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TEMARIO DE [2015-16] MATEMÁTICAS TEMA 47: GENERACIÓN DE CURVAS COMO ENVOLVENTES I. CURVAS II. CONTACTO ENTRE CURVAS. CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ III. ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS IV. EVOLUTA Y ENVOLVENTES V. LAS CÓNICAS COMO ENVOLVENTES DE FAMILIAS DE RECTAS V.1. CIRCUNFERENCIA V.2. PARÁBOLA V.3. ELIPSE V.4. HIPÉRBOLA

VI. BIBLIOGRAFÍA

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Tema 47: Generación de curvas como envolventes

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TEMA 47: GENERACIÓN DE CURVAS COMO ENVOLVENTES No cabe duda de que las curvas son uno de los elementos matemáticos más estudiados, tanto en Geometría como en Análisis. Existen muchas maneras de definir curvas: trayectorias de puntos, lugares geométricos, mediante ecuaciones# Este tema está dedicado a la obtención de curvas mediante un nuevo método: los envolventes. Antes de enfrentarnos a ellas veremos una serie de conceptos interesantes, útiles para el desarrollo central del tema, y terminaremos conociendo ejemplos concretos de envolventes. El esquema que seguiré para desarrollar este tema es el expuesto anteriormente.

I. CURVAS Una curva parametrizada diferenciable es una aplicación diferenciable (generalmente será de clase C∞ ) α : Ι → ℝ3 , donde Ι es un intervalo abierto de ℝ que puede ser no acotado. Por diferenciable, en esta definición, se entiende que α es una correspondencia que aplica cada t ∈ Ι en un punto α ( t ) = ( α1 ( t ) , α 2 ( t ) , α3 ( t ) ) ∈ ℝ3 , de forma que las funciones α1 ( t ) , α 2 ( t ) , α 3 ( t ) (reales de variable real) son derivables.

Al vector:

α ' ( t ) = ( α1 ' ( t ) , α 2 ' ( t ) , α3 ' ( t ) ) se le llama vector tangente (o vector velocidad) de la curva α en t ∈ Ι ( o en el punto α ( t ) ∈ ℝ 3 . La variable t se denomina parámetro de la curva. Se dice que la curva α : Ι → ℝ3 es una curva plana si existe un plano P ⊂ ℝ3 tal que α( Ι ) ⊂ P . En este caso podemos considerar α : Ι → ℝ 2 , llevando el

plano P al plano

{z = 0}

mediante un movimiento rígido, que mantendrá las

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propiedades de curvas que nos interesan. (Trabajaremos todo el tema con curvas planas). Una curva parametrizada diferenciable α : Ι → ℝ3 se denomina regular si

α '(t) ≠ 0 , ∀t ∈ Ι . Dado t ∈ Ι , la longitud del arco de una curva parametrizada regular

α : Ι → ℝ3 desde el punto t0 es t

s(t) =

∫ α '(u)du

t0

Como α '(t) ≠ 0 , la longitud del arco S es una función diferenciable y además

dS = α '(t) . dt Puede suceder el parámetro t sea ya la longitud del arco medida desde algún punto. En ese caso:

dS = 1 = α '(t) dt es decir, el vector velocidad tiene longitud constante igual a 1. Recíprocamente, si

α '(t) = 1 , entonces t

s(t) = ∫ dn = t − t 0 t0

es decir, t es la longitud del arco de α medida desde algún punto. Puede demostrarse que toda curva regular admite una reparametrización por el arco. En adelante, y salvo que se especifique lo contrario, trabajaremos con curvas planas diferenciables regulares y parametrizadas por la longitud del arco. Sea α : Ι → ℝ 2 una curva en tales condiciones. Entonces, para cada t ∈ Ι , existen sólo dos vectores unitarios perpendiculares a α '(t) . De ellos elegimos n(t) = J ( α '(t) )

donde J : ℝ 2 → ℝ 2 es el giro de 90º en sentido contrario al de las agujas del reloj. A n(t) se le llama vector normal a α en t (o en α (t)), y , por la definición que se ha

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hecho, se verifica que para todo t ∈ Ι ,

{α´(t),n(t)}

es una base ortonormal

positivamente orientada de ℝ2 (recibe el nombre de Diedro de Frenet). La recta que pasa por el punto α (t) y lleva la dirección de α '(t) se llama recta tangente a α en t; la recta que pasa por el punto α (t) y lleva la dirección de n(t) se llama recta normal a α en t. Se puede comprobar que el vector α ''(t) está en la dirección de n(t), luego, para cada t ∈ Ι existe un número real (que supondremos distinto de cero) k(t), tal que

α ''(t) = k(t)n(t) luego, k(t) =< α ''(t),n(t) > k(t) recibe el nombre de curvatura de α en el punto t.

He optado por introducir el concepto de curva mediante sus coordenadas paramétricas α(t) = ( α1(t), α 2 (t) ) . Obsérvese que basta despejar el parámetro t de las ecuaciones paramétricas de la curva para obtener su ecuación implícita ψ ( α1(t), α 2 (t) ) = 0

Por definición, una familia uniparamétrica de curvas planas es un conjunto de curvas planas de

forma que para cada valor de un parámetro λ quede

unívocamente determinada una curva. Se denota por:

f(x,y, λ ) = 0 ó

ψ ( α1(t), α 2 (t), λ ) = 0

Una familia uniparamétrica de curvas también recibe el nombre de haz de curvas.

II. CONTACTO ENTRE CURVAS. CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ Se dice que dos curvas planas α(t) , β(t) tienen en el punto P un contacto de

 orden n si P es un punto común de las curvas ( α(t 0 ) = β(t1 ) = P ) , y dado un punto P

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de la curva α(t) , h su distancia a la curva β(t) , y d su distancia al punto P, se verifica:

h =0 P →P dn lim ɶ

Si α(t) es una curva plana de ecuación implícita ψ ( α1(t), α 2 (t) ) = 0 y β(t) es

 x = β1(t) una curva plana de ecuaciones paramétricas  con el punto P común a  y = β2 (t) ambas curvas, entonces se puede demostrar que β(t) tenga en P = β(t0 ) un contacto de orden n con α(t) es condición necesaria y suficiente que se verifique: ψ ( β1(t), β2 (t) ) = 0

d ( ψ (β1(t),β2 (t)) ) dt

t = t0

=0

#

dn ( ψ (β1(t),β2 (t)) ) dt n

t = t0

=0

Sea α(t) una curva plana, y P = α ( t 0 ) un punto de dicha curva. Se llama circunferencia osculatriz de α en P a la circunferencia de centro.

c(t 0 ) = α(t 0 ) +

1 n(t 0 ) k(t 0 )

y radio

r(t 0 ) =

1 k(t 0 )

Al centro de dicha circunferencia se le llama centro de curvatura, y a su radio, radio de curvatura. Veamos que la circunferencia osculatriz de α en P y la propia curva α , tienen contacto de orden dos en P: Si representamos por v=(x,y) a las coordenadas de la circunferencia osculatriz, su ecuación implícita será: 2

Ψ(v) = v − c(t 0 ) − r(t 0 )2 = 0

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Luego, para que sea un contacto de orden dos, deben cumplirse estas tres condiciones: i.

Ψ(α(t0 )) = 0

ii.

d [ Ψ(α(t))]t =t0 = 0 dt

iii.

d2 [ Ψ(α(t))]t=t0 = 0 dt 2

Comprobemos que realmente se verifican i.

2

Ψ(α(t 0 )) = α(t0 ) − c(t 0 ) − r(t 0 )2 = 2

−1 −1 −1 = n(t 0 ) − r(t 0 )2 = − =0 2 k(t 0 ) k(t 0 ) k(t 0 )2 ii.

d [ Ψ(α(t0 ))]t=t0 = 2 < α '(t0 ), α(t0 ) − c(t 0 ) >= dt = 2 < α '(t 0 ),

−1 −2 n(t 0 ) >= < α '(t 0 ),n(t 0 ) >= 0 k(t 0 ) k(t 0 )

(ya que α ' y n son perpendiculares) iii.

d2 [ Ψ(α(t0 ))]t =t0 = 2 [< α ''(t0 ), α(t0 ) − c(t0 ) > + < α '(t 0 ), α '(t0 ) >] = dt 2  −1 2 n(t 0 ) > + α '(t 0 )  = = 2 < k(t 0 )n(t 0 ), k(t 0 )  

 −k(t 0 ) 2 2 = 2 n(t 0 ) + α '(t 0 )  = 2 ( −1 + 1) = 0  k(t 0 )  Así, se cumple el resultado anunciado.

III. ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS Se llama envolvente de una familia uniparamétrica de curvas planas

f(x,y, λ ) = 0 , a una curva que es tangente a todas las curvas de la familia. Es decir,

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la envolvente es una curva γ(t) que en cada uno de sus puntos es tangente al menos a una curva de la familia. Se verifica entonces, que en cada punto de la envolvente existe un contacto de orden 1 con alguna curva de la familia.

Veamos cómo se determina la envolvente: Consideremos una familia uniparamétrica de curvas planas dadas por

f(x,y, λ ) = 0 . Si consideramos una curva de la familia, λ = cte , y derivamos, se obtiene: df = fx' dx + fy' dy = 0

La expresión

dy −fx' = ' dx fy proporciona la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x,y). Como la envolvente se ha definido como la curva que es tangente a todas las curvas de la familia, entonces la envolvente debe tener en P0 la misma pendiente que la curva f(x,y, λ 0 ) = 0 ; en P1 la misma pendiente que la curva f(x,y, λ1 ) = 0 # Por tanto, la envolvente, si existe, debe verificar fx' dx + fy' dy = 0

(1)

Por otra parte, cualquier punto de la envolvente debe pertenecer a una curva de la familia f(x,y, λ ) = 0 . Por tanto, cualquier punto de la envolvente verifica:

f(x,y, λ ) = 0

(2) para algún valor de λ

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De (2), considerando variables x, y, λ , y derivando, resulta: df = fx' dx + fy' dy + fλ' dλ = 0

y teniendo en cuenta (1) se deduce: fλ' dλ = 0

o bien fλ' (x,y, λ ) = 0

En consecuencia, la ecuación de la envolvente se obtiene del sistema

 f(x,y, λ ) = 0  f ' λ(x,y, λ ) = 0 siempre que podamos despejar el parámetro λ Veamos algunos ejemplos: 1.

La familia uniparamétrica de curvas x 2 + y 2 = λ representa para cada λ > 0

una circunferencia. Veamos que no existe la envolvente:

 x2 + y2 − λ = 0 ⇒ De existir, debería verificar  −1 = 0 ← IMPOSIBLE ⇒ No existe la envolvente

2.

Determinaremos la envolvente de la familia de rectas: x cos α + ysenα − 1 = 0

 x cos α + ysenα − 1 = 0 Se debe verificar   − xsenα + y cos α = 0 ⇒x=

⇒

y cos α senα

y cos2 α 1 ⇒ + ysenα − 1 = 0 ⇒ y = = senα ⇒ 2 cos α senα + senα senα ⇒ x = cos α

Luego la envolvente de esta familia de rectas es la circunferencia x 2 + y 2 = 1

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3.

Obtengamos la envolvente de las rectas que forman con la parte positiva de

los ejes OX y OY triángulos de área igual a 2a 2 . ( a ≠ 0 ) En primer lugar debemos calcular la ecuación implícita de la familia de rectas. Una recta en las condiciones del problema pasa por los puntos (b,0) y (0,h):

y=−

h ( x − b) b

y verifica

hb 4a2 −4a2 = 2a2 ⇒ h = ⇒y= ( x − b) 2 b b Luego:

f(x,y,b) = b2 y + 4a2 x − 4a2b = 0   fb' (x,y,b) = 2by − 4a2 = 0  2 4a2 2a2 4a 4 2 2 2a ⇒b= = ⇒ 2 ⋅ y + 4a x − 4a =0⇒ 2y y y y

4a4 8a 4 4a2 8a 4 2 ⇒ + 4a x − =0⇒ + 4x − =0⇒ y y y y

⇒ −4a2 + 4xy = 0 ⇒ xy = a2 Entonces, la envolvente es la rama positiva de la hipérbola equilátera xy = a2

IV. EVOLUTA Y ENVOLVENTES Estrechamente ligado al concepto de envolvente, aparece el concepto de evoluta. Se define la evoluta de una curva como el lugar geométrico de los centros de curvatura. Esto es, la evoluta de una curva α será otra curva β dada por:

β(t) = α(t) +

1 n(t) k(t)

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Se puede probar que la recta tangente a β en t coincide con la recta normal

α en t, por lo que también puede definirse la evoluta como la envolvente de las normales a la curva dada.

Así, por ejemplo, si la curva viene expresada por la dependencia funcional y=f(x), dado un punto ( x1, y1 ) de la curva, la recta normal en dicho punto tiene por ecuación: y − y1 = −

1 ( x − x1 ) y '1

La familia de rectas normales tiene por ecuación:

( x − x1 ) + y '1 ( y − y1 ) = 0

(1)

Teniendo en cuenta que y1 = f(x1 ) , y '1 = f '(x1 ) , la relación anterior representa un haz uniparamétrico de curvas, considerando como parámetro x1 . Derivando en (1) con respecto a x1 se obtiene: −1 + y ''1 ( y − y1 ) − y '12 = 0

que junto con (1) constituye el sistema del que, al despejar x1 , se obtiene la envolvente buscada: la evoluta.

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V. LAS CÓNICAS COMO ENVOLVENTES DE FAMILIAS DE RECTAS V. 1. CIRCUNFERENCIA Hemos visto en un ejemplo anterior que la envolvente de la familia de rectas

x cos α + ysenα = 1 es una circunferencia de centro el origen y radio 1. Es fácil comprobar que toda circunferencia x 2 + y 2 = R2 se puede obtener como la envolvente de la familia de rectas:

x cos α + ysenα = R

V.2. PARÁBOLA Consideremos un sistema de referencia cartesiano con ejes OX y OY. Tomamos en la parte positiva del eje OX un punto que designaremos F. Elegido un punto P del eje OY, unimos P con F y por P trazamos la perpendicular tp a PF. Tomando otros puntos P del eje OY y repitiendo la operación anterior, observamos que las rectas tp construidas envuelven a una curva: la parábola de foco F y eje el eje OX.

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Comprobación analítica Las coordenadas de F y P son, respectivamente, (a,0) y (0, λ ) , donde a es un valor fijo y λ es nuestro parámetro. La recta que pasa por P y F tiene por ecuación:

x y λ + = 1⇒ y = − x + λ a λ a De aquí se deduce que la ecuación de la familia de rectas perpendiculares a PF en P es:

y−λ =

a x ⇒ λy − λ 2 − ax = 0 λ

Luego, la envolvente es:

λy − λ 2 − ax = 0  y y y2 − ax = 0 ⇒ y 2 = 4ax ⇒λ = ⇒ y− 2 2 4 y − 2λ = 0  Y ésta es la ecuación de la parábola de foco F(a,0) y directriz x=-a

V.3. ELIPSE Para obtener la elipse como la envolvente de una familia de rectas trazamos una circunferencia de centro O(0,0) y elegimos un punto F(c,0) en el interior de la misma. Unimos el punto F con cualquier punto P de la circunferencia y trazamos la recta perpendicular a PF por P. Repitiendo este proceso con diferentes puntos de la circunferencia obtenemos una familia de recta que envuelven a la elipse de focos F(c,0) y F'(-c,0).

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Comprobación analítica: Sea F(c,0). El punto P situado sobre la circunferencia tiene por coordenadas ( a cos α, asenα ), siendo a el radio de la circunferencia. La recta que pasa por P y F es: y=

asenα ( x − c ) a cos α − c

y la recta perpendicular a PF por P es:

y − asenα = −

acos α − c ( x − acos α ) asenα

Teniendo en cuenta que a es un número fijo (radio de la circunferencia), para cada valor del parámetro α se obtiene una recta de la familia:

f(x,y, α ) = y +

acos α − c ( x − acos α ) − asenα = 0 asenα

Eliminando el parámetro α de las ecuaciones

f(x,y, α) = 0   fα' (x,y, α) = 0  Para lo cual se debe tener en cuenta que cos2 α + sen2α = 1 , resulta la ecuación de la elipse.

x2 y2 + =1 a2 b2 donde b2 = a2 − c 2

V.4. HIPÉRBOLA Para obtener la hipérbola como envolvente de una familia de rectas trazamos una circunferencia de centro O(0,0) y radio a y elegimos un punto F(c,0) en el exterior de la circunferencia. Se une el punto F con un punto T de la circunferencia y por T trazamos la recta perpendicular a FT. Repitiendo este proceso con diferentes puntos de la circunferencia obtenemos una familia de rectas cuya envolvente es una hipérbola.

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Las asíntotas de la hipérbola aparecen al tomar en la construcción anterior los puntos M y N de la circunferencia que cumplen que FM y FN son tangentes a la circunferencia.

Comprobación analítica El punto T situado sobre la circunferencia tiene por coordenadas ( a cos α, asenα ), y la recta FT tiene de ecuación:

y=

asenα (x − c) acos α − c

por lo que la recta perpendicular a FT en T es

y − asenα = −

acos α − c ( x − acos α ) asenα

Entonces, la familia uniparamétrica de rectas es:

f(x,y, α ) = y +

acos α − c ( x − acos α ) − asenα = 0 asenα

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Eliminando el parámetro α entre las ecuaciones

f(x,y, α) = 0   fα' (x,y, α) = 0  resulta la ecuación de la hipérbola

x2 y2 − =1 a 2 b2 donde b2 = c 2 − a2

VI. BIBLIOGRAFÍA ■ Amores Lázaro A.M. Curso básico de curvas y superficies. Ed. Sanz y Torres, Madrid, 2001 ■ Carmo M.P. Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Editorial, Madrid, 1992 ■ Cordero A. , Fernández M y Gray A. Geometría diferencial de curvas y superficies. Wilmington, 1995 ■ Costa A.F. y otros. Notas de Geometría diferencial de curvas y superficies. Ed. Sanz y Torres, Madrid, 1977

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