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• Amoz Morales Jimenez

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Ejemplo 1: ¿Cuál es la razón de la altura a la longitud de un pizarrón si su altura es de 75 cm por 2.5 m de longitud? Solución: ota que las unidades no son consistentes, por lo tanto, lo primero que debemos acer es una conversión para que las unidades sean iguales Altura: 75 cm Altura

� � 100 cm Longitud: = 250 cm � ongitud 250 cm �porque 2.5 m × = 1 m � �

Por lo que la ra ón de altura a longitud en el pi arrón es

, que simplificada es

75 15 3 = = = = 250 50 10 s decir gitud.

, que significa que el pi arrón tiene

cm de altura por cada

cm de lon-

Ejemplo 2: ¿Cuál es la razón de hembras a machos en una pecera que tiene 80 peces, de los cuales 30 son hembras? Solución: a ra ón buscada es embras a mac os y sabemos que de peces en total son embras, por lo que son peces mac os así, la ra ón de embras a mac os es , que simplificada es

� 10 3 30 3 × = = = = 50 5 × � 10 5 sea

, que explica que en la pecera ay

embras por cada

mac os.

Proporciones y variaciones En ocasiones disponemos de dos razones: a : b y c : d; por ejemplo, las razones de mujeres a hombres en dos salones diferentes; las razones de altura a longitud en dos pizarrones; las razones de hembras a machos en dos peceras; etcétera.

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B

loque II

Utilizas magnitudes magnitudes yy números números reales reales Utilizas

Una proporción es la igualdad entre dos razones. La expresión de una proporción es a : b :: c : d, que también se puede escribir como: a c = = b d n una proporción, el producto de extremos es igual que el producto de medios. Sea la proporción a : b :: c : d entonces ad = bc.

Ejemplo 1: En un salón hay 36 mujeres y 24 hombres, ¿cuántas mujeres debe haber en otro salón que tiene 18 hombres para que los grupos sean proporcionales? Solución: a ra ón en el primer grupo, calculada anteriormente, es , y la ra ón en el segundo salón es c . Para que los grupos sean proporcionales, se debe cumplir que c decir es decir: 3 c = = 2 18 De aquí, podemos reali ar un proceso que nos d como resultado el valor de c. Para racciones sean iguales, debemos tener denominadores iguales, de modo que que las fracciones necesitamos saber por cuánto se debe multiplicar para obtener . sto se puede manera escribir de la siguiente manera: ×? 3� c = = 2� × ? 18

btenemos

como respuesta, así

× 9 27 3� c = = = = 2� × 9 18 18

De donde, por comparación directa de los numeradores, concluimos que c . Así, la respuesta a la pregunta es que debe aber mu eres a ombres en el segundo salón para que ambos grupos sean proporcionales.

Ejemplo 2: La imagen del rostro de una persona en una fotografía mide 2 cm de altura por 1.5 cm de anchura. Si el rostro de la persona real tiene 12 cm de altura, ¿cuál es su anchura? Solución: abemos que la otogra ía es proporcional dimensionalmente a la persona, por lo que

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Utilizas Utilizas magnitudes magnitudes yy números números reales reales

las ra ones de altura a anc ura deben ser iguales. Así, la ra ón de aspecto del rostro en la otogra ía es . , que en enteros es , y la ra ón de aspecto real del rostro de la persona es d, que debe satis acer la expresión d, es decir 4 12 3 = , de donde, al multiplicar por quedarán igualados los numeradores. = 3 d 3 Así, concluimos que d por lo tanto, la respuesta al problema es que la persona realanchura mente tiene 9 cm de anc ura en su rostro.

Ejemplo 3: En un restaurante hay 12 mesas para no fumadores y 4 mesas para fumadores. ¿Cuántas mesas para fumadores deben colocarse en una sucursal de dicho restaurante en el que se colocaron 42 mesas para no fumadores si se desea que las cantidades sean proporcionales? Solución: x que en igualdad es

x

, de donde 2 2

= x=

4 42 12

= =

2

4

3 7 42

2 2

3

= =

14 = 14 = 1

12

espuesta se deben colocar

mesas para umadores y así serán proporcionales.

Porcentajes Cuando en una proporción una de las razones tiene como segundo elemento al número 100, la proporción se denomina porcenta e. Por ejemplo, las rebajas en las tiendas se expresan en porcentajes, los impuestos se calculan como porcentajes del salario, las tasas de interés que un banco cobra por una tarjeta de crédito son porcentajes del saldo en la cuenta, la información de los medios de comunicación generalmente expresa porcentajes, como el porcentaje de fumadores en una ciudad o el porcentaje de desempleo, etcétera. La expresión de cálculo de un porcentaje es a : b :: c : 100, o en forma de fracciones: a c = = b 100 Existe una fórmula que nos permite calcular de manera inmediata el interés: = C r t (Interés = = capital × � tasa × � tiempo) I=

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Ejemplo 1: Alex pidió un préstamo de $7500 en el banco más cercano. Lo espera pa ar en dos a os con una tasa anual fi a de u inter s pa ar al cumplirse el lapso acordado? Solución: o que sabemos

r

a os. órmula I = =C r t

t

ustituyendo y resolviendo operaciones I

.

o anterior es el inter s que pagará y la deuda en realidad ue de

.

Ejemplo 2: ¿Cuál es el 15% de 600? Solución:

a

e desea calcular la cantidad de , que es proporcional con , que en orma de racción es

de

es decir

a 15 6 = que, como sabemos, nos lleva a multiplicar la segunda racción por , = 600 100 6 para que las racciones tengan el mismo denominador así, concluimos que a = 15 × a respuesta es que

es el

de

.

Ejemplo 3: En una tienda departamental se anuncia un descuento de 20% sobre una prenda de vestir que tiene un precio normal de 480 pesos. ¿Cuál es el monto del descuento? ¿Cuál es el precio de oferta de la prenda? Solución: l descuento se obtiene por la expresión d × . descuento de pesos Para saber cuál es el precio de o erta, basta con restar el descuento del precio normal

espuestas la prenda se encuentra con un descuento de mal de pesos y el precio de o erta es de pesos.

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pesos sobre el precio nor-