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CPI – Medicina – UNI

Matemática

Lic. José Maria Paredes

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS NÚMEROS COMPLEJOS “C”

NÚMEROS REALES

NÚMEROS IMAGINARIOS

“R”

NÚMEROS RACIONALES “Q”

NÚMEROS ENTEROS “Z”

NÚMEROS NATURALES “N”

NÚMEROS IRRACIONALES “I”

NÚMEROS FRACCIONARIOS

NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS

 Números complejos: El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i ). Siendo

√

 Números Reales: Como su propio nombre indica, son todos los números, RACIONALES E IRRACIONALES.  Números Racionales: número racional es todo aquel número que puede ser expresado como razón de dos números enteros. Comúnmente es a lo que se les llama números decimales, tanto en fracción como expresado con comas.  Números Irracionales: son aquellos números que no pueden representarse en forma fraccionaria. Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo, es decir no siguen un período. Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos (  Números Enteros: Los números enteros son del tipo:

√ √

)

, etc., es decir, los

naturales y sus opuestos (negativos). Son los racionales con denominador 1.  Números Fraccionarios: son de la forma , donde

y

.

 Números Naturales: Un número natural es cualquiera de los números

que se pueden usar

para contar elementos o cosas.

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LA NUMERACIÓN Se entiende por numeración aquella parte de la Aritmética cuyo objeto consiste en expresar y escribir los números. Para representar los números utilizamos unos signos que reciben el nombre de cifras.

Sistemas de Numeración Existen infinitos sistemas de numeración, estos dependen de la base que utilizan.

Base

Sistema

2 binario 3 ternario 4 cuaternario 5 quinario 6 senario 7 septenario 8 octonario 9 nonario 10 decimal o décuplo 11 undecimal 12 duodecimal 16 exadecimal # El que utilizamos habitualmente es el sistema decimal, cuya base es 10, de ahí su nombre. # La base indica la cantidad de cifras que se pueden utilizar en un sistema dado. Por ejemplo el sistema decimal utiliza diez cifras: # El sistema binario utiliza dos cifras: # Cuando la base del sistema es mayor que 10, las cifras que son iguales o mayores que 10 suelen representarse por medio de letras: la A representa el 10, la B el 11, la C el 12, la D el 13, y así sucesivamente. VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO DE UNA CIFRA El valor absoluto es el número de unidades que la cifra tiene por sí sola y el valor relativo es el que tiene la cifra de acuerdo con el lugar que ocupa en el número. Ejemplo En el número 925, el valor absoluto de la cifra 2 es 2 y su valor relativo es 20 porque ocupa el lugar de las decenas. Conversión de un número de un sistema a otro Primer Caso Convertir un número escrito en el sistema decimal a otro sistema distinto Regla Se divide el número y los sucesivos cocientes por la base del nuevo sistema, hasta llegar a un cociente menor que el divisor. El nuevo número se forma escribiendo de derecha a izquierda el último cociente y todos los residuos colocados a su izquierda, de uno en uno, aunque sean ceros.

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Ejemplos:  Convertir al sistema binario el número decimal

 Convertir 3.898 al sistema duodecimal.

30.

Segundo Caso Convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal al decimal. Regla Se multiplica la primera cifra de la izquierda del número dado por la base y se suma con este producto la cifra siguiente. El resultado de esta suma se multiplica por la base y a este producto se le suma la tercera cifra y así sucesivamente hasta haber sumado la última cifra del número dado. Ejemplos:  Convertir el número

al sistema decimal

 Convertir el número

al sistema decimal.

Tercer Caso Convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal a otro sistema que no sea el decimal. Regla Se reduce el número dado primero al sistema decimal y de éste al sistema pedido.

Ejemplos:  Convertir

el

número

al

sistema

 Convertir

al sistema de base

.

cuaternario

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Actividades

1) En un número de seis cifras, hay dos dígitos 5, uno de ellos en las centenas y el otro en las centenas de mil. Determinar la diferencia entre los valores relativos de los dígitos 5. 2) De un lugar en que se emplea el sistema binario nos remiten

bultos postales. ¿Cómo

escribiremos ese número? 3) De México enviamos a un comerciante que emplea el sistema duodecimal

barriles de aceite. ¿Cómo

escribirá ese número dicho comerciante?

4) Pedimos 18 automóviles a una persona que emplea el sistema de base 18. ¿Cómo escribe ese individuo el número de automóviles que nos envía? 5) Un comerciante que emplea el sistema quinario pide 4320 sombreros a otro que emplea el sistema de base 13. ¿Cómo escribirá ese comerciante el número de sombreros que envía el primero? Convertir al sistema decimal 1) 2) 3) 4) 5) Convertir al sistema indicado 1)

al sistema nonario.

2)

al sistema duodecimal.

3)

al sistema de base

.

4)

al sistema de base

5)

al sistema de base .

6)

al sistema de base

7)

.

al sistema ternario.

8)

al sistema quinario.

9)

al sistema de base

10)

.

al sistema de base

. .

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LA NUMERACIÓN ROMANA Es el sistema de representación de los números empleado por los romanos. En la actualidad se usa muy poco. Solamente se emplea para fechas, algunas veces; para numerar los capítulos de una obra; en algunos relojes, etc. Símbolos y sus Valores  I 1

 X  10

 C  100

 V 5

 L  50

 D  500

 M  1000

Además, una rayita colocada encima de la letra indica tantos millares como unidades tenga ese símbolo; dos rayitas encima de cualquier símbolo indican tantos millones como unidades tenga el símbolo; cuatro rayitas, tantos billones como unidades indique el símbolo; seis rayitas tantos trillones como unidades tenga el símbolo.

Reglas para la representación de los números 1) Si a la derecha de una cifra colocamos otra igual o menor, el valor de la primera queda aumentado con el de la segunda. 2) Si a la izquierda de una cifra colocamos otra menor, el valor de esta se resta de la anterior. 3) Nunca se pueden emplear más de tres símbolos iguales seguidos a la derecha de otra cifra mayor, ni aislados; ni más de uno a la izquierda de otra mayor.

Ejercicios Leer los números siguientes

a) MMCCIV

e) MMXCCCCXXIII

b) CMXLIV

f) MXI CXV

c) V DC

g) ̿̿̿̿̿ ̅̅̅

d) DLX

h) ̿̿̿̿̿

Escribir los siguientes números en el sistema romano

a) 343 b) 81.000 c) 124.209 d) 245.708 e) 300.000 f) 1.999 g) 4.135.506 h) 1.384.435.786 i) 45.789.000.324 j) 14 trillones

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Ejercicios Varios

1) Al pasar el número

al sistema nonario, ¿Cuál es la mayor cifra que se obtiene?

2) Se tienen dos números expresados en sistemas diferentes:

y

. ¿Qué número

resulta al realizar la diferencia, en ese orden, de la tercera cifra de cada número expresado en el sistema decimal, contando de derecha a izquierda? 3) ¿Cómo expresarías el número romano XXVI DCLIII en el sistema exadecimal? 4) El número

está en el sistema cuyo máximo resto posible es . Expresar dicho número

en el sistema de numeración romana. 5) ¿Cuál es el quinto símbolo que aparece, de derecha a izquierda, en el cociente (expresado en numeración romana) que resulta al dividir el número

por el número

?

Respuestas 1) 2) 3) 4)

VIII CLXXXVII CCXXXVIII

5)

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OPERACIONES ARITMÉTICAS FUNDAMENTALES Las operaciones aritméticas son siete: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación, de las cuales son directas: suma, multiplicación y potenciación e inversas: resta, división, radicación y logaritmación.

SUMA O ADICIÓN Sumar dos o más conjuntos (sumandos) es reunir en un solo conjunto (suma) todos los elementos que integran los conjuntos dados. Leyes de la Suma 1) Ley de Uniformidad: la suma de varios números dados tiene un valor único o siempre igual. 2) Ley Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma. 3) Ley Asociativa: la suma de varios números no varía sustituyendo varios sumandos por su suma. 4) Ley Disociativa: la suma de varios números no se altera descomponiendo uno o varios sumandos en dos o más sencillos. 5) Ley de Monotonía: sumando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido resulta una desigualdad del mismo sentido. Alteraciones de los Sumandos  Si un sumando aumenta o disminuye un número cualquiera, la suma aumenta o disminuye el mismo número.  Si un sumando aumenta un número cualquiera y otro sumando disminuye el mismo número, la suma no varía.

RESTA O SUSTRACCIÓN La resta es una operación inversa de la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia) Leyes de la Suma 1) Ley de Uniformidad: la diferencia de dos números tiene un valor único o siempre igual. 2) Ley de Monotonía: esta ley consta de tres partes. a) Si de una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo) resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo. b) Si de una igualdad (minuendo) se resta una desigualdad (sustraendo) resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo. c) Si de una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo. Alteraciones del Minuendo y Sustraendo  Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en el mismo número.  Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número.  Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen a la vez un mismo número, la diferencia no varía. Regla de los signos: cantidades con signos iguales se suman y llevan el mismo signo. Cantidades con signos contrarios se restan y llevan el signo de la cantidad mayor en valor absoluto. Complemento Aritmético El complemento aritmético de un número es la diferencia entre dicho número y una unidad de orden superior a su cifra de mayor orden.

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MULTIPLICACIÓN La multiplicación es la suma abreviada. Los números que se multiplican se llaman multiplicando y multiplicador respectivamente. Pero cuando éstos superan dos, se los suele llamar factores. El resultado recibe el nombre de producto. Leyes de la Multiplicación 1) Ley de Uniformidad: el producto de dos números tiene un valor único o siempre igual. 2) Ley Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto. 3) Ley Asociativa: el producto de varios números no varía sustituyendo dos o más factores por su producto. 4) Ley Disociativa: el producto de varios números no varía descomponiendo uno o más factores en dos o más factores. 5) Ley Distributiva: el producto de un número por una suma indicada, es igual a la suma de los productos parciales del número por cada uno de los sumandos. Esta ley también se cumple en la resta indicada. 6) Ley de Monotonía: consta de tres partes: a) Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas. b) Multiplicando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas.

DIVISIÓN La división es una operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor. Leyes de la Multiplicación 1) Ley de Uniformidad: el cociente de dos números tiene un valor único o siempre igual. 2) Ley de Distributiva: para dividir una suma indicada por un número, se divide cada sumando por este número y se suman los cocientes parciales. Esta ley también se cumple en la resta indicada. 3) Ley de Monotonía: consta de tres partes: a) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre una igualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo. b) Si una igualdad (dividendo) se divide entre una desigualdad (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad divisor. c) Si una desigualdad (dividendo) se divide entre otra desigualdad de sentido contrario (divisor), siempre que la división sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo. Ejercicios 1) La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor 46. ¿Qué número se obtiene si al menor le saco la diferencia entre 75 y 18? 2) Tenía 3054$. Compré un auto y me quedé con 1965$. Entonces recibí 873$, compré una casa y me quedaron 732$. ¿Cuánto me costó el auto y cuánto la casa? 3) Un tonel de vino lleno costó

. Tuvo una pérdida de 75 litros y entonces su valor se redujo a

150.000Gs . ¿Cuántos litros de vino contenía el tonel? 4) Un labrador se compromete preparar

hoyos para plantar otros tantos arbolitos. ¿Cuántos días

necesitaría para realizar la tarea si trabajara 9 horas diarias y empleará 5 minutos en preparar cada hoyo?

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5) Un comerciante compró un lote de libros por 800.000Gs . Vendió todos los libros por 960.000Gs , obteniendo una ganancia de 3.200Gs por libro. ¿Cuántos libros compró? 6) Un comerciante compró 15 calculadoras a $40 cada una. Vendió 5 de ellas, a precio de promoción, por $100. Calcular el precio de venta de cada una de las restantes calculadoras para que gane $150 en la operación. 7) Se compran 42 libros por 126$ y se vende cierto número por 95$ a 5$ cada uno. ¿Cuántos libros me quedan y cuánto gané en cada uno de los que vendí? 8) Un muchacho compra el mismo número de lápices que de bolígrafos por 84cts. Cada lápiz vale 5cts y cada bolígrafo 7cts. ¿Cuántos lápices y cuántos bolígrafos ha comprado? 9) Vendo varios lápices en 96cts ganando 4cts en cada uno. Si me habían costado 72cts. ¿Cuántos lápices he vendido? 10) Un reloj que adelanta 4 minutos en cada hora señala las 4 y 20. Si ha estado andando 8 horas. ¿Cuál es la hora exacta? 11) ¿Cuántos meses (de 30 días) ha trabajado una persona que ha ahorrado 180$ si su jornal diario es de 5$ y gasta 4$ cada par de días? 12) Un librero adquiere cierto número de libros por 144$. Si hubiera comprado 11 libros más hubiera pagado 408$. ¿Cuántos libros ha comprado y cuánto ganaría en cada libro si cada uno lo vendiera por 29$? 13) Un depósito se puede llenar por dos llaves. Una vierte 150 litros en 5 minutos y la otra 180 litros en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito, estando vacío y cerrado en desagüe, si se abren a un tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de 550 litros? 14) Un comerciante compró 30 trajes a 20$ cada uno. Vendió 20 trajes a 18$ cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para tener una ganancia final de 50$? 15) Un estanque tiene 2 llaves, una de las cuales vierte 117litros en 9 minutos y la otra 112 litros en 8 minutos, y un desagüe por el que salen 42 litros en 6 minutos. El estanque contenía 500 litros de agua y abriendo las dos llaves y el desagüe al mismo tiempo se acabó de llenar en 48 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque? 16) Compré cierto número de artículos por $4.500 . Por la venta de una parte recibí $4.000 a razón de $100 por cada artículo y en esta operación gané $10 por artículo. Si tuve una pérdida de $100 en la venta total de artículos, ¿cómo es el precio unitario de venta de las que quedan con relación al de compra? 17) Un joyero vende 118 anillos a $700 cada uno y cierto número de collares a $600 cada uno. Con el importe total de la venta se compró un local propio por $146.560 y le sobraron $3.240. ¿Cuántos collares vendió? 18) Un empleado ahorra cada semana cierta suma ganando 750.000Gs semanales. Cuando tiene ahorrado

240.600Gs ha ganado 4.500.000Gs . ¿Cuánto ahorró semanalmente?

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Respuestas 1) 1

8) 7 de cada uno

15) 1.460 litros

2) 1089$el auto y 2106$ la casa

9) 6 lápices

16) $50 más barato que el precio

3) 175 litros

10) 3:48

4) 57 días

11) 2 meses

17) 112 collares.

5) 50 libros

12) 6 libros; 5$

18)

6) $65

13) 11minutos

7) 23 libros; 2$

14) 29$

de costo.

Más Problemas sobre números enteros 1)

Un comerciante compró 20 relojes. Vendió: 5 relojes a $75 cada uno, 6 relojes a $60 cada uno, 7 relojes a

$315 y los restantes a $70 cada uno. Tuvo una utilidad de $390. Calcular el costo unitario de los relojes. 2)

Un comerciante compró 90 libros, vendió 35 libros por U$S 280, perdiendo U$S 3 en cada uno. Vendió

después 30 libros, ganando U$S 1 en cada uno. Calcular el precio de venta de cada uno de los restantes libros para ganar en la operación U$S 250. 3)

Un colegio tiene 275 alumnos en el primer curso distribuidos en 5 secciones. En la primera, hay 35 alumnos;

en la segunda, 11 alumnos más que en la primera; en la tercera, tantos como en la primera más la mitad de la segunda; en la cuarta, 6 más que en la tercera y en la quinta, los demás alumnos. ¿En cuánto supera, en cantidad de alumnos, la quinta sección a la mitad de la tercera? 4)

Un saco y un pantalón valen 75 bolívares; el pantalón y su chaleco, 51 bolívares, y el saco y el chaleco, 66

bolívares, ¿cuánto vale cada pieza? 5)

Si en un estanque que está vacío y cuya capacidad es de 3.600 litros, se abrieran al mismo tiempo tres llaves y

un desagüe, el estanque se llenaría en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos. Si el estanque tiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿en cuánto tiempo lo acabarán de llenar las tres llaves? 6)

Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole $5 cada día que trabaje y $2 por cada día que, a causa de la

lluvia, no pueda trabajar. Al cabo de 23 días el obrero recibe $91¿Cuántos días trabajó y cuantos no trabajó? 7)

Un padre pone 15 problemas a su hijo, ofreciéndole 4 centavos por cada uno que resuelva, pero a condición de

que el muchacho perderá 2 centavos por cada uno que no resuelva. Después de trabajar en los 15 problemas quedaron en paz. ¿Cuántos problemas resolvió el muchacho y cuántos no resolvió? 8)

Si un estanque de 480 litros de capacidad que está lleno se le abre el desagüe, se vacía en 1 hora. Si estando

vacío y cerrado el desagüe, se abre su llave de agua, se llena en 40 minutos. ¿en cuánto tiempo se llenará, si estando vacío y abierto el desagüe, se abre la llave? 9)

En un ómnibus iban 40 excursionistas. Los hombres pagaban 40 centavos las damas 25 centavos. Los pasajes

costaron en total $1.345 ¿Cuántos excursionistas son hombres y cuántas damas? 10) Un estanque tiene agua hasta su tercera parte, y si ahora se abriera una llave que echa 119 litros en 7 minutos y un desagüe por el que salen 280 litros en 8 minutos, el depósito se vaciaría en 53 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque? 11) Compré cierto número de caballos por $450.000. Por la venta de una parte recibí $400.000 a razón de $10.000 por cada caballo, y en esta operación gané $1.000 por caballo. ¿A cómo tuve que vender los restantes si en definitiva tuve una pérdida de $10.000?

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12) Un comerciante compró 5 bastones, 9 sombreros, 14 libros y cierto número de cigarreras por $2.980. Vendió los bastones a $80 cada uno, ganando $30 en cada uno; los sombreros a $180 cada uno, perdiendo 20 en cada uno, y los libros a $30 cada uno, ganando $10 en cada uno. ¿Cuántas cigarreras compró si al venderlas a $60 cada una ganó $10 en cada una? 13) Once personas iban a comprar una finca que vale $214.500, contribuyendo por partes iguales. Se suman otros amigos y deciden formar parte de la sociedad, con lo cual cada uno aporta $3.000 menos que antes. ¿Cuántos fueron los que se sumaron a los primeros? 14) Vendo un anillo por $186; si lo hubiera vendido por $12 menos, perdería $30. ¿Cuánto me costó el anillo? 15) Con el dinero que tenía compré cierto número de entradas a $13 cada una y me sobraron $8. Si cada entrada me hubiera costado $19 me hubiera faltado $16. ¿Cuántas entradas compré y cuánto dinero tenía? 16) Un hacendado compró cierto número de vacas por U$S 1.785. Si hubiera comprado 7 vacas más y cada una de éstas le hubiera costado U$S 10 menos, habría pagado por todas U$S 2.450. ¿Cuántas vacas compró? Respuestas 1) $40 2) U $S 24 3) 43 alumnos 4) saco 45, pantalón 30, chaleco

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5) 10 min 6) trabajó 15, no trabajó 8 7) resolvió 5, no resolvió 10 8) 2 horas 9) 23 hombres y 17 damas 10) 2.862 litros 11) $4.000 c / u 12) 13 13) 2 14) $204 15) 4, $60 16) 17

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POTENCIACIÓN La potenciación es una operación de composición que tiene por objeto hallar las potencias de un número. an=a.a.….a

“n” veces a, siendo a y n números naturales

Al número “a” se lo llama base de la potencia, mientras que a “n” se le llama exponente de la potencia. Propiedades Generales 1) Toda cantidad elevada a la potencia cero es igual a la unidad

a0  1 2) En la multiplicación de potencias de igual base, se pone la misma base y los exponentes se suman.

a m  a n  a m n 3) En la división de potencias de igual base, se pone la misma base y los exponentes se restan.

am a  a  n  a mn a m

n

4) La potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente es la multiplicación de los exponentes.

a 

m n

 a mn

5) La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y la división, no así con la adición y sustracción    

a  bn  a n  b n a  bn  a n  b n a  bn  a n  b n a  bn  a n  b n

Exponente Negativo 

a n 

a    b

n

1 an b   a

n

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RADICACIÓN La radicación es la operación inversa a la potenciación. En concreto, encontrar la raíz n-ésima de un número consiste en encontrar otro número que elevado a “n” nos dé el número original.

n

a b

se llama signo radical, la a es la cantidad subradical o radicando, la b es la raíz y la n es el

El signo

índice o grado de la raíz, el cual indica que la b elevado a la n es igual a a .

bn  a Propiedades Generales La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división, no así con la adición y sustracción. 

a.b = a . b



a b = a  b



ab 

a+ b



a b 

a- b

Operaciones Combinadas o Compuestas Son aquellas expresiones donde aparecen varias operaciones juntas. Orden de Operaciones Si en una expresión figuran distintas operaciones indicadas el orden de operar es el siguiente 1. Se efectúan primero las potencias y las raíces. 2. Luego las multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) 3. Por último las sumas y las restas Observaciones: – Si en la expresión figuran signos de agrupación, se realizan las operaciones contenidas en las mismas en primer lugar, partiendo de aquellas que se encuentran más en el centro. – Si aparecen multiplicaciones y divisiones sucesivas se van realizando una por una de izquierda a derecha.

Exponente Fraccionario

n

a a m

m n

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I – Reducir las siguientes expresiones aplicado las propiedades de las potencias 1)

1

1  24  4 2 

2  1 1  100   10  1    10  202    9)      1    1 1  1   1      5   1   2 3 1  1  2 2   3  1  7  1  10)    2           1 4 5      1 1    1  2 4  2 1   1 1       1  2  3   3 2 2 11)     2   1  1  1  3  52  1 1     3 1       2 2   3  

1

2   3 2)  5  5 3   5 1      5 15 3)  64   4

2

1    12  4) 3  3 2       3

 

3  1   2 n 1   2 n1  1 2  2 p 6) 2  2  2 p 1  2 p  2 

5) 





 1  1        1   2  3  3     7)    5    

2

8)  3 2 



3  62 32



Respuestas

1) 1

1

2) 5 9

 33 7)   5

3)

8) 0

4

4)

9)  20

4 3

10) 

27 20

11) 

81 80

5) 8 6) 32

Efectuar –

1) 2) [ 3) 4) √

] [ √

(√ √

5) (√ 6) 7) [ 8) [

√

√ √

√

) ]

√

√ ) √ ]

[

√

] ]

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NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS – MÚLTIPLOS Y DIVISORES  Número Primo, Absoluto o Simple: es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. Ejemplos:2, 5, 7, 29.

El primer número primo es el 1.

 Número Compuesto: es aquel que, además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es por otro factor.

Ejemplos: 14 es compuesto porque es divisible por 1, 14, 2, 7

 Múltiplo de un número: es aquel que contiene a éste, un número exacto de veces. Los múltiplos de un número se forman multiplicándolo por la serie de los números naturales

{

}.

Ejemplo: 14 es múltiplo de 2, porque contiene a 2, 7 veces. Para indicar, por ejemplo, que 10 es múltiplo de 5, se escribe un punto sobre este último:

̇

 Submúltiplo, factor o divisor de un número: es el número que está contenido en el primero un número exacto de veces. Parte Olícuota: la parte olícuota de un número es una de las partes iguales en que se puede dividir dicho número. Ejemplo: 2 es divisor de 14, porque está contenido en 14, 7 veces. 2 es una parte olícuota de 14.  Equimúltiplos: son dos o más números que contienen a otros un mismo número de veces. Ejemplo: 14 y 24 son equimúltiplos de 7 y 12 porque 14 contiene a 7 dos veces y 24 contiene a 12 también dos veces.  Equidivisores: dos o más números son equidivisores de otros cuando están contenidos en éstos un mismo número de veces. Ejemplo: 5 y 6 son equidivisores de 20 y 24 porque 5 está contenido en 20 cuatro veces y 6 está contenido en 24 también cuatro veces.  Número par: es todo número múltiplo de 2 (por lo que podemos deducir que el 0 es par, al ser el menor múltiplo de todo número). La fórmula general de los números pares es 2n , siendo n un número entero cualquiera. Todos los números pares, excepto el 2, son compuestos.  Número impar: es el que no es múltiplo de 2. La fórmula general de los números impares es

2n  1 , siendo n un número entero cualquiera.  Números primos entre sí: son dos o más números que no tienen más divisor común que el 1.  Los números 10 y 9 son primos entre sí porque no tienen otro divisor común aparte del 1.  Los números 9, 12 y 14 son primos entre sí porque no aparece ningún divisor común, aparte del 1, en los tres a la vez.  Números primos entre sí dos a dos: son tres o más números tales que cada uno de ellos es primo con cada uno de los demás.  Los números 9, 12 y 14 son primos entre sí, pero no dos a dos, porque 9 y 12 tienen, aparte del 1, otro divisor común que es el 3.  Los números 9, 14 y 25 son primos entre sí dos a dos.  Números Perfectos: son los números que son iguales a la suma de todos sus divisores, excepto el mismo número. Ejemplos: 6, 28 y 496.  Números Amigos: son dos números tales que cada uno de ellos es igual a las suma de los divisores del otro, como 220 y 284.

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Principios Fundamentales de Divisibilidad 1) Todo número que divide a otros varios, divide a su suma.

Sea el número n que divide a los números a; b; c 2)

3)

4)

5)

n divide a la suma a  b  c Todo número que divide a otro divide a sus múltiplos Sea el número n que divide a a n divide a a  b Todo número que divide a otros dos, divide a su diferencia Sea el número n que divide a a y a b , siendo a  b n divide a la diferencia a  b Todo número que divide a uno de dos sumandos y no divide al otro, no divide a su suma. Sea la suma a  b  s , el número n divide a a y no a b n no divide a s Todo número que divide al dividendo y al divisor en una división entera, divide al resto. Sea la división D d

(R)

c

si un número n divide a D y a d n divide a R

CARACTERES DE DIVISIBILIDAD Son ciertas señales de los números que nos permiten conocer por simple inspección si un número es divisible por otro.  Divisibilidad por las potencias de 10: todo número terminado en ceros es divisible por la unidad seguida de tantos ceros como ceros haya a la derecha del número. Ejemplos: 40 es divisible por 10 1200 es divisible por 100 y 10 5000 es divisible por 1000, 100 y 10  Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par. Ejemplos: 40, 46, 678, 222  Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3 Ejemplos: 135 es divisible por 3, pues 1+3+5=9 que es múltiplo de 3  Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5, cuando termina en 5 o cero. Ejemplos: 445, 4210  Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7, cuando al separar la primera cifra de la derecha, multiplicarla por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Ejemplo: 2401

1 2  2 240  2  238 8  2  16

23  16  7 , luego 2401 es divisible por 7

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DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS Descomponer en factores primos un número es convertirlo en el producto indicado de sus factores primos. Regla: se divide el número dado por el menor de sus divisores primos; este cociente también por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta llegar a un cociente primo que sea divisible por sí mismo.

420

2

210

2

105

3

35

5

7

7

420  2 2  3  5  7

(1) NÚMERO DE DIVISORES DE UN NÚMERO DADO El número de divisores que tiene un número cualquiera viene dado por el producto de todos los exponentes de los factores primos, aumentados en 1, que tiene. Ejemplo Si el número en cuestión es N, lo descomponemos en sus factores primos obteniéndose

N  a n .b m .c t Entonces el número de divisores que tendrá N es: n  1m  1t  1 Resuelve 1) ¿Cuántos divisores tiene el número 540? 2) ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 5.040, 6.720 y 12.600?

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Máximo Común Divisor (MCD) El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos un número exacto de veces Ejemplo: los números 18 y 24 Los divisores de 18 son 1, 2, 3 6, 9, 18 Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Sus divisores comunes son 1, 2, 3 y 6; como 6 es el mayor divisor común el MCD de 18 y 24 es 6. Principios 1. Todo divisor de dos números divide a su MCD 2. Si se multiplican o dividen dos números por un mismo número, su MCD queda multiplicado o dividido por ese mismo número. 3. Al dividir varios números por su MCD, los cocientes obtenidos son números primos entre sí. Regla para hallar el MCD de dos o más números

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Se descomponen los números dados en sus factores primos. El MCD se forma con el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Ejemplo: hallar el MCD de 1800, 1260 y 420 1800 = 23 . 32 . 52 1260 = 22 . 32 . 5 . 7

MCD = 22 . 3 . 5 = 60

420 = 22 . 3 . 5 . 7 Hallar el MCD de los números a) 20 y 80

Rta.:20

d) 98, 294, 392 y 1176

Rta.: 98

b) 33, 77 y 121

Rta.: 11

e) 49, 150 y 200

Rta.: 1

c) 464, 812 y 870

Rta.: 58

Mínimo Común Múltiplo (MCM) El múltiplo común de dos o más números es todo número que contiene exactamente a cada uno de ellos. Así 40 es múltiplo común de 20 y 8 El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos. Ejemplo: halla el MCM de 9 y 6 Los múltiplos de 9 son : 9, 18, 36, 45, 54, 63, 72… Los múltiplos de 6 son : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 … Sus múltiplos comunes son 18, 36, 54 … MCM = 18 Regla para hallar el MCM de dos o más números Se descomponen los números dados en sus factores primos y el MCM se forma con el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con su mayor exponente.

Caso Especial: Si los números dados son primos entre sí, el MCM es el producto de los mismos. Ejemplo: Hallar el MCM de 112, 120 y 300 112 = 24 . 7 120 = 23 . 3 . .5

MCM = 24 . 3 . 52 . 7 = 8400

300 = 22 . 3 . 52 Hallar el MCM de los números a) 81, 100, 300, 350 y 400

Rta.: 226800

b) 529, 1058, 1587 y 5290

Rta.: 15870

c) 91, 845, 1690 y 2197

Rta.: 153790

El producto del MCD y MCM de dos y sólo dos números a y b es igual al producto de dichos números.

MCD  MCM  a  b

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Ejemplo: Siendo los números 12 y 18, el MCD = 6 y MCM = 36 Aplicando la relación MCD . MCM = a . b 6 . 36 = 12 . 18 216 = 216 Problemas que se resuelven por MCD y MCM

1) El

de dos números es 2 y el

2) Hallar el producto del 3) El

.y

. es 16. Hallar el producto de los dos números. . de los números 12 y 25.

de dos números es 450 y el

. 3. Si uno de los números es 15. ¿Cuál es el

otro? 4) Tres personas desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates respectivamente, entre cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de libros, de juguetes y de chocolates. ¿Cuál es el mayor número de niños que pueden beneficiarse en esta forma? 5) Se desean acondicionar 1830 latas de aceite y 1170 latas de yerba en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las latas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que pueden ponerse en cada cajón? 6) Un jardinero desea colocar 720 plantas de violetas, 240 de pensamientos, 360 de claveles y 480 de begonias en el menor número posible de canteros que contengan el mismo número de plantas, sin mezclar las mismas. ¿Qué cantidad de plantas debe contener cada cantero? ¿Cuántos canteros hay? 7) Se tienen tres cubos de 84cm3, 270cm3 y 330cm3. ¿Cuál es el mayor volumen, en cm3, que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos? 8) Cuatro buques parten para el mismo destino, el primero cada 10 días, el segundo cada 8 días, el tercero cada 9 días y el cuarto cada 15 días. ¿Cuántos días transcurren entre dos salidas simultáneas consecutivas? 9) Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 segundos y 54 segundos respectivamente. A las 20hs 15min se encienden simultáneamente. ¿A qué hora vuelven a encenderse juntos? 10) Hallar la raíz cuadrada del M.C.D. de los números 19404 y 68796. 11) ¿Cuál es el mayor número que al dividir por él, 172, 274 y 512 dá 2 de resto? 12) Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 13) María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. a) ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? b) ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?

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14) Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada? 15) Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 150 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. a) ¿Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) ¿A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos? 16) Rosa tiene cubos azules de 55 mm de arista y cubos rojos de 45 mm de arista. Apilando los cubos en dos columnas, una de cubos azules y otra de cubos rojos, quiere conseguir que las dos columnas sean iguales. ¿Cuántos cubos, como mínimo, necesita de cada color? 17) Un automóvil necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujías cada 30.000 km. ¿A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez? 18) Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja. 19) La clase de 1º A tiene 32 alumnos y la de 1º B, 36 alumnos. Queremos distribuir los alumnos en equipos del mismo número de participantes de manera que no falte ni sobre nadie y no se mezclen los grupos ¿Cuántos alumnos podrán entrar en cada equipo como máximo? 20) Tres aviones de línea regular salen del aeropuerto cada 3 días, cada 12 días y cada 18 días. ¿Cada cuántos días saldrán los tres aviones a la vez? 21) Queremos cubrir el suelo de una habitación rectangular de 82 dm de largo por 44 dm de anchura con baldosas cuadradas tan grandes como sea posible. Calcula el lado de cada baldosa y su superficie. Respuestas 1) 32

5) 30

2) 300

6) 6, 2, 3, 4 ; 120 canteros

3) 90

7) 6

4) 60

8) 360

9) 20hs 21min 18seg.

11) 34

10) 42

12) 120

13) 5 collares; cada collar tendrá 5 blancas, 3 azules y 18 rojas 14) 30 m 15) 30hs; a las 15:00hs del siguiente día. 16) 9 azules y 11 rojos

17) 90.000 km

18) 124 unidades de naranjas o de manzanas. 19) se formarán equipos de 4 personas. 8 equipos en la clase 1ºA y 9 en la clase 1º B 20) 36 días

2dm

de lado;

4 dm 2

de superficie.

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LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS Los números fraccionarios son aquellos que pueden expresarse como razón de dos enteros.

⁄



Los términos de una fracción son {



b  0 Para que sea un número fraccionario  b  1

Clasificación Fracciones Decimales Son aquellas cuyos denominadores son la unidad seguida de ceros

Ejemplos:

3 99 ; 10 1000

Fracciones Comunes: Son aquellas cuyos denominadores no son la unidad seguida de ceros.

Ejemplos:

3 8 ; 5 3

Fracciones Propias: Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador (son menores que la unidad) Ejemplos:

2 98 ; 7 99

Fracciones Impropias: Son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador (son mayores que la unidad). Ejemplos:

8 5 ; 3 2

Toda fracción impropia puede expresarse como un número mixto. Número Mixto: Es aquel que consta de una parte entera y otra fraccionaria.

5 Ejemplos: 3 . 4

Regla para convertir un número mixto a una fracción impropia Se multiplica la parte entera por el denominador, a este producto se le suma el numerador y dicha suma se parte por el denominador. Así

4

3 4.5  3 23 = = 5 5 5

Simplificación de Fracciones Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores. Para simplificar una fracción se dividen sus dos términos sucesivamente por los factores comunes que tengan.

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Fracciones Compuestas Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos

3 5 3 Ejemplo: 2 ; ; 3 5 6 6 7 10 Aunque parecen expresiones difíciles, su resolución es sencilla. Se convierten en una fracción simple cuyo denominador es el producto de los extremos y el denominador el producto de los medios. 5 5  9 45 3 Ejemplo: 3    10 3  10 30 2 9

También se pueden presentar fracciones compuestas que contengan en su numerador y/o denominador operaciones, las cuales deben desarrollarse en primer lugar para luego resolverlas utilizando la regla anterior. Ejemplo: 2 1 6  5 11  5 3  15  15  11  10  110  22 1 3 3 3 15  3 45 9  2 5 10 10

ACTIVIDADES I - Reducir las siguientes fracciones impropias a números mixtos.

5  3 18   7

62  7 113   112





II - Reducir a su más simple expresión

28  36 34   51 



343  539



261  522

III - Efectuar a) 1 +

1 1 2 2

=

1

b) 2 + 1

=

1 1

1 2

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1

c) ) 1 +

=

1

5

3

 ax  4  f)      bm  

1

4

1 3

1

2

1

d) 3 +

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=

1

2

3   3 1   3    3     g)  3  1 3  1  2   2 .  .     2   3  

1

3

1

4

1

1 5

2

3   e)  5   6  5 

Respuestas a)

b)

7 5

c)

13 5

d)

118 99

e)

1 4

g) 81 12 12

738 215

f)

a x b12 m12

IV - Resuelve 1) ¿Por qué número se multiplica

1 3 1 3 3 para que se convierta en , cuando se convierte en , 2 4 8 7 5

cuando se convierte en 6? 2) ¿Por qué número se divide 8 para que se convierta en 6, 9 cuando se convierte en 7, 11 cuando se convierte en 19? 3) Juan tenía $60 y gastó $18 ¿Qué parte de su dinero gastó y qué parte ahorró? 4) Un caballo que costó 1250 sucres se vende por los

2 del costo. ¿Cuánto se pierde? 5

5) ¿Qué parte del costo pierdo cuando vendo por $65 lo que me había costado $80? 6) Si gasto los

2 2 de los de $150 ¿Cuánto me queda? 3 5

7) ¿Cuál es el número cuyos

2 equivalen a 50? 5

8) Compré un traje y un anillo. El traje me costó 45$ y esta cantidad es los

5 del precio del anillo. 9

¿Cuánto costó éste?

23

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9) Gasté los

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3 de lo que tenía y me quedan 40$. ¿Cuánto tenía y cuánto gasté? 8

10) ¿Cuál es el número que tiene 22 de diferencia entre sus

5 2 y sus ? 6 9

11) Un depósito contiene 150 de agua. Se consumen los 2 depósito, los 2

3

5

de su contenido y se derraman, del

de lo que se consumieron. ¿Cuántos litros de agua quedan en dicho depósito? ¿Qué

parte del total se derramó? Respuestas 1)

2)

3 24 ; ; 10 2 7 4 2 11 ;1 ; 3 7 19

7)

125

8)

81$

9)

tenía $64; gasté $24

10) 36 3)

3 7 ; 10 10

4)

750 sucres

5)

3 16

6)

$110

11) 50 ; 4

15

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POTENCIACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Para elevar una fracción a una potencia, se eleva el numerador y el denominador al exponente dado. n

an a    n b b

3

23 8 2    3  125 5 5

PROPIEDADES

1) Exponente cero 0

a    1 b 0

2    1 3 2) Exponente uno

a b

1

   

a b

1

2 2     3 3 3) Exponente negativo

a    b

n

b   a

2 3

4

3 4 81 3    4  16 2 2

  

n

4

4) Producto de potencias con la misma base m

n

a a a         b b b 2

3

2 2 2         3 3 3

m n

23

5

25 32 2    5  243 3 3

5) División de potencias con la misma base

a b

m

a b

n

a b

mn

        5

3

 3  3  3         5 5 5

5 3

2

32 9  3    2  25 5 5

6) Potencia de Potencia n

mn  a  m  a        b  b   2

32 6  1  3  16 1 1 1            6  64 2 2 2  2  

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7) Producto de potencias con el mismo exponente n

n

a  c   a.c          b d   b.d  2 3

2

5 4

2

n

2

2

2

5 2 25  2.5   10  5          6 2 36  3.4   12  6

      

8) Cociente de potencias con el mismo exponente n

n

n

2

2

2

n

a  c  a d   a.d               b d  b  c   b.c  2

n

2

2

82 64 2 5 2 4  2.4  8                 2  225 15 3 4 3 5  3.5   15 

Ejercicios

2 1)   3 5  3

2

 2

0

 15    8

2)    

1

 5  3  3)     3  



2

3

 15   15  4)       8 8 6 5

3

3

 10    3

5)    

2 6)   3

2

4   5

 6  2  7)     13   5   4

8)

3

2



 13    6

4



5

 5  1      4  

3



Respuestas 1)

9 4

2)

25 9

3)

27 125

4)

8 15

5)

64

6)

36 25

7)

36 169

8)

25 16

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RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Para extraer la raíz enésima de una fracción, se extrae la raíz enésima del numerador y la raíz enésima del denominador.

n

a na  b nb

3

3 8 8 2   3 27 27 3

PROPIEDADES

Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente fraccionario. m

m

n



a an     b b

n



a m  b

p

p

p

a  a  n.m  n. m      b b

Ejercicios

5

1024  16807

3

5 3 5       7 7

1)

2

2)

15625  4096

3

3) 1 3 6

4)

4

1   7

2



7

3

5)

2 3 5      5 2

1



2 10 3 1     5 15 4 5

6)

Respuestas

1)

4 7

2)

25 49

3)

5 4

4)

7

5)

4 25

6)

4 3

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LOS NÚMEROS DECIMALES Un número decimal es la expresión lineal de una fracción común o decimal que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. CLASIFICACIÓN NÚMEROS DECIMALES

INEXACTOS PERIÓDICOS

EXACTOS

PUROS

MIXTOS

1) Números Decimales Exactos: son los que tienen un número limitado de cifras decimales. Ejemplos:

2,25

0,5

2) Números Decimales Inexactos Periódicos: son aquellos que tienen una cifra o un grupo de cifras que se repiten indefinidamente y en el mismo orden. A la vez pueden ser:  Periódicos Puros: si toda la parte decimal se repite periódicamente desde las décimas. Ejemplos:

0,333333…

0,12121212…

 Periódicos Mixtos: si hay una parte no periódica y otra periódica, y el periodo no empieza en las décimas. Ejemplos:

0,125454…

1,012543543…

Notación del Periodo de un Número Decimal. Para indicar el periodo de un número decimal se suele poner una rayita o un arco encima del periodo.



Ejemplo: el número decimal 0,3444... se puede expresar de las siguientes maneras 0,34 ó 0,34

Conversión de Números Decimales a Fracciones Regla para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto Se pone por numerador el número decimal, prescindiendo del punto, y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya, se simplifica si es posible. Ejemplos 1. Hallar la fracción generatriz de 0,564 =

564 141 = 1000 250

2. Hallar la fracción generatriz de 0,0034 =

0034 17 = 10000 5000

3. Hallar la fracción generatriz de 5,675 = 5

27 675 =5 40 1000

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Regla para hallar la fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico puro Se pone por numerador un período y por denominador tantos nueves como cifras tenga el período, se simplifica si es posible. Ejemplos 1. Hallar la fracción generatriz de 0,4545… =

45 5 = 99 11

2. Hallar la fracción generatriz de 0,00360036… = 3. Hallar la fracción generatriz de 7,135135… = 7

0036 4 = 9999 1111

135 5 =7 999 37

Regla para hallar la fracción generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto Se pone por numerador la parte no periódica seguida de un período, menos la parte no periódica, y por denominador tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, se simplifica si es posible. Ejemplos 1. Hallar la fracción generatriz de 0,31111... 

31  3 28 14   90 90 45

2. Hallar la fracción generatriz de 0,529292... 

529  5 524 262   990 990 495

3. Hallar la fracción generatriz de 2,2589489489...  2

25894  25 25869 8623 2 2 99900 99900 33300

ACTIVIDADES I. Expresa en forma decimal las siguientes fracciones, indicando si es un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto. a)

1 = 15

d)

2 = 11

g)

3 = 8

b)

4 = 7

e)

223 = 9

h)

7 = 16

c)

4 = 5

f)

8 = 3

II. Decir qué clase de números decimales son los siguientes, en el caso que sean periódicos, indicar el período. a) 0,005 = b) 0,178178… = c) 0,45111… = d) 0,1313 = e) 0,1212… f) 0,2512512…=

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III. Simplificar las siguientes expresiones hallando previamente las fracciones generatrices correspondientes. 1) 0,5 + 0,02 +

1 = 2

2)

3,2  2,11...  3,066... = 2,2  1,166...  2,033...

3)

0,25 1 + + 0,56565… = 0,55 9

4) 0,16 + 4

1 – 0,6666… = 5

1   1  0,244...   0,22...  1 3  4= 5)  3  0,153153... 1 1  0,3636...  22  1 2   0,3  6)  = 0,333... 0,15   8 7)     0,01 =  0,16 0,5 

3    0,666...   0,8333... 4  

8)

  0,80,5  0,35    0,8  1  

2

1



Respuestas

1) 1

1 50

5)

2) 1

49 138

6) 19

3) 1

13 99

7)

4971 100

4) 3

52 75

8)

4 25

111 350

1 11

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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL  Magnitud: es todo lo abstracto que puede medirse, compararse y sumarse.  Cantidad: es todo estado de una magnitud. Por ejemplo, la longitud es una magnitud y la longitud de una regla o la longitud de una sala son cantidades.  Cantidades Mensurables: son las cantidades que pueden medirse.  Medición: es la operación que consiste en comparar cada una de las cantidades dadas con otra cantidad de la misma magnitud, elegida como unidad de medida.  Unidades de Medida: son las cantidades elegidas para comparar con ellas las demás cantidades de su misma magnitud.  Medir una cantidad: es compararla con la unidad de medida para saber cuántas veces la cantidad contiene a la unidad.  Sistema Métrico Decimal: es un conjunto de medidas que derivan del metro. Es un sistema porque es un conjunto de medidas; métrico porque su unidad fundamental es el metro; decimal porque sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias del 10. Significado de las palabras griegas 

Deca: diez



Deci: décima



Hecto: cien



Centi: centésima



Kilo: mil



Mili: milésima



Miria: diez mil

Clases de Medida UNIDADES DE LONGITUD

La unidad de medida de longitud es el metro (m) Múltiplos

Unidad

Mm

Km

Hm

Dm

4

3

2

1

10 m

10 m

10 m

Submúltiplos

m 0

10 m

10

dm

cm

mm

-1

-2

10 m

10 m

-3

10 m

UNIDADES DE SUPERFICIE

La unidad de medida de superficie es el metro cuadrado (m2) Múltiplos Mm 8

2

10 m

Km

2

6

2

10 m

Unidad Hm

2

4

2

10 m

Dm 2

2

2

10 m

m 2

Submúltiplos

2

dm

0

10 m

10

-2

2

cm 2

-4

2

10 m

mm 2

-6

2

10 m

2

UNIDADES AGRARIAS

La unidad de la medida agraria es el área (á) Múltiplo (hectárea)

Unidad (área)

há = Hm 4

10 m

2

2

Submúltiplo (centiárea)

á = Dm 2

10 m

2

2

cá = m 0

10 m

2

2

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UNIDADES DE VOLUMEN

La unidad de medida de superficie es el metro cúbico (m3) Múltiplos Mm

3

12

10 m

Km 3

3

9

10 m

Unidad Hm

3

3

6

10 m

Dm 3

3

3

10 m

m 3

Submúltiplos

3

dm

3

0

10 m

-3

10

cm 3

3

mm

-6

10 m

3

3

-9

10 m

3

UNIDADES DE CAPACIDAD

La unidad de medida de capacidad es el litro (l) Múltiplos

Unidad

Ml

Kl

Hl

Dl

4

3

2

1

10 l

10 l

10 l

Submúltiplos

l 0

10 l

dl

cl

-1

-2

10 l

10

ml -3

10 l

10 l

UNIDADES DE MASA

La unidad de medida de masa es el kilogramo (kg) Múltiplos Ton 3

10 kg

Unidad

Qm

Mg

2

10 kg

10 kg

1

kg 0

10

Submúltiplos hg

dag

g

dg

-1

10 kg

-2

10 kg

-3

10 kg

10 kg

-4

cg -5

10 kg

mg -6

10 kg

Equivalencias entre las unidades de masa, capacidad y volumen MASA

CAPACIDAD

VOLÚMEN

Ton kg g

kl l ml

m 3 dm 3 cm

3

Las equivalencias entre las medidas de capacidad y volumen son ciertas para todos los cuerpos, pero las de capacidad y volumen con las de masa sólo son exactas para el agua destilada. Para los demás hay que ver sus densidades.

REDUCCIONES REDUCCIÓN DE UN NÚMERO MÉTRICO QUE EXPRESE UNIDADES DE LONGITUD O CAPACIDAD A OTRA ESPECIE DADA

Si hay que reducir de una especie superior a una inferior, se multiplica el número dado, y si es de una especie inferior a otra superior, se divide el número dado por la unidad seguida de tantos ceros como lugares separen a la medida dada de aquella a la que se va a reducir. REDUCCIÓN DE UN NÚMERO MÉTRICO QUE EXPRESE UNIDADES DE SUPERFICIE A OTRA ESPECIE DADA

Si hay que reducir de una especie superior a una inferior, se multiplica el número dado, y si es de una especie inferior a otra superior, se divide el número dado por la unidad seguida de tantos dos ceros como lugares separen a la medida dada de aquella a la que se va a reducir. REDUCCIÓN DE UN NÚMERO MÉTRICO QUE EXPRESE UNIDADES DE VOLUMEN A OTRA ESPECIE DADA

Si hay que reducir de una especie superior a una inferior, se multiplica el número dado, y si es de una especie inferior a otra superior, se divide el número dado por la unidad seguida de tantos tres ceros como lugares separen a la medida dada de aquella a la que se va a reducir.

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I. Reduce a la especie indicada 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

II. Resuelve 1) Las ruedas de un automóvil tienen una circunferencia de el auto recorre una distancia de

. ¿Cuántas vueltas dará cada rueda si

?

2) Una sala rectangular de

por

, se pavimenta con losas de

por

. ¿Cuántas losas

harán falta? 3) En un montón de ladrillos de ancho y

. ¿Cuántos ladrillos habrá si cada uno tiene

de largo,

de

de alto?

4) En un patio de

de largo y

de ancho, se quiere poner una capa de arena de

de altura.

3

¿Cuántos m de arena harán falta? 5) Se quieren envasar

de vino en botellas de

6) Un barril lleno de aceite ha costado vacío es

de capacidad. ¿Cuántas botellas harán falta?

. El barril lleno de aceite pesa

. Si por el envase se cobran

y el peso del barril

. ¿A cómo sale el kg el aceite?

7) ¿Cuántos litros de agua caben en un depósito de 8) Un cubo lleno de agua destilada pesa 9) Si un tanque en forma de paralelepípedo de

de largo, y vacío

de ancho y

de alto?

. ¿cuántos litros de agua contiene?

de altura,

de ancho y

de largo contiene 534

litros de agua. ¿Cuánta agua habrá que echarle para llenarlo? 10) Si se quiere que en un depósito haya una masa de agua de 4 toneladas. ¿Cuántas horas debe estar abierta una llave que vierte 16 litros cada 2 minutos? 11) Un depósito de

de largo,

de ancho y

de altura está lleno hasta sus ¾ parte. ¿En cuánto

tiempo acabará de llenarlo un grifo que vierte 50 litros de agua por minuto?

Respuestas 1) 814 vueltas

4) 113,334m3

7) 292.500litros

10) 8h 20min

2) 5.089 losas

5) 400 botellas

8) 8,4 litros

11) 45min

3) 20.000 ladrillos

6) $0,9

9) 546 litros

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RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades.

 Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética  Pero si se realiza mediante una división se llama razón geométrica Ejemplo Las edades de Eduardo y Rene son 48 años y 12 años se observa que: a) 48  12  36 b) 48  12  4

 

Razón Aritmética (Sustracción)

 48 excede a 12 en 36 unidades.

Razón Geométrica (División)

 48 contiene a 4 veces a 12.

Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b Razón Aritmética

Razón Geométrica

a b  r

a k b

Donde:  a  antecedente  b  consecuente  r  valor de la razón aritmética  k  valor de la razón geométrica

La razón geométrica es la que tiene más uso, de modo que si indicamos la razón y no su clase entenderemos que es una razón geométrica Razón Geométrica Los resultados de observaciones o medidas deben compararse a menudo con algún valor normal para que tengan algún significado. Por ejemplo, decir que un hombre puede leer 400 palabras por minuto tiene poco significado así como se lo establece. Pero cuando esta relación se la compara con las 250 palabras por minuto que lee un lector medio, se puede ver que aquel lee considerablemente más rápido que el lector común. ¿Cuánto más rápido? Para determinarlo, esta relación se divide por la relación del lector medio, como sigue:

400 8  250 5 Entonces, por cada 5 palabras leídas por el lector medio este hombre lee 8. Otra forma de hacer esa comparación es diciendo que él lee 1 3/5 veces más rápido que el lector medio. Cuando la relación entre dos números se indica en esta forma, se compara como una RAZÓN GEOMÉTRICA.

Las comparaciones pueden establecerse en más de una forma. Por ejemplo, si un engranaje posee 40 dientes y el otro tiene 10, una forma de establecer la comparación sería 40 dientes a 10 dientes. Dicha comparación podría indicarse como una razón, en cuatro formas distintas, de este modo:

1) 40 : 10

2) 40  10

3)

40 10

4) la razón de 40 a 10

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Puesto que una razón geométrica es también una fracción, todas las reglas que gobiernan las fracciones se usarán al trabajar con ellas. Así, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificarse, etc., de acuerdo con las reglas para las fracciones. Para reducir la razón

15 a los términos de menor valor se escribe 20

la razón como una fracción y luego se procede como éstas. Entonces,

15 3  20 4

Por tanto, la razón de

15 se transforma: 20

15 3 es la misma que la razón de . 20 4

Razón inversa Con frecuencia es útil comparar los números de una razón en el orden inverso. Para hacer esto simplemente intercambiamos el numerador y el denominador. Entonces, la inversa de

15 20 es . Cuando 20 15

los términos de una razón se intercambian resulta una RAZÓN INVERSA. Ejercicios En los problemas 1 a 6, escriba la razón como una fracción y reduzca a los términos de menor valor. En los problemas 7 a 10, escriba la inversa de la razón dada. 1) La razón de 5kg a 15kg

7) La razón de 6m a 18m

2) $16 : $12

8)

3) 16  4

4 8

4) 1mililitro a 1 centilitro

9) 5 : 8

5) 5 x a 10 x

10) 15 a 21

1 3

6) 3 : 4

1 2

Respuestas 1)

1 3

6)

20 27

2)

4 3

7)

3 1

3)

4 1

8)

2 1

4)

1 10

9)

8 5

5)

1 2

10)

7 5

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PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad entre dos razones. La proporción geométrica podrá escribirse en tres formas diferentes, como en los ejemplos que se ofrecen a continuación:

15 : 20 :: 3 : 4 15 : 20  3 : 4 15 3  20 4 Las dos últimas formas son las más comunes. Todas estas formas se leen "15 es a 20 como 3 es a 4", En otras palabras, 15 tiene la misma relación con 20 que 3 la tiene con 4.

Términos de una proporción Se han dado ciertos nombres a los términos de dos razones que constituyen una proporción. En una proporción tal como 3 : 8 :: 9 : 24 , el primero y último términos, se llaman extremos. En otras palabras, el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda se llaman los extremos. El segundo y tercer términos, se denominan medios. Los medios son el denominador de la primera razón y el numerador de la segunda. En el ejemplo anterior, los extremos son 3 y 24; los medios son 8 y 9.

Operaciones con proporciones  En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a c  b d



bc  ad

 Una proporción puede invertirse de la siguiente manera.

a c  b d



proporción inversa



b d  a c

Proporciones Geométricas Continuas y Discontinuas Teniendo en cuenta la proporción geométrica

a c  b d

 Si a, b, c, d son distintos, se dice que la proporción es discontinua y que a, b, c y d son una cuarta proporcional geométrica.  Si los términos medios son iguales y los externos son distintos, se dice que la proporción es

continua y que los términos externos son tercera proporcional geométrica. En una proporción continua, los términos que se repiten se llaman media proporcional geométrica.

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Problemas que se resuelven con razones y proporciones 1) Un lápiz de de

proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra

?

2) Dos números están a razón . Si el menor de ellos es 3) Una inversión de

¿Cuál es el otro?

produjo un rendimiento de

en un año, otra inversión produjo

a la

misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión? 4) Dos obreros trabajan en una fábrica empacando calcetines, pero mientras uno empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas habrá empacado el otro? 5) Comiendo 90 gramos de cereal, se consumen 360 calorías. ¿Qué cantidad de cereal debe comerse para consumir solamente 80 calorías? 6) Dos ángulos están a razón 6 a 7. Si el menor mide 7) En 1970 en México el número superficie de México es de

¿Cuánto mide el otro?

de superficie estaban en razón

con el número de habitantes. Si la

. ¿Cuántos habitantes había en México en

?

8) Las velocidades máximas de una mariposa y un avestruz están en razón . Si la mariposa, que es la que alcanza menor velocidad puede recorrer 48 kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el avestruz en el mismo tiempo? 9) Se estima que uno de cada 25 bebés hijos de madres que contrajeron rubéola durante el cuarto mes de embarazo sufre alguna anomalía congénita. ¿Qué número de bebés afectados habrá en 25.575 niños, hijos de madres que contrajeron la enfermedad?

10) En 1974 la razón entre las especies de insectos descritos hasta entonces y el total de ellos era

. Si

entonces se tenía la descripción de 950.000 especies. ¿Cuál era el total de especies de insectos? 11) Dos números son entre sí como 7 es a 12. Si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los dos números. 12) Tres números

y

tercera proporcional de

son entre sí como 9, 12 y 25. Si la cuarta proporcional de y ?

13) Si el antecedente de una razón geométrica es la tercera proporcional de proporcional de

es 100. ¿Cuál es la

y , ¿qué pasa con la razón si

y

se multiplican por 2 y

y , y el consecuente es la cuarta y se dividen entre 2?

14) La razón geométrica de dos números es 25 milésimos. Si el antecedente aumenta en un consecuente disminuye a su

y el

, determinar la nueva razón.

Respuestas 1)

6)

11)

2)

7)

12)

3)

8)

4)

9)

5)

10)

13) queda multiplicada por 4 14)

37

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PROPORCIONALIDAD  Magnitudes Directamente Proporcionales: dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una la otra también aumenta, o al disminuir una la otra también disminuye. Ejemplo: el número de unidades de un artículo con el precio del mismo.  Magnitudes Inversamente Proporcionales: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una la otra disminuye, o al disminuir una la otra aumenta. Ejemplo: el número de obreros y el tiempo que emplean para realizar una obra  Regla de Tres Simple: es aquella que relaciona dos clases de magnitudes (tiempo, precio, masa, volumen, área, etc.). Puede ser directa o inversa.  Regla de Tres Compuesta: se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Ejercicios 1) En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿cuántas horas tardará en hacer

de esas

mismas cajas? 2) ¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5m sabiendo que a la misma hora una varilla vertical de 0,49m arroja una sombra de 0,63m ? 3) Si para pintar 180m 2 se necesitan 24kg de pintura. ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12m de largo por 10m de ancho? 4) En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños a la acampada? 5) Un taller de ebanistería, si trabaja 8 horas diarias, puede servir un pedido en 6 días. ¿Cuántas horas diarias deberá trabajar para servir el pedido en 3 días? 6) Cinco máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media? 7) Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias? 8) Cincuenta terneros consumen 4.200kg de alfalfa a la semana. ¿Cuántos kilos de alfalfa necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días? 9) Para enviar un paquete de 5kg de peso a una población que está a 60km de distancia una empresa de transporte me ha cobrado 9$ . ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15kg a 200km de distancia? 10) Una pieza de tela de 2,5m de largo y 0,8m de ancho cuesta 30$ . ¿Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3m de largo y 1,2m de ancho?

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un automovilista emplea 2hs 30 min para recorrer cierta distancia. ¿qué tiempo

11) A razón de

empleará para recorrer la misma distancia a razón de

?

12) Una familia compuesta de 6 personas consume en 2 días 3kg de pan. ¿cuántos kg de pan serán consumidos en 5 días, estando dos personas ausentes? 13) Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. 14) Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas diarias un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? 15) Tres albañiles enlosan 100m 2 en 5 días. ¿Cuántos días serán necesarios para enlosar 200m 2 si trabajan 2 albañiles más? 16) Para cavar una zanja de 78m de largo, 90cm de ancho y 75cm de profundidad, se necesitan 39 obreros. ¿Cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo una zanja de 60m de largo,

0,5m de ancho y 45cm de profundidad? 17) Se han pagado

a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará en

las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día? 18) Un ciclista marchando a

recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas

por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias? 19) Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 litros por hora? 20) Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias? 21) Un socio que ha colocado socio que ganó

durante 5 meses, ha ganado

. ¿cuál es el capital de un segundo

, si lo colocó durante 7 meses?

22) Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43.200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21.600 envases, que deben ser entregados a los 2 días.

¿cuántas

horas

diarias

deben

trabajar

las

máquinas

que

quedan

para

cumplir

el

pedido? 23) Se necesitan 3 bobinas de papel de 350kg cada una para imprimir 5.000 ejemplares del primer tomo de una obra. ¿cuántas bobinas de 504kg de papel de igual calidad y ancho que el anterior se necesitarán para imprimir 8.000 ejemplares del segundo tomo de esa obra, sabiendo que el número de páginas de éste es igual a los seis quintos del número de páginas del primer tomo? 24) Nueve obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. Si después del cuarto día llegan 6 obreros más, ¿cuántos días antes del plazo terminarán dicha obra?

25) Un grupo de 50 obreros se comprometen en terminar una obra en 4 semanas. Al término del cuarto día de trabajo se les incorpora un cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 16 días terminaron lo que faltaba de la obra. ¿Cuántos obreros conformaban el segundo grupo?

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Respuestas 1) 20hs

14) 9 días

2) 3,5m

15) 6 días

3) 16kg

16) 29 obreros

4) 25 días

17) $151.875

5) 16hs

18) 14

km h

6) 10.800 litros 19) 2 días 7) 48 días 20) 23 días 8) 3.600kg 21) $17.500 9) 90$ 22) 10hs diarias 10) 54$ 23) 4 bobinas 11) 3hs 53 min 20seg 24) 8 días 12) 5kg 25) 25 obreros 13) 40 €

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TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número. El signo del tanto por ciento es %  Tanto por ciento más: se trata de hallar un número sabiendo el % que otro número es más que él.  Tanto por ciento menos: se trata de encontrar un número conociendo el tanto por ciento que otro número es menos que él.

Ejercicios 1) ¿Cuál es el 15% de 580? 2) 8 es el 30%, ¿de qué número? 3) 30, ¿Qué % es de 90? 4) ¿Qué porcentaje de 12 es 10? 5) 800 es el 4% más ¿de qué número? 6) ¿De qué número es 41 el 18% menos? 7) Un examen de Matemáticas consta de 75 puntos. Si para tener derecho a examen final es necesario obtener un mínimo del 60% sobre el total de puntos. ¿Cuántos puntos como mínimo es necesario realizar para tener derecho a examen? 8) En una clase de 50 alumnos existen 35 varones. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres en dicha clase? 9) Juan tenía 80000Gs, si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿Cuánto le queda? 10) Un metro de tela cuesta 1500Gs. ¿A cuánto tengo que venderla para ganar 20%? 11) Al vender una casa por 75000$ se pierde el 25% del costo. ¿Cuánto había costado la casa? 12) Una compañía adquiere una propiedad de 1800há de este modo: el 22% de la finca lo paga a 2000$ la há; el 56% a 800$ la há y el resto a 500$ la há. ¿Cuánto costó en total? 13) Un ganadero vendió el 36% de sus reses y se quedó con 160. ¿Cuántas tenía? 14) Si recibiera una cantidad igual al 30% de lo que tengo, tendría 65$. ¿Cuánto tengo? 15) Vendí un caballo por 792$, perdiendo el 12% del costo. ¿A cómo habría tenido que venderlo para ganar el 15% del costo? 16) Un par de zapatos más dos pantalones valen $70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta , al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada pantalón. Juan paga por tres pantalones $38.250 y luego, compra dos pares de zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos? 17) Un vendedor recibe un sueldo semanal fijo de 215.000Gs más un 8% de las ventas por comisión. ¿Cuánto debe vender (importe) para ganar 317.000Gs semanales?

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18) Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad, entonces para que falte el 30% de su capacidad para llenarlo, ¿cuántos litros de agua hay que agregar? 19) En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1? 20) Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cómo es el área del triángulo resultante con respecto al triángulo original? 21) En un colegio se necesita colocar en la cocina 70m 2 de cerámica y 100m 2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica. ¿Cuánto es el costo total? 22) Compré un artículo con un descuento del 10% sobre el costo y lo vendí con un beneficio del 10% sobre dicho costo. ¿Qué porcentaje sobre el precio que he pagado gané?

Respuestas 11) 100000$

1) 87 2) 26

2 3

12) 1796400$

1 3

14) 50$

1 3

16) $72.000

3) 33 % 4) 83 % 5) 769

3 13

13) 250

15) 1035$ 17) 1.275.000Gs 18) 36 litros 19) 6

6) 50

20) Disminuye en un 4%

7) 45

21) 245P

8) 30%

22) 22

9) 54400Gs

2 % 9

10) 1800Gs

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REPARTOS PROPORCIONALES Los repartos proporcionales consisten en dividir un número en partes proporcionales a otros varios y pueden ser directos, inversos o compuestos.

Repartos Proporcionales Directos Para repartir un número dado en partes directamente proporcionales a varios números enteros se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los números enteros y se divide por la suma de todos ellos. Ejemplo: repartir 36 en partes directamente proporcionales a 2; 3 y 4.

a

36  2 8 23 4

36  3  12 23 4

b

c

36  4  16 23 4

Los números son 8; 12 y 16. Obsérvese que 8  12  16  36

Repartos Proporcionales Inversos Para repartir un número en partes inversamente proporcionales a otros números dados se reparte el número en partes directamente proporcionales a los inversos de dichos números.

Ejemplo: repartir 56 en partes inversamente proporcionales a 2; 4 y 8. Se trata de repartir 56 en partes directamente proporcionales a Tendremos

1 1 1 ; y 2 4 8

1 1 1 4 2 1 ; ;  ; ; 2 4 8 8 8 8

O sea hay que repartir 56 en partes directamente proporcionales a 4 ; 2 y 1 , es decir:

a

56  4  32 4  2 1

56  2  16 4  2 1

b

c

56  1 8 4  2 1

Repartos Proporcionales Compuestos En el reparto compuesto se trata de repartir un número en partes proporcionales a los productos de varios números. Ejemplo: repartir 70 en partes que sean a la vez directamente proporcionales a 8, 6 y 32 e inversamente proporcionales a 2, 3 y 4. Se trata de repartir 70 en partes directamente proporcionales a los siguientes productos:

8

1 4 2

6

1 2 3

32 

1 8 4

Así pues tendremos

a

70  4  20 4 28

b

70  2  10 428

c

70  8  40 428

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Ejercicios 1) Se reparten 57 caramelos en partes directamente proporcionales a las edades de tres niños de 5, 6 y 8 años. ¿Cuántos caramelos recibirá cada uno? 2) Dos obreros cobran 7200$ por cada obra que hicieron entre los dos. Si el primero trabajó 8 días y el segundo 10 días. ¿Cuánto recibirá cada uno? 3) Tres personas tienen 300, 400 y 500$ respectivamente. Deciden repartir entre todos 600$ a los pobres en partes directamente proporcionales al dinero que tiene cada uno. ¿Cuánto aportará cada uno? 4) Una madre reparte 27 caramelos en partes proporcionales a la buena conducta de sus hijos. El primer hijo ha sido castigado 4 veces, el segundo 6 veces y el tercero 3 veces. ¿Cuántos caramelos recibirá cada hijo? 5) Una madre reparte 18 caramelos entre sus dos hijos de 6 y 8 años, respectivamente, en partes directamente proporcionales a sus edades e inversamente proporcionales a sus castigos. El menor ha sido castigado tres veces, y el mayor dos veces. ¿Cuántos caramelos recibirá cada hijo? 6) Un comerciante compra dos automóviles por 980$ que se ha pagado en partes directamente proporcionales a la velocidad que pueden alcanzar que es de 100km/h y 120km/h y en partes inversamente proporcionales a la antigüedad de los automóviles que es de 4 y 5 años respectivamente. ¿Cuánto se pagó por cada automóvil? 7) Cuatro hombres han realizado una obra en 90 días. El primero recibió 50$, el segundo 40$, el tercero 60$ y el cuarto 30$. ¿Cuántos días trabajó cada uno? 8) De las 120 aves que tiene un campesino, el número de gallinas es el triple que el de gallos y el número de patos es la semisuma de los gallos y gallinas. ¿Cuántas aves de cada especie tiene? 9) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, descomponer el número 35255 en partes directamente proporcionales a los cuadrados de 0,5; 0,666... y 0,1333... 10) Tres personas forman una empresa. El señor A pone 20.000.000Gs. Los señores B y C ponen el local, que pertenece 30% al señor B y 70% al señor C. El señor B, además de su parte pone 10.000.000Gs. Sabiendo que al señor A y C obtienen la misma ganancia. ¿Cuánto le corresponde al

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señor B, si tienen que repartirse proporcionalmente a lo que invirtieron, una ganancia de 6.970.000Gs? 11) Tres obreros se reparten un premio proporcionalmente a sus sueldos, recibiendo 4.000Gs; 5.000Gs y 6.000Gs respectivamente cada uno. Si el sueldo del obrero mejor pagado es 30.000Gs. ¿Cuáles son los sueldos de los otro dos? 12) Entre tres obreros se han repartido 343.750Gs en partes proporcionales a sus jornales. ¿Cuáles eran estos jornales, sabiendo que al primero le ha correspondido en el reparto 96.250Gs y al tercero 137.500Gs y que la suma de los jornales de los tres obreros es igual a 31.250Gs? 13) Tres cuadrillas de obreros han realizado un trabajo por el cual se ha pagado $ 516. La primera cuadrilla de 10 hombres trabajó durante 12 días; la segunda de 6 hombres trabajó 8 días y la tercera de 5 hombres trabajó 18 días. ¿Cuánto debe recibir cada cuadrilla? Respuestas 1) 15;18;24 2) 3200$;4000$ 3) 150$;200$;250$ 4) 9;6;12 5) 6;12 6) 500$;480$ 7) 25;20;30;15 8) 20 gallos; 60 gallinas; 40 patos 9) 12375; 22000; 880 10) 2.210.000Gs 11) 20.000Gs; 25.000Gs 12) 8.750Gs; 10.000Gs; 12.500Gs 13) $240; $96; $180

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INTERÉS SIMPLE El interés es simple cuando se calcula una sola vez por el tiempo que dura la operación. El interés es una remuneración que el capitalista recibe por su capital, o es el costo que paga por el uso del capital ajeno las instituciones financieras, las empresas o las personas que reciben el capital bajo determinadas condiciones. Símbolos  c  capital inicial.  t  tasa de interés anual (tanto por ciento, por cada cien de capital).  i  tasa de interés anual (tanto por uno, por unidad de capital) .  n  tiempo, expresado en años, duración de la operación.  UT  unidad de tiempo.  x  días o meses, duración de la operación.  I  interés simple.  A  monto ( capital + interés simple). Fórmulas Fórmula Básica 1) I 

ct  x 100  UT

Esta fórmula básica se transforma en otra fórmula equivalente más sencilla, estableciendo las siguientes relaciones: i 

I

t x . y n 100 UT

ct  x t x  c   cin 100  UT 100 UT



2) I  cin

3) A  c  I La UT depende de la unidad de tiempo en cuestión.    

x : año comercial  360 x : año civil n  365 x n  : año comercial  12 x : semestre n  180 n

x : días



x : días



x : meses



x : semestre 6 x n  : trimestre 3 x n  : bimestre 2 n



x : meses



x : meses



x : meses

x : días

La unidad de tiempo que normalmente se utiliza es el año, por eso n se considera expresado en años, sin embargo la unidad de tiempo también puede ser semestre, trimestre, bimestre, mes, día u otra unidad, según lo que se convenga utilizar; lo mismo ocurre con la tasa de interés i , que puede ser mensual, trimestral, semestral, o de cualquier otro período. El tiempo y la tasa de interés, deben expresarse en una misma unidad de tiempo.

Si un problema no aclara el tipo de año a utilizar, se considera en este caso el año comercial.

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Ejercicios 1) Determinar el interés simple que produce un capital de 6.000.000Gs en 90 días, colocado al 8% de interés anual. 2) Determinar el interés simple que produce un capital de 730.000Gs en 120 días, colocado en un banco al 6% de interés anual. Considerar el año civil. 3) Determinar el interés simple producido por un capital de 1.200.000Gs en 45 días, colocado al 4% de interés semestral. 4) Determinar el capital que en 300 días produce un interés simple de US$ 1.555 , al 12% de interés anual. 5) Determinar el tiempo, expresado en meses, que debe estar colocado un capital de US$ 150.000 , al

4,5% de interés anual para producir US$ 2.250 de intereses simples. 6) Un capital de 880.000Gs produce 8.800Gs de interés simple en 36 días. Calcular la tasa de interés anual. 7) Un capital de 500.000Gs ha sido depositado en una institución bancaria, al 6% de interés anual. Determinar el capital definitivo que se obtendrá al cabo de seis meses. 8) Se depositarán en una institución bancaria, a interés simple al 6% anual, hoy 1.000.000Gs , y al fin del sexto mes 2.000.000Gs más. Determinar el capital definitivo que se obtendrá al cabo de un año. 9) Determinar el tiempo necesario para que un capital se triplique, colocado al 5% de interés anual. 10) Dos capitales suman US$ 57.020 se colocan a interés simple, el primero al 8% anual durante seis meses, y el segundo al 6% anual durante 10 meses. Determinar los capitales, sabiendo que totalizan US$

2.596 de intereses simples.

Respuestas 1) 120.000Gs 2) 14.400Gs 3) 12.000Gs 4) US$ 15.550 5) 4 meses 6) i  0,1 7) 515.000Gs 8) 3.120.000Gs 9) 40 años 10) US$ 25.500 ; US$ 31.520

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INTERÉS COMPUESTO El interés es compuesto cuando después de cada cierto tiempo se suman al capital los intereses simples correspondientes, constituyéndose después de cada operación nuevos capitales que, a la vez, ganan nuevos intereses desde el periodo siguiente. El hecho de sumar el interés simple al capital se denomina capitalización. En esta unidad se estudia, fundamentalmente, el caso de capitalización sistemática, lo que significa capitalización en intervalos regulares de tiempo y a una tasa de interés determinada. Símbolos  c  capital inicial, valor presente.  i = tasa de interés anual (tanto por uno).  n = tiempo expresado en años.  Y =interés compuesto.  q =capitalizaciones en el año. 

i = tasa de interés proporcional. q

 C = monto a interés compuesto, valor futuro. Fórmulas Fundamentales Cuando la capitalización es anual q  1 





Y  c. 1  i   1 n



C  c.1  i 

n

 Cuando la capitalización no es anual q  1 nq   i  Y  c.1    1  q  

 i  C  c.1    q

nq

Fórmulas Derivadas 

c

 n

C

1  i 

n

log C  log c log 1  i 

C



c



n.q 

 i 1    q

nq

log C  log c  i log1    q

1

 C n  i    1 c

1

i  C  nq     1 q c

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Ejercicios 1) Determinar el interés compuesto producido por un capital de

1.000.000Gs en 3 años, al 6% de interés

anual. La capitalización se realiza anualmente. 2) Determinar el interés que se obtendrá al cabo de 5 años, si se coloca un capital de

500.000Gs al 8% de

interés anual con capitalización trimestral de intereses. 3) Calcular el capital definitivo que se puede obtener al cabo de 10 años, si se coloca un capital de

3.000.000Gs al 6% de interés anual, con capitalización semestral de intereses. 4) Determinar el monto que se puede obtener al cabo de 4 años, si se colocan hoy

10.000.000Gs y al fin

del primer año 20.000.000Gs más, al 12% de interés anual con capitalización semestral de intereses. 5) Calcular el monto que se obtendrá si se colocan

1.500.000$ durante 27 meses, al 8% de interés anual,

con capitalización anual de intereses. 6) ¿Cuántos años tardarán para que un capital de

400.000$ se convierta en 600.292,16$ colocado al 7%

de interés anual, con capitalización anual de intereses? 7) Un capital de

US$500.000 , colocado en un banco, se convierte en US$800.516,11 al cabo de 12 años.

Determinar la tasa de interés anual, sabiendo que los intereses se capitalizan anualmente. 8) Un capital colocado al

5% de interés anual compuesto se convierte, al cabo de 7 años, en

1.702.591,50Gs . Determinar el capital inicial, sabiendo que la capitalización fue anual. 9) Un capital de

3.200.000Gs se coloca a interés compuesto durante 15 años. Determinar el capital

definitivo que se obtendrá al fin de los 15 años, sabiendo que la tasa de interés de los primeros 5 años es 5% anual, los 5 años siguientes de 7% anual, y los últimos 5 años de 8% anual. Capitalización anual. 10) Una persona efectuará los siguientes depósitos en un banco, hoy

160.000Gs y dentro de un año

140.000Gs más. Determinar la tasa de interés anual de la operación, considerándola constante, sabiendo que la persona retirará al cabo de dos años, a contar de hoy, 330.576Gs , en concepto de capitales e intereses compuestos.

Respuestas 1) Y  191.016Gs 2) Y  242.974Gs 3) C  5.418.334Gs 4) Ct  44.308.863Gs 5) C  1.783.589Gs 6) n  6 años 7) t  4% anual 8) c  1.210.000Gs 9) C3  8.416.551Gs 10) i  0,065

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DESCUENTO DE DOCUMENTOS DE CRÉDITOS El Descuento es una operación financiera que facilita efectivizar en forma anticipada al portador o poseedor de un documento de crédito, cuyo compromiso del deudor está establecido en el documento para una fecha futura. La fecha que es exigible el pago del documento de crédito, se denomina vencimiento. La operación de descontar, como su nombre lo indica, es realizar una quita en términos de intereses, es decir, entregar en efectivo una suma menor consignado en el documento, para cuyo efecto se determina los intereses correspondientes, según el tipo de descuento que se practique, pudiendo ser ello un régimen de descuento comercial, descuento racional o descuento compuesto. Los documentos de créditos que con más frecuencia son objeto de la operación de descuento son: la Factura de Crédito, el Pagaré y la Letra de Cambio, sin embargo, puede constituirse también como un objeto de descuento, cualquier documento que consigne formalmente un compromiso de pago, exigible legalmente en la fecha de su vencimiento. Las entidades que más practican la operación del descuento son los Bancos y las Empresas Financieras, cobrando intereses por el servicio de adelantar el importe descontado o el valor actual, a una tasa de interés pactada, por el tiempo que falta para el vencimiento del documento el responsable del pago no efectiviza el importe del banco o a la institución financiera la suma adelantada, naturalmente la obligación de devolver el dinero recae siempre sobre el ente o persona que ha recibido el importe efectivo del documento, concluyéndose entonces, que el descuento no es otra cosa que una operación de préstamo. El objeto del presente Capítulo es estudiar los diferentes tipos de descuentos, comercial, racional y compuesto.

DESCUENTO COMERCIAL El Descuento Comercial es el interés simple calculado sobre el valor nominal de un documento de crédito, a una tasa de interés, por el tiempo que falta para su vencimiento. Este tipo de descuento sólo es practicable para documentos de créditos con vencimiento de corto plazo, como 30 días, 90 días, 12 meses o talvez hasta 18 meses, debido a que si el plazo de vencimiento es muy largo, el descuento puede resultar excesivo y el valor real del documento (lo que se va recibir), puede llegar a ser nulo (cero) o hasta adquirir valor negativo, los cuales ya serían absurdos como operación financiera. Para los bancos y empresas financieras, la operación de descuento comercial, no es otra cosa que un préstamo que conceden bajo el régimen de cobro anticipado de la totalidad de los intereses.

Símbolos  A : Valor nominal del documento, valor futuro (el importe escrito en el documento). 

i : Tasa de interés anual, tanto por uno.

 n : Intervalo de tiempo, expresado en años, entre la fecha de la operación del descuento y la fecha de

vencimiento para el pago del documento.  D1 : Descuento comercial.  V1 : Valor actual, real o efectivo, valor presente (Valor Presente = Valor hoy).

Fórmulas

D1  A.i.n

V1  A  D1

V1  A.1  in 

A

V1 1  in

D1 

V1 .i.n 1  in

V1 

D1 1  in  in

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Si se tiene una comisión:

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V1  A  D1  comisión

Ejercicios 1) Calculo el descuento comercial que sufre un documento de 1.000.000Gs al 12% de interés anual, 60 días antes del vencimiento. Considerando año comercial. 2) Un pagaré de 178.500Gs fue descontado 120 días antes de su vencimiento. Determino la tasa de interés anual, sabiendo que ha sufrido un descuento de 5.950Gs . Considerando año comercial 3) Un pagaré fue descontado a la tasa de 14,6% de interés anual, 90 días antes de su vencimiento. Calculo el valor nominal del documento, sabiendo que se ha obtenido por el mismo un valor efectivo de

9.640.000Gs , tomando en consideración el año civil. 4) Un pagaré de 8.000.000$ se descuenta comercialmente al 7,3% de interés anual, 30 días antes de su vencimiento. Determino el valor actual o efectivo del documento, considerando año civil. 5) Un pagaré fue descontado al 18% de interés anual, 45 días antes del vencimiento. Determino el descuento que ha sufrido, sabiendo que el valor actual es de 35.190Gs (Descuento Comercial); considerar año comercial. 6) ¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento fue descontado un documento de US$72.000 que, al 10% de interés anual, sufrió un descuento comercial de US$300 ? 7) Determino el valor actual de un documento cuyo valor nominal es de 120.000.000Gs que se descuenta comercialmente, 90 días antes de su vencimiento, al 12% de interés anual. Se sabe, además, que el banco cobra 0,5% de comisión sobre el valor nominal de documento. 8) Se ha recibido un valor efectivo de 6.123.000Gs por un pagaré descontado comercialmente 144 días antes de su vencimiento al 12% de interés anual, comisión 1% sobre el valor nominal del documento. Calculo el valor nominal del pagaré. 9) Se descuentan comercialmente dos documentos de valores nominales: 1.500.000Gs y 1.200.000Gs , respectivamente, al 6% de interés anual; el segundo vence 12 días más tarde que el primero y la suma de los dos descuentos asciende a 29.400Gs . Determinar el tiempo que falta para el vencimiento del segundo documento.

Respuestas 1) D1  20.000Gs

6) x  15 días

2) i  0,10

7) V1  115.800.000Gs

3) A  10.000.000Gs

8) A  6.500.000Gs

4) V1  7.952.000$

9) n  72 días

5) D1  810Gs

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DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO El descuento racional o matemático es el interés simple calculado sobre el valor actual o efectivo del documento de crédito. Esta operación es equivalente a un crédito en régimen de pago vencido de los intereses. Símbolos  A : Valor nominal del documento de crédito, valor futuro.  i : Tasa de interés anual, tanto por uno.  n : Intervalo de tiempo entre la fecha de la operación del descuento y la fecha de vencimiento

para el pago del documento de crédito, expresado en años. 

D2 : Descuento Racional o Matemático.



V2 : Valor actual, real efectivo (Valor Presente = Valor hoy).

Fórmulas

D2  V2 .i.n

V2  A  D2

A  V2 .1  in 

D2 

Ain 1  in

V2 

A 1  in

A

D2 .1  in  in

Relación entre descuento comercial y los respectivos valores actuales y efectivos

D1  D2

;

D1  D2  D2 .in

;

V1  V2

;

A

D1 .D2 D1  D2

Ejercicios 1) Hallar el valor actual de un pagaré de 21.500.000Gs que se descuenta racionalmente, al 18% de interés anual, 150 días antes de su vencimiento. 2) Calcular el descuento matemático que sufre un pagaré de $20.500 , descontado al 12% de interés anual, 75 días antes de su vencimiento. 3) Determinar el valor actual de un pagaré de 20.800.000Gs descontando racionalmente, al 12% de interés anual, 120 días antes del vencimiento. Comisión 1% sobre el valor nominal del documento. 4) El descuento comercial de un pagaré es de US$4.160 , y el descuento racional correspondiente es

US$4.000 . Determino el valor nominal del documento. 5) La suma de los descuentos comercial y racional de un pagaré es $2.020 , y la razón entre los mismos es

1,02 . Determino el valor nominal del documento.

Respuestas 1) V2  20.000.000Gs 2) D2  $500 3) V2  19.792.000Gs 4) A  US$104.000 5) $51.000

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DESCUENTO COMPUESTO El descuento compuesto es el interés compuesto calculado sobre el valor actual del documento de crédito. Es equivalente a un crédito de pago vencido de los intereses compuestos. Símbolos  A : Valor Nominal del Documento de Crédito, valor futuro (F).  i : Tasa de Interés Anual, tanto por uno anual.  n : Intervalo del Tiempo entre la fecha del descuento y la fecha del vencimiento de pago del documento, expresados en años.  q : Número de Capitalización en un año.  D3 : Descuento Compuesto.  V3 : Valor Actual, Real, Efectivo, o Presente (P) (valor presente: valor hoy). Fórmulas



  i D3  V3 .(1  ) nq  1 q  



D3  V3 . 1  i   1 n

D3  A  V3 nq

 i A  V3 .1    q

V3  A  D3

nq

 i D3 .1    q A nq  i 1    1  q

A  V3 .1  i 

n

V3 

A  i 1    q

nq

V3 

A

1  i 

n

V3 

n

A

D3  i 1    q

D3 .1  i 

1  i n  1

V3 

nq

1

D3

1  i n  1

Ejercicios 1) Determinar el valor actual de un documento de 1.000.000Gs que se descuenta, al 5% de interés anual compuesto, dos años antes de su vencimiento. 2) Determinar descuento que sufre un documento de 5.000.000Gs , 3 años antes de su vencimiento, al

18% de interés anual compuesto. 3) ¿Cuánto tiempo antes de su vencimiento fue descontado un documento de $52.500 que sufrió un descuento de $2.500 al 5% anual de interés compuesto? 4) Calcular el valor actual de un pagaré de 1.000.000Gs que vence dentro de un año y medio, considerando una tasa de interés anual del 8% , con capitalización trimestral de intereses. 5) Determinar el valor efectivo de un pagaré de 1.123.600$ , dos años antes de su vencimiento. Tasa de interés anual compuesto 6% y en concepto de comisión 2% sobre el valor nominal del pagaré.

Respuestas 1) V3  907.029Gs

3) n  1 año

2) D3  1.956.846Gs

4) V3  887.971Gs

5) V3  977.528$

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EL ÁLGEBRA Es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se puedan proponer sobre las cantidades.

Notación Algebraica  Los Símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades son los números y las letras.  Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.  Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.  Las cantidades conocidas se expresan por medio de las primeras letras del alfabeto a, b, c, d ...  Las cantidades desconocidas se representan por medio de las últimas letras del alfabeto u, v, w, x, y, z.

Expresión Algebraica Se llama expresión algebraica a toda representación de cantidades algebraicas mediante letras y números unidos por los signos de cálculo algebraico. Ejemplo: Clasificación de las Expresiones Algebraicas Según el tipo de exponentes, radicales o denominadores, las expresiones algebraicas pueden clasificarse de la siguiente manera.

{ { 1) Expresión Algebraica Racional: es aquella que tiene exponentes enteros o no tiene letras en el radicando. a) Entera: es aquella cuyas letras tienen exponentes enteros positivos o no tiene letras en su denominador. Ejemplos 2  2 x  3x  y



1 2 x  2 xy 3

b) Fraccionaria: es aquella cuyas letras tienen exponentes enteros negativos o tiene letras en su denominador. Ejemplos 2 2 3  x x y



x 2 x y xy

2) Expresión Algebraica Irracional: es aquella que al menos tiene una letra con exponente fraccionario o tiene letras en su radicando. Ejemplos 2

1

 x3  y2 3 

x2  y2

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Término Algebraico Es aquella expresión algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos. .Ejemplo.: la expresión algebraica 2 x  3 y  2 z 3 tiene tres términos que son: 2 x, 3 y, 2 z 3 . Partes de un Término Algebraico

Términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras con iguales exponentes aunque tengan distintos signos y coeficientes.

Reducción de Términos Semejantes Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en remplazar varios términos semejantes por uno solo.

Clasificación de las Expresiones Algebraicas según el Número de Términos  Monomios: son las expresiones algebraicas que constan de un solo término.  Polinomios: son aquellas que tienen dos o más términos. Se dividen en binomios, trinomios, cuatrinomios, etc. EXPRESIÓN ALGEBRAICA

MONOMIOS

POLINOMIOS

BINOMIOS

TRINOMIOS

CUATRINOMIOS

Grado de las Expresiones Algebraicas Grado: es una característica de la expresión algebraica, que viene dado por el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero positivo. En el caso de ecuaciones, permite saber el número probable de soluciones que tendrá. Puede ser de dos tipos: relativo y absoluto. El primero se refiere a una sola letra y el segundo a todas sus letras.

Grado de un Monomio  Grado Absoluto (G.A.M.): está dado por la suma de los exponentes de todas sus letras.  Grado Relativo (G.R.M.): está dado por el exponente de la letra referida a dicho monomio. Ejemplo Determinar los grados del siguiente monomio: 3x 7 y 8 z 4  G.A.M. : 7  8  4  19  G.R.M. : {

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Grado de un Polinomio  Grado Absoluto (G.A.P.): está dado por el término que tiene mayor grado absoluto.  Grado Relativo (G.R.P.): está dado por el término de mayor exponente de la letra referida a dicho polinomio.

Ejemplo Determinar los grados del siguiente polinomio: 4 x 4 y 3 z 5  8x 5 y 4 z 6  9 x 6 y 2 z 8

 {

 G.R.P. : {

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el resultado que se obtiene efectuando las operaciones indicadas en ella, después de sustituir cada letra por el valor que se le atribuye. Ejemplo:

x  2  para  y  3 z  1 

Halla el valor numérico de

Solución:

x 2 yz 3  2 2.3.13  4.3.1  12 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ADICIÓN Se efectúa agrupando términos semejantes Ejemplo:



6a

2

 



 2ab  7b 2   3b 2  2ab  5a 2 = 6  5.a 2   2  2.ab  7  3.b 2 = a 2  4b 2

SUSTRACCIÓN Se efectúa la suma de la expresión minuendo con el opuesto del sustraendo la cual se obtiene cambiando de signo todos sus términos. Ejemplo: Restar 2 x a 1  3x a  4 x a 1 de x a 1  3x a  3x a 1 ( x a 1  3x a  3x a 1 )

x

a 1

 6x  7 x a

–

( 2 x a 1  3x a  4 x a 1 )

=

1  2x a1   3  3x a  3  4x a1

=

a 1

56

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MULTIPLICACIÓN 1) Multiplicación de dos o más monomios: se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, la de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto.

 2x yz . 3ax y .  4b x z   24ab 1

2



2

1

2

y2z2

2) Multiplicación de un monomio por un polinomio: se efectúa multiplicando el monomio por todo y cada uno de los términos del polinomio sumando los productos obtenidos.

 3m . 5m 2



2



 3m a  2  15m 4  9m a2  6m 2

3) Multiplicación de dos polinomios: se efectúa multiplicando todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, sumando los productos parciales.

x  2 y . 3x  5 y  2  3x 2  5xy  2x  6xy  10 y 2  4 y  3x 2  10 y 2  2x  4 y  11xy DIVISIÓN 1) División de monomios: para dividir un monomio entre otro, se dividen los coeficientes de cada monomio y las variables por medio de las reglas correspondientes de los exponentes.



 



2 3 3 2 1   10 x y z   5x y z  2 x y

2) División entre un polinomio y un monomio: se divide cada término del polinomio entre el monomio y se obtiene la suma algebraica de cada cociente.





3 2 2 1  15x  10 x  5   5x   3x  2 x  x

3) División de polinomios: a) Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes de una de las letras comunes a los dos polinomios. b) Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. c) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. d) Con el nuevo dividendo, se repiten las operaciones b) y c) hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el divisor..

Dividendo resto  cociente  divisor divisor

e) El resultado es:



 

2 4 3 2 Ejemplo: efectuar x  2 x  3x  x  2  x  3x  2

 57

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POTENCIACIÓN Potencia de un exponente positivo: Si

es un entero positivo,

representa el producto de

factores iguales a . { Potencia de un exponente entero negativo:  a n 

1 an

n0

si

Ejemplo: 4 x 2 

4 x2

RADICACIÓN Sea a un número real cualquiera, y n un número natural mayor que 1, se llama raíz n  ésima de

a , a todo número real x , que satisface la ecuación x n  a . Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz

n  ésima . 4

81a 8  3a y  3a

5

 32b 5  2b

 

 9x 2  no tiene raíz en R

En general se cumple a) Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces, una positiva y otra negativa. b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n  ésima del mismo signo que a . Potencia de Exponente Fraccionario Sea a

m n

 n am

Potencia de un Exponente Cero (0) a0  1

Propiedades Generales de la Potenciación 1)

a p  a q  a pq

2)

a p  aq 

3)

a 

4)

a  b p  a p  b p

5)

ap a    bp b

6)

a  b2  a 2  2ab  b 2

7)

a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3

8)

a  b  c2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc

p q

ap  a p q q a

 a pq

p

58

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Ejercicios I – Hallar el valor numérico a) a 2  5ab  3b 3 para a  3; b  4

Rta.: 141

1 1 3a 2 5ab b b) para a  2; b  ; x    3 6 4 x ax

Rta.:

 16

Rta.:

26

Rta.:

2



 



c) 22a  b x 2  y  a 2  b b  a  para a  2; b  3; x  4; y 





d) a x  y 1  x  a  y 

2

 x 1 y 2 para a  1; x  2; y 

1 2

1 2

a a 1 a  b e)  para a  1; b  5 b 2 a3  b 2 b b 2

Rta.:

1 3

II – Efectuar 1)

De a  b restar a  b

2)

Restar m 3  14m 2  9 de 14m 2  8n  16

3)

Hallar la suma de

Rta.:

a

x

 m 3  8n  7

3 2 2 2 1 1 1 1 a  b ; ab  b 2 ; ab  b 2 , y el valor numérico del resultado 4 3 3 9 6 3

siendo a  2; b  3 4)

Rta.:

Rta.: 6



 a x1  a x2 a  1

Rta.:

a x3  a x

5)

3  2 3  2  a  b   a b  4  3 3 

Rta.:

4 1  a 4 b  a 3b 2 9 2

6)

2m  m  n  m  n

Rta.:

2m  n

7)

 a  b   3a  b   2a  b  a  b  2a

Rta.:

a  2b

8)

 a  2ab 3a b 

Rta.:

 6a m3b x1

9)

Dividir 2a m  3a m2  6a m4 entre  3a 3

Rta.:

2  a m3  a m1  2a m1 3

10)

 2 4 5   4 2   x y    x   9  9 

Rta.:



Rta.:

a2  a 1

m

2

12)

a x

13)

3ab  5x 

14)

2a  x 3

11)

x

 



4

 a 2  2a  1  a 2  a  1

2

 5 x  7   x  4



2 2

2b

Rta.:

1 6 5 x y 2

x 1

3 x4

Rta.:

9a 2 b 2  30abx 2  25x 4

Rta.:

8a 3  12a 2 x  6ax 2  x 3

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REGLA DE RUFFINI O DIVISIÓN SINTÉTICA El cociente de un polinomio entero y completo en x por otro de la forma x  a  , es un polinomio cuyo grado es inferior en una unidad al del dividendo y cuyos coeficientes se obtienen de la siguiente manera: una vez ordenado el dividendo de acuerdo con las potencias decrecientes de x , el primer término del coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; el segundo coeficiente se obtiene multiplicando en coeficiente anterior por " a" y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo, el tercer coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por " a" y sumando a ese producto el coeficiente del tercer término del dividendo, y así para los restantes El resto se obtiene multiplicando el último coeficiente del cociente por " a" y sumando a este producto el término independiente del dividendo.





Ejemplo: Dividir 2 x 2  x 4  2 x  4  x  3

1 3 1

0

2

–2

4

3

9

33

93

Cociente:

3

11

31

97

Resto: 97

x 3  3x 2  11x  31

TEOREMA DEL RESTO El resto de una división de un polinomio entero en x por otro de la forma x  a  , es el valor numérico del polinomio dividendo para x   a

 

Ejemplo: Calcular directamente el resto de la división  2 x 5  x 4 

R  2. 2   2  5

4

1  x  12   x  2 2 

1  2  12  64  16  1  12  69 2

Ejercicios I – Calcular el resto sin efectuar la división 1)

3x

4



 5x 3  2 x  19  x  3 

Rta. : 95

2)

1  3 2   2  y  y  3y  5   y    3 5  

Rta . :

3)

1 3 41   5 16  5m  3m  m    4  4m  5 5 

Rta. : 0

518 45

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II – Realizar las siguientes divisiones utilizando la Regla de Ruffini 1)

2x

3

 3x  x 4  x  3 

2)

2x

3

 3x  5  x 2  2 x  4 

3)



Rta. : x 3  5 x 2  15 x  42 



Rta. : x 2 

 1 3 6 4 3   a t  a  5at   3a  5t   5  5 

126 x3

3 3 11 x  2 2 2x  4

3 2 Rta. : at 2  a 2 t  a 3 5 5

III – Resuelve utilizando el Teorema del Resto 1)

Halla m para que  2 sea raíz de Px   3x 2  x  m

2) Calcula

k para que el resto de la siguiente división 5x 4  x 2  kx  3  x  2 sea  3 .

3) Hallar el valor de

k para que el polinomio x 3  9 x 2  kx  32 sea divisible por x  4 .

4) Calcula el valor de m para que el resto de dividir 5) Dado el polinomio

Px    x 3  2 x  5m entre x  2 sea  1 .

Px   5x 3  3kx2  2kx  8 , determinar el valor de k de modo que Px  sea divisible

por x  2 . 6) Hallar m para que el polinomio

1  2 x 3  2 x 2  4m  3 sea divisible por  x   . 2 

7) Calcula el valor de m para que el polinomio 8) Determina los coeficientes 9) Calcula

x 3  mx 2  x  2 dé 4 de resto al dividirlo por x  3 .





a y b para que el polinomio x 3  6 x 2  ax  b sea divisible por x 2  4 .

m y n , para que el polinomio x 3  mx 2  nx  6 sea divisible por x  3 y por x  2

10) ¿Qué número

m hay que añadir al polinomio Px   x 3  2x 2 para que sea divisible por x  4 ?

Respuestas 1)

 14

7)

2

2)

42

8)

a  4 ; b  24

3)

28

9)

m  0; n  7

4)

1

10)

32

5)

2

6)

13 16

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EL BINOMIO DE NEWTON El Binomio de Newton es una fórmula que nos permite calcular el desarrollo de a  b  en función a las n

potencias de a y b siendo n un número natural cualquiera. Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de a  b  

a  b0  1



a  b1  a  b



a  b2  a 2  2ab  b 2



a  b3  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3



a  b4  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4

Observaciones  El número de términos en el desarrollo es igual a n  1 .  En cada sumando la suma de los exponente de a y b coincide con el exponente de a  b  en la n

expresión correspondiente, es decir, que las potencias de a empiezan elevadas a n , va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.  Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esta disposición se conoce como “Triángulo de Pascal o de Tartaglia”

Cada uno de sus términos resulta de las combinaciones siguientes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

62

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Teniendo en cuenta estas observaciones se puede elevar un binomio a cualquier potencia n utilizando la regla general del Binomio de Newton.

a  bn  

n  n  n  n 1  n  n  2 2  n  n 1  n  n a   a b   a b  ...   ab   b 0 1 2 n  1          n

Ejemplo: elevar el siguiente binomio a la potencia indicada.

 x  2y 

4

Utilizamos la quinta fila del Triángulo de Pascal para fijar los coeficientes, y aplicando la fórmula del Binomio de Newton, tendremos:

 x  2 y   1x   4x  2 y   6x  2 y   4x  2 y   12 y   x 4  8x 3 y  24 x 2 y 2  32 xy 3  16 y 4 4

4

3

1

2

2

1

3

4

Fórmula del Término General El término de lugar k en el desarrollo de a  b  es:

(

n

)

Ejercicios 1) Elevar los siguientes binomios a la potencia indicada a)

2 x  3 y 5

 2 3 b)  2b   a 

4

2) Calcular el último término del desarrollo del binomio z  2y  . 8

20

 3 2 3) Hallar el término independiente del desarrollo del binomio  a   . a   2 3 4) Calcular el término que ocupa el lugar 50 en el desarrollo de  a   b 

2  3 ab 2



 2x 2 y 2  en el desarrollo  x  y

  

5) Hallar el término medio del desarrollo del binomio

6) Escribe el término que contiene x

31



100

.

14

20



7) Determinar el valor de k de modo que en el desarrollo del binomio 2 k  x 2 k que



12

se verifique

T5 15  2  x . T7 14 9

 x3 3   , determinar el término independiente y el término con  8) En el desarrollo del binomio  x  5 x6 .

63

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5n

 2 1 9) Sabiendo que en el desarrollo del binomio  3x   en el término que ocupa el tercer lugar 3x   el exponente de la x es 14, hallar n y el tercer término.

 2 1  10) Sabiendo que en el desarrollo del binomio  x   2x  

2n

el término de mayor coeficiente

binomial ocupa el séptimo lugar, determinar dicho término.

Respuestas

1) 5 4 3 2 2 3 4 5 a) 32 x  240 x y  720 x y  1080 x y  810 xy  243 y

b) 16b 8  96a 1b 6  216a 2 b 4  216a 3 b 2  81a 4 8 2) 256y

3)  508.035.072

52 4) T50  2,367.10

a 102 b 49 7 2

14 5) T8  60.046.272 2a b

31 11 6) T4  149.422.080 x y

7) k 

1 2

8) no tiene término independiente; T7  489,888 x 6 14 9) n  2; T3  32.805x

10)

T7 

231 6 x 16

64

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de dos o más factores, de tal manera que al realizar este producto, el resultado sea el polinomio inicial. Pero no todos los polinomios se pueden factorizar. Para la factorización de polinomios se presentan diferentes situaciones, dependiendo de las características que presentan, las cuales son citadas a continuación: I.

Factor Común

 El polinomio debe tener dos o más términos  Debe haber factor común en todos los términos  El factor común numérico es el MCD de los coeficientes  El factor común literal está formado por cada letra que es el factor común, con el menor exponente que posee el polinomio. 2 2  12 x y  8xy  16 xy 



II.

a  ba  b  5a  b  Factor Común por agrupación de términos

 El polinomio debe tener como mínimo 4 términos, o bien 6, 8, 9, etc. de manera que puedan formarse grupos iguales de números de ellos.  Debe haber factor común en cada grupo de términos.  Después de factorizar cada grupo, debe aparecer factor común polinomio igual en todos los grupos.  am  bm  an  bn   ax  ay  bx  by 

III.

Diferencia de Cuadrados Perfectos

 El polinomio debe tener sólo dos términos.  Debe ser una diferencia.  Los dos términos deben ser cuadrados perfectos.  x 2  4y 4    9m  2

IV.

25 2 n  36

Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

 El polinomio debe tener sólo dos términos.  Puede ser suma o diferencia.  Los dos términos deben ser cubos perfectos. 3 3  a  8y 

6 3 3  m n y 

65

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V.

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Trinomio Cuadrado Perfecto

 El polinomio debe tener tres términos.  Dos de sus términos deben ser cuadrados perfectos.  El tercer término debe ser igual al doble producto de las raíces de los términos cuadrados perfectos.  Sólo este tercer término puede tener signo negativo, no así los términos cuadrados perfectos.  x 2  4x  4   m n  mn  2

VI.

4

2

1  4

Cuatrinomio Cubo Perfecto

 Debe tener cuatro términos.  Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos  Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.  Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último. 3 2 2 3  x  6 x y  12 xy  8 y 

 54mn 2  27n 3  8m 3  36m 2 n 

VII.

Trinomio de la forma “x2 + bx + c”

 El polinomio debe tener tres términos.  Debe estar ordenado en forma descendente con respecto a la variable.  El primer término debe llevar la variable al cuadrado con coeficiente 1 positivo; el segundo término, la misma variable con exponente 1 y coeficiente entero positivo o negativo; el tercer término debe ser independiente.  x 2  7 x  18   m 4  30m 2  675 

VIII.

Trinomio de la forma “ax2 + bx + c”

 Las mismas características del trinomio anterior con la diferencia que el coeficiente del primer término debe ser un número entero diferente de 1.  3x 2  5 x  2   15x 4  11x 2  12 

IX.

Suma o Diferencia de Potencias Iguales Impares

 El polinomio debe tener sólo dos términos.  Puede ser una diferencia o una suma.  Los dos términos deben tener exponentes impares e iguales. 7 7  x y  10 5  x  32y 

66

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X.

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Factorización por Ruffini

 El polinomio debe tener dos o más términos.  Debe poseer una sola variable.  Debe poseer un término independiente.  Toda vez que el polinomio posea divisores de la forma x  a  se puede aplicar este método.  x 4  x 3  6  x  7x 2 

Casos Especiales 1) Caso Especial del Trinomio de la forma “x2 + bx + c” 

x 2  17 xy  66 y 2 

2) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos. 

a  b2  16x 2 



x 2   y  5  2

3) Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción de Términos 

x4  x2 y2  y4 



4a 4  8a 2 b 2  9b 4 



a 4  4b 4 

4) Combinación de Casos 

1  a 2  2ax  x 2 



x 2  y 2  4  4x  1  2 y 

67

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Ejercicios I – Factorizar los siguientes polinomios 1)

3x  6 xy  23)

x2 

y2  144

2)

y  y2 

3)

20 x 3 y 2  40 x 2 y 3 

24)

2am  x 2  9  a 2  m 2  6 x 

4)

ax  bx  ay  by 

25)

m 2  2m  48  81a 4  64b 4 

5)

x  10 xz  25z 

26)

51m 2  34 

6)

x x x

27)

a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3 

7)

x  7 x  10 

28)

1  b5 

29)

x  2a  x  2b 

8) 9)

x  7x  6 

30)

4m 8  n 4 

10)

2a 2  7a  3 

31)

xyz  xyz 2 

11)

a 2  4b 2 

32)

2 x 2  6 x  20 

33)

12 x 2  x  20 

2

2

2

4

2

3

12) 25  x  16 y  8xy  2

2

13)

az 2  bz  2az  2b 

34)

x  y 2  25 

14)

16  9c 4  c 8 

35)

27m 3  n 6 

15)

ax  1  bx  1  cx  1 

36) 49 x  25x  9 y  30 xy 

16)

n 2  2nx  x 2 

37)

9 y 2  x  m 

17)

n 4  81 

38)

64m 6  96m 4 n  48m 2 n 2  8n 3 

18)

z 2  7 xz  8x 2 

39)

a10  x 5 

19)

x 4  7 x 3  6 x 2  28x  40 

40)

x 4  10 x 3  35x 2  24  50 x 

20)

x 4  8x 2  128 

41)

5m 2  225  m 4 

21)

1  12a  48a 2  64a 3 

42)

a 7  128x 7 

22)

m 2  3mn 2  2n 4 

43)

a 2 y  ab 2  axy  b 2 x 

4

2

2

2

II – Factorizar Completamente 1)

2 x 2  2 x  12 

6)

6t 3  7t 2  20t 

2)

3t 2  108a 2 

7)

x 3 y  25xy 3 

3)

5x 2  20 y 2 

8)

x4  y4 

4)

5 y 4  25 y 3  70 y 2 

9)

m8  256 

5)

12 x  7 x 2  x 3 

10)

 m 4 nx 2  nm 2 a 2 

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para hallar el MCD y el MCM de expresiones algebraicas se procede de la misma manera que en aritmética. MCD: factores comunes con su menor exponente. MCM: factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

I – Hallar el MCD 1)

12 x 2 yz 3 ; 18xy 2 z ; 24 x 3 yz 2

2)

4a 2  4ab  b 2 ; 2a 2  2ab  ab  b 2

3) ax  3ax  2ax  6ax  8a ; x  4 x  x  4 x 4

3

2

4

3

2

4) x  2 x  5x  6 ; 2 x  5x  6 x  9 ; 2 x  5x  3 3

2

3

2

2

II – Hallar el MCM 5)

12 xy 2 ; 2ax 2 y 3  5x 2 y 3

6)

x 2  3x  10 ; 4 x 2  7 x  2

7) 8n  10n  3 ; 20n  13n  2 ; 10n  11n  6 2

2

2

8) m3  27n 3 ; m 2  9n 2 ; m 2  6mn  9n 2 ; m 2  3mn  9n 2

III – Hallar el MCD y el MCM 9) x  3x  4 ; x  3x  3x  11x  6 ; x  2 x  5x  6 3

2

4

3

2

3

2

10) x  7 x  15x  9 ; x  13x  12; x  2 x  15x  36 3

2

3

3

2

11) 3x  3x  24 x  36 ; 4 x  28x  24 ; 2 x  8x  6 x  36 x 3

2

3

4

3

2

Respuestas 1)

MCD : 6 xyz

2)

MCD : 2a  b

3)

MCD : x 2  3x  4

4)

MCD : x  3

5)

MCM : 12 x 2 y 3 2a  5

6)

MCM : x  2x  54 x  1

7)

MCM : 4n  12n  35n  2

8)

MCM : m  3n m  3n m2  3mn  9n 2

9)

MCD : x  1x  2 MCM : x  1 x  2 x  3

2





2

2

10)

MCD : x  3 MCM : x  3 x  4x  1

11)

MCD :

2

x  2x  3

MCM : 12 xx  3 x  1x  2 2

2

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FRACCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Fracción algebraica racional: es una expresión que se puede escribir como cociente de dos polinomios.

2x  4 x  3x  1 Donde la expresión 2 x  4 se llama numerador y la expresión x 2  3x  1 , se llama denominador.

Ejemplo:

2

Las reglas para el cálculo con fracciones algebraicas son las mismas que las correspondientes en aritmética. Una de las fundamentales es: “El valor de la fracción no se altera si se multiplican, o se dividen, el numerador y denominador por una misma cantidad, siempre que sea distinta de cero” En estas condiciones las fracciones se llaman fracciones equivalentes.

ak a  bk b

siempre que

k0 y b0

Fracción Negativa

a a a   b b b Simplificación de F.A.R. Simplificar una fracción es transformarla en otra equivalente cuyo numerador y denominador no tengan más factores comunes que la unidad. La fracción que resulta es irreducible. 

2x 2  8 y 2 2x  2 y x  2 y  2x  4 y que ya es una fracción irreducible.   2 2 2 x  2y x  4 xy  4 y x  2 y  OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Suma y Resta 1) Se simplifican las fracciones si es posible. 2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador, si son de distinto denominador. 3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas. 4) Se suman o se restan, los numeradores de las fracciones que resulten y se parte por el denominador común. 5) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

 5x  5 2x  1 x2 2x  1 x2  32 x  1  x  2  6 x  3  x  2       3x  12 4  x 3x  12 x  4 3x  4 3x  4 3x  4 Multiplicación 

1) Se descomponen en factores, todos los posibles, los términos de las fracciones que se van a multiplicar. 2) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores. 3) Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después de simplificar, y este producto se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. 

x  3x  1  x  5  1 x 2  2x  3 x5  2  2 x4 x  7 x  12 x  4 x  5 x  4x  3 x  5x  1



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División Para realizar la división se multiplica la fracción dividendo por la recíproca de la fracción divisor 

3x  15 12 x  18 3x  15 2 x  6 3x  5 2x  3       x3 2x  6 x  3 12 x  18 x  3 62 x  3

x 5 2x  3

EXPRESIÓN FRACCIONARIA COMPLEJA Es la que tiene una o más operaciones con fracciones en el numerador o en el denominador o en ambos. Para simplificarla se reducen las operaciones a fracciones simples y se dividen las fracciones que resultan.



x 1  x 1     x 1  x 1  1 1  x  1 x 1

1

x 1   x 1 1  x 1

x 2  2x  1  x 2  2x  1 x  1 x  1  x  1 x  1x  1 x  1  x  1x  1   1 x 1 x 1 2x x  1x  1 x  1x  1 x 1

4x x  1x  1  4 xx  1x  1   2x 2 xx  1x  1 x  1x  1

2

2

2

Ejercicios 1)

12 x 3 y 4 z 5  32 xy 2 z

7)

3x 8 y z 2    4 y 9 x 3x 2

2)

12a 2 b 3  60a 3b 5 x 6

8)

x 3  121x x 2  11x   x7 x 2  49

3)

x2  4  5ax  10a

9)

x 2  4 xy  4 y 2 x2   x 2  2 xy x2  4y2

4)

a3 1  a4  a3  a 1

10)

a  1 2a 3a  4    3 6 12

5)

x2  y2  x 2  2 xy  y 2

11)

2 3x  2  x  5 x  25

6)

3an  4a  6bn  8b  6n 2  5n  4

12)

x 1   2 y xy  y

13)

a 1 a  12    3a  6 6a  12 12a  24

14)

x 1 x 1  1 1  x 1 x 1 1

71

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15)

16)

2 2  1 a 1 a  2 2  a 1 1 a

24)

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x  1

1

x  4  x2  x  1   3  x  1  x  1 

1



25)

2   2 x  6 9 x 2  2 x  3    5 2  5   169 x  9  

a 2  8a  7 a 2  36 a 2  a  42    a 2  11a  30 a 2  1 a 2  4a  5

26)

a2  b  a 3  2a 2  a     a  1 a 1 b2

x 1  x2  2 x2 x2 x x 1

27)

x 2  x  12 x 2  x  56 x 2  5 x  24  2   x5 x 2  49 x  x  20

1



1

17)

18)

19)

20)

21)



 16  2 x 2  x 1  1  x 1

2

x y  2

28)

2

1

2

 

0

 3 x 2  2 y  3  3x x  2



 y  31

2a 2  2ab  2b 2  2a 3  2b 3

x  y  a b 2

29)

a  2 a 3  a a 2  2a  4 4   1 3  2 a   a   a  a  8 2  2  1

9  3x

30)

1 x y  2  4x  4 y 4x  4 y 2

31)

a b 2

xy 2a b



x 3  y 3 x 2  xy x y  2  2  2 2 x y x  yx x  xy  y 2

 x  y 4 n

x

2

 y2



2n



2

22)

23)

33)

  m  2   n  1   1    m       2      n    m 

x

2



y 1  y 2 x 1 xy x  y  1 x 2  y 2  xy

yx 2  xy 2 x3  y3



2a  b   a2  b2

1

1 yx

2x  3 3x  4  2  2 3x  x  2 2 x  3x  5





x y  x  2 xy  y 2 2

2  ab

34)

1

35)

2b 3  72b  3b 2  17b  6    b 2  2b  24  3b 2  7b  2 

36)

32)

37)

2ay  a 2 n x 2  2ax  a 2

38)

am  bm  a  b m3  1

1



 ax  a 2    2 y  an



  

1



a b  m  m 1 2

x 2  6x  9 x 4  81   x 2  7 x  12 x 3  4 x 2  9 x  36

72

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39)

 y3  4y2  5y y2  y  2   y 1     2    2 4 y  8 y   y  2 y  4   y  2y 1

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1



1

5b 9b 2  16 3b 2  11b  20  2  2  2b 9b  24b  16 b  3b  10

40)

 a 2  ab a 2  ab   1   2  2  2  2  a b   b  ab b  ab 

42)

1 2  2x  1  2ax  4a  5 x  10   6a  15a     2  x3   x  3x  7  2ax  5 x  6a  15 

43)

44)

y xy  2 x  y x  y2 y yx 1  x y x  y 2 x 2 y y 1  x 1  2 y x

41)



h2

47)



4y2 x y 5y2 x  3y  x y

h 1 h2  2

46)



h  h  2h  1

1

b a  b2 1 2 a

b a b 1  a b  2   a  3b  1



x  2y  45)

48)

49)

50)



 x  3y  3  9 xy 1  6  yx 1  9xy 1   x  y  2  y 2  x 2    b2  2  a



b a

a

  a   1   3 3    a b  2

 ab

1   2 x 1   2  2 x      2  4     2 2 x  10 x  12

51)

 1 x   1 x

52)

2 



1

2 2  2 x 2





1

1



 1  1  2   4x  2 4 x  8 x  12

1  x   1  x   1  x   1  x 2

1



1    1  1  1 x  

   

x 

 2 3

 53)

 x 12   

9

 x 13   

3

x  5

3

 2

73

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q

56)

1 57)

1 1  x a b

55)

x 3n  y 3n  xn  yn

p

 1  1  x     x   y  y   q p 1  1   y    y   x  x 

54)

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1   1  x ba

a ya

 ya   2    y  3a 

a y   a2 1 2 y

1

Respuestas 1)

3x 2 y 2 z 4 8

2)

1 5ab 2 x 6

3)

x2 5a

4)

1 a 1

5)

x y x y

6)

a  2b 2n  1 2

7)

2x z2

8)

x  11 x7

9)

x  2 xy x  4 xy  4 y 2

19)

10)

11)

12)

11 a 12 5 x  10 x 2  25 1 x y

13)

5 12

14)

x x

15)



1

21)

1

22)

m  n

23)

xy 2

24)

0

25)

10x  3 13x  3

16)

1 x7

17) 18)

1

x 1

y3  5y2 y 1

40)

b2  a2

41)

5b 2  15b  10 2bb  2

42)

3a x  3x  2

43)

26)

b 2 a 1

x x y

44)

x y

27)

5x 2  5 x 1

45)

x  3y x  4y

46)

h 1

x  y 2n  x  y 2 n

47)

a2 a2  b2

 5 x 2  14 x  23 x  13x  22 x  5

49)

2

28)

1

29)

xy 3b

30)

1

31)

32)

48)

x y xy 3x  y  3 1

50)

33)

xy 2 x  xy  y 2

21  x x  1 x  21  2 x 

51)

34)

a 2  b 2  4b a2  b2

2 x

52)

2x 2

35)

2b  4b b4

53)

x12

1 x3

54)

x    y

a2 x  a3

55)

1

2

2

1 a

39)

20)

2

2

1 ab

36)

37) 38)

x  a 2

56)

1 57)

pq

x 2n  x n y n  y 2n y2 y2  a2

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IGUALDADES Es la expresión de la equivalencia de dos cantidades. Clases de Igualdades a) Igualdad Absoluta o Incondicional (Identidad): es aquella que se verifica para cualquier valor numérico asignado a sus letras. Ejemplo: xx  2  10  2 x  10  x 2 b) Igualdad Relativa o Condicional (Ecuación): es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas “incógnitas” y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de dichas incógnitas. Ejemplo: x 2  5x  6

ECUACIONES En una ecuación las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: u; v; w; x; y; z . Así; 2 x  4  8 es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita x que sólo es verdadera para el valor x  2 . En efecto, si sustituimos la x por 2 tenemos:

2.2  4  8 88 Si damos otro valor a x que no sea 2 , la igualdad no se verifica o no es verdadera. MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN

Se llama primer miembro de una ecuación a la expresión que está a la izquierda del signo ( = ), y segundo miembro a la expresión que está a la derecha. Ejemplo: en la ecuación 2 x  2  3x  3 , el primer miembro esta constituido por la expresión 2 x  2 , y el segundo miembro por 3x  3 . TÉRMINOS DE UNA ECUACIÓN

Son cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo  o  , o la cantidad que está sola en un miembro. Así, en la ecuación anterior: 3x  5  2 x ; los términos son: 3x; 5; 2 x . RAIZ O SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Es el valor de la incógnita que verifica o satisface la ecuación. RESOLVER UNA ECUACIÓN

Es hallar la raíz, o sea el valor de la incógnita que satisface la ecuación

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CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

{

{

{

{ {

{

1) Ecuaciones Compatibles: Son aquellas que admiten solución y pueden ser, a su vez: a) Determinadas: si admiten un número limitado de soluciones. b) Indeterminadas: si admiten un número ilimitado de soluciones. 2) Incompatibles o Absurdas: son aquellas que no admiten solución.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS IGUALDADES QUE PERMITEN TRANSFORMAR LAS ECUACIONES

 Si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta una misma expresión o un mismo número, resulta una ecuación equivalente a la primera.  Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o divide por un mismo número o por una misma





expresión independiente de x m  0, m   se obtiene una ecuación que es equivalente a la primera.  Si a ambos miembros se una ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la ecuación que resulta es parcialmente equivalente a la primera. Soluciones Extrañas

Se denomina soluciones extrañas, a aquellas que se introducen o se pierden en una ecuación al realizar ciertas operaciones, en especial el tercer principio.

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Son aquellas que pueden reducirse a la forma ax  b  0 , siendo a y b los coeficientes. La solución es: x  

b a

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN 1) Si a  0 y b  0 , se tendrá: x  

b . a

2) Si a  0 y b  0 , se tendrá: x  0 . 3) Si a  0 y b  0 , se tendrá: x  indeterminado. 4) Si a  0 y b  0 , no se tendrá ninguna solución, es una ecuación incompatible o absurda.

Ejercicios

2)

I - Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones lineales 6 x  3  x  17 x  a x  a a2 x  ab  13)   2 xa xa x  a2 3x  6  40  6x  3

3)

0,26 y  0,21  0,04 y  0,06

4)

0,75w  20  2,25w  5

5)

x  3x  x  2  2x  1  x  x

6)

x2 x4 x6   3 5 7

7)

x3 1 x x  2 5 x   4 3 5 12

8)

1 1  5 x  2 x  1  3  1  2x  3  6   6 3  3 

1)



2

2



2 1 x x 3 2  x 3  2 2 3 4 6 12

14)

2 x  3a 11a 2 2 x  4a x  16a 2

15)

1 x2 xa  2  x  a a  ax a

16)

2a  x  3b  x  6 a 2  2b 2   b a ab



17)

mn  x   m  n m  x   n 2 

2mn 2  3m 2 n n

18)

xa xb x b    2 a b b a

19)

1 a 1 a 1 a 1  a x   x   x    x   2 2 4 4 8 5  10  8

20)

x x 2a b    x 1 a a b a b aa  b 

21)

v 1 2v  3 v 2 4

x 9)

10)

5  3x  2 3  x 2

11)

3x  a  2a  3

12)

z  b z  b 2 z  3b   2 3 6

Respuestas 1) x  4 4 2) x   3 3) y   0,9 4) w  10 5) x  4 6) x  104 7) x  2

8) 9) 10)

11)

12)

x0 x2 2 x 9 a6 x 3 8 z b 3



13) 14) 15) 16) 17) 18)

1 ab 2 x  4a  1 1 a x 2 x  2a  3b x  n  2m xb x

19) 20)

x  6a ba x ab

21) No tiene solución

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II - Resuelve 1) Calcula el número cuya mitad es 63 unidades menor que su doble. 2) ¿Qué edad tiene Rita sabiendo que dentro de 24 años tendrá el triple de la que tiene ahora? 3) Si al triple de un número se le suman 28 unidades, se obtiene el quíntuplo del número menos 4 unidades. ¿Qué número es? 4) Marta tiene dos terceras partes del dinero que tiene Tati, y entre ambas juntan 25 €. ¿Cuánto tiene cada una? 5) Si a Pablo se le doblará la edad, aún le faltarían 5 años para igualar la edad de su padre. Sabiendo que Pablo nació cando su padre tenía 25 años, ¿cuál es la edad de cada uno? 6) La base de un rectángulo es 5 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. 7) La edad de Rosa es triple que la de su hija Sara, pero dentro de 10 años será solamente el doble. ¿Qué edad tiene cada una? 8) La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número? 9) Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. Cuál es la edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años? 10) La construcción de una carretera entre dos pueblos se inicia a la vez por ambos extremos. Al cabo de un mes, lo construido por un extremo es

3 de lo construido por el otro, y faltan por construir 4.200 metros, que 4

es el doble de lo que ya se ha hecho. ¿Qué longitud va a tener la carretera? 11) Una persona tenía cierta cantidad de dinero y realizó los siguientes gastos: primero los al principio y segundo los

2 de lo que tenía 5

5 de lo que le quedó. Si aún tiene $500, ¿cuánto tenía al principio? 6

12) Un farmacéutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La solución debe tener 2% de ingrediente activo, pero sólo tiene disponibles soluciones al 10% y al 1%. ¿Qué cantidad de cada solución debe usar para completar la receta? 13) Juan tiene un perro. Actualmente su perro tiene 12 años menos que él. Dentro de 4 años, Juan tendría el triple de la edad de su perro. ¿Cuál es la edad de Juan y la de su perro?

Respuestas 1)

42

8)

2)

12 años

9)

16 años

3)

16

10)

6.300 metros

4) Tati 15€ y Marta 10€

11)

$5.000

5) Pablo 20 años y su padre 45 años

12)

1,67ml y 13,33ml

13)

Juan 14 años y su perro 2 años.

6)

base  13cm y altura  8cm

7)

Rosa  30 años y Sara  10 años

27

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ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación entera es de segundo grado si el mayor exponente de la incógnita es dos. Su forma general completa es

ax 2  bx  c  0 .

Donde "a" es el coeficiente cuadrático; "b" es el coeficiente lineal, y "c" es el coeficiente o término independiente. Cuando en la ecuación ax 2  bx  c  0 ; algún coeficiente es nulo, se dice que la ecuación es incompleta. Pueden presentarse los siguientes casos  Si b  0 , se reduce a una ecuación de la forma ax 2  c  0 , obteniéndose dos raíces iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.  Si c  0 , se reduce a una ecuación de la forma ax 2  bx  0 , obteniéndose dos raíces, una nula y la otra un número real cualquiera.  Si b  c  0 , se reduce a una ecuación de la forma ax 2  0 , obteniéndose una única raíz nula. Resolución de Ecuaciones Cuadráticas a) Resolución por Factores  Se reduce la ecuación a su forma general ax 2  bx  c  0  Se factoriza ax 2  bx  c .  Se iguala a cero cada factor resultante en el paso anterior.  Se resuelven las ecuaciones de primer gado resultantes. b) Resolución por Fórmula General  Se reduce la ecuación a su forma general ax 2  bx  c  0  Se utilizan los coeficientes a; b; c ; y  Se aplica la fórmula general de la ecuación cuadrática

x

 b  b 2  4ac 2a

DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad subradical  denominado discriminante.

  b 2  4ac Debido a esta función, a la cantidad subradical se le denomina discriminante o invariante. Los casos que se presentan son: 1) Si   0 ; o sea:

b 2  4ac  0

 Las dos raíces son reales y desiguales. 2) Si   0 ; o sea: b 2  4ac  0  Las dos raíces son iguales y reales. 3) Si   0 ; o sea: b 2  4ac  0  Las dos raíces son complejas y conjugadas.

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PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Dada la ecuación:

ax 2  bx  c  0 Sus raíces son:

x1 

 b  b 2  4ac 2a

x2 

 b  b 2  4ac 2a

SUMA DE LAS RAÍCES

x1  x 2  

b a

MULTIPLICACIÓN DE LAS RAÍCES

x1 x 2 

c a

Ejercicios I - Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas 2 2 5x  8 7 x  4 1) x  3  2 x  5  16 8)  x 1 x2 2 2) 5xx  1  2 2 x  7 x  8 4 x 2 1  3x 20 x 2 9)   3) x  2  1  xx  3 x 1 4 3





4)

x 1  x    x 1 5 6

5)

x4 x2 1   x  5 x  3 24



10) 3 x 2  4

1



1



1 5



2 2 2 4 11) bx  a a  b x  a b  0

12)

x2 x 6)  2 4 2

  x  1x  2

1 1 1   0 a a  x a  2x

2 2 2 2 13) a x  a  bx  1  b x  a  bx  2

x x2 2   x 6 2 3

14)

x 2b 2 1 x  b 2 2b 1      ax x a2 a2 x a2 a2 x

1) x1  0 ; x 2  

9)

x1  3 ; x2  

2)

26 3 x1  1 ; x2  8

10) x1  

3)

x1  3 ; x2  

7)

Respuestas

1 2

10 3 ; x2  3 2

4)

x1 

5)

x1  3 ; x2  11

6)

x1  4 ; x2  2

7)

x1  0 ; x2  1

8)

x1  4 ; x2 

5 2

11) x1 

1 ; x2  3 2

a3 ; x 2  ab b 3 2

12) x1   a  13) x1 

1 23

3 3 3 a ; x2   a  a 2 2 2

1 1 ; x2  a b ab

14) x1  a  b ; x2  b  a

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II - Resuelve 1) La familia Acosta tiene una huerta con 90 plantas de tomates. El número de plantas de cada fila excede en 3 al doble del número de filas. Determinar el número de filas y el número de plantas por fila. 2) Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo con alambre. Si el costo por preparar el terreno es de $0,5 por metro cuadrado, y la cerca cuesta $1 el metro lineal. Determinar las dimensiones del terreno si el costo por prepararlo y cercarlo es de $120. 3) Hay que repartir $60.000 entre cierto número de amigos, presentes en una reunión, en partes iguales. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le correspondería $2.500 más. ¿Cuántos son los amigos presentes? 4) Dos trabajadores A y B realizan juntos una tarea en 10 días. Trabajando por separado, el trabajador A tardaría 5 días más que B. Determinar el número de días que tardaría en realizar la tarea cada uno de ellos trabajando por separado. 5) Dos ciclistas A y B parten de un punto P al mismo tiempo y en direcciones que forman un ángulo recto entre sí. El ciclista B se desplaza a 7 km/h más rápido que A. Después de 3 horas se encuentran a 39km de distancia uno del otro. Determinar la velocidad de cada ciclista. 6) ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x  kx  4  0 para que las dos raíces sean iguales? 2

2 7) ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x  k  2x  3k  0 para que el producto de las raíces sea 24?

8) ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x  7 x  k  0 sabiendo que sus raíces se diferencian en 3 2

unidades? 9) Determinar los valores de m en la ecuación x  6 x  m  0 de suerte que una raíz sea el cuadrado de 2

la otra. 10) Determinar los valores del parámetro k para los cuales la suma de los cubos de las raíces de la ecuación

3x 2  3k  1x  k 2  0 sea igual a la unidad. Respuestas 1) 6 filas de 15 plantas

6) k  4 ; k  4

2) 12m  12m

7) k  8

3) 8 amigos

8) k  10

4) 22,8días y 17,8días

9) m  8 ; m  27

5) 5

km km y 12 h h

10) k  0 ; k  1,5

81

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SISTEMAS DE ECUACIONES Se denomina sistema de ecuaciones a un conjunto de ellas, que poseen las mismas incógnitas, y que se verifican para un mismo valor de las mismas. Pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, etc., o mezcla de ellas. Ejemplos

2 x  3 y  5  3x  y  7

x  y  z  6   x  2 y  5 z  12  x  4 y  25 z  36 

 x  y  12  2 2  x  y  104

2 2  2 x  y  2  3 3  x  y  9

Sistemas Equivalentes Dos o más sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Solución del Sistema Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican todas y cada una de las ecuaciones que componen el sistema. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES

{ { “Para que un sistema sea determinado el número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas”

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES PARA LA TRANSFORMACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

 Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de ellas por la que resulta de sumarla o restarla miembro a miembro con otra u otras cualquiera de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado.  Si en un sistema de ecuaciones se sustituye una de ellas por la que resulta de sumarla o restarla miembro a miembro, con la combinación lineal de una y otras cualquiera de las restantes, el sistema obtenido será equivalente al propuesto.  Un sistema de ecuaciones se transforma en otro al sustituir una de ellas por la ecuación obtenida multiplicándola miembro a miembro por otra o producto de otras, o bien dividiéndola miembro a miembro por otra o producto de otras, siempre que ninguna de las soluciones del primer sistema anule a los miembros de la última o últimas ecuaciones.

Métodos de Resolución Los métodos de resolución son muy variados pero los más utilizados son los de eliminación.

{

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Ejercicios I – Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

1)

2)

3)

2 x  5 y  3  4 x  y  14  4x  3  5 y  8 y  x   4  x  y  12   xy  35 x  y  1   xy  2 y  2

 x  y  35  x  y  5  x  y  z  15  x  y  w  16    x  z  w  18  y  z  w  20 3

4)

5)

6)

7)

3

8)

y 1  x  a  b  a  b  ab  2 2  x  y  a b  a b a 2b 2  g 1 h  3 1  3  2  6   3h  2  6 g  3   3g  h  2 6 3 x b y b a b  a  b  b  x a  y a   a b  b a a

9)

Respuestas 1 1) x  ; y  2 2 x  7 ; y  5  2)   x  5 ; y  7  x  0 ; y  1   x  1 ; y  2

3) 

5)

x  3; y  5; z  7; w  8

1 1 ; y a b 1 7) g   ; h3 2 8) x  a  b ; y  a  b 6) x 

 x  2 ; y  3  x  3 ; y  2

4) 

II - Resuelve 1) La razón entre las edades de dos personas es de

2 . Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de 3

cada una de ellas? 2) En un corral hay ovejas y gallinas en número de 77 y si contamos las patas obtenemos 274 en total. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay? 3) Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero sería igual al doble del segundo. Hallar los números. 4) La suma de las tres cifras de un número capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas excede en 4 unidades al doble de la cifra de las centenas. Halla dicho número.

83

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5) Halla una fracción sabiendo que si se aumenta en uno el numerador se convierte en , en cambio si se hace con el denominador, la fracción se convierte en . 6) Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el doble. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano? 7) La suma de tres números es 36. El mayor más el duplo del mediano más el triple del menor suma 58. El duplo del mayor mas el triple del mediano menos el quíntuplo del menor es igual a 40. Halla el mayor de los números. 8) La diferencia entre el quíntuplo del cuadrado de un número y el cuadrado de otro número es 11. Si la suma del primero con el cuadrado del segundo resulta también 11. ¿Cuáles son los números? 9) La suma de los cuadrados de dos números es 18. Si al cuadrado del primero se le suma el producto entre ambos números resulta 0. ¿Cuáles son los números?

Respuestas 1)

30 años y 45 años

2)

60 ovejas y 17 gallinas

3)

28 y 16

4)

282

5)

4 15

6)

hermano : 15 años; padre : 35 años

7)

20

 11 66 ; y x   5 5   11 66 8)  x   ; y 5 5  x  2 ; y  3   x  2 ; y  3   x  3 ; y  3   x  3 ; y  3

9) 

84

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RADICALES La radicación es una operación que consiste en hallar una cantidad algebraica que al ser elevada a un cierto índice

reproduce una cantidad dada

, llamada raíz,

, llamada radicando o

cantidad subradical. En general:

n

a  b  bn  a

 Si la raíz indicada es exacta, tenemos una cantidad racional, y si no lo es, irracional.  Si el índice es 1, de acuerdo con la definición, el radicando coincide con la raíz; en este caso trivial, está demás escribir entonces el signo radical, en consecuencia sólo nos referiremos a radicales de índice natural n  1.  El grado de un radical es el índice de la raíz.

Regla de los signos de la radicación  Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva.  Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa.  Si el índice es par y el radicando positivo, existen dos raíces reales de igual valor absoluto, pero de distinto signo.  Si el índice es par y el radicando negativo, no tiene raíces reales. Sus raíces son imaginarias.

Propiedades de las Raíces a) La raíz enésima de un producto, es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de los factores, siempre que las operaciones sean posibles. n

abc n a 

n

b 

n

c

b) El producto de los radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice, cuyo radicando es el producto de los radicandos de los radicales dados. n

a 

n

b 

n

c 

n

abc

c) La raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de las raíz enésima del dividendo, dividida por la raíz enésima del divisor, siempre que las operaciones sean posibles. n

a c  n a 

n

c

d) El cociente de dos radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice cuyo radicando es el cociente de los radicandos de los radicales dados. n

a 

n

c 

n

a c

85

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e) La raíz emésima “m” de la raíz enésima “n” de un número es igual a la raíz de índice “mn” de dicho número. m n

a 

mn

a

f) El valor de un radical no se altera si se multiplican o dividen exactamente por un mismo número el índice y el exponente.

a b  nm a bm

n

Reducción de Radicales Reducir un radical es cambiar su forma sin cambiar su valor (Expresiones Equivalentes). Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión. Un radical queda reducido a su más simple expresión si: a) El radicando no contiene factores con exponentes igual o mayor que el índice.  √

√

√

b) El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común aparte del 1 (uno) √

 √

√

√

c) No aparece ninguna fracción dentro del radical.  √

√

√

√

d) No aparece ningún radical en el denominador de una fracción. 

√

√

√

√

√

√

√ √

√

Simplificar los siguientes radicales 1) 2 3 54 x 5 y 9 6

2) a 3)

n

125 x

n

9

a 2 n1

2a  6a  3a  12a

x

x 3 x  1  2 x  1

y n 1 2 3 5

7)

3 3 3 4) 2a 2a 5)

6)

20 3

8)

a a

9)

a a a

5

10)

5

11)

8

6

2

m 2  n 2  2mn 4a 2 cd  8abcd  4b 2 cd

12)

Respuestas 1)

6 xy 3 3 2 x 2

2)

ax

3)

a2 n a

4)

3 4a 2

5)

12a 2 3

6)

1 y2

7)

1 6 2

5x

3

12a 2

8) 9)

3

a2

8

a7

n

xy n1

10) 11) 12)

10

x3

4

mn

2a  2b

cd

86

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OPERACIONES CON RADICALES Conceptos Básicos  Radicales Semejantes: dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.  Radicales Homogéneos y Heterogéneos: dos o más radicales son homogéneos cuando tienen el mismo índice. En caso contrario son heterogéneos.

Adición y Sustracción Para sumar algebraicamente dos o más radicales se reducen a su forma más simple y se reducen los términos semejantes.

Multiplicación  Para multiplicar radicales homogéneos, se extrae la raíz del mismo índice al producto de los radicandos. n

A  n B  n A B

 Para multiplicar radicales de índice distinto, se reduce al mismo índice común y se aplica la regla anterior.

División  Para dividir dos radicales homogéneos, se extrae la raíz del mismo índice al cociente de los radicandos. n

A n B  n A B

 Si los radicales tienen índice diferente, se reduce a índice común y se procede como en el caso anterior.

Potenciación Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando a la misma potencia y se simplifica si es posible.

 A n

m

 n Am

87

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Simplificar los siguientes radicales 1) 2 b  6 a  b  3 b  a  4 b 

4)

2) 3 3 16a  2 3 54a  4 3 81a  2 3 24a 

5) 5

2 3





2 6 

xy  xy 

a b 1 1 3 3  2  ab  b a ab b

3)

6) 2 a 4 x  3a 4 y  a 2 9 x  27 y  25a 4 x  75a 4 y 

ab  bc  ac 

7) 8)

3

7  13 

15)

a 2 x2  2x2  x2 

3

16) 8a 2 b x 2 y  6ab 2 xy 

x a 1

17) y 3 x 2 y  x xy 

9) 2 5a  6 3 25a 2 

   2 a  3 a  b   a  a  b   2  3   4  3 27   x  2  x  3    2 x  1 

2 3 5  20

18)

10) 3 7  7 3  3 7  7 3  11) 12) 13)

2

3

2

2

t t t  14)  3    42 3 2 2 2 

7  13 

2

19)

3

a  b

  20)  4  3   

b  c   ab    

 

5

6

2

2

Respuestas

x2  x  6

1) 5 a

13) 2

2) 12 3 2a  16 3 3a

14) t 2 3

 a  b  2  a 2b   ab 3)  ab  

15) 6 16)

4a 3b

17)

16 5 xy x

18)

1 6 2

19)

1 b

4) 2  2 3 5) 5

6

x5 y5

x  3y

6) 4a 2 7) abc 8) x

3

9) 60a

a 1 6

5a

20)

6

x

a 2 c 3b

a 5b 5

10)  84 11) 3b  a  a 2  ab 12) 11 7 3

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RACIONALIZACIÓN DE UNA FRACCIÓN La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar el radical o los radicales que están en el denominador de una fracción. Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada (factor racionalizante), de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

CASOS Primer Caso: Racionalización de monomios con índice 2. 2



2x



Segundo Caso: Racionalización de monomios con índices mayores que 2. 2y

 3

4x 2 y



Tercer Caso: Racionalización de binomios de índice 2.

x y



x y



Cuarto Caso: Racionalización de trinomios con índice 2.

3



2 3 5



Quinto Caso: Racionalización de binomios o trinomios con índice 3.





x y 3

x 3 y



a2 3

4  3 2a  3 a 2



89

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Sexto Caso: Cuando el denominador es un binomio o polinomio cuyos radicales tienen índices iguales pero mayores que 3. 



14



5

10  5 3

4

x  4 x y  4 xy 2  4 y 3

x y 3

2



Racionalizar las siguientes fracciones

2 2 3  2

1)

2)

5  3 4x

9)

2a  a  b 2a  a  b

10)

4

3)

4)

5)

6)

1  x 3 y

3

11)

a2  b2  a b

7)

12)

2  2 3 4

13)

x 1  1 x 1

14)

3

32 2

8)

3 2 2



ab a  b  a b 12 2 3 5





6 5  6  10  15

33 2 3

4 3 2 2 6

2 2 4 2



 

1 x 5

x4  5 x3  5 x2  5 x  1



Respuestas 1)

1 6

5)

a  b

a b

5 6x

6)

2)

 2

4  23 2

7)



8)

3 2 2

9)

a  b  a 2  b2 2b

4

4x3

3a  b  2 2a  2ab ab 2

3)

3

4)

x 2  3 xy  3 y 2 x y



3

x 1  x 1 x



10)

2 3  3 2  30

11)

5  15  10  6

12)

 3 2 1

13)

2  24 2  4 8

14)

1 5 x

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REDUCCIÓN DE RADICALES COMPUESTOS A SIMPLES Un radical compuesto de la forma √ √

√ toda vez que

√ se puede reducir a uno simple equivalente de forma

sea un cuadrado perfecto

.

Si cumple con dicha condición tendremos:

√

}

Ejemplo Convertir el siguiente radical compuesto √  √

√

√

√

√

√

a uno simple

√

Por lo que:

Condición Necesaria 

.

Calculamos los valores de e 

√

√

√

   √

√

√

√

√ √

√

√

Ejercicios Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones 1) √ 2) √

√

√

√

3) √√

√ (√

√

√

√ √

√

√

√ (√

)

√

√

√ √

√

√ √ )

Respuestas 1)

2)

3)

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ECUACIONES IRRACIONALES Son ecuaciones irracionales aquellas que contienen alguna incógnita bajo uno o más radicales. Ejemplos:

 9 x 2  5  3x  1

 x2  2 x6

Para resolverla se siguen los siguientes pasos:  Se racionaliza la ecuación.  Se resuelve la ecuación resultante.  Se verifica sí la raíz o raíces encontradas satisfacen la ecuación propuesta. Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones irracionales 1) 2)

x  25  x 2  7 3

x3 

14)

x3 

15)

x6  x4 

16)

12  3 2 x  5  3

3t  2  6 9t 2  10t  6

3)

x  5  1

4)

4  5 x  14

5)

z  5  3  z  12

6)

x  5  10  x  1

x

13)

x3 x2

x3

3

1 6 x4

4  x 5  x   x  1

17)

7 5 x3  2

7) 8)

x 1 x  4  1 x

18)

x 1  x  x

x 2  4x  2  x  2

19)

9)

2 x  3  3x  2  2 x  5  3x

1 y 

20)

10)

x  a  x  a  4 x  2a

y9

11)

w3  w 2 1

12)

m 1  1 m  4

Respuestas 1)

x 4 ; x  3

11) w  6

2)

t 1

12) m  8

3)

x  16

13)

4)

x4

14) incompatib le

5)

z  20

15) incompatib le

6)

x6

16)

7)

x9

17) incompatib le

8)

x5

18)

9)

incompatib le

19)

10)

y  16

x  2

x3 x 1

x3 20) x  a

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LOGARÍTMACIÓN En Matemáticas, el logaritmo es la función inversa de la función potencia x  a n , que permite obtener n . Esta función se escribe como: n  log a x . { Es el exponente o potencia “n” a la que un número fijo “a”, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado “x” llamado argumento. Por ejemplo:

34  81

→ log 3 81  4

(se lee, logaritmo de 81 en base 3 es igual a 4).

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí. Consideremos la expresión b n  x 

b puede ser encontrado con radicales



n con logaritmos y



x con potenciación.

Cuando la base del logaritmo es 10 (logaritmos decimales) se puede dejar de escribir. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1) Un logaritmo no puede tener como base a la unidad. 2) En el campo de los números reales no existen logaritmos de cantidades negativas. 3) No existe el logaritmo de base negativa. 4) El argumento de un logaritmo no puede ser nulo. 5) El logaritmo de la base es 1. 1 log a a  1 , pues a  a

6) El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base. 0 log a 1  0 , pues a  1

7) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log a  A  B   log a A  log a B 8) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.  A log a    log a A  log a B B

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9) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. log a An  n log a A

10)

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice. 1

log a n A  log a A n 

log a A 1 log a A  n n

Cambio de base: El logaritmo en base b de un número se puede obtener a partir de

11)

logaritmos en otra base.

log N M 

log b M log b N

12) En todo logaritmo, si se eleva la base y el argumento a una potencia “n” o se aplica a ambos una raíz de índice “n”, el resultado obtenido es equivalente al original.

log a N  log a n N n  log n a

n

N

Otras Propiedades Importantes

m p

#

log A p A m 

#

Alog A M  M

#

log B A 

#

log  1  A   log B A

1 log A B

B

LOGARITMO NATURAL

Se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182807….

COLOGARITMO

El cologaritmo de un número en una base “a” es el logaritmo de la inversa del número en la misma base. También es equivalente al logaritmo del número en la base, precedido del signo menos.

co log a A  log a

1   log a A A

ANTILOGARITMO

Se denomina antilogaritmo en una base “a” al número que dio origen al logaritmo.

anti log a A  a A

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Ejercicios 1) Expresa los siguientes logaritmos a la forma exponencial y en forma de raíz.

a) log 3 9  2

c) log 49 7 

b) log 10 1  0

1 2

 1  d) log 10    4  10000 

2) Escribe las siguientes expresiones a la forma logarítmica

a) 64  4 3

c)

b) 81  34

1  4 2 16

d) 2  3 8 3) Expresa en forma de un sólo logaritmo:

a)

log x  log y 

b)

logxy   log z 

c)

2 log x  3 log y 

d)

log x  5 log y  2 log c 

e)

1 log x  log y  2

f)

1 log x  4 log y  2 log z  log t  log k  3

4) Sabiendo que

y

, calcula:

k2  a) log    t 

 

b) log kt 3 

 10k 2  c) log 3    t  1

 4t  2 d) log  2    8k  3

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5) Calcula los siguientes logaritmos utilizando las propiedades

a) log 81 3 

 

b) log 3 3 3  4 3  c) log 3    9   3  d) log 81   3  

4 3  e) log 1   9 9 

f) log

g) log

h) log

3 3

3 3

81  1   9

 3  4

3 3

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS 2 log x  3  log

x 10





log 16  x 2 2 log 3x  4

log x  logx  3  2 logx  1

Para hallar las raíces de una ecuación logarítmica hay que eliminar los logaritmos utilizando dos principios básicos. 1) Definición de logaritmo.

2) Igualdad de argumentos.

Ejercicios

Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1) log 4 64 



2x  1 3

3) log 2 x3 81  2



2) log 6 2x  10  2 3

4)

5)

log7 x  9  log3x  4  2

6)

logx  1  log2 x  1  logx  2  log5x  7

7)

2 log x  log

8)

1 1  1 4  log x 3  log x

9)

log 7 x  3  log 4 x  5 

2

log x  7   0,5 log x  1

2

x 3  2 2

1  log 3 2

 x 1  x 1 10) 2 log   3 log   1  log x  1  log 5  5   2 

Respuestas 1) x  5

7) x 

10 200

2) x  2 3) x  3 4) x  10 13 5) x1  2 ; x2  21

8) x1  10

1 21 2

; x2  10

1 21 2

9) x  1 10) x  11

6) x  5

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LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f x   a x , siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R. La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que: ax  b



log a b  x

Propiedades de las funciones exponenciales Para toda función exponencial de la forma f x   a x , se cumplen las siguientes propiedades generales:  La

función exponencial aplicada al valor cero es siempre igual a la unidad:

f 0  a 0  1  La

función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f 1  a1  a  La

función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f x  y   a x y  a x . a y  f x . f  y   La

función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f x  y   a x  y 

ax f x   y f y a

La función ex Un caso particularmente interesante de función exponencial es f x   e x . El número e , de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: n

 1 1   cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito.  n

98

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ECUACIONES EXPONENCIALES Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería a x  b Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:  Igualación

de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los

dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:

ax  ay En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x  y.  Igualación

de Exponentes: consiste en realizar artificios para llegar a igualar los exponentes de

los dos miembros.

ax  bx En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad a  b.  Cambio

de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por

potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

2

2x

t 2 x

 3.2  4  0  t 2  3t  4  0 y luego se deshace el cambio de variable. x

Sistema de Ecuaciones Exponenciales Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

Ejemplos



x  2 y  9  x y 2  3  8



m x  2  n 2 y 3  mn  m y  x  n  3m  n

99

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Resolver las siguientes Ecuaciones Exponenciales 1)

2 x  64

2)

5 2 x  625

11)

2 x  2  0,5 2 x 1 125

12) x2 2 x

3)

8

4)

3 

5)

6)

 512 13)

x x2

10 x 6

2

x 3

9

11x 30

 2.5

10 x.10  1000 x.10000  625

7 

x x4



21)

n

1 343

17) 18) 19)



 8 3

0

 1000

x

x 5

23)

4 x  5.2 x  4  0

24) 5

x

 51x  6

25) 5

x

 125.5 x  30

26)

2 2 x  3.2 x 1 

a 7 x  a 2

27) 11

3

m 5 y  m 2

28) 3

2.5

 50

 10

 5 x1  5 x2  31

x

3

x 2 2

x 2  4 x 3

2 x  2 x1  2 x2  5

22) 5

0

 1     100 

x2

x 2 3 x  2

16) 10

8)

10)

14) 1000

15) 8

81  32 x 1

125

 15

2

7)

9)

x 1

 25

x 2

x

1  216

2 n 1

49

x 2

20) 10.5

x

29) 3

 22

2 x 1

4x

30) 0,8

1 0 2 3

 25

 4 3 x1 2 x 3

 1,5 x

Respuestas 1)

x6

2)

x2

3) 4)

x1  3; x2  1

x1  0; x2  4

1 3

11)

x

12)

x3

13)

x  1

14)

16 x 5

5)

x1  7; x2  4

6)

x0

15)

x1  2; x2  1

7)

x

3 2

16)

x

8)

3 x 2

17)

x 1

18)

x  1

19)

x  2

20)

x1  3; x2  1

21)

x2

3 2

9)

x

10)

x1  3; x2  1

3 2

22)

x2

23)

x1  0; x2  2

24)

x1  0; x2  1

25)

x1  1; x2  2

26)

x1  2; x2  1

27)

x  1,289

28)

x  1,965

29)

x  5,903

30)

x  0,7863

100

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PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es una sucesión cuyos términos son tales que uno de ellos (a partir del segundo), es igual al término precedente aumentado en un número fijo que se llama diferencia. La diferencia se acostumbra a representar por la letra . Las progresiones pueden ser finitas, si su número de términos es limitado, e infinitas en caso contrario. Si la diferencia es positiva la progresión es creciente, si es negativa la progresión es decreciente Ejemplos: 

Progresión Aritmética Creciente



Progresión Aritmética Decreciente

Término General de una Progresión Aritmética



es el último término.



es el primer término.



es el número de términos.



es la diferencia la cual se obtiene restando de cada término su antecesor.

Fórmula para hallar la suma de los “n” términos de una Progresión Aritmética

Progresión Armónica

Una progresión es armónica si al invertir los términos se forma una

Ejemplo: es una progresión armónica porque al invertir sus términos

forma

una

101

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PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Es toda serie en la cual cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que es la razón. Este

número fijo, que se puede hallar

dividiendo un término por el que le precede, se llama razón de la progresión y se representa por la letra .  Si r  1 , la progresión se dice creciente, pues sus términos aumentan en valor absoluto a medida que se avanza en la progresión. Ejemplo:  Si 0  r  1 , la progresión es decreciente. Ejemplo: Término General de una Progresión Geométrica



es el último término.



es el primer término.



es el número de términos.



es la razón la cual se obtiene dividiendo cada término entre su antecesor.

Fórmula para hallar la suma de los términos de una Progresión Geométrica

Progresiones Constantes Una progresión se considera constante cuando todos sus términos son iguales. Ejemplo: Siendo la progresión constante  Si la consideramos como una progresión aritmética su diferencia sería 0.  Si la consideramos como una progresión geométrica su razón sería 1. Medios Aritméticos Y Medios Geométricos: Es una progresión finita, el primero y el último término se llaman extremos y todos los demás términos entre uno y otro extremo se llaman medios. Interpolación Interpolar o insertar varios medios aritméticos o geométricos entre dos números dados es construir la progresión que tienen éstos números por extremos y que contiene tantos medios como sean los que se deseen insertar. Ejemplo: Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 26.

102

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Problemas 1) Hallar el 9° término de la progresión 2) Una progresión aritmética se compone de 8 términos, el primero de los cuales es 10 y el último es

. Hallar la diferencia de la progresión.

3) Las ganancias de 3 años de una empresa están en progresión aritmética. El primer año ganó , el tercer año

. ¿Cuál fue la ganancia del segundo año?

4) Hallar el 5° término de 5) Una progresión geométrica tiene 5 términos. El último término es

y la razón es

.

Hallar el primer término. 6) El primer término de una progresión geométrica es 8 y el último es progresión es

. Si la razón de la

. ¿De cuántos términos se compone ésta?

7) En una progresión geométrica de 4 términos, cuya razón es 8, el último término es 1024. Hallar la suma de sus términos. 8) Al hallar la suma de los 12 primeros términos de la progresión

¿Cuánto se

obtiene? 9) El primer término de una progresión aritmética es 5 y el 10) Interpolar 7 medios aritméticos entre 11) El 15º término de una

y

es

. Hallar la diferencia.

.

es 20 y la diferencia . Hallar el primer término.

12) ¿Cuántos términos tiene la progresión

?

13) Hallar la suma de los 11 primeros términos de la progresión 14) Interpolar 3 medios aritméticos entre 2 y 10. 15) Interpolar 4 medios aritméticos entre

y

.

16) Calcular la suma de los 10 primeros múltiplos de 5 mayores que 30. 17) Compré 50 libros. Por el primero Pagué

y por cada uno de los demás

más que el anterior.

Hallar el importe de la compra. 18) El

y el

términos de una

suman 10 y el

y el

términos suman 18. ¿Cuáles son

esos cuatro términos? 19) Hallar el

término de la progresión

20) La razón de una 21) En una

es 3 y el quinto término es 324. Hallar el primer término.

de razón 2, se sabe que el primer término es 2 y el último término es 64. ¿Cuántos

términos posee esta progresión?

103

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22) Se compra una finca de segundo mes,

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a pagar en 15 meses de este modo:

el primer mes,

el

el tercer mes, y así sucesivamente. ¿Cuál es el importe de la finca?

23) Interpolar 3 medios geométricos entre

y

.

24) Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión 25) El cuarto término de una

es 81 y el quinto término es 243. Hallar el primer término.

26) Hay un tipo de bacterias que se reproducen de modo que en 1 minuto cada una da lugar a otras 4. Si partimos de una de ellas, ¿cuántas tendremos dentro de 10 minutos? Tener en cuenta que cada bacteria se puede reproducir una sola vez. 27) El quinto término de una progresión geométrica es 512 y el primer término es 2. Hallar la razón. 28) En una P.G. la diferencia entre el cuarto y el segundo término es 840 y el tercero es 175. Hallar la razón. Respuestas 1)

15)

2)

16)

3)

17)

4)

18)

5)

19)

6)

20)

7)

21)

8)

22)

9)

23)

10)

24)

11)

25)

12)

26)

13)

27)

14)

28)

104

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REPASO DE ÁLGEBRA I – Hallar la mínima expresión 3

 2  a)  1  x  6 1  x     

b)

1 1 a  2 3

c)

b)

√

c)

Respuestas a) II - Resuelve 1)

Hallar el término independiente del desarrollo del binomio (

)

2)

Hallar la cantidad que se debe disminuir a los términos de una fracción para obtener su

cuadrado. 3)

Si

, hallar el valor de

4)

Dada la expresión

5)

Si

6)

Si

7)

Hallar las raíces de la ecuación

8)

Hallar la raíz de la ecuación

9)

Hallar las raíces de la ecuación

√

. √

calcular √

hallar el valor numérico de

√

. siendo

y

positivos.

. Calcular .

( )

.

10) Hallar

la raíz de la ecuación

11) Hallar

la mínima expresión de

12) Hallar

dos números consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados exceda en

√

√

a

del

número menor. 3

13) Resolver 14) Llevar

15) Diez

la ecuación

2

x logx x  27 x logx x  9 x logx x  27

a la mínima expresión

10 2 18  3  5

obreros tienen que hacer un trabajo en



10  18 8  3 5

 5

días. Luego de 4 días de iniciada la obra, 2 obreros

se retiran, originando un atraso de 3 días. Hallar . Respuestas 1) 2)

6)

12)

7)

13)

√

8) 3)

15)

9)

4)

10)

5)

11) √

14)

√

105

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LA TRIGONOMETRÍA La Trigonometría es la rama de las Matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Las primeras aplicaciones de la Trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, geodesia y astronomía, esta rama de las Matemáticas es aplicada también en la física, química y sobre todo en la ingeniería.

Sistema de Coordenadas Cartesianas Las coordenadas

cartesianas o coordenadas

rectangulares son

un

ejemplo

de coordenadas

ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. Se usan para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto, ya sea, a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares)

e

se denominan abscisa y ordenada,

respectivamente.

SISTEMA DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Se utilizan varios sistemas para medir los ángulos, el más empleado en la vida cotidiana es el SEXAGESIMAL, también es utilizado, sobre todo por los topógrafos, el CENTESIMAL y por los matemáticos el CIRCULAR. a) El Sistema Sexagesimal Aproximadamente en el año 1000 a.C. los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y cada una de estas partes le llaman grado sexagesimal, y a la cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se nota por

.

106

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Como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denomina minuto y se denota por vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo denotaron por

. Cada minuto lo subdividen a su .

Así pues tenemos que un ángulo recto mide b) El Sistema Centesimal La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo completo en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se simboliza por . A su vez cada grado centesimal (gradián) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se simboliza por

,y cada minuto se subdivide en 100 segundos que se simboliza por

.

Así pues tenemos que un ángulo recto mide c) El Sistema Circular o Radián Dada una circunferencia de centro

y radio , se denomina radián al ángulo central cuyo arco

coincide con el radio. Como la longitud de la circunferencia es

, la medida en radianes de un ángulo completo será:

Equivalencias entre los tres sistemas

Dividiendo por 2:

En la calculadora: sexagesimal (DEG) – centesimal (GRA) – radián (RAD)

Ejercicios 1) ¿A cuántos radianes equivalen

?

2) ¿Cuántos minutos sexagesimales le falta a la suma 3) ¿En cuántos radianes se diferencian

y

?

4) ¿Cuánto le falta al complemento del suplemento de complemento de

para completar un ángulo recto?

para alcanzar el suplemento del

?

5) ¿Cuál es la razón aritmética entre el suplemento de

radianes y el complemento de

? ¿Cuál es la

razón geométrica?

Respuestas 1)

3)

2)

4)

5)

107

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LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el tercer lado se denomina hipotenusa. De los tres lados de un triángulo podemos obtener 6 razones diferentes, por ello las funciones trigonométricas son 6: seno sen  ; coseno cos  ; tangente tg  ; cotangente cot g  secante sec  ; cosecante

cos ec . Cofunciones Trigonométricas 





Funciones Trigonométricas Recíprocas 





Consideremos un ángulo agudo  de un triángulo rectángulo cualquiera, sus seis funciones trigonométricas quedan definidas de la siguiente manera:  sen 

cateto opuesto hipotenusa

 cos ec 

 cos  

cateto adyacente hipotenusa

 sec  

 tg 

cateto opuesto cateto adyacente

hipotenusa cateto opuesto

hipotenusa cateto adyacente

 cot g 

cateto adyacente cateto opuesto

Consideremos el triángulo rectángulo ABC C a

B

El ángulo recto es el b

c

 B ; y los agudos  A y  C .

Para el

 A el cateto opuesto es el lado BC a  y el cateto adyacente es el lado AB c 

Para el

C

el cateto opuesto es el lado AB

c  y el cateto adyacente es el lado BC a  .

A

Ahora bien, las funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos  C  del triángulo rectángulo ABC son: 

AB c  AC b



cos ec C 



BC a  AC b



sec C 



cot g C 



sen C 



cos C 



tg C 



AB c  BC a







AC b  AB c

AC b  BC a BC a  AB c

108

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LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA La circunferencia trigonométrica, goniométrica o unitaria es aquella que tiene radio unitario, es decir, la longitud del radio es uno. Normalmente con su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares. En la siguiente circunferencia unitaria, hallemos los segmentos cuyos valores corresponden a las de las funciones trigonométricas del ángulo arbitrario : En el triángulo rectángulo   Como la línea tangente debe tener sólo un punto en común con la circunferencia, utilizamos el triángulo rectángulo 

Gráfica de la Función Seno

Gráfica de la Función Coseno

109

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Valores de las Funciones Trigonométricas de los Ángulos Notables Los ángulos notables son aquellos que tienen valores muy específicos y que aparecen con determinada frecuencia en la vida cotidiana. Estos son: 30°, 45° y 60°. En muchas ocasiones también son considerados como notables aquellos que limitan los cuadrantes: 0°, 90°, 180°, 270° y 360°. 0º

30º

45º

60º

Seno

0

1 2

Coseno

1

2 2 2 2

3 2 1 2

Tangente

0

1

Cotangente



3

1

Secante

1

2 3 3

cosecante



2

3 2 3 3

90º

180º

270º

360º

1

0

–1

0

0

–1

0

1

3



0



0

3 3

0



0



2

2



–1



1

2

2 3 3

1



–1



Signo de las Funciones Trigonométricas en los cuatro cuadrantes Primer Cuadrante

Segundo Cuadrante

90º    180º

180º    270º

270º    360º

+ + +

+ – –

– – +

– + –

+ + +

– – +

+ – –

– + –

0º    90º

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante cosecante

Tercer Cuadrante

Cuarto Cuadrante

Relaciones Trigonométricas Fundamentales y Derivadas  sen   cos   1 2

2

 sen 2  1 cos 2   cos 2   1  sen 2

sen 1  tg   cos  cot g

 cot g 

cos  1  sen tg

 cos ec   sec  

1 sen

1 cos 

 sen 

 cos  

 1  tg   sec  2

2 2  1  cot g   cos ec 

2

tg 1  tg 2

1 1  tg 2

110

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Ejercicios 1) Hallar el valor numérico exacto de las siguientes expresiones: a)

sen30º  cos ec30º  sen 2 30º  cos 2 60º

sen 2 45º  sen 2 30º b)  cos 2 45º  sec 2 45º c)

cos 60º  cos 30º  cos ec30º  sen 2 45

d)

cos 2 30º  sec 45º  tg 60º  cot g 60º

2) Sabiendo que cos ec 

5 , y que 90º    180º . Calcular las restantes razones trigonométricas del 4

ángulo  . 3) Sabiendo que cos  

1 , y que 270º    360º . Calcular las restantes razones trigonométricas del 4

ángulo  . 4) Sabiendo que tg  2 , y que 180º    270º . Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo  .

Respuestas 1) a) 5 b)

2) sen 

3 10

c)

1 3 5

d)

4 6 3 3 16

4 3 4 3 5 ; cos    ; tg   ; cot g   ; sec    5 5 3 4 3

3) sen  

4) sen  

15 15 4 15 ; tg   15; cot g   ; sec   4; cos ec   4 15 15

2 5 5 1 5 ; cos    ; cot g  ; sec    5; cos ec   5 5 2 2

111

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REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE 1) Reducción al primer cuadrante de un ángulo que se encuentra en el segundo cuadrante.

Si tenemos un ángulo  en el segundo cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero  , sólo tenemos que hacer la operación:

  180º  2) Reducción al primer cuadrante de un ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante.

Si tenemos un ángulo  en el tercer cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero

 , sólo tenemos que hacer la operación:

    180º 3) Reducción al primer cuadrante de un ángulo que se encuentra en el cuarto cuadrante.

Si tenemos un ángulo  en el cuarto cuadrante, para buscar con quién se relaciona en el primero

 , sólo tenemos que hacer la operación:

  360º 

Funciones Trigonométricas de Ángulos Complementarios, Suplementarios y Conjugados  Dos ángulos son complementarios si suman 90° y cada uno es complemento del otro.  Dos ángulos son suplementarios si suman 180° y cada uno es suplemento del otro.  Dos ángulos son conjugados si suman 360° y cada uno es conjugado del otro.

1) Funciones Trigonométricas de Ángulos Complementarios: las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales, en valor absoluto y en signo, a las cofunciones de su complemento. 





2) Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios: las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las funciones trigonométricas de su suplemento, pero de signo contrario, con excepción del seno y de la cosecante que son del mismo signo. 











3) Funciones Trigonométricas de Ángulos Conjugados: las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales en valor absoluto a las funciones de su conjugado, pero de signo contrario, con excepción del coseno y secante, que son del mismo signo. 











112

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Funciones Trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos  

    Funciones Trigonométricas del doble de un ángulo    Funciones Trigonométricas de la mitad de un ángulo 

√



√



√

Transformación de sumas y diferencias en productos    

 

113

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Ejercicios √

1) Sabiendo que

√

2) Sabiendo que 3) Sabiendo que

√

y y

, hallar el valor exacto de √

, hallar el valor exacto de

y .

, hallar el valor exacto de

4) Hallar el valor exacto de 5) Hallar el valor exacto de

. .

Respuestas 1)

√

√

√

√

2) √

3) 4) √ 5)

√

Simplificar a) b) c) d) e) f) g) h)

114

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonométrica se puede comprobar transformando un miembro cualquiera de modo que se llegue a otro. En general, se comienza por el miembro más complicado y de ser posible tratar de expresar todos los términos de la igualdad en función del seno o coseno.

Demostrar las siguientes identidades trigonométricas 1) cos ec . sec  cot g  tg 2)

cos   sen cot g

3)

cos ec  sec  cot g

4)

sec   sen tg  cot g

5)

1  sen cos   cos  1  sen

6) tg . cos  . cos ec  1 7)

sen  cos  1  1 sen tg

2 2 8) cot g   1  cos ec 

9)

sen cos   1 cos ec sec 

2 2 2 2 10) tg   cos   sec   sen 

11) cos   cot g .sen  0 2 2 2 12) 2sen   cos   1  sen  2 3 13) 1  tg   sec  . cos 

14) 2tg  1 

cos   2sen cos 

15) sen  cos   cos  1  tg 

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son aquellas en las que la incógnita se encuentra como argumento de las funciones trigonométricas. Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los valores de las variables ángulos  que hacen verdadera la igualdad. Hay que convertir la expresión en otra equivalente que esté en función a una sola función trigonométrica. Reducción de ángulos al primer cuadrante Consideremos que  es un ángulo del primer cuadrante, y  un ángulo del segundo, tercer o cuarto cuadrante. Para convertir  en un ángulo equivalente  , se utilizan las siguientes equivalencias:  Si  es del segundo cuadrante:

  180º 

 Si  es del tercer cuadrante:

  180º 

 Si  es del cuarto cuadrante:

  360º 

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas 1) 2 cos x.tgx  1  0

6) cos x  2sen 2 x  1

11) 5tg 2 x  7 sec x  1

2) 4 cos 2 x  3  4 cos x

7) 2 sec x  tgx  cot gx

12) 3 cos 2 y  sen 2 y  3

8) 2senx  cos ecx

13) seny. cos y  0

3) cos 2 x 

3.1  senx  2

4) 3 cos 2 x  sen 2 x  3 5) 2sen 2 x  senx  0

9) cos ecx  2senx  3 10) 2 cos x  3 sec x  5

14) 3 sec x  4 cos x  8 15) tgx  cot gx  2

Respuestas 1) x  30º ;150º

9) x  30º ;90º ;150º

2) x  60º ;300º

10) x  120º ;240º

3) x  30º ;90º ;150º

11) x  60º ;300º

4) x  0º ;180º ;360º

12) x  0º ;180º ;360º

5) x  0º ;180º ;210º ;330º ;360º

13) x  0º ;90º ;180º ;270º ;360º

6) x  0º ;120º ;240º ;360º

14) x  60º ;300º

7) x  30º ;150º

15) x  45º ;225º

8) x  45º ;135º ;225º ;315º

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo cualquiera es encontrar los ángulos y lados que faltan, así como también su área.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Cuando el triángulo es rectángulo, para resolverlo, se puede utilizar: 1) Las funciones trigonométricas, propias de un triángulo rectángulo. 2) El teorema de Pitágoras “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de 2 2 2 los cuadrados de los catetos”, matemáticamente hip  cat  cat

3) La suma de los ángulos interiores de un polígono, en este caso la de un triángulo, si tenemos un triángulo

ABC , se cumple  A  B  C  180º  Ángulo de Elevación: es el ángulo formado por la horizontal y la visual dirigida a un objeto que se encuentra por encima de la horizontal.  Ángulo de Depresión: es el ángulo formado por la horizontal y la visual dirigida a un objeto que se encuentra por debajo de la horizontal.

Ejercicios 1) En un triángulo rectángulo, uno de sus catetos mide 25cm y el otro 60 cm. Hallar el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos. 2) Una casa produce una sombra de 9m de longitud a cierta hora del día, en la que una persona mide, desde el extremo de la sombra, un ángulo de elevación de 43º. Determinar la altura de la casa. 3) Desde un punto situado a 18 m del pie de un árbol se observa el extremo superior de un árbol con un ángulo de elevación de 62º ¿Cuál es la altura del árbol? 4) Desde un punto situado a 30m arriba en un faro se observa una pequeña embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcular la distancia, al pie del faro, a que se encuentra la embarcación. 5) Desde la ventana de un edificio, a 46m de altura, se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 55º. Calcula la distancia que hay desde el automóvil hasta la base del edificio.

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6) Una escalera de 2,5m es apoyada por una pared a una altura de 1,5m. Calcula: a) La distancia desde la pared al pie de la escalera. b) El ángulo que forma la escalera con el plano vertical de la pared. 7) La cima de una meseta está a 100m sobre el nivel del suelo de un valle. Un observador se sitúa en la parte más alta de dicha meseta y desde allí observa un automóvil, en el valle, con un ángulo de depresión de 10º . ¿a qué distancia está el auto del observador? 8) Si un avión está volando a razón de 525 millas por hora con un ángulo de 35º nordeste, calcular la la distancia que recorre el avión hacia el este al cabo de 6.600 segundos.

9) Calcular la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo central de 110º en un círculo de radio igual a .

10) Si caminamos 150 pies hacia la base de un edificio y el ángulo de elevación, con respecto a la azotea, aumenta de

a

, ¿cuál es la altura del edificio?

11) Desde un punto situado a 50m sobre el nivel del piso, los ángulos de elevación y de depresión de la cima y la base de una torre son

y

, respectivamente. Determinar la altura de la

torre. 12) Una rampa para salto de esquí tiene 30m de longitud medidos desde el nivel del agua hasta el tope y tiene un ángulo de inclinación de

. Si la cuerda de arrastre desde la lancha hasta el esquiador tiene 60m

de longitud, ¿cuál es la distancia que hay entre la lancha y la base del tope de la rampa cuando el esquiador está en el tope de la misma? 13) Un avión vuela directamente sobre un observador a una velocidad de observador debe mirar con un ángulo de

. Un minuto después, el

para ver el avión. ¿Cuál es la altura del avión?

14) Para medir el ancho de un río sin cruzarlo, un topógrafo se sitúa en una orilla y mira derecho hacia un árbol en la orilla opuesta. A continuación, el topógrafo camina 100m por la orilla y vuelve a mirar el mismo árbol, midiendo un ángulo de

desde la orilla hasta su línea de visión al árbol. ¿Cuál es el ancho del río?

15) Una reja de 12 pies de altura está a 5 pies de distancia del frente de una casa. Determinar la longitud mínima que debe tener una escalera para que, desde la calle, se pueda apoyar en la fachada de la casa , tocando el tope de la reja.

Respuestas 1)

9)

2)

10)

3)

11)

4)

12)

5)

13)

6)

14)

7)

15)

8)

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TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Cuando el triángulo es oblicuángulo, para resolverlo, se puede utilizar: 

El Teorema del Seno.

(dos lados y un ángulo no comprendido)



El Teorema del Coseno. .

(dos lados y el ángulo comprendido o los tres lados)



El Teorema de las Tangentes.



La suma de los ángulos interiores de un polígono, en este caso la de un triángulo, si tenemos un triángulo ABC , se cumple  A  B  C  180º A b

c

B

C

a

Teorema del Seno “En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos”

a 



sen A

b 

c



sen B



sen C

Teorema del Coseno “En todo triángulo, el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo que forman”. 

a 2  b 2  c 2  2.b.c. cos A





b 2  a 2  c 2  2.a.c. cos B

c 2  a 2  b 2  2.a.b. cos C

Teorema de las Tangentes “En todo triángulo, la suma de dos lados es a su diferencia, como las tangentes de la semisuma de los ángulos opuestos es a la tangente de la semidiferencia de los mismos”. 



A B tg a b 2    a b A B tg 2

Ejercicios 1) Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos

:



a) a  32,45cm ; b  27,21cm ; C  66º 56 b) a  41cm ; b  19,5cm ; c  32,48cm 



c) b  40cm ; C  24º 5 ; B  103º 37 2) Un niño esta volando dos cometas simultáneamente. Una de ellas tiene 38 m de cordón y la otra 42 m. Se supone que el ángulo entre los dos cordones es de 30º. Determine la distancia entre ambas cometas.

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3) Un guardia forestal observa, desde un punto de observación A que está en una carretera recta, un fuego en dirección 32º noreste. Otro guardia en un segundo puesto de observación B a 10 millas de A sobre la misma carretera, ve el mismo fuego en dirección 48º noroeste. Encuentre la distancia desde cada puesto de observación al fuego, y la distancia más corta de la carretera al fuego. 4) Un camino en una colina tiene una inclinación de 10º con la horizontal, y un poste de teléfonos vertical está situado sobre este camino. Cuando el ángulo de elevación del Sol es 62º, el poste proyecta una sombra de 14,5 pies hacia debajo de la colina y paralela a la carretera. Encuentre la altura del poste. 5) Un topógrafo quiere encontrar la distancia entre los puntos A y B que están en lados opuestos de un edificio. Desde un punto C, frente al edificio a 110 pies de A y a 160 pies de B, el ángulo formado por las líneas de observación desde C a A y de C a B es de 54°. Encuentre la distancia entre los puntos. 6) Un meteorólogo, en un punto de observación A sobre una carretera recta, observa un tornado en dirección 38° noreste. Otro meteorólogo lo observa desde otro punto, B, a 25 millas de A, observa el mismo tornado en dirección 53° noroeste. Encuentre la distancia más corta entre el tronado y la carretera. 7) En el gráfico se aprecia la torre inclinada de Pisa, considerada un símbolo de Italia. Calcula la altura de la torre si se sabe que la misma tiene una inclinación de 10°.

8) Un globo aerostático es visto al mismo tiempo sobre Mexicali por dos observadores. Los dos están a 2,32 millas de distancia uno del otro y el globo entre ellos. Si suponemos que los observadores y el globo están en el mismo plano vertical y el ángulo de elevación con respecto al primero es de 28° y con respecto al segundo es de 37°, ¿qué tan alto está el globo? 9) Dos personas de frente y a 2500m una de otra en el mismo nivel horizontal, observan un avión situado entre ellos con ángulos de elevación de 50°10' y 65°40'. Hallar la altura a la que vuela dicho avión. 10) Dos observadores separados a 250 metros ven un globo aerostático situado entre ellos bajos ángulos de elevación de 72º y 85º respectivamente. a) ¿A qué altura se encuentra el globo? b) ¿A qué distancia se encuentra cada observador del globo? 11) Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B de una orilla se observa un punto C de la orilla opuesta. Las visuales forman con la orilla unos ángulos de 42º y 56º respectivamente. Calcular la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 31,5m .

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12) Calcular la altura de una antena transmisora de radio ubicada en la cima de una montaña, sabiendo que desde un punto alejado del pie de la montaña, la base y la punta de la antena se ven bajo ángulos de elevación de 60º y 70º respectivamente. Si nos alejamos más de la montaña, desde ese punto en línea recta, una distancia de 12,5m , la punta de la antena ahora se observa con un ángulo de elevación de 67º. 13) Un avión vuela de la ciudad A hacia la ciudad B una distancia de 120 millas y luego gira 60º para dirigirse a la ciudad C. Considerar a) Si entre la ciudad A y C hay 300km ¿A qué distancia se encuentran la ciudad B de la C? b) ¿Con qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C para regresar a la ciudad A? 14) Dos aviones parten de la ciudad de San Francisco simultáneamente, uno con azimut 30° y velocidad de 300 millas por hora y el otro con azimut de 130° a razón de 400 millas por hora. ¿A qué distancia estarán los aviones al cabo de tres horas? 

Azimut: ángulo que se mide desde el punto cardinal norte en sentido horario de 0° a 360°.

15) Cuando un niño mira desde una orilla de un río hacia la otra, el ángulo de depresión es de 12º. Si se trepa a la copa de un árbol de 10 pies de altura y mira hacia la otra orilla, el ángulo de depresión es de 15º. ¿Cuál es el ancho del río?

Respuestas 



1) a) A  64º 6 ; B  48º 58 ; c  33,19cm 





b) A  101º 10 ; B  27º 50 ; C  51º 

c) a  32,6cm ; c  16,8cm ; A  52º 18

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 180,53 pies

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REPASO DE TRIGONOMETRÍA I. Simplificar las siguientes expresiones [

1)

] (

)

2)

3)

[

( )

( )]

Respuestas 1) 2) 3)

II. Transformar en producto 1) 2)

Respuestas 1) √

( )

2)

III. Demostrar las siguientes identidades

( )

1) ( ) 2)

( )

3)

IV. Hallar el valor exacto y reducido a su mínima expresión 1)

( )

2)

Respuestas 1)

√

√

√

2) √

√

√

√

V. Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones 1)

√

√

2) 3)

( )

4) {

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5) {

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√

6) {

Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6)

VI. Resolver 1) Calcular el ángulo que forman dos paredes sabiendo que dos puntos situados cada uno de ellos en la intersección de cada una de las paredes con el piso determinan una distancia de respectivamente

y

y distan

de la arista de intersección de las dos paredes.

2) Una torre se desvía de la vertical, inclinándose hacia el sur. Ubicándose al norte de la torre en dos posiciones sucesivas que distan del pie de la torre de

y

y

respectivamente, los ángulos de elevación son

. Calcular la inclinación de la torre con respecto a la vertical.

3) Desde dos puntos A y B distantes

y situados a la misma altura se dirigen visuales a la cúspide de una

montaña; dichas visuales tienen respectivamente una inclinación de

y

. Sabiendo que los

puntos A y B y la cúspide de la montaña se encuentran sobre un mismo plano vertical. Calcular la diferencia de altitud entre la cúspide de la montaña y los dos puntos de observación.

4) En un momento dado la altura de un faro sobre el nivel del agua es de situada al sur del mismo con un anteojo ubicado a más alto del faro con un ángulo de elevación

. Desde una embarcación

sobre el nivel del agua se dirige una visual al punto ; la embarcación se dirige al oeste y la visual dirigida en

las mismas condiciones anteriores tiene un ángulo de inclinación de

. Calcular la distancia entre las dos

posiciones de la embarcación.

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LA GEOMETRÍA La Geometría es la rama de las Matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc.  La Geometría Plana: es una parte de la Geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. Figuras Geométricas.  La Geometría Espacial o Geometría del Espacio: es una parte de la Geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están en el espacio tridimensional. Cuerpos Geométricos.

Elementos de la Geometría El Punto El punto es un elemento geométrico adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada en función de un sistema de coordenadas prestablecido.



A

La Recta La sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. No tiene origen ni fin.

La Semirrecta Una semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto. Conjunto que consiste en un punto

x sobre una línea recta y todos los puntos de la línea a un lado de x . Tiene un origen pero no un fin. A

El Segmento Un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos que pertenecen a la misma. A

B

El Plano El plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.



El Ángulo Es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.



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La Bisectriz de un Ángulo La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

La Mediatriz de un Segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento en su punto medio.

Posiciones Relativas de dos Rectas que pertenecen a un mismo plano 1) Rectas Paralelas Dos rectas, pertenecientes a un mismo plano, son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

2) Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan y forman cuatro ángulos iguales.

3) Rectas Oblicuas Dos rectas son oblicuas cuando se cortan y no forman cuatro ángulos iguales.

Clasificación de los Ángulos que pertenecen a un solo plano a) Ángulo entrante: un ángulo es entrante si cumple con la condición b) Ángulo Recto: es aquel que mide exactamente 90º. c) Ángulo Agudo: es aquel que mide menos que 90º.

.

d) Ángulo Obtuso: es aquel que está comprendo entre 90º    180º e) Ángulo Llano: es aquel que mide exactamente 180º f) Ángulos Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común solamente. g) Ángulos Adyacentes: Los ángulos adyacentes son los que están formados de manera que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta h) Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios si suman 90º. i)

Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si suman 180º.

j)

Ángulos Conjugados: dos ángulos son suplementarios si suman 360º.

k) Ángulos Opuestos por el Vértice: Al cruzar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos. De ellos, son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en común, los mismos tienen igual medida. l)

Ángulos de lados paralelos y del mismo sentido: son iguales.

m) Ángulos de lados paralelos y de sentido contrario: son iguales. n) Ángulos de lados paralelos uno del mismo sentido y otro sentido contrario: son suplementarios. o) Ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares: son iguales. p) Ángulos obtusos de lados respectivamente perpendiculares: son iguales. q) Ángulos, uno agudo y otro obtuso, de lados respectivamente perpendiculares: son suplementarios.

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Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante Sean dos rectas paralelas l1 y l 2 , son cortadas por una secante l 3 , en total se forman 8 ángulos:

1

l1

l2

4 5 8

l3

2 3

6 7

 Se llama ángulos correspondientes a los ángulos que tienen la misma ubicación en ambos grupos de 4 ángulos. De esta manera, son correspondientes e iguales los pares de ángulos:

1 5 ; 2  6 ; 3  7 ; 4 8  Se llama ángulos alternos externos a los ángulos que están ubicados por fuera de las rectas y a distinto lado de la secante. De esta manera, son alternos externos los pares de ángulos:

1 7 ; 2 8  Se llama ángulos alternos internos a los ángulos que están ubicados por dentro de las rectas y a distinto lado de la secante. De esta manera, son ángulos alternos internos los pares de ángulos:

35 ; 46

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Ejercicios 1) Dos ángulos adyacentes

y

son entre sí como 3 es a 5. Determinar el valor de los mismos.

2) Se tienen cuatro ángulos consecutivos

de vértices en un punto y pertenecientes a un

mismo semiplano respecto a una recta que pasa por dicho punto. Los tres primeros miden respectivamente,

. Determinar el valor del cuarto ángulo.

3) Se tienen tres ángulos consecutivos plano. Sabiendo que

de vértices en un punto y pertenecientes a un mismo

es el doble de

, y

los dos tercios de

, hallar el valor de dichos

ángulos. 4) Cuatro semirrectas con un origen común y pertenecientes a un mismo plano, forman cuatro ángulos consecutivos

proporcionales respectivamente a los números

.

Determinar el valor de dichos ángulos. 5) Hallar el valor de dos ángulos complementarios

y

, sabiendo que la relación entre los

mismos es un quinto. 6) La diferencia entre dos ángulos suplementarios

y

es igual a

. Determinar el

valor de cada uno de dichos ángulos. 7) Determinar el valor de dos ángulos suplementarios

y

, sabiendo que la razón entre los

mismos es igual a tres cuartos. 8) Hallar el valor de los ángulos transversal,

y

y

de la figura, sabiendo que

,

es una

.

Respuestas 1) 2)

. .

3) 4) 5) 6) 7) 8)

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TRIÁNGULOS Un triángulo es un polígono de tres lados.

Clasificación Según la longitud de sus lados: a) Triángulo Equilátero: cuando los tres lados tienen la misma longitud. b) Triángulo Isósceles: cuando sólo dos de sus lados tienen la misma longitud. Al punto donde concurren los dos lados iguales se le suele llamar vértice. c) Triángulo Escaleno: cuando los tres lados tienen longitudes diferentes.

Según sus ángulos: a) Triángulo Acutángulo: cuando los tres ángulos son agudos. b) Triángulo Rectángulo: cuando tiene un ángulo recto. c) Triángulo Obtusángulo: cuando tiene un ángulo obtuso. d) Triángulo Equiángulo: cuando sus tres ángulos son iguales. (T. Equilátero)

Relaciones lineales entre los lados de un triángulo Relación de Existencia: Un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la diferencia entre los mismos.

Relaciones Angulares Ángulos Interiores

Ángulos Exteriores

Ángulos Exterior e Interiores no adyacentes

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Rectas y Segmentos representativos en un triángulo  Altura: es la recta que parte del vértice y es perpendicular al lado opuesto. El punto donde se encuentran las tres alturas de un triángulo se llama ortocentro.  Bisectriz: es la semirrecta que divide al ángulo de un triángulo en dos ángulos iguales. El punto donde se encuentran las tres bisectrices de un triángulo se llama incentro.  Mediatriz: es la recta perpendicular al lado de un triángulo en su punto medio. El punto donde se encuentran las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.  Mediana: es el segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio de su lado opuesto. El punto donde se encuentran las tres medianas de un triángulo se llama baricentro. La distancia de cada vértice al baricentro es

de la distancia del vértice al punto medio del lado

opuesto. Ejercicios 1) Determinar el mayor valor del lado de un triángulo, sabiendo que representa un número entero expresado en centímetros y que los otros dos lados miden

, respectivamente.

2) ¿Puede formarse un triángulo de lados 3) La base

?

de un triángulo isósceles mide

. ¿Cuál es el menor valor entero, expresado en

centímetros, de los lados iguales? 4) En un triángulo

los ángulos

y

miden respectivamente,

y

.

Calcular el valor del ángulo 5) La perpendicular trazada del vértice del ángulo recto rectángulo, forma con uno de los catetos un ángulo

a la hipotenusa de un triángulo . Determinar el valor de los ángulos

agudos del triángulo. 6) El valor de uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es los tres quintos del ángulo desigual. Calcular el valor de los ángulos del triángulo. 7) Calcular el valor de los ángulos de un triángulo, sabiendo que uno de ellos es el triple del otro y el tercero los dos tercios de la suma de los otros dos. 8) Los ángulos de un triángulo están en la misma relación que los números 2, 3 y 5. Hállese el valor de cada uno. 9) Hallar el valor de los ángulos de un triángulo isósceles, sabiendo que el ángulo externo adyacente al ángulo del vértice mide

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10) Hallar el valor de los ángulos de un triángulo, sabiendo que el ángulo mayor es el doble del menor y el ángulo intermedio excede en

al menor.

11) En un triángulo rectángulo, la altura y la mediana trazadas desde el vértice del ángulo recto, forman un ángulo de

. Hallar el valor de los ángulos agudos.

12) Hallar el valor de los ángulos forma en el vértice

13) En un triángulo

y

de la figura, sabiendo que la altura ̅̅̅̅ del triángulo

con los lados ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ los ángulos

, los ángulos

y

miden respectivamente

.

. Hallar el

valor del ángulo que forman la altura y la bisectriz trazadas del vértice 14) Hallar el ángulo que forma la altura y mediana trazadas desde el vértice del ángulo recto un triángulo

de

, sabiendo que uno de los ángulos agudos mide

Respuestas 1)

8)

2)

9)

3)

10)

4)

11)

5)

12)

6)

13)

7)

14)

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CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

 A, B, C y D: ángulos internos del cuadrilátero. 

: ángulos externos del cuadrilátero.

Relaciones Angulares Ángulos Interiores

Ángulos Exteriores

Clasificación de los Cuadriláteros CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMOS

CUADRADO

TRAPECIOS

TRAPEZOIDES

RECTÁNGULO ISÓSCELES

ROMBO

RECTÁNGULO

ROMBOIDE

I – Paralelogramos: los lados opuestos son paralelos entre sí.   Propiedades Generales

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

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CLASES DE PARALELOGRAMOS Los paralelogramos que se citan a continuación, además de las propiedades generales ya enunciadas poseen otras particulares en correspondencia a cada caso.

A) Cuadrado (cuadrilátero regular)  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

B) Rectángulo  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

C) Rombo  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

   ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

D) Romboide  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

   ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Observación: cuando en un ejercicio se nombre un paralelogramo y no su tipo, se considerará al romboide.

132

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II – Trapecios: sólo dos lados opuestos son paralelos entre sí.

 

 A este trapecio en particular se lo suele llamar trapecio escaleno. Teorema: En todo trapecio, la longitud que une los puntos medios de los lados no paralelos es igual a la semisuma de las longitudes de los lados paralelos. CASOS PARTICULARES DE TRAPECIOS

A) Trapecio Isósceles  ̅̅̅̅

̅̅̅̅

 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

  B) Trapecio Rectángulo 

̅̅̅̅

̅̅̅̅



̅̅̅̅

̅̅̅̅

Teorema: En todo trapecio, el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos es igual a la semisuma de los lados paralelos.

III – Trapezoides: ninguno de los lados son paralelos entre sí. Simétricos

Asimétricos

133

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Ejercicios 1) Uno de los ángulos de un paralelogramo mide . Determinar el valor de los demás ángulos. 2) En el cuadrilátero de la figura, el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos A y B mide . Hallar el valor de la suma de los ángulos A y B.

3) Hallar los ángulos del paralelogramo ABCD, sabiendo que los ángulos que la diagonal ̅̅̅̅ forma con los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ miden respectivamente,

y

4) Hallar el valor de los ángulos que las diagonales de un rectángulo ABCD forman con los lados, sabiendo que dichas diagonales determinan un ángulo cuyo valor es de

.

5) En un trapecio isósceles, el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos agudos mide . Hallar el valor de los ángulos del trapecio. 6) En el trapecio escaleno

se tiene

.

Hallar la base mayor 7) En el cuadrilátero

(ver figura 1) se tiene

. Encontrar la medida del

ángulo formado por las bisectrices de los ángulos

y .

8) Sobre la diagonal ̅̅̅̅ de un cuadrado

se marca un punto

√

, tal que,

y

. Hallar la longitud del lado del cuadrado.

9) Dado el siguiente trapecio isósceles

, hallar la medida del segmento y

es bisectriz del

sabiendo que . Ver

figura 2. Figura 1

Figura 2

Respuestas 1)

4)

7)

2)

5)

8)

3)

6)

9)

134

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POLÍGONOS Llámese polígono a la porción de un plano limitada por segmentos de rectas. Estos segmentos se llaman lados del polígono. Clasificación Según sus lados  Triángulo: tres lados.

 Eneágono: nueve lados.

 Cuadrilátero: cuatro lados.

 Decágono: diez lados.

 Pentágono: cinco lados.

 Endecágono: once lados.

 Exágono: seis lados.

 Dodecágono: doce lados.

 Heptágono: siete lados

 A partir de 13: polígono de n lados.

 Octágono: ocho lados. Según sus ángulos  Equiángulo: cuando todos sus ángulos son iguales.  Convexo: cuando todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.  Cóncavo: cuando al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

POLÍGONO REGULAR Un polígono es regular cuando es a la vez equilátero y equiángulo.

Ángulo Central de un polígono regular: es aquel ángulo formado por dos radios que pasan por los vértices. Apotema de un polígono regular: segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados. Divide al lado en dos partes iguales.

̅̅̅̅̅ {

135

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RELACIONES ANGULARES Ángulos Interiores

Ángulos Exteriores

∑

∑

Ángulo Interior

y Ángulo Central

de un Polígono Regular de n lados

Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados.

Número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados.

Ejercicios 1) Calcular la suma de los ángulos interiores de un dodecágono. 2) Determinar el número de lados del polígono, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es igual a

.

3) Calcular el valor de los ángulos de un pentágono, sabiendo que los mismos son: . 4) Calcular el número de diagonales que pueden trazarse de uno cualquiera de los vértices de un heptágono. 5) Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse en un exágono. 6) Determinar el polígono cuyo número total de diagonales es 14. 7) ¿De cuántos lados es un polígono que tiene 35 diagonales? 8) Hallar el valor del ángulo interior del exágono regular. 9) Determinar el polígono regular cuyo ángulo interno mide

.

136

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10) ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo central mide

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?

11) Un polígono regular tiene tres lados más que otro polígono regular y los ángulos internos de aquel tienen

más que éste. Determinar dichos polígonos.

12) Determinar el polígono regular cuyo ángulo interior, numéricamente, es igual a ocho veces el número de lados más dos.

Respuestas 1) 2) 8 3) 4) 4 5) 9 6) Heptágono 7) 8) 9) decágono regular 10) eneágono regular 11) pentágono regular y octágono regular. 12) polígono regular de 20 lados.

137

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EL CÍRCULO Es una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

Elementos  Circunferencia: la circunferencia de un círculo es la curva que lo limita.  Radio: es todo segmento que va del centro a la circunferencia.  Diámetro: segmento que pasa por el centro y termina en puntos opuestos de la circunferencia.  Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la mayor cuerda.  Arco: es cualquier parte de la circunferencia.  Cuadrante: la cuarta parte tanto del círculo como de la circunferencia.  Ángulo Central: el ángulo central, de un círculo, es todo ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo.  Recta Secante: llámese recta secante a un círculo a toda recta que corta la circunferencia.  Flecha: la flecha de una cuerda es la perpendicular a la misma, une la circunferencia con el punto

medio de dicha cuerda.  Recta Tangente: llámese recta tangente a un círculo a toda recta que tiene con la circunferencia un

punto común, y sólo uno.  Círculos Concéntricos: dos o más círculos son concéntricos cuando tienen el mismo centro.

 ̅̅̅̅  ̅̅̅̅  ̅̅̅̅  ̂     ̅̅̅̅

Teorema: “Si de un punto exterior a un círculo se trazan dos tangentes al círculo, las tangentes son iguales y forman ángulos iguales con la recta trazada del mismo punto al centro del círculo”. ̅̅̅̅

̅̅̅̅

138

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PROPIEDADES GENERALES  Toda secante que pasa por el centro de una circunferencia, la divide en dos arcos iguales

llamados semicircunferencias.  Toda recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una secante,

biseca a la cuerda y al arco subtendido.   ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

 ̂

̂

 ̂

̂

 Si una recta es tangente a una circunferencia, la recta que pasa por el centro y por el punto de

tangencia es perpendicular a la tangente.  En un mismo círculo o en círculos iguales, las cuerdas iguales equidistan del centro.

ÁNGULOS 1) Ángulo Central: la medida de un ángulo central es la de su arco correspondiente.

̂

2) Ángulo Inscripto: la medida de un ángulo inscripto es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

̂

̂

3) Ángulo Interior: la medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y prolongaciones.

̂

̂

139

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4) Ángulo Exterior: la medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

̂

̂

̂

̂

̂

̂

LONGITUDES El número irracional pi: es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

En la mayor parte de los ejercicios adoptaremos como valor aproximado LONGITUDES Longitud de la Circunferencia

140

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Longitud de un Arco de Circunferencia

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS  Circunferencias de centro   Distancia entre los centros:

y

y radios respectivos

y

.

a) Circunferencias Exteriores

b) Circunferencias Tangentes Exteriormente

Interiormente

c) Circunferencias Secantes

d) Circunferencias Interiores

e) Circunferencias Concéntricas

141

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Ejercicios 1) Hallar el valor del ángulo inscripto en una circunferencia, sabiendo que el arco comprendido entre sus lados mide

.

2) Determinar el valor del ángulo inscripto en una circunferencia, sabiendo que sus lados contienen los extremos A y B de un diámetro. 3) Determinar el radio de la circunferencia cuya longitud mide 4) Calcular la longitud del arco de circunferencia de

de diámetro, cuyo ángulo central

mide 5) ¿Cuántos metros de ruta recorre un ciclista al describir un arco de circunferencia de

y

de radio? 6) Determinar el perímetro de la siguiente figura.

7) Determinar la distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes exteriormente, sabiendo que las longitudes respectivas miden

y

.

8) Una circunferencia tangente interiormente pasa por el centro de la otra, cuya longitud es de . Determinar la distancia entre los centros respectivos. 9) Determinar la posición relativa de dos circunferencias, sabiendo que la distancia entre sus centros es

y sus longitudes respectivas

y

10) Determinar la distancia que separa a dos circunferencias concéntricas cuyas longitudes respectivas miden

y

Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

142

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LÍNEAS PROPORCIONALES Propiedades 1) Teorema de Thales: los segmentos interceptados por tres o más rectas paralelas, son proporcionales. 

y

son rectas transversales.



AB BC CD   AB  B C  C D

2) Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, divide a los otros dos lados en partes proporcionales. 

BD BE  AD CE 3) Si desde un punto se trazan rectas que corten a dos rectas paralelas, los segmentos determinados en éstas son proporcionales.



AB BC CD   AB  B C  C D

4) La bisectriz de un ángulo de un triángulo, divide al lado opuesto en partes proporcionales a los otros dos lados. 

AE AB  EC BC 143

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Ejercicios 1) En un triángulo y que ̅̅̅̅

se tiene que la recta

es paralela al lado

, ̅̅̅̅

. Calcular la medida del segmento ̅̅̅̅ .

2) En un triángulo

, los lados

y

miden respectivamente,

la longitud de los segmentos determinados por la bisectriz del ángulo 3) Hallar la longitud del segmento y que

y que ̅̅̅̅

Hallar

en el lado

de la figura, sabiendo que las rectas

son paralelas

y

4) Los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo son entre sí como los números

.

Calcular la longitud de los catetos, sabiendo que la hipotenusa mide Respuestas 1) 2) 3) 4)

144

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POLÍGONOS SEMEJANTES Dos polígonos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.

Así, los pentágonos

y

son semejantes, si se verifica que:

AB BC CD DE EA     AB BC  C D DE  E A

y que: Propiedades

1) Los perímetros de dos polígonos semejantes son entre sí como los lados homólogos. Si

y

representan los perímetros respectivos de los polígonos semejantes y

y

;

y

;

y

los correspondientes lados homólogos, entonces:

P a b c    P  a  b c  2) Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes son entre sí como los lados homólogos. Si

y y

;

; y

y ;

y

;

y

representan las alturas homólogas relativas a los lados homólogos

de dos triángulos semejantes, entonces:

ha h h a b c  b  c    ha hb hc a  b c  3) Los perímetros de dos triángulos semejantes son entre sí como las alturas homólogas.

P ha hb hc    P  ha hb hc 4) Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo e intercepta a los otros dos lados, el triángulo parcial que resulta es semejante al total.  Si

y

, entonces:

BA BC AC   BD BE DE

145

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Ejercicios 1) La base de un triángulo isósceles mide

y su altura respectiva

triángulo semejante al primero es de

. La base homóloga de un

. Hallar la medida que corresponde a la altura de este

último. 2) Determinar el perímetro de un terreno en forma de cuadrilátero, cuyos lados, a una determinada escala, en el dibujo correspondiente miden

. Se sabe además que el lado

homólogo correspondiente al menor de los lados del dibujo, en el terreno mide

.

3) Hallar la longitud del lado del triángulo equilátero, cuya altura es los dos tercios de la altura de otro triángulo también equilátero de

de perímetro.

4) El perímetro de un rectángulo es de

Hallar sus dimensiones, sabiendo que es semejante a

otro rectángulo cuya base y altura miden respectivamente 5) Calcular las dimensiones de un rectángulo de

y de perímetro, sabiendo que las mismas son

entre sí como 3 es a 7. 6) Se debe hacer el dibujo de un campo de forma triangular, cuyos lados miden . Si al mayor de los lados se hace corresponder

y

, calcular cuánto le corresponderá a cada

uno de los restantes. 7) Un mapa está dibujado según la escala que en dicho mapa distan 8) En un triángulo y ̅̅̅̅

. Determinar la distancia entre dos localidades,

.

se tiene que la recta

es paralela al lado

y que ̅̅̅̅

̅̅̅̅

. Calcular cuánto mide el segmento ̅̅̅̅ . Resolver por triángulos semejantes.

Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) ̅̅̅

̅̅̅

7) 8)

146

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RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO Proyecciones Proyección de un punto sobre una recta:

 

Proyección de un segmento de recta sobre una recta:    ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅

Casos Particulares Primero   ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ proyección del segmento ̅̅̅̅ sobre la recta

Segundo  

proyección del segmento ̅̅̅̅ sobre la recta

 ̅̅̅̅̅

proyección del segmento ̅̅̅̅ sobre la recta

Tercero

PROPIEDADES

Si desde el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo, se traza la perpendicular a la hipotenusa, se verifica que:

147

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a) Los triángulos parciales que resultan, son semejantes entre sí y semejantes al triángulo total.

b) La perpendicular es media proporcional entre los segmentos determinados por la hipotenusa. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

c) Cada cateto es medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

d) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. (Teorema de Pitágoras) e) En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

f) En todo triángulo, el cuadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

g) La altura de un triángulo en función de sus lados

y , está dada por las siguientes

fórmulas: √

Donde

√

√

representa el semiperímetro:

h) Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados opuestos.

148

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Ejercicios 1) Calcular cuánto mide la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que dicha altura determina sobre la hipotenusa segmentos que miden 2) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide

y

.

, la relación entre los catetos es

.

Determinar cuánto miden los catetos. 3) Calcular la altura de un triángulo equilátero, cuyo perímetro es de 4) La diagonal de un rectángulo tiene

. Determinar sus dimensiones sabiendo que la altura es a

la base como 3 es a 4. 5) La base de un rectángulo excede a la altura en

y la diagonal a la base en

. Calcular las

dimensiones de dicho rectángulo. 6) El perímetro de un rombo es igual a

. Determinar sus diagonales sabiendo que las mismas

son entre sí como 3 es a 4. 7) El perímetro de un trapecio isósceles es igual a

, sus bases miden respectivamente

y

. Calcular su altura. 8) Determinar la altura de un trapecio rectángulo, cuyas bases miden respectivamente,

y

y cuyo lado oblícuo es igual a 9) La altura de un triángulo isósceles es los dos tercios de la base. Determinar dichas dimensiones sabiendo que el perímetro del triángulo es igual a 10) Hallar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo, cuyo perímetro es igual a

y

cuyos catetos son entre sí como 3 es a 4. 11) Los lados de un triángulo ABC tienen por medida, ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Calcular cuántos centímetros habrá que añadir al lado ̅̅̅̅ para que al unir

, de la prolongación, con

el vértice , el lado ̅̅̅̅ resulte bisectriz del ángulo

̅̅̅̅

.

.

12) En la figura, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son perpendiculares a ̅̅̅̅. Determinar las longitudes ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅

149

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Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

150

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POLÍGONOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS A LA CIRCUNFERENCIA Polígonos Inscriptos

Polígono

inscrito en la circunferencia o circunferencia circunscrito a dicho polígono.

Todos los lados del polígono son cuerdas de la circunferencia. Polígonos Circunscritos

Polígono

circunscrito a la circunferencia o circunferencia inscrita en el polígono.

Todos los lados del polígono son tangentes a la circunferencia y además: ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

En todo polígono regular se tiene:  Centro: es el correspondiente a las circunferencias inscrita o circunscrita al mismo.  Radio: es el correspondiente al de la circunferencia circunscrita al mismo. Para trazar el radio de un polígono regular se une el centro del mismo con uno de sus vértices.  Apotema: es el radio de la circunferencia inscrita en el mismo. Para trazar la apotema de un polígono regular se traza la perpendicular desde el centro del mismo a uno de los lados. Esta perpendicular intercepta a dicho lado en su punto medio.

151

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Relaciones Métricas de Polígonos Regulares Usuales Triángulo Equilátero  

√ √

 

√

Cuadrado 

√

 

√



√

Pentágono Regular 

√



√

√



(√

)

√

Exágono Regular









√

Ejercicios 1) Hallar la longitud de la circunferencia inscrita en un cuadrado de

de perímetro.

2) La longitud de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero mide

. Hallar el

perímetro de dicho triángulo. 3) Determinar la longitud de la circunferencia inscrita en un cuadrado cuyo perímetro es igual a

4) Hallar la longitud de la apotema del pentágono regular, cuyo perímetro es igual a 5) Determinar la longitud de la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyo perímetro es igual a

6) Determinar el perímetro del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia cuya longitud es igual a 7) Determinar cuánto mide la apotema de un exágono regular, cuyo perímetro es igual a 8) Determinar cuánto mide el lado del exágono regular, cuya apotema es igual a 9) La longitud de la circunferencia circunscrita a un exágono regular mide

. Calcular la

longitud de la circunferencia inscrita en dicho exágono. Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

152

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ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

TRIÁNGULO  Conocida la base

y la altura

 Conocidos los tres lados

y

“Fórmula de Herón”

√  Conocidos los catetos

y del triángulo rectángulo

 Conocido el lado del triángulo equilátero. √

CUADRILÁTERO  Paralelogramo de base

 Rectángulo de base

y altura .

y altura .

 Cuadrado de lado

 Rombo de diagonales

 Trapecio de bases

y .

y , y altura

153

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 Trapecio de bases

y

y lados oblícuos

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y

√

POLÍGONOS REGULARES siendo  Pentágono Regular √

√

 Exágono Regular √

CÍRCULO

 Corona o Anillo Circular

 Sector Circular ̂

 Trapecio Circular Al ángulo central , en este caso, se lo suele llamar: “amplitud del trapecio”

 Segmento Circular

FIGURAS EQUIVALENTES Dos figuras son equivalentes cuando sus áreas respectivas son iguales

154

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Ejercicios 1) Determinar el área de un triángulo cuyos lados miden respectivamente 2) Determinar el área de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide y uno de sus catetos mide 3) Hallar el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual a . 4) Determinar la altura del triángulo equilátero cuya área es igual a 5) La base de un rectángulo es los cuatro quintos de la diagonal. Sabiendo que ésta mide , determinar el área del rectángulo. 6) Hallar el área de un rombo de perímetro igual a , sabiendo que las diagonales son entre sí como 5 es a 12. 7) Calcular las diagonales de un rombo sabiendo que su área es igual a y su perímetro igual a 8) Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden, respectivamente, y , siendo las longitudes de los otros dos lados y . 9) Hallar el área de un trapecio isósceles cuyo perímetro es igual a y cuyas bases miden respectivamente y . 10) El área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden respectivamente y es igual a . Hallar su perímetro. 11) Calcular el área de un exágono regular cuyo lado mide 12) Calcular el área de un pentágono regular cuyo lado mide 7dm. 13) Hallar el área de un círculo cuya circunferencia mide 14) Hallar el área de un sector circular cuyo ángulo central mide

y la longitud de la

circunferencia correspondiente es igual a 15) Calcular el ángulo que corresponde a un sector circular cuya área es igual a

, siendo el

radio del círculo correspondiente igual a 16) Determinar en qué relación están los diámetros

y

de dos círculos de áreas respectivas

y

17) Las longitudes de las circunferencias de dos círculos, están en la relación 2 a 3. ¿En qué relación están las áreas de los círculos respectivos? 18) El área de una corona circular es igual a

. La diferencia de los radios es igual a

.

Calcular los diámetros respectivos. 19) Calcular el área de una corona circular, expresada en milímetros cuadrados, sabiendo que el diámetro menor es igual a

y la diferencia de los radios es igual a

20) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los extremos de una cuerda de longitud igual a y el centro de la circunferencia de longitud igual a

.

21) Calcular el radio de una circunferencia, sabiendo que si se lo disminuye en

, el área

disminuye en 22) Determinar las dimensiones de un rectángulo de área igual a

y de perímetro

23) Las dimensiones de un rectángulo son entre sí como 4 es a 5. Calcularlas, sabiendo que el área es igual a

.

155

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24) El área de un triángulo rectángulo es igual a

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. Calcular sus catetos sabiendo que la

hipotenusa mide 25) Si la altura de un rectángulo dado se aumenta en un tercio de su longitud y la base en un quinta de su longitud, la relación entre éstas nuevas dimensiones es igual a tres octavos. Sabiendo que dicha relación se mantiene al aumentar la altura y la base 26) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide catetos tiene por área

, calcular el área del rectángulo dado. El cuadrado construido sobre uno de los

más que la del cuadrado construido sobre el otro cateto. Hallar cuánto

mide cada cateto. 27) Calcular el perímetro y el área de un cuadrado, sabiendo que la diagonal y el lado suman

28) Calcular el área de un círculo cuya circunferencia se halla circunscripta a un triángulo equilátero de área igual a

.

29) Calcular las bases de un trapecio isósceles circunscripto a una circunferencia de

de

diámetro, sabiendo que el área del trapecio es de 30) Determinar el perímetro del cuadrado equivalente al círculo cuya circunferencia mide 31) Calcular el perímetro del triángulo equilátero equivalente al cuadrado de

de perímetro.

32) Calcular la longitud de la circunferencia, cuyo círculo es equivalente al exágono regular de de apotema. 33) Determinar el perímetro del triángulo equilátero equivalente al rombo cuyas diagonales miden respectivamente,

y

.

34) Determinar el lado del pentágono regular equivalente al cuadrado de

de perímetro.

Respuestas 1)

13)

23)

2)

14)

24)

3)

15)

25)

4)

16)

√

26) 27)

5) 6)

17)

28)

7)

18)

29)

8)

19)

30)

9)

20)

31)

10)

21)

32)

11)

22)

33)

12)

34)

156

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GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Rectas y Planos Los segmentos determinados en dos rectas cualesquiera por tres o más planos paralelos, son proporcionales. ̅̅̅̅

 ̅̅̅̅̅ 



y ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

son planos paralelos

Ejercicios 1) Tres planos paralelos cortan a la recta ̅̅̅̅̅ en los puntos ̅̅̅̅

̅̅̅̅

y ̅̅̅̅

y . Si ̅̅̅̅

; y la recta ̅̅̅̅ en

y . Si

. Calcular el valor correspondiente a ̅̅̅̅

2) La recta ̅̅̅̅̅ intercepta tres planos ̅̅̅̅ en

y

, paralelos entre sí, en los puntos

̅̅̅̅

y ̅̅̅̅

3) Los extremos de un segmento ̅̅̅̅ de

y , y la recta

. Calcular el valor de ̅̅̅̅ y de ̅̅̅̅ .

de longitud, distan de un plano

,

y

,

respectivamente. Determinar la longitud de la proyección del segmento. 4) De un punto

distante

de un plano , se traza al plano una oblicua ̅̅̅̅ de

área del círculo correspondiente a la circunferencia descrita por

. Hallar el

cuando la oblicua gira alrededor de

la perpendicular. 5) La longitud de un segmento es de

, el mismo forma con un plano

un ángulo de

.

se traza una perpendicular ̅̅̅̅. Con centro en

se

Determinar la longitud de la proyección. 6) De un punto describe en

distante

de un plano

una circunferencia de

tangente ̅̅̅̅̅ de

de radio. Por un punto

de esta circunferencia se traza una

. Determinar la longitud del segmento ̅̅̅̅̅.

Respuestas 1) 2) ̅̅̅̅ 3)

4) ̅̅̅̅

5) 6)

157

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CUERPOS GEOMÉTRICOS Los cuerpos geométricos se clasifican en poliedros y no poliedros. 1) Poliedros: cuerpos geométricos cuyas caras son, en su totalidad, polígonos. 2) No Poliedros o Cuerpos de Revolución: son los cuerpos geométricos que están limitados, total o parcialmente, por superficies curvas. Se originan mediante una figura geométrica que se hace girar con respecto a un eje del mismo. CUERPOS GEOMÉTRICOS

POLIEDROS

NO POLIEDROS

REGULARES

IRREGULARES

CONOS TETRAEDRO

HEXAEDRO

PRISMAS

OCTAEDRO

DODECAEDRO

PARALELEPÍPEDO

ICOSAEDRO

CILINDROS

ESFERAS

PIRÁMIDES

PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO

PRISMAS Un prisma es un poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en: #

Prisma Recto: el eje es perpendicular a los polígonos base.

#

Prisma Oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base.

#

Prisma Regular: las bases son polígonos regulares. 

Prisma Regular Recto: las bases son polígonos regulares y el eje es perpendicular a los

polígonos base. 

Prisma Regular Oblicuo: las bases son polígonos regulares y el eje no es perpendicular a

los polígonos base. #

Paralelepípedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u

oblicuos.

158

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Fórmulas para Prismas Rectos ÁREA LATERAL

ÁREA TOTAL

VOLUMEN

PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO

En todo paralelepípedo rectángulo, el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones (largo, ancho y altura).

Ejercicios 1) Hallar el área total de un prisma recto cuya base es un rectángulo de

de largo y

de ancho y

cuya altura mide 2) Determinar el área lateral de un prisma regular cuadrangular de igual a √

de altura y diagonal de base

.

3) Determinar el área total de un prisma regular exagonal, cuya altura es igual al triple del lado de la base, siendo el perímetro de ésta de 4) El área de la base de un prisma regular triangular mide

Calcular el área lateral del

prisma, sabiendo que su altura es los dos tercios de loa altura de la base. 5) Calcular el área total de un prisma regular exagonal, sabiendo que la altura del mismo es igual a y que la apotema de la base es de 6) Calcular el área total de un prisma regular triangular, sabiendo que la circunferencia circunscripta a la base mide

y que la altura del prisma mide

159

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7) El área lateral de un prisma regular cuadrangular de de altura es de . Calcular el área total. 8) Calcular el área total de un prisma recto triangular de de altura, sabiendo que los lados de la base miden, respectivamente, 9) Calcular el volumen de un prisma regular exagonal de de altura y de apotema de base. 10) Calcular el volumen de un prisma recto de de altura, siendo la base un triángulo cuyos lados miden, respectivamente, 11) Determinar la capacidad de un depósito de forma de prisma regular cuadrangular de altura y de

de

de perímetro de base

12) ¿Cuántos

de tierra harán falta, para levantar el nivel de un terreno horizontal de forma

rectangular, de

de frente por

de fondo, si hay que elevar el nivel

en el frente y

en el fondo, dando a la superficie una pendiente uniforme? 13) Una piscina mide

de largo por

de ancho; la profundidad, de

aumentando linealmente hacia el extremo opuesto, donde tiene

en un extremo, va

¿Qué cantidad de agua es

necesaria para llenarla? 14) Determinar la diagonal de un paralelepípedo rectángulo de

de largo, sabiendo que el

ancho es tres cuartos del largo, y el alto dos tercios del ancho. 15) Calcular el área total de un paralelepípedo recto de paralelogramo de

de altura, cuya base es un

de altura y cuyos lados miden, respectivamente

y

16) Calcular el área total de un paralelepípedo rectángulo, cuya diagonal mide y su altura

, su largo

Expresar el resultado el metros cuadrados.

17) ¿Cuántos

de revoque se necesitan para cubrir el interior de un depósito abierto, de forma de

paralelepípedo rectángulo, cuyas dimensiones interiores son:

?

18) ¿Qué altura interior debe darse a un depósito de forma de paralelepípedo rectángulo, capaz de contener ancho

de agua, sabiendo que las otras dos dimensiones interiores son, largo

y

?

19) Un ladrillo ordinario mide ladrillos entran en una pila de

de largo, de largo,

de ancho y de ancho y

de altura. Calcular cuántos de altura.

Respuestas 1)

8)

15)

2)

9)

16)

3)

10)

17)

4)

11)

18)

5)

12)

19)

6)

13)

7)

14)

160

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PIRÁMIDES Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común (vértice de la pirámide).

La altura de la pirámide e la distancia del vértice al plano de la base. Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten también clasificar las pirámides en:  Pirámides Rectas y Oblícuas.  Pirámides Regulares e Irregulares.  Pirámides de base cuadrangular, triangular, pentagonal, exagonal, etc. Pirámide Regular: es la que tiene por base un polígono regular y por caras laterales, triángulos isósceles iguales. Relaciones entre los diversos elementos de una pirámide regular a) Relación entre la arista lateral, la apotema de la pirámide y el lado de base. 

.

 

( ) b) Relación entre la arista lateral, la altura de la pirámide y el radio de la base. 

.

 

c) Relación entre la altura de la pirámide, la apotema de la pirámide y la apotema de la base. 

.

 

161

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Fórmulas para Pirámides Regulares ÁREA LATERAL

ÁREA TOTAL

VOLUMEN

Relaciones Fundamentales Si un plano es paralelo a la base de una pirámide y corta a sus aristas laterales, se verifica que: a) La región resultante es un polígono semejante al de la base.

b) Las áreas de la base y del polígono de la sección, son entre sí como los cuadrados de sus respectivas distancias al vértice de la pirámide.

c) Los volúmenes de la pirámide total y parcial son entre sí como los cubos de sus alturas respectivas.

Ejercicios 1) Determinar la apotema de una pirámide regular cuadrangular, cuya arista lateral mide

y el

perímetro de la base es de 2) Determinar la altura de una pirámide regular triangular de

de perímetro de base y

de

arista lateral. 3) Determinar la apotema de una pirámide regular exagonal, de

de altura y

de perímetro de

base. 4) Hallar el área lateral de una pirámide regular cuadrangular de

de altura y

de área de

base. 5) La apotema de una pirámide regular triangular es igual a cinco sextos de la altura de la base y el área de ésta es de

. Hallar el área lateral de la pirámide.

6) El área total de una pirámide regular cuadrangular es de

; el área de la base es de

.

Calcular el volumen. Respuestas 1)

3)

5)

2)

4)

6)

162

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POLIEDROS REGULARES Según el número de caras, los poliedros regulares, que en total son cinco, se clasifican en: 1) Tetraedro Regular: constituido por cuatro caras (triángulos equiláteros) iguales.

2) Exaedro Regular (Cubo): constituido por seis caras (cuadrados) iguales.

3) Octaedro Regular: constituido por ocho caras (triángulos equiláteros) iguales.

4) Dodecaedro Regular: constituido por doce caras (pentágonos regulares) iguales.

5) Icosaedro Regular: constituido por veinte caras (triángulos equiláteros) iguales.

163

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FÓRMULAS Y NÚMERO DE ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES ÁREA

N° DE CARAS

N° DE ARISTAS

N° DE VÉRTICES

Tetraedro Regular

4

6

4

Exaedro Regular

6

12

8

Octaedro Regular

8

12

6

√

Dodecaedro Regular

12

30

20

√

Icosaedro Regular

20

30

12

VOLUMEN √

√

√ √

√

√

√

√

√

En el caso de tener que calcular específicamente el área lateral del tetraedro regular o del exaedro regular, será suficiente considerarlos como pirámide regular y prisma regular, respectivamente. Las fórmulas correspondientes de dichas áreas  Tetraedro Regular:

en función de la arista , serán:

√

 Exaedro Regular: En el exaedro regular se cumple: 

√



√

Ejercicios 1) Hallar el área de un tetraedro regular, sabiendo que la altura de una cara (apotema) mide 2) El área de un tetraedro regular mide

. Hallar la suma de las longitudes de las aristas.

3) El volumen de un cubo es de

. Determinar el área total, el área lateral, la diagonal y la

suma de sus aristas. 4) Un depósito cúbico puede contener

de agua. Determinar cuántos

extrajeron del mismo, si su nivel descendió

.

5) La diagonal de un cubo mide √ 6) El área de un octaedro regular es de 7) Las aristas de un cubo suman

litros de agua se

. Calcúlese el área del mismo. . Determinar cuánto suman sus aristas. Determínese su diagonal y sus área lateral.

Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

164

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CUERPOS DE REVOLUCIÓN Son cuerpos de revolución los que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje.

 El cilindro como rotación de un rectángulo alrededor de un lado.

 El cono como rotación de un triángulo rectángulo alrededor de un cateto.

 La esfera como rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro.

EL CILINDRO Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por el giro de una región rectangular en torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de simetría. El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices. Un cilindro puede ser:  Cilindro Recto: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases;  Cilindro Oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases;  Cilindro de Revolución: si está limitado por una superficie que gira 360°.

165

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Fórmulas para Cilindros Circulares Rectos ÁREA LATERAL

ÁREA TOTAL

VOLUMEN

Cilindros de Revolución Semejantes Son aquellos engendrados por la revolución de rectángulos semejantes alrededor de lados homólogos. Para dos cilindros de revolución semejantes de alturas

y

; y radios de bases

y

,

respectivamente homólogos, se verifican las siguientes igualdades:

  Ejercicios 1) Determinar el área total de un cilindro recto circular de

de altura y

de área de

base. 2) El área lateral de un cilindro recto y circular, cuya altura es igual al diámetro de la base, es de . Hallar la altura. 3) Calcular el área total de un cilindro recto y circular de 4) ¿Cuántos litros de agua se extrajeron de un pozo de 5) ¿Cuántos

de radio y

de diámetro, si su nivel descendió

se han extraído de una montaña, para construir un túnel de

que la sección del mismo es un semi-círculo de

de altura. ?

de largo, sabiendo

de altura?

6) El volumen de un cilindro recto y circular, cuyo radio es dos quintos de la altura, es de

.

Hallar el diámetro de la base. 7) Un recipiente cúbico de

de capacidad, está lleno de agua. Determinar cuántos litros se

derraman al introducir en el mismo un cilindro recto y circular macizo que queda inscrito en aquel. 8) Una varilla de cobre de

de diámetro y

de largo, se reduce a hilo obteniéndose

de hilo de cobre de diámetro constante. Determínese su diámetro. 9) Un depósito cilíndrico de gasolina tiene por dimensiones interiores:

de longitud y

de

diámetro. Se desea construir otro de doble capacidad, variando sólo el diámetro. Hállese el diámetro interior correspondiente de este último. 10) Un depósito cilíndrico debe contener

de aceite. Determínese el diámetro interior

del mismo, sabiendo que la altura interna que debe dársele es de

166

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11) En una caldera cilíndrica vertical, la superficie del agua se halla a la longitud de su diámetro interior 12) Una caldera tubular tiene

de la tapa superior. Siendo

, calcular cuántos litros de vapor disponible se tiene. tubos de

de diámetro exterior y

de longitud. Calcular la

superficie de la calefacción. 13) ¿Cuántos

de chapa se necesitarán para fabricar

tubos de

de diámetro exterior y

de largo? Las juntas van soldadas. 14) ¿Cuántos

de material hay en un cilindro hueco de cobre de

diámetros exterior e interior miden, 15) Un árbol hueco de acero tiene

y

, respectivamente?

de diámetro exterior

de largo; hállese el peso suponiendo que el acero pesa

de largo, cuyos

de diámetro interior, siendo por

.

Observación: en el lenguaje técnico, el árbol hueco se refiere a un cilindro recto y circular hueco de espesor

siendo

(diferencia entre los radios exterior e interior correspondientes)

Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

167

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EL CONO Es un cuerpo de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Clasificación  Cono recto: si el vértice equidista de la base circular  Cono oblicuo: si el vértice no equidista de su base  Cono elíptico: si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos. La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base. La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base. Fórmulas para Conos de Revolución Rectos ÁREA LATERAL

ÁREA TOTAL

VOLUMEN

Relación entre los elementos de un cono circular recto

168

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Conos de Revolución Semejantes Son aquellos engendrados por la revolución de triángulos rectángulos semejantes alrededor de uno de los catetos homólogos. Para dos conos de revolución semejantes de alturas bases

y

y

; generatrices

y

; y radios de

del radio de la base, la generatriz mide

. Calcular

, respectivamente homólogos, se verifican las siguientes igualdades:

  Ejercicios 1) La altura de un cono recto y circular es la altura. 2) Determinar el área de la sección paralela a la base de un cono de revolución de de generatriz, sabiendo que dicha sección se encuentra situada a 3) Calcular el área lateral de un cono recto y circular de

de altura y

de la base.

de altura, sabiendo que la generatriz es

el doble del radio de la base. 4) Determinar la altura de un cono de revolución, cuya área lateral es de

, siendo la

generatriz del mismo, cinco tercios del radio de la base. 5) ¿Cuántos

de tela se requieren para construir una carpa cónica de

de altura y

de

diámetro de base? 6) Calcular el área lateral de un cono recto y circular, cuya altura es el triple del radio de la base, siendo el área de ésta de

.

7) Determinar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a

, sabiendo que la

generatriz es el triple del radio de la base. 8) ¿Cuántos

de arena se podrán cubrir con un toldo cónico de

de altura y

9) Se hace girar un triángulo rectángulo rígido, cuyos catetos miden

y

de diámetro? , respectivamente,

primero alrededor de cada cateto y luego alrededor de la hipotenusa. Hallar el volumen engendrado en los tres casos. 10) El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto y circular de circular de

de altura, es un sector

. Hallar el volumen del cono.

Respuestas 1)

6)

2)

7)

3)

8)

4)

9)

5)

10)

169

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LA ESFERA Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

También se denomina esfera, o superficie esférica, a la conformada por los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto denominado centro, es siempre la misma. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro. La mitad de una esfera se denomina Hemisferio o Semiesfera.  Círculo máximo: línea de intersección de la superficie esférica con un plano que pasa por el centro de la misma. Divide a la esfera en dos hemisferios o semiesferas.  Círculo Menor: línea de intersección de la superficie esférica con un plano que no pasa por su centro.  Polos de un Círculo: llámese polos de un círculo de una esfera los extremos del diámetro de ésta, perpendicular al plano del círculo.  Distancia entre dos Puntos de una Esfera: la distancia entre dos puntos de una esfera, medida sobre la superficie de la misma, es la longitud del arco del círculo máximo que los une. FÓRMULAS Área y Volumen de la Esfera

CASQUETE ESFÉRICO Si cortamos una esfera por un plano secante, tendremos:  Cada porción de la superficie esférica es un Casquete Esférico.  Cada porción de esfera se llama segmento esférico de una base (monobásico)

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ZONA ESFÉRICA Si cortamos una esfera por dos planos paralelos, tendremos:  La porción de superficie esférica limitada por dos planos se llama Zona Esférica.  La porción de esfera limitada por los dos planos se llama segmento esférico de dos bases (bibásica)

CUÑA ESFÉRICA La cuña esférica es una parte de la esfera que está comprendida entre dos planos que cortan a dicha esfera por el diámetro. Volumen de una Cuña Esférica ( Siendo

)

el ángulo diedro de la cuña.

HUSO ESFÉRICO O LÚNULA ESFÉRICA Es la parte de la superficie esférica correspondiente a la cuña esférica. Área de un Huso Esférico ( Siendo

)

el ángulo diedro de la cuña.

CUBO INSCRITO A UNA ESFERA – ESFERA CIRCUNSCRITA A UN CUBO

En estas condiciones se cumple:

Siendo {

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CUBO CIRCUNSCRITO A UNA ESFERA – ESFERA INSCRITA A UN CUBO En estas condiciones se cumple:

Siendo {

Ejercicios 1) Calcular el área de una esfera, sabiendo que la longitud de su circunferencia máxima mide

2) Determinar el volumen de una esfera, cuya superficie tiene por área 3) El diámetro exterior de una esfera hueca de hierro es de peso suponiendo que el hierro pesa

; el espesor de

. Hallar su

por

4) Calcular el área de una zona esférica de

de altura, sabiendo que el área del círculo

máximo de la esfera que le ha dado origen es de 5) Se corta una esfera de

de radio, por dos planos paralelos, situados en el mismo

hemisferio, y que distan del centro

y

, respectivamente. Determinar el área de la zona

esférica correspondiente. 6) ¿Cuántos un área de

de plomo se necesitarán para revestir una cúpula hemisférica, cuya base abarca ?

7) Determinar el área de un huso esférico, cuyo ángulo mide diámetro de la esfera respectiva de

, siendo el valor del

.

8) Determinar el área de una esfera, sabiendo que un huso esférico que le pertenece y cuyo ángulo mide

tiene por área

9) Determinar el diámetro de una esfera, sabiendo que un huso esférico que le pertenece abarca un área de

, siendo el valor del ángulo respectivo de

10) Sabiendo que el radio terrestre medio tiene

y que aproximadamente la cuarta parte

de la superficie del planeta es tierra firme; ¿cuántas hectáreas forman esta última? 11) Hallar el área de un huso esférico de

perteneciente a una esfera de

de radio.

12) Calcular el área de una esfera y su volumen, sabiendo que el área de un círculo menor cuyo plano dista

del centro es de

.

172

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13) El área de una esfera es de esfera con un plano que dista

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. ¿Cuál es el área del círculo que se obtiene al cortar la del centro?

14) Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de

de radio mediante un

plano cuya distancia al centro de la esfera es de 15) Un cubo de

de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de

de área? 16) Calcular el área de una zona esférica y el volumen del segmento esférico correspondiente, cuyas circunferencias tienen por radio

y

, y la distancia entre ellas es de

. Usar el

valor exacto de . 17) Demostrar que la superficie esférica es equivalente a la superficie lateral de un cilindro cuya altura y diámetro de la base sean iguales al diámetro de la esfera. 18) ¿Cuál es el volumen de una esfera si el cubo que tiene inscrito tiene volumen 19) ¿Cuál es el ángulo de una cuña esférica, cuyo volumen es de esfera respectiva es de

?

, si el volumen de la

?

20) ¿Cuál es el volumen de una zona esférica que se obtiene al seccionar una esfera de diámetro, por dos planos paralelos situados respectivamente a

y

de

del centro? Los

planos se sitúan en hemisferios diferentes. Respuestas 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

√

19) 20)

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REPASO DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO Resolver los siguientes problemas 1) Tres planos paralelos cortan a la recta ̅̅̅̅ es el triple de ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ mide

en tres puntos

y a la recta

en

y . Si

, calcular el valor de ̅̅̅̅ .

2) La longitud de un segmento ̅̅̅̅ es de Determinar cuánto dista el extremo

y

, su proyección sobre el plano

de dicho plano, sabiendo que el extremo

es

de la misma.

es la intersección de

dicho segmento con el plano . 3) Calcular el área total y el volumen de un prisma regular cuadrangular de sabiendo que la diagonal de la base mide √

de altura,

.

4) Determinar el área total de un prisma regular exagonal, cuya altura es igual al lado de la base, siendo el perímetro de ésta de

.

5) Las aristas de un cubo suman 26,16dm. Calcular su área y su diagonal. 6) El área total de un prisma regular cuadrangular, cuya altura es el triple del lado de la base, mide . Determinar el lado de la base y la altura. 7) Calcular el área total y el volumen de un prisma regular triangular de

de altura y

de perímetro de base. 8) Calcular cuántos litros de agua se extrajeron de un depósito cubico de

de arista interior, si

el nivel del líquido descendió 9) Calcular la altura de un tetraedro regular cuya área mide

.

10) Calcular el área total de una pirámide regular exagonal de

de altura y

de perímetro de

base. 11) Calcular el área total de una pirámide regular cuadrangular, cuya altura es igual al lado de la base, siendo el área de ésta de

.

12) Calcular el área lateral de un a pirámide regular pentagonal de base de

de altura, siendo el lado de la

.

13) El área lateral de un cilindro recto y circular mide

, siendo la altura de

. Calcular

cuánto mide el radio. 14) No teniendo en cuenta el aumento de volumen que experimenta la tierra al extraer la misma en la construcción de un pozo, calcular cuántos de diámetro alcanzó los

de tierra se extrajeron, si la profundidad del pozo de

. Teniendo que el nivel del agua se mantuvo a

de la

superficie del terreno, ¿cuántos litros de agua contiene el pozo? 15) ¿Cuánto descendió el nivel del agua en un depósito cilíndrico de se extrajeron

de diámetro interior, si

litros de agua?

16) Un depósito cilíndrico debe contener interiores, sabiendo que ésta debe ser

litros de agua. Determinar su diámetro y altura

del diámetro.

174

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17) Determinar el área de la sección paralela a la base de un cono recto y circular de sabiendo que dicha sección se encuentra a

de altura,

de la base, siendo el área de ésta de

18) Determinar el área total y el volumen de un cono recto y circular de

.

de generatriz y de

altura igual al radio de la base. 19) Calcular el área de la sección plana a una esfera de 15cm de diámetro, situada del centro de la misma a un tercio del diámetro respectivo. 20) Calcular la longitud de la circunferencia máxima de una esfera, sabiendo que la circunferencia menor situada a

del centro, tiene una longitud de

.

21) Calcular el área de una esfera sabiendo que la longitud de la circunferencia máxima mide

22) Calcular el volumen de un cubo circunscrito a una esfera cuyo volumen es de

.

23) Se corta una esfera de

y

de diámetro por dos planos paralelos situados a

del

centro y en hemisferios diferentes. Calcular el área de la zona esférica respectiva. 24) Calcular el área de un uso esférico cuyo ángulo mide esfera respectiva de

, siendo el valor del diámetro de la

.

25) Calcular el área de un casquete esférico menor que resulta al seccionar una esfera de diámetro por un plano situado a

de

del centro de la esfera correspondiente.

26) Se corta una esfera de

de diámetro por dos planos paralelos que, situados en igual

hemisferio, distan del centro

y

, respectivamente. Calcular el área de la zona esférica

correspondiente. 27) Determinar la capacidad que tiene una batea de forma de casquete esférico. El diámetro interior de la parte superior es de

y la profundidad correspondiente

.

28) El área de una sección plana a una esfera situada a 1,25dm del centro es de

.

Determinar el volumen de la esfera. Respuestas 1)

11)

21)

2)

12)

22)

3)

13)

23)

4)

14)

24)

5)

15)

25)

6)

16)

26)

7)

17)

27)

8)

18)

28)

9)

19)

10)

20)

175

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LA ESTADÍSTICA La Estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo, la estadística es más que eso, es decir, es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica. EL VALOR DE LA ESTADÍSTICA PARA LA SALUD PÚBLICA La necesidad de un enfoque estadístico está actualmente bien reconocido en la investigación y en la práctica de las disciplinas que constituyen la salud pública. Ya que estas estudian comunidades o poblaciones en las que claramente se aplican las leyes de los grandes números y de las fluctuaciones aleatorias. La Estadística permite analizar situaciones en las que los componentes aleatorios contribuyen de forma importante en la variabilidad de los datos obtenidos. En salud pública los componentes aleatorios se deben, entre otros aspectos, al conocimiento o a la imposibilidad de medir algunos determinantes de los estados de salud y enfermedad, así como a la variabilidad en las respuestas por los pacientes, similares entre sí, que son sometidos al mismo tratamiento. La extensión de los conocimientos y aptitudes de carácter estadístico que necesitan adquirir los profesionales de la salud pública son importantes, porque el conocimiento de los principios y métodos estadísticos y la competencia en su aplicación se necesitan para el ejercicio eficaz de la salud pública, y adicionalmente para la comprensión e interpretación de los datos sanitarios; a fin de discriminar entre opiniones arbitrarias o discrecionales, con respecto a las verdaderamente evaluadas en un contexto científico. La Estadística se divide en dos grandes áreas: Estadística Descriptiva: Es aquella parte de esta ciencia cuya finalidad no es otra que la de describir la población mediante una serie de números que nos den una idea aproximada de la misma. Con los números obtenidos, y comprendiendo su significado, conseguiremos que quienes los conozcan puedan hacerse una idea muy aproximada del colectivo, sin necesidad de consultar los datos mismos. Con la Estadística Descriptiva, no podemos establecer inferencias sobre un grupo mayor. Una inferencia es la acción y efecto de inferir (deducir algo, sacar una consecuencia de otra cosa, conducir a un resultado, contrastar hipótesis, etc) Por ejemplo un estudio de Estadística Descriptiva consistiría en obtener las calificaciones de una prueba de cada uno de los alumnos que intervienen en ella, de un curso determinado, y describir y analizar los resultados sin pretender sacar conclusiones de tipo más general. Estadística Inductiva o Inferencial: busca llegar a conclusiones más generales que se aplican a todos los componentes de una población partiendo de los resultados del análisis y descripción de una muestra o partes significativa de dicha población. Su finalidad es, por tanto, inferir, inducir o

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estimar las leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra extraída de ella. Tales conclusiones no podrán ser totalmente precisas, sino que habrá de admitir unos ciertos márgenes de error. En este caso, la Estadística se justifica en la medida en que es capaz de cuantificar estos márgenes de error. Como ejemplo, puede que interese el estudio del número de alumnos del séptimo grado de toda la nación, que aprobaron la signatura de matemáticas en la primera etapa. Para ello, se extraería una muestra representativa de esa población, se tomaría nota de las calificaciones de los alumnos de esa muestra en la primera etapa y, a partir de esos datos, se inducirán conclusiones sobre toda la población de estudiantes del séptimo grado. Con estas consideraciones se puede completar la definición de la Estadística en los siguientes términos:  Estadística: Es la ciencia que recoge, ordena y analiza los datos de una muestra extraída de cierta población y que, a partir de esa muestra, hace inferencias acerca de la población.  Estadística Descriptiva: Es la parte de la Estadística que se limita a recoger, ordenar y analizar los datos de una muestra, es decir, describir la muestra.  Estadística Inductiva: Es la parte de la Estadística que hace inferencias de la población partiendo de una muestra extraída de ella.  Población o Universo: es el conjunto de personas, animales u objetos que poseen una determinada característica en común.  Muestra: es el subconjunto de la población, seleccionado por diversos procedimientos, con el fin de estudiar las variables estadísticas establecidas. Si el estudio se refiere a toda la población se llama censo, si sólo se toma una muestra, el estudio se llama muestreo.  Individuo: se llama a cada uno de los elementos que componen la población estadística, es cualquier ente observable (personas, cualquier ser vivo, objetos, incluso algo abstracto). VARIABLES ESTADÍSTICAS Las variables son atributos, cualidades, características observables que poseen las personas, objetos, instituciones que expresan magnitudes que varían discretamente o en forma continua. Ejemplo: son variables de las personas: la edad, sexo, talla, peso, contextura, color del cabello, color de ojos, grado de atención, conocimientos previos, confesión religiosa, procedencia, clase social, etc. Son variables de las cosas, objetos: forma, color, tamaño, peso, conservación, antigüedad, etc. Las instituciones también poseen variables como: antigüedad, organización, eficiencia, magnitud, productividad, etc.

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Existen dos tipos de Variables Estadísticas: 1) Variables Cualitativas: Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. 2) Variables Cuantitativas: Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. a) Variables Cuantitativas Discretas: solo admiten números enteros en su definición. Ejemplos: número de alumnos, número de hijos, etc. b) Variables Cuantitativas Continuas: es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Entre dos valores de variables continuas siempre habrá otro valor intermedio. Ejemplos: la altura, el peso, etc. ¿Cómo identificar la variable en cualquier situación investigativa? Si tomamos como ejemplo la siguiente situación: Se realiza una encuesta en la ciudad de Encarnación para determinar la telenovela más vista en esta ciudad. Entre las opciones figuran: El Clon, Doña Bárbara, Rafaela, Pasión de Gavilanes. En este caso la variable estadística es: telenovela preferida que corresponde a una variable cualitativa. ACTIVIDADES Dadas las siguientes situaciones, identificar la variable estadística, y clasificarla en Cualitativa o Cuantitativa. En el caso que sea Cuantitativa, indicar si es Discreta o Continua. a) Se realiza un estudio sobre la cantidad de motos en la ciudad de General Artigas. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ b) Un profesor aplica un test de inteligencia a los alumnos del cuarto año de la carrera de Matemática para determinar el Coeficiente Intelectual promedio en dicho curso. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ c) Un grupo de ingenieros realiza una serie de excavaciones en un campo para determinar los diferentes tipos de rocas existentes. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ d) Se realiza una encuesta en la facultad de Humanidades de la UNI para determinar cuál es la materia que más les cuesta a los alumnos. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ e) Se desea conocer la raza de perros dominantes en la ciudad de Bella Vista. Para ello se realiza una encuesta a una pequeña muestra de la población de dicha ciudad. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ f) Un supermercado de la ciudad de Encarnación realiza un estudio para determinar el peso promedio de los artículos que llevan cada persona en cada compra. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________

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g) Una playa de autos hizo un estudio para conocer cuáles son las marcas más vendidas durante el año 2001. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ h) En la ciudad de Encarnación se está haciendo una encuesta sobre cuál es el tema del verano en este año. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ i) Los alumnos de ingeniería están experimentando sobre un tipo de viga prefabricada de madera, y desean saber cuál es la madera más resistente. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ j) Los mismos alumnos anteriores, ya decidieron la madera, ahora quieren saber cuál es el peso promedio que aguanta, para ello realizan varios ensayos de rotura en el laboratorio. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ k) Un psicólogo realiza un estudio para saber a qué edad promedio las personas tienden a madurar emocionalmente. Variable Estadística:________________________ Tipo:_________________________________ TABLAS DE FRECUENCIAS O DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Las tablas de frecuencias son los resultados de un proceso de tabulación de los datos recogidos en un estudio. Reflejan normalmente, la frecuencia absoluta, las frecuencias relativas, las frecuencias acumuladas, etc. FRECUENCIAS ABSOLUTAS (f): Es el número de observaciones realizadas por una variable determinada Ejemplo: Una pequeña empresa tiene un total de 35 vendedores que trabajan en cinco oficinas. Las oficinas están numeradas del 1 al 5, los registros de la empresa indican que las respectivas oficinas de los vendedores (enumerados en orden alfabético) son: 1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 2, 5, 1, 2, 3, 5, 3, 1, 2, 3, 1, 5, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 5 la frecuencia absoluta de la oficina 1 será la cantidad de veces que aparece esta calificación; en este caso es: 7, de la misma manera se calculan las frecuencias absolutas de las demás oficinas, para tener una mejor referencia de los datos obtenidos se los representa en la siguiente tabla. Número de

Frecuencia Absoluta

Oficina

Nº 1

7

Nº 2

8

Nº 3

9

Nº 4

5

Nº 5

6

N

35

Una distribución tabular como la mencionada se denomina: Distribución de Frecuencias.

La suma de las frecuencias absolutas se representa por N, y refleja el total de los datos.

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FRECUENCIAS RELATIVAS (fr): Generalmente la información proporcionada por la frecuencia absoluta no permite afirmar directamente, si una frecuencia es alta o baja. Para ello se realiza una referencia al número total de datos obteniéndose así la Frecuencia Relativa de un dato, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Una distribución de frecuencias relativas expresa

cada frecuencia dentro de una clase en porcentaje del número total de

observaciones hechas en la muestra. Ello nos permite hacer afirmaciones en relación con el número de observaciones en una sola clase referidas a toda la muestra. En el ejemplo anteriormente mencionado calculamos las frecuencias relativas como sigue: Número de Oficina

Frecuencia Absoluta ( f )

Frecuencia Relativa ( fr )

7

7  0,20 35

Nº 1

Nº 2

8  0,23 35

8

Nº 3

9  0,26 35

9

Nº 4

5  0,14 35

5

Nº 5

6

6  0,17 35

N

35

1

“Se puede ver que la suma de todas las frecuencias relativas es siempre 1” Si la frecuencia relativa se multiplica por 100 obtenemos la frecuencia relativa porcentual  fr % .

fr % 

f  100 N

Número de

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Frecuencia Porcentual

Oficina

( f )

( fr )

(f%)

Nº 1

7

0,20

20%

Nº 2

8

0,23

23%

Nº 3

9

0,26

26%

Nº 4

5

0,14

14%

Nº 5

6

0,17

17%

N

35

1

100%

“Se puede ver que la suma de todas las frecuencias relativas porcentuales es siempre 100%”

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INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA TABLA Número de

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Frecuencia Porcentual

Oficina

( f )

( fr )

(f%)

Nº 1

7

0,20

20%

Nº 2

8

0,23

23%

Nº 3

9

0,26

26%

Nº 4

5

0,14

14%

Nº 5

6

0,17

17%

N

35

1

100%

Considerando los resultados observados en la segunda fila podemos expresar.  f = 8 vendedores trabajan en la oficina Nº 2.  fr = en la oficina Nº 2, la frecuencia de vendedores es 0,23.  fr% = 23% de los vendedores trabajan en la oficina Nº 2. FRECUENCIAS ACUMULADAS (fa< y fa>): Son frecuencias obtenidas al sumar la frecuencia absoluta de una variable con la correspondiente menor o mayor según sean fa< o fa>. A veces es útil mostrar el número total de ocurrencias por encima o por debajo de ciertos valores clave. La distribución de frecuencias acumuladas muestra el número total de ocurrencias que son menores o mayores que ciertos valores clave. A este tipo de distribución de frecuencias acumuladas a veces se le llama distribución menor que, porque permite ver de inmediato cuántos valores son menores que algún valor determinado. Ejemplo: Ingresos de ejecutivos de la corporación Sumer. Ingreso anual ($)

f

fa


De 20.000 a menos de 30.000

5

5

86

De 30.000 a menos de 40.000

17

22

81

De 40.000 a menos de 50.000

22

44

64

De 50.000 a menos de 60.000

28

72

42

De 60.000 o más.

14

86

14

Totales (N)

86

Podemos determinar, por ejemplo, de los ejecutivos de la corporación Sumer que:  72 ganan menos de $60.000.

 42 ganan al menos $50.000

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DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS Cuando deseamos representar en una tabla estadística variables continuas tales como peso, talla, velocidad, etc, o cuando se trata de variables discretas donde el número de observaciones es muy grande y la cantidad de valores diferentes que toma la variable también, se recurre a agrupar los datos en intervalos. Cada uno de estos intervalos recibe el nombre de clase. Número de órdenes diarios en la Tintorería “El Zorro” durante 130 días Número de clientes

f

0-09

5

10-19

15

20-29

23

30-39

40

40-49

27

50-59

12

60-69

8

Total

130

fr

fr%

fa


INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE: El símbolo que define cada clase, como 0 – 09, en la tabla, se llama intervalo o amplitud de clase. Los números extremos en cada clase, por ejemplo en la segunda , 10 y 19 se llaman, límite inferior (10) y límite superior (19) TAMAÑO O ANCHURA DE CLASE: El tamaño o anchura de un intervalo o clase es la cantidad de datos que se incluyen dentro de una clase determinada. En el ejemplo presentado tenemos el tamaño de clase del segundo intervalo obtenido de la siguiente manera:

Se observa que todos los intervalos tienen la misma anchura de clase en esta distribución. MARCA DE CLASE (X): La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene promediando los límites superior e inferior de un mismo intervalo. Así la marca de clase del segundo intervalo 10 – 19 es:

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ACTIVIDADES 1) Los puntajes obtenidos por 26 alumnos de una clase de Estadística sobre un total de 40 puntos son los siguientes: 16 – 23 – 20 – 27 – 34 – 39 – 16 – 35 – 40 – 30 – 34 – 30 – 29 39 – 27 – 32 – 27 – 30 – 29 – 32 – 30 – 32 – 34 – 30 – 29 – 20 a) Completa el cuadro PUNTAJES OBTENIDOS PUNTAJE

f

fr

fr %

fa 

fa 

16 20 23 27 29 30 32 34 35 39 40 Total

b) Contesta las siguientes preguntas ¿Cuál es la variable estadística? ¿A qué tipo pertenece? ________________________________________________________________________________ ¿Cuál es el puntaje con mayor frecuencia absoluta? ________________________________________________________________________________ Si los alumnos que obtuvieron menos de 28 puntos están aplazados, ¿Cuántos son? ________________________________________________________________________________ ¿Qué porcentaje de los alumnos obtuvieron nota mayor a 34? ________________________________________________________________________________ ¿Cuántos alumnos obtuvieron un puntaje no menor a 32? ________________________________________________________________________________ ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron un puntaje 23 o menos? ________________________________________________________________________________

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2) Los siguientes datos representan la presión arterial tomada a 150 personas, las cuales se sometieron a un examen de laboratorio. 123

99

153

133

134

109

110

188

148

144

132

120

154

156

108

144

127

162

134

120

98

133

182

153

127

137

142

167

129

136

138

140

126

122

141

154

131

102

130

118

138

143

145

135

140

183

154

168

144

125

Completar la siguiente tabla utilizando dichos datos Presión Arterial

Menos de 120 120 – 129 130 – 139 140 – 159 160 – 179 180 o más TOTAL

¿Cuántas personas sufren de hipertensión tipo 2? ________________________________________________________________________________ ¿Qué porcentaje de las personas tienen la presión normal? ________________________________________________________________________________ ¿Qué porcentaje de las personas tienen pre hipertensión? ________________________________________________________________________________ ¿Qué porcentaje de las personas son hipertensas? ________________________________________________________________________________ ¿Cuántas personas tienen, a lo sumo, de presión? ________________________________________________________________________________ ¿Cuántas personas tienen al menos de presión ? ________________________________________________________________________________ ¿Qué porcentaje de personas tienen como máximo de presión? ________________________________________________________________________________

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LOS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Un gráfico estadístico es la representación de la relación entre variables. Dependiendo de la naturaleza de la variable estadística y de la forma en que se presentan los datos, en valores sueltos o agrupados, se pueden utilizar unos u otros gráficos. Los más utilizados son:  Diagrama de Barras

 Histograma

 Gráfico de Sectores

 Diagrama de Líneas

 Polígono de Frecuencias

 Pictogramas

DIAGRAMA DE BARRAS Se realiza en un sistema de ejes cartesiano (generalmente utilizando el primer cuadrante). Se sitúan en el eje de abscisas (eje x) los valores de la variable y en el eje de ordenadas (eje y) las frecuencias (absolutas, relativas, acumuladas). En ocasiones esta combinación se realiza de manera contraria, lo que genera barras horizontales. No es necesario que los ejes tengan la misma graduación. Se señalan los puntos correspondientes en el eje de abscisas, se dibujan las barras correspondientes a cada dato, cuya longitud queda determinada por la frecuencia de cada uno. “El diagrama de barras puede utilizarse cuando los valores de la variable no se encuentran agrupados en intervalos”. En un mismo diagrama de barras es posible representar varias poblaciones, pero si éstas presentan distinto tamaño es recomendable utilizar las frecuencias relativas en lugar de las absolutas. Calificación en Estadística - 2 E.E.B. - Colegio NN - 2011 Calificación 1 2 3 4 5

f 7 8 9 5 5 34

Frecuencia Absoluta

N

fr% 21% 24% 26% 15% 15% 100%

fa< 7 15 24 29 34

10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

Calificaciones

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Frecuencia Relativa

Matemática

30 25 20 15 10 5 0

26%

24%

21%

1

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2

15%

15%

4

5

3

Calificaciones

Frecuencia Acumulada

Calificaciones

40

34 29

30

24

20 10

15 7

0 1

2

3

4

5

Calificaciones

5 4 3 2 1 0

2

4

6

8

10

Frecuencia Absoluta

DIAGRAMA DE LÍNEAS Se realiza en un sistema de ejes cartesianos. En el eje x se marcan los datos y en el eje y la frecuencia de cada uno. No es necesario que los ejes tengan la misma graduación. Se señalan los puntos correspondientes (datos – frecuencias) y éstos se unen con líneas rectas. “Se utilizan principalmente para hacer representaciones de series temporales cuyos datos no estén agrupados en intervalos”.

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Número de pacientes trasplantados en el Hospital NN Año 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 Total

N° de Pacientes 0 20 42 35 43 80 92 122 106 540

N{umero de Pacientes

140 120 100 80 60 40 20 0 1.981

1.983

1.985

1.987

1.989

1.991

1.993

1.995

1.997

Año

HISTOGRAMA “Se utiliza cuando los valores de la variable se encuentran agrupados en intervalos”. Para elaborar un histograma se sitúa en el eje de las abscisas los intervalos

y

sobre cada uno de ellos se construye un rectángulo de base igual a la amplitud del intervalo y área proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa). Así, la altura

, asociada a cada uno de

los rectángulos construidos será:

Evidentemente, si todos los intervalos tienen la misma amplitud, las alturas de los rectángulos construidos serán proporcionales a las frecuencias. Por lo tanto, podemos concluir que, la altura de los rectángulos es directamente proporcional a la frecuencia e inversamente proporcional a la amplitud de la clase.

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Altura de 360 Estudiantes (en cm) del colegio NN

POLÍGONO DE FRECUENCIAS A partir del histograma, el polígono de frecuencias se obtiene al unir, mediante líneas rectas, los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos. Para cerrar el polígono, se supone que, adyacentes a la primera y última clase, existe otra de la misma amplitud pero frecuencia cero, lo que permite obtener las marcas de clase de cada una y así y así poder unirlas mediante líneas rectas.

Altura de 360 Estudiantes (en cm) del colegio NN

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GRÁFICO DE SECTORES Es uno de los pocos que no utiliza un sistema de ejes cartesiano. Consiste en dividir un círculo en sectores circulares, de modo que la amplitud de cada sector sea proporcional a la frecuencia del dato que representa. Para conseguir dicho ángulo

se aplica la proporción:

{ “Este tipo de gráficos se utiliza generalmente para representar series atemporales espaciales y atemporales de frecuencias”. Además, se utiliza cuando la cantidad de datos no es grande, por que si lo fuese, los sectores ya serían numerosos, lo que impediría una interpretación clara de los datos. Superficie de los Continentes en miles de km2 Continentes Oceanía Europa Antártica África América Asia Total

Superficie 8.970 10.520 13.000 30.293 42.037 44.180 149.000

Ángulo del Sector 21°40' 25°25' 31°25' 73°11' 101°34' 106°45' 360°

PICTOGRAMAS Consiste en asociar a cada categoría de la variable un dibujo, relacionado con ésta, cuyo tamaño será proporcional a la frecuencia.

Cantidad de Trigo en la Hacienda “El Amanecer”

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central se refieren al punto medio de una distribución. Estas medidas son calculadas solamente para datos CUANTITATIVOS, para las variables cualitativas no se utilizan, pues los mismos no arrojan valores numéricos. El valor de una medida de tendencia central es doble, en primer lugar es un valor que representa a todos los demás valores observados en el grupo y como tal da una descripción concisa del comportamiento del grupo en su totalidad, y en segundo lugar nos permite comparar dos o más grupos en términos de rendimiento típico. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: la media aritmética, la mediana, la moda. Promedio: es el término vulgar para media aritmética, en la labor estadística sin embargo, “promedio” es el término general para cualquier medida de centralización.

MEDIA ARITMÉTICA ( X ): La media aritmética o simplemente media, es la suma de las medidas observadas, dividida por su número. Ejemplo: Cuando un alumno obtiene las calificaciones: 3, 3, 2, 4 y 3 en cinco asignaturas, su media aritmética de las calificaciones se obtiene sumando todas las calificaciones y dividiendo por el número de calificaciones. En este caso será: X 

33 2 43 3 5

MODA Mo : Es el valor que aparece con más frecuencia en un conjunto de valores dados. En una distribución pueden existir dos o más modas. En estos casos se considera que la distribución es bimodal o multimodal, también puede darse el caso de no existir, en este caso es amodal. Ejemplo: en un curso de 15 alumnos, las edades de los mismos son: 17; 18; 19; 16; 17; 17; 18; 20; 19; 20; 17; 16; 17; 20; 17 . Mo  17

MEDIANA Me Es el valor central en un conjunto ordenado de datos. Cuando el número de observaciones es impar, la mediana queda definida, es decir es el dato que ocupa el centro. Si el número de observaciones es par, el valor de la mediana se determina como la media de las dos observaciones centrales. Ejemplo 1: dados los siguientes valores, calcula la mediana 4, 8, 7, 3, 1, 5, 9. Ordenando los datos: 1; 3; 4; 5; 7; 8; 9.

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Por lo tanto: Me  5 Ejemplo 2 : dados los siguientes valores, calcula la mediana 10, 15, 25, 42, 32, 29 Ordenando los datos:10; 15; 25; 29; 32; 42. Por lo tanto: Me 

25  29 54   27 2 2

DATOS AGRUPADOS

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS En caso de que los datos están agrupados en una distribución de frecuencia, la media aritmética se calcula utilizando la fórmula siguiente: ̅

∑

∑ {

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS

(

∑

)

∑

{

Observación: para determinar en cuál de las clases se posiciona la mediana, se utiliza

N y se 2

busca en la columna de la frecuencia acumulada este cociente, si no aparece dicho cociente se elige el próximo mayor.

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MODA PARA DATOS AGRUPADOS (

)

{ Como ejemplo podemos calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente tabla Puntajes logrados por 200 adultos en un test de cancelación.

Intervalos de clase

f

103 – 106

7

107 – 110

18

111 – 114

27

115 – 118

49

119 – 122

52

123 – 126

23

127 – 130

16

131 – 134

5

135 – 138

3

N

200

Desarrollo

Marca de Clase (X)

X.f

fa