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Rocío ÁLVAREZ-REMENTERÍA MUÑOZ – ETSII – UPM

APUNTES MCIOII: SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS: 1- CONCEPTOS GENERALES: SISTEMAS: conjunto de elementos unidos por relaciones de interacción o interdependencia que buscan un objetivo común. ATRIBUTO: propiedad de un elemento del sistema. ACTIVIDAD: todo proceso que provoque un cambio del sistema.

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ESTADO: descripción en un instante determinado de: Elementos Atributos Actividades MODELO: representación externa y explícita de parte de la realidad, tal y como es percibida por un conjunto de gente que quiere usarlo para entender, modificar, gestionar o controlar dicha parte de la realidad.

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1.1. TIPOS DE SISTEMAS: Sistemas estáticos y dinámicos: en función de si varían a lo largo del tiempo. Sistemas deterministas y estocásticos: en función de si el comportamiento se puede estimar o es aleatorio. Sistemas continuos y discretos: en función de si los cambios de las variables de estado son de forma continua a lo largo del tiempo o en ciertos instantes concretos. 1.2. ¿CÓMO PODEMOS ANALIZAR UN SISTEMA? Experimentación con el sistema real. Experimentación con un modelo del sistema: - Modelo físico. - Modelo matemático: a) Solución analítica. b) Simulación numérica. Los modelos físicos están formados por una estructura material que tiene unas características, en cuanto al objeto de estudio, similares a las del sistema real. Ejemplo de ello: una maqueta de un edificio, un circuito eléctrico que represente la red de distribución de agua en una ciudad… Un modelo matemático representa el sistema por medio de relaciones lógicas y cuantitativas entre sus variables de estado. Si el modelo es excesivamente complejo o inabordable, habrá que recurrir a una simulación, que consiste en proporcionar una serie de valores a determinadas variables de estado y calcular cuál es el valor resultante para el resto de variables.

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1.3. NECESIDAD DE LA SIMULACIÓN: -

En los sistemas continuos las variables de estado representan la tasa o velocidad de cambio de otras variables de estado. Esto implica que en la formulación matemática haya EDOs, lo que hace difícil o imposible la resolución analítica.

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En los sistemas discretos aparecen fenómenos aleatorios que sólo se pueden representar en términos probabilistas. Esto implica que en su formulación matemática aparezcan funciones de distribución o de densidad de probabilidad, que dificultan o impiden su resolución analítica.

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En otras ocasiones, resolver un modelo no es viable en tiempos razonables. Por estas tres razones, la simulación surge como alternativa cuando no es posible modelar sistemas de forma analítica o cuando, siendo esto posible, no se puede resolver el modelo correspondiente. 1.4. FASES EN UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN: 1- Definición de objetivos (traduciéndolos de cualitativos a cuantitativos) y del sistema (con sus elementos, atributos y actividades) 2- Modelo conceptual: modelo lógico y matemático del sistema real. Un modelo debe tener únicamente el grado necesario de detalle que refleje la esencia del funcionamiento del sistema desde el punto de vista del propósito para el que se utiliza dicho modelo. De hecho, introducir un alto nivel de detalle no siempre da lugar a mejoras significativas y aumenta el tiempo de computación. 3- Validación: comprobar si el modelo refleja fielmente las características del sistema que representa. 4- Modelo comunicativo: es una interfaz que sirve para transmitir desde los diseñadores hacia los programadores de forma eficaz y eficiente los objetivos del modelo conceptual. 5- Construcción y verificación del modelo informático: seleccionar el lenguaje de programación que se va a utilizar. Se puede optar por un lenguaje de propósito general (C, Fortran, Pascal…) o bien por un lenguaje desarrollado especialmente para la simulación (Simio, Arena, AnyLogic…) 6- Validación: validar mediante la ejecución de una serie de experimentos piloto. 7- Explotación y diseño de experimentos: se deben definir los experimentos a realizar. También hay que determinar las condiciones iniciales: longitud de la simulación, número de repeticiones, resultados que se deben registrar… 8- Elaboración de la documentación e implantación de los resultados: es importante recalcar las hipótesis sobre las que se ha construido el modelo. Cuánto mejor documentado y más verosímil sea un modelo de simulación, más probabilidad tendrá de ser utilizado (será más creíble). PREGUNTA TEST: AL EJERCICIO DE DETERMINAR SI UN MODELO DE SIMULACIÓN ESTÁ CORRECTAMENTE PROGRAMADO SE LE DENOMINA… VERIFICACIÓN. PREGUNTA TEST: EXPLICA QUÉ SE ENTIENDE CUANDO SE DICE QUE UN MODELO ES CREÍBLE: 2

Rocío ÁLVAREZ-REMENTERÍA MUÑOZ – ETSII – UPM UN MODELO ES CREÍBLE CUANDO LOS GESTORES DEL SISTEMA DEPOSITAN CONFIANZA EN ÉL PARA TOMAR DECISIONES RELATIVAS AL SISTEMA. SI ESTOS NO HAN COLABORADO EN EL ESTUDIO DE SIMULACIÓN O SE HAN MOSTRADO DESCONFIADOS, EL ESTUDIO RECIBIRÁ POCA DECISIÓN PROBABLEMENTE. PREGUNTA TEST: EXPLICAR AL MENOS DOS RAZONES POR LAS QUE LA INTERACCIÓN FRECUENTE CON EL DECISOR DEL SISTEMA AL QUE REFIERE EL ESTUDIO DE SIMULACIÓN FACILITA EL DESARROLLO DE MODELOS VÁLIDOS:

1. AYUDAN A DEFINIR DE FORMA PRECISA LOS OBJETIVOS DEL ESTUDIO SI AÚN NO ESTÁN BIEN DEFINIDOS. 2. APORTAN SU CONOCIMIENTO LO QUE AYUDA A GARANTIZAR QUE EL MODELO REPRESENTA DE FORMA FIEL EL SISTEMA REAL. POR EJEMPLO, IDENTIFICAR QUE HIPÓTESIS SON ADMISIBLES Y CUÁLES NO. 3. ADEMÁS, OTRA DE LAS VENTAJAS DE INTERACCIÓN CON LOS GESTORES ES LA MAYOR IMPLICACIÓN DE LOS MISMOS, QUE SE TRADUCE EN UNA MAYOR CREDIBILIDAD DEL MODELO. PREGUNTA TEST:

V O F: LA CREDIBILIDAD DE UN MODELO RADICA FUNDAMENTAL Y CASI

EXCLUSIVAMENTE EN EL RIGOR DESARROLLADO POR EL EQUIPO DE PROYECTO EN LO QUE SE REFIERE O LA VALIDEZ DEL MODELO Y LA MEDIDA EN QUE SE CUMPLEN LOS OBJETIVOS DEL PROYECTO CON EL OBJETIVO DESARROLLADO: FALSO. PREGUNTA TEST: EXPLICA ALGÚN EJEMPLO DE TÉCNICA DE VALIDACIÓN QUE PODEMOS APLICAR A UN MODELO DE SIMULACIÓN PARA LA GESTIÓN DE STOCKS:

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DETERMINACIÓN DEL NIVEL DE DETALLE ADECUADO Y ACORDE CON LOS OBJETIVOS DE ESTUDIO NECESARIOS PARA ACUMULAR LOS DISTINTOS STOCKS.

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RECOGIDA DE INFO CORRECTA: A PARTIR DE DATOS HISTÓRICOS, TOMAS DE TIEMPO ADICIONALES PARA LA REALIZACIÓN DEL MODELO O MEDIANTE LA OPINIÓN DE EXPERTOS. INTERACCIÓN CON LOS GESTORES Y EXPERTOS: PUEDEN AYUDAR A DEFINIR DE FORMA EFICAZ LOS OBJETIVOS DE ESTUDIO Y APORTAN SU CONOCIMIENTO PARA AYUDARNOS A GARANTIZAR UN MODELO FIEL AL SISTEMA REAL.

1.5. VENTAJAS DE LA SIMULACIÓN: 1) A veces la simulación es la única vía para estudiar un sistema. 2) Permite estimar el comportamiento de un sistema existente bajo un conjunto previsto de condiciones operativas. 3) Puedo hacer experimentos para valorar distintas alternativas para conseguir el objetivo formulado. 4) La simulación permite estudiar un sistema cuya evolución es muy dilatada en el tiempo en un periodo de tiempo reducido.

1.6. INCONVENIENTES DE LA SIMULACIÓN: 1) Hay que realizar muchas repeticiones para obtener una muestra representativa del estudio del sistema. 2) Los modelos de simulación consumen una cantidad elevada de recursos técnicos y humanos durante un tiempo prolongado. 3) Si un modelo de simulación no proporciona una representación “válida” del sistema real, la información que suministra puede conducir a toma de decisiones erróneas. 3

Rocío ÁLVAREZ-REMENTERÍA MUÑOZ – ETSII – UPM PREGUNTA TEST:

¿POR QUÉ NECESITO MÁS DE UNA REPLICACIÓN PARA OBTENER UNA VARIABLE DE

SALIDA?

CADA EJECUCIÓN DE UN MODELO ESTOCÁSTICO DE SIMULACIÓN DA COMO RESULTADO ÚNICAMENTE UNA ESTIMACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS O COMPORTAMIENTO DEL MODELO PARA UN CONJUNTO PARTICULAR DE VALORES DE VARIABLES DE ENTRADA. HAY QUE REALIZAR UNA SERIE DE REPLICACIONES PARA OBTENER UNA MUESTRA REPRESENTATIVA DEL SISTEMA.

1.7. SIMULACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS: Los sistemas productivos evolucionan a lo largo del tiempo, es decir, tienen una naturaleza dinámica. En cuanto a cómo evolucionan, es cierto que algunos lo hacen de forma continua, pero otros son discretos ya que los cambios de estado se producen en instantes concretos (llegada de materia prima, de clientes, inicio y finalización de fabricación de lotes…).

1.8. ¿CÓMO AVANZA EL TIEMPO EN UNA SIMULACIÓN? Como ya hemos explicado antes, una de las ventajas que nos ofrece la simulación es el poder estudiar un sistema cuya evolución en el tiempo es muy dilatada en un periodo de tiempo reducido. Esto es porque durante la simulación se lleva a cabo un registro del valor actual del tiempo simulado mientras se desarrolla el experimento de simulación, así como un mecanismo para hacer avanzar este tiempo de un valor a otro. Por así decirlo, es como si tuviésemos la capacidad de viajar hacia el futuro en un instante y guardar en nuestra memoria el tiempo que realmente hubiésemos necesitado para llegar a ese momento. A la variable que determina el tiempo actual en un experimento de simulación se le suele llamar “reloj” y su unidad de tiempo no corresponde con los minutos, sino con la unidad utilizada para las variables de entrada. NOTA: No suele existir ninguna correspondencia entre la unidad de tiempo elegida y el tiempo del ordenador necesario para ejecutar un experimento de simulación.

1.8.1. INTERVALOS DE TIEMPO VARIABLES: Para entender bien cómo funciona hay que definir primero los siguientes conceptos: -

Estado del sistema: conjunto de variables de estado necesarias para describir un sistema en un instante determinado de tiempo. Reloj: variable que recoge el valor actual del tiempo simulado. Lista de sucesos: lista que recoge el siguiente instante en que va a ocurrir cada tipo de suceso. Estadísticas: variables utilizadas para almacenar información estadística sobre el funcionamiento del modelo. Rutina de inicialización: subprograma para inicializar el modelo de simulación en el instante 0.

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Rutina de tiempo: subprograma que determina el siguiente suceso de la lista de sucesos y avanza el reloj al instante en que este suceso se produce. Rutina de sucesos: subprograma que actualiza el estado del sistema cuando ocurre un tipo particular de suceso (existe una rutina de sucesos para cada tipo de sucesos). Librería de rutinas: conjunto de programas utilizados para generar observaciones aleatorias de las distribuciones de probabilidad correspondientes a los sucesos aleatorios del modelo. Generador de informes: subprograma que, a partir de las estadísticas, calcula las estimaciones de las medidas de funcionamiento del modelo y produce un informe cuando ha terminado la simulación. Programa principal: subprograma que llama a la rutina de tiempo para determinar la ocurrencia del próximo suceso y transfiere el control a la rutina de sucesos correspondiente para actualizar el estado del sistema. También chequea la terminación del experimento y llama al generador de informes cuando el experimento ha terminado.

En el caso de intervalos de tiempos variables, se inicializa el reloj a cero (rutina de inicialización) y se determinan los instantes de ocurrencia de los sucesos de cada tipo más cercanos en el tiempo (la rutina de tiempo localiza en la lista de sucesos los sucesos próximos). Seguidamente se avanza rápido en el tiempo hasta el suceso próximo (la rutina de tiempo). A continuación, toca actualizar el estado del sistema (la rutina de sucesos). Detrás de todas estas rutinas, está el programa principal gestionando las llamadas a dichas rutinas. Después, el programa principal chequea la terminación del experimento y avisa al generador de informes. 1.8.2. INTERVALOS DE TIEMPO FIJOS: Este método es más sencillo. El reloj avanza en incrementos de igual valor y después de cada intervalo se chequea si han ocurrido sucesos. Considera que los sucesos han ocurrido al final del intervalo y acorde a ello, se actualiza el estado del sistema. Esto hace que tenga dos desventajas: -

Error cometido al suponer que los sucesos ocurren al final del intervalo. Si ocurren varios sucesos en un intervalo, no sabemos cuál ha ocurrido primero.

Podemos paliar estos dos fallos creando intervalos de tiempo muy pequeños, pero esto hará que aumente el tiempo de ejecución del modelo. PREGUNTA DEL TEST: INDICAR AL MENOS 5 ELEMENTOS DE LOS QUE ESTÁ COMPUESTO UN MODELO DE SIMULACIÓN DE EVENTOS DISCRETOS: RELOJ, LISTA DE SUCESOS, RUTINA DE SUCESOS, ESTADÍSTICAS, PROGRAMA PRINCIPAL, GENERADOR DE INFORMES, RUTINA DE TIEMPO, RUTINA DE INICIALIZACIÓN, ESTADO DEL ESTEMA.

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Rocío ÁLVAREZ-REMENTERÍA MUÑOZ – ETSII – UPM 1.9. VARIABLES DE ENTRADA, DE SALIDA Y PARÁMETROS DE DISEÑO: Como hemos comentado antes, al realizar un estudio de simulación es importante definir el sistema y los objetivos que se pretenden conseguir con el estudio. Esto es debido a que necesitamos: -

Un nivel de detalle adecuado (ni pobre ni abundante). Una definición clara de los objetivos y la definición precisa del problema. Unas variables de salida adecuadas.

PREGUNTA DE TEST: V O F: DESARROLLAR CON UN ELEVADO NIVEL DE DETALLE EL MODELO DE SIMULACIÓN PUEDE TENER EFECTOS SOBRE EL TIEMPO DE EJECUCIÓN DEL MODELO

(DETERIORÁNDOLO) SIN PROPORCIONAR UNA MEJORA SIGNIFICATIVA DE LA MEDIDA EN LA QUE EL MODELO REPRESENTA EL SISTEMA ESTUDIADO.  VERDAD VERDADERA. PREGUNTA DE TEST: ERRORES FRECUENTES EN EL DESARROLLO DE ESTUDIOS DE SIMULACIÓN:

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FIJAR UN NIVEL DE DETALLE INADECUADO PARA EL MODELO. USAR FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN NO ADECUADAS PARA LOS FENÓMENOS QUE TIENEN LUGAR EN EL SISTEMA OBJETO DE ESTUDIO. NO DEFINIR CORRECTAMENTE LOS OBJETIVOS DE ESTUDIO. ANALIZAR LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN CONSIDERANDO, EN LAS FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UTILIZADAS, QUE TODOS LOS VALORES SON INDEPENDIENTES. REALIZAR UN NÚMERO DE REPETICIONES MENOR AL NECESARIO Y CONSIDERAR SIGNIFICATIVOS LOS RESULTADOS OBTENIDOS.

Variables de entrada: son aquellas que corresponden a fenómenos del sistema real sobre las que no tenemos ningún control. Parámetros de diseño: representan aquellas características del sistema sobre las que se tiene control y que determinan la configuración del sistema. Variables de salida: son aquellas que permiten caracterizar el sistema para una determinada configuración y que están estrechamente ligadas a los objetivos de estudio. PREGUNTA DEL TEST: INDICAR UN POSIBLE ERROR COMETIDO AL EXPLOTAR UN MODELO DE SIMULACIÓN EN LO RELATIVO AL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LAS VARIABLES DE SALIDA. REALIZAR UN NÚMERO DE REPETICIONES MENOR AL ADECUADO Y CONSIDERAR SIGNIFICATIVOS LOS RESULTADOS OBTENIDOS. ANALIZAR LOS DATOS RESULTANTES DE LA SIMULACIÓN CONSIDERANDO, EN LAS FÓRMULAS ESTADÍSTICAS UTILIZADAS, QUE TODOS LOS VALORES SON INDEPENDIENTES.

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2- REPASO DE ESTADÍSTICA: a. VARIABLES ALEATORIAS: De una variable determinista se sabe con certeza qué valor toma. Sin embargo, de una variable aleatoria no se sabe con certeza qué valor toma, pero si se puede tomar valores dentro de un determinado rango, de tal manera que existe una determinada probabilidad de que la variable tome un determinado valor dentro de dicho rango. Podemos clasificarlas en función de: -

El tipo de valores que toman: continuas o discretas. El origen de los datos: empíricas o teóricas.

PREGUNTA DE TEST: UNA FUNCIÓN EMPÍRICA DEVUELVE VALORES FUERA DEL RANGO GENERADO POR LOS VALORES MAYOR Y MENOR  FALSO. EN LAS EMPÍRICAS, LA PROBABILIDAD ASIGNADA A CADA POSIBLE VALOR DE LA VARIABLE ALEATORIA SE FORMULA A PARTIR DE OBSERVACIONES DEL PROPIO SISTEMA OBJETO DE ESTUDIO.

b. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN, FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Y FUNCIÓN DE DENSIDAD: -

Acumulada: dada una variable aleatoria X, la función de distribución relaciona cada posible valor de la variable aleatoria con la probabilidad de que dicha variable aleatoria tome un valor menor o igual que aquél. Es decir: F(X)= p(X