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´ FACULTAD DE INGENIER´IA MECANICA

´ MECANICA DE FLUIDOS II Cuaderno de Mec´anica de Fluidos II

PhD. Esteban Valencia

´ Indice P´agina ´ 1. DEFINICIONES BASICAS 1.1. Definici´on de Mec´anica de Fluidos . . . . 1.2. ¿Qu´e es un fluido? . . . . . . . . . . . . 1.3. Propiedades de un Fluido . . . . . . . . . 1.4. Clasificaci´on de los Fluidos . . . . . . . . 1.4.1. En funci´on de la densidad: . . . . 1.4.2. En funci´on del n´umero de Mach . 1.5. Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Esfuerzos Cortantes en un fluido . . . . . 1.7. Fluidos Newtonianos y No Newtianos . . 1.8. Representaciones Matem´aticas . . . . . . 1.8.1. Herramientas Matem´aticas . . . . 1.8.2. Campo Escalar . . . . . . . . . . 1.8.3. Campo Vectorial . . . . . . . . . 1.8.4. Operador Nabla . . . . . . . . . . 1.8.5. Gradiente de un campo escalar . . 1.8.6. Divergencia de un campo vectorial 1.8.7. Rotacional de un campo vectorial

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1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 4 4 4 4 5 5 5

´ 2. ESTATICA DE FLUIDOS 2.1. Presi´on . . . . . . . . 2.2. Campo de Presiones . . 2.3. Campo Gravitatorio . . 2.4. Fuerzas Viscosas . . . 2.5. Problemas . . . . . . . 2.6. Resumen . . . . . . .

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7 7 9 9 9 10 16

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17 17 18 18 18 18 19 20 22 22 26 27 29 30 31 32 36

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´ 3. DINAMICA DE FLUIDOS 3.1. Descripci´on del movimiento del fluido: . . . . . . . . . . . . 3.2. Caracterizaci´on del fluido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Modelos de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Path Lines (L´ıneas de trayectoria) . . . . . . . . . . . 3.2.3. Trace Lines (L´ınea de traza) . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Stream Line (L´ınea de corriente) . . . . . . . . . . . . 3.3. Derivada Material o Substancial: . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ecuaciones que Rigen a los Fluidos . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Ecuaci´on de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ecuaci´on de la conservaci´on de momentum . . . . . . . . . . 3.5.1. Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Ecuaci´on de la conservaci´on de la energ´ıa. . . . . . . . . . . . 3.6.1. Formas de presentaci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa. . 3.7. Ecuaciones fundamentales en t´erminos de la derivada material: 3.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. FLUJO NO VISCOSO E INCOMPRESIBLE 4.1. Vorticidad y Rotacionalidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Circulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Funci´on Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Potencial de Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Flujos Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Flujo uniforme: Primer flujo elemental . . . . . . . . 4.7.2. Flujo de fuente (Source flow): Segundo flujo elemental 4.7.3. Flujo de doblete (Doublet flow): Tercer flujo elemental 4.7.4. Flujo de v´ortice (Vortex flow): Cuarto flujo elemental . 4.8. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. FLUJO VISCOSO 5.1. Esfuerzo cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Separaci´on de Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Flujo laminar y turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Flujo Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Flujo Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. L´ınea de flujo y perfiles de velocidad para flujo laminar y turbulento . . . . . . 5.3.4. Caracter´ısticas que fomentan la transici´on de un flujo laminar a uno turbulento 5.4. N´umeros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Ecuaciones de Navier Stokes (Conservaci´on de la cantidad de movimiento) . . . . . . 5.6. Obtenci´on de la ecuaci´on de Navier Stokes para fluidos reales . . . . . . . . . . . . . 5.7. Flujos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Fluido de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2. Fluido de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Ley de Sutherland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Lubricaci´on Hidrodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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56 56 57 57 58 58 58 59 60 61 63 64 65 65 67 68 69 74

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6. CAPA LIMITE 6.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Interpretaci´on 1. . . . . . . . . 6.1.2. Interpretaci´on 2. . . . . . . . . 6.2. Cuerpo Efectivo . . . . . . . . . . . . . 6.3. Espesor de la cantidad de movimiento θ 6.4. Estudio de capa l´ımite sobre placa plana

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´ 7. INTEGRAL DE VON KARMAN PARA CAPA LIMITE

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8. ANEXO 8.1. M´etdos de correlaci´on para integrales de capa l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´ Indice de figuras 1.1. Esfuerzos cortantes en un elemento diferencial del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Comportamiento reol´ogico de varias sustancias: Gr´afica Esfuerzo-Deformaci´on . . . . . . . . 2.1. Equilibrio de un fluido en estado de reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Elemento diferencial de un fluido bajo la acci´on de un campo de presiones . . . . . . . . . . . 3.1. Descripci´on Euleriana y Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Path Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Trace line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Stream line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Elemento del fluido moviendos´e a trav´es de un campo de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Volumen de control en el espacio [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Evoluci´on del volumen de control en el tiempo [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Representaci´on de un columen de control y sus entradas y salidas de flujo . . . . . . . . . . . 3.9. Globo desinfl´andose (Ejemplo de variaci´on del volumen de control en el tiempo) . . . . . . . 3.10. Ejemplo de las fuerzas ejercidas por un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Aspersor: Aplicaci´on del torque ejercido por un fluido en movimiento. . . . . . . . . . . . . . 4.1. Rotaci´on y distorci´on de un elemento de un fluido [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Flujo rotacional e irrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Flujo irrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Flujo rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Definici´on de Circulaci´on [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Relaci´on entre vorticidad y circulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Flujo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Flujo fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Caudal de aire desde una fuente de l´ınea [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Flujo de fuente y sumidero [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Superposici´on de un flujo uniforme y una fuente: flujo semi infinito [1] . . . . . . . . . . . . . 4.12. Superposici´on de un flujo uniforme y una fuente: flujo sobre un o´ valo de Rankine [1] . . . . . 4.13. Flujo funte-sumidero se acerca a un flujo de doblete en caso de limitaci´on [1] . . . . . . . . . 5.1. Mapa de ruta del capitulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Efecto de viscosidad sobre un cuerpo en un fluido movi´endose: esfuerzo cortante y separaci´on de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Separaci´on del fluido inducida por un gradiente de presi´on adversa. Uno de los flujos separados de la superfie entre el punto 2 y 3, la figura del fluido elemental en S3 es en realidad diferenre que en la S1 y S2 porque los flujos primarios se mueven por medio de la superficie . . . . . . . 5.4. Flujo Laminar y Flujo Turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Cuerpo Delgado y Cuerpo Redondo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Fluido viscoso sobre una placa plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Comportamiento del fluido en superficies diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Elemento infinitesimal moviendose en un l´ıquido (fuerzas en la direcci´on x) [1] . . . . . . . . 5.9. Flujo de Couette (general)[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Flujo de Couette (detallado)[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11. Flujo de Poiseulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de un fluido viscoso . . . . . . . . . . . 5.13. Flujo a trav´es de dos placas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Divisi´on del tubo en elementos diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Elemento cil´ındrico en movimiento a trav´es de una tuber´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Mapa de ruta para el Cap´ıtulo 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 7 8 17 18 19 19 21 23 24 25 26 28 29 37 38 39 39 39 40 44 45 46 47 49 50 51 56 56

57 58 59 59 60 64 66 66 67 69 70 72 72 75

6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 7.1. 7.2.

Borde de la capa l´ımite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espesor de desplazamiento de una l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite. . Cuerpo Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluido sobre superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafica funci´on n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Descripci´on Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capa l´ımite deform´andose en x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punto de estancamiento y estela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. 1.1.

´ DEFINICIONES BASICAS Definici´on de Mec´anica de Fluidos

La Mec´anica de Fluidos estudia el comportamiento del fluido tanto si est´a en movimiento (Din´amica de Fluidos) como si est´a en reposo (Est´atica de Fluidos), incluyendo su comportamiento con las fronteras que lo limitan. Los estados de la materia como tal se conoce que son: s´olido, l´ıquido y gaseoso; a pesar de ello, tanto el l´ıquido y el gas se consideran fluidos. Por lo tanto los estados de la materia se reducen a s´olido y fluido.

1.2.

¿Qu´e es un fluido?

Una sustancia se la considera como un fluido cuando al aplicarse un esfuerzo cortante (tangencial) sobre su superficie, este empieza a fluir seg´un sea el tiempo de aplicaci´on. Es decir, no resiste al esfuerzo y se precipita un movimiento. A diferencia de un s´olido, este resiste el esfuerzo y en consecuencia ocurre una deformaci´on. Un fluido en reposo est´a en un estado donde el esfuerzo cortante es igual a cero y se conoce como Hydrostatic Stress Condition (Condici´on de esfuerzo Hidrost´atico).En s´olidos la deformaci´on (Strain) es proporcional al esfuerzo, mientras que en un fluido la tasa de deformaci´on (Strain rate) es proporcional al esfuerzo.

1.3.

Propiedades de un Fluido

Un fluido posee propiedades termodin´amicas caracter´ısticas como temperatura, presi´on y densidad. Adem´as de estas, existen otras propiedades que caracterizan el comportamiento de un fluido y la m´as importante de ellas es la viscosidad, que relaciona los esfuerzos locales en un elemento del fluido en movimiento con la tasa de deformaci´on del mismo elemento. La viscosidad se la conoce tambi´en como una propiedad de transporte. Considerando que las propiedades termodin´amicas definen el estado de un sistema, en el caso de fluidos, el sistema ser´a un elemento diferencial del fluido y sus propiedades se asumen como continuum. La presi´on adem´as de ser una propiedad termodin´amica, es la variable m´as din´amica junto con la velocidad, en el an´alisis del fluido. Esto debido a que en ductos o tuber´ıas el fluido se mueve por la diferencia del gradiente de presi´on.

1.4. 1.4.1.

Clasificaci´on de los Fluidos En funci´on de la densidad:

a) Incompresible: Se considera una densidad constante y por lo general los liquidos corresponden a esta clasificaci´on. L´ıquidos: Presentan fuerzas cohesivas fuertes, es decir sus mol´eculas se encuentran m´as cerca unas de otras. Tienden a retener su volumen y forman una superficie libre en un campo gravitacional, por lo que est´an dominados por efectos gravitacionales. b) Compresible: Su densidad no es constante y por lo general los gases corresponden a esta clasificaci´on. Gases: Sus mol´eculas est´an muy separadas y sus fuerzas cohesivas son consideradas pr´acticamente nulas. Un gas es libre de expandirse hasta encontrar paredes que lo delimiten, caso contrario se mezcla con los gases de la atmosfera. No forma superficies libres, por lo que no presenta efectos gravitacionales. 1.4.2.

´ En funci´on del numero de Mach

El n´umero de Mach es una relaci´on entre la velocidad del fluido u objeto respecto a la velocidad del sonido en dicho medio. a) Incompresible: Tiene un valor inferior a 0.3. 1

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b) Subs´onico: Su valor oscila entre 0.3 y 0.8. c) Trans´onico: Se encuentra entre valores de 0.8 y 1.2. d) Supers´onico: Su valor est´a en el rango de 1.2 a 3.0, se presentan “shock waves”. e) Hipers´onico: Su valor es superior a 3.0, los efectos de “shock waves” son fuertes.

1.5.

Continuum

Sirve como una aproximaci´on importante en el an´alisis de los efectos de fluidos a nivel macrosc´opico, considerando al fluido como un medio continuo. A un fluido se lo llama continuum, lo que significa que la variaci´on de sus propiedades es tan peque˜na que para su an´alisis se puede usar c´alculo diferencial.

1.6.

Esfuerzos Cortantes en un fluido

Figura 1.1: Esfuerzos cortantes en un elemento diferencial del fluido

δθ δt δ u δt tan δ θ = δy τ∝

Usando l´ımites para este cambio infinitesimal, la ecuaci´on se reduce a la siguiente expresi´on. dθ du = dt dy Se puede observar que la deformaci´on del elemento del fluido tiene relaci´on con el gradiente de velocidad τ=µ

dθ du =µ dy dy

(1.1)

Teniendo en cuenta la primera expresi´on, la constante de proporci´on para esta relaci´on linear es la viscosidad. Siendo esta considerada como una medida de la resistencia a fluir. Por ejemplo, moverse a trav´es de agua es 2

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m´as f´acil que hacerlo a trav´es de aceite, debido a que la viscosidad en el segundo caso es mucho mayor. Se debe tomar en cuenta que la viscosidad aumenta bajo la influencia de temperatura y no lo hace en presencia de una variaci´on de presi´on para el caso de gases. En l´ıquidos es lo contrario. Otro concepto importante para el estudio del comportamiento del fluido es la “condici´on de no deslizamiento” (No slip condition). Esta condici´on indica que el esfuerzo que retrasa el movimiento del fluido es m´aximo junto a las paredes, por lo que no hay movimiento relativo del fluido en los puntos que est´an junto a una superficie. De manera que, esta condici´on se debe tener en cuenta al dibujar los perfiles de velocidad para un fluido que circula por tuber´ıas o por un a´ labe.

1.7.

Fluidos Newtonianos y No Newtianos

Los Fluidos Newtonianos son aquellos que cumplen con la ecuacion 4 del apartado anterior. Es decir siguen una relacion lineal entre el esfuerzo cortante y la tasa de deformacion. La mayoria de fluidos que se estudian pueden ser considerados Newtonianos. Los Fluidos No Newtonianos, por el contrario presentan una tendencia no lineal. El estudio de este tipo de fluidos se enfoca mas en aplicaciones especificas que requiera una empresa o un proyecto de investigaci´on.

Figura 1.2: Comportamiento reol´ogico de varias sustancias: Gr´afica Esfuerzo-Deformaci´on

3

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1.8.

Representaciones Matem´aticas

El comportamiento del flujo se describe mediante las propiedades del flujo: Escalares: presi´on, temperatura, densidad, energ´ıa. Vectoriales: velocidad, fuerza, aceleraci´on, rotaci´on. Tensoriales: esfuerzo, deformaci´on, vorticidad. Estas est´an gobernadas por las leyes de conservaci´on (masa, momentum, energ´ıa). 1.8.1.

Herramientas Matem´aticas Sistemas coordenados (en tiempo y espacio). Operaciones matem´aticas escalares y vectoriales. Operadores diferenciales: gradiente, divergencia, rotacional. Operadores integrales: Integral de superficie, l´ınea y de volumen.

1.8.2.

Campo Escalar

Funci´on coordenada en tiempo y espacio. Es cualquier valor que pueda adquirir una cantidad f´ısica que no posee ninguna propiedad direccional. Por ejemplo, la presi´on, la temperatura o la densidad. Estas se pueden escribir en distintos sistemas coordenados. P = p1 (x, y, z,t) = p2 (r, θ , z,t) = p2 (r, θ , ϕ,t) 1.8.3.

(1.2)

Campo Vectorial

Tienen una determinada magnitud y direcci´on. Pueden ser expresados en distintos sistemas de4 referencia con componentes vectoriales. La velocidad, aceleraci´on y fuerza son vectores. → − → − → − → − V = Vx i +Vy j +Vz k

(1.3)

Vx = Vx (x, y, z,t) , Vy = Vy (x, y, z,t) , Vz = Vz (x, y, z,t) 1.8.4.

Operador Nabla

El vector nabla es un operador diferencial de tipo vectorial, se denota:    ∇=

4

∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z

 

(1.4)

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1.8.5.

Gradiente de un campo escalar

El gradiente en cada punto muestra la direcci´on en la que la propiedad aumenta con mayor rapidez, y su magnitud indica cu´an r´apido aumenta la propiedad en dicha direcci´on. Por ejemplo, el gradiente de presi´on se expresa:      ∇p =  Coordenadas cartesianas:

(1.5)

 

∂p 1∂p ∂p er + eθ + ez ∂x r ∂y ∂z

(1.7)

∂p 1∂p 1 ∂p er + eθ + eϕ ∂x r ∂y r sin θ ∂ z

(1.8)

∇p =

1.8.6.

∂p ∂x ∂p ∂y ∂p ∂z

(1.6)

Coordenadas cil´ındricas:

∇p =

  p=

∂p ∂p ∂p i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

∇p =

Coordenadas esf´ericas:

∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z

Divergencia de un campo vectorial

Mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial, esto se mide en la superficie que encierra el volumen de control. Matem´aticamente es el producto punto entre el campo vectorial y el operador Nabla. Coordenadas cartesianas:     ∂ Vx ∂x ∂Vx ∂Vy ∂Vz   div(V ) = ∇.V =  ∂∂y  .  Vy  = + + (1.9) ∂x ∂y ∂z ∂ Vz ∂z

Coordenadas cil´ındricas:

1 ∂ (rVr ) 1 ∂ (rVθ ) ∂Vz + + r ∂r r ∂r ∂z

(1.10)

1 ∂ (Vθ sin θ ) 1 ∂Vϕ 1 ∂ (r2Vr ) + + 2 r ∂r r sin θ ∂r r sin θ ∂ ϕ

(1.11)

∇.V = Coordenadas esf´ericas: ∇.V = 1.8.7.

Rotacional de un campo vectorial

Como su nombre lo indica, se utiliza para determinar si el fluido tiende a rotar. La rotacionalidad se eval´ua en elementos diferenciales del fluido no en el conjunto. La rotaci´on es un efecto de la viscosidad de fluido, por lo que los fluidos ideales son irrotacionales. Matem´aticamente es el producto punto entre el campo vectorial y el operador Nabla. Coordenadas cartesianas:      ∂Vz ∂Vy  ∂ Vx ∂y − ∂z ∂x  ∂    ∂V z  (1.12) curl(V ) = ∇ ×V =  ∂ y  × Vy  =  ∂ zx − ∂V ∂x  ∂ ∂V ∂V y Vz − x ∂z

Cil´ındricas:

∂x

e 1 ∂r ∇ ×V = ∂ r r Vr 5

reθ ∂ ∂θ rVθ

ez ∂ ∂z Vz

∂y

(1.13)

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Esf´ericas: er 1 ∂ overline∇ ×V = 2 r sin θ ∂ r Vr

6

reθ ∂ ∂θ

rVθ

(r sin θ )eϕ ∂ ∂ϕ (r sin θ )V ϕ

(1.14)

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2.

´ ESTATICA DE FLUIDOS

Muchas ocasiones el estudio de un fen´omeno no involucra un movimiento del fluido, en cambio se concentra en la distribuci´on de presi´on en un fluido est´atico y sus efectos sobre superficies s´olidas y cuerpos sumergibles.

2.1.

Presi´on

El esfuerzo normal en cualquier plano a trav´es de un elemento del fluido en reposo es igual a un u´ nico valor llamado Presi´on (Se toma como sentido positivo el sentido de compresi´on).

Figura 2.1: Equilibrio de un fluido en estado de reposo En el grafico se tiene un elemento diferencial del fluido, el cual al ser un l´ıquido forma una superficie libre y los efectos gravitacionales son apreciables. Se plantea una sumatoria de fuerzas tanto en direcci´on z como en x. Y para que cumpla la condici´on de equilibrio estatico deben igualarse a cero.

∑ Fx = 0 px ∗ ∆z ∗ b − pn ∗ sin θ ∗ ∆s ∗ b = 0

∑ Fz = 0 1 pz ∗ ∆x ∗ b − pn ∗ cos θ ∗ ∆s ∗ b − ρ ∗ g ∗ b ∗ ∆x ∗ ∆z = 0 2 Usando relaciones trigonom´etricas. ∆s ∗ cos θ = ∆z ∆s ∗ sin θ = ∆x

7

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Al simplificar t´erminos de ambas sumatorias, se obtiene lo siguiente. px = pn 1 pz = pn + ρ ∗ g ∗ ∆z 2 Estas dos ecuaciones indican dos principios muy importantes de Hidrost´atica:

(2.1) (2.2)

No hay cambio de presi´on en la direcci´on horizontal. Hay un aumento en la direcci´on vertical de la presi´on proporcional a la densidad, gravedad y cambio de profundidad. Si se calcula el l´ımite cuando ∆z tiende a cero, y se sabe que el a´ ngulo theta es arbitrario, se concluye que la presi´on p en un punto del fluido est´atico es independiente de la orientaci´on del mismo. px = pz = pn = p

(2.3)

Cuando la velocidad del fluido es cero, se conoce como condici´on Hidrost´atica. Donde la variaci´on de presi´on se debe solo al peso del fluido. Al dar movimiento a un cuerpo r´ıgido, como un tanque lleno de l´ıquido que ha estado rotando por cierto intervalo de tiempo. La presi´on puede ser calculada porque el fluido est´a libre de esfuerzos cortantes.

Figura 2.2: Elemento diferencial de un fluido bajo la acci´on de un campo de presiones

8

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2.2.

Campo de Presiones → −

∑F

− = m.→ a ∂P dx x } |∂ {z

Fpress = Pdydz − (P +

)dydz

incremento de presiones

Fpress = −

∂P dxdydz ∂ x | {z } d∀

Fpress ∂P =− d∀ ∂x f press = −∇P

(2.4)

fgrav = −ρg

(2.5)

→ − fvisc = µ∇2 V

(2.6)

f press =

2.3.

Campo Gravitatorio

Act´ua en una u´ nica direcci´on (hacia abajo).

2.4.

Fuerzas Viscosas

De todo lo anterior resulta:

− a = f press + fvisc + fgrav ∑ F = ρ→ |{z} 0

− − ρ→ a = −∇P + ρ → g − − − ∇P = ρ(→ a −→ g)

9

(2.7)

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2.5.

Problemas

1. Determinar el campo de presiones de un l´ıquido que se encuentra en un tanque de transporte como se indica en la figura. Abierto a la atmosfera

ay=4g L

Z

Y

Boundary conditions ⇒z=L ; P=Pman=0 ; (P=Patm) ; y=0 − − −∇p = ρ(→ a −→ g) −

− → − ∂ p→ − ∂ p→ − ∂ p→ → − i − j − k = 4ρg j + ρg k ∂x ∂y ∂z ∂p =0 ∂x ∂p = 4ρg − ∂y −

−

∂p = ρg ∂z

Integrando se obtiene lo siguiente. p = −4ρgy + f (z) p = −ρgz + f (y) p = −4ρgy − ρgz +C Utilizando boundary conditions se obtiene la constante C. ⇒ pman = −4ρgy −ρgL +C |{z} | {z } 0

0

C = ρgL Por lo tanto, el campo de presiones es. p = ρgL − 4ρgy − ρgz

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2. Determinar el campo de presiones de un gas que se encuentra en un tanque de transporte como se indica en la figura.

ay=0

L

z

y

− − −∇p = ρ(→ a −→ g) −

∂p =0 ∂y

∂p =0 ∂x ∂p − = ρg ∂z Boundary conditions ⇒ z=0 ; P=Patm ; y=0 (Movimiento rectil´ıneo uniforme) La presi´on es igual a la presi´on atmosf´erica en el fondo del tanque de transporte debido a que un fluido gaseoso no experimenta efectos gravitacionales y por lo tanto esta presi´on se mantendr´a en todos los puntos del gas. Un fluido gaseoso puede comportarse como un gas ideal. p Gasideal ⇒ ρ = RTo −

Sabiendo que To es la temperatura a nivel del mar. −

∂p g = ∂z p RTo

Integrando se obtiene lo siguiente.

gz

p = Ce− RTo Utilizando boundary conditions se obtiene la constante C. 0

z }| { gz − p = Ce RTo ⇒ C = patm Por lo tanto, el campo de presiones es.

gz

p = patm e− RTo *Ejercicio de repaso: Usar una temperatura que vari´e con respecto a la altura: T (z) = To − Bz

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3. Determinar el campo de presiones del fluido ideal en el tanque que gira con una velocidad angular constante constante ω y su funci´on de l´ınea.

H

Z

Zo

r w

− − −∇p = ρ(→ a −→ g) ∂p =0 ∂θ ∂p − = ρg ∂z −

−

∂p ∂P = ρac ⇒ − = ρω 2 r ∂r ∂r

Integrando: p=

ρω 2 r2 + f (r), p = −gρz + f (r) 2 p=

ρω 2 r2 − ρgz +C 2

Boundary conditions: z = z0 p = Patm → Patm =

ρω 2 r2 − ρgz0 +C 2

En dichas condiciones condiciones, r=0: C = Patm −

ρω 2 r2 +ρgz0 2 } | {z 0

C = Patm + ρgz0 Por lo tanto el campo de presiones es: p = −ρgz +

ρω 2 r2 + Patm + ρgz0 2

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Ahora, para obtener la funci´on de l´ınea del fluido, que es una par´abola desde el punto de vista dimensional. Sabemos que la presi´on a lo largo de esta l´ınea es igual a la presi´on atmosf´erica, as´ı que reemplazamos esta condici´on en la funci´on de campo de presiones. Patm = −ρgz +

ρω 2 r2 + Patm + ρgz0 2

ρω 2 r2 + z0 2 4.Determinar el campo de presiones del fluido con una tapa que tiene una abertura en un extremo y una compuerta con bisagra. Adem´as, determinar la fuerza que act´ua sobre la tapa y el momento ejercido sobre la compuerta. z=

Patm

L/8 L/4 Z ay

Y L

− − −∇p = ρ(→ a −→ g) ∂p =0 ∂x ∂p = ρay − ∂y −

−

∂p = ρg ∂z

Integrando p = ρay y + f (z), p = −ρgz + f (y) p = ρ(ay y − gz) +C Boundary Conditions z = L/4 p=0 y=0 ⇒C =

ρgL 4

Por tanto, el campo de presiones es: p = ρ(ay y − gz) +

13

ρgL 4

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Para la fuerza: dF = PdA dF = P |{z} e dy 1

Z F

Z L

dF = 0

7/8L

ρay ydy

L  y2 F = ay ( ) 2 7/8L  2 L 15 F= ρay 128 2 El momento aplicado en la compuerta: dM = dF(y − 7/8L) L  3 71y2 y − M = ρay 3 16 7/8L 23L3 ρay 3072 5. Un molino de agua de 6 ft de radio se usa para elevar agua con sus paletas semicil´ındricas de 1 ft de di´ametro. Si el molino rota a 10 rev/min y se asume un movimiento de cuerpo r´ıgido, cual es el a´ ngulo de la superficie del agua en la posici´on A? M=

10 r/min Ɵ A 6 ft

1 ft

2π 2 ) ∗ 6 = 6,5797 60 R r

ar = ω 2 r = (10 ∗

Al ser el radio del molino mucho m´as grande que el radio de la paleta, se desprecia el radio de la paleta y para el c´alculo de la aceleraci´on radial solo se toma en cuenta el radio mayor. Aceleraci´on que ser´a constante. Boundary conditions z=0 P=Pman=0 r=0 − − −∇p = −ρ(→ a −→ g)

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∂p = −ρar ∂r ∂p − = ρg ∂z

−

Integrando ambas expresiones se obtiene. p = ρar r + f (z) p = −ρgz + f (r) Al combinar ambas expresiones se obtiene el campo de presiones, sin embargo a los t´erminos f(z) y f(r) se los puede combinar en una u´ nica constante C. p = ρar r − ρgz +C Usando boundary conditions, se obtiene el valor de C. 0 = ρar r − ρgz +C |{z} |{z} 0

0

C=0 Por lo tanto el campo de presiones final queda expresado asi. p = ρar r − ρgz Para obtener la ecuaci´on de la superficie libre se iguala a cero la ecuaci´on del campo de presiones 0 = ρar r − ρgz ρgz = ρar r ar z= r g De la ecuaci´on de recta se tiene que z=b+mx, donde b indica el corte con el eje de las ordenadas y m representa la pendiente. Y nuevamente usando el concepto de pendiente, se obtiene el a´ ngulo de inclinaci´on de la superficie libre del agua en las paletas ar m = tan θ = g   6,5797 = 11,55◦ θ = tan−1 32,2

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2.6.

Resumen Presi´on: El aumento de presi´on sobre un liquido depende del cambio de profundidad, densidad y de la gravedad. Por otro lado, la presi´on se mantiene constante en direcci´on horizontal. 1 pz = pn + ρg∆z 2 px = p Campo de Presiones:

− − −∇P = ρ(→ a −→ g) −

− ∂ p→ − ∂ p→ − ∂ p→ − − k = ρ(→ a −→ g) i − j − ∂x ∂y ∂z

Campo de Fuerza: Z

Z

dF =

Z

pdA =

p |{z}

dxdy

campo−de−presiones

Campo de Momento: Z

Z

dM = L´ınea de acci´on:

1 YLA = F

ydF

Z

ydF

Como se puede ver la fuerza viscosa no se la toma en cuenta en los c´alculos del campo de presiones debido a la suposici´on de un fluido ideal. Es decir, un fluido steady (estacionario), no viscoso e irrotacional.

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3. 3.1.

´ DINAMICA DE FLUIDOS Descripci´on del movimiento del fluido:

Las descripciones lagrangiana y euleriana son dos formas de ver la mec´anica de medios continuos. La descripci´on lagrangiana consiste en hacer un seguimiento de las part´ıculas materiales, mientras que la descripci´on euleriana consiste en medir lo que pasa en puntos fijos del espacio. Ambas descripciones son equivalentes y a veces una es m´as c´omoda de usar que la otra. Descripci´on Eureliana y Lagrangiana: A continuaci´on se desarrolla las descripciones fundamentales del movimiento de un fluido, que nos permitira analizar de una mejor manera el mismo. Lagrangiana: Cualquier punto dentro de un fluido, se puede identificar mediante su posici´on inicial, la trayectoria de la part´ıcula y su evoluci´on en el tiempo, como se muestra en la figura 1.2(a), en donde los puntos de fluidos se representan por las letras A ,B, C. Euleriana: En lugar de seguir un punto material del fluido (evoluci´on en el tiempo), se define un volumen finito denominado volumen de control, figura 1.2(b). Volumen de control: Es un volumen fijo donde el fluido se mueve hacia afuera y dentro del mismo.

VA VB VC (x,y,z)

Figura 3.1: Descripci´on Euleriana y Lagrangiana Se definen las variables de campo (cinem´aticas y fluidas) Campo de presiones ~P=~P(x,y,z,t) Campo de velocidad ~V = ~V (x,y,z,t) Campo de aceleraciones ~a = ~a(x,y,z,t) Flujo tridimensional no estacionario −→ (x, y, z,t)

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3.2.

Caracterizaci´on del fluido:

Uno de los objetivos principales de la Mec´anica de Fluidos es la caracterizaci´on del fluido. Para este fin se utilizan distintas herramientas que facilitan la descripci´on del flujo y representan una determinada propiedad. Las m´as utilizadas son: Path lines (L´ıneas de camino), Trace lines (L´ıneas de Traza), Stream lines (L´ıneas de corriente). Para nuestro estudio las Stream Lines son las m´as u´ tiles. 3.2.1.

Modelos de Flujo

Los modelos de flujo son representaciones matem´aticas de un fluido real, estas involucran suposiciones y simplificaciones que facilitan el estudio; debido a esto los modelos tienen un rango limitado de aplicaci´on, por ejemplo: Flujo molecular libre Fluido viscoso Fluido compresible

vs vs vs

Flujo como Continuum Fluido no viscoso Fluido incompresible

Las l´ıneas de flujo son un aspecto importante en el estudio de los fluidos ya que nos permiten describir algunas propiedades, a continuaci´on estudiaremos las l´ıneas de flujo fundamentales en la menc´anica de fluidos . 3.2.2.

Path Lines (L´ıneas de trayectoria)

Es la trayectoria real seguida por una part´ıcula fluida durante alg´un periodo de tiempo. Adem´as, las l´ıneas de trayectoria son las mismas que el vector posici´on material. Esto se representa en la Figura 3.2.

Figura 3.2: Path Line Se pueden calcular las l´ıneas de trayectoria en forma num´erica para un campo de velocidades conocido mediante la ecuaci´on (3.1) Z t

~x = ~xi +

~V · dt

(3.1)

to

3.2.3.

Trace Lines (L´ınea de traza)

Es el lugar geom´etrico de las part´ıculas de fluido que pasan de manera secuencial por un punto determinado en el espacio. Estas l´ıneas se obtienen en el transcurso del tiempo de manera experimental y se pueden calcular al 18

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saber el campo de velocidades.

Figura 3.3: Trace line Adem´as, las part´ıculas del fluido tienden a acelerarse al encontrarse con un objeto que trata de sacarles de su camino y acorta el espacio de la secci´on por donde circulan, como se puede observar en la Figura 3.3

3.2.4.

Stream Line (L´ınea de corriente)

Las l´ıneas de corriente nos indican la direcci´on instant´anea del movimiento del fluido en todo el campo de flujo. Es la curva tangente al vector de la velocidad instant´anea representado en la Figura 3.4

VA Punto (x+dx, y+dy)

y

x

v

dr

dy

Línea de corriente

u

dx Punto (x, y) Figura 3.4: Stream line

En la ecuaci´on (3.2) se tiene la longitud infinitesimal de una l´ınea de corriente: ~ = dx~i + dy~j dr

(3.2)

Donde dr es paralelo al vector de velocidad local, entonces, la ecuaci´on para calcular una l´ınea de corriente es: dr dx dy dz = = = (3.3) dV u v w La familia de curvas que satisfacen la ecuaci´on (1.3) representan las l´ıneas de corriente del campo de flujo. Para un campo de flujo estacionario, las tres l´ıneas son id´enticas y sus propiedades en cualquier punto no cambian con el tiempo; no as´ı cuando el flujo es no estacionario. 19

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Ejemplo Ejercicio tomado del MIT opencourseware Determinar las Streamlines en 2D para el siguiente campo de velocidades. u=-x; v=x. → − V = (u, v) → − → − → − V = u i +v j dy v dy −x = ⇒ = dx u dx y Integrando x2 y2 = − +C 2 2 x2 + y2 = C Es decir que las streamlines describen una trayectoria circular, como se muestra en el siguiente gr´afico. Y

X

3.3.

Derivada Material o Substancial:

Cuando consideramos una cantidad escalar q o bien podemos escribir esta cantidad con respecto a puntos fijos en el espacio, X, o con respecto con un sistema de coordenadas que se mueve con el flujo. Obviamente x, ser´a una funci´on del tiempo , x(t)

20

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y 1

V1

Fluid element at time t=t 1

j

x k

i 2

Same fluid element at time t=t2

V2

z

Figura 3.5: Elemento del fluido moviendos´e a trav´es de un campo de flujo En el primer caso tenemos la siguiente derivada de tiempo. dq ∂q (X1 , X2 , X3 ,t) = dt ∂t

(3.4)

dx1 ∂ q dx2 ∂ q dx3 ∂ q ∂ q dq (x1 (t), x2 (t), x3 (t),t) = + + + dt dt ∂ x1 dt ∂ x2 dt ∂ x3 ∂t

(3.5)

En el segundo caso tenemos

=u

∂q ∂q ∂q ∂q +v +w + ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂t

(3.6)

Ahora tenemos la nueva derivada del tiempo Dq ∂q ∂q ∂q ∂q =u +v +w + Dt ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3 ∂t

(3.7)

La ecuaci´on (3.7) es la derivada material y se puede escribir como Dq ∂ q  ~  = + ∇V q Dt ∂t

(3.8)

Ahora presentamos un ejemplo de la utilizaci´on de la derivada material para la aceleraci´on, donde el vector ~V es la velocidad por lo tanto la aceleraci´on en t´erminos de la derivada material ser´a definida en dos t´erminos como se muestra a continuaci´on. Aceleraci´on local: relacionado a la variaci´on de propiedades en un punto en el tiempo. ∂ ~V ∂t

(3.9)

Aceleraci´on convectiva: referida a la variaci´on de las propiedades debido al movimiento del fluido.   ∇~V ~V (3.10)

21

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3.4.

Ecuaciones que Rigen a los Fluidos

En esta secci´on se estudiaran las ecuaciones fundamentales con las que estudiaremos a los fluidos. Son ecuaciones que describen el comportamiento de los fluidos para su entendimiento y aplicaciones. Para este fin se utilizar´an tres enfoques. Los primeros dos enfoques son de tipo integral, lo que quiere decir que hacen un an´alisis del fen´omeno como un todo, encerrado dentro de un volumen de control el cual es una regi´on en el espacio de inter´es para el estudio del fluido y sus propiedades. Este enfoque se utiliza en problemas con geometr´ıa simple, que puedan ser evaluadas a mano. El enfoque A hace uso de integrales m´ultiples y es en general producto de derivaciones de distintas leyes f´ısicas aplicadas al campo de los fluidos. El enfoque B es conocido como el Teorema de Transporte Reynolds y es matem´aticamente equivalente al enfoque A. Sin embargo, en este se har´a un mayor e´ nfasis debido a que facilita la resoluci´on de problemas y su comprensi´on. Este a diferencia del anterior hace uso de integrales cerradas. Y el tercer enfoque: Enfoque C, es un estudio diferencial. Este tiene gran importancia en el desarrollo de software de simulaci´on (CFD). Puede abordar geometr´ıas m´as complejas y realizar aproximaciones a problemas que no pueden ser resueltos de forma anal´ıtica. 3.4.1.

Ecuaci´on de la continuidad

La Ecuaci´on de la continuidad no es mas que un caso particular del principio de la conservaci´on de la masa “La masa no puede ser creada ni destruida”. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducci´on. ENFOQUE A Volumen = (Vn dt)S

(3.11)

Masa = ρ(Vn dt)S

(3.12)

m˙ = ρVn S

(3.13)

Se considera un campo de flujo en el que todas las propiedades var´ıan con la ubicaci´on y el tiempo espacial, por ejemplo, ρ = ρ(x, y, z,t). Aplicando a este volumen de control (Figura 3.5), los principales medios f´ısicos anteriores se obtiene: B=C (3.14) B = flujo de masa neta de volumen de control a trav´es de la superficie ”S” C = tasa momento de la disminuci´on de masa dentro del volumen de control ”V”

22

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ds

V

dS

∀ S

d∀

Figura 3.6: Volumen de control en el espacio [1] El flujo m´asico es la magnitud que expresa una variaci´on de la masa en el tiempo a trav´es de una a´ rea espec´ıfica ds, se expresa: ~ ρVn dS = ρ~V · dS (3.15) El flujo de masa neta de toda la superficie de control S, es la sumatoria de S de los flujos de masa elementales. En el l´ımite, esto se convierte en una integral de superficie, que es f´ısicamente el lado izquierdo de las ecuaciones (3.15); es decir, Z ~ B= ρ~V .dS (3.16) SC

Consideremos ahora el lado derecho de la ecuaci´on (3.15). La masa contenida dentro del volumen elemental dV es: ρdV (3.17) Por lo tanto, la masa total dentro del volumen de control es: Z

(3.18)

ρdV VC

La tasa de aumento de la masa en el interior V es entonces: d dt

Z

(3.19)

ρdV VC

Entonces la masa que inside en el volumen de control esta basada en la siguiente ecuaci´on: ~ =−d ρ~V · dS dt SC

Z

Z

ρ · d∀

dρ + ∇ · (ρ~V ) = 0 dt Ecuaci´on de la continuidad queda definida por: 0=

d dt

Z

ρ · d∀ +

∀C

Z SC

Donde: SC: Superficie de control. VC: Volumen de control.

23

(3.20)

∀C

~ ρ~V · dS

(3.21)

(3.22)

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ENFOQUE B Para derivar las ecuaciones de conservaci´on, partimos del siguiente planteamiento, el cual relaciona el cambio de un propiedad extensiva en un sistema con el cambio de la propiedad intensiva, y la variaci´on del volumen de control en el tiempo. A este planteamiento se lo conoce como el teorema de Transporte de Reynolds

Figura 3.7: Evoluci´on del volumen de control en el tiempo [2]

N)C∀ = N)sys N)sys = NII + NIII NII = NC∀ )t+dt − NI Nsys )t+dt = NIII + NC∀ )t+dt − NI dN)sys Nsys )t+dt − Nsys )t = l´ım ∆t→0 dt ∆t dN)sys NC∀ )t+dt − NC∀ )t NIII − NI = l´ım + l´ım ∆t→0 ∆t→0 dt ∆t ∆t dN)sys ∂ NIII − NI = N)C∀ + l´ım ∆t→0 dt ∂t ∆t Z

N=

ηdm m

dm = ρ ⇒ dm = ρd∀ d∀ Z

N=

ηρd∀ ∀

Z

NIII =

ηρd∀ ∀

24

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d∀ = LdA L = Vn ⇒ L = Vn ∆t ∆t d∀ = ∆tVn dA Z → → −− NIII = ηρ∆t V dA AIII

→ → −− ηρ V dA

Z

NIII = ∆t

AIII

NI = 4t dNsys ∂ NC∀ ∆t = + l´ım ∆t→0 ∆t dt ∂t

→ → −− ηρ V dA

Z AI

Z

→ → −− ηρ V dA −

 → → −− ηρ V dA

Z

AIII

AI

→ → −− ηρ V dA | A {z }

dNsys ∂ NC∀ = + dt ∂t

I

(3.23)

Entradas y salidas (Flujo)

En el siguiente ejemplo la masa es la propiedad extensiva, por tanto: V2

V1

dA1

dA2

Figura 3.8: Representaci´on de un columen de control y sus entradas y salidas de flujo dm =1 dm I → dm ∂ m)C∀ → −− = + ρ V dA dt ∂t A N = m; η =

dm ∂ m)C∀ + = dt | ∂t {z }

→ → −− ρ V dA

I

(3.24)

A

0

Abrimos la integral, en todas las a´ reas que encierran el volumen de control y analizamos a trav´es de cu´ales de estas existe flujo. En el a´ rea tres por ejemplo no existe flujo que la atraviese, el vector n es un vector unitario normal a la superficie, este tiene la misma direcci´on que el diferencial de a´ rea. dm = dt

Z

→ −− ρV → n dA +

A1

→ −− ρV → n dA +

Z A2

→ −− ρV → n dA A3 {z } | Z

0

Ahora efectuamos el producto punto en cada integral. dm =− dt

Z

Z

ρV dA + A1

ρV dA A2

dm = (ρVA)A2 − (ρVA)A1 dt

25

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1 dm = (VA)A2 − (VA)A1 ρ dt Si consideramos al sistema como steady, es decir invariante en el tiempo sabemos que: dm =0 dt Entonces, 0 = (VA)A2 − (VA)A1 (VA)A2 = (A)A1 =

d∀ ˙ =∀ dt

(3.25)

Lo que representa un flujo volum´etrico o Caudal.

dA1

V1

Figura 3.9: Globo desinfl´andose (Ejemplo de variaci´on del volumen de control en el tiempo) Un ejemplo en el que existe de un cambio del volumen de control es un globo. En este ejemplo el globo se est´a desinflando a un ritmo constante, los l´ımites del volumen de control son reales y se est´an reduciendo por lo que la ecuaci´on que rige este fen´omeno ser´ıa: 0=

∂ m)C∀ + ∂t

I

→ → −− ρ V dA

A

→ ∂ m)C∀ → −− = − ρ V dA (3.26) ∂t A El t´ermino de la izquierda rige la variaci´on de las dimensiones del volumen de control, mientras que la de la derecha mide el flujo, en este caso, u´ nicamente de salida. I

3.5.

Ecuaci´on de la conservaci´on de momentum

La segunda Ley de Newton dice: La velocidad con que varia el impulso de un punto material es igual a la fuerza ~F que act´ua sobre e´ l . d(m~V ) (3.27) ∑ Fext = dt Donde m, es la masa y V la velocidad Principio f´ısico: Fuerza = tasa de cambio de momento lineal. 26

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3.5.1.

Fuerzas externas

El efecto de una Fuerza, depende de su valor, de la direcci´on y sentido, y del tama˜no de la superficie sobre la que act´ua. A partir de la definici´on de Fuerza de la ecuaci´on (3.27) ~ ~F = d(mV ) dt

(3.28)

la fuerza ~F en un fluido est´a compuesta de : Fuerzas de cuerpo.- Asociadas con el propio cuerpo en estudio, se distribuyen en toda la amplitud del mismo. No son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos y se especifican en t´erminos de fuerzas por unidad de volumen y entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magn´eticas entre otras. ZZZ ~f ρ · d∀ (3.29) V

Fuerzas de presi´on.- El volumen que ocupa el fluido disminuye al aumentar la presi´on. A´un sin fuerza externa, el peso del l´ıquido ejercer´a una presi´on hidrost´atica sobre sus capas inferiores. Esta presi´on genera una fuerza que act´ua desde el interior del l´ıquido hacia fuera y perpendicularmente a todas las superficies en las que se encuentre el fluido. ZZ

~ −PdS

(3.30)

S

Fuerzas viscosas.- Les da la propiedad caracter´ıstica de cada sustancia y da idea de lo pesado de los a´ tomos que la forman y de lo juntos que est´an: una misma masa de distintas sustancias ocupa distinto volumen. ~Fviscosa (3.31) Entonces el vector fuerza ~F queda definido en la ecuaci´on (2.13) como la suma vectorial de cada una de las anteriores: ZZZ ZZ ~ + ~Fviscosa ~f ρ · dV − ~F = PdS (3.32) V

S

ENFOQUE A Es una ecuaci´on vectorial. Al igual que en el caso de la forma integral de la ecuaci´on de continuidad, la ecuaci´on (3.29) tiene la ventaja de relacionar fen´omenos en una regi´on de espacio limitado sin preocuparse de lo que est´a ocurriendo en alg´un punto distinto en el flujo. ZZZ V

~f ρ · d∀ −

~ + ~Fviscosa = d PdS dt S

ZZ

ZZZ V

ρ~V · d∀ +

ZZ

~ (ρ~V )~V · dS

(3.33)

S

Consideraciones importantes de la ecuaci´on de momentum: La ecuaci´on de momento es una ecuaci´on vectorial. De hecho, se debe separar la ecuaci´on en las direcciones x, y, z. La ecuaci´on integra es v´alida para flujos viscosos, compresibles o incompresibles y tambi´en inestables. La f´ormula integral solo provee informaci´on sobre cantidades integrales, m´as no valores de densidad, presi´on y temperatura. ENFOQUE B Derivaci´on de una ecuaci´on para la fuerza que ejerce un fluido en movimiento. → − − − d→ v d(m→ v ) d( L ) → − F =m = = ⇒ Momentum dt dt dt 27

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Figura 3.10: Ejemplo de las fuerzas ejercidas por un fluido − d(m→ v) → → − N= L ;η= =− v dm I − − − → ∂ (m→ v ) ∂ (m→ v )C∀ → − − − F = = + → v ρ→ v .dA ∂t ∂t A I − → → − − − F = → v ρ→ v .dA A

→ − F =

Z

− → → − − v ρ→ v .dA +

A1

Z

− → → − − v ρ→ v .dA

A2

→ − − − − F = −(V12 ρA1 )→ ex + (V22 ρA2 cos θ )→ ex + (V22 ρA2 sin θ )→ ey Tomamos u´ nicamente la fuerza en x, ya que es esta la que mueve el carro y asumimos un a´ rea constante Fx = −V12 ρA1 +V22 ρA2 cos θ Fx = −V12 ρA(1 − cos θ ) Derivaci´on de una ecuaci´on que describa el torque aplicado por un fluido en movimiento. −r × m→ − − v) d(m→ v ) d(→ → − → → − = T = −r × F = r × dt dt → − −r × → − d[m(→ v )] d H = ⇒ Momentum Angular dt dt → − dH −r × → − N= ; η =→ v dt

28

(3.34)

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Figura 3.11: Aspersor: Aplicaci´on del torque ejercido por un fluido en movimiento. − → ∂ → − −r × → − −r × → − − v )] + ρ(→ T = [m(→ v )→ v dA ∂t A → − → − − 2 T = (r1 v1 ρA1 ) ez + (r2 v22 ρA2 )→ ez → − − T = (rv2 ρA)→ ez I

(3.35)

ENFOQUE C Ahora procedemos a una ecuaci´on diferencial parcial que relaciona las propiedades de flujo de campo en un punto en el espacio. d(ρu) dp + ∇(ρu~V ) = − + ρ fx + (Fx )viscosa (3.36) dt dx La ecuaci´on (3.36) es la componente x de la ecuaci´on de momento en forma diferencial; de igual manera se obtiene para las componentes y, z. (ecuaci´on (3.37),(3.38)) d(ρu) dp + ∇(ρu~V ) = − + ρ fy + (Fy )viscosa dt dy

(3.37)

dp d(ρu) + ∇(ρu~V ) = − + ρ fz + (Fz )viscosa (3.38) dt dz donde los sub´ındices y, z en f y F indican las componentes en ”y”, ”z”de las fuerzas de cuerpo y las fuerzas viscosas respectivamente. Las ecuaciones (3.30), (3.31) y (3.32) son los escalares de ”x”, ”y”, ”z”de la ecuaci´on de momento; que son las ecuaciones diferenciales parciales que relacionan las propiedades de flujo de campo en cualquier punto en el flujo. Estas ecuaciones se puede aplicar a cualquier fluido tridimensional, compresible o incompresible, viscoso o no viscoso.

3.6.

Ecuaci´on de la conservaci´on de la energ´ıa.

La ley de la conservaci´on de la energ´ıa afirma que la cantidad total de energ´ıa en cualquier sistema f´ısico aislado (sin interacci´on con ning´un otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energ´ıa puede transformarse en otra forma de energ´ıa. Es decir, la ley de la conservaci´on de la energ´ıa afirma que la energ´ıa no puede crearse ni destruirse, s´olo se puede cambiar de una forma a otra,

29

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3.6.1.

Formas de presentaci´on de la ecuaci´on de la energ´ıa.

De la misma manera la ecuaci´on de la conservaci´on de la energ´ıa se puede presentar de las siguientes formas. ENFOQUE A Principio f´ısico: la energ´ıa no se crea ni se destruye, solo se transforma ZZZ

ZZ

˙ − qρdV ˙ + Qviscoso

V

p~V .d~S +

ZZZ

S

d dt

˙ ρ(~f .~V )dV + Wviscoso =

V

ZZZ

ρ(e + V

V2 )dV + 2

ZZ

ρ(e + S

V2 ~ ~ )V .d S 2

(3.39)

La ecuaci´on (3.33) es la ecuaci´on de la energ´ıa en forma integral es esencialmente la primera ley de la termodin´amica aplicada a un flujo de fluido. La energ´ıa potencial no aparece expl´ıcitamente en la ecuaci´on (3.33); los cambios en la energ´ıa potencial se encuentran en el t´ermino fuerza de cuerpo, cuando la fuerza de gravedad esta incluido en ~f . ENFOQUE B Partimos de definiciones b´asicas del Teorema de Trabajo y energ´ıa, para luego aplicar el Teorema de Transporte de Reynolds. dQ dW dE − = dt dt dt E = Ek + E p +U 1 Ek = mV 2 ; E p = mgz 2 N = E} | {z P. Extensiva

dE 1 = mV 2 + gz + u dm 2  I  → 1 ∂ EC∀ → −− + mV 2 + gz + u ρ V dA Q˙ − W˙ = ∂t 2 A  I  → ∂ EC∀ 1 2 → −− ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ Q − (Wshaft +Wfriction + Wpump +Wothers ) = + V + gz + u ρ V dA | {z } ∂t | {z } A 2 η=

ejes

bomba

De esta ecuaci´on se pueden derivar muchas m´as para distintos casos. dW˙ p = −pd ∀˙ ⇒ W˙ p = −

Z

pd ∀˙

d∀ = LdA; L = ∆tV d∀ = ∆tV dA d∀ ∆t = V dA ∆t ∆t − → → → − − ˙ d∀ = V .dA I → → − − W˙ p = − p V .dA A

30

(3.40)

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Ingresamos la densidad en la integral, multiplicando y dividiendo para no alterar la expresi´on. → p → − − ρ V .dA Aρ  I  → 1 2 → −− ˙ ˙ ˙ V + gz + u ρ V dA Q − Wshaft − Wζ = |{z} A 2 W˙ p = −

I

p´erdidas

  Z  → → 1 2 1 2 → −− → −− V + gz + u ρ V dA + V + gz + u ρ V dA A2 2 A1 2     1 1 Q˙ − W˙ shaft − W˙ ζ = V 2 + gz + u ρVA2 − V 2 + gz + u ρVA1 2 2 2 | {z } 1 | {z }

Q˙ − W˙ shaft − W˙ ζ =

Z 

m2

m1

Si m˙ 1 = m˙ 2 , entonces tenemos:

W˙ ζ W˙ shaft Q˙ =q; = wshaft ; = wζ m m m     1 2 1 2 q − wshaft − wζ = V + gz + u − V + gz + u 2 2 2 1   1 P2 P1 1 [q − (u2 − u1 )] + V 2 + gz1 − wshaft − wζ = − + V 2 + gz1 − wshaft − wζ 2 ρ ρ 2

(3.41)

Si consideramos un sistema aislado sin cambio de la energ´ıa interna, entonces obtenemos la siguiente ecuaci´on la cual es conocida como ecuaci´on de Euler. 1 1 2 V + gz1 − wshaft − wζ = V 2 + gz2 + 2 2

Z 2 P2 1

ρ

(3.42)

El caso ideal de esta ecuaci´on se conoce como la ecuaci´on de Bernoulli, esta se utiliza para flujo irrotacional e incompresible. 1 2 P2 1 P2 V1 + gz1 + = V22 + gz2 + (3.43) 2 ρ 2 ρ ENFOQUE C Podemos obtener una ecuaci´on diferencial parcial para la energ´ıa total de la forma integral aplicando el teorema de la divergencia de las integrales de superficie, obtenemos;        0 0 V2 V2 ~ d ρ e+ + ∇. ρ e + V = ρ q˙ − ∇.(p~V ) + ρ(~f .~V ) + Q˙ viscoso + W˙ viscoso (3.44) dt 2 2 0 0 donde Q˙ viscoso y W˙ viscoso representan las formas propias de los t´erminos viscosos. La ecuaci´on (3.34) es una ecuaci´on diferencial.

3.7.

Ecuaciones fundamentales en t´erminos de la derivada material:

Hemos descrito las ecuaciones fundamentales de los fluidos, las cuales pueden ser expresadas en t´erminos de la derivada material para la simplificaci´on de c´alculos. Conservaci´on de masa:

Dρ + ρ∇.~V = 0 Dt

31

(3.45)

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Conservaci´on de momentum: ρ

D~V ∂ρ =− + ρ ~f + ~Fvisc Dt ∂x

(3.46)

Conservaci´on de energ´ıa:   V2 D e+     2 = ρ q˙ − ~∇ P~V + ρ ~f ~V + Q˙ viscoso + W˙ viscoso ρ Dt

3.8.

(3.47)

Ejercicios

1. El siguiente fuelle es accionado desde un estado de reposo. La v´alvula a la izquierda est´a cerrada mientras se presionan los extremos. Si es fuelle tiene un espesor n, derive una expresi´on para el flujo m´asico m˙ 0 de salida como funci´on de θ (t). L

h


(t)
(t)

m0 d> Df

Df >> Dp

Turbulent flow desirable

Laminar flow desirable

V

V Slender body

Blunt body

Figura 5.5: Cuerpo Delgado y Cuerpo Redondo. El flujo turbulento es mucho m´as desordenado que el flujo laminar. La naturaleza siempre estar´a a favor del aparecimiento del flujo turbulento. Por ejemplo: La figura 5.6 muestra los perfiles de velocidades para un flujo laminar y flujo turbulento de un para un fluido viscoso.

Transition Region Turbulent

Laminar

Xcr

Transition point

Figura 5.6: Fluido viscoso sobre una placa plana. 5.3.4.

Caracter´ısticas que fomentan la transici´on de un flujo laminar a uno turbulento

A continuaci´on se describen las caracter´ısticas que fomentan el cambio de un flujo laminar a uno turbulento: Incremento de la rugosidad de la superficie. Este caso podemos ver en la figura 5.7 con los hoyuelos en la superficie de una pelota de golf. Incremento en la turbulencia de la corriente libre, por ejemplo, pruebas en el t´unel de viento con diferentes niveles de corriente libre. Gradiente de presi´on adversa. Fuertes gradientes favorables de presi´on (donde p decrece en la direcci´on de la corriente) tiende a preservar inicialmente un flujo laminar. Calentamiento de un fluido por la superficie. Una pared fr´ıa tender´a a fomentar el flujo laminar. 59

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Separación

Capa Límite Laminar Capa Límite Turbulento Separación

Transición

Capa Límite Laminar

Figura 5.7: Comportamiento del fluido en superficies diferentes. ´ Numeros de Mach y Reynolds. Altos valores del n´umero Mach y bajos valores de Reynolds tienden a fomentar el flujo laminar. ´ Numero de Reynolds cr´ıtico. ReCR =

ρ∞V∞ XCR µ∞

(5.3)

Como regla de oro, en aplicaciones pr´acticas nosotros frecuentemente usamos. ReCR ≈ 500000

5.4.

(5.4)

´ Numeros adimensionales

Son m´etodos para reducir una serie de variables dimensionales en un n´umero mas reducido de grupos adimensionales. El m´etodo a utilizar es el teorema de π de Buckingham. El t´ermino pi significa un producto de variables. Los par´ametros adimensionales encontrados con el teorema son productos de potencias denominadas π1 , π2 , π3 , con este m´etodo determinamos los par´ametros en orden secuencial sin necesidad de recurrir a exponentes libres. Tomando el caso espec´ıfico de la fuerza sobre un cuerpo sumergido , contiene 5 variables F,L, U,ρ, y u, descritas por 3 dimensiones (MLT). Por lo tanto , n=5 y j=3, con lo que se puede reducir el problema a k par´ametros adimensionales, con K=nj=5-3=2. Esto es exactamente lo que hemos obtenido: 2 variables adimensionales π1 = C y π2 = F. En algunas ocasiones aparecen m´as par´ametros adimensionales que este m´ınimo.

60

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Como segunda parte se encuentra los par´ametros adimensionales. Para la reducci´on de j, se seleccionan j variables que no puedan formar un par´ametro adimensional entre ellas. Cada par´ametro adimensional deseado estar´a formado por el producto de potencias de estas j variables con una variable adicional a la que se le asigna un exponente conveneiente no nulo. Todos los grupos adimensionales as´ı determinados son independientes. Se establece una relaci´on entre 5 variables: u1 = f (u2 , u3 , u4 , u5 ) Supongamos que hay 3 dimensiones (MLT) y despu´es de una inspecci´on adecuada encontramos que j=3. Entonces, k=5-3=2 y por lo tanto, habr´a dos, y s´olo dos, grupos adimensionales. Elegimos 3 variables por ejemplo u2, u3, u4, que no puedan formar un grupo adimensional. Seg´un esto, lo 3 grupos adimensionales estar´an formados por 3 variables m´as una variable adicional distinta para cada uno, u1 y u5 , respectivamente: π1 = (u2 a )(u3 b )(u4 c )(u1 ) = (M 0 )(L0 )(T 0 ) π2 = (u2 a )(u3 b )(u4 c )(u5 ) = (M 0 )(L0 )(T 0 ) Se ha escogido arbitrariamente, exponente unidad para u1 y u5 , agrupando los exponentes de las distintas dimensiones e igual´andolas a acero, el teorema π garantiza un valor u´ nico de a, b, c para cada grupo adimensional. Adem´as son independientes, porque u1 solo aparece en π1 , y u5 solo en π2 . Es un procedimiento claro y sistem´atico una vez que uno se ha acostumbrado al mismo. Lo ilustraremos con varios ejemplos. Hacer una lista de las n variables que aparecen en el problema. Si se omite alguna variable importante, fallar´a el an´alisis dimensional. Escribir las dimensiones de cada variable de acuerdo con el sistema utilizado (MLT) O (FLT). Se realiza una lista. Determinaci´on de j. Elija inicialmente j igual al n´umero de dimensiones diferentes que aparecen en el problema y busque j variables que no puedan formar un grupo adimensinal. Si no lo encuentra reduzca j en una unidad y b´usquelas de nuevo. Con cierta pr´actica, encontrar´a j r´apidamente. Selecciones un grupo de j variables que no pueda formar un grupo adimensional, tratando de que le parezcan satisfactorias y, a ser posible, que tengan bastante generalidad, porque aparecer´an el la mayor´ıa de grupos admensionales. Elija la densidad, la velocidad o longitud. No elija la tensi´on superficial, por ejemplo, ya que en caso contrario obtendr´ıa varios n´umeros de Weber independientes, lo que va a ser molesto. A˜nada una variable adicional a sus j variables y forme un producto de potencias. Determine algebraicamente los exponentes que hacen al producto adimensional. Intente disponerlo de forma que las variables dependientes (fuerza, incremento de presiones, par, potencia) aparezcan en el numerador, de modo que su representaci´on gr´afica sea mas sencilla. Repita esto secuencialmente, con una variable nueva cada vez y encontrar´a todos los n3j=k grupos adimensionales buscados. Escriba la funci´on adimensional resultante y compruebe que todos los grupos son realmente adimensionales. 5.4.1.

Problemas

Problema 1 Una aleta rectangular de acorde a c y lapso b esta funcionando en un flujo de baja velocidad. Su arrastre depende de los siguientes par´ametros: 61

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D = f (α, ρ∞ ,V∞ , µ∞ , b, c) Determine los par´ametros adimensionales (producto pi) que determina el coeficiente de arrastre CD. Datos: D = f (α, ρ∞ ,V∞ , µ∞ , b, c) o g = (D, α, ρ,V, µ, b, c) = 0 7-3=4 Pi Productos Π1 =

D = CD 0,5ρV 2 bc

Π2 = α = α ρV c Π3 = = Re µ Π4 =

b = AR c

(5.5) (5.6) (5.7) (5.8)

Por lo tanto: CD = f (α, Re, AR) Alternativa Π Productos Π1 =

CD D = 2 2 0,5ρV b AR

(5.9)

Π3 =

ρV b = Re ∗ AR µ

(5.10)

c 1 = b AR

(5.11)

Π4 = Por lo tanto:

CD = f (α, Re, AR) Estos son los par´ametros alternativos v´alidos que determinan CD aunque un poco convencional. Problema 2 Un cierto avi´on opera normalmente a 8 km de altitud donde las propiedades del aire en comparaci´on con los valores del nivel del mar nos da de la siguiente manera: ρ = 0,50ρSL a = 0,95aSL µ = 0,95µSL Datos: 62

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ρ = 0,50ρSL a = 0,95aSL µ = 0,95µSL l = 4lSL Soluci´on: Para Mach M∞ , se debe tener:

V VSL → V = 0,95VSL = a aSL

(5.12)

ρV L ρSLVSL LSL = µ µSL

(5.13)

ρ V L µ ∗ ∗ = ρSL VSL LSL µSL

(5.14)

Tambi´en para Reynolds Re, se debe tener:

o tambi´en

No puede coincidir simult´aneamente match M∞ y Re sin ser capaz de ajustar otro par´ametro(como ρ).

5.5.

Ecuaciones de Navier Stokes (Conservaci´on de la cantidad de movimiento)

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre a Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la a´ tmosfera terrestre, las corrientes oce´anicas y el flujo alrededor de veh´ıculos o proyectiles y, en general, cualquier fen´omeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservaci´on de la mec´anica y la termodin´amica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulaci´on integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulaci´on diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relaci´on lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulaci´on diferencial que generalmente es m´as u´ til para la resoluci´on de los problemas que se plantean en la mec´anica de fluidos. Cuando se impone la incompresibilidad y se supone ρ = 1, el sistema de Navier-Stokes toma la forma d(ρ~V ) ~ ~ ~ ~ + (∇ · ρ V )V = ∇p + ρ ~f + F~visc dt

(5.15)

Esta ecuaci´on es llamada ecuaci´on de Navier-Stokes. Consiste de un fluido m´as realista que incluye efectos de viscocidad. Esta ecuaci´on conecta localmente las variables y sus cambios. Si el flujo es estacionario, las fuerzas viscosas son nulas, y no hay fuerzas de cuerpo entonces se obtiene las ecuaciones estacionarias de Euler: d(ρu2 ) d(ρuv) d(ρuw) dp + + =− dx dy dz dx

(5.16)

La ecuaci´on (5.16) representa la ecuaci´on de Euler respecto a la variable x. d(ρvu) d(ρv2 ) d(ρvw) dp + + =− dx dy dz dy 63

(5.17)

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La ecuaci´on (5.17) representa la ecuaci´on de Euler respecto a la variable y. dp d(ρwu) d(ρwv) d(ρw2 ) + + =− dx dy dz dz

(5.18)

La ecuaci´on (5.18) representa la ecuaci´on de Euler respecto a la variable z. Estas ecuaciones representan las ecuaciones de Euler que son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresi´on corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a condiciones que se pueden deducir a trav´es del an´alisis de magnitudes de las Navier-Stokes.

Figura 5.8: Elemento infinitesimal moviendose en un l´ıquido (fuerzas en la direcci´on x) [1]

5.6.

Obtenci´on de la ecuaci´on de Navier Stokes para fluidos reales

”La ecuaci´on (5.19) proviene de la segunda ley de Newton de la forma F = ma y por ahora solo consideramos la componente x.”   d p dτ xx dτ yx dτ zx Fx = − + + + dxdydz dx dx dy dz

(5.19)

En la ecuaci´on (5.19) la masa del fluido, es fijo e igual a: m = ρdxdydz

(5.20)

Ademas, la aceleraci´on del fluido esta dada por la variaci´on de la velocidad en la direcci´on x con respecto al tiempo y es igual :

64

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ax =

Du Dt

(5.21)

Combinando las ecuaciones, obtenemos: ρ

Du d p dτ xx dτ yx dτ zx =− + + + Dt dx dx dy dz

(5.22)

Las ecuaciones (5,20), (5,21), (5,22) representan las ecuaciones completas de Navier-Stokes para flujos viscosos de tres dimensiones. Ecuaci´on de Navier-Stokes en el eje X du dv du dp du ρ + ρu + ρv + ρw = − + dt dx dy dz dx         d dv du du dw du d d λ ∇ ·V + 2µ + µ + + µ + dx dx dy dx dy dz dz dx

(5.23)

Ecuaci´on de Navier-Stokes en el eje Y dv dv dv dv dp ρ + ρu + ρv + ρw = − + dt dx dy dz dy         d dv d dv du d dv dw λ ∇ ·V + 2µ + µ + + µ + dy dy dx dx dy dz dz dy

(5.24)

Ecuaci´on de Navier-Stokes en el eje Z dw dw dw dp dw + ρu + ρv + ρw =− + ρ dt dx dy dz dz         d dw d du dw d dw dv λ ∇ ·V + 2µ + µ + + µ + dz dz dx dz dx dy dy dz

(5.25)

Para analizar flujos viscosos incomprensibles estas ecuaciones y la ecuaci´on de continuidad son suficientes.

5.7.

Flujos Especiales

Ahora describimos flujos especiales que nos permitir´a analizar de mejor manera la mec´anica de fluidos. 5.7.1.

Fluido de Couette

El fluido de Couette es un fluido viscoso que esta contenido entre dos placas paralelas separadas una distancia y = D. La placa superior tiene una velocidad ue y la placa inferior se encuentra est´atica (u = 0). Debido a la condici´on de no desplazamiento, no existe movimiento relativo entre el fluido y las placas.   δT (5.26) q˙w = −K δy w

65

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Figura 5.9: Flujo de Couette (general)[1]

Figura 5.10: Flujo de Couette (detallado)[1]

En la ecuaci´on (5.26) se puede hacer la siguiente consideraci´on donde el flujo solo ser´a en la direcci´on del eje x.   du dT dp = = =0 (5.27) dx dx dx La ecuaci´on (5.27) de continuidad, es directamente proporcional con la derivada parcial de la temperatura y la presi´on con respecto al desplazamiento. La ecuaci´on (5.28) es la ecuaci´on de momento con respecto a y:   dp =0 (5.28) dy En ecuaci´on (5.29) se tiene la ecuaci´on de la energ´ıa, las cuales est´an en funci´on de los par´ametros (T,u)      d dT d du k + u =0 (5.29) dy dy dy dy La ecuaci´on (5.30) representan las ecuaciones de Navier-Stokes que se reducen a una multiplicaci´on de diferenciales.    d du u =0 (5.30) dy dy 66

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d2u dy2

 =0

(5.31)

De esta manera las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a la siguiente expresi´on en la ecuaci´on (5.31) Donde la derivada total sustituye la derivada parcial, porque u es solo funci´on de y. Integrando dos veces obtenemos la siguiente ecuaci´on (5.32) u = ay + b (5.32) Las condiciones dadas se determinan como las condiciones de frontera en las ecuaciones (5.33) y (5.34). y = 0, u = 0, b = 0

(5.33)

ue (5.34) D El tensor de esfuerzos esta dado en funci´on del par´ametro D. Se observa en la ecuaci´on (5.35) que τ es independiente de la posici´on. u  e τ=µ (5.35) D y u = ue (5.36) D y = D, u = ue , a =

5.7.2.

Fluido de Poiseuille

El f´ısico Jean Poiseuille (1799-1869) hab´ıa medido con exactitud el flujo en tubos capilares para m´ultiples fluidos En el fluido de Poiseuille se considera un fluido viscoso que se encuentra entre dos placas paralelas estacionarias que est´an separadas una distancia D. En este caso, el fluido se mueve debido a un gradiente de presiones. Ecuaci´on del momentum en X

Ecuaci´on del momentum en Y

du dv + =0 dx dy

(5.37)

dp =0 dy

(5.38)

Figura 5.11: Flujo de Poiseulle

La presi´on es constante a trav´es de todo el campo de flujo   dp d du − + µ =0 dx dy dy 67

(5.39)

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Las derivadas parciales en las ecuaciones se pueden escribir en derivados como ordinarias.   dp d du = µ = cte dx dy dy Cuando u es constante

1 u= 2µ



 dp 2 y + ay + b dx

b=0   1 dp D a=− 2µ dx

(5.40)

(5.41) (5.42) (5.43)

Reemplazando: 1 u= 2µ



dp dx




y2 − Dy

du =0 dy   du 1 dp = (2y − D) = 0 dy 2µ dx Derivada parcial respecto a y de la ecuaci´on (5.46) se tiene:   2    1 dp D D2 D2 d p umax = − =− 2µ dx 4 2 8µ dx

(5.44)

(5.45) (5.46)

(5.47)

Separando las variables de la ecuaci´on (5.47) 

 du τw = µ w dy   du 1 dp = (2y − D) dy 2µ dx

(5.48)

(5.49)

Asumiendo y como constante se obtiene: 

   D dp du w=− dy 2µ dx

Finalmente se obtiene la ecuaci´on de Poiseuille     du D dp τw = µ w=− dy 2µ dx

5.8.

(5.50)

(5.51)

Ley de Sutherland

William Sutherland (24 agosto 1859 - 5 octubre 1911) fue un f´ısico te´orico de origen escoc´es australiano, public´o una relaci´on entre la viscosidad din´amica y la temperatura absoluta, de un gas ideal. Esta f´ormula, es llamada ley de Sutherland y se basa en la teor´ıa cin´etica de los gases ideales La ley de Sutherland se puede expresar como:   µ ∼ T 3/2 T˙0 + E · (5.52) = ˙ µ˙ 0 T +E T0 68

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Donde E es una temperatura efectiva llamada constante de Sutherland, el cual es caracter´ıstico de cada gas. La precision de esta ecuaci´on es mejor que la aproximaci´on de la ley potencial realizada por Maxwell - Rayleigh que esta dada por la ecuaci´on (5.52).   µ ∼ T n (5.53) = ˙ µ˙ 0 T0 Donde n esta en el orden de 0.7 y los valores de temperatura y viscosidad son valores referenciales. En la Tabla 1 existen valores de n para varios tipos de gases, la exactitud depende del rango de temperaturas.

Gas Aire Argon CO2 CO N2 02 H2 Vapor

Parametros para gases Ley Potencial y Ley de Sutherland T˙0 n Error Rango de temperatura µ˙ 0 − 273 1,716 × 10 5 0.666 ±4 210 - 1900 − 273 2,125 × 10 5 0.72 ±3 200 - 1500 273 1,370 × 10− 5 0.79 ±5 209 - 1700 − 273 1,657 × 10 5 0.71 ±2 230 - 1500 273 1,663 × 10− 5 0.67 ±3 230-1500 273 1,919 × 10− 5 0.69 ±2 230 - 2000 − 273 8,411 × 10 5 0.68 ±2 80 - 1100 273 1,12 × 10− 5 1.15 ±3 280 - 1500

S 111 144 222 136 107 139 97 1064

Cuadro 1: Par´ametros para las ecuaciones 5.52 y 5.53 Estas f´ormulas son estrictamente v´alidas para substancias de un solo componente; sin embargo el aire se encuentra tabulado porque sus dos componentes principales, ox´ıgeno y nitr´ogeno son mol´eculas diat´omica casi id´enticos. Para la mezcla de gases de diferentes substancias, la viscosidad de la mezcla var´ıa fuertemente con la concentraci´on de las substancias.

5.9.

Lubricaci´on Hidrodin´amica y

Δx τw

P

Δy X

P+

dP x dx Δ

dτ τ w+ wΔy dy g Figura 5.12: Diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de un fluido viscoso

∑F = 0 p∆y∆z + (τw +

∂ τw ∂p )∆x∆z + gx ρ∆x∆y∆z − τw ∆x∆z − (p + ∆x)∆y∆z = 0 ∂y ∂x ∂ τw ∂P ∆x∆y∆z + gx ρ∆x∆y∆z − ∆x∆y∆z = 0 ∂y ∂x 69

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∂ τw ∂P + gx ρ = ∂y ∂x

(5.54)

Para el caso de un fluido newtoniano, es decir de viscosidad constante se tiene: Vx = u ; Vy = v ; VZ = w   ∂u ∂v τw = µ + ∂y ∂x ⇒ τw = µ µ

∂u ∂y

∂p ∂ 2u + gx ρ = 2 ∂y ∂x

(5.55)

En el siguiente ejemplo se analiza el flujo a trav´es de dos placas planas.


h Y

X P1

P2

L 2

1

Figura 5.13: Flujo a trav´es de dos placas planas

Para este caso el campo gravitatorio no se toma en cuenta en el flujo. µ

∂ 2u ∂ p = ∂ y2 ∂x

Procedemos a integrar la ecuaci´on diferencial. ∂ 2u 1 ∂p = ∂ y2 µ ∂x ∂u 1 ∂p = y+A ∂y µ ∂x u=

1 ∂p 2 ya + Ay + b µ ∂x

Planteamos las siguientes condiciones de borde, para obtener el valor de las constantes de integraci´on. y = o → τmax → u = 0 y = h → τmax → u = 0 B=0; A= 70

−1 d p h 2µ dx

(5.56)

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Por tanto, la velocidad en direcci´on x es: u=

1 dp 2 [y − hy] 2µ dx

(5.57)

Para tal direcci´on de flujo la presi´on en 1 debe ser mayor a la de 2; y su variaci´on respecto a x quedar´ıa expresada de la siguiente manera. dp P1 − P2 =− dx L   1 P1 − P2 ⇒u= [hy − y2 ] (5.58) 2µ L Para encontrar la velocidad m´axima, sabemos que se encuentra en el punto medio entre las dos placas. h 2 

umax → y =

P1 − P2 h2 h2 − L 2 4   h2 P1 − P2 umax = 8µ L

1 umax = 2µ





(5.59)

Finalmente, el flujo volum´etrico se obtiene con el siguiente proceso. ∀˙ = V.A d ∀˙ = udy |{z} dz e

∀˙ =

Z h

eudy 0

Z h

  P − P 1 1 2 ∀˙ = e [hy − y2 ]dy 2µ L 0   2 h 1 P1 − P2 hy y3 ∀˙ = e − 2µ L 2 3 0   3  1 P1 − P2 h ∀˙ = e 2µ L 6   e h3 P1 − P2 ∀˙ = 12µ L

71

(5.60)

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r2 r1

Figura 5.14: Divisi´on del tubo en elementos diferenciales

r

R

dr

r Ƭ2πrdx dr

(2πrdr) P

(P + (dP) dx) (2πrdr) dx

(Ƭ + dƬ dr) 2π (r + dr)dx dr

dx

Figura 5.15: Elemento cil´ındrico en movimiento a trav´es de una tuber´ıa

∑ Fx = 0     dτ dp p(2πrdr) + τ + dr [2π(r + dr)dx] − τ(2πrdx) − p + dx (2πrdr) = 0 dr dx Simplificando la expresi´on anterior obtenemos: τ dτ ∂P + = |r {zdr} ∂ x 1 d(rτ) ∂ P = r dr ∂x

72

(5.61)

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r2 ∂ p +A 2 ∂x r ∂p A + τ= 2 ∂x r du τ=µ dr du r ∂ p A µ = + dr 2 ∂x r du r ∂p A = + dr 2µ ∂ x µr rτ =

u=

r2 ∂ p + A ln(r) + B 4µ ∂ x

Planteamos condiciones de borde para obtener los valores de las constantes. r = R → u = 0 ; r = 0 → u = umax → τ = 0 A = 0 ;B = − u=

R2 ∂ p 4µ ∂ x

1 ∂p 2 (r − R2 ) 4µ ∂ x

umax = −

R2 ∂ p 4µ |{z} ∂x (−)

73

(5.62) (5.63)

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5.10.

Resumen Navier-Stokes:

→ − d(ρ V ) → − → → − → − − + (∇ · ρ V ) V = ∇p + ρ f + F viscosa dt Du d p dτxx dτyx dτzx ρ =− + + + Dt dx dx dy dz

La ecuaci´on Navier-Stokes se la puede escribir para las 3 dimensiones, a continuaci´on se muestra para el eje X.         du dv du dp d du du d dv du d du dw + + ρ +ρu +ρv +ρw = − + λ ∇ ·V + 2µ + µ + µ dt dx dy dz dx dx dx dy dx dy dz dz dx Flujo de Couette: El fluido es incompresible, y su velocidad es independiente del eje x. Solo var´ıa en el eje y. El movimiento del fluido se debe al movimiento de la placa que interact´ua con el fluido. u  e τ=µ D y u = ue D Flujo de Poiseuille: Se le considera como un tubo infinito, el movimiento del fluido se debe al gradiente de presi´on. Su velocidad var´ıa en el eje y.   1 dp (y2 − Dy) u= 2µ dx   D dp τ =− 2µ dx

74

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6.

CAPA LIMITE CAPA LIMITE

Definición

Tipos Cuerpo Efectivo

Espesor de la cantidad de movimiento

Estudio de la capa límite sobre placa plana Figura 6.1: Mapa de ruta para el Cap´ıtulo 6. La capa l´ımite es la zona donde el movimiento del fluido es perturbado al entrar en contacto con un s´olido, en esta zona se tiene una variaci´on de la velocidad del fluido respecto al s´olido en movimiento de 0 hasta el 99 % de la velocidad de la corriente no perturbada. Puede ser laminar o turbulenta.

6.1.

Definici´on El espesor de la capa l´ımite se define por: ∗

Z y1 

ρµ 1− ρe µe

δ = 0

 dy.

(6.1)

Esta propiedad tiene dos interpretaciones f´ısicas: 6.1.1.

Interpretaci´on 1.

δ ∗ es un ´ındice proporcional a la ”falta de flujo de masa debido a la presencia de la capa l´ımite”. La figura 6.2 nos ayuda a entender la definici´on de la ecuaci´on 6.2 y representa la capa l´ımite de un fluido en contacto con una placa plana, donde ρe y µe es la densidad y velocidad en el borde da la capa l´ımite respectivamente, y ρ y µ es la densidad y velocidad dentro de son una funci´on de y, dentro de la capa l´ımite. En base a la figura 6.2, considere el punto y1 por encima de la capa l´ımite. Tenga en cuenta tambi´en el flujo de masa a trav´es de la l´ınea vertical que conecta y = 0 e y = y1. Entonces: A=Flujo m´asico real entre 0 y Y1 .

Z y1

A=

(ρ µ)dy 0

75

(6.2)

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Figura 6.2: Borde de la capa l´ımite. B=Flujo m´asico hipot´etico entre 0 y Y1 si la capa l´ımite no estuviera presente. Z y1

B=

(6.3)

ρe µe dy

0

B-A= Decremento en el flujo m´asico debido a la presencia de la capa l´ımite, es decir, falta de flujo de masa. Z y1 B−A = (ρe µe − ρ µ)dy (6.4) 0

Expresando esta falta de flujo m´asico como el producto de ρe µe y una altura δ . La falta de flujo m´asico

ρe µe δ ∗ = ∗

= ρe µe δ ∗

(6.5)

(4) = (5)

(6.6)

Z y1 0

Z y1 

(ρe µe − ρ µ)dy

ρµ 1− ρe µe

δ = 0

(6.7)

 dy

(6.8)

Claramente δ ∗ es una altura proporcional al flujo de masa perdida. Si esta falta de flujo de masa fue metida en un tubo de corriente, donde las propiedades de flujo fueron constantes en ρe y µe , entonces la ecuaci´on (6.5) dice que δ ∗ es la altura de este tubo de corriente hipot´etico.

6.1.2.

Interpretaci´on 2.

δ ∗ es el espesor de desplazamiento de una l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite

76

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Figura 6.3: Espesor de desplazamiento de una l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite. Considere el flujo sobre una superficie plana como esbozado en la figura 6.3. La imagen de la izquierda es un flujo no viscoso hipot´etico sobre la superficie; una l´ınea de corriente a trav´es del punto y1 es recta y paralela a la superficie. El flujo viscoso real se muestra en la parte derecha de la figura 6.3; aqu´ı, el flujo retrasado dentro de la capa l´ımite act´ua como una obstrucci´on parcial al flujo de corriente libre. Como resultado, la l´ınea de corriente externa a la capa l´ımite pasa por el punto y1 es desviado hacia arriba a trav´es de una distancia δ ∗ . Ahora demostramos que este δ ∗ es precisamente el espesor de desplazamiento definida por la ecuaci´on (6.1).

El flujo m´asico en la estaci´on 1 entre la superficie y la l´ınea de corriente externa es: Z y1

m˙ =

(6.9)

ρe µe dy

0

El flujo m´asico en la estaci´on 2 entre la superficie y la l´ınea de corriente externa es: Z y1

m˙ = 0

(ρ µ)dy + (ρe µe δ ∗ )

(6.10)

El flujo de masa a trav´es de la estaci´on 1 y la estaci´on 2. Z y1 0

Z y1

ρe µe dy = δ∗ =

0

Z y1 

(ρ µ)dy + (ρe µe δ ∗ )

1−

0

ρµ ρe µe

(6.11)

 dy

(6.12)

En conclusi´on debido a la conservaci´on de la masa se va a dar una deformaci´on de la linea de corriente.

6.2. Cuerpo Efectivo En la ecuaci´on (6.12) se da lugar al concecto de cuerpo eficaz. El cuerpo eficaz, es igual a la forma del cuerpo real, m´as la distribuci´on del espesor de desplazamiento. Tenga en cuenta la forma aerodin´amica esbozado en la figura 6.4. El contorno real de la cuerpo es dado por la curva AB. Sin embargo, debido al efecto de desplazamiento de la capa l´ımite. La forma del cuerpo eficaz visto por la corriente libre no se da por la curva ab; m´as bien, la corriente libre ve un cuerpo eficaz dado por la curva ac.

77

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Figura 6.4: Cuerpo Efectivo

6.3.

Espesor de la cantidad de movimiento θ

El espesor de la cantidad de movimiento se analiza sobre un volumen de control para una capa l´ımite de placa plana. Dado que el fondo del volumen de control es la placa misma, ninguna masa o cantidad de movimiento puede cruzar esta superficie. La parte superior del volumen de control se toma como una l´ınea de corriente del flujo exterior. Dado que ning´un flujo puede cruzar una l´ınea de corriente, no puede haber flujo de masa o de cantidad de movimiento a trav´es de la superficie superior del volumen de control. Cuando se aplica la ley de conservaci´on de masa a este volumen de control se encuentra que el flujo de masa que entra al volumen de control desde la izquierda (en x = 0), debe ser igual al flujo de masa que sale de la derecha (en alguna posici´on arbitraria x a lo largo de la placa). El espesor de la cantidad de movimiento se define como:   Z y1 ρ µ θ≡ ρe µe 1 − dy (6.13) µe 0 µ Considere el flujo m´asico a trav´es de una segmento dy, dada por: dm = (ρ µ)dy

(6.14)

A es igual al Flujo de Momento a trav´es del segmento A = dmµ = ρ µ 2 dy

(6.15)

B es igual al flujo de momento en la velocidad de la corriente libre asociado con la masa dm B = dmµe = (ρ µ)dyµe

(6.16)

Por lo tanto, operando la funci´on B-A obtenemos el decremento en el flujo de momento (P´erdida del flujo de momento)asociado con una masa dm B − A = ρ µ(µe − µ)dy

(6.17)

El decremento total en el flujo de momento o p´erdida del flujo de momento a trav´es de la l´ınea vertical para y = 0 a y = y1, como se puede observar en la figura 6.2, es igual a la integral de la ecuaci´on(6.17), obteniendo Z y1 ρ µ(µe − µ)dy (6.18) 0

78

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Asumiendo que la p´erdida de flujo es igual a el producto de ρe µe2 y θ , entonces se tendr´ıa que la p´erdida de flujo es igual a ρe µe2 θ . Entonces igualando las ecuaciones: (16) = (17) Obtenemos ρe µe2 θ =

Z y1 0

(6.19)

ρ µ(µe − µ)dy

(6.20)

Pasando ρe µe2 al otro lado de la ecuaci´on llegamos a θ=

 Z y1 ρµ 0

ρe µe

u 1− ue

 dy

(6.21)

Note que θ = θ(x) , evaluando θ en una estaci´on dada x = x1 siendo proporcional al coeficiente de resistencia de fricci´on integrado desde el borde de ataque de x1 ; eso es: θ(x1 ) α

1 = x1

Z x1

c f dx = C f

(6.22)

0

Donde c f es el coeficiente de fricci´on de la capa local y C f es el coeficiente de fricci´on de arrastre en la capa total.

6.4.

Estudio de capa l´ımite sobre placa plana

Un cuerpo que este en el interior de un flujo experimenta una fuerza resultante debido a la acci´on entre el flujo y el cuerpo. Esta es la fuerza resultante de los esfuerzos de corte en la pared del cuerpo y de los esfuerzos normales a la superficie. La magnitud de las fuerzas resultantes depender´a de la forma que tome el flujo alrededor del cuerpo y por lo tanto de la forma del cuerpo, de las condiciones del flujo y de la posici´on relativa del cuerpo con respecto al flujo. La influencia sobre el flujo para el caso de la placa plana delgada paralela al flujo es m´ınima y las l´ıneas de corriente tender´an a ser paralelas a la placa. Considerar un fluido incompresible y bidimensional sobre una placa plana con un a´ ngulo de ataque igual a 0, tal como el bosquejo siguiente. Tal que el fluido ρ = constante , mu = constante , ddxpe = 0

Figura 6.5: Fluido sobre superficie plana Deducci´on de la capa l´ımite Las ecuaciones de la capa limite se reducen a las siguientes tres ecuaciones: ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y 79

(6.23)

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u

∂u ∂u ∂ 2u +v =v 2 ∂x ∂y ∂y

(6.24)

∂p =0 ∂y

(6.25)

Transformemos las variables independientes de: (x, y) a (ξ , η),donde; r V∞ ξ =x , η =y vx Entonces; Derivada parcial respecto a x: ∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η = + ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x

(6.26)

∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η = + ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y

(6.27)

Derivada parcial respecto a y:

Sin embargo: ∂ξ =1 ∂

∂ξ =0 ∂

∂η = ∂y

r

V∞ vx

Sustituyendo dentro de de las derivadas, obtenemos: ∂ ∂ ∂η ∂ = + ∂x ∂ξ ∂ ∂η

(6.28)

Reemplazando seg´un definici´on anterior: ∂ = ∂y Elevando al cuadrado:

∂2 ∂y

2

r

=

V∞ ∂ vx ∂ η

(6.29)

V∞ ∂ 2 vx ∂ η 2

(6.30)

Tambi´en, definiendo una ”funci´on de corriente”ψ como: √ ψ = vxV ∞ f (η) D´onde: f (η) est´a estricta y solamente en funci´on de η. Esta expresi´on satisface la ecuaci´on de continuidad. De la definici´on de ”funci´on de corriente”, y usando ecuaciones, tenemos: r V∞ ∂ ψ ∂ψ u= = = V∞ f 0 (η) ∂y vx ∂ r   √ ∂ψ ∂ψ ∂η ∂ψ 1 xV ∞ ∂η 0 v=− =− + =− f − vxV ∞ f ∂x ∂ξ ∂x ∂η 2 x ∂x La funci´on f (η) tiene la propiedad donde e´ sta es derivada dando el componente de la velocidad como: f 0 (η) =

80

u V∞

(6.31)

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Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, vamos a llegar a tener una ecuaci´on de la forma: u

∂ u ∂ 2u ∂u +v = ∂x ∂ y ∂ y2

(6.32)

Escribiendo cada t´ermino expl´ıcitamente, tal que podamos ver que est´a pasando, tenemos: ! r r   √ ∂ η 00 ∂η 0 V∞ V∞ 00 1 vV ∞ 0 V∞ f = V∞ f − f + vxV ∞ f V∞ f = vV∞ f 000 ∂x 2 x ∂x vx vx

(6.33)

Simplificando: ∂ η 0 00 1 V 2 ∞ 00 V ∞ f f − f f −V 2 ∞ ∂x 2 x 2



∂η ∂x



f 0 f 00 =

V 2 ∞ 000 f x

(6.34)

Ecuaci´on de Blasius: 2 f 000 + f f 00 = 0

(6.35)

Fue la primera aplicaci´on pr´actica de la capa l´ımite hipot´etica de Prandtl desde su anuncio en 1904. A causa de ser una ecuaci´on diferencial ordinaria simple, es simple para resolver la ecuaci´on original de capa l´ımite. Debe ser resuelta num´ericamente, teniendo en cuenta las transformaciones de las condiciones de borde. At

η =0: At

f = 0,

f0 = 0

f0 = 1

η →∞:

Una tercera condici´on de borde, nombrada, alg´un valor para f 00 (0), debe ser asumida. Entonces dicho valor est´a integrado frente a la capa l´ımite hacia un gran valor de η. 7

n=y√ (V∞ /Vx )

6 5 4 3 2 1 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

ƒ’(n)=u/V∞

Figura 6.6: Grafica funci´on n Notar que la curva del perfil de velocidad y e´ sta curva es funci´on de η solamente. Claramente, la variaci´on de la normal u cambiar´a conforme disminuya el flujo. Sin embargo, cuando graficamos VS η, miramos el perfil, u = u(η) es. Los valores num´ericos de f,f’y f”’VS η son tabulados Cf =

τ∞ 0, 5ρ∞V 2 ∞ 81

(6.36)

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Figura 6.7: Descripci´on Lagrangiana Y el esfuerzo de deformaci´on:

 τ∞ = η

Entonces:

Combinando ecuaciones para n=0

∂u ∂ f0 = V∞ = V∞ ∂y ∂x

r

∂u ∂y



V∞ ∂ f 0 = V∞ vx ∂ η

2 f 00 (0) Cf = √ Rex

(6.37) r

V∞ 00 f vx

(6.38)

(6.39)

Rex es el numero de Reynolds local. Desde f (0) = 0,332 desde la soluci´on num´erica de la ecuaci´on de Balsius , entonces la ecuaci´on quedar´ıa como. 0, 664 cf = √ (6.40) Rex

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7.

´ INTEGRAL DE VON KARMAN PARA CAPA LIMITE

Este enfoque debido a Karman conduce a una t´ecnica de soluci´on aproximada muy u´ til para los efectos de capa l´ımite. Forma la base de los m´etodos utilizados en la capa l´ımite . La idea b´asica es integrar las ecuaciones de capa l´ımite y para reducirlas a una EDO en x. Como se aprecia en la Figura 6.1.

Figura 7.1: Capa l´ımite deform´andose en x. Para las ecuaciones de capa l´ımite se adiciona (ρ µ)x de la ecuaci´on de la continuidad m´as x-momento, como se muestra en la ecuaci´on (6.1). ρ µ(

∂u ∂v ∂u ∂v ∂ µe ∂ 2 u + ) + ρ(µ + ν ) = ρ µe + 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ρ(

∂ u2 ∂ (vu) ∂ µe ∂ . ∂ u + ) = ρ µe + (u ) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

(7.1)

Por lo tanto se procede a integrar la ecuaci´on (6.1) desde 0 a y1 ρ

Z y1 ∂ (u2 )

(

0

∂x

)dy + puv = ρ µe

∂ µe y1 + τ ∂x

(7.2)

Note que puv se puede expresar como se muestra en la ecuaci´on (6.3) puv = pue v(y1 ) = ρ µe

Z y1 ∂v 0

∂y

dy = −ρ µe

Z y1 ∂u 0

∂x

dy

(7.3)

Entonces se reemplaza la ecuaci´on (6.3) en la ecuaci´on (6.1), se obtiene la ecuaci´on (6.4): ρ

Z y1 ∂ (u2 )

(

0

∂x

)dy − pue

Z y1 ∂u 0

∂x

dy = ρ µe

∂ µe y1 + τ ∂x

(7.4)

Despu´es de manipular la ecuaci´on (6.4), adem´as de llevar y1 al infinito esta puede ser escrita como la ecuaci´on (6.5): ∂ ue ∂. (pu2e θ ) + pue δ ∗ (7.5) τw = ∂x ∂x Donde θ ≡ espesor de momento:   Z ∞ ρµ ρµ 1− (7.6) ρ e µe 0 ρe µe De la ecuaci´on (6.6) para la forma incompresible se tiene que:   Z ∞ u u 1− ue 0 ue

(7.7)

Se integra la ecuaci´on 12.5 desde el punto de estancamiento a lo largo del flujo de aire hasta la estela, como lo muestra la Figura 6.3. 83

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Figura 7.2: Punto de estancamiento y estela. ∂ ue dx ∂x 0 0 Pero ue = 0 en el punto de estancamiento (x=0)y mediante Bernoulli se tiene la ecuaci´on 6.9. Z ∞

pu2e θ

τw dx =

−

Z ∞

+

pue δ ∗

∂d ∂ ue = pue ∂x ∂x

(7.8)

(7.9)

Obteni´endose la expresi´on de el arrastre que se expresa en la ecuaci´on 6.10. pu2e θ =

Z ∞ 0

Z ∞

τw dx +

δ∗

0

∂p dx ∂x

(7.10)

La ecuaci´on de arrastre se representa como D0 en la ecuaci´on 6.11, cuyo primer t´ermino es la arrastre por fricci´on y el segundo el arrastre por forma. 0

Z ∞

D = 0

Z ∞

τw dx +

0

δ∗

∂p dx ∂x

(7.11)

Otra forma com´un de la integral de la ecuaci´on de momento se puede expresar como se muestra en la ecuaci´on 6.12. ∂. ∂ ue τw = (pe u2e θ ) + pe u2e δ ∗ ∂x ∂x ∂θ τw θ ∂ ue = + (2 + H) (7.12) 2 pe ue ∂ x ue ∂x Donde H =

δ∗ θ

se conoce como el ”par´ametro de forma”

84

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8. 8.1.

ANEXO M´etdos de correlaci´on para integrales de capa l´ımite

Este m´etodo simple se le atribuye a Thwaites en 1949. Thwites correlaciona un n´umero de soluciones de la integral de momento de la capa l´ımite y se encontr´o que el espesor de desplazamiento puede ser predicho bastante cerca al resultado por aproximaciones. A partir de la ecuaci´on de la capa l´ımite, ecuaci´on 7.1. τw dθ due θ = + (2 + H) pe u2e dx dx ue

(8.1)

Se utiliza un arreglo matem´atico, ecuaci´on 7.2 ue θ v Al multiplicar la ecuaci´on 13.1 y 13.2 se obtiene la ecuaci´on 7.3. ue θ dθ θ 2 due τw θ = + (2 + H) µue v dx v dx

(8.2)

(8.3)

En base a la ecuaci´on 7.3 se define a λ como una funci´on de θ y v λ=

θ 2 due v dx

Al reemplazar la ecuaci´on 13.4 en la ecuaci´on 7.3 resulta la ecuaci´on 7.5     λ τw θ d =2 − λ (2 + H) ue dx due /dx µue

(8.4)

(8.5)

Thwaites asume una correlaci´on que solo depende de λ . La Correlaci´on del factor de Forma se deduce de la ecuaci´on 7.5. H = H(λ )

(8.6)

A partir de la ecuaci´on 7.5 se deduce la Correlaci´on de Cizallamiento. τw θ = S(λ ) µue A partir del reemplazo en la ecuaci´on 7.6 y 7.7 en la ecuaci´on 7.5 se obtiene:   d λ ∼ ⇒ ue = 2(S(λ ) − λ (2 + H(λ )) dx due /dx

(8.7)

(8.8)

Thwaites determin´o a partir de la ecuaci´on 7.8. d ⇒ ue dx



λ due /dx



0,45v u6e

Z x

= 0,45 − 6λ

(8.9)

Se integrando la ecuaci´on 7.9 para encontrar: θ2 =

0

u5e dx

Donde se asume θ (x = 0) = 0 para resolver la ecuaci´on 7.10 85

(8.10)

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Referencias [1] J HON D. A NDERSON , J R .,Fundamentals of Aerodynamics, fifth edition, Mc Graw Hill, United Stades, New York, 2011 [2] F RANK M. W HITE,FFluid Mechanics, seventh edici´on, Mc Graw Hill, United Stades, New York, 2011 [3] P HILIP J. P RITCHARD , J OHN C. L EYLEGIAN,Fox and McDonald’s Introduction to Fluid Mechanics, eighth edition,John Wiley & Sons Inc., United Stades, New York, 2011.

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