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• Isabel Quispe

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Universidad Nacional de Trujillo Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas Departamento de Matem´aticas

Pr´ actica 3: Matrices Elementales - Inversas 1. Hallar la matriz elemental E tal que EA = B para cada caso siguiente:  2 4  a) A = 1 4 0 3



2 1  b) A =  −4 2

  5 2 2 1   7 −2 y B = 1 4 −1 4 0 3

3 −2 2 8

  −4 5   3 1 yB= 2 3 2

2

2 −2 3 8

6 7 −1

 −2  −2 4

 3 3   5 2

 1  c) A = 3 5  1  d) A = 0 5  1  B = 0 0

   2 −5 −6    4 y B =  3 4 . 6 5 6  −2 −5 2  −1 3 4 y 0 2 7  2 −5 2  −1 3 4 10 27 −3

2. En los siguientes problemas escriba la matriz elemental de 3 × 3 que realice las operaciones fila dadas sobre una matriz A de 3 × 5 mediante multiplicaciones por la izquierda: a) F2 −→ F2 + 4F1 .

c) F1 −→ F1 + 3F2 .

b) F3 −→ −2F3 .

d ) F3  F1

 1 2  3. Sean A = 1 0 1 −1 permita transformar

  3 1 0   1 , B = 1 −2 1 1 −3 a A en B y otra que

  3 1   1 y C = 0 1 1 transforme B en

 0 3  −2 −2. Encontrar una operaci´on elemental que −3 1 C. Transforme a C en I3 .

4. Demuestre que E es una matriz elemental si y s´olo si E T lo es. 5. Sea A una matriz m × n. Demostrar que si B puede obtenerse a partir de A mediante una operaci´on elemental fila, entonces B T puede obtenerse a partir de AT mediante la operaci´on elemental fila correspondiente. matriz elemental del tipo 1(intercambio de filas), entonces E 2 = In  b c  d e  donde adf ̸= 0. Escriba a A como producto de seis matrices elementales. 0 f   1 0 0   8. Escriba la matriz A =  2 3 0 como el producto de matrices elementales y de una matriz triangular −1 4 1 superior.   a1  a2     ..    9. Encuentre la inversa de la matriz A = In .  donde In es la matriz identidad de orden n × n.    an  6. Si En es una  a  7. Sea A = 0 0

0

···

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10. Determine si las siguientes matrices tienen inversa. Si la tienen calcular la inversa de cada una de ellas y expresarlas como el producto de matrices elementales:

2  2 0  a) 0 3 0 0

 0  0. 4



1 6  b) −2 3 7 12 

2 −2 −1 1  11. Dada la matriz A =  3 1 0 2 lonada.

6 −2 −3 0

 2  5 . −4

 2 4   determine las matrices elementales que la reducen a una matriz esca0 0

12. De un ejemplo donde se muestre que el producto de matrices elementales no es necesariamente una matriz elemental.   0 −1 a   13. Determine para que valores de a ∈ R la matriz A = −1 1 1  tiene inversa y calcule la inversa si existe. 2 1 −2 14. Si An×n es una matriz triangular superior. Demuestre que si cada uno de sus elementos diagonales son diferentes de cero, entonces A es invertible. [ ] a b 15. La matriz A = es no-singular si y s´olo si ad − bc ̸= 0. Si esta condici´on se cumple demuestre que c d [ ] A−1 =

−b ad−bc a ad−bc

d ad−bc −c ad−bc

.

16. Si A y B son no singulares, ¿son tambi´en no singulares A + B; A − B y −A?. 17. Demuestre que si A es una matriz sim´etrica, entonces A−1 es sim´etrica. 18. Sea A una matriz diagonal con entradas diagonales, a11 , a22 , · · · , ann , todas diferentes de cero. Muestre que A es no singular y que A−1 tambi´en es diagonal con entradas diagonales 1/a11 , 1/a22 , · · · , 1/ann . 19. Diga cual es el efecto neto de llevar a cabo la siguiente serie de operaciones elementales fila sobre una matriz (con al menos dos filas)? F2 + F1 , F1 − F2 , −F1 . 20. Hallar elementales fila que convierten a A en B.  la secuencia de matrices   2 0 −1 3 1 −1     A =  1 1 0  , B = 3 5 1 . −1 1 1 2 2 0 21. Hallar la inversa de las siguientes matrices si existen:  1 2  a) A =  1 3

2 4 2 1

3 −6 −3 0

 4 2  . 1 1



2 1  b) M =  −1 3

1 1 1 0

3 1 −1 1

 4 −1  . 0 2

22. Si A es un matriz no singular y AB = AC, demuestre que B = C. Si AB = A y A es no singular, pruebe que B = I. 23. Para cada una de las siguientes matrices calcular el rango y la inversa, si ´esta existe: [ ] 1 2 a) . 1 1

 0  b) 1 2

 −2 4  1 −1. 4 −5

3 

 1 2 1   c) −1 1 2. 1 0 1

24.

 4  a) Demuestre que la matriz A = 2 6

 1 0 1 1  d) A =  2 0 0 −1

 1 1 −1 2   . 1 0 1 −3

 0 1  3 6  no tiene inversa. −3 −4

b) Encuentre una matriz escalonada U que es equivalente a A y escribala como el producto de matrices elementales apropiadas por U . [ ] a b 25. Sea A = y asuma que ad − bc ̸= 0. c d a) Si A ̸= 0 use el m´etodo pr´actico para hallar A−1 . De una f´ormula de A−1 en terminos de a, b, c y d. b) Verifique que la formula se cumple a´ un si a = 0. 26. Pruebe que una matriz n × n es no singular si y s´olo el u ´nico vector n × 1 que satisface el sistema Ax = 0 es x = 0.

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones lineales 1. (El modelo de entradas y salidas de Leontief en econom´ıa)Considera una situaci´on econ´omica en la que se tienen n industrias interdependientes. La salida(producci´on) de una de ellas se necesita como entrada(insumo) en otras industrias y quiz´a tambi´en en la misma industria. aij significa que la cantidad de cierto producto i se necesita para producir una unidad de cierto producto j. En este modelo se medir´a en d´olares las cantidades de entradas(insumos) y salidas(producci´on). Es decir la matriz A describe la interdependencia de las industrias. Describa el modelo matricial de entradas y salidas de Leontief. Luego apl´ıquelo para resolver los siguientes problemas:   1/5 1/5 3/10   a) Considere una econom´ıa con tres industrias con la siguiente matriz de entradas y salidas: 1/2 1/2 0 . 0 0 1/5 Se van a determinar los niveles de producci´on de las industrias, que se requieren para satisfacer la demanda       9 6 12       de las dem´as industrias y del sector p´ ublico en cada uno de los siguientes 3 casos: D = 12, 9 y 18 16 8 32 respectivamente. Las unidades de D se dan en millones de d´olares 2. (Cadenas de Markov, movimientos de poblaci´ on y gen´etica): Matriz Estoc´astica: en una matriz cuadrada cuyos elementos son probabilidades y la suma de cada una de sus columnas es 1. Si A y B son matrices estoc´asticas AB tambi´en lo es. Si A es una matriz estoc´astica en la que la suma de sus elementos de cada fila tambi´en es 1, se le llama matriz doble estoc´astica. a) Construya un modelo de movimiento de poblaci´on entre las ´areas ciudades y rurales, dado que sus poblaciones en el a˜ no 2000 son: 200 mil y 60 mil respectivamente. Las posibilidades est´an dadas por la matriz: (de) ciudad 0.99 0.01

. . 0.02 0.98

(a) rural . ciudad rural

Prediga las distribuciones poblacionales de las ciudades y rural del 2001 al 2005. Si una persona vive en la ciudad en el a˜ no 2000 ¿ Cual es la probabilidad de que siga viviendo en la ciudad en el a˜ no 2005?.

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b) La siguiente tabla da informaci´on sobre la transici´on ocupacional: (generaci´on profesional 1 0

inicial) noprofesional 0.2 0.8

. . profesional noprofesional

1) Si el padre es un trabajador no profesional.¿Cual es la probabilidad de que el hijo sea un trabajador profesional? 2) Si hay 10000 en la categor´ıa de profesional y 20000 en la categor´ıa no profesional, ¿cu´al es la distribuci´on en la generaci´on siguiente? c) En un an´alisis de mercado sobre las tendencias en las compras de autos, se ha encontrado que en promedio una familia compra nos. El patron de compra de autos peque˜ nos y grandes es: [ ] un auto nuevo cada 3 a˜ 80 % 40 % P = 20 % 60 % Los elementos de P se interpretan como sigue: la primera columna indica que de los autos peque˜ nos que hay en el momento el 80 % ser´an sustituidos por autos peque˜ nos y el 20 % por autos grandes. La segunda columna indica que el 40 % de autos grandes ser´an sustituidos por autos peque˜ nos y el 60 % por autos grandes. Escriba la matriz P de tal manera que defina una matriz estoc´astica de una cadena de Markov. Si actualmente hay 40000 autos peque˜ nos y 50000 grandes. ¿cu´al es su predicci´on de la distribuci´on en 12 a˜ nos?. 3. (Comunicaci´ on y relaciones de grupo en sociolog´ıa): Digrafo: es una colecci´on finita de v´ertices P1 , · · · , Pn junto con arcos dirigidos que unen algunos pares de v´ertices. Un camino es una sucesi´on de arcos que le permiten pasar de forma continua de un v´ertice a otro. La longitud de un camino es el n´ umero de sus arcos. A un camino de longitud n se le llama un camino n. La matriz de adyacencia de un digrafo con v´ertices P1 , · · · , Pn es tal que aij = 1 si hay un arco del v´ertice Pi al Pj y aij = 0 en cualquier otro caso. Si A es la matriz de adyacencia de un digrafo, el n´ umero de caminos m de m Pi a Pj es aij de A . La matriz  de distancia D de un digrafo est´a definida como sigue:  Nro. arcos del camino mas corto dePi aPj , .;  dij = 0, i=j;   ∞, no hay camino de Pi a Pj . a) Construya la matriz de adyacencia y la matriz de distancia de cada uno de los digrafos siguientes:

b) La siguiente matriz define una red de comunicaci´on. Dibuje la red. Determine el camino m´as corto para enviar un mensaje de: p2 a p5 y luego de p3 a p2 . Luego encuentre la matriz distancia del digrafo:   0 1 1 0 0   1 0 1 0 0   0 0 0 1 0     0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 c) Sea A la matriz de adyacencia de un digr´afo. ¿Qu´e puede saber del digrafo en cada uno de los casos siguientes: olo contiene ceros. 1) El tercer rengl´on de A s´ 2) La cuarta columna de A s´ olo contiene ceros. 3) La suma de los elementos en el quinto rengl´on de A es 3.

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4. (Redes el´ectricas)Leyes de Kirchhoff: 1) En un circuito siempre que hay una uni´on de conductores de tal forma que las cargas tengan m´as de un camino a seguir, la suma de todas las corrientes es la uni´on debe ser cero. 2) En un circuito cerrado, la suma de los cambios de voltaje es igual a la suma de las fuerzas electromotrices. Calcule las corrientes i1 , i2 , i3 para la siguiente red el´ectrica:

5. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos qu´ımicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del qu´ımico A, 12 del qu´ımico B y 8 del qu´ımico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un gal´on de la marca X contiene los qu´ımicos A B y C en las cantidades de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un gal´on de la marca B 2, 1 y 3 unidades respectivamente y un gal´on de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qu´e cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los qu´ımicos requeridos para el control de la enfermedad?. 6. Una empresa de transporte tiene 3 tipos distintos de autobuses: A,B y C. Los autobuses est´an equipados para el transporte de 2 clases de personal: clase ejecutiva(C1) y clase obrera(C2). El n´ umero de personas de cada clase que puede transportar cada autobus es: . C1 C2

A B 12 6 0 6

C 6 12

La empresa consigue un contrato para transportar 192 personas de clase C1 y 60 de clase C2. Hallar el n´ umero de autobuses de cada tipo necesarios para cumplir con el contrato asumiendo que cada autobus debe estar completamente cubierto y el n´ umero exacto de personas del contrato deben ser transportadas, Si la operaci´on de cada tipo de autobus tiene los mismos costos para la empresa. Cu´al es la soluci´on m´as econ´omica?.