecuaciones son el campo de velocidades y el de presiones. El régimen laminar se caracteriza por un movimiento ordenado de las partículas de fluido, existiendo unas líneas de corriente y trayectorias bien definidas. En el régimen turbulento las partículas presentan un movimiento caótico sin que existan unas líneas de corriente ni trayectorias definidas. En cuanto al campo de velocidades de uno u otro régimen, si en un punto de un campo de flujo se hiciera una medida del valor de una variable de campo (por ejemplo, de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en régimen laminar ésta presenta un valor bien definido que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio las variables de flujo presentan una variación temporal, aun cuando las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz). El intentar obtener una solución a las ecuaciones del flujo en régimen turbulento esta fuera del alcance del análisis matemático y el cálculo numérico actuales. De forma similar a la teoría cinética donde se estudia el movimiento de infinidad de moléculas hay que recurrir a un estudio estadístico de la turbulencia trabajando con propiedades promedio. Una posibilidad de promediar las variables de flujo es considerar que en un punto del campo las variables vienen dadas como la suma de un valor promedio y una fluctuación turbulenta. 4.4.- Número de Reynolds Crítico. En 1883, cuando el ingeniero británico Osborne Reynolds demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías, decía que, a velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar), y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas. “Mecánica de fluidos II”

21

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Reynolds

demostró

que,

a

velocidades

más

elevadas,

surgen

fluctuaciones en la velocidad del flujo, o remolinos (flujo turbulento), en una forma que ni siquiera en la actualidad se puede predecir completamente. Reynolds además determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds. Si el número de Reynolds que carece de dimensiones y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido es menor de 2.100, el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son más elevados suele ser turbulento. El concepto de número de Reynolds es esencial para gran parte de la moderna mecánica de fluidos. El ábaco de Moody Este ábaco fue publicado por L. F. Moody en 1944 basándose en la fórmula de Colebrook.

5.- Análisis dimensional, semejanzas y sus aplicaciones: 5.1.- Introducción. El análisis dimensional fue introducido, de forma teórica, por Lord Rayleigh en 1877 en el libro “The Theory of Sound” sin embargo este ha sido atribuido a Buckingham en 1915 por la publicación “Model experiments and the form of empirical equations”, siendo actualmente conocido como el Teorema de Buckingham Pi, proviniendo el Pi de los números adimensionales contenidos en el desarrollo maten ático del mismo. El análisis dimensional permite expresar una serie de magnitudes físicas en función de otras que consideramos fundamentales. 5.2.- Definiciones. -

22 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Consideramos una magnitud física a la propiedad medible de un elemento o conjunto físico. Hay que tener en cuenta que hay propiedades, como la dureza, que son comparables, pero no medibles. Esta no constituiría una magnitud física. Cuando algo es medible lo hacemos en un sistema de referencia, pero este no tiene por qué ser único. Por

ejemplo,

observables.

sean

una

Sean

medida

de

longitud

dos medidas de longitud distintas que

tomaremos como referencia.

expresa el número de veces que

contiene la unidad de referencia

,

mientras que: Expresa el número de veces que

contiene la unidad de referencia L0

Como L1 no varía independientemente de la unidad adoptada como referencia:

Por tanto:

representa la transformación que nos permite pasar de un sistema de coordenadas al otro. Dentro de las magnitudes físicas existen una serie de magnitudes únicamente

dependientes

de

sí

mismas

a

las

que

llamaremos

magnitudes fundamentales pudiendo el resto de las magnitudes

23 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

expresarse en función de ´estas. A ´estas últimas las denominaremos magnitudes derivadas. Las unidades fundamentales son las que, en cada problema, quieran tomarse como tales, y pueden estar formadas por cualquier conjunto de magnitudes físicas independientes entre sí. Es decir, puede ser cualquier conjunto de magnitudes físicas siempre que cumplan el criterio de independencia lineal entre ellas cuando se encuentran expresadas sobre el mismo sistema de referencia.

Las demás magnitudes físicas se

expresarán en función de las elegidas. En un movimiento uniforme la velocidad es una expresión de la distancia recorrida en función del tiempo que se tarda en recorrer dicha distancia. Por tanto, se tendrán 2 magnitudes fundamentales, distancia (L) y tiempo (t), expresándose la magnitud derivada (v) como:

Sin embargo, cuando se trabaja con la distancia entre cuerpos en el espacio estamos acostumbrados a referirnos a ella como “años luz”, lo que en realidad constituye un ejemplo de expresión de la distancia como magnitud derivada de las fundamentales dadas por la velocidad de la luz (c) y el tiempo (t), en la forma:

5.3.- Teorema de Buckingham-Pi. Sean

las magnitudes físicas relevantes del problema a

estudio y que se relacionan entre sí mediante un conjunto conocido de ecuaciones homogéneas. Esta relación puede expresarse de la forma:

Si el sistema formado por las n variables tiene dimensión k, existe, al menos, un conjunto k de variables independientes, y el resto de

24 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

variables, dado por

puede expresarse en función de una serie

de j monomios adimensionales

. en la ecuación puede

expresarse de forma más compacta como: de

forma

equivalente

Téngase en cuenta que el sistema formado por las k variables independientes no tiene por qué ser único, aunque si debe cumplir la condición de independencia lineal entre ellas. 5.4.- Aplicación de las leyes de semejanza al diseño de modelos físicos. Efectivamente la experimentación en modelos hidráulicos está basada en la aplicación de un conjunto de relaciones conocidas con el nombre de leyes de semejanza, las cuales se han derivado del análisis dimensional y expresan las relaciones entre los distintos parámetros que gobiernan el comportamiento de un fluido. Debido a razones prácticas no se puede asegurar una similitud mecánica total tanto en el modelo como en su prototipo. El conjunto de leyes de semejanza que segura esta similitud no podrá ser aplicado a los fines de diseño de los modelos por resultar incompatibles. El hecho de que normalmente se use el mismo fluido (agua) en el modelo y en el prototipo ya impide lograr una semejanza hidráulica completa. Por ejemplo, si se exige que un modelo cumpla simultáneamente las condiciones de semejanza de Reynolds

y de Froude

dado que

La escala de velocidades resultaría:

25 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Dónde: ρ, es la densidad del fluido; V, es la velocidad del flujo; L, longitud característica; μ, es el valor de la viscosidad; Lr, es la relación de longitudes y g, es la gravedad. Que sólo podría ser resuelto sí Lr = 1. Como consecuencia de ello, la mayoría de los modelos físicos se diseñan aceptando que cumplan sólo de manera aproximada las condiciones de similitud mecánica. Lo usual es imponer una condición de similitud dinámica, por ejemplo, aquélla asociada a la fuerza predominante del fenómeno, despreciando las demás condiciones. De esta manera, un modelo físico cumple normalmente con la semejanza de Reynolds, o de Froude o de Weber, o de Mach etc. Sin embargo, esto introduce errores o desviaciones que se han de tener en cuenta en la reproducción del fenómeno, conocidos como efectos de escala. Por tal motivo, el diseño debe apuntar a minimizar estos efectos que se traduce en imponer límites en la escala adoptada. 5.5.- Leyes de semejanza condicionantes del diseño. -

26 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

La interpretación dada a los números adimensionales o leyes de semejanza en donde existe una relación entre la fuerza de inercia y la fuerza específica asociada a una propiedad del fluido o del flujo, y el concepto de semejanza planteado como la constancia de dichos números en la transformación de la escala en un modelo físico; permiten determinar

las

condiciones

de

diseño

de

un

modelo

que

sea

dinámicamente semejante con su prototipo. 5.6.- Modelos a semejanza de Froude. El número de Froude representa la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitatorias, por tanto, para aquellos prototipos en que los fenómenos

están,

principalmente,

determinados

por

fuerzas

gravitacionales se acepta que la condición de semejanza dinámica esté dada para el modelo

, siendo

la relación de los números de Froude

entre modelo y prototipo, lo que implica que las demás escalas estarán gobernadas por esta relación. Este tipo de modelación es aplicable a flujos con superficie libre, particularmente, cuando el escurrimiento es bruscamente variado donde los efectos friccionales son despreciables. Cuando los escurrimientos son gradualmente variados o uniformes, junto con las fuerzas gravitacionales actúan las fuerzas de fricción interna dependiendo de las condiciones de borde como, por ejemplo, la rugosidad relativa. En estos casos la semejanza geométrica y la semejanza de Froude aseguran en gran medida la similitud dinámica. El criterio de Froude, también, es válido para fuerzas distintas a las gravitacionales, como, por ejemplo, las fuerzas centrífugas, etc. 5.7.- Modelos a semejanza de Reynolds. El número de Reynolds expresa la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de fricción interna, debido a la viscosidad. Existen muchos fenómenos que están determinados, principalmente, por esta razón; tal es el caso del flujo en régimen laminar en presión o superficie libre, el flujo turbulento hidrodinámicamente liso y el flujo viscoso alrededor de

27 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

un obstáculo sumergido, etc. La condición de semejanza viene expresada por

, siendo

la relación de los números de Reynolds entre modelo

y prototipo. 5.8.- Modelos a semejanza de Weber. El número de Weber expresa el efecto de la tensión superficial entre líquidos y gases y entre dos líquidos; por ser la fuerza de origen molecular, la fuerza resulta significativa sólo cuando las dimensiones del flujo son pequeñas: escurrimiento de muy baja altura, napas vertientes de pequeño tamaño y pequeñas ondas superficiales (ondas capilares), donde la condición a satisfacer es

, donde

es la relación de los

números de Weber entre modelo y prototipo. 5.9.- Principios de Semejanza en modelos físicos. Para asegurar que el modelo represente adecuadamente al prototipo, es necesario que aquel sea mecánicamente similar con éste, es decir, exista similitud geométrica, cinemática y dinámica, además de las similitudes relacionadas con los sedimentos. 5.10.- Semejanza geométrica. Esta similitud es independiente de la clase de movimiento y contempla sólo similitud en la forma. La propiedad característica de los sistemas geométricamente similares, ya sea figuras planas, cuerpos sólidos o modelos de flujo, es que la relación de cualquier longitud en el modelo con respecto a la longitud correspondiente en el prototipo, es en todas partes igual. Esta relación se conoce como factor de escala y puede expresarse como sigue:

Siendo

y

dimensiones lineales correspondientes en modelo y

prototipo, respectivamente y

factor de escalas. Entonces:

28 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Relación de áreas:

Relación de volúmenes:

La similitud geométrica es quizá el requisito más obvio en un sistema modelo proyectado para corresponder a un sistema prototipo dado. Sin embargo, la similitud geométrica perfecta no siempre es fácil de obtener. No sólo debería ser la forma general del modelo geométricamente similar a la del prototipo, sino que también deberían ser geométricamente similares las inevitables rugosidades de la superficie. En un modelo pequeño la rugosidad superficial podría no ser reducida de acuerdo con el factor de escala a menos que las superficies del modelo se pudieran hacer mucho más pulidas que las del prototipo. Y, por ejemplo, en el estudio del movimiento de los sedimentos en los ríos, un modelo pequeño requeriría de acuerdo con el factor de escala el uso para representar la arena, de un polvo de finura imposible de obtener. Si por cualquier razón el factor de escala no es igual en todas partes, resulta un modelo distorsionado. Por ejemplo, un prototipo y su modelo pueden tener la misma conformación general, que es geométricamente similar, pero tener acabados superficiales que no lo son. En el caso de prototipos muy grandes, tales como ríos, el tamaño del modelo se limitará con probabilidad por el espacio que se dispone; pero si el factor de escala “Mecánica de fluidos II”

29

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

utilizado para reducir las longitudes horizontales se usa también para reducir las longitudes verticales, el resultado puede ser una corriente de tan poca profundidad que la tensión superficial produzca un efecto considerable y, además, el flujo puede ser laminar en lugar de turbulento. En este caso puede ser inevitable un modelo distorsionado. Naturalmente, el grado hasta el cual debe buscarse la similitud geométrica perfecta depende del problema bajo investigación, y de la precisión requerida en la solución. 5.11.- Semejanza cinemática. La similitud cinemática implica similitud en el movimiento. Esto implica similitud de longitud (esto es similitud geométrica) y en adición similitud de intervalos de tiempo. Entonces, ya que las longitudes correspondientes se encuentran en una relación fija, las velocidades de las partículas correspondientes deben estar en una relación fija de magnitudes de tiempos correspondientes. Si la relación de longitudes correspondiente es de tiempo correspondiente es

y la relación de intervalos

, entonces las magnitudes de las

velocidades correspondientes están en la relación:

Cuando los movimientos de los fluidos son cinemáticamente similares, los patrones formados por líneas de corriente son geométricamente similares en los tiempos correspondientes. Ya que los límites consisten de líneas de corriente, los flujos cinemáticamente similares sólo son posibles a través de límites geométricamente similares. No obstante, esta condición no es suficiente para asegurar la similitud geométrica, a cierta distancia a partir de los límites, de los patrones de líneas de corriente por tanto el límite geométrico similar no es necesario que impliquen flujos similares de manera cinemática. 5.12.- Semejanza dinámica. -

30 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

La similitud dinámica entre dos sistemas geométrica y cinemáticamente similares, requiere que la razón de todas las fuerzas homólogas (incluyendo la fuerza de inercia) en los dos sistemas sea la misma. La segunda ley de Newton puede escribirse como sigue:

Dónde: inercia; gravedad;

es la reacción de la masa de las fuerzas actuantes o fuerza e fuerza de presión;

fuerza debida a la acción de la

fuerza producida por la tensión superficial;

fuerza de

corte debido a la viscosidad; Fe fuerza producida por compresión elástica del fluido. Es decir:

Los subíndices M se refieren al modelo y el P al prototipo. Para que la similitud sea perfecta es necesario además que:

Pero no todas estas relaciones pueden considerarse como independientes debiendo determinarse algunas de ellas una vez establecidas las demás. Así tenemos fuerzas que actúan en forma mínima comparada con la fuerza actuante predominante y otras fuerzas no actúan según el caso que se esté tratando. En la práctica, el movimiento de un fluido puede ser reproducido buscando en el modelo la similitud de sólo una de las fuerzas de la ecuación.

31 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Los problemas de obras hidráulicas y de ingeniería fluvial gobernados por flujo libre son dominados por las fuerzas de gravedad. La ley de semejanza en este caso, llamada semejanza de Froude, garantiza que esta fuerza en su proporción con la resultante, se reproduzca correctamente en el modelo. Sabemos que el número de Froude viene dado por la siguiente relación:

Dónde: F es el número de Froude; V es la velocidad del fluido; g es la aceleración de la gravedad y L es una longitud característica. La semejanza dinámica está dada cuando

, es decir, la razón de

los números de Froude del prototipo y modelo sea igual a uno; como la gravedad es la misma para los dos sistemas, tenemos:

Para determinar la relación de caudales

tenemos:

5.13.- Semejanza sedimentológica. Abarca muchos aspectos según sea el caso del modelo en estudio, tales como el proceso de sedimentación en sí (erosión, transporte, deposición, concentración de sedimento, ondas sedimentarias, etc.) Por ejemplo, para modelar el proceso de sedimentación se utiliza la semejanza del número de Froude y ha de tenerse en cuenta que la escala de velocidad del flujo . Donde

es la relación entre velocidades del flujo entre

modelo y prototipo;

relación de velocidad de caída del sedimento entre

modelo y prototipo; y

relación entre escalas de longitud.

32 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Con las velocidades de caída en el prototipo se determina la velocidad correspondiente en el modelo y con ésta se determina el diámetro de las partículas en el modelo, con esto se garantiza que estas partículas caen con una velocidad homóloga con su correspondiente del prototipo. 5.14.- Selección del material del lecho móvil. El material del lecho móvil deberá seleccionarse cumpliendo, por lo menos, con la identidad del número de Froude, relacionado al grano en modelo y prototipo.

Dónde:

es el radio hidráulico en metros;

Diámetro del grano;

la pendiente energética;

peso específico del agua cuyo valor es igual a

9810 N/m3;

peso específico del sedimento igual a 26683 N/m3

cortante N/m2,

esfuerzo

densidad en Kg/m3.

Y si el número de Reynolds relacionado al grano en el modelo tiene el valor que según el diagrama de Shields

y además el número de

Froude es mayor a 0.060, el número de Reynolds deja de tener influencia sobre el inicio del movimiento. Por lo que se darán buenas condiciones de semejanza. De la identidad del número de Froude, se desprende que la escala de diámetro del grano es igual a la escala geométrica, considerando un modelo sin distorsión y usando sedimentos de igual origen natural que el prototipo.

33 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Teniendo en cuenta que el modelo no tiene distorsión de escala SM = SP y usando los sedimentos de origen natural igual que en el prototipo (se trata de materiales del mismo peso específico), se tiene:

Donde

es la relación de diámetros entre modelo y prototipo y

, la

relación de escalas de longitud entre modelo y prototipo. Esto mismo se cumple para el material sólido que constituye el transporte de fondo, ya que en realidad esto es válido para el grano que se pretende modelar. 5.15.- Semejanza incompleta. En muchos casos prácticos la similitud exacta entre el modelo y el prototipo no se puede alcanzar, y en estos casos los resultados deberán conformarse a una semejanza incompleta. Por ejemplo, si se quiere estudiar la fuerza de arrastre de un barco, en la cual interviene la fricción superficial sobre el barco, debida a fuerzas viscosas y la resistencia de onda superficial, debida a fuerzas de gravedad. Por lo tanto, para que exista semejanza completa tanto los números de Reynolds como los de Froude deben ser semejantes entre el modelo y el prototipo. Para los números de Froude tenemos:

34 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Con lo cual se determina la razón de velocidad que se debe usar entre el modelo y el prototipo:

En cuanto a los números de Reynolds:

Esto implica que para igualar los números de Reynolds deberá variarse la viscosidad del fluido, ya que la relación de viscosidades vine dada por:

Esto implica que si se usa un factor de escala de donde entonces

Efectos de Escala. - Pero en la práctica esto es prácticamente imposible, ya que el barco se moverá en agua y el único fluido con viscosidad más baja que el agua es el mercurio. Además, el único fluido que se puede usar comúnmente para pruebas de laboratorio suele ser el agua. Esto implica que en este ejemplo la única forma de obtener una semejanza completa es utilizar la escala natural, lo cual es extremadamente costoso. Sin embargo, esta dificultad de obtener una similitud completa no invalida las pruebas en modelos, sin embargo, para poder utilizar los

35 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

resultados obtenidos en las pruebas debe conocerse el fenómeno a estudiar y tomar en cuenta ciertos detalles. Por ejemplo, en el caso del arrastre con el barco, el número de Reynolds afectará la forma de la estela dejada por la capa límite. Se deberá entonces estudiar el fenómeno y compensar los efectos de alguna otra manera, por ejemplo, utilizando escalas distintas en las diferentes direcciones o cambiar artificialmente la rugosidad del modelo. Al no darse las condiciones de completa semejanza mecánica, pueden aparecer “efectos de escala” en los modelos donde en razón de la magnitud de la transformación adoptada existen fuerzas que cobran importancia, fundamentalmente, las fuerzas moleculares que son, por lo general, insignificantes en el prototipo y que, en cambio, por el reducido tamaño del modelo se hacen relevantes los fenómenos observados en éste. Tales fuerzas se asocian, principalmente, con las fuerzas capilares derivadas de la tensión superficial y con las fuerzas viscosas o de fricción interna. 5.16.- Semejanza con parámetros dependientes múltiples. En algunos casos puede existir más de un parámetro dependiente, como por ejemplo en el caso del estudio de una bomba centrífuga. En estos casos los grupos de parámetros adimensionales deben formarse independientemente para cada uno de los parámetros dependientes. En el caso del ejemplo, la bomba centrifuga se pueden identificar tres parámetros dependientes: La carga o presión suministrada (H), la potencia requerida (P) y la eficiencia (η). Y los parámetros independientes serán: el flujo (Q), la velocidad angular (ω), el diámetro del impulsor (D) y las propiedades del fluido (μ, ρ). Aquí

es

común

entonces

obtener

dos

juegos

de

parámetros

adimensionales:

36 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Utilizando

el

teorema

Pi

obtenemos

dos

juegos

de

parámetros

adimensionales:

Coefi

ciente de carga.

Coeficiente de potencia.

Donde: se denomina coeficiente de caudal.

es una forma del número de Reynolds.

En cuanto a la eficiencia este es un parámetro que depende de la relación entre la potencia de entrada y la potencia de salida que de por sí ya es adimensional, por lo que no se requiere

del

cálculo

de

los

parámetros. En una bomba el funcionamiento es muy difícil de predecir excepto en condiciones cercanas al punto de diseño, por lo tanto, se usan los parámetros adimensionales para predecir experimentalmente el funcionamiento de la bomba en todos los otros puntos de funcionamiento, obteniendo lo que se denominan curvas de funcionamiento de las bombas, como se ilustra en la figura, para el caso de un valor de velocidad angular constante.

37 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

La observación empírica ha mostrado que en este caso las fuerzas viscosas no tienen mucha importancia, por lo tanto para que exista similitud completa es necesario que:

Por lo cual

Esto implica que, si se conocen las condiciones de operación para una máquina,

las

geométricamente

correspondientes similar

pueden

a

cualquier

obtenerse

con

otra los

máquina parámetros

adimensionales cambiando las dimensiones y la velocidad de rotación. En el caso de bombas existe otro parámetro importante denominado velocidad específica:

Esta se puede entender como la velocidad requerida para producir una carga unitaria a un caudal unitario. Y es de notar que su valor depende de las unidades utilizadas, a pesar de ser adimensional. 6.- DEGRADACIÓN DE LA ENERGÍA: 6.1.- La Energía.En la naturaleza continuamente se producen cambios en los cuales es necesario energía. Por ejemplo, el movimiento de un coche, el funcionamiento de una máquina, etc. “Mecánica de fluidos II”

38

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

La energía es la capacidad que tiene un sistema para producir cambios en sí mismo o en otro. En los sistemas la energía puede relacionarse con otras propiedades de estos, como la química, eléctrica, nuclear y térmica. 6.2.- Tipos De Energía. Todos los tipos de energía pueden encuadrarse en una de estas dos clases:  Energía cinética: Es la energía que posee un cuerpo cuando está en movimiento. Su fórmula es esta: Ec=1/2 *m*v2  Energía potencial: Es la energía que posee un cuerpo debido a su posición. Dentro de esta podemos encontrar:  Energía potencial gravitatoria: Que es la que posee un cuerpo debido a su posición respecto del suelo.  Energía potencial elástica: Que es la que posee un cuerpo debido a su deformación. 6.3.- Conservación.6.3.1. Principio de conservación de la energía. La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma. Por tanto, la energía total del universo se mantiene constante. 6.3.2. Rendimiento energético. En una transformación energética, la energía suministrada, es igual a la suma de la energía útil, o aprovechable, más la energía disipada caloríficamente. Se denomina rendimiento energético, r, al cociente entre la energía útil y la energía suministrada. Se expresa en porcentaje.

39 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Por ejemplo, si un motor tiene un rendimiento del 60%, solo realiza un trabajo de 60 Julios (J) por cada 100 J de energía que consume. Ninguna máquina tiene un rendimiento del 100%, porque siempre disipa caloríficamente parte de la energía que se le suministra. 6.4.- DEGRADACIÓN DE LA ENERGÍA. Aunque en cualquier proceso la cantidad de energía se conserva, no se conserva su ''calidad'', porque tiende a transformarse en formas de energía menos útiles. En las transformaciones energéticas, una parte de la energía inicial se disipa caloríficamente y no puede ser íntegramente convertida de nuevo en la forma que tenía la energía inicial. Esta energía transferida como calor es el resultado final de toda transformación energética. La energía se conserva en los cambios, pero tiende a transformarse en formas de energía menos aprovechables. Cualquier tipo de energía puede transformarse íntegramente en calor; pero, éste no puede transformarse íntegramente en otro tipo de energía. Se dice, entonces, que el calor es una forma degradada de energía. Son ejemplos:  La energía eléctrica, al pasar por una resistencia.  La energía química, en la combustión de algunas sustancias.  La energía mecánica, por choque o rozamiento. 6.5.- Fuentes De Energía.Las

Fuentes

de

energía

son

los recursos

existentes

en

la

naturaleza de los que la humanidad puede obtener energía utilizable en sus actividades. El origen de casi todas las fuentes de energía es el Sol, que "recarga los depósitos de energía". Las fuentes de energía se clasifican en dos grandes grupos: renovables y no renovables; según sean recursos "ilimitados" o "limitados". Los tipos de energía son:

40 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

 Energía Mecánica  Energía Potencial  Energía Cinética  Energía Química  Energía Calórica  Energía Eléctrica  Energía Nuclear  Energía Solar  Energía Geotérmica  Energía Eólica  Energía Hidráulica  Fuentes de energía renovables  Fuentes de energía no renovable  Energía Mareomotriz 6.4.- No renovables. Se denomina fuentes no renovables de energía a aquellas cuyas reservas se consumen a un ritmo mayor del que se renuevan por la naturaleza. Es el caso de los combustibles fósiles y de los minerales de uranio.  El carbón.  El petróleo.  El gas natural.  La energía nuclear. 6.5.- El Carbón. El carbón es una roca sedimentaria que se forma por residuos vegetales durante millones de años. Es de color negro, muy rica en carbono y se utiliza como combustible fósil. Los diferentes tipos de carbón se distinguen por el grado de carbonificación que haya experimentado la materia vegetal que originó el carbón. Algunos de estos tipos son:

41 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

a.- Antracita: es el carbón mineral de más alto rango, es el que presenta mayor contenido de carbono, hasta un 95%. Es negro, brillante y muy duro. Su densidad varía entre 1,2 y 1,8 g/cm3. Cuando arde produce una corta llama azul sin apenas humo. Los principales yacimientos de antracita se encuentran en China y Rusia.

b.- Hulla: es un carbón mineral que tiene de 75% a 90% de carbono. Se forma por la compresión del lignito. Es el tipo de carbón más abundante

c.- Lignit external: es un carbón mineral que se forma por la compresión de la turba. Es de color negro o pardo y suele tener una textura similar a la madera de la que procede. Su concentración de carbono está entre el 60% y 75%.

42 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

d.- Turba: es un material orgánico compacto, de color pardo oscuro y rico en carbono. Se emplea como combustible y en la obtención de abonos orgánicos. Tiene menos de 60% de carbono.

6.6.- El petróleo. El petróleo es una mezcla heterogénea de compuestos orgánicos, principalmente hidrocarburos insolubles en agua. Desde principios del siglo XX quitó al carbón como primer combustible debido a su mayor poder energético, a la mayor facilidad de extracción, a la ausencia de residuos sólidos y a su uso en los motores de explosión El petróleo crudo es una mezcla de diversas sustancias; su destilación permite obtener combustibles como propano, butano, gasolinas, etc.

43 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Es, además, la base de la industria petroquímica: sus derivados se utilizan en la producción de plásticos, pinturas, detergentes, cauchos, fibras, abonos, perfumes, etc.

6.7.- Gas natural. El gas natural es una de las varias e importantes fuentes de energía no renovables formada por una mezcla de gases ligeros que se encuentra en yacimientos de petróleo, disuelto o asociado con el petróleo o en depósitos de carbón. Aunque su composición varía en función del yacimiento del que se saca, está

compuesto

principalmente

por

metano

en

cantidades

que

comúnmente pueden superar el 90 ó 95% (p. ej., el gas no-asociado del pozo West Sole en el Mar del Norte), y suele contener otros gases como nitrógeno, CO2, H2S , helio y mercaptanos. Tiene un elevado poder energético y es poco contaminante, ya que su combustión solo genera como residuos dióxido de carbono y agua. Cada vez se utiliza más, y en España se ha construido una amplia red de canalización para hacer llegar el gas natural a las industrias y a los domicilios.

44 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

6.8.- Energía nuclear La energía

nuclear o energía

atómica es

la energía que

se

libera

espontánea o artificialmente en las reacciones nucleares. Sin embargo, este término engloba otro significado, el aprovechamiento de dicha energía

para

otros

fines,

tales

como

la

obtención

de energía

eléctrica, energía térmica y energía mecánica a partir de reacciones atómicas, y su aplicación, bien sea con fines pacíficos o bélicos. Así, es común referirse a la energía nuclear no solo como el resultado de una reacción sino como un concepto más amplio que incluye los conocimientos y técnicas que permiten la utilización de esta energía por parte del ser humano. 6.9.- Renovables o verdes Energía verde es un término que describe la energía generada a partir de fuentes de energía primaria respetuosas con el medio ambiente. Las energías verdes son energías renovables que no contaminan, es decir, cuyo modo de obtención o uso no emite subproductos que puedan incidir negativamente en el medio ambiente.  Energía hidráulica  Energía solar térmica  Biomasa

45 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

 Energía solar  Energía eólica  Energía geotérmica  Energía marina a. Energía hidráulica La energía potencial acumulada en los saltos de agua puede ser transformada en energía eléctrica. Las centrales hidroeléctricas aprovechan la energía de los ríos para poner en funcionamiento unas turbinas que mueven un generador eléctrico. En nuestro país se utiliza esta energía para producir alrededor de un 15 % del total de la electricidad. Uno de los recursos más importantes cuantitativamente en la estructura de las energías renovables es la procedente de las instalaciones hidroeléctricas; una fuente energética limpia y autóctona pero para la que se necesita construir las necesarias infraestructuras que permitan aprovechar el potencial disponible con un coste nulo de combustible. El problema de este tipo de energía es que depende de las condiciones climatológicas. b. Energía solar térmica Se trata de recoger la energía del sol a través de paneles solares y convertirla en calor el cual puede destinarse a satisfacer numerosas necesidades. Por ejemplo, se puede obtener agua caliente para consumo doméstico o industrial, o bien para dar calefacción a hogares, hoteles, colegios o fábricas. También, se podrá conseguir refrigeración durante las épocas cálidas. En agricultura se pueden conseguir otro tipo de aplicaciones como invernaderos solares que favorecieran las mejoras de las cosechas en calidad y cantidad, los secaderos agrícolas que consumen mucha menos energía si se combinan con un sistema solar, y plantas de purificación o desalinización de aguas sin consumir ningún tipo de combustible. c. Biomasa

46 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

La formación de biomasa a partir de la energía solar se lleva a cabo por el proceso denominado fotosíntesis vegetal que a su vez es

desencadenante

de

la

cadena

biológica.

Mediante

la

fotosíntesis las plantas que contienen clorofila, transforman el dióxido de carbono y el agua de productos minerales sin valor energético, en materiales orgánicos con alto contenido energético y a su vez sirven de alimento a otros seres vivos. La biomasa mediante estos procesos almacena a corto plazo la energía solar en forma de carbono. La energía almacenada en el proceso fotosintético puede ser posteriormente transformada en energía térmica, eléctrica o carburantes de origen vegetal, liberando de nuevo el dióxido de carbono almacenado. d. Energía solar Los paneles

fotovoltaicos convierten

directamente

la energía

lumínica en energía eléctrica. La energía solar es una fuente de vida y origen de la mayoría de las demás formas de energía en la Tierra. Cada año la radiación solar aporta a la Tierra la energía equivalente a varios miles de veces la cantidad de energía que consume la humanidad. Recogiendo de forma adecuada la radiación solar, esta puede transformarse

en

otras

formas

de

energía

como energía

térmica o energía eléctrica utilizando paneles solares. e. Energía eólica La energía eólica es la energía obtenida de la fuerza del viento, es decir, mediante la utilización de la energía cinética generada por las corrientes de aire. Se obtiene mediante unas turbinas eólicas que convierten la energía cinética del viento en energía eléctrica por medio de aspas o hélices que hacen girar un eje central conectado, a través de una serie engranajes (la transmisión) a un generador eléctrico. La energía del viento está relacionada con el movimiento de las masas

de

aire

que

desplazan

de

áreas

de

alta presión

47 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

atmosférica hacia

áreas

adyacentes

de

baja

presión,

con

velocidades proporcionales (gradiente de presión). Por lo que puede decirse que la energía eólica es una forma no-directa de energía solar. Las diferentes temperaturas y presiones en la atmósfera, provocadas por la absorción de la radiación solar, son las que ponen al viento en movimiento. f. Energía geotérmica La energía geotérmica es aquella energía que puede ser obtenida por el hombre mediante el aprovechamiento del calor del interior de la Tierra. Parte del calor interno de la Tierra (5.000 °C) llega a la corteza terrestre. En algunas zonas del planeta, cerca de la superficie, las aguas subterráneas pueden alcanzar temperaturas de ebullición, y, por tanto, servir para accionar turbinas eléctricas o para calentar. El calor del interior de la Tierra se debe a varios factores, entre los que destacan el gradiente geotérmico y el calor radiogénico. Geotérmico viene del griego geo, "Tierra"; y de thermos, "calor"; literalmente calor de la Tierra. g. Energía marina La energía marina o energía de los mares (también denominada a veces energía de los océanos o energía oceánica) se refiere a la energía renovable producida por las olas del mar, las mareas, la salinidad y las diferencias de temperatura del océano. El movimiento del agua en los océanos del mundo crea un vasto almacén de energía cinética o energía en movimiento. Esta energía se puede aprovechar para generar electricidad que alimente las casas, el transporte y la industria. Los principales tipos son:  Energía de las olas, olamotriz o undimotriz.  Energía de las mareas o energía mareomotriz.

48 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

 Energía de las corrientes: consiste en el aprovechamiento de laenergía cinética contenida en las corrientes marinas. El proceso de captación se basa en convertidores de energía cinética similares a los aerogeneradores empleando en este caso instalaciones submarinas para corrientes de agua. Maremotérmica la energía

se

fundamenta

térmica del

mar

en

basado

el en

aprovechamiento la

diferencia

de de

temperaturas entre la superficie del mar y las aguas profundas. El aprovechamiento de este tipo de energía requiere que el gradiente

térmico sea

de

al

menos

20º.

Las

plantas

maremotérmicas transforman la energía térmica en energía eléctrica utilizando el ciclo termodinámico denominado “ciclo de Rankine” para producir energía eléctrica cuyo foco caliente es el agua de la superficie del mar y el foco frío el agua de las profundidades.

7.- Pérdidas Primarias y Secundarias en Tuberías: Las pérdidas de carga (o pérdidas de energía) en tuberías son de dos tipos; primarias y secundarias: 

Las pérdidas primarias son las “pérdidas de superficie” en el contacto del fluido con la superficie (capa límite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (régimen laminar) o las partículas de fluido entre sí (régimen turbulento). Tienen lugar en flujo uniforme y por lo tanto, principalmente se producen en tramos de tuberías de sección



constante. Las pérdidas secundarias son las “pérdidas de forma” que tienen lugar en las transiciones (estrechamiento o expansiones), en codos, válvulas y en toda clase de accesorios de tuberías.

49 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

7.1.- Pérdidas Primarias: Ecuación de Darcy: Si se supone una tubería horizontal de diámetro constate, D, por la que circula un fluido cualquiera entre dos puntos 1 y 2, se cumple la ecuación de Bernoulli con pérdidas:

Constante y horizontal

Al ser la tubería de sección constante y horizontal A finales del siglo XIX, se demostró que la pérdida de carga era proporcional al cuadrado de la velocidad media en la tubería y a la longitud de la misma, e inversamente proporcional al diámetro de la tubería. La relación anterior se expresa según la ecuación de Darcy.

Donde:

Esta fórmula es de uso universal para el cálculo de pérdidas de carga en conductos rectos y largos, tanto para flujo laminar como turbulento. La diferencia entre ambos tipos de flujo está en la definición y evaluación del factor de fricción. Existen multitud de tablas, curvas, ecuaciones etc. para obtener el valor del factor de fricción. Sin embargo, a partir de 1940, se ha venido usando cada vez más un ábaco denominado “Diagrama de Moody”.

50 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

7.2.- Perdidas secundarias: La ecuación fundamental de las pérdidas secundarias, análoga a la ecuación de Darcy para pérdidas primarias, es la siguiente:

Donde:

7.3.- Diagrama de Moody Normalmente, con el uso de las ecuaciones de Poiseville y la de Colebrook-White, se puede realizar el cálculo del coeficiente de fricción Sin embargo, este tipo de ecuaciones requieren de una herramienta de cálculo donde se puedan programar, o de complejos métodos de resolución, por lo que uno de los métodos más extendidos para el cálculo rápido del coeficiente de fricción es el uso del Diagrama de Moody. Dicho diagrama es la representación (en escala logarítmica), de las dos ecuaciones anteriores, y permite determinar el valor de f en función del número de Reynolds y la rugosidad relativa. La utilización de este diagrama permite:  Determinar el valor del factor de fricción (f) para ser utilizado en la ecuación de Darcy.  Resolver todos los problemas de pérdidas de carga primarias en conductos

de

cualquier

diámetro,

cualquier

material,

y

para cualquier caudal.  Puede utilizarse en conductos de sección no circular, sustituyendo el diámetro (D) por el radio hidráulico (Rh)

51 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

7.4.- Marco Teórico: Las pérdidas por fricción se presentan porque al estar el fluido en movimiento habrá una resistencia que se opone a dicho movimiento (fricción al fluir), convirtiéndose parte de la energía del sistema en energía térmica (calor), que se disipa a través de las paredes de la tubería por la que circula el fluido. Las válvulas y accesorios se encargan de controlar la dirección o el flujo volumétrico del fluido generando turbulencia local en el fluido, esto ocasiona una pérdida de energía que se transforma en calor. Estas últimas pérdidas son consideradas perdidas menores ya que en un sistema grande las pérdidas por fricción en las tuberías son mayores en comparación a la de las válvulas y accesorios. Las pérdidas y ganancias de energía en un sistema se contabilizan en términos de energía por unidad de peso del fluido que circula por él. Esto también se conoce como carga (h): Energía que se agrega al fluido con un dispositivo mecánico, es común que se le denomine carga total sobre la bomba. Energía que se remueve del fluido por medio de un dispositivo mecánico. “Mecánica de fluidos II”

52

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Pérdidas de energía del sistema por la fricción en las tuberías, o pérdidas menores por válvulas y otros accesorios. La magnitud de las pérdidas de energía que produce la fricción del fluido, las válvulas y accesorios, es directamente proporcional a la carga de velocidad del fluido. Esto se expresa en forma matemática así:

El término K es el coeficiente de resistencia. 7.5.- Ecuación general de energía: La ecuación general de la energía es una extensión de la ecuación de Bernoulli, lo que permite resolver problemas es los que hay pérdidas y ganancias de energía. Para un sistema, la expresión del principio de conservación de la energía es:

: denotan la energía que posee el fluido por unidad de peso de las secciones 1 y 2. La energía que posee el fluido por unidad de peso es:

El comportamiento de un fluido, en lo que se refiere a las pérdidas de energía, depende de que el flujo sea laminar o turbulento. Un medio para predecir este comportamiento en el flujo es con el manejo del número adimensional Reynolds, demostrado por Osborne Reynolds. Esta ecuación de define como:

53 “Mecánica de fluidos II”

“UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO”

Donde fluido y

es la velocidad, D es el diámetro de la tubería,

la densidad del

la viscosidad del fluido. Es de resaltar que

es la viscosidad

cinemática. Este número relaciona las fuerzas de inercia sobre un elemento de fluido a la fuerza viscosa. Para aplicaciones prácticas se tiene que los flujos con Re 4000, están en régimen turbulento. Los 2000