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• Jhonny Romero

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ciencias Naturales y Matemática Escuela Profesional de Física SEMESTRE 2019-A

MECÁNICA CUÁNTICA I Ejercicios 1 1.

Escriba la ley de distribución de Planck en términos de la longitud de onda 𝜆, y demuestre que ∞

2𝜋5 𝑘 4

∫0 𝐼(𝜆)𝑑𝜆 = 15𝑐 2 ℎ3 𝑇 4 , donde 𝐼(𝜆) es la intensidad de la radiación emitida por un cuerpo negro dada por la ley de Planck. 2.

Dada la expresión para la densidad de energía de radiación 𝑢(𝜈, 𝑇) =

8𝜋ℎ 𝜈3 𝑐 3 𝑒 ℎ𝜈/𝑘𝑇 −1

, calcule la

densidad de energía en un intervalo de longitudes de onda Δ𝜆. Use su expresión para calcular 𝜆 = 𝜆𝑚𝑎𝑥 , para la cual esta densidad es máxima. Mostrar que 𝜆𝑚𝑎𝑥 es de la forma 𝑏/𝑇, calcule b y use 6000 K como un estimado para la temperatura de la superficie del Sol para calcular 𝜆𝑚𝑎𝑥 de la radiación solar. 3.

Un fotón con longitud de onda 𝜆 se dispersa por un electrón libre en el punto A (ver figura) y produce un segundo fotón con longitud de onda 𝜆′. Este fotón a su vez se dispersa por colisión con otro electrón libre en el punto B, produciendo un tercer fotón con longitud de onda 𝜆′′ y que se mueve en una dirección directamente opuesta a la del fotón original, como se muestra en la figura. Determine el valor numérico de Δ𝜆 = 𝜆′′ − 𝜆.

4.

Considere la posibilidad de la dispersión de Compton de un fotón debida a un electrón en movimiento. Antes de la colisión, el fotón tiene una longitud de onda 𝜆 y se mueve en la dirección +𝑥, y el electrón se mueve en la dirección −𝑥 con energía total E (incluida su energía de reposo 𝑚𝑐 2 ). El fotón y el electrón chocan de frente. Después de la colisión, ambos se mueven en la dirección −𝑥 (es decir, el fotón se ha dispersado por 180°). Deduzca una expresión para la longitud de onda 𝜆′ del fotón dispersado. ¿Qué ocurre si 𝐸 ≫ 𝑚𝑐 2 ?

5.

Un átomo de berilio triplemente ionizado, Be3+ (un átomo de berilio al que se le quitan tres electrones), se comporta en forma muy parecida al átomo de hidrógeno, pero la carga nuclear es cuatro veces mayor. a) ¿Cuál es la energía del nivel fundamental del Be3+? ¿Cómo se compara con la energía del nivel fundamental del átomo de hidrógeno? b) ¿Cuál es la energía de ionización del Be3+? ¿Cómo se compara con la energía de ionización del átomo de hidrógeno? c) Para el átomo de hidrógeno, la longitud de onda del fotón emitido en la transición de n=2 a n=1 es 122 nm. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón emitido, cuando un ion Be 3+ sufre esta transición? d) Para un valor dado de n, ¿cómo se compara el radio de una órbita del Be 3+ con el correspondiente del hidrógeno?

6.

El muón negativo tiene una carga igual a la de un electrón, pero su masa es 207 veces mayor. Considere un átomo hidrogenoide que consiste de un protón y un muón. a) ¿Cuál es la masa reducida del átomo? b) ¿Cuál es la energía del nivel fundamental (en eV)? c) ¿Cuál es la longitud de onda de la radiación emitida en la transición del nivel n=2 al nivel n=1?

7.

Encontrar 𝜓(𝑥, 0) para un paquete de ondas gaussiano 𝜙(𝑘) = 𝐴𝑒𝑥𝑝 [−

𝑎 2 (𝑘−𝑘0 )2 ], donde 4

A es

un factor de normalización. Calcular la probabilidad de encontrar a la partícula en la región 𝑎 − 2 ≤ 𝑥 ≤ +𝑎/2. 8.

Encontrar 𝜙(𝑘) para un paquete de ondas cuadrado: 𝜓0 (𝑥) = {

𝐴𝑒 𝑖𝑘0 𝑥 , 0 ,

|𝑥| ≤ 𝑎 |𝑥| > 𝑎

Hallar el factor A tal que 𝜓(𝑥) esté normalizado. 9.

Determinar cómo el paquete de ondas correspondiente a una partícula libre, con un paquete 𝑎2

1/4

gaussiano inicial, se desdobla en el tiempo. Usar: 𝜙(𝑘) = (2𝜋)

𝑒𝑥𝑝 [−

𝑎 2 (𝑘−𝑘0 )2 ]. 4

10. Usando la expresión para calcular los valores esperados de funciones de x, dada por: 〈𝑓(𝑥)〉 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑃(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = ∫ 𝜓 ∗ (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥)𝜓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 determinar la expresión para el momentum lineal de una partícula como una representación en términos de un operador. 11. Una partícula en una caja unidimensional, de ancho a, se encuentra en un estado fundamental. Calcular la probabilidad de encontrar a la partícula en el intervalo Δ𝑥 en torno al punto 𝑥 = 𝑎/2. 12. Considere una partícula de masa m en una dimensión en el estado 𝜓(𝑥, 𝑡) = 1/4 −𝑥2 /(4𝑎2 +2𝑖ℏ𝑡/𝑚) 8𝑎2 𝑒 ) . 𝜋 √4𝑎2 +2𝑖ℏ𝑡/𝑚

(

a) Encontrar la densidad de probabilidad 𝜌𝐴 (𝑥, 𝑡). ¿Qué ocurre con

dicha densidad cuando 𝑡 → ∞? b) Calcule las incertidumbres ∆𝑥 y ∆𝑝. c) Hallar la función de onda correspondiente en el espacio de momentos. 13. Una partícula está encerrada en una caja cúbica de lado a. Calcular la incertidumbre de su momentum y la energía mínima. 𝜋𝑥 𝑖𝐸𝑡 𝑎 𝑎 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑒 ℏ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 – < 𝑥 < 𝑎 2 2 Ψ(𝑥, 𝑡) = { 𝑎 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < − 𝑦 𝑥 > 𝑎/2 2 14. Una partícula en el espacio libre está inicialmente descrita por un paquete de ondas dado por 𝛼 1/4 2 𝜓(𝑥) = ( ) 𝑒 −𝛼𝑥 /2 𝜋 ¿Cuál es la probabilidad de que su momentum esté en el intervalo comprendido entre p y p+dp? ¿Cuál es el valor de expectación de la energía?

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