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INSTITUCIÓN EDUCATIVA LA MERCED Decreto De Aprob. 1196 Del 15 De Octubre De 2.002, Resolución 0675 de 2014, Resolución 1030 de 2.012 y Resolución No. 529 de 2014 KM 1 VIA AGARZON TL: 8322178 - 8322178 NIT 813006282-7

TALLER FASE 3 PANDEMIA COVID-19 1. INFORMACIÓN GENERAL ÁREA _MATEMÁTICAS______

GRADO _11___

DOCENTE Manuel Hoyos García William Fernando Ortiz Hoyos Adriana Milena Arriguí Torres

ASIGNATURA _ MATEMÁTICAS y ESTADÍSTICA____ NÚMERO WHATSAPP 313 3943873 302 3559901 314 2930542

2. Estimados padres de familia y estudiantes, recordemos que los retos de la vida no están ahí para paralizarnos, sino para ayudarnos a descubrir quiénes somos en realidad. Con pensamientos positivos y perseverancia, solo es cuestión de tiempo que superemos las adversidades que se nos presentan y nos propongamos nuevos retos. ¡Adelante! 3. COMPETENCIAS A DESARROLLAR COGNITIVA  Interpretación y representación.  Formulación y ejecución  Argumentación SOCIOAFECTIVA Capacidad de esforzarse por mejorar o satisfacer su objetivo de aprendizaje, con responsabilidad en el manejo del tiempo y entrega oportuna de su trabajo. 4. RUTA DE TRABAJO Copiar en el cuaderno o recortar y pegar la teoría que USTED CONSIDERE NECESARIA para cada una de las actividades, luego desarrollar el taller que titula: “DEMUESTRO LO QUE APRENDÍ” y responder la pregunta de “Cuál es la UTILIDAD de esta actividad para tu vida y que dificultades hubo en el proceso” Se debe entregar TODA LA ACTIVIDAD en la fecha que se estipula a continuación, a los docentes: DOCENTE GRADO ACTIVIDAD 1 ACTIVIDAD 2 ACTIVIDAD 3 ACTIVIDAD 4 Manuel Hoyos García 11.1, 11.2, 11.3, 11.4 William Ortiz Hoyos 11.1, 11.2, 11.4 6 AGOSTO 14 AGOSTO 21 AGOSTO 28 AGOSTO Adriana Arriguí Torres 11.3  SEMANA 1(Agosto del 3 al 6)  SEMANA 2(Agosto del 10 al 14)

 SEMANA 3(Agosto del 18 al 21)  SEMANA 4(Agosto del 24 al 28)

5. MEDIO PREVISTO PARA ACOMPAÑARTE Y RETROALIMENTAR TUS ACTIVIDADES Canal Prof. Adriana:

http://www.youtube.com/channel/UCy6i8LZE4ewf-c8WL25nQrA

Canal Prof. Manuel: https://www.youtube.com/channel/UCD4qgmj70vz-EcSzHl3Nuw?view_as=subscriber Prof. Manuel 3133943873 Prof. Adriana 314 2930542 Prof. William 302 3559901

LLAMADAS TELEFÓNICAS Formamos en la vida y para la vida - 1

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ACTIVIDAD 1. A.TEMA: EXPERIMENTO ALEATORIO Y ESPACIO MUESTRAL

TIEMPO DE TRABAJO: 2 h___

B.CONCEPTOS O LECTURA Un experimento aleatorio es una acción en la cual se conoce el procedimiento que se va a seguir para desarrollarla, se conocen los posibles resultados, pero no se sabe con certeza cuál será el resultado final. Los experimentos aleatorios tienen las siguientes características: - Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar, esencialmente las condiciones. - Aunque, en general no se puede indicar cuál será el resultado particular, se puede describir el conjunto de todos los posibles resultados. - A medida que el experimento se repite un gran número de veces, los resultados individuales parecen ocurrir en forma caótica, sin embargo, aparece un patrón definido o regularidad. Un experimento en el que se conoce el resultado no es aleatorio. El espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados que se pueden dar en el experimento aleatorio. Se simboliza con la letra S y es el conjunto Universal del experimento. El espacio muestral debe ser construido de tal forma que indique claramente todas las posibilidades de ocurrencia de un experimento aleatorio. En ocasiones, a partir de una misma situación se pueden generar distintos experimentos aleatorios con sus espacios muéstrales correspondientes. Por ejemplo, dos posibles experimentos aleatorios a partir de una ruleta pueden ser:  Hacer girar una ruleta y ver en qué numero cae, en el cual el espacio muestral sería 𝑆 = {1,2,3,4,5, … , 36}  O también, hacer girar una ruleta y ver en qué color cae, en el cual el espacio muestral sería 𝑆 = {𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜, 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜, 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑜} El espacio muestral puede estar formado por un número finito o infinito de elementos. C. PRACTICANDO LO QUE APRENDÍ EJEMPLO 1: Luisa tiene que escoger tres camisetas y dos pantalones para su traje del día de hoy. Determinar de cuántas maneras las puede escoger.

SOLUCIÓN: Para saber de cuántas maneras diferetnes puede Luisa combinar estas prendas para escoger lo que se pondrá, se escribe el siguiente conunto: 𝑆 (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙), ={ (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 , 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎}

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Así, el espacio muestral del experimento aleatorio, que consiste en escoger una camiseta y un pantalón, tiene seis elementos y son los que se mencionaron antes.

D. DEMUESTRO LO QUE APRENDÍ 1. Hallar el espacio muestral de los siguientes experimentos: a. Entre las cinco personas que obtuvieron una Matemáticas se va a escoger una pareja para experiencias significativas departamental. Los Carlos y Pedro. Hallar el espacio muestral del personas entre cinco posibles.

calificación destacada en su proyecto de representar al colegio en el encuentro de candidatos son: Lorena, Darwin, Adriana, experimento que consiste en escoger dos

b. El papá de un bebé próximo a nacer quiere que su hijo se llame Juan, Camilo o Felipe. La mamá por su parte, pretende que se llame Andrés o Pablo. Para que ambos queden felices deciden combinar los nombres propuestos, considerando que primero irá el del papá y, luego el de la mamá. ¿De cuántas formas diferentes se pueden proponer un nombre para el bebé?. 2. Describir un experimento aleatorio e indicar cuál es su espacio muestral. PREGUNTAS TIPO SABER PARA EL ÁREA DE MATEMÁTICAS 3. María tiene en su armario 6 blusas diferentes, 4 jeans distintos y 3 pares de zapatos de los que dispone para salir de fiesta con sus amigos. Se encuentra indecisa porque no halla de qué manera combinar sus prendas y zapatos. Si ella tuviera 1 Jean adicional, las combinaciones distintas que podría hacer respectivamente (sin y con el jean adicional) serían: A. 62 y 72 B. 90 y 62 C. 80 y 92 D. 72 y 90 4. Raúl acude a un concesionario porque aspira comprar una motocicleta que le permita asumir su labor de mensajero usando su propio vehículo. En el concesionario le mencionan que puede elegir una moto con cambios manuales o automática, con frenos de disco o convencionales, con 3 tamaños distintos de cilindraje y además con dos tipos diferentes de rin para las llantas. Si se quiere determinar cuántas opciones diferentes tiene Raúl para su compra sabiendo que busca una moto de cambios manuales y con 125 cc de cilindrada, se tendrían: A. 24 maneras B. 12 maneras C. 8 maneras D. 20 maneras 5. En la celebración del día del padre, Juan lleva a su padre a comer a un restaurante y en el menú les ofrecen: Sopa de pastas o de costilla, de entrada, frijol, lenteja, arveja, espagueti o garbanzos, de carnes, res, pollo, cerdo o pescado, de bebida jugos naturales de maracuyá, lulo o gaseosa. Además de postre les dicen que hay pudín de chocolate o flan. Si se quiere saber de cuántas maneras puede hacerse el pedido de uno de ellos, se tienen: A. 2x2x5x3x4 maneras B. 2x4x5x2x2 maneras C. 2x5x4x3x2x0 maneras D. 2x3x2x4x6 maneras

E. ¿Cuál es la UTILIDAD de esta actividad para tu vida y que dificultades hubo en el proceso? Formamos en la vida y para la vida - 3

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ACTIVIDAD 2. A.TEMA: EVENTOS__ B.CONCEPTOS O LECTURA

TIEMPO DE TRABAJO: _2 h_

EVENTO: Es un conjunto que se define dentro de un espacio muestral, por lo tanto, está formado por los elementos del espacio, que tiene una característica definida. Los eventos se nombran con letras mayúsculas 𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 , … CLASES DE EVENTOS: Dado que los eventos son conjuntos, es posible clasificarlos así: - Evento vacío: También es llamado evento imposible. Este evento se tiene cuando se espera un resultado que no puede suceder. Por ejemplo, no es posible que Luisa escoja una camisa negra, pues el evento que consiste en tener una camisa negra no existe en el espacio muestral del ejemplo 1. - Evento unitario: también llamado evento simple; este evento se tiene cuando el conjunto en consideración tiene un solo elemento. Por ejemplo, el evento que consiste en usar una camiseta verde y un pantalón azul. - Evento universal: también es llamado evento seguro; este evento ocurre cuando al conformar el conjunto, este resulta ser igual al espacio muestral. Es importante tener en cuenta que las operaciones de unión, intersección y diferencia que se verifican entre los conjuntos también se verifican entre los eventos. Además, al igual que en los conjuntos, los eventos pueden ser representados en un diagrama de Venn. Recordando: La Unión de dos o más conjuntos es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La unión de A y B se denota . La Intersección de dos o más conjuntos es el conjunto formado por los elementos que tienen en común ambos conjuntos. La intersección de A y B se denota . C. PRACTICANDO LO QUE APRENDÍ Para el EJEMPLO 1 de Luisa y sus opciones de vestirse hoy, se puede definir el siguiente evento: 𝐸1 = {escoger un pantalón azul} En el espacio muestral, cada expresión dentro del paréntesis es un evento, formado por una camiseta y un pantalón; en particular el evento que consiste en escoger un pantalón azul es: 𝐸1 = {(camiseta morada, pantalón azul), (camiseta roja, pantalón azul), (camiseta verde, pantalón azul)} En este caso el evento tiene tres elementos. Dentro de este mismo espacio muestral se pueden definir otros eventos, por ejemplo: - 𝐸2 : Escoger una camiseta morada - 𝐸2 = {(𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎)} Formamos en la vida y para la vida - 4

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𝐸3 : Escoger un pantalón naranja (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑟𝑜𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎), 𝐸3 = { } (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎) 𝐸4 : Escoger una camiseta verde 𝐸4 = {(𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑎𝑧𝑢𝑙), (𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑒𝑡𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒, 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙ó𝑛 𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎)}

EJEMPLO 2: Una empresa decide abrir tres nuevos puntos de venta. Para ello, el departamento de mercadeo propone cinco puntos posibles: norte, centro, oriente, occidente y sur. a. Determinar el espacio muestral de este experimento. b. Escribir los elementos del evento M que consiste en no abrir puntos de venta en el sur. c. Escribir los elementos del evento N que consiste en abrir uno de los puntos en el centro y otro en el norte. d. Escribir los eventos del experimento T que consiste en abrir los puntos en el centro, el sur y el oriente. SOLUCIÓN: a. Sean N: norte, C: centro, S: sur, W: occidente, E: oriente. Así, 𝑆 = {𝑁𝐶𝑆, 𝑁𝐶𝑊, 𝑁𝐶𝐸, 𝐶𝑆𝐸, 𝑁𝑆𝐸, 𝑁𝑆𝑊, 𝑁𝐸𝑊, 𝐶𝑆𝑊, 𝐶𝐸𝑊,𝑆𝐸𝑊} b. Los elementos del evento M serán todos aquellos puntos del espacio muestral donde no se considere S. Luego, 𝑀 = {𝑁𝐶𝑊, 𝑁𝐶𝐸, 𝑁𝐸𝑊,𝐶𝐸𝑊} c. 𝑁 = {𝑁𝐶𝑆, 𝑁𝐶𝑊,𝑁𝐶𝐸} d. 𝑇 = {𝐶𝑆𝐸}

D.DEMUESTRO LO QUE APRENDÍ 1. Un estudiante de probabilidad desea experimentar con una moneda para determinar si está cargada o no. Para ello, decide lanzarla tres veces y anotar los resultados obtenidos. Determinar el espacio muestral de este experimento aleatorio y encontrar los elementos de los siguientes eventos: a. Obtener por lo menos dos caras en los tres lanzamientos. b. La diferencia entre caras y sellos, en los tres lanzamientos, es positiva. c. Obtener a lo sumo una cara en los tres lanzamientos. 2. Un automóvil llega a un cruce en donde tiene tres opciones para seguir: Hacia adelante, girar a la derecha o girar a la izquierda. a. Determinar el espacio muestral de este experimento aleatorio. b. Determinar los elementos del evento que consiste en no seguir hacia adelante. c. Si al cruce llegan dos automóviles, ¿Cuántas opciones tiene de seguir? Determine los elementos de A que consiste en que los dos automóviles sigan rutas diferentes.

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PREGUNTAS TIPO SABER PARA EL ÁREA DE MATEMÁTICAS 3. Un experimento aleatorio consiste en el lanzamiento de un dado y una moneda al mismo tiempo y anotar los resultados. Juan afirma que si se espera obtener el resultado: cara con un múltiplo de 5, éste sería un conjunto vacío puesto que todos los múltiplos de 5 (5x2=10, 5x3=15, 5x4=20,…) están por encima de los números que se encuentran en el dado. Frente a la afirmación de Juan es correcto decir que: A. Es falsa porque se puede incluso obtener un conjunto universal. B. Es verdadera porque no hay múltiplos de cinco enmarcados en las caras del dado. C. Es falsa porque se obtendría un conjunto unitario. D. Es verdadera porque no hay manera de que salga cara con un cinco. 4. Raúl y María discuten sobre la siguiente situación: ella tiene una blusa verde, una morada y una roja que puede combinar con un jean negro o un jean azul. Raúl le menciona que pensar en que se puede vestir toda de azul basado en sus opciones de prendas significaría un conjunto vacío o evento imposible. Pero María refuta que sí puede hacerlo puesto que además tiene unos converse de color azul que optimizarían su vestuario. Respecto a la afirmación de Raúl es correcto decir que: A. Tiene razón, pues hay sólo un jean azul y eso implica una sola combinación para dicho color B. Se equivoca, pues con el jean y calzado azul se suple la condición C. Tiene razón, pues determinando el espacio muestral del expermiento se corrobora D. Se equivoca, pues si se saca el espacio muestral de la combinaciones posibles, hay una manera de que se dé la condición. 5. Si se tiene el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos monedas y anotar los resultados, puede afirmarse que un evento seguro puede ser: A. Obtener dos veces cara C. Obtener cara solo una vez

B. Obtener al menos una vez sello D. Obtener cara o sello

E. ¿Cuál es la UTILIDAD de esta actividad para tu vida y que dificultades hubo en el proceso?

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ACTIVIDAD 3. A.TEMA: PROBABILIDAD B.CONCEPTOS O LECTURA

TIEMPO TRABAJO: _2 h__ PROBABILIDAD

La probabilidad es una medida que se emplea para cuantificar la posibilidad de ocurrencia de eventos en situaciones de incertidumbre y relacionadas con el azar, oscila entre 0 y 1. Estos eventos, son denominados aleatorios, dado que se desconoce con exactitud el resultado que se obtendrá al realizarse, como por ejemplo el lanzamiento de la bolilla en el juego de la ruleta o la selección de una carta de una baraja. Una de las definiciones más empleadas de probabilidad es la clásica o probabilidad de Laplace, que se define como el cociente entre el número de resultados favorables del evento aleatorio y el número total de resultados posibles. Matemáticamente, la probabilidad de un evento A se expresa como: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Algunas de las propiedades más importantes de la probabilidad son:  𝑃(𝑆) =1, donde S es el espacio muestral, definido como evento seguro.  𝑃(∅) = 0, donde ∅ es un evento imposible  Sean A, B ϵ S, eventos del espacio muestral y A ∩ B= ∅, eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)  Para todo evento B ϵ S, se satisface que 𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵𝐶 ), donde 𝐵𝐶 es el evento complementario de B.  Para todo evento A, B ϵ S, si no son eventos disyuntos, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) =

C. PRACTICANDO LO QUE APRENDÍ Hallemos la probabilidad de los eventos A, B y C. definidos en la situación: En un casino el juego de la ruleta consiste en acertar el número o color donde caerá una bombilla que es lanzada mientras la ruleta gira. En total, la ruleta tiene 37 números, incluyendo el cero 18 de color rojo, 18 de color negro y 1 de color verde. Si consideramos el evento A: obtener un número para de color rojo, entonces los resultados posibles para A son: 𝐴 = {12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36} Son 13 resultados favorables para el experimento aleatorio que hemos llamado A por tanto, la probabilidad de obtener un número par de color rojo es: 13 𝑃(𝐴) = = 0.3513 37 Ahora, si consideramos el evento B: obtener un número múltiplo de cinco de color negro, los resultados favorables para B son: B= {10, 15, 25, 35} Luego, la probabilidad de obtener un número múltiplo de cinco de color negro es: 𝑃(𝐴) =

4 = 0.1081 37 Formamos en la vida y para la vida - 7

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Finalmente, la probabilidad del evento C: obtener un número de color azul es igual a cero, dado que es un evento imposible. D. DEMUESTRO LO QUE APRENDÍ. 1. Determina la probabilidad de los siguientes eventos siendo el experimento lanzar dos dados simultáneamente: a) 𝐸1 = {que uno de los números sea múltiplo de dos} b) 𝐸1 = {que ambos números sean múltiplos de tres} c) 𝐸1 = {que ambos números sumados den tres} d) 𝐸1 = {que uno de los números sea primo} 2. En una urna se depositan tres bolas rojas, tres negras, tres amarillas y dos azules, y se les pide a una persona que saque una bola. Cuál es la probabilidad de que: a) La bola seleccionada sea amarilla. b) La bola seleccionada sea roja. c) La bola seleccionada no sea ni roja ni amarilla. d) La bola seleccionada sea roja o azul.

PREGUNTAS TIPO SABER PARA EL ÁREA DE MATEMÁTICAS RESPONDE LAS PREGUTNAS 3 A 5 CON BASE A LA SIGUEINTE INFORMACIÓN En una urna se depositan 7 balotas negras enumeradas del 2 al 8, 5 balotas azules enumeradas del 9 al 13 y 2 balotas rojas enumeradas con los números 14 y 15. 3. Si se debe sacar sin mirar una sola balota de la urna, es correcto afirmar que: A. La probabilidad de sacar una balota negra es menor que sacar una con un número impar B. La probabilidad de sacar una balota con un número par es igual a sacar una balota negra C. La probabilidad de sacar una balota roja es igual a la de sacar una con un número primo D. La probabilidad de sacar una balota roja es mayor a la de sacar una balota negra con un múltiplo de 2 4. Si una persona saca una de las balotas negras y no la retorna a la urna, No es correcto afirmar que: A. La probabilidad de las balotas negras se disminuye B. La probabilidad de las balotas negras es igual a sacar una roja o azul C. La probabilidad de las balotas negras sigue siendo la más alta D. La probabilidad de las balotas negras sólo disminuye en 7,14 % 5. Si se quiere apostar a la probabilidad más favorable, de los siguientes eventos, deberíamos apostar a: A. Sacar una balota negra con un número par C. Sacar una balota roja

B. sacar una balota azul D. sacar una balota con un número primo

E. ¿Cuál es la UTILIDAD de esta actividad para tu vida y que dificultades hubo en el proceso?

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ACTIVIDAD 4. A.TEMA/TÌTULO: EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES. TIEMPO TRABAJO: 2 h__ B.CONCEPTOS O LECTURA EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES Dos eventos aleatorios A y B son denominados dependientes si la ocurrencia de A tiene influencia en la probabilidad de B. Recíprocamente, dos eventos aleatorios A y B son independientes si la ocurrencia de A no tiene influencia en la probabilidad de B. Por ejemplo, sea el experimento aleatorio el lanzamiento de un dado y sean los eventos A: obtener un número par y B: obtener un número múltiplo de tres, estos eventos son aleatorios independientes, dado que la probabilidad de ocurrencia de una no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro. Para los eventos dependientes consideramos una urna que contiene x bolas rojas y y bolas verdes y el experimento aleatorio realizar una extracción y sin devolver la bola, realizar una segunda extracción. Además, definamos los eventos A: seleccionar una bola roja y B: seleccionar una bola verde. Si en la primera extracción la bola no es devuelta, la probabilidad en la segunda extracción se verá influenciada y no será la misma que si se considera el total de bolas dentro de la urna. Si dos eventos A y B son independientes, entonces P(A/B)=P(A). En caso contrario, si dos eventos A y B son dependientes, entonces, P(A/B) ≠P(A), por lo tanto, el evento A depende del evento B. De la fórmula de propiedad condicional, sabemos que 𝑃(𝐴⁄𝐵)𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), y dado que los eventos A y B son independientes entonces 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) A este resultado se le denomina principio de multiplicación para eventos independientes. C. PRACTICANDO LO QUE APRENDÍ EJEMPLO 1: Clasificar el evento como dependiente o independiente y halla las respectivas probabilidades. Si se lanza un dado dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 6 en el segundo lanzamiento? Primero. Definimos los eventos aleatorios A: No obtener un seis y B: obtener un seis. Segundo. Hallamos el número de resultados favorables para cada evento Para el evento A hay 5 resultados posibles de un total de 6, mientras que el número favorable para B es 1 de un total de 6 posibles. Formamos en la vida y para la vida - 9

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Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 6 en el segundo lanzamiento es: 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 (𝐴 ) ∗ 𝑃 (𝐵 ) 5 1 5 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = ∗ = 6 6 36 Dado que las probabilidades de ocurrencia de los eventos no tienen influencia uno sobre el otro, entonces los eventos son independientes y podemos hallar su probabilidad como el producto de las probabilidades de cada evento. EJEMPLO 2: En una serie de pruebas para una nueva marca de combustible se ha registrado que la probabilidad de tener concentraciones dañinas de hierro o cobre es de 38%, la probabilidad de tener hierro es de 32% y la probabilidad de contener hierro y cobre es de 10%. Los eventos A: concentración dañina de hierro y B: contracción dañina de cobre, ¿Son independientes? Para

obtener

si

dos

eventos son independientes se debe 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = 𝑃 (𝐴 ) ∗ 𝑃 (𝐵 ) Primero. Anotamos los datos conocidos. 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0,38, 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0,1 𝑦 𝑃 = 0,32 Luego, aplicamos la propiedad

satisfacer

que

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) y despejamos la probabilidad del evento B se tiene: 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) − 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) = 0.38 − 0.32 + 0.1 = 0.16 Finalmente, calculamos el producto de las probabilidades:

𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) = 0.32 ∗ 0.16 ≠ 0.1 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Por tanto, los eventos no son independientes. D.DEMUESTRO LO QUE APRENDÍ Lista el número de resultados favorables para cada evento aleatorio e identifica si la intersección es vacía para establecer si los eventos son independientes. 1. Experimento lanzar un dado. Evento A: El resultado es número par. Evento B: El resultado es múltiplo de 3. 2. Experimento lanzar dos monedas. Evento A: Se obtienen dos caras Evento B: Se obtienen una cara y un selloPREGUNTAS TIPO SABER PARA EL ÁREA DE MATEMÁTICAS RESPONDE LOS PUNTOS 3 A 4 CON BASE A LOS SIGUIENTES EXPERIEMNTOS ALEATORIOS (I) Lanzar dos dados al aire de manera simultánea y anotar los valores de las caras sobre las que caen (II) Lanzar dos monedas al aire y anotar los resultados Formamos en la vida y para la vida - 10

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3. Si se obtiene la probabilidad de que se de en las monedas dos veces cara, ésta sería igual a si en el lanzamiento de los dados se obtiene: A. Los dos con números primos C. los dos con múltiplos de 5

B. Los dos con números par D. Los dos con números impares > 3

4. Si Carlos quiere apostar en el experimento de las monedas y aspira tener un 75 % de probabilidad favorable, debería apostar a: A. Obtener al menos una vez sello C. Sacar cara o sello

B. Sacar siempre caras D. Sacar dos veces sello

5. Si se tiene en una urna 3 balotas verdes y 5 amarillas y el experimento consiste en sacar de a una sin mirar, pero sin retornarse a la urna. La probabilidad de sacar consecutivamente dos balotas verdes es: A. 3/8

B. 1/8 + 3/8

C. 50%

D. 3/28

E. ¿Cuál es la UTILIDAD de esta actividad para tu vida y que dificultades hubo en el proceso?

FRASE DE MOTIVACIÓN:

“EL PENSAMIENTO ESTADISTICO SERA ALGUN DIA TAN NECESARIO PARA EL CIUDADANO COMPETENTE COMO LA HABILIDAD DE LEER Y ESCRIBIR” H. G. WELLS Formamos en la vida y para la vida - 11

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