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Matemáticas para ingeniería I

Evidencia3 Nombre: Armando Rosalio Rojas Vargas Matricula:10762 Fecha:21 Junio 2019

Instrucciones. Contesta correctamente los siguientes cuestionamientos. 1. Para el siguiente conjunto de curvas: 𝐶{

5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 } 𝑥+𝑦 =2

a) Encontrar una forma paramétrica

Resolviendo para 𝑥 5𝑥 − 𝑧 = 1 + 𝑦 5𝑥 = 1 + 𝑦 + 𝑧

𝑥+𝑦 =2 𝑥 =2−𝑦

5𝑥 1 𝑦 𝑧 + + + 5 5 5 5 1 𝑦 𝑧 𝑥= + + 5 5 5

Resolviendo para 𝑦 5𝑥 − 𝑧 = 1 + 𝑦 −𝑦 − 𝑧 = 1 − 5𝑥 −𝑦 = 1 − 5𝑥 + 𝑧 𝑦 = −1 + 5𝑥 − 𝑧 Resolviendo para 𝑧 5𝑥 − 𝑧 = 1 + 𝑦 −𝑦 − 𝑧 = 1 − 5𝑥 −𝑧 = 1 − 5𝑥 + 𝑦 𝑧 = −1 + 5𝑥 − 𝑦

𝑥+𝑦 =2 𝑦 = 2−𝑥

b) Encontrar otra forma paramétrica

Resolviendo para 𝑥 5𝑥 − 𝑧 = 1 + 𝑦 5𝑥 = 1 + 𝑦 + 𝑧 5𝑥 5

1

𝑦

𝑧

+5+5+5 1 𝑦 𝑧 𝑥= + + 5 5 5

𝑥2 =

𝑦 5

+

𝑧 5

+

𝑥+𝑦 =2 𝑥 =2−𝑦 𝑥2 = −𝑦 + 2

1 5

Resolviendo para 𝑦 5𝑥 − 𝑧 = 1 + 𝑦 −𝑦 − 𝑧 = 1 − 5𝑥 −𝑦 = 1 − 5𝑥 + 𝑧 𝑦 = −1 + 5𝑥 − 𝑧 𝑦2 = 5𝑥 − 𝑧 − 1

Resolviendo para 𝑧 5𝑥 − 𝑧 = 1 + 𝑦 −𝑦 − 𝑧 = 1 − 5𝑥 −𝑧 = 1 − 5𝑥 + 𝑦 𝑧 = −1 + 5𝑥 − 𝑦 𝑧2 = 5𝑥 − 𝑦 − 1

𝑥+𝑦 =2 𝑦 = 2−𝑥 𝑦2 = −𝑥 + 2

c) Si se tiene el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. ¿Con qué intervalo [𝑎, 𝑏] para 𝑦 se obtendrían los mismos valores para 𝑧?

𝑥 = 2−𝑦 𝑦 = 2−𝑥 𝑥 = 2 − (0) = 2

Para z = 0

𝑦 = 2 − (0) = 2 Para z =1

𝑥 = 2 − (1) = 1 𝑦 = 2 − (1) = 1

Para z =2

𝑥 = 2 − (2) = 0 𝑦 = 2 − (2) = 0

Se observa que el resultado es el mismo en 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ; [0,2] z 0

x 2

y 2

1 2

1 0

1 0

2. Dada la función vectorial: 𝐹(𝑡) = cos 𝑡 𝑖 + sin 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘 a) Determinar si es continua cuando el límite tiende a 𝑡 → 0:

lim = (lim cos 𝑡)𝑖 + (lim sin 𝑡)𝑗 + (lim𝑡)𝑘 𝑡→0

𝑡→0

𝑡→0

𝑡→0

lim = 𝑖 + 𝑗 𝑡→0

Como 𝐹(0) = cos(0) 𝑖 + sin(0) 𝑗 + (0)𝑘 𝐹(0) = 𝑖 + 𝑗

Se puede concluir que t es continua en t=0 Por lo tanto es continua para todo valor real de t

b) Cuál es la pendiente de la curva en 𝑡 = 0:

𝐹(𝑡) = cos 𝑡 𝑖 + sin 𝑡 𝑗 + 𝑡𝑘

𝑓(𝑡) = sin(0) + cos(0)=1 𝑑 𝑑 (sin(𝑡) + (cos(𝑡)) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 ((𝑠𝑖𝑛𝑡)) = cos(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑 ((cos(𝑡)) − sin(𝑥) = cos(𝑥) − sin(𝑥) 𝑑𝑡 𝜋

𝑚 = x + 1+ 2

Utilizando la formula de la pendiente 𝑦 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓´(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) 𝜋 𝜋 𝑓(𝑥0) = 𝑠𝑒𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 = 1 2 2 𝑓´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜋 𝜋 𝜋 𝑓´ ( ) = 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑒𝑛 = −1 2 2 2 𝜋 𝑦 = 1 + (−1)(𝑥 − ) 2 𝜋 𝑦 =1−𝑥+ 2

c) Determinar para que valor de 𝑡 la derivada de la función no existe.

lim = (lim cos 𝑡)𝑖 + ( lim sin 𝑡)𝑗 + (lim𝑡)𝑘

𝑡→∞

𝑡→∞

𝑡→∞

𝑡→∞

Usando la subsucesion 𝑥 = 2𝑛𝜋 lim = (lim cos 𝑡)𝑖 + ( lim sin 𝑡)𝑗 + (lim𝑡)𝑘

𝑡→∞

𝑡→∞

𝑡→∞

𝑡→∞

lim = 1

𝑡→∞

Usando la subsucesion 𝑥 = (2𝑛 + 1)𝜋 lim = (lim cos 𝑡)𝑖 + ( lim sin 𝑡)𝑗 + (lim𝑡)𝑘

𝑡→∞

𝑡→∞

𝑡→∞

𝑡→∞

lim = −1

𝑡→∞

Por lo tanto No tienen límite en el infinito, pues al ser funciones periódicas están siempre entre -1 y +1

3. Para la función ∫(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 𝐶

Si 𝐶 es una un triángulo de vértices (0,0), (1,0)(0,1), encontrar la integral de línea: a) Encontrar las ecuaciones que describen 𝐶:

𝐶: 𝐶1𝑈𝐶2𝑈𝐶3 𝐶1: 𝐶(𝑡) = (1 − 𝑡, 0) 𝐶2: 𝐶(𝑡) = (0, 𝑡) 𝐶3: 𝐶(𝑡) = (𝑡, 1 − 𝑡) b) Encontrar una parametrización que describa el triángulo de manera continua:

x=t y=0 (0≤t≤1) 𝐶1

x=1-t y=t (0≤t≤1) 𝐶2

x=0 y=1-t (0≤t≤1) 𝐶3

c) Encontrar la longitud de arco para 𝐶:

2

2

𝑏 𝐿 = ∫𝑎 √(𝑓´(𝑧)) + (𝑔´(𝑧)) dz

𝑏

𝐿 = ∫ √(1)2 + (0)2 𝑎

1

𝐿 = ∫ 𝑑𝑡 = √1 0

d) Encontrar la integral de línea para la función. .

.

.

.

∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 + ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 + ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 𝐶

𝐶1

.

1

𝐶2

1

𝐶3

1

∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑡𝑑𝑡 + ∫ √2 𝑑𝑡 + ∫ (1 − 𝑡)𝑑𝑡 𝐶

0

.

∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 = √2 + 1 𝐶

0

0