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• yamila_12

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Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones: Ecuación x–3=1 x+2=1 x.2=1 x² – 2 = 0 x² + 1 = 0

Resolución

N

Z

Q

I

R

Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como cuyo cuadrado sea igual a –1.

 1 , ya que no existe ningún número real

A la expresión  1 la definiremos como la Unidad Imaginaria y la denotaremos como “ i ” . O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado resulta 1:

i  1

o

bien

i 2  1

Teniendo en cuenta la igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones.

Ej: x² + 1 = 0 x² = – 1 x1 = i

x² + 2 = 0 x² = – 2 x2=–i

Ya que: i² + 1 = 0 y (–i)² + 1 = 0

x1 = Ya que: (

2 i

x2 =–

2i

2 i)² + 2 = 0 y (– 2 i)² + 2 = 0

Completen la siguiente tabla: Número Complejo Z 5+3i

2– 5i

Parte Real Re (z)

Parte Imaginaria Im(z)

2

8

–4

2/3

1

–3

0

4

4

0

0

0

3 i

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN N° COMPLEJO

Ejercicio 5: Representar los siguientes números complejos:

¿es complejo, real o imaginario puro?

z1 = – 1 – i

z2 = – 3 + 2 i

z 3 = 2 – 3i

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Suma Algebraica: Para sumar algebraicamente dos números complejos basta con operar entre si y por separado sus partes reales y sus partes imaginarias (análogamente a la suma algebraica de vectores). Ejemplo:





Dados Z1= – 3 + 5i; Z2= 4i; Z3= –i –2; Z4= (–3, 0) y Z5= 0, 3 halla el resultado de: Z = Z1 – Z2 – Z3 + Z4 – Z5=? Resolución:



Z  3  5i  4i    i  2   3i    3 i

Z  1  i  3 i



Potencias de la Unidad Imaginaria: Veamos algunas de ellas:

i0  1

i1  i i 2  1 i 3  i 2 .i  1.i  i









Z  3  5i  4i  i  2  3i  3 i



Z  1   1  3 .i (resultado)

i 4  i 2 .i 2   1 1  1 i 5  i 4 .i  1.i  i i 6  i 4 .i 2  1 1  1

i 8  i 4 .i 4  1.1  1

i 9  i 8 .i  1.i  i

i10  i8 .i 2  1 1  1

i 7  i 4 .i 3  1 i   i

i11  i8 .i 3  1 i   i

¿Qué regularidad observan?

Ejercicio13: Calcular las siguientes potencias: a) i 127 

e) i 94 

i) i 33 .i 11 

b) i 44 

f) ( i 12 ) 4 

j) i 2022 : i 3 

c) i 242 

g) ( i 3 ) 5 

k) x + 1 = i 27

d) i 69 

h) ( i 9 ) 27 

l) x – i = i 3

Multiplicación de Complejos: Básicamente el producto de complejos se realiza mediante la regla ordinaria del producto de dos binomios, teniendo en cuenta que i 2 = – 1. Y al final se suman o restan los términos semejantes. Ejemplo: Dados z1 = (3, -2) y z2 = (-2, 5), halla el valor de z1 . z2 = ? Resolución: (transformamos a forma binómica y operamos)

z1.z2  3  2i  2  5i   6  15i  4i  10.i 2  6  15  4i  10. 1   6  10  15  4i Por lo tanto:

z1.z2  4  19i

CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes: * El conjugado de z es z = a – bi ( la parte real es igual y la parte imaginaria es opuesta) * El opuesto de z es – z = – a – bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas) Ejemplos:

z1 = – 1 – 2 i

z1 = – 1 + 2 i

– z1 = 1 + 2 i

z2 = 4 i

z2 = – 4 i

–

z2 = – 4 i

z3 = 6

z3 = 6

–

z3 = – 6

Ejercicio 4: Completen el siguiente cuadro: z

–z

z

⅔+¾ i 2–6 i –7+

3 i

–3 –

5 i

2–½ i

Propiedad de los Complejos Conjugados: Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo. Ejemplo: Resolución:

Si z = 2 + i, halla el producto de

z .z

z.z  2  i 2  i   4  (1)   2  2i  5 Por lo tanto:

z.z  5

Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados (Fórmula): Si tenemos que

z = a + bi entonces

z = a – bi





z.z  a  bi a  bi   a 2  (b 2 )  a.(b)  b.a i

 z.z  a

  b   0i

z.z  a 2  b 2   a.b  a.bi 2

2

z. z  a 2  b 2

 (fórmula) (Al alumno se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior)

División de Complejos: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo 1): halla el valor de

z  3  2i 2i

z  3  2i . 2  i 2i 2i

(Multiplico por numerador y denominador por 2 – i)



z

3  2i 2  i  2  i 2  i 

(Multiplicación de fracciones)



z

(6  2)  (3  4)i 22  12

(Aplico al numerador el producto de complejos y al denominador la propiedad de los complejos conjugados)



z  4  7i 4 1

Resolución:

(Efectuando sumas en el numerador y potencias en el denominador)



z 4  7 i 5 5

Ejemplo 2): halla el valor de

(Sumando denominador y separando fracciones con igual denominador)

z  27  8i 5  6i

(Esta vez la justificación de los pasos se deja al alumno)

Resolución:

(135  48)  (162  40)i z  27  8i  27  8i . 5  6i   183  122i  183  122 i 2 2 5  6i 5  6i 5  6i 25  36 61 61 5 6 Finalmente:

z  3  2i

MÓDULO Y ARGUMENTO

|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 – 2 i

b) –3 + ½ i

c) ⅔ + i

d) – 1 – i

MÓDULO Y ARGUMENTO

|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos: a) 5 – 2 i

b) –3 + ½ i

c) ⅔ + i

d) – 1 – i

FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO * Forma Binómica: z = 2 + 3 i * Forma Cartesiana: z = ( 2 ; 3 ) * Forma Polar:

z = ( |z| , α ) |z| =

2²  3²

=

donde |z| es el módulo , α el argumento

13

;

α = arctg(3/2) = 56°18’35’’

z = ( 13 * Forma

, 56°18’35’’)

Trigonométrica: z = |z| . (cos α + i sen α )

|z| módulo α argumento

z = 13 .(cos 56°18’35’’ + i sen 56°18’35’’) Verificamos :

z = 3,605 . ( 0,554 + i 0,832) z = 1,999…. + 2,999…i ( aprox 2 + 3i)

Ejercicio 8: Expresar los siguientes complejos en forma polar: a) z = – 3 i

b) z = – 2 – 5 i

c) z =  2; 2 

d) z =



3, 3

Ejercicio 9: Expresar en forma trigonométrica los n° complejos del ej 8

EJERCITACIÓN

14) Adición y Sustracción de Números Complejos: a) ( 10 + 3 i ) + ( 8 + 2 i ) + ( 4 + 5 i ) = b) ( 7 + 5 i ) – ( 3 – 4 i ) – ( – 5 + 2 i ) = c) ( 1 + ½ i ) + ( 3 – 3/2 i ) + ( – 4 + i ) = 7 7 1 3 3 d) ( – 8 + i ) + (–  i )  (  i )  4 10 4 10 5 2 4 3 2 1 28 3 e) (  i )  (  i )  (  i )  (  i )  5 3 4 15 4 15 2 3 i 3 i 2 2  )(  )(  i)  (  i)  f) ( 2 2 2 2 2 2

R: ( 22, 10) R: ( 9 , 7 ) R: ( 0 ) R: (– 10 + i ) R: ( – i ) R: ( 3  2 )

15) Multiplicación y División de Números Complejos: a) ( 10 + 2 i ) . ( 3 + 15 i ) =

R: ( 156 i )

b) ( – 5 + 2 i ) . ( 5 + 2 i ) =

R: ( – 29 )

c) ( – 1 + i ) . ( – 1 – i ) = 3 4 d) – i. i  5 3 e) ( 2  3 i) . ( 3  2 i ) = 2 2 2  i).(  4i).(  i)  f) ( 2 3 2 g) ( – 4 + 2 i ) : ( 1 + i ) =

R: ( 2 )

h) ( – 1 + i ) : ( – 1 – i ) =

R: ( – i )

i) (4 + 2 i ) : i =

R: ( 2 – 4 i )

R: (4/5) R: (5 i ) R: ( 1 + 6 i ) R: ( – 1 + 3 i )



j) (–

1 2 2 1  i) : (  i)  4 5 5 4

k) ( 2  3 i) : (

R: ( i )

1 2 6 R: (–  i) 5 5

2 3 i)=

16) Potencia de Números Complejos: b) i 602 =

a) i 60 = d) i 104 f) ( – i ) = g) ( 1 + i )² = 2 1 i) (  i )² = 5 2

c) i 77 = e) ( – i )

=

257

=

13

h) ( 4 – 3 i)² = 2 3 j) (  i )² = 7 5

(R: 2i) 9 2  i) (R: – 100 5

(R: 7 – 24 i) 341 12  i) (R: – 1225 35

17) Ejercicios combinados en C: a)

(1  2i)².i 47 = (3  2i)  (2  i)

b)

i 253 (3  2i)  (3  2i) = (4  2i)  (2  i)

(R:

1 3  i) 2 2

(R:

1

c)

(2  i) .(2  i)²  i 39 .(3  2i)

(R:

5i ) 13

 7  4i ) 13

d)

2  2i ³  2i  = 3  i5 1 i

e)

2i (1  i)²   (1  i)² 2i (

f)

2 2  i)² 2 2 = 1 i

18) Ecuaciones en C: Hallar el valor de z: a) z . ( 2 – 3 i ) + ( – 2 – i ) = 3 – 2 i

R: ( 1 + i )

b) ( – 1 , – 2 ) – z = ( 1 , – 1 )

R: (–2, –1)

c) ( 2 , – 3 ) + z = ( –1 , 2 )

R: ( – 3 , 5 )

d) ( – 2 ,

R: ( 0 ,

2)+z=(–2,3 2)–z

e) ( 1 – i ) . z = – 1 + i

R: ( – 1 )

z  (2,1) =(2,2) (2,2) g) ( 2 , – 2 ) . z – ( 8 , – 2 ) = ( 0 , 2 ) f)

( 3 , 3) +(1,0)=( z i) 2 i + z = 3 – i

h)

j) ( 2 – 3 i ) . z = ( 2 + 3 i ) . i

2)

3+1,

R: ( 6 , 1 ) R: ( 2 , 2 )

3)

R: ( 0 , – 1 ) R: ( 3 – 3 i ) 12 5 R:( –  i ) 13 13

k) 2 + i + 3 z = 2 – i

1 i –(1+2i)=i z z 1  2i ll) z 1 zi  1  2i m) zi 2i  1  2i n) z 1 z  2i  2 i o) z i p) z 3 = z i – ( 3 – i ) l)

R: ( – 2/3i) R: (

2 1  i) 5 5

R: ( 2 – i)

1 3 R: (  i ) 2 2 R: ( 1 – i ) R: ( 2 ) R: