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CENTROS DE GRAVEDAD Y CENTROIDES

PRESENTADO POR: CATHERIN RODRIGUEZ SEGURA ORLANDO GODOY LEÓN LAURA GARZON PEÑUELA DOCENTE: OSCAR IVAN CALDAS

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA MECANICA DE SOLIDOS, INGENIERIA INDUSTRIAL CAJICA, CAMPUS 2016

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FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD

Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la tierra sobre un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, la tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en este capítulo se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la resultante W, para cuerpos de varias formas. AREÁS Y LÍNEAS -

CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO BIDIMENSIONAL

Considere una placa plana horizontal. La placa puede dividirse en n elementos pequeños.

Figura N° 1 [Centro de gravedad de una placa]

2

Figura N° 2 [Centro de gravedad de un alambre] Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etc. Las fuerzas ejercidas por la tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con W1, W2… Wn. Fz=¿ W =∆ W 1+ ∆ W 2+ …+∆ Wn ∑¿

Para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es: My ´x W =¿ x 1 ∆ W 1+ x 2 ∆ W 2+…+ xn ∆ Wn ∑¿ Mx ´y W =¿ y 1 ∆ W 1+ y 2 ∆ W 2+ …+ yn ∆ Wn ∑¿

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Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento y se obtienen las siguientes expresiones: W =∫ dW

´x W =∫ x dW ´y W =∫ y dW

A partir de esto se introduce un concepto que está muy relacionado con la determinación del centro de gravedad de una placa o de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea. CENTROIDE DE UN ÁREA O DE UNA LÍNEA En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como: ∆ W =γt ∆ A Donde: γ =¿ peso específico (peso por unidad de volumen) del material

 

t= espesor de la placa ∆ A área del elemento



En forma similar, se puede expresar la magnitud W del pe so de to da la placa como: W =γtA 

Donde A es el área total de la placa.

Si se usan las unidades del SI, se debe expresar a γ en N/m3, a t en metros y a las áreas ∆ A y A en metros cuadrados; entonces, los pesos ∆ W y W estarán expresados en Newton. Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite:

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Estas ecuaciones definen las coordenadas

´x

y

´y

del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son ´x y ´y también se conoce como el centroide C del área A de la placa:

Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área. En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ∆ W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como: ∆ W =γα ∆ L Donde: γ =peso específico del material



α =área de la sección transversal del alambre ∆ L =longitud del elemento

 

El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define la forma del alambre:

5

Las coordenadas

´x

y

´y

del centroide de la línea L se obtienen a partir de las

ecuaciones:

y  En las siguientes tablas se muestran los centroides de formas comunes de áreas y de líneas:

6

7

EJERCICIOS: PROBLEMA N° 1

 La figura mostrada está hecha a partir de un pedazo de alambre delgado y homogéneo. Determine la ubicación de su centro de gravedad. Solución:  Como la figura está hecha de un alambre homogéneo, su centro de gravedad coincide con el centroide de la línea correspondiente. Por tanto, se determinará dicho centroide. Si se seleccionan los ejes mostrados, con origen en A, se determinan las coordenadas del centroide de cada segmento de línea y se calculan los primeros momentos con respecto a los ejes coordenados.

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SEGMENT O

L(in)

AB BC CA

24 26 10

∑ L=60

´x

12 12 0

´y (in

(in) ) 0 5 5

´x L (in2)

288 312 0

∑ ´x L=600

´y L(in2)

0 130 50

∑ ´y L=180

Con la sustitución de los valores obtenidos en la tabla, en las ecuaciones que defınen el centroide de una línea compuesta, se obtiene: 60∈¿ ¿ ´x ∑ L=∑ ´x L ´x ¿

60∈¿ ¿ ´y ∑ L=∑ ´y L ´y ¿

PROBLEMA N° 2

 Localice el centroide del área plana que se muestra en la figura.

Solución:

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´x

A(in2)

´y (in)

(in)

´x A(in3)

´y A(in3)

1

1 x 12 x 15=90 2

8

5

720

450

2

21 x 15=315

22,5

7,5

7087,5

2362,5

7807,5

2812,5

∑

405,00

´x =

∑ ´x A = 7807,5 ´x =19,28∈¿ ∑ A 405,00

´y =

∑ ´´y A = 2812,5 ´y =6,94∈¿ ∑ A 405,00

PROBLEMA N° 3

 Localice el centroide del área plana que se muestra en la figura:

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Solución:

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A (C 1)=14∗20=280 ¿2 2

A ( C 2 )=−π ( radio ) =−16 π

A(in²) C1 C2

∑❑

280 -16π 229,73

´x (¿)

7 6

´x =

∑ ´x A = 1658,41 =7,22∈¿ ∑ A 229,73

´y =

∑ ´y A = 2198,8 =9,56∈¿ ∑ A 229,73

´y (¿)

10 12

´x∗A(¿3) 1960 -301,59 1658,41

´y∗A (¿3 ) 2800 -603,19 2196,8

PROBLEMA N° 4  Una viga compuesta se construye empernando cuatro placas a cuatro ángulos de 60 X 60 X 12 mm, como se muestra en la figura, los pernos están igualmente espaciados a lo largo de la viga, la cual soporta una carga vertical. Como se demuestra en la mecánica de materiales las fuerzas cortantes ejercidas sobre los pernos en A y B son proporcionales a los primeros momentos con respecto al eje centroidal x de las áreas sombreadas en rojo que se muestran respectivamente en las partes a y b de las figuras, si se sabe que la fuerza ejercida sobre el perno A es de 280 N , determine la fuerza ejercida sobre el perno en B.

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Solución:  Se determinan las reacciones en x que se dan en B y en A, que son proporcionales a F, FA, FB. FA F = B Q XA Q XB

F B=

Q XB∗F A Q XA

XA=¿ ( 225 mm+6 mm ) ( 300 mm∗12 mm ) Q¿ XA=¿ 831600 mm3 Q¿ XB=¿Q XA + ( 450 mm−12 mm ) ( 48 mm∗12 mm ) +(225 mm−30 mm)(12.∗60 mm) Q¿ XB=¿1364688 mm Q¿

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3

3

1364688 mm ∗280 N F B= 3 831600 mm B=¿ 459 N F¿

ARTICULOS CIENTIFICOS [ Adjunto archivo al envió del documento la imagen del mapa conceptual donde se encuentran descritos los artículos científicos respectivos al tema de consulta. ]

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BIBLIOGRAFÍA

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Beer, Johnston, Mazurek. Ingenieros. : McGrawHill.

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edición).

Mecánica

Vectorial

para