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Problemas de aplicaciones de derivadas MARIA PAULA 1. En una investigación se descubrió que la concentración y(t) de un medicamento inyectado en el organismo vía intramuscular está dada por 𝑦(𝑡) =

1 −2𝑡 (𝑒 − 𝑒 −3𝑡 ) 2

donde t >= 0 es el número de horas transcurridas después de la inyección. (a) ¿Cuándo ocurre la máxima concentración? (b) ¿Cuál es el valor de la máxima concentración? (c) Verifique que el valor hallado corresponde efectivamente a un máximo de la función Respuesta La derivada es 1 𝑦 ′ (𝑡) = (−2𝑒 −2𝑡 + 3𝑒 −3𝑡 ) 2 3 𝑦 ′ (𝑡) = (−𝑒 −2𝑡 + 𝑒 −3𝑡 ) 2 (a) ¿Cuándo ocurre la máxima concentración? La máxima concentración es cuando la derivada es igual a 0 3 0 = (−𝑒 −2𝑡 + 𝑒 −3𝑡 ) 2 Por tanto hay que despejar t. 3 0 = −𝑒 −2𝑡 + 𝑒 −3𝑡 2 3 𝑒 −2𝑡 = 𝑒 −3𝑡 2 3 ln⁡(𝑒 −2𝑡 ) = ln⁡( 𝑒 −3𝑡 ) 2 3 −2 tln(𝑒 1 ) = 𝑙𝑛 − 3ln⁡(𝑒 1 ) 2 3 −2t = 𝑙𝑛 − 3t 2

t = 𝑙𝑛

3 2

t = 0,40 (b) ¿Cuál es el valor de la máxima concentración? 1 −2(0,4) (𝑒 − 𝑒 −3(0,4) ) 2 1 𝑦(0,4) = (𝑒 −0,8 − 𝑒 −1,2 ) 2 1 𝑦(0,4) = (0.449 − 0,3) 2 𝑦(0,4) = 0,0745

𝑦(0,4) =

2. Un equipo de investigación médica determina que t días después del inicio de una epidemia 𝑁(𝑡) = 10𝑡 3 + 5𝑡 + √𝑡 Personas estarán infectadas. ¿A qué razón se incrementa la población infectada en el noveno día? 𝑁′(𝑡) = 30𝑡 2 + 5 +

1 2 √𝑡

Para t=9 entonces se tiene 𝑁′(9) = 30(9)2 + 5 +

1 2√9

= 2435,1

3. Un investigador médico estima que t horas después de introducirse una toxina, la población (en miles) de cierta colonia de bacterias será 𝑝(0) =

6 4+

𝑒 −0,01𝑡

+ 𝑒 0,003𝑡

(a) ¿Cuál es la cantidad inicial de bacterias (t=0)? (b) ¿Cuándo ocurre la máxima población? (c) ¿Cuál es el valor de la máxima población de la colonia?

Solución: (a) ¿Cuál es la cantidad inicial de bacterias (t=0)?

Cuando se introduce la toxina el tiempo es t=0:

𝑝(0) =

6 4+

𝑝(0) =

𝑒 −0,01𝑡

+ 𝑒 0,003𝑡

6 4 + 𝑒0 + 𝑒0

𝑝(0) =

6 4+1+1

𝑝(0) =

6 =1 6

1000 (b) ¿Cuándo ocurre la máxima población? U/V = (U’V-VU’)/V^2 constante -kV’/ V^2 𝑝(𝑡) =

6 4+

𝑒 −0,01𝑡

+ 𝑒 0,003𝑡

−6(−0,01𝑒 −0,01𝑡 + 0,003𝑒 0,003𝑡 ) 𝑝′(𝑡) = (4 + 𝑒 −0,01𝑡 + 𝑒 0,003𝑡 )2 𝑝′(𝑡) =

0=

0,06𝑒 −0,01𝑡 − 0,018𝑒 0,003𝑡 (4 + 𝑒 −0,01𝑡 + 𝑒 0,003𝑡 )2

0,06𝑒 −0,01𝑡 − 0,018𝑒 0,003𝑡 (4 + 𝑒 −0,01𝑡 + 𝑒 0,003𝑡 )2

0 = 0,06𝑒 −0,01𝑡 − 0,018𝑒 0,003𝑡

0,018𝑒 0,003𝑡 = 0,06𝑒 −0,01𝑡 𝑙𝑛(0,018𝑒 0,003𝑡 ) = 𝑙𝑛(0,06𝑒 −0,01𝑡 ) 𝑙𝑛0,018 + 𝑙𝑛(𝑒 0,003𝑡 ) = 𝑙𝑛0,06 + 𝑙𝑛(𝑒 −0,01𝑡 ) 𝑙𝑛0,018 + 0,003𝑡𝑙𝑛(𝑒 1 ) = 𝑙𝑛0,06 − 0,01𝑡𝑙𝑛(𝑒 1 ) 𝑙𝑛0,018 + 0,003𝑡 = 𝑙𝑛0,06 − 0,01𝑡 0,003𝑡 + 0,01𝑡 = 𝑙𝑛0,06 − 𝑙𝑛0,018 0,013𝑡 = −2,81 + 4,0173 0,013𝑡 = −2,81 + 4,0173 0,013𝑡 = 1,2073 𝑡=

1,2073 = 75,45625 0,013

(c) ¿Cuál es el valor de la máxima población de la colonia?

𝑝(75,4) =

6 4+

𝑝(75,4) = 𝑝(75,4) = 𝑝(75,4) =

𝑒 −0,01(75,4)

+ 𝑒 0,003(75,4)

6 4 + 𝑒 −0,754 + 𝑒 0,226 6 4 + 0,470 + 1,253

6 = 1,0483 4 + 0,470 + 1,253

1048 es la población máxima.

Existen varios modelos matemáticos en el estudio de enfermedades dinámicas como la leucemia y otras enfermedades que afectan a las células sanguíneas. Uno de estos modelos de producción de células sanguíneas fue desarrollado por A. Lasota en 1977 e involucra la función exponencial 𝑃(𝑥) = A𝑥 𝑠 𝑒

−𝑠𝑥 𝑟

donde A, s y r son constantes positivas y x es el número de glanulocitos(un tipo de glóbulos blancos) presentes. Si A = 10, s = 2 y r = 3, hallar el nivel x de glanulocitos de la sangre que maximizan la función de producción. u´v+uv’ 𝑃(𝑥) = 10𝑥 2 𝑒 𝑃(𝑥) = 20𝑥𝑒 0 = 20𝑥𝑒

−2𝑥 3

−2𝑥 3

−

−

−2𝑥 3

20 2 −2𝑥 𝑥 𝑒 3 3

20 2 −2𝑥 𝑥 𝑒 3 3

−2𝑥 20 2 −2𝑥 𝑥 𝑒 3 = 20𝑥𝑒 3 3 −2𝑥 1 −2𝑥 𝑥𝑒 3 = 𝑒 3 3 −2𝑥 1 −2𝑥 𝑙𝑛 ( 𝑥𝑒 3 ) = ln (𝑒 3 ) 3

1 −2𝑥 2 𝑙𝑛 ( 𝑥𝑒 3 ) = − 𝑥 3 3 1 2 2 𝑙𝑛 + ln𝑥 − 𝑥 = − 𝑥 3 3 3 −1,098 + ln𝑥 = 0 ln𝑥 = 1,098 e(ln𝑥) = e(1,098) 𝑥 = e(1,098) 2.99 Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo 1 𝑔(𝑡) = 100ln ( 𝑡 3 − 𝑡 2 − 5𝑡 + 20) 3 donde t se mide en días y g(t) es el número de individuos en el cultivo. (a) ¿Después de cuánto tiempo el número de individuos en la población es mínimo? (b) ¿A qué valor se aproxima dicho número mínimo de individuos?

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