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JEHOVANI MADRID RAMIREZ

U.P.F.I.M METODOS NUMERICOS

CARRERA: ING EN SISTEMAS COMPUTACIONALES ALUMNO: JEHOVANI MADRID RAMIREZ CUATRIMESTRE: 4TO

MAPA CONCEPTUAL Unidad

Méto do

Definición

Utilización

Métodos de diferencia ción e integració n numérica

Métod o del trapec io

En matemática la r egla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho

Descripción del método paso a paso (Ejemplo) La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadame nte el valor de la integral definida. La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la

Formula a utilizar.

función lineal. Se sigue que: Métodos de Simpson 1/3 y 3/8 La regla de Simpson tiene mayor aproximación que regla de los trapecios. En la regla de los trapecios los puntos sucesivos de la grafica y = f(x) se unen mediante líneas que forman los trapecios, en la regla de Simpson los Métod o de Simps on

En análisis numérico, la regla o método de Simpson, nombrada así en honor a Thomas Simpson (y a veces llamada regla de Kepler), es un método de integración numérica para obtener el valor aproximado de integrales definidas;

En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima una función f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma idea, pero

En este procedimiento , se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2 , y se sustituye la

específicamente es la aproximación

aproximando los subintervalos de f mediante polinomios de segundo grado

función f(x) po r la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es

Métodos de solución de ecuacione s diferencia les ordinarias

Métod o de Euler

En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

Consiste en dividir los intervalos que va de x_o\, a x_f\, en n\, subintervalos de ancho h\, ; o sea:

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema

La condición inicial y(x_o) = y_o \,, representa el punto P_o = (x_o, y_o)\, por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como F(x)= y \,.

Considere el problema de

h = {x_f - x_o \over n}\, de manera que se obtiene un conjunto discreto de n+1 \, puntos: x_o, x_1, x_2,.......,x_n\, del intervalo de interés [x_o,x_f]\, . Para cualquiera de estos puntos se cumple que: x_i = {x_0 + ih}, \, 0 \le i \le n \,.

calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial

Ya teniendo el punto P_o\, se puede evaluar la primera derivada de F(x)\, en ese punto; por lo tanto:

dada. Se puede pensar en la

F'(x) = {dy\over dx} \bigg\vert\begin{matrix}\\ {P_o}\end{matrix} = f(x_o,y_o)\,

ecuación diferencial como una fórmula que nos permite

Gráfica A. Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por P_o\, y de pendiente f(x_o, y_o)\,. Esta recta aproxima F(x)\, en una vecindad de x_o \,. Tómese la recta como reemplazo de F(x) \, y localícese en

calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en

ella (la recta) el valor de y\, correspondiente a x_1\,. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

cualquier punto de la

{y_1 - y_o\over x_1 - x_o} = f(x_o,y_o) \,

curva, siempre que el punto se

Se resuelve para y_1\,: y_1 = y_o+(x_1 - x_o) f (x_o,y_o) = y_o + h f(x_o, y_o) \,

conozca. La idea es que a pesar de que la

Es evidente que la ordenada y_1 \, calculada de esta manera no es igual a F (x_1)\,, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor y_1 \, sirve para que se aproxime F' (x) \, en el punto P = (x_1,y_1)\, y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es

Calculamos el valor de h \, tomando en cuenta que el n \, valor de divisiones es de 4 \, ; por lo tanto quedaría así:

conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede

h = {0.14 - 0.13 \over 4}=0.0025\, Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto:

computar la pendiente de la curva en el punto A0 y

por lo tanto la recta tangente a la curva. Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta

tangente a la curva en el punto A1.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE FRANCISCO I. MADERO Ingeniería en Sistemas Computacionales

LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE MÉTODOS DE DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Unidad IV y V DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN NOMBRE DE LOS ALUMNO(S): JEHOVANI MADRID RAMIREZ MATRICULA:1408033101

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE FRANCISCO I. MADERO Ingeniería en Sistemas Computacionales

LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE MÉTODOS DE DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Unidad IV y V DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN MATERIA: METODOS NUMERICOS FECHA: 06 de Abril del 2015 NOMBRE DEL MAESTRO: L.S.C. JULIETA ALEJANDRA PAZOS ALARCÓN INSTRUCCIONES Revisar las actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” anotar indicaciones que puedan ayudar al alumno a saber cuáles son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario. Característica a cumplir (Reactivo)

CUMPLE SI

NO

OBSERVACION ES

Puntualidad (5%). Entregó el trabajo en la fecha y hora señalada. Presentación (5%) El trabajo cumple con los requisitos de:  Portada e instrumento de evaluación. (1%)  Buena presentación (2%)  No tiene faltas de ortografía (1%)  Índice (1%) MÉTODOS DE DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA: Simpson________ Desarrollo 40%

Definición y Utilización. (5%) Una breve introducción de lo que es el método y para que se puede ocupar o que nos da de resultado. Descripción paso a paso. (30%) Con este ejemplo se desarrollara todo el método paso a paso describiendo con sus propias palabras lo que se realiza. De forma secuencial.

__Método del trapecio y

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LISTA DE COTEJO PARA REPORTE DE MÉTODOS DE DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Y METODO DE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Unidad IV y V DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN Formulas a utilizar. (5%) Se muestra el resultado final y se describe las fórmulas utilizadas en el método. MÉTODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: _

Desarrollo 40%

10%

Introducción. (5%) Una breve introducción de lo que es el método y para que se puede ocupar o que nos da de resultado. Ejemplo. (30%) Con este ejemplo se desarrollara todo el método paso a paso describiendo con sus propias palabras lo que se realiza. De forma secuencial. Interpretación. (5%) Se muestra el resultado final y se describe las fórmulas utilizadas en el método. Bibliografías. Mencionar las citas bibliográficas de donde se obtuvo la información. CALIFICACIÓN:

Método de Euler