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• Estrella Suárez Brac

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mNúfros It!~l

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naturales(N) , ,'1

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'"-1'

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Un número n~tural se fo~~Wcon el.cero y añadiendo. unidades: Al agregar uno al cero se obtiene el unQ~;.}i' se escribe 1 = 1 + O. Si al uno se agrega uno se obtiene el dos, o sea 2 J!l$:; + 1; Si al dos se agrega uno se obtiene el tres, o sea 3 = 2 + 1. Al aumentar cada vez uno se van obteniendo los números naturales. Un número nat~~~l es el cero o el número que se obtiene agregando unos. Así, por ejemplo, 6~f~Sun número natural puesto que es la suma de sesenta y cinco unos. :'Iítf!~: :tiJ;~'I¡.

Estos números son los ~~~ sirven para contar, por ejemplo, observa el conjunto A = {a, e, i, o, u}. ¿Gt¡Xántasvocales hay en el alfabeto español? Hay 5 vocales. ¿De dónde salió e~#ñco de la respuesta anterior? .Este número surge . . porque se han contado ~~.~elementos. ¿Cómo contar? A cada vocal de A se le asigna un número natutJi:lempezando con el 1; luego, el 2 y así sucesivamente hasta que se agoten ld,~f9bjetos. El último número asignado les el número de elementos del conju~~~:A. Si se escribe a~ 1, e~2, i~3, 0~4 y u~5 para indicarIaasignación, se'!gQncluyeque hay 5 elementos en ese conjunto. Esta asignación se llama co~pondencia biunívoca porque a cada objeto se le ·'!J, .• asigna un único númerdl;~a cada número se le asigna un único objeto. Contar los objetos de un!;~wnjunto consiste en asignar a cada objeto un número natural empezando é;>.til, siguiendo con e12, y así sucesivamente hasta agotar los objetos. El últin~p número asignado es el número de objetos del conjunto. Cada uno de IdjJlúmeros naturales 1, 2, 3... asignados se llama contador. Así que contar es .establecer una correspondencia biunívoca entre los objetos del conjunto y lq,$,(:Qúmerosnaturales 1, 2, 3...

....

i!iW! . L!,~;

Len~a y -mateÍlática' ~¡~~a¡~ ' Dos element~~f~e un conjunto X s~i~}~man consecutivo~'~~:rntre ellos no hay,olj:ó'elemento de X, [ . :~!

I

ejemplo, IOSf 1 y 3 son núl naturales im secutivos p , ellos no hay'

jfl

¡,;.fj'

.

Por ejemplo, ¿cuántos n;tTUlerosnaturales hay del 4 al 10, ambos inclusive? El conjunto a contarse es 4~::'5,6, 7... 10. Si se asigna un contador, 4 sería el elemento número 1, 5 el el~íiPento número 2 y así sucesivamente; al llegar al último elemento, se obtiese''1 que hay 7 números desde el 4 hasta ellO, ambos inclusive. Otra- forma d~Jqalcular la cantidad de números que hay desde el 4 al 10, ambos inclusive,~~~110- 4 + 1 = 7. f .~'l.~

:~f.tf¡:{

......

-

-

:1 BOrden en N

I

.,(

.:

:'~irtth .~~~ .;~;:\ ~~.

La igualdad 2 = 1 +l~;!~~tablece que en ambos lados del si =, están las mismas cantidades. Si ·tá's,cantidades son distintas, entonces. )pueden comparar y establecer cuál)W ellas es mayor o cuál es menor.' 'fi'~1 T¡':'

M:!./!

~ ';i:",.';i: ~

lengua

.~

.

• ¿Cuál de los número"Z..~"~ .,

J

de menor a ). Por ejemenar así:

¡

PIENSA f>"";

Entre los números

412,212,523 ¿cuál es el mayor y cuál es el menor?

Y312,

• ¿Qué número es menº~:23 455 o 23 445? Fíjate en la ubicación~~~.estos números en la recta numér] ! OJ!:,~¡.:\Á , 1$¡"'!~~

I

9x = 36 9x 36 "9="9

;,~.{ A_d

Para verificar que el valor obtenido es el correcto, se'sustituye este valor en la .ecuación original, así: . ':lí';:" ,

t··(

6(x - 2) = 3(8 - x) ':. ¡\

f,v ~~

6(4 - 2) = 3(8 - 4);:'¡1'

24 - 12

t~" J

=

24 - 12 ".::.

12 = 12

!' (),:'

,

Porlotanto,lasoluciónde lar~~ción.

r

~

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~.

6(x - 2) = 3(8 - x) es x,!=1.:~A.'l !

}Io.

(\ .IJ.. '%

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A

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'+:..'~:,;·::.·.¡.~i~l .; ~.'

rl) ..

Un número más su cons.ecutivbes;igual "

- .

a veinficincorjcuál

'

.•.........

~i~:.'''··a::\'ei1')tit!es¡,¡¿cl:Já·1 €{s.~1,núme .!i~"

;!..

es el nume'rá?' ...,-

(ct(z.t;(j/s~qp'n·lá·incogn,lf'a, '.

~'~;J'fl1J~ ';'~~c~~€i,q~r~·,·, ,::Zt,~F~:· ,':.'; '..,.ipi~::"~~~~~~~r~~¿:~;,éL~";~ :~:.:§f~..~;. ..

>rf~~iisi-;;j;/, as0óiidi'~i~izes~,del e~~fzbiido.([el O

-25

L-_---1

j?

~~,e:~~~~::sl ~~ ~ ~

'~';\/JJ.~:~ ~: a

:'0"

-20

-1

Si a E Z, entonces a E N

b) Si b E N, entonces-o E Z

,'>,~' F'oeterlár. !-i':'~'.lf"¡

,¡

-8

¿Enqué intervalo horario se regtstra la mayor variación de temperaturas? kY la menor?

'::'I:~j¡t ~~ ~: : ~

tabl~S""'i'~{ '. , ,'" ,.' -~'3

o

Ó>

las casillas que tengan las afirmaciones co-

',¡i~1:f~':a)

-1

"Anterlor;.' NiJií1~nQ ,~oátérlorAnt'er'lo¡':,

r

La variación de la temperatura entre las horas de 3 a 4 fue de 30 "C. Calcula la variación de temperatura para c ga intervalo horario: de 4 a S, de 5 a 6 ... ~/

',;ti

, ,,;

e ~bserv~~;:~m~I~~~las

Horas

",',1'le Analiza cada afirmación y marca con un

-1


::'7T

to:

E:

"\\'i:'!

casilla los números enteros correspondientes. oo',

-c.

20·

.,i!~~,;:l;

o Escribe en cada •

e,

.:,¡t!l;1!;!

d) No positivos y mayores que - S.

a) - 7

30·

~ 2 ~ 'lJ

=to:

e) Menores que9 y mayores que -6.

r

VI

L

; ;1: ~

e Traza .una recta num~rica

r

o

40·

,~i,~J¡r~Ü

b) ¿Cuál d~'ellos está más alejado del, O?

1 -

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jrt::.

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I

"ir(~~

I2

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J. ·f

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J. r~

Adición;~I~'sustracción';';;;!n Z

.

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' '1.';'. 1,

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"l'\~

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•

.~':

El P'nll¡J 2 600, entonces 1-6400 1 > 1 +2600 l. El resultado de la adición se obtiene al restar 6 400 (por tener mayor valor absoluto) menos 2 600 (por tener menor valor absoluto) y colocar el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto, es decir, el signo menos (-).

.;e-

Para sumar números enteros de signo diferente, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y al resultado se le coloca el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto.

I

1. Efectúa las siguientes operaciones. Luego, selecciona tres de ellas y represéntalas a) (+12) + (+5) = e) (+8) + (+3) = i) (~100) + (-100) = m)(-197)

'una recta. +(-;-179) = I

b) (-5) + (-9) =

f)

c) (-5) + (+8) =

g) (+12) + '(-lO) =

d) (+11) + (-20)

=

(-14)

h) (-60)

+ (-8) =

+ (+12) =

j) (+125) + (+135) = k) (-82) 1)

+ (+139) =

(+275) + (-125)

=

n) (-605) ñ)

(-315)

'o) (-63)

+ (. 418) = + (~22) = + (+423) =

2. Los restos de un naufragio se encuentran

150 metros bajo el nivel del mar. Si un buzo se encuentra sumergido a una profundidad de 80 metros, ¿cuántos metros más ha de descender para llegar al naufragio? Haz una representación gráfica y expresa con enteros negativos las cantidades según correspondan en el problema. .

3. Realiza el siguiente juego en pareja: cada uno lanza siete veces un dado: si el número que sale es par, se le asigna el signo más (+); si .es impar, se le asigna el signo menos (-). Cada vez que uno lance el dado, sumará la cantidad de puntos que lleva. Gana el que al final de los siete.turnos tenga mayor puntuación. •

,

1

:iedades de la

:

"

,.~ ~t

adición en Z ..

'

)

'

PIÉNSA , T!t'n

Luis tierf~1:1'$discos compac{'''''', ariana tiene 9 vr' ¡', .e da tiene 18, Si eri~/!;;ili~iesta de ?' Marianal¡rieL~nieron todos sus sF~:d~scompactos, ¿,t,il\ªntos discos !".·: , conocido, :::',,(í a)

O

"O =

b) -1 c)

=

; 11)

:

O~:

1,

!

e Indical

d)

6

16

= O

4

e) 10

+

.

liij~;,~ -WL~~,

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e " •••

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4P "

••••

En la gráfica se representa el precio promedio en bolívares de la carne de un abasto en un semestre, Calcula

(-29)

1> ~

la variación

del precio

cada

mes,

r

= - 18

3940

!~ :-.~

que se aplica en cada

'siguientes

3900

,\!['

,~!,\ , '

operaciones:

= 81

a) 81

e

= O'l}i-: f) (- 1 7) + O = O '!i

~

i:opiedad

una del)

O+

.-,..-~'--- ~- ..-.-

;!

¡j;:\'

365

'J,."

[1

20)J

c) 25

25)

b)

d) (-

e

+6 = = O

1

+

+

[(-201

6Jl;1 "

= (- 2) + (- 7)

2)

i;',

Ene.

¿;,~;, 0

Fíjate en el esquema de niveles muy frecuen-

:¡if:~\;

te en Holanda.

Vivian

te del punto O y camina 45 pasos

hacia 104 P ,

e y luego se devuelve y camina jE,!' acia el Oeste. ¿Qué número entef~iJ,,\,

represe

a posición

+3m

_

+2m

_

+1 m

__

Abr.

Mar.

Feb.

May.

Jun.

Om

de Viviana en el gráfic~\r:j;:¡,

-1 m -2m -3m

't:l:!:i,~i: O es t;IL~,J¡

VI~I

!1

O

" '¡-!'1>~'

O Raúl

If

Este

fIE'i~li

!: ,1

i¡;'i(

d\,~~~~itó en su cuenta corriente

:' " {,

do; y~~l',!'~¡? 600 para pagar el teléfono. cialm,é:~l~:Raúl tenía Bs. 84 700 en su corrier)r~~}¿cuál es su saldo final?

:a marcará:

:

a) Si la

; peratura sube 14 "C.

:::

b) Si la

: peratura desciende

'"

c) Si l'

peratura desciende

~

d) Si I!

hperatura r

aumenta

8

'i"'

¡

suelo de la casa? El lago Baikal se encuentra Asia. La particularidad

0e.

profundidad, depresión

5 "C.

Observa

5 "C.

de periódicos.

la barrera? ¿Qué

altura tiene sobre el canal? ¿Y sobre el

en el centro de

del lago es su

que lo convierte absoluta

en la mayor

de nuestro planeta .

el esquema

cuál es la profundidad endedor

la altura de la casa?

c) ¿Qué altura alcanza

-

1;:'

'"0 Carlos

canal?

¿Qué altura tiene la casa?

) ,

'4ID

tempe

~

Si in\

indica que

'I~'metro marca -5°C,

:

.jj:

¿Qué nivel alcanza

, "'''14¡

Si un

el aguadel

b) ¿En qué nivel está el suelo de la casa?

cancel~~¡;i~ luz; Bs. 45 360 en el supermerca-j"

0

-8m

a) ¿Qué nivel alcanza

tí:

$

$

I

~,"l: ~':\;Ii,- '

Bs. 15ql~9.;q:Oy, luego, emitió varios cheques con 10~;!I,m0ntossiguientes: Bs. 43 500 para

~'.'

am -5 m -6 m -v ». -r

i

de niveles y determina del lago.

Él com

d", on un paquete de 100 periódicos.

za el

•.';. ~'Í:~

Vende ,S;~!!:,~nla mañana, luego deja 26 en un" ' kiosco¡i':!;~~parte 12 a domicilio. Al final, deja:'~' los qu~

raron en una oficina.

riódico~

ió Carlos en la oficina?;~'

¿Cuántos p~'i\t ,:'j'\

i'I'

¡!~f~~:i::

ep

• Si la temperatura en la Antártida se encuentra 20°C bajo cero y disminuye tres:~~~~s 10°C, ¿a cuántos grados bajo cero llega la temperatura?¡j¡)~j¡j~ !:'Ü~,! • ¿Cuánto ha de bajar la temperatura para pasar de 10°C bajo cero a 60°C bajo cer:EP.~~.· ~;:;¡:.

• ¿Cuántos grados mayor es la temperatura más fría registrada en la costa (-60 ratura mínima registrada en el interior (-83 0C)?, " ,

°C) q~}})a tempe-

;

}W',

'.,.

-/ .

1" P'-------.-----l¡'!I!:f •. .11;\/1 '

.l¡ir· . ..,;~

('

MLi:l~iplicación en Z~~l:' i\~'fH!

"\.;;':,:}

Re ,;, .:ffIQ

.f

~~~-~l;:'

Al multiplicar dos núm~~os enteros se obtiene otro número Jrítero, y se pueden presentar los sigu:t~ntes casos: . i;' .

~': PRODUCTO DE DOS '~'(,MEROS ENTEROS POSITIVOS

"

Si la temperatura act'", ras, ¿cuánto habrá a

e una ciudad aumenta 2 °C cada hora durante 3 ho: tado la temperatura en ese tiempo?'

Dentro de 2 horas la

'peratura será 6° mayor (+6) que la ~ctual, porque: , (+2) , (+3) = +6 :~

"l,'l

1

Por lo tanto, el proaucio de un entero positivo por otro entero positivo es un entero positivo.!'::!' I

\',1,'

, ,:rif:JY\::;; . PRODUCTO DE UN E!N'r'EROPOSITIVO POR UN ENTERO NEGATIVO

Si la temperatura act~~Jide un congelador disminuye en 5 °C cada hora durante 3 horas, ¿cuánf8;habrá disminuido la temperatura en ese tiempo? La temperatura en 3h9r~s será 15° menor (-15) que la actu11, es decir, . ;}'¡~(¡fr3) , (-5) = -15 ,'¡ Ahora, fíjate cómo s;J;}~suelve la operación 3· (-4 ). lí,

';!l'

El producto 3 . (-4) :íS:epüedeexpresar como la suma (-4) +( -4) + (-4), la cual se representa en}14;,'r,ectanumérica así: 1~~'"'\.l 1

1

1

",-14-13

1

1:

.'. 1

-12 -11 -10-9

1

1

1

1

1

1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

:~i{~,:':' .

+ (-4) = -

En efecto, (-4) + (~li)

1

1

-2.'--:-1

~'

1

1

o

2...

(4 + 4 + 4) = -12 , es decir, 3 . (-4)

= -12

.r!0~~~). :

Por lo tanto, el prod?iittb de un entero positivo por un entero negativo es un entero negativo. '1:lKLtl' ~~

PRODUCTO DE UN

~

RO NEGATIVO POR UN· ENTERO POSITIVO

El nivel de agua de .. ,'~presa disminuye 5 cm cada día por la sequía. ¿Cuánto disminuirá en unª~~'~ínana? ; .\ tt.Jf;.~:J; Cada día disminuyí 'm, que se puede expresar así - 5 cm :fj'"-~.: l " .;;,:/; Una semana 7 días i' ':¡,'t~:· :I

,f,

En una semana disrI?lphye 35 cm, que se puede expresar así -35 cm, es decir, (-5) . 7 = -35

¡

/Ú~;'j;

1

II ': I

I

:

•

,

1 .

¡I->',,,,

'

:fhf :,j:}r ',1,

I;

PRODUCTO DE DOS"l!NTEROS NEGATIVOS

Alfredo gasta seman~J~ente en el cine Bs. 7 000. Si durante tres semanas no va al cine, ¿cuánro\pjnero se ahorrará? '

1 '

1

i

1:

~¡.

El producto de url¡(!~tero negativo por un entero positivo es un entero neaatioo. ! ;~¡-¡b; . ./ .

¡

Gasta en el cine PJr(sifhana Bs. 7000, que se puede expresar así':' -7 000 /,,\'f .~~ No va al dne en 3 semanas, que se puede expresar así ~-3 f\·j:~~r Ahorra en 3 semanás.Fs. 21 000, es decir, 't:y,! ¡ (-7000)' (-3) = 21 000

t ¡ !

~

,

!¡ ;,'

.

',"';i

'

~f~¡:l

La propiedad asoJ;1qtiva establece que si se agrupan los factores de distintas formasr¡j~ obtiene el mismo producto, es decir; si a, b, e E Z, entonces (a . b)l;r,'r= a . (b . e) -'i\-'"

I

7l1'," .

Al igual que en la multiplicación en el conjunto de los números naturales, el 1 es el elemento neutrs' en la multiplicación en Z, es decir, si a E Z, entonces a . 1 = 1 . a = a."¡' . ',1 Por ejemplo, ;;0' , a) (-4Vfv,,;.} 1 =-4 e) 20 . 1 = 20 b) 1· (:~-i~) = -12 d) 1 . (-25) = -25 11", Todo número entero'!IiP.p~tiplicadopor cero es igual a cero, es decir, 'si a E Z, 'JO en t onces a· O = O . a. .j,,:.!/'.• \~f~-¡1-, Por ejemplo, ',~~I' ,~~:'

I

"}/!i;'

a) (-6;~1 O = O b) O = O

·'t~~3) ,~~~! >

e) 8 . O

=

O

d) O . (-20) = O

Observa cómo se puede' resolver (-2) . ( 4 + 6). • (-2)' ~ . .

. ;~ \~f:;"

PI~t§~A -'-1 '"

_.~-"

-

o!':.:! •• ~

Si se mUt~¡Blica por (- 5) cada;'tino de :""'11 los facto¡ft~.Ü;lel pro;&~""" ¿por d ucto a 'iljX,IC, , l~~~.;': j' .• cuanto q ara multipli &el producto a· 1; ,o:.o? I~

~ '.;1:

(4 + 6) = ('-:2)-· 10 = -,,120:· ht"', :

1':" '

• (-2)·

(4 + 6) = (-2)· 4 + (-2)' = (-8) + (-12) =

6

-20

"'" Los dos resultados anteriores son iguales, entonces, -: (-2) . ( 4 + 6) = (-,f)~:,:14+ (-2) . 6; por lo tanto, en la multiplicación en Z se cumple la propiedad distributiva con respecto a la adición. -:~J~~. :;~.

'''i'',

La propiedad di$ff,ibutiva de la multiplicación con respecto a la adición se aplica1iÍf¡ando uno de los factores es una suma con dos o 1.~I(cj.1_ más sumandos Yi,K;@rjsiste en multiplicar cada uno de ellos por el otro factor, para lueg9,'§ilmar estos productos, es decir, si a, b, e E Z entonces, a . ( b, fue) =a .b +a .e .i!,.~1 ,

-

.,

.s '

;,::¡:} Observa có~& se aplica cada una de las propiedad~~~¡ Conmutativa' . ';i~~~~;

; a) (-6) . (-4)

, J'~~~I

= (-4) =

. (-6)

b) 8·

(~;f?'¡~= (-12) .,. .,,:

..•..

;..

.8

,.'' ,~,."t:'·¡= - 96

24

""J';'"

••:,}

Asociativa a) [12. (-6)J'.l5 = 12.[(-6).5] ,l.

= 12· (-30) -360

=

Elemento neutro a) (-45) . 1= -45

j, .•

b) 1 . (-).2,~) = -120 ': ~í{,

Factor cero a) O. (-68)

;" :Uf:i.¡

~ O

b) (-97)(:H1K'=O ;'/1" ",1 -;

\

,,~,.

Distributiva con respecto a la adición';¡:~í: a) (-7)'

"'''''';'

(-123) + (-7)· 5';;~.' = 861 + (-35) u'.T = 826 (:;¡"~I;;

= (-7)·

[(-123)+5]

I

.

b)5· [(-12)+(-3)]

5· (-12)+5.(-3) = (-60) - 15 =

.

tF

.

d.

'·'~?t, I

=

-75

j',

,;:

~,:¡;~

''';' " "

~{:i::r 'k) (-62).[(-7)+(-12Jrf~~

1. Resuelve aplicando la propiedad según correspgn;pa en cada caso. a)

[lS.(-12)].(-10)

=

b)

(-55). [(-30) (-10)] ~

e)

(-6).[p+(-4)]

=

d)9.[(-S:~::+221=

f)

(-16).[(,l,~i:0]

g)

(-80)(:il~1 ~

1)

h)

(-92).0!~:~;l-:;

m)[(-2).2.(-2)].[(-2~y;1.(-2)]

i)

(-1).[(,~.~~~g2]=

n)

2S.[(-11)+(-5)]='1:I,¡

ñ)

9.[(-7).(32)]

q

-

e)

[(-4) (-36)].

(-2~t~1

,'i~~r

,

12.(-63) =

=

j) (96.4)·h'89)

r:,,'

=

=

i-t:'''I~~~ i

[6.(-7)].(-S)

=

b) (-8).[ ':,' -

.[(-7).

j]

(-7).[9+(-2)] = (-7).:+ d) ... (-16) = 62.· ..: e)

e)

f)

.[

"

]

(-36).'

] = (-8).(-31)

[(-21).(-6)].(-2) ,UJ~:;['-'.(-S)].(-70) s : ."

~f,

'~'Jt51

,;':'~~f

= (-21).[(-6~~ij~il\] = 82.[ .(-7qj~¡1 i

;;:~:·~~i¡9.[(-4)+,] = 9.

.(-20)

+ (~,8).:(-S)

;.7] = [.(-S)].

'~.(-2);;~,~fJ}

= (-16).[(12).0]

="

+

,:~,~(-13).[

t

'1; ~: '

!" , ¡'

, g), '.[

:] = (-8).[(-3).(-.6)]

'~:'Ji~

,,¡'

,"~I

2. Completa con los nÚ~eros que .:~.,Itanen cada:la~,o. a)

=

.[(-42)+]

=

.t-

,+9.(-80);~'~!~'¡1 (-7).(-42)+m;~)·(-8)

3. ¿Qué ocurre cuando multiplicas un número entJ~~'\cualquiera por O? ¿Y si lo mUltiPli~4:i:por + 1? ¿Y por -1 ? " ': :,;, l..',,·¡~f',: . "

4. Si n

~.\líl !

> O y, m < O, ¿cuál es el signo del resul~a¡a-ode las siguientes operaciones? b) n . m + m =,ti'i

a) (n - m) .; n =

e) m . (m - n) =

¡¡¡tll\í" I[ f:

(l"

• Verifícalo

para

n

=

3 Ym = -2

r¡d~:'

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1

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.~ .

(

¿Cómo se realiza la\{Ivisión -~ ?

.

Dividir -6 entre 2 ~i~~ifica hallar un número que multiplicado por 2 dé -6. El resultado es -3, lW.~tque (-3) . 2 = -6. Entonces, -26== -3 't·~\.~ • :;I!-.t.¡ ; ( -- 6) . ¿Cuánto es el resulf~R~ de (-2) ? ;

I:~t~ j.

« .

Hay que buscar un ~~qiero que multiplicado por - 2 dé -,6. Ese número es 3, porque (-2)· 3 ~~~~. LUegO,,~=~~ = 3'1

Del mismo modo, _~: ~' -3, porque (-3) . (-2)

=

6.

De los ejemplos ant~rl0res se deduce que, para dividir números enteros se pro~ede igual que e~jl~'I~ivisión del conjunto de los números naturales, pero teniendo en cuenta l'~s:~Ignos + o - . .:'~~,~ l¡ .'

,

Para hallar el co.'-e.igrzte exacto de dos números enteros se dividen los valores absolutos:¡d~flos números; si el dividendo y el divisor tienen igual signo) el cociente~'es positivo) y si el dividendo y el divisor tienen diferente signo) el dtJc1¡'éntees neqatioo. I

\

j',

,

'11'1

:

1

I

,

Observa la regla de 1&~:5j'gnospara la división.

'::

Por ejemplo,

f '

a) +48 = +4'

+12

y (-48)

'

i~?(-12)

=

+4;

60 6' e) (-10) - - ,

, 't r\ ~!J

Id) (-60) = -6 10 •

l.

Observa có:n0 se efe~~1'ánlas.siguientes operaciones: primero se aplica la regla de los SIgnos y ld~~?!se dividen los valores absolutos. a) 10

-7-

b) (-10)

2 =5 -7-

~_'~.!

(-2) ilt(10

-7-

"¡~f~;~~~ ~

2)

= +5

2 = -4N1P -7- 2) = -5 ii·! d) 10 -7- (-2) = ¡JW;;-7- 2) = -5 e) (-10)

-7-

e;

Considera cómo se resu~lve el siguiente problema. : , }g' , Ricardo compjó a crédito una nevera en Bs. 600 000 y la'pagó en cuo-~~"""""~"';';:""', tas mensualesldé.Bs. 75000 cada una. ¿Cuántas cuotas canceló? Las deudas seiBU~den expresar como números negativos, entonces la cantidad de CDo.tasque debe Ricardo se puede calcular así: Deuda total ~i!p~lor de la cuota = número de cuotas (-600 000) ~~At4r75000) = 8. Por lo tanto, canceló 8 cuotas Ahora, si la cd~!pra en 500 000 bolívares cancelando 4 cuotas iguales mensuales, ¿q«~jv~lor tendrá la cuota mensual? I Deuda total -7-.!númerode cuotas = valor de la cuota (-500 000) ~~~:'::::¡: -125000. Entonces, el valor de la cuota mensual sería de 125 O~p~bolívares,y como es una deuda se puede expresar así: -125 OOO.~J , ',l,

'1'" .~.

•

:ifF' '¡~ ~x; !

':

.

I I

(1'1(\': : :.;"'1

;L:)''''''¡

Propiedad distributiva de la división respecto a hl'i~'~bión y a la sustracción. El cociente de una suma o de una resta entre un número entero distinto de cero es igual a la suma o resta de los cocientes de' cada sumando entre el número entero, es decir, si a, b, e E Z, y e =1=- 0, ento\lC~*: (a + b) 7 C = a 7 c + b . ;;..~¡, 'í.-l 1\;

~.;

l'

J

¡'

(a - b) 7

C

J

= a 7 c - b 7j,~1 \¡

~i'

.~11,'"

Por ejemplo: . "

I¡i~

I

a) [(-12) + 8] 7 (-4) = (-12) 7 (-4) + 8 7 (-4),~

·

=

+ (-2) : ~~~tl

3

,: '-.

':i~

(-4) = (-12) 7 (-4) - 8 ~ (-4)

b) [( -12) - 8] ~ ·

lq·1~·t.

.

·

~"~,~r¡'

;1

1

=

3

=

-

(-2)

,

,':n?,

.,'

='-',:'

~

+

3

=

,

e) [(-27)+(-18)]~3

2

5

-

+

9

,,:;~.i ,,'i

1,11":

\/1

':\H~:

= (-27)73+(-18)73 =

(- 6 )

::)'i::,

-9

=

6 -15

;

·:,;·'1!d:

1-

.

Si ~

La división entre números enteros no siempre da c0-Il1Q'\resultadoun número ' entero. Por ejemplo, al dividir (-4) -;-3 el resultadonó es un entero, ya que no existe ningún número entero que multiplicado p'dtJ3 sea igual a -4.

> ?:.~.MUésigno a::!~l~?

tienen

~

••••••:::_WPlY~••,

. Ir

1 ;¡.

!;~¡)'.950

b) O -i- (-5)

e) (-14)

-i-'

d) (-1 7)

-i-

f)

=

7 =

(-20) -;- (-5)

=

g) (-410) -;- 10 =

50) =

m) (- 56)~f~;;:28) = 't1~f,i~~:\!

1, .::

J)! (-

(~\,ap'T

95

. \,~) (-478) -;- (-2) =

ñ)

280 -;- C--';J 4) =

-i-

' :~~~:;I

T~;y~..,

,:::.:):

','"

h) 360

17) =

-i-

(-6) ='

1)(-88) -;- 11 =

it

I

o) (-129) ,&F(f"-3)=

til

/.;~:~:

2. Resuelve aplicando la propiedad distributiva de: I~!~ivisión con respecto a la adición sustracción. :'i.t; I

a) [(-9)+(13)]7(-3) b) [15-(-6)]73

= =

e) [(-305)+(-19QJ.~,75

e) [(-26)+:8]7(-2)

.;'

=

f)

~pa'
O Y m-n •

,

';A,!'

Determina

cuál de las sig~.i_~~'tesrectas

representa

a m

., ':1'"

y n.

~l~~,¡~,

¡f.: .•.

n

b)

o

~ I

, t

~

el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene Diego ahora?

o

e)

La edad de Diego dentro de 10 años será, , '

':',

d)

n

m

o

m

o

, i

,

, 1 ;1)( J

'~,l' l:

;

'1

l'

,i

4

enteros tales que