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• OmarCristobal

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MATEMÁTICAS CONTENIDO. 1.0 Aritmética 1.1 Números reales 1.2 Divisibilidad 1.3 Operaciones con números racionales 1.4. Razones y proporciones 1.5 Regla de tres 1.6 Tanto por ciento 2.0 Algebra 2.1 Propiedades y definiciones 2.2 Leyes de los signos 2.3 Signos de agrupación 2.4 Evaluación de expresiones algebraicas 2.5 Lenguaje algebraico 2.6 Leyes de los exponentes 2.7 Operaciones Algebraicas 2.8 Radicales 2.9 Productos notables 2.10 Factorización 3.0 Ecuaciones 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita 3.3 Sistema de ecuaciones 2 ecuaciones con 2 incógnitas 3.4 Sistema de ecuaciones 3 ecuaciones con 3 incógnitas 3.5 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 4.0 Algebra de Funciones 4.1 Dominio y rango 4.2 Funciones y relaciones 4.3 Funciones logarítmicas y exponenciales 5.0 Geometría Euclidiana 5.1 Ángulos complementarios y suplementarios 5.2 Conversión de grados a radianes y viceversa 6.0 Trigonometría 6.1 Teorema de Pitágoras 6.2 Funciones trigonométricas 6.3 Identidades trigonométricas 7.0 Recta 7.1 Distancia entre dos puntos 7.2 Punto medio del segmento de recta 7.3 Pendiente de la recta 7.4 Ecuación de la recta 7.5 Paralelismo y perpendicularidad 8.0 Circunferencia 8.1 Forma canónica 8.2 Forma general

Pag. 140

9.0 Parábola 9.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 9.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen 10.0 Elipse 10.1 Horizontal y vertical con vértice en el origen 10.2 Horizontal y vertical con vértice fuera del origen 11.0

Hipérbola 11.1 Horizontal y vertical con centro en el origen 11.2 Horizontal y vertical con centro fuera del origen

12.0Ecuación general de segundo grado 12.1 Identificación de cónicas 13.0 Cálculo Diferencial 13.1 Funciones y límites 13.2 Derivadas algebraicas 13.3 Derivadas trigonométricas 13.4 Derivadas logarítmicas 13.5 Derivadas exponenciales 13.6 Derivadas implícitas 13.7 Interpretación física y geométrica de la derivada 13.8 Máximos y mínimos 14.0 Cálculo Integral 14.1 Integral inmediata 14.2 Integral definida 14.3 Aplicación de integral definida (área bajo la curva) 14.4 Método de integración por cambio de variable 14.5 Método de integración por partes

UNIDAD 1. ARITMÉTICA Pag. 141

1.1 Números Reales

  Pr imos Naturales  Compuestos    Positivos    Enteros  Cero  Negativos Reales     Pr opios   Racionales Im propios   Mixtos    Irracionales -

Naturales: Son los que se utilizan para contar.  1,2, 3, 4, 5,……, 19, 20, 21,……… Primos: Son los números que solo son divisibles entre si mismos y la unidad. Ejem:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,………… Compuestos: Son los que no son primos, es decir que tienen más divisores Ejem:  4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22,………… Enteros: Son los números positivos, negativos y el cero. Ejem:  1,-2, 0, 4, -5, etc,… Racionales ó Fraccionarios: Son los números compuestos por un numerador y un divisor. o Propios: Números cuyo denominador es mayor que el numerador de una fracción.



Ejem: 



o

Impropios: Números cuyo denominador es menor que el numerador de una fracción.



Ejem: 



o

2 1 3 8 15  , , , ,  3 6 4 9 33  3 6 4 9 33  , , , ,  2 1 3 8 15 

Mixtos: Números compuestos de números enteros y propios.



Ejem:  2



-

2 1 3 8 15  , 3 ,8 , 5 ,9  3 6 4 9 33 

Irracionales: Son los números que en su forma decimal son una serie infinita de dígitos.  3 2     7  , 5, ,  , , Ejem:   3 4 2 2 2    

Propiedades de los números reales Propiedad Cerradura

Suma

Producto

ab

ab 

ab ba a   b  c    a  b  c

ab  ba

a   b  c    a  b  c

Neutro

a0a

a 1  a

Inverso

a   a   0

 1 a   1 a

Conmutativa Asociativa

a b  c   a  b  a  c

Distributiva

Recta Numérica Pag. 142

Todos los números reales se pueden representar en la recta numérica.

1 3 1 6 7 , ,  1 , , Ejem: Representar en recta numérica:  , , 0.75, 3 4 2 2 7  

6 7

1

-3

1 2

-2



1 4

3 2

-1

0

0.75

4

1

7 3

 4  



2

3

4

1.2 Divisibilidad Los principales criterios de divisibilidad son: Divisibles entre 2: Todos los números pares. Ejem. 2, 4, 6, 8, 10,….. Divisibles entre 3: Suma de sus dígitos son: 3, 6 ó 9. Ejem. 543 = 5+4+3 = 12 = 1+2 = 3 Divisibles entre 5: Todos los números terminados en 5 ó 0. Ejem. 235, 520, 1425, etc. Mínimo común múltiplo (m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que todos sean uno y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular el m.c.m. de 15, 30 y 60 El m.c.m. de 14, 28, 30 y 120 15 15 15 5 1

30 15 15 5 1

60 30 15 5 1

2 2 3 5

m.c.m.= 2(2)(3)(5) = 60

14 7 7 7 7 7 1

28 14 7 7 7 7 1

30 15 15 15 5 1 1

120 60 30 15 5 1 1

2 2 2 3 5 7

m.c.m. = 2(2)(2)(3)(5)(7) = 840

Máximo común divisor (M.C.D.).- Es el número mayor de los múltiplos en común de un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en factores primos cada uno de los números hasta que no tengan un divisor primo común y se multiplican los primos obtenidos. Ejem: Calcular el M.C.D. de 15, 30 y 60 El M.C.D. de 14, 28, 30 y 120 18 6 2

27 9 3

36 12 4

M.C.D.= 3(3) = 9

3 3

15 3 1

90 18 6

30 6 2

60 12 4

5 3

M.C.D. = 5(3) = 15

1.3. Operaciones con números racionales: Suma y resta de fracciones.- Se resuelven, obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores, y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada numerador. Al final los números obtenidos se suman o restan, dependiendo del caso. Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces solo se suman o restan los numeradores.

Ejem:

1 3 1 6  9  4 11     2 4 3 12 12

Ejem:

2

1 3 1 7 33 7 14  33  21 26 13 1 5 3       4 3 6 2 3 6 2 6 6 3 3

Multiplicación de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador por denominador. Pag. 143

Ejem:

 5  2  10      7  3  21

Ejem:

4  2  2   12  11  132 44  8  2  3       5 5  5  3   5  3  15

División de fracciones.- Se resuelven, multiplicando el primer numerador por el segundo denominador, colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en el denominador. Ejem:

7 2 21 5   1 8 3 16 16

Ejem:

5

2 1 37 7 111 13 2    2 7 3 7 3 49 49

Potencia y Raíz Potencia: Es el número de veces en que debe multiplicarse la base por si misma, según su exponente. Ejem:

4

2  2  2  2  16 2         3 3    3  3  3  81

43  4 4  4   64

Raíz: Es el valor que al multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el índice, se obtiene el valor que esta dentro del radical. Ejem:

3

27  3

Ejem:

5

1024  4

porque

3 3  3   27

porque

4 4  4  4  4   1024

1.4 Razones y Proporciones Razón: Es el cociente de dos números, es decir una fracción, donde el numerador se llama antecedente y al denominador consecuente. La razón se representa como sigue: Ejem:

3 4

ó

3:4

Proporción: Es la igualdad de dos razones. La razón se representa como sigue: Ejem:

7 14  3 6

ó

7 : 3 :: 14 : 6

donde los números 7 y 6 son extremos y los números 3 y 14 son medios. 1.5 Regla de Tres Regla de tres directa ó Proporción directa.- Cuando comparamos dos razones del mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. Ejem: Si en una empresa un empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto ganará por 30 días?

4400 20  x 30



x

$4400  30 días   $6600 20 días

Regla de tres inversa ó Proporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy claro en casos de producción con respecto al tiempo.

Pag. 144

Ejem: Si en una empresa 20 obreros producen 50,000 fusibles en 5 días. ¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma cantidad de fusibles en 4 días?

20 obreros 4 días  x 5 días



x

20 obreros  5 días   25 obreros 4 días

1.6 Tanto por Ciento Definición: Es una fracción cuyo denominador es 100, es decir la centésima parte de algo. Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la cantidad, se tiene que cambiar por una fracción o por un decimal equivalente. Ejem:

18%

0.18

33.5%

0.335

18 9  100 50 335 67  1000 200

Cálculo del porcentaje: Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento expresado en forma decimal. Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el 3% de 1655 1450(0.32) = 464

1655(0.03) = 49.65

También se puede obtener un número en específico con regla de tres directa. Ejem: Hallar el número del cual 400 es el 8%

400 8%  x 100% Ejem:



x

400 100%  5000 8%

x

4590 100 %  7650 60%

Hallar el número del cual 4590 es el 60%

4590 60%  x 100%



También se puede aplicar para resolver problemas como los siguientes:. Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por venta realizada. Si vende mercancía por un total de $44000. ¿Cuanto recibirá de comisión? $44000(0.12) = $5280 Ejem: Un producto que cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia del 8.5%. ¿En cuanto debe venderse?

$120 100%  x 108.5%



x

$120 108.5%  $130.20 100%

Reactivos Unidad 1: 1. a)

¿Cuál de las siguientes expresiones, b) 3 5

0.5

68

4. a)

b)

c)

5

Simplificando la expresión 15  7 2  11

3. a)

c)

d) 2

9

e)

2

¿Cuál de las siguientes expresiones, es un número irracional?

2. a)

es un número racional?

b)

48

Al simplificar la expresión

22

b)

178



1 2

25 5

d)

16

e)

d)

48

e)

78

d)

22

e)

12

se obtiene: c)

78

20 4  1  13 8  2  c) 178

se obtiene: Pag. 145

   

¿Cuál es el resultado desimplificar la expresión, 3  2 3  1   4

5. a)

17

a)

1 0 a

b)



1 10

17

e)

15 ? 13

c) B y D

1 0 a

b) 10

d) C y D

e) D y E

c)

1 0 a

d) a  0

e)

1 1 a

c)

1 10

d) –10

e) 0

d) – 40

e) – 90

¿Qué número es mayor que –50? – 60

b) – 80

c) – 70

¿La expresión de desigualdad correcta es?

2 4  a)  3 5 11.

11

El inverso de – 10 es:

a) 10.

ByC

d)

Si a es un número donde a < 0 entonces:

a) 9.

b)

AyB

a) 8.

11

c)

¿Entre que letras está la ubicación del número: 

6.

7.

5

b)

 ?

b) 

2 1  9 6

c) 

7 1  4 2

d) 

9 1  2 8

e)

5 7  4 9

¿Qué números de la siguiente tabla son divisibles entre nueve? A B C D E

702 425 308 179 873

F G H I J

954 271 81 413 360

K L M N O

101 529 2 700 3 504 2 708

P Q R S T

95 481 85 788 15 203 12 006 24 210

a) A, C, D, G, I, J, L, O, S, T

b) B, C, E, G, H, J, N, O, R, S

c) A, E, F, H, J, M, P, Q, S, T

d) A, B, D, F, H, J, K, L, O, T

e) A, C, F, I, N, P, Q, R, S, T 12. Encuentra a. 120, 60, 30

el m.c.m. y M.C.D. de los siguientes números b. 48, 24, 12, 6

c. 35, 70, 5

d. 15, 30, 45

a) a: 60 y 30,

b: 12 y 6,

c: 35 y 70,

d: 30 y 45,

e: 70 y 25

b) a: 120 y 60,

b: 48 y 24,

c: 5 y 70,

d: 45 y 30,

e: 25 y 70.

c) a: 60 y 120,

b: 24 y 48,

c: 5 y 35,

d: 15 y 30,

e: 70 y 5

d) a: 120 y 30,

b: 48 y 6,

c: 70 y 5,

d: 90 y 15,

e: 1050 y 5

e) a: 30 y 120,

b: 6 y 24,

c: 70 y 35,

d: 15 y 45,

e: 1050 y 25

e. 25, 30, 70

Pag. 146

13.

¿El resultado de la operación

13 18

a)

14.

38 36

b)

c)

¿El resultado de la operación

28 36

a)

15.



b)

1



b)

es? 13 12

7 5 13   12 9 18

28 36

¿El resultado de la operación

a)

7 5 2   12 18 9

1 3

3 4

11 12

3 4

d)

15 36

e)

d)

1 3

e) 

d)

7 5

e)

es? 2 3

c) 

1 2 1 3 2

e)

es?

c) 

22  16    24  44 

40 36

d)

1 6

3 16.

¿Al simplificar la expresión

a) 3

17.

¿Al simplificar la expresión

a) 3

b)

12 

2 2

18. La expresión

a) 12  2  2 19. La expresión a)

5 7

b)

x

1

4 

2 2

1 3

243 162

2 2 b) 12  12

23. Si tenemos la a) El doble de 18

2 4

1 3

c) 

2 3

d)

e) 3

c) 12

d) 12  2 12  2 

2 e) 12   2

c)

x



1 2

d) x 2

e) x

c) 48

d) 46

e) 28

es igual a: b)

22. Al simplificar a) 4 10

se obtiene?

es equivalente a:

b) 22

 81

1 2 1 2

1

en que inciso encontramos una expresión igual.

a) 42

a)

1  4 1  4

b) x 2

21. La expresión

9 10

c)

es igual a:

x2

20. Si tenemos

se obtiene?

9 81

c)

81 9

d)

243 9

e)

27 243

la raíz cuadrada de 160 encontramos que es igual a: b) 2 10

c) 10 2

d) 4 5

e) 10 4

raíz cuadrada de x y como resultado exacto da 18 ¿Cuál es el valor de x? b) El cuadrado de 18

c) El tercio de 18

d) La mitad de 18

e) La potencia cuarta de 18 Pag. 147

24.

Un agricultor cosecho en su parcela la producción de naranja, obteniendo un total de 3200 costales con un peso de 40 kg. cada uno ¿Cuál fue el peso total en kg de su producción? c) 12800 d) 80 e) 128000 a) 1280 b) 800

25. Si se vende un caballo en a) 66 b) 35

$84, ganando $18,¿Cuánto había costado? c)

69

d) 99

e) 20

26.

Dos hombres realizan una obra por $60 y trabajan durante 5 días. Uno recibe un jornal de $4 diarios. ¿Cuál es el jornal del otro? a) $10 b) $12 c) $14 d) $ 8 e) $15 27.

De la central camionera parten diariamente 725 autobuses con 42 pasajeros cada uno. Si durante 15 días se mantuvo la misma demanda de pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha central? a) 456,570 b) 654,750 c) 564,750 d) 456,750 e) 456,057 28. Rosa tiene una tienda de mascotas y vende perritos, hay 15 french que cuestan $380 c/u, 10 rot wailler que cuestan $275 c/u, 5 cocker spanish que cuestan $315 c/u. ¿Cuánto ganaría si vende 3 cocker y 8 french?, y ¿Cuánto ganaría si vendieran todos los perritos? a) $3985, $10,025 b) $3654, $10,00 c) $3645, $10,055 d) $3456, $10,250 e) $3564, $10,052 29. Julio compró 25 pelotas de $14 c/u, 13 camioncitos de $12.50 c/u y 12 muñecas de $10 c/u, pagó con dos billetes de $500 ¿Cuánto fue el total pagado por los juguetes y cuanto le dieron de cambio? a) total $367.50, cambio $632.50 b) total $632.50, cambio $367.50 c) total $512.50, cambio $487.50 d) total $487.50, cambio $512.50 e) total $650.00, cambio $ 350.00 30.

Un depósito cilíndrico para almacenar agua, mide 45 m. de altura y de radio de su base es igual a 2 m. ¿Cuántos litros de agua aproximadamente se requieren para llenar a su máxima capacidad el depósito? a) 655,486 b) 565,487 c) 565,684 d) 56,846,767 e) 556,846,767 Un atleta camina en la 1ra. hora 8

31.

3 2 5 1 km., en la 2da. hora 7 km ,en la 3ra. hora 6 km y en la 4ta. hora. 5 . 4 3 8 2

¿Cuál es la longitud total recorrida? a) 26

13 24

b) 28

24 13

c) 24

13 28

d) 28

13 24

e) 24

28 13

32.

Toño compro una caja de galletas que contiene 20 paquetes con 6 galletas c/u , invito a sus amigos Julian, Paco y Judith les dio igual cantidad de paquetes él se quedó con 30 galletas ¿Cuántos paquetes le dio a cada uno? a) 5 paquetes b) 4 paquetes c) 6 paquetes d) 7 paquetes e) 8 paquetes 33. La proporción equivalente a 72:18 es: a) 64:16 b) 65:13

c) 57:45

d) 34:68

e) 30:10

34. 666 minutos es ______________ que 1/14 de semana, 666 horas es____________ que 28 días a) más tiempo – menos tiempo b) menos tiempo – más tiempo c) menos tiempo – menos tiempo d) más tiempo – igual tiempo e) más tiempo – más tiempo. 35. Don Paco compró un motor en $10,483.70, si éste tenía el 18% de descuento, ¿Cuál era el precio original del motor? a) $8,884.50 b) $12,366.66 c) $12,370.00 d) $12,785.00 e) $13,660.00 36.

Los resultados de un examen de matemáticas de un grupo de segundo de secundaria fueron los siguientes: obtuvieron 10 de calificación,

1 8

1 1 obtuvo 9, sacaron 8 ¿Qué fracción del grupo obtuvo menos de 8 de calificación? 4 3 Pag. 148

a)

24 7

b)

3 12

c)

7 24

d)

4 27

Rodolfo acompaña a su mamá al mercado cargo una bolsa con el siguiente mandado: 1

37.

queso y 1 a) 3 kg 38. a) 65%

e)

3 21

1 3 kg de carne, kg. de 2 4

3 kg de fruta, pero su mamá se ofrece ayudarlo con 1 kg. de fruta ¿Cuánto cargo en total Rodolfo? 4 3 1 b) 4 kg c) 3 kg d) 5 kg e) 4 kg 4 2

En una escuela hay 960 alumnos, de los cuales 336 son hombres ¿Cuál es el porcentaje de mujeres? b) 35%

c) 75%

d) 45%

e) 46%

39.

Juanito junto dinero para comprar una bicicleta. Su tío le dio $50 con los cuales compró una pelota que le costo $ 10, su tía le dio $100 con los cuáles compro una bolsa de canicas que le costó $6, colores para dibujar, que le costaron $15, un chocolate de $ 7 y una paleta de $ 2. Su mamá le dio $ 200 y su papá $300 ¿Cuánto le falta para poder comprar una bicicleta si ésta cuesta $1,625? a) $1005 b) $1150 c) $1010.50 d) $1015 e) $1105 40.

En la ciudad las temperaturas registradas durante una semana fueron las siguiente 1.2º, 2º, 3.1º, 0º , 3.5º y 1.3º . ¿Cuál es el promedio de temperaturas?. a) 5.81º b) 8.15º c) 1.85º d) 18.5º e) 15.8º

Pag. 149

UNIDAD 2.

ALGEBRA

2.1 Propiedades y Definiciones Término Algebraico.- Es la expresión algebraica, que se compone de: signo, coeficiente, base ó literal y exponente.

base o literal exponente

signo

-5x2 coeficiente Término Semejante.- Es la expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo exponente, aunque su signo y coeficiente sean diferentes. Ejem: es semejante a  5x3 4x3



Ejem:

4 3 2 a b 7

es semejante a

5 3 2 a b 3

Clasificación de Términos Algebraicos.- Se clasifican según su número de términos, de la siguiente manera: Monomio = un solo término Ejem: 3 x 3 Binomio

= dos términos

Ejem:  7 x 2  3 x

Trinomio

= tres términos

Ejem: 2x 2  3 x  9

Polinomio

= 2 ó más términos

Ejem: 2x3  4 x 2  5 x  8

2.2 Leyes de los signos Suma y Resta:

             

Ejem: Ejem:

          Ejem: Ejem:

  Signos iguales, conservan su signo y se suman  4  8  12 3 x  10 x  13 x

Ejem:

3  18  21  8 y 2  12 y 2  20 y 2

Ejem:

  Signos diferentes, signo del mayor y se resta el mayor menos el menor  12  22  10 15 x  20 x  5 x

3  18  15

Ejem: Ejem:

 5y

2

 12y 2  7 y 2

Multiplicación y División:

Pag. 150

                            

  Signos iguales, siempre es     Signos diferentes, siempre es  

Ejem: Ejem:

12 5   60

Ejem:

 8  4   32

Ejem:

 3  5   15

 9  6   54

2.3 Signos de Agrupación Definición.- Son los signos que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre ellos, los principales son:   Paréntesis   Corchete   Llave Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es suprimirlos multiplicando por el término ó signo que le antecede. Si en una expresión matemática existen varios signos de agrupación, se procede a eliminarlos de adentro hacia fuera. Ejem:

4   3  5 

Ejem:

7   4 3  8   7

 4    2

 7   4 5   7

 42 2

 7   13 

 7   20  7

 7  13  20 Ejem:

9  4 x   2x x  6   x 3 x  1 

   9  4x   x

 9  4 x  2 x 2  12 x  3 x 2  x

  9  4x

2

2

 13 x

 9  4 x  x  13 x 2

 14 x









2

 9  4 x  56 x

2.4 Evaluación de expresiones algebraicas El valor numérico de una expresión algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o literales por un valor específico. Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión: 3 x 2  5 xy  y 2 sustituyendo:

3 2 2  5 2   1    1 2

 3 4   10   1

 12  10  1 Pag. 151

1 Si a 

Ejem:

1 2 & b 2 3

2

de la expresión: 2a 

 1 2  2

sustituyendo:

2



3 1 ab  4 4

3  1  2  1      4  2  3  4

 1  3  1  2  1  2         4  4  2  3  4 2 6 1    4 24 4 1 1 1    2 4 4

2.5 Lenguaje algebraico Definición.- Es la forma de expresión común o coloquial que se expresa de forma algebraica. Ejem: Un número cualquiera Un número cualquiera aumentado en dos La diferencia de dos números cualquiera El triple de un número disminuido en cuatro

x

x2 xy

3x  4 a 4 3 b  c  4 x   x  1   x  2 2  b  4  24 5

La cuarta parte de un número Las tres cuartas partes de la suma de dos números La suma de tres números naturales consecutivo Las dos quintas partes de un número disminuido en cuatro es igual a 24

x   x  2   x  4   4 x 

La suma de tres números pares consecutivos, es igual al cuádruple del menor más la mitad del mayor

x4 2

2.6 Leyes de los Exponentes

 

xa x b  x

Multiplicación: Ejem:

2 3 2  2 2 3  2  2 5

División: Ejem:

ab

26 2

2

x

a

x

b

x

 2 6  2 2

a b

4

Sumar los exponentes Ejem:

x

2

x   x 5

25

x7

Restar los exponentes Ejem:

x

7

x

2

 x7  2  x5 Pag. 152

Potencia

x 

a b

: Ejem:

3 

3 2

1

Inverso:

xa Ejem:

1 2

2

x

ab

Multiplicar los exponentes

 3 3  2  3 6

 x a 2

Ejem:

1

ó

 xa

x a

Ejem:

13

0

5 3

 x 5  3   x 15

Cambiar signo de exponente

2

Ejem:

x0  1

Unitario:

x  1 x

2

 x2

Siempre es igual a uno Ejem:

1

y

0

1

2.7 Operaciones algebraicas Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar términos semejantes. Ejem: Sumar 3a  5b & 2a  3b

  3a  5b    2a  3b   3a  5b  2a  3b

 a  2b Ejem:

Restar

 4a  8b  de  6a  7b    6a  7b    4a  8b   6a  7b  4a  8b  2a  b

Multiplicación.- La operación algebraica de multiplicar, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio por monomio Ejem: 2ab2 3a 4bc 2



    2 3   a a   b b   c  b c    6  a 1

4

1 4

2

2 1

1

2

2

 6a5b3c 2 Monomio por polinomio Ejem:  2x 2 3 x 2  x  2

      2x 3 x     2x  x     2x   2    2 3    x  x     21   x  x     2  2   x      2 x    4 x     6 x 2

2

2

2

2

2 2

2

2

2 1

 6 x 4  2x 3  4 x Ejem:

 4a b 3a b 2 6

2 1

 6a 3b2

 Pag. 153

 4a b 3a b    4a b 6a  12a b    24a b   12a b    24a b  2 6

2 1

2 6

2  2 6 1

3 2

b



2  3 6  2

4 7

1 4

 12a 4b 7  24a 1b 4



12a 4 b

7



24 ab 4

Polinomio por polinomio Ejem:  2x  3  x 2  2x  1













  2 x  x  2 x  1    3  x 2  2x  1 2

     2  2   x x    21   x      31  x     3  2   x    3  1      4 x    2 x      3 x     6 x  3   2  x

  21   x  x

2

2

1 2

11

2

 2 x 3  4 x 2  2x  3 x 2  6 x  3  2x3  7 x 2  8 x  3

División.- La operación algebraica de dividir, básicamente puede efectuarse, como sigue: Monomio entre monomio Ejem:

12a2b 4





30 3  2 2  4 a b 12







2a bc  3ab 

3 3

2

 30a3b2

Ejem:



2 2



23 a6b3c 9

32 a2b 4 8 6 2 34 9  a b c 9



5 ab  2 2 5a





2b2 

 

8a4b1c 9 9

8a 4c 9 9b

Polinomio entre monomio

12 x3  6 x 2  18 x 6x

Ejem:



12x3  6 x 2 18 x   6x 6x 6x



 

 

 2 x 3 1  1 x 2 1  3 x11



2

 2x  x  3 Polinomio entre polinomio Ejem:

x 2  2x  15 x3 x x 3

Θ 2

x  x x

x x  3  

 5

x 2  2 x  15

  x 2  3x Pag. 154

 5 x  15 Θ 

5x  5 x

5 x  3  

 5 x  15

0

2.8 Radicales Propiedades de los radicales: Índice = potencia:

a

a

xa  x a  x

2

Ejem:

42  4 2  4

Índice ≠ potencia:

b

Ejem:

6 43

3

46 

x

a



Ejem:

2

 42  16

8 

a

28 

Ejem:

a

3

3 2  5 4 3 

 3  2   2  4 

32  23 

4

28  2 4  22  4

3

2  3 32 

8

Ejem:

3

2  32 

3

64  4

6

x  b y  ab x b y a

9 8  

ab

3 4

30 

 3  4 

192 3



División con índices diferentes:

6

72

5 4  32  8 625  9   8 5625 x 

ab

x

Ejem:

30  12 30

División con índices iguales:

Ejem:

Ejem:

4 28  2 18  4 2 2818   8 7 4   9 2  8 7  22  32  2  8 2 3  7 2  48 14

Raíz de una raíz: Ejem:

23  2 3  2

x  a y  a xy

16  4

Multiplicación con diferente índice: Ejem:

3

a b x

Multiplicación con mismo índice: Ejem:

3

Ejem:

192  3

a

x

a

y

a

5

3

Ejem:

x

b

y

 ab

 2  5 

223  10 223

x y

64  8 a

223 

250 3

2

3

250 3  125  5 2

xb ya

Pag. 155

Ejem:

64 3

16

9

643

6

16 2

2  2 

59   3  9   125 3 125

3

Ejem:

  2  3 

5

6 3



4 2

6

59

28



5 

27

218

3 3

27



6 10

59 59



2

27



3

3

25  2 22  23 4

50 

27

11

Operaciones con radicales: Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó restar radicales semejantes, es decir, con el mismo índice y la misma base, según la siguiente regla:

r n a  sn a  tn a   r  s  t  n a

Ejem:

Resolver:

8 3  3 3  9 3   8  3  9 3  2 3

Ejem:

Resolver:

5 3 3  6 3 3  9 3 3   5  6  9 3 3  8 3 3

Ejem:

Resolver:

4 50  5 18  2 98  4 25  2  5 9  2  2 49  2

 4 52  2  5 32  2  2 7 2  2

 45 2  53 2  27 2  20 2  15 2  14 2   20  15  14  2

 21 2

Ejem:

Resolver:

2x

3

3x  3

3

375 x 4  4 3

3

24 x 4

 2x

3

3x  3

25  15 x 3 x  4

 2x

3

3x  3x

3

52  5  3 x  4 x

 2x

3

3x  3x

3

53  3 x  4 x

 2x

3

3x  3  5x

 2x

3

3 x  15 x

 9x

3

3x

3

3

3

3

3 x  4  2x

3x  8x

3

4  6x3 x

3

22  2  3 x

23  3 x 3

3x

3x

Racionalización.- Es el convertir una fracción con denominador en forma de radical, en otra fracción equivalente, donde su denominador sea un número entero. De un denominador monomio: Forma:

y b

xa 3

Ejem:

3 3 3



, se multiplica por

b

xb a

b

xb a

, se multiplica por: 3 3



3 3 3

2



3 3  3

, y se simplifica.

32 1 

3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:

3

Pag. 156

6

Ejem:

3

3

6 3

2



3

, se multiplica por:

2

3

22



22

63 4 3

3

22 , el numerador y el denominador, obteniéndose:

63 4  33 4 2



23

23 1 

De un denominador binomio: Forma:

Ejem:

c a b 3

, se multiplica por: 1

1 3 3 1

Ejem:

, se multiplica por el conjugado del denominador

1  3 1

6

3

2 2



33 3



2

1 

3

2



2 2 2 2



12  6 2 2

2

2  2



b

a

b

, y se simplifica.

3 , el numerador y el denominador, obteniéndose:

33 3 33 3  1 3 2

, se multiplica por: 2 

2 2 6

3

a

2 , el numerador y el denominador, obteniéndose:

12  6 2 12  6 2   63 2 42 2

Números Imaginarios.- Es el expresado como “ i “, significa la raíz cuadrada de “-1”, es decir: Entonces también:

2



i

3

1



i

1 .

 1

2

 i i  1i  i

i i



2

 i2i2  1  1  1

4

i5  i2i2i  1  1i  i 64  1 

Ejem:

 64 

64 

 1  8i

Ejem:



36  49

36  1  49

36  1  49

36

Ejem:



36  49

36  1  49

36  1  49

36

49 49

i

6 i 7

i

6 i 7

Operaciones con números imaginarios Suma y Resta.- Las operaciones algebraicas de suma ó resta, se obtienen aplicando: ai  bi  ci  di   a  b  c  d i Ejem:

Resolver:

4  36  3  81  9  49  7  25

 4 36  1  3 81  1  9 49  1  7 25  1  4 36 

 1  3 81 

 1  9 49 

 4  6   i  3 9   i  9  7   i  7 5   i  24i  27i  63i  35i   24  27  63  35  i  23 i

 1  7 25 

1

Pag. 157

Ejem:

Resolver:

1  36   12 3 1  2 25 3   1  4 9 2  1  36  1  3 1  2 5 2  3  i  4 32  2  i  6 2 i  22  3  i 3 1  2 5  3 i  4 3  2 i   6  i  2 3 i 3 2  75  4  18 

 10 3 i  12

4 3   1

2 i2 i2 3 i

 10  2  3 i  12 2 i  2 i  12

Ejem:

Resolver:

3 i  12

2 i2 i

2 i3  4 i2  8i  9  2 i2i  4 i2  8i  9

 2  1 i  4  1  8i  9  2 i  4  8i  9

  2  8  i  4  9  10 i  5 2.9 Productos Notables

Definición.- Son multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas, podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:  Binomio al cuadrado  Binomios conjugados  Binomios con término común  Binomio al cubo Binomio al cuadrado Regla:  a  b 2  a 2  2ab  b 2

 a  b 2 Ejem:

 a 2  2ab  b 2

 x  3  2  x 2  2 x  3   32

Ejem:

 x2  6 x  9

 x  2 2

 x 2  2x   2    2 2

 x 2  4x  4

Binomios conjugados Regla:  a  b  a  b  a 2  b 2 Ejem:

 x  4 x  4   x 2  16

Ejem:

 2x  2 2x  2  4 x 2  4

Binomios con término común Regla:  x  a  x  b   x 2   a  b  x  ab Ejem:

 x  5 x  2  x 2    5  2 x    5 2  x 2  3 x  10

Ejem:

 x  7  x  5   x 2

   7  5  x    7   5  Pag. 158

 x 2  12x  35 Binomio al cubo Regla:

 a  b 3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3  a  b  3  a2  3a2b  3ab2  b3

Ejem:

 x  4 3

 x 3  3x 2  4  3x 4 2   4 3  x 3  12 x 2  3 x16   64

 x 3  12 x 2  48 x  64 Ejem:

 x  2

3

 x 3  3 x 2   2  3 x   2  2    2 3  x 3  6x 2  3x 4  8

 x 3  6 x 2  12x  8

2.10 Factorización Definición.- Es la forma más simple de presentar una suma o resta de términos como un producto indicado, respetando ciertas reglas para cada caso. Los principales casos son:  Factor común  Diferencia de cuadrados  Trinomio cuadrado perfecto

 

Trinomio de la forma x 2  bx  c Trinomio de la forma ax 2  bx  c

Factor común Regla:

Ejem:

Paso 1: Obtener el máximo común divisor ( MCD ) Paso 2: Menor exponente de las literales comunes Paso 3: Dividir cada término entre el factor común obtenido

4 x 3  6 x 2  12x



 2x 2 x 2  3 x  6

Ejem:



6 x 3 y 2  12 x 2 y 2  24 xy 2



 6 xy2 x 2  2 x  4



Diferencia de cuadrados Regla: a 2  b 2   a  b  (a  b ) Ejem:

x 2  49   x  7  x  7 

Ejem:

Trinomio cuadrado perfecto Regla: a 2  2ab  b 2   a  b  2 2

a  2ab  b Ejem:

2

  a  b

9x2  4y2

  3 x  2 y  3 x  2 y 

Comprobación:

2

2ab = 2ab

x 2  12 x  36

Ejem:

  x  6 2 Comprobación 2x(3) = 6x

4p 2  12pq  9q 2

  2p  3q 2 Comprobación 2 2p  3q  12pq

Trinomio de la forma x2+bx+c Regla: x 2   a  b  x  ab   x  a  x  b  Ejem:

x 2  8 x  15

Ejem:

x 2  10 x  24 Pag. 159

  x  5  x  3 

  x  4  x  6 

Trinomio de la forma ax2+bx+c Regla: Método de tanteo 6 x2  5x  6

Ejem:

2x

3

3x

2

  9x   4x

 5x

  2x  3  3 x  2

2 x 2  10 x  12

Ejem:

2x

4

  4x

x

 3   6x

  2x  4  x  3 

10 x

Simplificación de fracciones algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de productos notables y factorización, tanto en el numerador como en el denominador, se simplifica a su mínima expresión. Suma y resta con denominadores diferentes Ejem:

5a 2



7 a2

a  5a  6 5a 7    a  2 a  3  a  2

x2 3x  x 3 x  4

Ejem:



 x  2 x  4   3  x  x  3  x  3 x  4





5a  7 a  3   a  2 a  3



x2  6x  8  3x  9  x2  3x  x  3  x  4



5a  7a  21  a  2 a  3



x2  6x  8  3x  9  x2  3x  x  3 x  4



12a  21  a  2 a  3



2x 2  17  x  3 x  4 



División

x 2  5x  6

Ejem:

x 2  2x  3

 

 x  2 x  3   x  1 x  3   x  2  x  1

2x 2  2 xy

Ejem:

4x 2y

 

2x  x  y  4 x  xy 

xy 2 xy

Pag. 160

a2  9

Ejem:

2

a  2a  3



a2  12a  27 2

a  10a  9



 a  3 a  3   a  9 a  3  a  3 a  1  a  9 a  1



a3 a3  a 1 a 1



Ejem:

4a2 6b

2



2a 7b3

 

 a  3   a  1  a  3   a  1



  2a6b 

4a2 7b3 2

28a2b3 12ab 2 7ab 3

1

Multiplicación

 a2  9a  18   5a  25        5a  15  a  5  

Ejem:

Ejem:

  a  6  a  3   5 a  5      5 a  3   a5    5 a  6  a  3  a  5   5 a  5  a  3 

 5 x  25   7 x  7      14   10 x  50 

 5 x  5    7 x  1      14   10 x  5   35 x  5   x  1  140  x  5  x 1  4

 a6

Reactivos Unidad 2: 1.

Al simplificar

a) 2 y  z 2.

Al simplificar

a) 2a  b  1 3.

Al simplificar

a)  x  3 y  4 4. a)

b)

2x  z

17

c) 2 y  z

b)

b  2a

c)

2a  b  1

6. a) 

b) x  3 y  4

b)

11

c)  x  3 y  4

2x  y

d) 2b  a  1

e)

1 2a

d) x  3 y  4

e)

a  2(3b  c ) cuando a  3 , b  1 y c  4 b)

11

b)

8

c)

19

Al evaluar a  2 , b  3 , c  1 y d  2 de la expresión:

15 8

e)

2x   2y    4   3 x  2y    6 x  y   se obtiene:

Al evaluar x  1 , y  2 de la expresión: 2 y 2  5 xy  x 2

1

2x  z

d)

6a   2b   3   a  b    5a  2  se obtiene:

¿Cuál es el valor numérico de la expresión:

5. a)

  x     x  y     x   y  z     x  y    y  se obtiene:

b)

15 8

c) 

7 4

c)

7

x4

? d)

17

, se obtiene: d)

18

3ab  2cd , se obtiene: 4ac 7 d) 4

e) 14

e) 

13 8 Pag. 161

7. a) 8.

Escoja la opción en que la frase: “La mitad de a aumentada con el producto 25 veces b” está escrita correctamente en notación matemática.

a  25b 2

c)

1 a  25b 2

d)

e)

1  a  25b 2

A L  2 2

P  2A  2L

b)

c)

A L  2 2

d) P 

P  2 A  2L

e)

P  A L 2

El promedio de bateo (b) de un jugador de béisbol es igual al numero de hits (h) dividido entre el número de veces oficiales que batea (ba)

a) b 

h ba

b) b 

ba h

c) b  ba h

d) b 

10. Si sumamos o restamos expresiones algebraicas, sus exponentes se: a) Se suman b) Se restan c) Pasan igual

11.

1 a 25b  2

El perímetro de una habitación rectangular es igual a la suma del doble del largo y del doble del ancho.¿Cual expresión matemática corresponde a esta afirmación?

a) P  9.

a  25b  2

b)

¿Cuál es el resultado de la siguiente suma algebraica a) 17 x 2  x  7 d) 17 x 2  7

12. El resultado de sumar

e) b  ba b

d) Se dividen

e) Se multiplican

4 x 2  5 x  6 , 5 x 2  7 x  7 , 8 x 2  2x  8 ?

b) 17 x 2  x  7 e) 17 x 2  x  7

c) 17 x 2  7

6 x 4  10 x 3  12x 2  6 x  3 con 3 x 4  2x 3  6 x 2  6 x  7 es:

a) 9 x 4  12 x 3  18 x 2  4 d) 9 x 4  12 x 3  18 x 2  4

b) 9 x 4  12 x3  18 x 2  4

c) 6 x 4  12 x 3  18 x 2  4

e) 6 x 4  12 x3  18 x 2  4

3 x 2  3 x  11 con  2 x 2  4 x  1 se obtiene:

13. Al sumar

a)  x 2  7 x  10

b) 3 x 2  x  12

d)  x 2  x  10

e) x 2  7 x  10

c) x 2  7 x  10

14. Al restar 2 x  3 y  6 de 4 x  3 y  10 se obtiene: a) 2 x  16 b) 6 x  6 y  4 d) 6 x  6 y  4 e) 2 x  16

c) 2x  16

3 x 3  7 x 2  2x  12 de 10x 3  6 x 2  2x  8 se obtiene:

15. Al restar

a) 13 x 3  13 x 2  16 3

2

d)  7 x  x  4 x  4 16. De

ba h  h

c) 7 x 3  x 2  4 x  4

b) 7 x 3  x 2  4 3

2

e) 13x  13 x  20

5 y 2  y  11 restar  6 y 2  y  14 se obtiene:

a) y 2  3

b) y 2  2 y  3

d)  11y 2  2y  25

c) 11y 2  2y  25

e)  y 2  3

17. De la suma de x 2  5 con 2x  6 restar la suma de x  4 con  x  6 se obtiene: a) x 2  2x  3

b) x 2  2 x  3

d)  x 2  2 x  3

e)  x 2  2x  3

c) x 2  2 x  3

2 2   2  x y  por   xy  se obtiene: 5   3 

18. El producto de 

Pag. 162

4 3 2 x y 15 6 x d)  10

4 2 x y 8 6 y e)  10

4 3 2 x y 15

b) 

c) 

a) 8a3b8

b)  2ab2

c)  8a2b2

d)  2ab2

e)  8a3b8

a)



 4a b  es:

19. El resultado de  2ab3



20. El producto de  3 x 2 y 6

2 5

 4xy   2x 2

3



y 4 es:

7

b)  12x 5 y 6

d) 24 x 6 y 8

e)  24 x 6 y 7

a) 24 x y







c) 12 x 5 y 6



21. El resultado de multiplicar 3ab2 por 2ab  b2 es: a) 5ab2  3ab 4

b) 6a2b3  3ab 4

2 3

d) 6a b  3ab

4

e) 6a b



22. El producto de x 2  3 x  9 3

c) 5ab2  3ab 4

2 5



 x  3

2

es:

a) x  6 x  18 x  27

b) x 3  2x 2  9 x  27

d) x 3  6 x 2  18 x  27

e) x 3  27

4x

23. Al multiplicar 3

2

 5 xy  7 y 2

2

2



a) 16 x  44 x y  2xy  42 y 16 x

3

2

2

 44 x y  2 xy  42 y

 4x  6y  3

c) x 3  27

se obtiene:

b) 16 x 3  44 x 2 y  2xy 2  42 y 3

c)

3

d) 16 x 3  44 x 2 y  2xy2  42 y 3 e) 16 x 3  44 x 2 y  2 xy2  42 y 3 24. ¿Cuál es el área de un local rectangular que quieren rentar si el ancho mide  x  2 y el largo  x  6  ?

a)  x  6  x  6  x  2 x  2

b)

d)

e)

 x  6  x  2

 x  6 x  6 x  2

 x  2  x  6

c)

 x  6  x  2

25. ¿Cuál es el área de un rectángulo, si su ancho es   n  m  y su largo es  6m  5n  ? a) d)

6m2  11mn  5n2 2

6m  mn  5n

b) 6m2  11mn  5n2

2

2

e) 6m  11mn  5n

26. ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado mide 4

3

c) 6m2  mn  5n2

2

2

x



2

 2x  1 ?

4

3

a) x  4 x  6 x  4 x  1

b) x  4 x  6 x 2  4 x  1

d) x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1

e) x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1

c) x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1

27. Al dividir 8m9n2  10m7n4  20m5n5  12m3n8 entre 2m2 se obtiene: a) 4m7n2  5m5n4  10m3n5  6mn8

b) 4m7n2  5m5n4  10m3n5  6mn8

c) 4m7n2  5m5n4  10m3n5  6mn8

d) 4m7n2  5m5n4  10m3n5  6mn8

7 2

5 4

3 5

e) 4m n  5m n  10m n  6mn

8

Pag. 163

nm

28. El cociente de dividir 5n2  11mn  6m2 entre

a)

6m  5n

29. Dividir a)

b) 5n  6m

a2  a  1

b) a2  a  1

8a2  22a  21 2a  7 b) 4a  3

3a  4

31. Al simplificar a)

c) a2  a  1

a 3b 6c 3

a2c 2

b)

b2

2y  x

c)

a8 c 2

a8b2

c)

b10

c4

36. ¿Cuál es el resultado de simplificar

8  2i

c) 2  5 i

3

64 x 8 y 6 z 4

3

a) 15 a6b3 3 2

d) 15a b c 40. Al simplificar

3

1 i

e)

11  i

10  i

e) 2  5 i

se obtiene: d)

d)

5 7  i 4 8

e)

7 5  i 8 4

8  2i

e) 5  i

 se obtiene:

35i

c)

d)

1 i

e) 1 i

d)

32 x 4 y 6 z 2

e)

se obtiene: c) 8 x 4 y3z2

b) 5a12b9

9c

2 5

b2

8 x 4 y 2z2

243 a9b 6c 4 se obtiene:

9c

3

a8b2c 4

a8c 4

4

 

b) 16 x 4 y 2z3

39. Al simplificar 5

e)

d)

c) 5  3 i

b) 5 i  3

8 x 6 y 4 z2

2y  x

3  2 i   2  3 i  se obtiene: 

a)

e)

d)

37. ¿Cuál es el resultado de simplificar 1  4 i 2  2  5 i 3

38. Al simplificar

d) 2 x  y

 6  3 i    4  2 i  se obtiene:

b) 8 i  2

7 5i

e) 3a  4

 se obtiene:

3 5   1 1    i     i  2 8   4 4  7 5 5 7 i  i b) c) 8 4 4 8

4 7  i 5 8

d) 4a  3

d)

35. ¿Cuál es el resultado de simplificar

a)

e)  a2  a  1

se obtiene:

34. ¿Cuál es el resultado de simplificar a) 5 i  2 b) 2 i  1

a)

d) a2  a  1

se obtiene:

b) 2 x  5 y

a5b 4c 1

4a  11

c)

33. ¿Cuál es el resultado de simplificar  5  2 i    6  3 i a) 11 i  1 b) 11 i  1 c) 11  i

a)

e) 6m  5n

es:

12 x 2  16 xy  5 y 2 6x  5y

2x  y

32. Al simplificar a)

d) 6m  5n

a 4  a2  2a  1 entre a2  a  1

30. El resultado de a)

es:

c) 5n  6m

4

e)

3

c) 15a2b3

9 c2

15a3b2 3

3

9c

9c

625 m7n8 se obtiene: Pag. 164

a) 2 mn2 d)

4

2 mn2 5

m3

b) 5 mn 2

m3

e)

4

b) 13

2 3

42. Al resolver a)

6

b)

2

 2 7  3 5 

43. Al resolver a)

3

6

44. Al resolver

3

3

2

 5

a)

c) 6

2



3

6 8

3

4



b) 240 3 6

120 3 6 45. Al desarrollar

 x  4 2

2

240 3 48

d)

12

d)

33 2

e) 4 3 2

d)

21

e)

d)

120 3 2

b) x 2  16

e) 14

2

2

10

2

e) 120 3 4

c) x 2  4 x  16

e) x  8 x

 3 x  2y 

46. El equivalente a

2

es:

a) 9 x 2  6 x  4 y 2  4y

b) 9 x 2  12 xy  4 y 2

2

7x

4

2

e) 9 x  12 xy  4 y 2

 2 xy

3



2 2

se obtiene: b) 49 x 4  4 x 2 y 2

d) 49 x 4  28 x 3 y  4 x 2 y 2

e) 49 x 4  4 x 2 y 2

a) 49 x  28 x y  4 x y

48. Al desarrollar

c) 6 x 2  6 xy  4 y 2

2

2

c) 14 x 4  14 xy  4 x 2 y 2

1 5  x   2 se obtiene: 3 4

25 2 1 x  16 9 25 2 5 1 x  x d) 16 6 9

25 2 1 x  16 9 25 2 5 1 x  x e) 16 12 9

a)

49. El equivalente a 2

5m3n

2

d) x  16

47. Al resolver

23 2

se obtiene: c)

2

d) 9 x

4

se obtiene:

a) x 2  8 x  16

2

1 3 4 m n 2

se obtiene:

b) 2

35

2

se obtiene: c)

2

c)

m3

c) 13

3

432  3 250  3 16

3

4

m3

se obtiene:

41. Al resolver 7 18  2 50  3 72 a) 6

mn 2

4

 x  8  x  8

b)

c)

25 2 5 1 x  x 16 6 9

es:

a) x  16

b) x 2  16 x  64

d) x 2  16

e) x 2  64

1 2 1 2  x    x   se obtiene: 3 2 3 2    4 2 1 4 2 1 x  x  a) b) 9 4 6 4

c) x 2  64

50. Al resolver

c)

4 2 1 x  9 4 Pag. 165

4 2 1 x  6 4

d)

 3x  4y   3x  4y 

51. Al desarrollar 2

a) 9 x  16 y

2

4x

3



y  5z 4 x3 y  5z

2

d) 8 x y  25 z 53. Al resolver

b) x 2  8 x  20 e) x  20 x  12

 x  3  x  4

se obtiene: b) x 2  12x  1 e) x 2  x  12

a) x  x  12 d) x 2  7 x  1

 x  6  x  4

b) x 2  10 x  24

a) x  2 x  24 d) x 2  10 x  24

 x  6 3

se obtiene:

2

b) x 3  216

d) x 3  216

x

6

3

4

2

y  y2

 3x y 3

4

4



3

es:

a) x y  3 x y  3 x y  y 6 x y

2 5

2 5

 3x y

4

3

4

y

b) x 6 y 3  3 x 4 y 4  3 x 2 y 5  y 6

2

 3 x  2 3

e) x 6 y 3  3 x 4 y 4  3 x 2 y 5  y 6

se obtiene:

2

b) 27 x 3  54 x 2  36 x  4

a) 27 x  54 x  36 x  8 d) 27 x 3  54 x 2  36 x  8 59. Al resolver 3 3

 ab  3  3

c)

6

d) x y  3 x y  3 x y 5  y 6 58. Al desarrollar

c) x 3  18 x 2  108 x  216

e) x 3  18 x 2  108 x  216

57. El equivalente a 4

c) x 2  24 x  10

e) x 2  24 x  10

a) x  18 x  108 x  216

3

c) x 2  7 x  1

se obtiene:

2

6

c) x 2  12 x  20

2

2

6

c) 16 x 6 y 2  10 z 2

2

se obtiene:

d) x  8 x  20

3

2

e) 16 x y  25 z

 x  10   x  2

56. Al desarrollar

se obtiene: 6

2

55. Al resolver



b) 16 x 9 y 2  25 z 2

2

a) x 2  12 x  20

54. Al resolver

c) 16 x 2  9 y 2

e) 9 x 2  16 y 2

a) 8 x 6 y 2  10 z2 6

se obtiene:

b) 6 x 2  8 y 2

d) 16 x 2  9 y 2 52. Al resolver

4 2 1 x  9 2

e)

c) 9 x 3  54 x 2  36 x  8

e) 27 x3  12x 2  36 x  8

se obtiene:

2 2

a) a b  9a b  27ab  27

b) a3b3  9a2b2  27ab  27 c) a3b3  9a2b2  27ab  27

d) a3b3  9a2b2  27ab  9

e) a3b3  27

60. Al obtener el área de un cuadrado que mide por lado 2

 x  6

resulta:

2

a) x  6 x  36

b) x  12 x  36

d) x 2  12 x  36

e) x 2  6 x  36

61. Al obtener el área de un rombo cuya diagonal mayor es

 x  6

c) x 2  6 x  36

y su diagonal menor es

 x  6

resulta:

Pag. 166

a)

x2  18 2

b)

x2  36 2

d)

x2  36 2

e)

x 2  18 2

 x  7

62. Al obtener el área de un rectángulo cuyo base mide a) x 2  4 x  21 d) x 2  4 x  21

c)

x2  18 2

y su altura es de  x  3  resulta:

b) x 2  4 x  21 e) x 2  21x  4

c) x 2  4 x  21

63. Al relacionar las siguientes columnas el resultado es: a)  2 x  3 y  2

I) x 3  9 x 2  27 x  27

b)  x  3  3

II) 4 x 2  20 x  24

c)  x  8  x  8 

III) x 2  64

d)  2 x  4  2 x  6  a) a-IV, b-II, c-III, d-I

IV) 4 x 2  12xy  9 y 2

b) a-IV,b-I, c-II,d-III

c) a-IV,b-I,c-III,d-II

64. Al factorizar 18n5m4p3  30n4m3p5 se obtiene: a) 6n5m4p3  3  5p 



3

2

3

2 3

d) 6n mp 3n m  5nm p



4

b)

d)

e)

x 2  6 x  9 se obtiene: a)  x  9   x  1

b)

d)

e)

66. Al factorizar

x 2  x  12 es: a)  x  6   x  2 

b)

d)

e)

67. Un equivalente de

 x  3  x  4

68. Al relacionar las siguientes columnas el resultado a) x 2  5 x  36

 x  12   x  1  x  6   x  2



c) x  8



4

a)

x2

70. Al simplificar

x4 x  6x  8 b)

b) a-I,b-III,c-II,d-IV

x 2  4x  3



c)

 x  6  x  5

c)

 x  9  x  1

c)

 x  3  x  4

 

IV)  x  2 x 2  2x  4 c) a-III, b-I,c-IV,d-II d) a-I,b-II,c-IV,d-III

e) a-II,b-I,c-IV,d-III

se obtiene:

 x  2  x  2

x2  x  2



III)  x  2  3 x  1

3

2

I)  x  9  x  4  II) 2 x 2  3 2 x 2  3

b) 3 x  5 x  2

69. Al simplificar



2

 x  3  x  3  x  3  x  3

es:

e) a-III,b-IV,c-I,d-II

c) 6nm2p2 3n4m2  5p

 x  15   x  2  x  3   x  10 

2

d) 4 x  9 a) a-I,b-III,c-IV,d-II

3 3

e) 6n m p

x 2  x  30 se obtiene: a)  x  6   x  5 

 x  3  x  3

  3nm  5p 

b) 6n2m4p3 3n3  5n2p2

65. Al factorizar

 x  2  x  15 

d) a-I,b-IV,c-III,d-II

c)

1 x4

d)

1 x2

e)

1 x2

se obtiene: Pag. 167

a)

x2 x3

71. Al simplificar a)

1 xy

72. Al simplificar a)

1 2

3 2y

x2 x3

x 3 y  xy3 x 2 y  xy2 b)

x 1 x3

d)

c)

xy

d)

c)

2

d)

xy x

2 xy2  4 x 2 y

a)

2 x 1

76. Al multiplicar a)

4x  3 3x  4

77. Al multiplicar a)

x5 x3

e)

x3 x2

e)

xy

xy

e)

xy

d)

3 x 2y

e)

3 2y

d)

3 x 1

e)

1 xy

d)

2 x 1

e)

x 1 2

d)

4x  3 3x  4

e)

3x  4 4x  3

d)

x3 x5

e)

x3 x5

d)

x x3

e)

1 x3

x2  y x  y2

se obtiene:

2y 3

c) 

2y 3

 2x  y   5 x  5 y   y  x         es: 74. El resultado de sumar   2x  y   2x  y   2x  y  1 1 a) b) 3 c) xy 3 75. Al multiplicar

x2 x 1

se obtiene:

6 x 2  3 xy

b)

c)

se obtiene:

x2  y x

8x  8y 16 x  16 y b)

73. Al simplificar a) 

b)

 9   x 2  1    se obtiene:  3 x  3   6  b)

x 1

c)

x 1 3

 8 x 2  10 x  3   6 x 2  x  1     se obtiene:  4x2  4x  1   9x2  9x  4     b)

x3 x4

c)

4x  3 3x  4

 x 2  x  6   x 2  2x  3     se obtiene:  x2  5x  6   x2  4x  5     b)

x3 x5

c)

x5 x3

 6x   x   es:     x 9  x 3 x3 x b) c) x x3

78. El resultado de sumar  2 a)

1 x3

79. El resultado de sumar

3a  2 4a  1  es: 6a 8a Pag. 168

a)

a 1 24a

80. Al dividir a)

b)

x x9

x3 x2

82. Al resolver a)

2x  5 2x  1

c)

7a  1 48a

d)

24a  5 48a

e)

5 48a

d)

9 x9

e)

x x9

d)

x2 x3

e)

x3 x2

d)

2x  1 2x  5

e)

2x  1 2x  5

 x 2  9   x 2  6 x  27     se obtiene:  x 2  2x  3   x 2  10 x  9      b)

81. El resultado de a)

24a  5 24a

x9 x9

x 2  7 x  18 x 2  6 x  27 x2 b) x3

6x 2  5x  1





c)

x 2  11x  24 x 2  5 x  24

4x2  8x  5

12 x 2  x  1 8 x 2  6 x  1 2x  5 b) 2x  1

c)

x9 x9 es:

x2 x3

se obtiene: c)

2x  1 2x  5

Pag. 169

UNIDAD 3. ECUACIONES 3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita Definición.- Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes consideraciones: 1er. miembro = 2do. miembro Operaciones Opuestas: Suma Multiplicación Potencia Ejem:

  

Cada vez que un término se mueva de un miembro a otro, debe pasar con su operación opuesta.

Resta División Raíz

6 x  8 x  15 x  26 2x  15 x  26 2 x  15 x  26 13 x  26 26 x 13 

Ejem:

Regla:

Comprobación

6 2  8 2  15 2  26

12  16  30  26

44

x  2

4x 7x 9   5 8 20 9   4x 7x    40 8 20   5

Comprobación

4 6  7 6  9   5 8 20 24 21 9   5 4 20 96  105 9  20 20 9 9  20 20

32 x  35 x  18 3 x  18

x 

18 3

x  6

3.2 Desigualdades de primer grado con una incógnita Definición.- Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto solución, se aplican básicamente las mismas reglas que para una ecuación, además de las siguientes consideraciones: Regla: Cada vez que un término se multiplique ó divida entre un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad Signos de Desigualdad y Gráfica < menor que

no incluye a ( )

> mayor que

no incluye a ( )



menor igual que

incluye a



mayor igual que

incluye a

 

Pag. 170

3x  5  7  4x 3x  4x  7  5

Ejem:

Comprobación

3 2   5  7  4 2  6  5  7  8

x  2



1  1

x  2

 -2

Conjunto Solución:

 x / x  2

-1

0

13 x  15  6 x  7 x  x 7 x  15  6 x 7 x  6 x  15

Ejem:



15

 2,   

Comprobación

1315   15  615   715   15 195  15  90  105  15

90  90

x  15

 16



ó

1

17

Conjunto Solución:

15,  

 x / x  15 ó

18

3.3 Sistema de Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 2 variables. Existen varios métodos para su solución, entre los cuales están los llamados “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer), que se explican a continuación: Método de Reducción (Suma y Resta) Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que hagan que la suma de una de las variables sea “cero” y despejar la variable restante para obtener su valor, posteriormente sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales y obtener el valor de la segunda variable. Ejem:

x  y 5 3 x  2y  5

2  x  y  5 3 x  2y  5 2 x  2 y  10 3 x  2y  5 5x

Sustituyendo x  3 , en  3 y5

 

 y  53 

Comprobación en 

3 3   2 2  5

 15

15 x 5  Ejem:

94 5

55

x 3

5 x  2y  2  4 x  3 y  4

3  5 x  2y  2

2  4 x  3 y  4 

y  2

Sustituyendo 

x  2 , en 

5 2   2 y  2 10  2 y  2 2y  2  10

y

15 x  6 y  6 8 x  6 y  8

7 x

 14

x 

14 7

x 2



8 2

y  4

Comprobación en 

4  2   3 4   4

8  12  4

4  4 Pag. 171

Método por Determinantes (Regla de Kramer)

 a1x  b1y  c1  a 2 x  b 2 y  c 1

Dado el sistema de ecuaciones: 

x   a1 b1 a2 b2

x

y sus determinantes son:

y

a1 c1 a2 c 2

y   a1 b1 a2 b2

 = determinante del sistema

donde:

x

c1 b1 c 2 b2

y

y = determinantes en “x” y “y”

 2x  5y  4  3 x  8 y  25

Ejem:

x

4

5

 25

8

2 5 3 8



4 8     5   25  32  125  93    3 2 8   3  5  16  15 31 2

y

4

3  25 2 5 3



2  25    4  3  50  12  62    2 2 8   3  5  16  15 31

8

 4 x  7 y  31  x  3 y  16

Ejem:

31 x

7

 16  3 4 7 1 3



31  3     16  7   93  112 19    1 4  3   1 7   12  7  19

y

4 31 1  16 4 7 1 3



4  16    311  64  31  95   5 4  3   1 7  12  7  19

Problemas de Aplicación Pag. 172

Dentro del proceso de resolución de problemas, se pueden diferenciar seis etapas: 1. Leer el problema 2. Definir las incógnitas principales de forma precisa 3. Traducción matemática del problema 4. Resolución del problema matemático 5. Interpretar las soluciones 6. Contrastar la adecuación de esas soluciones Ejem: En un zoológico hay aves (de dos patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos tigres viven en él?

cabezas  a  t  60  2a  4 t  200 patas

 a  20 aves  t  40 tigres

Traducción matemática : 

Solución: 

Ejem: Pedro compró 2 camisas y 3 pantalones por $850, y Francisco compró 3 camisas y 4 pantalones por $1200, ¿cuál es el precio de una camisa y el de un pantalón?

Pedro  2c  3p  850 3 c  4 p  1200 Francisco 

 c  $200 camisa  p  $150 pantalón

Traducción matemática : 

Solución: 

3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones con 3 incógnitas) Definición.- Es el llamado “Sistema de 3 ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas”, en que el objetivo es encontrar los valores de éstas 3 variables. Los métodos para su solución, son: “Reducción” (Suma y Resta) y “Determinantes” (Regla de Kramer): Método por Determinantes (Regla de Kramer)

Dado el sistema de ecuaciones:

 a1x  b1y  c1z  d1  a2 x  b2 y  c 2 z  d2 a x  b y  c z  d 3 3 3  3

Realizar los pasos siguientes: 1. Se escribe el determinante de tres por tres. 2. Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales. 3. Se trazan 3 diagonales de derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha. 4. Se multiplican entre si los tres números por los que pasa cada diagonal. 5. Los productos de los números que están en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de derecha a izquierda con el signo cambiado.

Determinantes:

Donde:

x

d1 d2 d3 d1 d2

x   a1 a2 a3 a1 a2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 c2 c3 c1 c2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 c2 c3 c1 c2

y

a1 d1 a2 d2 a3 d3 a1 d1 a2 d2

c1 c2 c3 c1 c2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 c2 c3 c1 c2

y   a1 a2 a3 a1 a2

z

a1 a2 a3 a1 a2

z   a1 a2 a3 a1 a2

b1 b2 b3 b1 b2

d1 d2 d3 d1 d2

b1 b2 b3 b1 b2

c1 c2 c3 c1 c2

 = determinante del sistema Pag. 173

x,

Ejem:

x

y

z

y

z = determinantes en “x” , “y” y “z”

y

 x  y  4z  4  2x  2y  z  11  x  y  3z  13 

x  

y  

z  

 4 1  4 11 2 1 13 1 3  4 1  4 11 2 1



1 1 4 2 2 1 1 1 3 1 1 4 2 2 1

1 4 4 2 11 1 1 13 3 1 4 4 2 11 1 1 1 4 2 2 1 1 1 3 1 1 4 2 2 1 1 1  4 2 2 11 1 1 13 1 1  4 2 2 11 1 1 4 2 2 1 1 1 3 1 1 4 2 2 1





 24  44  13  104  4  33 60  6  8  1 8  1 6 10

33  104  4  44  13  24  20  6  8  1 8  1 6 10

26  8  11  8  11  26 30  6  8  1 8  1 6 10





x6



y  2

z3

3.5 Ecuaciones de 2do grado con una incógnita Clasificación

Pag. 174

 Completas : ax 2  bx  c  0  Ecuaciones de   2 2do grado Incompleta s  Mixtas : ax  bx  0    Puras : ax 2  c  0  Métodos de solución Completas: forma ax2 + bx + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un trinomio, donde existen los valores de “a, b y c” , y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utilizan los métodos siguientes: ó

ax2+bx+c = 0, obteniendo: x 1 o

b

b2  4ac , obteniendo: x 1 2a

Factorización: Forma x2+bx+c = 0

Ecuación de 2do. grado:

x

x 2  x  12  0

Ejem:

x

 x  4 x  3   0 

x1  4

y

x

ó

x

x 2  3

2x

2x

x 4

y

x2

   1  1

  1 2  41  12 21

1  48 2

   4 

  4 2  4 41 2 4 

16  16 8

 1   2x

x

 1   2x

40 x 8

ó

x2

x 4  1 x 2  3

1 7 2

4 x 2  4x  1  0

Ejem:

y

1  x   1 2  1 x 2    2

 4x

 2x  1 2x  1  x1  

1 2

y

0

x2  

1 2

Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y b, pero no de c”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de factorización por término común y se despeja, como sigue: Ejem:



x 2  7x  0 x x  7  0

x1  0

y

x 2  7

Ejem:



2x 2  4 x  0 2x  x  2  0

x1  0

y

x2  2

Pag. 175

Incompletas puras: forma ax2 + c = 0 Es cuando, la ecuación está compuesta por un binomio, donde existen los valores de “a y c, pero no de b”, y para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se utiliza el método de despeje, como sigue:

x2  3  0

Ejem:

4 x 2  16  0

Ejem:

x2  3

4 x 2  16

x2 

x  3



x1 

3

y



x2   3

16 4

x1  2

 y

x 4 x 2  2

Reactivos Unidad 3: x  3 x  3  6  8 x  12 ?

1. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación

1 a)  4

b)

4

c)

2. ¿Cuál es el valor de “x” que satisface la ecuación a) 6 3. Al resolver la ecuación a)

2

1 b) 6

2

b)

4

1 3

c)

b)

5 12

1 4

c)

b) 

5 8

7. El valor de “x” que cumple con la igualdad a)

12

8. Al resolver la ecuación a) x  5

e)

d) 3

d) 

1 4

e) 6

2 3

e)

3 2

1 2

d) 

1 2

e)

2

d) 

1 4

e)

4

x  3 x  1  6  4 2x  3  , se obtiene:

6. El valor de “x” que cumple con la igualdad a) 

8x  5  6x  7 ? 1 c)  6

1

3 2x  1  2 5  x   3 , se obtiene:

5. Al resolver la ecuación a)

d)

2x  x  3  10  7 x  4 , se obtiene: 2 3 b) c)  3 2

4. Al resolver la ecuación a)

4

b) 

3 8

2

5 1 1 x  x es: 3 6 4 3 c)  8

d)

5 8

e)

5 12

d)

3 8

e)

12

e)

1 12

3x x 3   es: 8 2 2 c) 

3 x  5 2x  1   2 se obtiene: 4 3 2 b) x   c) x  5 5

1 12

d) x 

2 5

Pag. 176

9. Al resolver la ecuación a)

x2

10. Al resolver la ecuación a) x 

1 4

11. De la ecuación a)

1 2

12. De la ecuación a) 

3 5

x2 x8 3  se obtiene: 9 3 3 1 b) x   c) x  2 2 x3 4 x2   se obtiene: 6 3 4 1 b) x   c) x  4 6

d)

x  2

e) 

1 2

d)

x  4

e) 

1 4

9  1 el valor de “x” que satisface es: 3x  2 11 3 b)  c) 3 11 2 4 3   el valor de “x” que satisface es: x 5 x 5 3 b)  c) 4 4 3 7 4 5    se obtiene: 2x 5 5 x 2 7 7 b)  c) 11 11

d)

11 3

e) 

3 11

d)

5 4

e) 

3 4

d)

7

e)

13. Al resolver la siguiente ecuación a) 

1 5

11

14. :La suma de dos números naturales enteros consecutivos es 183, hallar los números: a) 90 y  93 b) 91 y  92 c) 90 y 93 d) 91 y 92 e) 91 y 92

15.

16.

El menor de dos números impares consecutivos es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los números a) 11 y 17 b) 9 y 11 c) 11 y 13 d) 11 y 15 e) 13 y 15 El triple de la suma de un número con su mitad igual a las 2/3 partes del mismo número aumentado en 46.

 2x  2   x  46 a) 3  2  3 

d) 3 x 



x 2   x  46 2 3



b) 3 x 



x 2   x  46 2 3

2 x  x    3 x  46 3 2

 2x  2   x  46  2  3

e) 3

17. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261? a) 78 b) 45 c) 87

d) 97

18. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 19.

c)

e) 89 e) 420 y 30

Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122. ¿Cuál es el número? a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58

20. La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de Guillermo, Si éste tiene 30 años ¿Cuál es la edad de Roberto? a) 14 años b) 18 años c) 13 años d) 10 años e) 12 años 21. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. ¿Cuáles son los números? a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y 54 Pag. 177

22. Encontrar los tres números consecutivos cuya suma sea 186. a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69

d) 32,33 y 34

e) 62,62 y 62

23. La suma de las edades de Sonia y Toño es 84 años y Toño tiene 8 años menos que Sonia. Hallar ambas edades. a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y 41 24.

Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las longitudes de los lados desconocidos a) 15 y 25 b) 17 y 21 c) 16 y 22 d) 24 y 11 e) 25 y 16

x 2  x  12  0 ?

25. ¿Cuáles son las raíces de a) 3 y  4

3 4 y 2 3

b) 3 y  4

1 y 2 2

b) 2 y 2

3  1 ,  2 2 

1 1 ,  2 2

a) 

5 ,

5

    

3 , 2



b)

 3   2  

2   5 

32. Al resolver la ecuación a) 

a)

3 y0 2

34. Al resolver la ecuación

1 1 y 2 2

d) 2 y 



5 ,  5



3 2 y 4 3

e)

3 2 y 4 3

1 2

e)

1 y 2 2

1 1 ,  2 2

 3 1 ,   2 2

e) 

1 3 ,  2 2  

d)

  10 , 10

e)

d)



d) 



1 1 ,  5 5 

c) 

 2.5 ,  2.5

3 , 3



  1 , c)    3

1   3 

2,

2



  2 , e)    3

2   3 

5 x 2  4 es:

  2 i,  b)    5

2   i 5  

 2  2 i,  c)  5 5  

  i  

d)

2 2 ,  5 5

e) 

x 2  x  0 se obtiene:

1 y 2 2

33. Al resolver la ecuación

c) 



 2 2  i,  i a)  5   5 2 , 5

d) 

3 x 2  2  0 es: b)

31. El conjunto solución de

    

3 4 y 2 3

x 2  5  0 es:

30. El conjunto solución de a)

c) 

c) 

b) 

29. El conjunto solución de



e) 3 y  4

4 x 2  4 x  1  0 es:

28. El conjunto solución de

a)

d) 3 y 4

2x 2  3 x  2 se obtiene:

27. Al resolver la ecuación a) 

1 4

6 x 2  x  12 se obtiene:

26. Al resolver la ecuación a) 

c)  3 y

b) 3 y 4

b) 1 y 1

c) 1 y 0

d) 2 y 0

e) 1 y 0

2 x 2  3 x  0 se obtiene: b) 

2 y0 3

c) 

3 3 y 2 2

d)

3 2

y0

e) 

3 y0 2

4 x 2  x  0 se obtiene: Pag. 178

a)

1 y0 4

c) 

b) 4 y 0

1 1 y 4 4

e) 

d) 2 y 0

1 y0 4

35. Al resolver la ecuación 10 x 2  15 x  0 se obtiene: a) 

3 y0 2

b) 

2 y0 3

36. ¿Cuál de los siguientes valores cumple con:

7 a)  2

b)

c) 

3 3 y 2 2

d)

2 y0 3

e)

3 y0 2

x  7

7

c)

d) 

7

1 7

e) 1 0

37. ¿Cuál de los siguientes afirmaciones es verdadera, si 10 x  90 a) x  9 b) x  9 c) x  9 d) x  9

e) x  9

38. El conjunto solución de 3 x  1  2x  3 es: a) x  2 b) x  2

e)

c)

x  2

d) x  2

x2

39. El conjunto solución de la desigualdad 3 2 x  5   71  x   4 4  3 x  es: a) x  6 b) x  6 c) x  6 d) x  6 e) x  6 40. El conjunto solución de la desigualdad a) x  2

b)

x2

5 x  4  4 x  1   9 es: 2 3 c) x  2 d) x  2

3 x x 11    es: 2 2 7 14 10 9 b) x  c) x  9 10

e)

x  2

41. El conjunto solución de la desigualdad a) x  

10 9

42. El intervalo que satisface a

4  a)   ,  3 

d) x  

9 10

e) x 

7x 5 3x    1 es: 8 6 4 

 4  b)  ,    3 

c)   ,



4  4   d)   ,   3  3 

4  e)   ,  3 

43. La expresión que representa “a lo más tengo 250” es: a) x  250 b) x  250 c) x  250

d) x  250

e) x  250

44. La expresión que representa “por lo menos tengo 500” es: a) x  500 b) x  500 c) x  500

d) x  500

e) x  500

45. El conjunto solución de a)

 5, 5 

x 2  25  0 es: b)   ,  5   5,   e)

46. Los valores de las incógnitas del sistema 47.

a) x  3, y  1 d) x  3, y  1

10 9

  5, 5

c)

 , 5 

d)

 ,  5    5,  

 2x  y  7 son:  3 x  4 y  5

b) x  3, y  1 e) x  1, y  3

c) x  3, y  1

Pag. 179

48. Los valores de las incógnitas del sistema a) x  2, y  3 d) x  2, y  3

3 x  2y  12 son:   5x  3y  1

b) x  2, y  3 e) x  2, y  3

c) x  3, y  2

 xy 6 es: 3 x  y  2

49. El valor de “x” del sistema de ecuaciones  a)

4

b)

c) 2

2

d) 4

e) 3

4 x  9 y  12 es: 2x  6 y  1

50. El valor de “y” del sistema de ecuaciones 

a)

2 3

b) 

2 3

c) 

3 2

d) 2

e)

3 2

51. Si x = 2 y y = 3 . La solución del sistema de ecuaciones simultáneas es:

x  y  5 x  y  2

b) 

2x  y  5  xy 2

x  y  1 x  y  2

e) 

a) 

2x  y  7  xy 3

c) 

xy  5 2 x  y  1

d) 

52. Un perro y su collar han costado $54, y el perro costó 8 veces lo que el collar. ¿Cuánto costó el perro y cuánto el collar? a) Perro $48 y collar $6 d) Perro $46 y collar $8

b) Perro $32 y collar $22 e) Perro $47 y collar $7

c) Perro $50 y collar $4

53. La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades. a) Juan 12, Pedro 24 d) Juan 21, Pedro 15

b) Juan 24, Pedro 12 e) Juan 15, pedro 21

c) Juan 12, Pedro 12

xy  2 es: 2 x  y  1

54. El valor de “x” , por medio de determinantes 

a)

2 1

1 1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

b)

1 2

1 1

1

1

2

1

c)

Pag. 180

d)

1

2

2

1

e)

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

2

 3 x  y  1 es: 2y  6 x  2

55. El valor de “y” , por medio de determinantes 

1 2

3 2

3

1

6

2

a)

d)

3

1

2

2

3

1

2

6 1

3

2

6

3

1

6

6

b)

e)

3 6

1 2

3

1

2

6

c)

3

1

6

2

3

1

6

2

56. La edad de Jorge es el triple de la edad de Sandra y la de Sandra cinco veces la de Pedro. Sandra tiene 12 años más que Pedro ¿Qué edad tiene cada uno? a) Jorge 45,Sandra 15, Pedro 3 b) Jorge 25,Sandra 5, Pedro 3 c) Jorge 35,Sandra 25, Pedro 3 d) Jorge 55, Sandra 15, Pedro 3 e) Jorge 5, Sandra 10, Pedro 3 57. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan $5.12 y también 17 de niño y 15 de adulto $8.31. ¿Cuál es el precio de una entrada de un niño y de un adulto? a) Adulto $35 cts, niño $18cts. b) Adulto $45 cts, niño $18cts. c) Adulto $25 cts, niño $28cts. d) Adulto $15 cts, niño $18cts. e) Adulto $35 cts, niño $28cts. 58. Un hacendado compro 4 vacas y 7 caballos por $514 y más tarde, a los mismos precios, compro 8 vacas y 9 caballos por $818 ¿Cuál es el costo de una vaca y un caballo. a) Vaca $42 y caballo $ 55 b) Vaca $55 y caballo $ 24 c) Vaca $24 y caballo $ 55 d) Vaca $55 y caballo $ 34 e) Vaca $55 y caballo $ 42 59. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53 ¿Cuáles son los números? a) 7 y 2 b) 9 y 0 c) 5 y 4 d) 7 y 1 e)

60. La solución del sistema

6y3

2 x  y  2z  8   x  2 y  3 z  9 es:  3 x  y  4z  3 

a) x  2, y  1 , z  2 d) x  2, y  1 , z  2

b) x  1, y  2, z  2 e) x  2, y  2, z  1

c) x  2, y  2 , z  1

Pag. 181

 x  y  2z   2y  x  3z  1 es: z  2 y  2 x  3 

61. La solución del sistema

a) x  2, y  1 , z  0 d) x  2, y  1 , z  2

b) x  1, y  2, z  0 e) x  0, y  2, z  1

c) x  2, y  0 , z  1

UNIDAD 4. ALGEBRA DE FUNCIONES Valor de una función Se obtiene, al sustituir el valor de “x” en la función f(x): Ejem: Si f(x) = x 2  9 , obtener el valor de f(-4) y f(3)

f ( 4 )    4  2  9  16  9  25 Ejem:

Si f(x) =

f (3)   3  2  9  9  9  18

x 2  9x  2 , obtener el valor de f(-2) y f(4) x4

f ( 2)  f ( 4) 

  2  2  9  2   2  24

4  18  2  16 8   6 6 3

 4 2  9 4  2  16  36  2  50 44

0

0



4.1 Dominio y Rango Dominio, es el conjunto de todos los valores de “x” admisibles para una función. Rango, es el conjunto de todos los valores resultantes de “y” al sustituir cada una de los elementos del dominio en la función. Ejem:

El dominio de la función racional f ( x ) 

1 2

x  11x  24

x  11x  24   x  3 ( x  8)  0 , entonces, sus raíces son: x1  3 2

 Do min io   x   / x  3,8 Ejem:

El dominio de la función racional f ( x ) 

1 x  81

 Do min io   x   / x  9,9

Para que valor de “x” la función f ( x ) 

x 2  8

2

x 2  81   x  9  ( x  9)  0 , entonces, sus raíces son: x1  9

Ejem:

y

y

x2  9

1 se indetermina: x7

x  7  0 , entonces, para: x  7 la función se indetermina

Función cuadrática Es de la forma ax 2  bx  c y representa una parábola, donde su concavidad es hacia arriba cuando “a” es positiva y es hacia abajo cuando “a” es negativa.  b 4ac  b2   V  , El vértice de la parábola, se obtiene en el punto:  2a  4a   Pag. 182

Los puntos donde la gráfica interseca al eje “x”, son la solución de la ecuación. Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la función. Ejem: Sea la función f ( x )  x 2  4 x  3 , obtener su dominio y rango.

 4 41 3    4  , El vértice es: V  

  entonces, V  2,1 y la curva es cóncava hacia arriba  21    4 1   2 ahora, las raíces de: f ( x )  x  4 x  3   x  3  x  1  0 sus raíces son: x1  3 y x 2  1 entonces: 

Ejem:

Do min io   , 

y

Rango   1, 

Graficar las siguientes funciones indicando dominio y rango.

f(x) = x Dom (f) = Todos los reales.  Do min io   ,  Ran(f) = Todos los reales.  Rango   , 

5 Y 4 3 2 1 0 -1 -1 0 -2 -3 -4 -5

y=x x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f(x) = 1/x Dom(f) = Todos los racionales positivos, menos el número cero.



2

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=X

-5

-4

2.5 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0.5

Do min io   0, 

Ran(f) = Todos los racionales positivos.  Rango   0, 

y 0.1111 0.125 0.1429 0.1667 0.2 0.25 0.3333 0.5 1 2

-3

-2

X

1

2

3

4

5

Y

2 Y = 1/ X 1.5 1 0.5 X

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

4.2 Funciones y relaciones Definición Se le llama relación, a todos los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos. Se le llama función, a la relación entre dos conjuntos, de tal manera que para cada “x”, corresponda un solo elemento de “y”. Relación:

x

y1 y2

Función:

x

y

Pag. 183

Regla: Para determinar si una gráfica es una función ó relación, basta con trazar una vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de intersección. Es decir, si sólo toca un punto, se refiere a una función; si toca más de un punto se refiere a una relación. Ejem:

Relación

Función

Función

Relación

Relación

Clasificación de Funciones

Cons tan tes : Las que no cambian . Ejem : f  x   4  Lineales : Son de 1er grado. Ejem : f  x   5x  2  Funciones Cuadrática s : Son de 2do grado. Ejem : f  x   x2  2x  6  x Exponencia les : Donde la var iable está como exp onente . Ejem : f  x   5 Logarítmic as : Donde exista log ó ln. Ejem : f  x   ln x  4.3 Función Logarítmica y exponencial:

a  base

Es de la forma f ( x )  y  loga x , donde: Forma logarítmica: y  loga x

corresponde a:

x  arg umento

f ( x )  y  exp onente

Forma exponencial: x  a y

Ejem:

Al convertir

3  log4 x ,

Ejem:

Al convertir

2  logx 36 ,

Ejem:

Al convertir

3 3  logx 225 , en forma exponencial, obtenemos: 27  x 2 2

Ejem:

x  43  64

en forma exponencial, obtenemos:

36  x 2

en forma exponencial, obtenemos:

entonces:

x 3  27  x 3  27 2  x 3  729  x 

Al convertir

2  logx 36 ,

3

729



en forma exponencial, obtenemos:



x 6



x 6

x9

36  x 2

Reactivos Unidad 4: 1. Sean la funciones a) x  2 2. Sean la funciones 2

a) 2x  2x  4

f ( x )  x 2  4 x  12

y

b) 2x  3 f (x)  x2  5x  6 b) 2x  4

g( x )  x  6 c)

y

la operación

x2

d)

g( x )  x 2  3 x  10 c) 8 x  16

f (x) resulta: g( x )

x 1

e)

x 1

la operación f ( x )  g( x ) resulta:

d) 8 x  4

e) 8 x  16 Pag. 184

f ( x )  x 2  6 , el valor de f(-2) es: a) 10 b) 2

c) 10

f ( x )  x 3  4 , el valor de f(-1) es: a) 3 b) 2

c)

3. Si

d)

4

e)

2

4. Si

6.

2

b) 2

7.

c) 3

Para que valores de “x” la función f ( x )  a) 4 y  4

d) 5

e) 5

2 se indetermina: x3

5. Para que valor de “x” la función f ( x )  a)

2

1 2

x  64

2 3

d)

e) 3

se indetermina:

b) 8 y  8

c) 2 y  2

d) 

1 1 y 8 8

e) 

1 1 y 4 4

Una función lineal esta representada por: a)  2x 2  8

b) 2 x  5

c)

3 x4

d) 5 x 

1 x

e)

ln x

8. ¿Cuál de las siguientes funciones es cuadrática?

d)

5

b) 2x 

a) 5 x  2

 x  1 2

e)

4x

c)

2

3 2

x 4

x 2  2x  9

9. ¿Cuál de las siguientes funciones es exponencial? a) f ( x ) 

b) y= x 2  9

x 2  16

e) h( x )  72 x

d) g(x)= 52 10. El dominio de la función f ( x ) 

    x   / x  2, 2

x3 2

x  5x  6

a) Df  x   / x  2,  3 d) D f

11. El dominio de la función f ( x ) 

    x   / x  2, 2

a) Df  x   / x  2, 4 d) D f

12. El dominio de la función f ( x ) 

c) f(x)= ln 3 x





b) Df  x   / x  1,  3







e) Df  x   / x  2, 3

x 1 2

x  6x  8 b) Df   x   / x  2,  4 c) Df   x   / x  2, 4





e) Df  x   / x  2,  4

x  24 x 2  144

    x   / x  12, 12

    x   / x  6,  4

a) Df  x   / x  12, 6

b) Df  x   / x  12,  6

d) Df

e) Df

13. El dominio de la función f ( x ) 



c) Df  x   / x  2,3





c) Df  x   / x  6,  6

4 2

x  25 a) Df   x   / x  25, x  25 b) D f   x   / x  5, x  5





c) Df  x   / x  50, x  50

Pag. 185







d) Df  x   / x  5, x  4



e) D f  x   / x  4, x  5

14. La forma exponencial de log x 25  2 es: a) x 2  25

b) 225  x

c) x 25  2

15. La forma logarítmica de 23  8 es: a) 3  log 2 8 b) 2  log 8 3 16. El valor de “x” del log 4 64  x es: a) x  8 b) x  16

d) 252  x

c) 8  log 2 3 d) 2  log 3 8

c)

x4

d) x  3

e) 25 x  2

e) 3  log 8 2

e) x  32

17. El valor de “x” del log 3 81  x es: a) x  9

b)

x4

c) x  3

18. Si log x 64  6 ¿Cuál es el valor de “x”? a) x  12 b) x  4

c)

x2

d)

x  27

d) x  36

e) x  81

e) x  8

19. Si log 3 x  2 ¿Cuál es el valor de “x”? a) x  8

b)

20. Si log 4 x   a) x 

c) x  3

d)

x2

e) x  9

3 8

d)

x4

e) x  6

3 ¿Cuál es el valor de “x”? 2

1 8

UNIDAD 5.

x4

c) x 

b) x  9

GEOMETRÍA EUCLIDIANA

5.1 Ángulos Clasificación Básica

Agudo : Mayor de 0o, pero menor de 90o. Ejem :   50o   Ángulos Re cto :   90o.  o o o Obtuso : Mayor de 90 , pero menor de 180 . Ejem :   120

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