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Matem´ atica - Ingenier´ıa

Autor: Luke Starkiller

Versi´on: 1 (2 de mayo de 2015)

1. 1.1.

Unidad 1: Los Conjuntos Num´ ericos Clasificaci´ on de Conjuntos

N - Naturales

N´ umeros enteros positivos

Conjunto Discreto

Z - Enteros

Naturales + 0 + N´ umeros enteros negativos

Conjunto Discreto

Q - Racionales

Enteros (Z) + Fracciones. Pueden expresarse como el cociente de dos Enteros. Son racionales si y s´olo s´ı son peri´odicos.

Conjunto Denso

I - Irracionales

N´ umeros Reales (R) no racionales. No pueden expresarse como el cociente de dos Enteros. Tienen infinitas cifras decimales no peri´odicas.

Conjunto Denso

R - Reales

Racionales (Q) + Irracionales (I)

Conjunto Continuo

Conjunto Discreto: Entre dos n´ umeros enteros distintos siempre hay un n´ umero finito de n´ umeros enteros. Conjunto Denso: Entre dos n´ umeros racionales distintos existen infinitos n´ umeros racionales. Conjunto Continuo: A cada n´ umero real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un n´ umero real.

1.2.

Expresi´ on Simb´ olica de Conjuntos

Por extensi´ on: Se define nombrando a cada elemento del conjunto. Ej: {25, 26, 27, 28} Por comprensi´ on: Se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular). Ej: {x ∈ R / 5 < x < 9} Como intervalo: Para indicar un conjunto de n´ umeros reales comprendidos entre otros dos n´ umeros reales. Ej: [5; 9], (5; 9), [5; +∞)

1.3.

M´ odulo o Valor Absoluto

El m´ odulo de un n´ umero real es su valor num´erico sin tener en cuenta su signo. Por definici´on, el valor absoluto siempre ser´ a mayor o igual a cero. Formalmente, el valor absoluto de todo numero real a est´a definido por:  −a, si a < 0 |a| = a, si a ≥ 0 Distancia: La distancia entre dos n´ umeros reales a y b, que se escribe d(a; b). se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos n´ umeros. Ej: d(10; 5) = |10 − 5| = 5

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1.4.

Propiedades Operacionales y del M´ odulo

Suma Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no afecta el resultado. Ej:a + b = b + a. Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o m´as n´ umeros, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Ej: a + (b + c) = (a + b) + c Elemento neutro: Es 0 porque todo n´ umero sumado por el 0 da el mismo sumando. Ej: a + 0 = a Elemento opuesto: Es la misma cifra solo cambia el signo. Ej: a + (−a) = 0 Propiedad distributiva: La suma de dos n´ umeros multiplicada por un tercer n´ umero es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer n´ umero. Ej: (6 + 3) · 4 = 6 · 4 + 3 · 4

Multiplicaci´ on Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Ej: x · y = y · x ´ Propiedad asociativa: Unicamente expresiones de multiplicaci´on o adici´on son invariantes con respecto al orden de las operaciones. Ej: (x · y) · z = x · (y · z) Propiedad distributiva: El total de la suma de dos n´ umeros multiplicado por un tercer n´ umero es igual a la suma de los productos entre el tercer n´ umero y cada sumando.Ej: x · (y + z) = (x · y) + (x · z) Elemento neutro: La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo n´ umero multiplicado por 1 es s´ı mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad. Ej: x · 1 = x
Elemento inverso: Todo n´ umero x, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo, x1 , tal que x · x1 = 1. Potenciaci´ on Potencia de exponente negativo: La potencia de un n´ umero con exponente negativo es igual al inverso del numero elevado al exponente positivo. Ej: a−n = a1n Potencia de exponente fraccionario positivo: Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar √ en una ra´ız cuyo ´ındice es el denominador y cuyo radicando es la base elevada al numerador. m Ej: a n = n am Propiedad distributiva, respecto de la multiplicaci´ on: (a · b)n = an · bn Potencia de potencia: (an )m = an·m Multiplicaci´ on de potencias de igual base: an · am = an+m

M´ odulo Los n´ umeros opuestos tienen igual valor absoluto. Ej: |a| = | − a| El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. Ej: |a · b| = |a| · |b|

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2. 2.1.

Unidad 2: Las Funciones Relaciones

Relaci´ on: Dados dos conjuntos, X e Y, y una f´ormula f que determina alguna relaci´ on binaria entre alg´ un elemento de X con alg´ un elemento de Y, diremos que esa f´ ormula f define una relaci´ on entre X e Y cuando al menos un elemento de X est´ a relacionado con al menos un elemnto de Y

f :X→Y

Conjunto de partida o inicial: Es el primero de la relaci´on (en este caso, X ), pueden o no estar relacionados con un elemento del segundo conjunto.

C.P (f ) = {a, b, c}

Conjunto de llegada o final: Es el segundo de la relaci´on (en este caso, Y ), pueden o no estar relacionados con un elemento del conjunto inicial

C.LL(f ) = {x, y, z}

Conjunto Imagen: Ese el conjunto formado por los elemento del conjunto de llegada que est´ an relacionados con el conjunto de partida.

im(f ) = {x, y}

Dominio: Es el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que tienen imagen en el conjunto de llegada.

Dom(f ) = {a, c}

Dominio natural: Dada una f´ ormula, llamaremos dominio natural de la f´ ormula al conjunto formado por todos los n´ umeros reales que tienen imagen en R a trav´es de la f´ ormula en cuesti´ on.

Dn(f ) = {R}

Imagen de un elemento: Dado un elemento x del C.P, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x si x est´a relacionado con y seg´ un la relaci´ on f.

f (x) = y

Preimagen o imagen inversa de un elemento: Dado un elemento x del C.P, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que x es la preimagen de y si y est´ a relacionado con x seg´ un la relaci´on inversa de f.

f −1 (y) = x

2.2.

Funciones

Funci´ on: Dada una relaci´ on f entre un conjunto de partida X y un conjunto de llegada Y, diremos que f es una funci´on entre X e Y si y solo si, todos los elementos del conjunto inicial tienen una iamgen y solo una imagen.

f : X → x → y = f (x)

Conjunto de partida o inicial: Es el primero de la relaci´on (en este caso, X ), pueden o no estar relacionados con un elemento del segundo conjunto.

C.P (f ) = {a, b, c}

Dominio: Es el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que tienen imagen en el conjunto de llegada. Coincide con el Conjunto de partida.

Dom(f ) = {a, b, c}

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Y

Conjunto de llegada o final: Es el segundo de la relaci´on (en este caso, Y ), pueden o no estar relacionados con un elemento del conjunto inicial

C.LL(f ) = {x, y, z}

Codominio: Corresponde con el conjunto de llegada de una funci´on.

Cod(f ) = {x, y, z}

Conjunto Imagen: Ese el conjunto formado por los elemento del conjunto de llegada que est´ an relacionados con el conjunto de partida.

im(f ) = {x, y}

Imagen de un elemento: Dado un elemento x del C.P, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x si x est´a relacionado con y seg´ un la relaci´ on f.

f (x) = y

Preimagen o imagen inversa de un elemento: Dado un elemento x del C.P, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que x es la preimagen de y si y est´ a relacionado con x seg´ un la relaci´on inversa de f.

f −1 (y) = x

Funci´ on inversa: Es la resultante de invertir el dominio y el conjunto imagen de una funci´ on biyectiva. Se expresa f −1 , y est tambi´en biyectiva porque mantiene una relaci´ on de identidad con f.

f (x) = f −1 (y) = x

y

↔

Funci´ on par: Una funci´ on f es par cuando para todo x de su domino se cumple que -x tambi´en pertenece a su dominio, y f (−x) = f (x). El gr´ afico de una funci´ on par es sim´etrico con respecto al eje de ordenadas (o eje de las y). Funci´ on impar: Una funci´ on f es par cuando para todo x de su domino se cumple que -x tambi´en pertenece a su dominio, y f (−x) = −f (x). El gr´ afico de una funci´ on par es sim´etrico con respecto al origen de coordenadas. Ra´ız o cero: Todo elemento x perteneciente al dominio de una funci´on f con imagen cero.

f (x) = 0

Conjunto de ceros: El conjunto de todas las ra´ıces de una funci´on.

C 0 = {x1 , x2 }

Ordenada al origen: Preimagen y del elemento x perteneciente al dominio de una funci´ on f igual a cero.

f −1 (y) = 0

Conjunto o intervalos de positividad: Conjunto de valores del dominio cuyas imagenes son valores positivos.

C+ = C + = [5; 8)

Conjunto o intervalos de negatividad: Conjunto de valores del dominio cuyas imagenes son valores negativos.

C− = {c, d} C − = [9; +∞)

Intervalo de crecimiento: Intervalo o subconjunto del dominio en el se verifica que x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).

C % = [3, 7)

Intervalo de decrecimiento: Intervalo o subconjunto del dominio en el se verifica que x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).

C & = [10, 16)

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{a, b}

M´ aximo absoluto: Mayor valor alcanzado por la funci´on. Verifica que f (M ) ≥ f (x) M´ınimo absoluto: Menor valor alcanzado por la funci´on. Verifica que f (M ) ≤ f (x) M´ aximo local: Mayor valor alcanzado por la funci´on en un intervalo en particular. M´ınimo local: Menor valor alcanzado por la funci´on en un intervalo en particular.

Clasificaci´ on seg´ un inyectividad

Funci´ on inyectiva: Decimos que una funci´on f para cuando elementos distintos del conjunto de partida tienen im´ agenes distintas en el conjunto de llegada. x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) Funci´ on sobreyectiva: Una funci´ on es sobreyectiva cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada de la funci´ on. Funci´ on biyectiva: Las funciones biyectivas son simult´aneamente inyectivas y sobreyectivas.

Composici´ on de funciones

Funci´ on compuesta: Es una funci´ on formada por la composici´on (o aplicaci´on sucesiva) de otras dos funciones. As´ı, sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera est´e contenido en el dominio de la segunda, im(f ) ⊆ C, entonces puede formarse la composici´on de g con f, la funci´ on g ◦ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ◦ f )(a) = g[f (a)]. Propiedades: La composici´ on de funciones es asociativa. Ej: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . La composici´ on de funciones en general no es conmutativa. Ej: (g ◦ f ) 6= (f ◦ g).

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3.

Unidad 3: Las Funciones Lineales

3.1.

Definici´ on

Funci´ on lineal: Funci´ on cuya representaci´on en el plano cartesiano es una linea recta. Expresada en su forma expl´ıcita: f : X → Y /f (x) = m · x + b x Variable dependiente. m Pendiente de la recta: Se define como la diferencia en el eje y dividido por la diferencia en el eje x para dos puntos distintos en una recta. y2 − y1 m= x2 − x1 b Ordenada al origen: Punto de corte de la recta con el eje y. f (0)

m>0

La funci´ on es creciente.

m 0 es concava hacia arriba ( ∪ ), y cuando a < 0 es concava hacia abajo ( ∩ ).

4.2. 4.2.1.

Formas de Expresi´ on Forma Can´ onica

f (x) = a · (x − m)2 + n

(a 6= 0)

a

Coeficiente principal

a > 0 → La par´abola es c´oncava hacia arriba, el v´ertice corresponde al m´ınimo de la funci´ on. a < 0 → La par´abola es c´oncava hacia abajo, el v´ertice corresponde al m´aximo de la funci´on.

m, n

Coordenadas del v´ ertice(xv ; yv )

m → xv (Ojo con el signo!) n → yv

C´ alculos Asociados p Ra´ıces: x1 , x2 = m ± − na

4.2.2.

Forma Factorizada

f (x) = a · (x − x1 ) · (x − x2 )

a

Coeficiente principal

x1 , x2

Ra´ıces (Ojo con el signo!)

(a 6= 0)

a > 0 → La par´abola es c´oncava hacia arriba, el v´ertice corresponde al m´ınimo de la funci´ on. a < 0 → La par´abola es c´oncava hacia abajo, el v´ertice corresponde al m´aximo de la funci´on.

C´ alculos Asociados V´ ertice (xv ; yv ): xv =

x1 +x2 . 2

Tambi´en funciona:

a+b 2

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con f (a) = f (b)

yv = f (xv )

4.2.3.

Forma Polin´ omica

f (x) = a · x2 + b · x + c

a

Coeficiente principal

c

Ordenada al Origen

(a 6= 0)

a > 0 → La par´abola es c´oncava hacia arriba, el v´ertice corresponde al m´ınimo de la funci´ on. a < 0 → La par´abola es c´oncava hacia abajo, el v´ertice corresponde al m´aximo de la funci´on.

C´ alculos Asociados b V´ ertice (xv ; yv ): xv = − 2a

Ra´ıces: x1 , x2 =

yv = f (xv )

√ −b± b2 −4ac 2a

Discriminante: 4 = b2 − 4ac. Permite determinar el n´ umero de ra´ıces. 4 > 0: Dos ra´ıces reales. 4 = 0: Una ra´ız real (doble). 4 < 0: Sin ra´ıces reales.

4.3.

Sistemas de Ecuaciones No Lineales con Dos Inc´ ognitas

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. Se resuelven, generalmente, mediante los m´etodos de sustituci´on o de igualaci´on.

4.3.1.

Clasificaci´ on de Sistemas Lineales de Ecuaciones Lineales con Dos Inc´ ognitas

Compatible Determinado

Hay una cantidad n de soluciones, siendo n un n´ umero real

Compatible Indeterminado

Infinitas soluciones.

Incompatible

El conjunto soluci´on es vac´ıo.

4.4.

Inecuaciones No Lineales con Una Inc´ ognita

Son aquellas inecuaciones en las cuales la variable tiene grado dos (El grado de un polinomio es el grado m´ aximo de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen). Se debe invertir la desigualdad si se pasa un n´ umero negativo multiplicando o dividiendo.

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