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COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR DE MATEMÁTICAS E INFORMÁTICA

Dr. D. Alfonso Martínez Felipe

MÁSTER UNIVERSITARIO EN FORMACIÓN DEL PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA, BACHILLERATO, FORMACIÓN PROFESIONAL Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS Módulo de Específico

Internacional de Valencia

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Máster Universitario en Formación del Porfesorado de Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas Complementos para la formación disciplinar de Matemáticas e Informática Módulo Específico 6 ECTS

Dr. D. Alfonso Martínez Felipe

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Los términos resaltados a lo largo del contenido en color naranja se recogen en el apartado GLOSARIO.

Índice Índice Unidad de aprendizaje 1. LAS MATEMÁTICAS Y LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN. ASPECTOS HISTÓRICOS Y SOCIALES DEL DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO. . . . . . . . . 7 1.1. Desarrollo histórico de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Las matemáticas en la Antigüedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2. Nacimiento de la matemática moderna. Siglos XIX y XX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.3. La matemática reciente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2. Desarrollo histórico de las tecnologías de la información y de la comunicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3. Dimensión social y cultural de las matemáticas y las tecnologías de la información y de la comunicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4. Matemáticas y tecnologías de la información y de la comunicación en la educación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Unidad de aprendizaje 2. LAS MATEMÁTICAS Y LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y DE LA COMUNICACIÓN COMO DISCIPLINAS ESCOLARES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1. El currículo de las Matemáticas en Secundaria Obligatoria, Bachillerato y FP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.1. Criterios de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.2. Desarrollo del currículo en los distintos cursos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2. El currículo de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en Secundaria Obligatoria, Bachillerato y FP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.1. Tecnologías de la Información y de la Comunicación en ESO y Bachillerato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.2. Tecnologías de la Información y de la Comunicación en FP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Unidad de aprendizaje 3. RECURSOS DIDÁCTICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS Y LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y DE LA COMUNICACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . 67 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1. Reseña sobre didáctica en Matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Recursos y estrategias didácticos en las Matemáticas y en las Tecnologías de la Información y de la Comunicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3. Consideraciones sobre la docencia en matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 GLOSARIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Referencias jurídicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

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Unidad de aprendizaje 1

Las matemáticas y las tecnologías de la información y la comunicación. aspectos históricos y sociales del desarrollo del conocimiento

Antes del desarrollo de la unidad, presentamos los objetivos a alcanzar con su estudio: •• Profundizar en el desarrollo histórico y reciente de las matemáticas y de las tecnologías de la información y de la comunicación. •• Apreciar la relevancia de las matemáticas y de las tecnologías de la información y de la comunicación a nivel social y cultural. •• Conocer el papel en los procesos educativos de las matemáticas y de las tecnologías de la información y de la comunicación.

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Unidad de aprendizaje 1. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Aspectos históricos y sociales del desarrollo del conocimiento

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1.1. Desarrollo histórico de las matemáticas La definición de matemáticas según la Real Academia de la lengua Española, RAE, es (RAE, 2001): (Del lat. mathematĭca, y este del gr. τὰ μαθηματικά, der. de μάθημα, conocimiento).

f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing. Matemáticas aplicadas f. pl. Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos. Matemáticas puras f. pl. Estudio de la cantidad considerada en abstracto.” Ya en la propia definición se destaca el carácter aplicado de las matemáticas, dado que su historia está plagada de numerosos ejemplos sobre cómo modelar y resolver problemas físicos, astronómicos o mecánicos. Su inicio y desarrollo han estado relacionados con otras disciplinas. Enlace de interés School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Contiene información interesante sobre la historia de las Matemáticas. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ Enlace de interés The British Society for the History of Mathematics. Contiene información interesante sobre la historia de las Matemáticas. http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/ Tras una época de esplendor en la antigua Grecia, y tras siglos de cierto letargo durante la Edad Media, la evolución de la sociedad en los siglos XV al XVIII promueve un gran crecimiento de las matemáticas a través de las artes, la ciencia y la tecnología. Es a partir del siglo XIX cuando se profesionaliza el estudio propio de las matemáticas (matemáticas puras), y su desarrollo ha sido potenciado en la segunda mitad del siglo XX por la aplicación de técnicas de computación avanzadas.

En este primer apartado se exponen los aspectos más relevantes sobre el nacimiento, evolución y estado actual de las Matemáticas desde una perspectiva histórica, que pueden servir al futuro docente para comprender la relevancia y el contexto de algunos de los conceptos que deberá transmitir.

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1.1.1. Las matemáticas en la Antigüedad Se puede considerar que las matemáticas nacen cuando la razón humana es capaz de abstraer, contar objetos y representarlos, y en esa representación está esquematizando y simbolizando un concepto. Los especialistas relacionan el comienzo de las Matemáticas con el de la inteligencia humana, y se considera que la humanidad fue capaz de calcular, medir y crear figuras geométricas antes de dominar la lectura (Felipe, 2005; Stewart, 2008). Sumeria Antiguo Egipto Antigüedad

Babilonia China India Alejandría

Grecia (s. VI-III a.C.)

Tales

Euclides

Pitágoras

Arquímedes

Platón

Eratóstenes

Aristóteles

Hiparco de Nicea Apolonio Heron Pappus

Roma (s. II a. C.-VI d. C.)

Diofanto Hipatia Ibn Yunus

Periodo árabe/Edad Media (s. VI-XV)

Khwarizmi Govindaswami Nasir al Din al-Tusi

Fibonacci Müller Abraham Zacuto

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Alonso de Santa Cruz Renacimiento (s. XV-XVII)

Viète Ferrari Tartaglia Cardano

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Leonardo da Vinci

D'Alembert

Kepler

Taylor

Bernoulli

Laplace

Pascal

Newton

Fermat

Leibniz

Descartes

Fourier

Abel

Matemáticas modernas (s. XIX-XX)

Cayley

Fisher

Gauss

Cauchy

Hamilton

Riemann

Ruffini

Dirichlet

Hilbert

Kolmogórov

Lie

Weierstrass

Hilbert Möbius Lebesgue Sylvester Poincaré

Riemann Matemáticas actuales (s.XXI)

Desarrollo tecnológico Tabla 1. Cronograma de evolución histórica.

Los documentos matemáticos más antiguos que se conservan corresponden a la civilización sumeria (3000 a. C.), y consisten en inscripciones de tipo cuneiforme en arcilla. Asimismo, otras evidencias permiten estudiar el desarrollo que tuvo lugar en el antiguo Egipto, Babilonia y en las antiguas China e India: •• Numerosos documentos muestran como babilonios y egipcios ya disponían de cierto conocimiento sobre sistemas de cálculos completos para los enteros y racionales positivos, cálculo de volúmenes, áreas y longitudes. De la necesidad de calcular áreas de tierras, volúmenes de graneros y grandes construcciones nace la geometría egipcia como un conocimiento empírico, de interés técnico, pero con una generalidad sobre las reglas empleadas. Existen dos grandes papiros de carácter matemático, datados en el 2000 a. C., con información sobre resolución de problemas utilizando fracciones, áreas de figuras geométricas y una aproximación del número π ≈ 3,16. •• La geometría babilónica no alcanzó el mismo desarrollo que la egipcia en la medición de objetos esféricos y pirámides. Sin embargo, desarrollaró avances en reglas de rectángulos, triángulos rectángulos e isósceles y ciertos trapecios, y existen referencias al valor de π ≈ 3,125 en algunas

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tablillas de la antigua Babilonia. Particularmente, los avances más notables se produjeron en sus trabajos relacionados con el teorema de Pitágoras y sobre los triángulos semejantes, que precedieron que precedieron mil años los trabajos de los griegos, así como en el desarrollo de rudimentos de medición de ángulos y relaciones trigonométricas. •• La cultura en las antiguas India y China estaba muy relacionada con las matemáticas. Pese a que se conserva una cantidad limitada de información, se atribuye al sistema de numeración decimal con el cero y las reglas de cálculo de origen hindú.

Figura 1. Evidencias de desarrollo matemático en la antigüedad.

Periodo griego Se considera que la matemática teórica tiene sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia clásica. Los griegos conocían los papiros egipcios y adoptaron el alfabeto fenicio, dotándolo de vocales. En esta época se fija el origen del álgebra, basada en la demostración formal de las reglas de cálculo a través del método deductivo, aplicada a la geometría. La sustitución de la experimentación por el método deductivo convierte a la Geometría en la primera ciencia de la historia. Es posible delimitar el periodo de esplendor de la Grecia antigua (o clásica) entre los años 600 a. C. y 300 a. C., y dividirlo en dos escuelas: la escuela platónica o formalista y la escuela de Alejandría, que se inicia con la revolución antiplatónica de Arquímedes. Tales (640-546 a. C.) y Pitágoras (585-497 a. C.) se consideran los grandes exponentes de la cultura matemática del siglo VI a. C. Ambos crearon sendas escuelas, a las que les sucedieron las fundadas por Platón (427-347 a. C.) y Aristóteles (384-322 a. C.) (figura 2): •• Pitágoras trabajó problemas sobre la cuadratura del círculo y una serie de áreas acotadas por líneas curvas, así como la trisección de un ángulo. Sus trabajos dieron lugar a un cálculo más general, de forma geométrica, que recibió el nombre de álgebra geométrica. Sus elementos primarios dieron como resultado los segmentos de recta, a partir de los que se definieron las operaciones de cálculo. •• En el año 387 a. C. Platón fundó la Academia de Atenas, un centro de educación superior dotado con una estructura de universidad (figura 3). Para él, cálculo y geometría eran los instrumentos ideales para la razón y su práctica mejoraba la capacidad de razonar en abstracto. El individuo entrenado en la matemática posee una mayor agilidad y orden para encontrar la verdad, y la ciencia se convierte para Platón en una realidad deductiva.

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•• Más tarde, Aristóteles creó el Liceo, un segundo centro de enseñanza superior de referencia en la Grecia antigua. Aristóteles también compartía la visión de la ciencia como herramienta para conocer lo universal, pero en este caso mediante una combinación de la inducción y la deducción a través de la observación. Fue entonces cuando las Matemáticas se postularon como una sucesión lógica de teoremas y problemas que utilizan un mínimo de elementos primarios, los axiomas.

Figura 2. Imágenes de Platón y Aristóteles.

Figura 3. Academia de Atenas.

El Museo de Alejandría se considera el verdadero centro de educación e investigación del mundo antiguo, particularmente su biblioteca, que antes de su incendio contaba con más de 500 000 volúmenes. Los alejandrinos eran grandes ingenieros y crearon numerosos aparatos mecánicos, tales como bombas de agua y poleas, y poseían también conocimientos avanzados sobre los fenómenos de la luz y el sonido. Los matemáticos de la época calculaban centros de gravedad de los cuerpos y desarrollaron la física matemática y la astronomía. Gracias al uso de los números irracionales, realizaron enormes progresos en la trigonometría plana y esférica:

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•• De entre todos los científicos y matemáticos notables de Alejandría, cabe señalar la obra de Euclides (siglo IV-III a. C.), que consistió en al menos una docena de obras de las cuales se conservan dos: Los elementos y Los datos. Los elementos de Euclides están constituidos por trece libros y tratan sobre geometría plana (libros I-IV), teoría de números racionales (libros VII-IX), irracionalidades y geometría en el espacio (X-XIII). Obtuvo un reconocimiento general y se convirtió en una obra de referencia para la geometría hasta mediados del siglo XIX.

Cabe resaltar que el método axiomático de Euclides persigue la búsqueda de una definición esencial de los conceptos básicos de la geometría, por lo que se adelantó a la axiomatización de la matemática actual.

•• Arquímedes (287-212 a. C.) difundió su trabajo en forma de cartas, de las cuales se conservan diez trabajos extensos y otros más reducidos. Su obra se basa en la aplicación de rigurosos métodos matemáticos en la mecánica y física, con numerosos inventos como el tornillo arquimediano, sistemas de palancas, bloques y tornillos, el planetario y las catapultas (figura 7). Sus trabajos incluyen el cálculo de áreas y volúmenes por aproximaciones sucesivas (matemáticas), la introducción del centro de gravedad de figuras planas y sólidas (mecánica) y el principio que lleva su nombre en hidrostática. También poseía conocimientos de astronomía. Entre sus contribuciones destaca la demostración de que el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro circunscrito y de que la superficie de la esfera es cuatro veces mayor que la de su círculo máximo. Arquímedes también obtuvo un valor aproximado de π comprendido entre 22/7 y 221/71.

Figura 4. Invenciones de Arquímedes.

•• Eratóstenes (276-194 a. C.) fue contemporáneo de Arquímedes y a él se atribuyen sus intentos de medir el tamaño de la Tierra mediante semejanza de triángulos (obtuvo un valor aproximado para el meridiano de 39 690 km) y la creación del calendario posteriormente conocido como calendario juliano. Entre otras tareas destacó por recopilar el conocimiento geográfico del momento, en una obra llamada geografía. Otro contemporáneo de Arquímedes fue Apolonio (260190 a. C.), quien desarrolló su conocimiento en el área de las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) utilizando cortes de planos sobre un cono oblicuo y agudo. Los resultados de esta teoría fueron utilizados más tarde para la creación de la geometría analítica. •• Probablemente el último de los grandes matemáticos de esta época alejandrina fue Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), referenciado extensamente por Ptolomeo (170-100 a. C.). Se le considera el creador de la astronomía matemática y de la trigonometría plana y esférica al elaborar

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una tabla de cuerdas (relaciones entre los valores de ángulos y lados de un triángulo), equivalente a las posteriores tablas de senos trigonométricos. Aplicó estos conocimientos a sus trabajos geográficos y propuso el uso de las coordenadas (latitud y longitud), meridianos y paralelos. En sus trabajos sobre las cuerdas de ángulos obtuvo un valor de π ≈ 3,14166, correspondiente a tres cifras decimales exactas. Periodo del Imperio romano Durante el dominio de Roma los métodos y problemas prácticos de cálculo fueron intereses centrales. Tal es el caso de los trabajos de Heron de Alejandría (siglo IV), particularmente en métrica. Esta obra incluye la determinación exacta y aproximada del área de figuras geométricas y volúmenes de cuerpos, la resolución numérica de ecuaciones cuadráticas y la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, así como la generación de diversos métodos geodésicos. En este contexto, Diofanto (siglo III) y Pappus (siglos II-IV) representan probablemente el auge del álgebra grecoalejandrina. Cabe destacar sus contribuciones a la aritmética, con reglas de signos en multiplicación, en operaciones con polinomios, en ecuaciones lineales, en ecuaciones con raíces racionales, el cálculo de áreas y volúmenes en figuras obtenidas por el giro en torno a un eje exterior, etc. La caída del Imperio romano supuso la destrucción de muchos centros científicos y la pérdida del apoyo material del Estado. En el año 412, el último grupo de científicos de Alejandría fue dispersado e Hipatia (370-415), su dirigente y la primera mujer matemática que conoció la historia, fue ejecutada y la biblioteca destruida. Los científicos que quedaron vivos se reunieron en Atenas, donde trabajaron hasta el año 529, cuando las autoridades prohibieron su actividad. Las matemáticas en Asia central y Medio Oriente Durante los siglos VII y VIII tuvo lugar la expansión del pueblo árabe desde la India hasta España. Aunque acabaron con la cultura Alejandrina, recogieron el saber griego e hindú, lo que provocó un relevo de civilizaciones,ya que se difundió por toda Europa el nuevo sistema de numeración de los hindúes. Debido a una necesidad práctica, los conocimientos matemáticos eran exigidos por la dirección del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y la artesanía. Los viajes y relaciones internacionales impulsaron el desarrollo de las matemáticas, geografía y astronomía, se construyeron observatorios y se formaron bibliotecas de obras antiguas. Los pueblos árabes trabajaban con dos sistemas de numeración: el decimal absoluto y el sexagesimal: •• El primero fue adaptado de la India antes del siglo VII y obtuvo una amplia difusión en Europa, particularmente gracias al tratado aritmético de Khwarizmi (siglo IX), que fue traducido al latín en el siglo XII. •• El sistema sexagesimal, heredado de los babilonios, se conservó y se utilizó regularmente en observatorios astronómicos. Existian reglas de conversión entre ambos sistemas.

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Figura 5. Imagen y tratado aritmético de Khwarizmi.

Los matemáticos árabes desarrollaron numerosos procedimientos de cálculo y algoritmos, con especial atención a las raíces cuadradas de números y a la suma de progresiones aritméticas y geométricas.

Precisamente la obra de Khwarizmi permitió impulsar el álgebra en Europa. Esta obra sobre las operaciones restablecimiento (jabr) y reducción (qabala) expone el traslado de términos y la reducción de términos semejantes en ecuaciones. A partir de esta y otras contribuciones se construyó la teoría de la resolución de ecuaciones cúbicas. Los árabes realizaron una selección de las aportaciones hindúes y helénicas, y elaboraron una rama científica con notas propias. Se considera que las tres aportaciones fundamentales de la trigonometría árabe son: 1. El establecimiento de funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente, secante y cosecante). 2. La deducción del teorema del seno para la resolución de triángulos y otras ecuaciones trigonométricas (atribuida a Nasir al Din al-Tusi, siglo XIII). 3. La elaboración de tablas trigonométricas de elevada precisión, utilizando diferentes métodos de interpolación (tales como las creadas en el siglo VIII por el astrónomo Govindaswami, o por Ibn Yunus en el siglo XIII).

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Mientras que la trigonometría árabe fue una ciencia independiente, posteriormente se desarrolló desde la segunda mitad del siglo XVI en Europa bajo la influencia de la navegación y la astronomía.

Las matemáticas en la Edad Media Durante los siglos V al X transcurre un largo proceso de relaciones feudales en Europa que provoca la destrucción de la vida urbana y un retroceso considerable del mundo de la cultura en general, y de los conocimientos matemáticos en particular (Páez, 2010). No se conoce ningún descubrimiento u obra matemática durante este periodo, y las matemáticas quedan prácticamente reducidas a la aritmética elemental. La enseñanza resulta un ejercicio rutinario basado en el aprendizaje memorístico de problemas estándar y de las operaciones necesarias para resolverlos. Es a partir del siglo XII, con la aparición de las primeras universidades en Europa (Bolonia, Salerno, Oxford, París, Cambridge, etc.), y especialmente en el siglo XIII cuando existe cierta animación de las matemáticas gracias fundamentalmente a los trabajos matemáticos de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. Es el primero de una serie de autores que traducen obras griegas, árabes e hindúes, que consiguen que las obras de Khwarizmi, Apolonio y Euclides sean accesibles.

Figura 6. Universidades Europeas en la Edad Media.

Las matemáticas se desarrollan entonces en dos direcciones fundamentales: el perfeccionamiento de la simbología algebraica, asociada a la astronomía, y la formación de la trigonometría como ciencia particular.

En España, los árabes cultivaron las ciencias y establecieron escuelas, academias y bibliotecas en Córdoba, Granada y Sevilla, entre otras ciudades. Los españoles árabes, judíos y cristianos participaron de estas enseñanzas y las difundieron a otras naciones rápidamente. El desarrollo de las matemáticas tuvo lugar tanto a nivel abstracto como a nivel práctico, se aplicó a varias facultades y profesiones, especialmente a la marina. Se produjeron entonces numerosos tratados de aritmética, álgebra, geometría y trigonometría esférica, a partir de conocimientos adquiridos en sus viajes.

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En este contexto, en 1252 se publicaron las Tablas Alfonsinas, que se refieren a todos los movimientos y fenómenos celestes al meridiano de Toledo, de aplicación al calendario solar y lunar. Estas tablas supusieron la transición del uso de los números romanos a los números árabes, y estuvieron en vigor hasta el siglo XVII, al ser desplazadas por otras basadas en métodos de Kepler (1571-1630). El avance de las matemáticas en el siglo XV estuvo marcado por las navegaciones lejanas, el descubrimiento de América, la navegación alrededor de África (1492) o la vuelta al mundo (1519), así como por el descubrimiento y la demostración de la teoría heliocéntrica de Copérnico (1473-1543). Destacan las obras de Müller (1436-1476) sobre la determinación de triángulos planos y esféricos y el trabajo astrológico del médico salmantino Abraham Zacuto (1452). Las matemáticas en el Renacimiento hasta el siglo XVIII Uno de los objetivos principales del Renacimiento europeo fue la medición de la Tierra, a través de la geografía de Ptolomeo, y gracias al impulso de la imprenta y al auge de la navegación. En este contexto se enmarca el trabajo de diversos humanistas, tales como Antonio de Nebrija y Alonso de Santa Cruz, entre otros. Motivada por exigencias bélicas, la trigonometría evolucionó y fue necesario crear y educar un cuerpo de ingeniería, que en España cristalizó con la fundación de la Academia de Matemáticas en 1583 por Felipe II. Mientras, el auge del comercio impulsó el uso del cálculo, utilizando cifras árabes: adición, multiplicación, fracciones y reglas de tres, con lo que se desarrolló el álgebra de forma independiente a la geometría. En Italia se produce una renovación del álgebra durante los siglos XV y XVI, en la que diversos autores (como Tartaglia, 1500-1557; Cardano, 1501-1576; Ferrari, 1522-1565; o Viète, 1540-1603) aportan la solución definitiva a las ecuaciones de tercer y cuarto grado introduciendo inconscientemente los números imaginarios, e introducen una simbología que sustituye a la retórica. En esta época destaca la relación entre arte, dibujo y representaciones geométricas de las proyecciones, como muestra la combinación de intereses matemáticos y artísticos de Leonardo da Vinci (1452-1519, figura 7) o Alberto Durero (1471-1528).

Figura 7. Imágenes de Leonardo da Vinci.

En el siglo XVI se trabajaron numerosos problemas práctico-computacionales, relacionados con la confección de tablas trigonométricas y el valor de π. Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571- 1630) trabajaron en estos aspectos, mientras que Napier (1550-1617) y Briggs (1561-1630) desarrollaron tablas con logaritmos, que se convirtieron en un instrumento auxiliar insustituible en los cálculos. Asimismo, se avanzó en métodos de cálculo para la solución numérica de ecuaciones algebraicas, como muestran los trabajos de Newton (1642-1727) para la búsqueda aproximada de las raíces de las ecuaciones, todavía vigentes.

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La mayoría de los científicos eran multidisciplinares, y fue precisamente entonces cuando surgieron las organizaciones científicas y las publicaciones periódicas. A partir del siglo XVII comienzan casi todas las disciplinas matemáticas, tales como la geometría proyectiva (Desargues, 1593-1663; Pascal, 1623-1662) o la probabilidad mediante la introducción de la esperanza matemática (Bernoulli, 16541705; Descartes, 1596-1650; Fermat, 1623-1662). Precisamente Fermat impulsó el desarrollo independiente del álgebra respecto a la geometría analítica mediante la teoría general de las ecuaciones, y se considera el iniciador de la teoría de los números.

Figura 8. Tablas de logaritmos, Napier.

El avance de la ciencia y la mecánica durante los siglos XVII y XVIII propició el desarrollo del cálculo infinitesimal. La determinación de tangentes a curvas planas, así como los conceptos de velocidad y aceleración, condujeron a la noción de derivada, mientras que la medida de áreas y volúmenes y la determinación de movimientos de velocidad dieron origen al cálculo integral.

En la creación del análisis infinitesimal tomaron parte diversos científicos como Kepler, Galileo, Descartes, Fermat, Pascal y especialmente Cavalieri (1598-1647), con su obra La geometría, expuesta por el nuevo método, con ayuda de los indivisibles del continuo, publicada en 1635, o Barrow (1630-1677), con su método para la determinación de la tangente a una curva y la introducción del término "derivada". Durante el siglo XVII destacan dos grandes científicos europeos: Newton y Leibniz (1464-1716), (figura 9). Mientras Newton publica en Principia numerosos resultados sobre desarrollos de funciones en series de potencias, la relación entre derivación e integración y la concepción de variables como expresión de movimiento, Leibniz desarrolla un estudio claro sobre las series y su convergencia, e introduce un simbolismo que todavía perdura (f para la función, d para la diferencial, s para la integral, etc.). El valor práctico del cálculo de Leibniz y su sencillez operativa lo convirtieron en el centro de las matemáticas y su rivalidad con Newton, en motivo de polémica entre matemáticos ingleses y europeos.

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Figura 9. Imágenes de Newton y Leibniz.

Durante el siglo XVIII se crean en las grandes ciudades europeas varias Academias de la Ciencia subsidiadas por el Estado, especialmente en Francia, Inglaterra, Alemania y Rusia, y en la sociedad surge una notable capa de científicos profesionales, entre los cuales se encuentran los matemáticos, cuya principal responsabilidad es la investigación científica y la enseñanza.

Se producen entonces avances en diferentes campos de las matemáticas: •• La resolución de ecuaciones diferenciales (hermanos Jacob [1654-1705] y Johan [1667-1748] Bernoulli). •• El estudio probabilístico (Moivre(Moivre, 1667-1754; Laplace, 1749-1827; Legendre, 1752-1833; y Gauss, 1777-1855). •• La geometría diferencial (Clairaut, 1713-1765). •• El cálculo infinitesimal. En este último campo destaca la aportación del que probablemente sea el matemático más sobresaliente del siglo XVIII, Leonard Euler (1707 : 1780). Euler dejó un gran legado (más de 850 obras) con aportaciones al álgebra y al cálculo infinitesimal: a él se debe notación de i = -1, del símbolo Z o de las constantes π y e. Otros matemáticos, tales como Joseph Fourier (1768-1830), Dirichlet (1805-1859), Lagrange (1736-1813), y D’Alembert (1717-1783), destacaron por sus trabajos sobre análisis algebraicos y las series de potencias. En el caso del álgebra, los esfuerzos se centraron en la teoría de las ecuaciones algebraicas, la existencia, propiedades y cálculo de raíces de una ecuación. En este campo, destacan los hallazgos del propio Newton, Ruffini (1765-1822) y Horner, ya en el siguiente siglo.

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Figura 10. Imagen de Gauss y Euler.

1.1.2. Nacimiento de la matemática moderna. Siglos XIX y XX Tras la revolución científica de los siglos XVII y XVIII, en la que las matemáticas se concentran en aspectos físicos y técnicos, a partir del siglo XIX se desarrollan con mayor importancia los aspectos formales (a través del rigor) que permiten la profesionalización de las matemáticas (Felipe, 2005; Hormigón, 1992). En general no existe una definición unívoca para la matemática moderna, sino que se asocia a un proceso de abstracción del estudio matemático, especialmente acusado a partir del siglo XIX: •• Se llevan a cabo esfuerzos en el campo de la geometría sobre superficies por Riemann (18261866) y el propio Gauss, que dieron lugar al cálculo diferencial absoluto. El álgebra experimentó grandes avances, relacionados con los esfuerzos para lograr la resolución de ecuaciones de grado superior a cuatro, y Ruffini y Abel (1802-1829) demostraron la imposibilidad de alcanzar dicho objetivo. •• El estudio de las estructuras algebraicas se convirtió en un fin en sí mismo. Se desarrolló la teoría de grupos y cuerpos (Cayley, Lie, Dedekind, Kummer, Hilbert, Kronecker, etc.), se formó y desarrolló el álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices, se desarrolló el cálculo vectorial, el cálculo tensorial, la notación vectorial de números complejos, etc. Estos avances fueron posibles gracias al trabajo de numerosos matemáticos, tales como Grassmann (1809-1877), Möbius (17901868), Hamilton (1805-1865), Sylvester (1814-1879) y Toeplitz, entre muchos otros.

Figura 11. Cinta de Frobenius.

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•• El análisis matemático se fundamenta a partir de este siglo XIX en la teoría de límites y funciones, que experimenta un avance considerable gracias a trabajos de, entre otros, Dirichlet, Riemann, Lebesgue (1875-1941) o Cauchy (1789-1857), sobre integrales y series y su convergencia. Estos trabajos llevaron a la definición de los números reales por varios matemáticos (Weierstrass, 1815-1895; Dedekind, 1831-1916; Cantor, 1845-1918; Schwarz, 1845-1921). •• En el siglo XIX también resurgió de nuevo la geometría con distintos puntos de vista, basados en la axiomatización, a partir de los trabajos de diversos matemáticos como Riemann, Beltrami (1835-1900), Lobachewski (1792-1856) o Klein (1849-1925). Continuó el desarrollo de la geometría analítica surgida en el siglo XVII, se construyó una nueva geometría imaginaria y se clasificaron diversos tipos de geometría a partir de las acciones de transformaciones (geometría proyectiva, afín, métrica, euclideana, no euclideana, etc.). •• La estadística también experimenta una transición de los métodos meramente descriptivos, utilizando como fundamento el cálculo de probabilidades. La investigación en física y astronomía se centra en contrastar la predicción de la teoría con los datos, y en extender su aplicación a otros campos. Durante esta época se desarrollan métodos de predicción de variables, el método de mínimos cuadrados, las estimaciones numéricas de errores, métodos de inferencia, la selección de modelos a partir de datos empíricos, la estimación de parámetros condicionados a la bondad del modelo, etc. Algunos de los matemáticos que contribuyeron a este campo en los siglos XIX y XX son Legendre (1752-1833), Gauss (1777-1855) o Chebyshev (1821-1894), Markov (1856-1922), Liapunov (1857-1918), Galton (1822-1911), Pearson (1857-1936), Kolmogórov (19031987), Schwartz (1915-2002) y especialmente Fisher (1890-1962). Un enorme número de ciencias se han beneficiado de los métodos estadísticos, tales como la biología, las ciencias económicas, la sociología, la medicina, etc., culminando con el desarrollo de la investigación operativa a partir de la investigación estadística y los nuevos métodos de programación matemática.

En el siglo XX continúa el avance de las matemáticas como profesión, con la formación de doctores y salidas laborales en la industria y la educación.

Son tres los teoremas dominantes en el siglo pasado: los teoremas de incompletitud de Gödel; la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, que implica la demostración del último teorema de Fermat; y la demostración de las conjeturas de Weil por Pierre Deligne. Los avances se centran en diversas áreas como las probabilidades, la topología, la geometría diferencial, la geometría algebraica o la lógica, entre otras. El punto de partida del siglo lo puso David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900, quien propuso una lista de 23 problemas matemáticos de distintas áreas (figura 12). Muchos matemáticos han centrado sus trabajos en estos problemas, y a fecha de 2011 diez de ellos han sido resueltos y siete parcialmente resueltos, mientras que dos siguen abiertos. No existe acuerdo para decidir si los cuatro restantes han sido formalmente resueltos o no.

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Figura 12. David Hilbert.

Algunos aspectos centrales del avance matemático del siglo XX son: •• La clasificación de grupos finitos simples (también llamada el teorema enorme), incluyendo 500 artículos de 100 autores entre 1955 y 1983. •• El desarrollo de la geometría diferencial como objeto en la relatividad general. •• El nacimiento de nuevas disciplinas como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von Neumann. •• La creación de una teoría de categorías y el relanzamiento de la geometría algebraica utilizando la teoría de haces, por parte de Grothendieck y Serre. •• Grandes avances en el estudio cualitativo de la teoría de sistemas dinámicos, presentada previamente por Poincaré en 1890. •• El desarrollo de la teoría de la medida, incluyendo la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogórov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. •• La ampliación de la teoría de nudos o el análisis funcional, a partir de la mecánica cuántica. •• La aparición de nuevas áreas, tales como la teoría de distribuciones (Laurent Schwartz), los teoremas de punto fijo, la teoría de la singularidad, la teoría de las catástrofes (René Thom) o la teoría de modelos o los fractales de Mandelbrot. •• La relevancia de la teoría de Lie, constituida por los grupos de Lie y las álgebras de Lie.

1.1.3. La matemática reciente El papel de la matemática en la actualidad debe entenderse a partir de los avances científicos de los últimos siglos, como necesidad de describir, comprender y predecir fenómenos reales relacionados con la física, la química, la biología,o las ciencias sociales y económicas:

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•• Los avances científicos producidos en el siglo XVII por el análisis matemático permitieron racionalizar fenómenos cinemáticos, mecánicos, físicos y químicos, con aplicación al bienestar humano. •• A partir de la Revolución Industrial, la investigación científica se convierte en el verdadero motor del progreso técnico, con el empleo del vapor para producir trabajo, obra de Watt. Así surge la termodinámica como ciencia nueva, que aplica los estudios de Fourier y Carnot para el uso del vapor como fuente de energía. En 1765 la antigua artesanía desaparece y deja paso a la industria mecanizada a gran escala.

Figura 13. Ilustraciones sobre la revolución industrial.

•• La técnica se ha desarrollado impulsada por la necesidad de dominar fuentes de energía cada vez más intensas y más fáciles de utilizar. El descubrimiento de la electricidad, a partir de la segunda mitad del siglo XIX, ha marcado la evolución tecnológica de los dos últimos siglos (iluminación, Edison en 1879, construcción del primer motor eléctrico, etc.). El aprovechamiento de la energía mecánica de los saltos de agua para su transformación en energía eléctrica fue posible gracias al estudio matemático previo de la hidrodinámica y el electromagnetismo de Maxwell en 1869. Del conocimiento de la electricidad y de su trasmisión surgieron rápidamente aplicaciones a las comunicaciones. En 1873 Morse construyó la primera instalación telegráfica y Bell el primer teléfono en 1876. El descubrimiento de las ondas electromagnéticas realizado por Hertz y el uso práctico que de ellas hizo Marconi unos años más tarde abrieron la puerta de la tecnología de las telecomunicaciones. La tecnología del siglo XX se ha caracterizado por la generalización del uso de productos energéticos derivados del petróleo, la electricidad, la electrónica y la energía nuclear. La disponibilidad de combustibles derivados del petróleo, con gran capacidad calorífica, ha permitido el desarrollo del motor de combustión interna y su aplicación generalizada a los transportes.

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A partir de la Segunda Guerra Mundial, las instituciones sociales y la forma de pensamiento pusieron a la ciencia aplicada en primera línea del desarrollo tecnológico. Se fomentaron disciplinas como el álgebra lineal y la propagación de ondas electromagnéticas, por ser de aplicación inmediata.

La teoría de las ecuaciones en derivadas parciales y la estadística estaban poco desarrolladas en relación con el potencial que presentaban: En este campo cabe destacar las contribuciones de un grupo de matemáticos emigrantes llegados de Europa tras la guerra, entre los que se encontraban Courant, Friedrichs, Lewy y Von Neumann, quienes introdujeron el concepto de estabilidad numérica que dió paso al estudio moderno de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales y su extensión a sistemas más generales. La técnica de la aviación se encuentra aún en pleno progreso, con métodos modernos de propulsión y vuelo supersónico que utilizan la teoría de ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico. Las imágenes producidas por los satélites artificiales están provocando nuevos avances en las técnicas de fotogrametría, cartografía, geodesia y teledetección. El gran desarrollo de la electrónica, aplicado a las telecomunicaciones y a la informática actual, ha supuesto lo que ha dado en llamarse la Segunda Revolución Industrial.

Todo ello ha dado lugar a un espectacular avance de la matemática aplicada, debido al crecimiento de la velocidad de computación y al aumento de la capacidad de almacenamiento de datos, pero también a software, más específico y a la invención de nuevos e inteligentes algoritmos de programación. Los métodos matemáticos, de complejidad creciente y variada aplicación en todas las áreas científicas, requieren el trabajo de analistas especializados que los perfeccionan y resuelven los arduos problemas matemáticos.

Desde el punto de vista teórico, el Clay Mathematics Institute propuso en 2000 los siete problemas del milenio, mientras que la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelmán en 2003. En la actualidad, la mayoría de las revistas especializadas de matemáticas pueden consultarse en sus versiones online e impresas, para centros de investigación o particulares con suscripciones. Este rápido avance del conocimiento se ve beneficiado por la creciente popularidad de las revistas open access, de acceso libre. Enlaces de interés Clay Mathematics Institute. Sitio web del célebre instituto, activo en investigaciones recientes sobre matemáticas. http://www.claymath.org

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Enlaces de interés Universidad EAFIT. Enlace en el que se pueden consultar los títulos de las revistas asociadas al campo de las matemáticas. http://publicaciones.eafit.edu.co/index.php/revista-universidad-eafit/

1.2. Desarrollo histórico de las tecnologías de la información y de la comunicación Existen numerosas definiciones de tecnologías de la información y de la comunicación (tic), entre ellas: “En líneas generales podríamos decir que las nuevas tecnologías de la información y de la comunicación son las que giran en torno a tres medios básicos: la informática, la microelectrónica y las telecomunicaciones; pero giran no solo de forma aislada, sino, lo que es más significativo, de manera interactiva e interconexionadas, lo que permite conseguir nuevas realidades comunicativas” (Cabero, 1998). Thompson y Strickland, Strickland (2004) definen las tecnologías de la información y de la comunicación como “aquellos dispositivos, herramientas, equipos y componentes electrónicos capaces de manipular información que soportan el desarrollo y crecimiento económico de cualquier organización”. Las tecnologías de la información y de la comunicación se desarrollaron a partir de los avances realizados en el ámbito de la informática y las telecomunicaciones. Por ello, los elementos más representativos de las tecnologías de la información y de la comunicación son el ordenador e Internet. El término "informática" es una contracción de las palabras information y automatic (información automática) y fue acuñado en 1957 por el alemán Karl Steinbuch. Inicialmente, se refirió a la capacidad de los computadores para almacenar y procesar información (Gil, 1987). El Diccionario de la lengua española de la Real Academia Española define la informática como (RAE, 2001): “Conjunto de conocimientos científicos y técnicas que hacen posible el tratamiento automático de la información por medio de ordenadores”. La informática es la disciplina relacionada con el estudio de métodos, procesos, técnicas y desarrollos y su utilización en ordenadores (computadoras). Está dirigida a almacenar, procesar y transmitir información y datos en formato digital. En el mundo anglosajón, por motivos de propiedad intelectual, esta disciplina se conoce como computer science, mientras que el término information technology está reservado a las tecnologías de la información, en referencia al tratamiento automático de esta. El nacimiento y desarrollo de la informática corresponde al trabajo de una serie de ideas, avances y aportaciones de científicos y tecnólogos relacionados con áreas de la electrónica, la mecánica, los semiconductores, la lógica, el álgebra y la programación, entre otras. Posiblemente la primera máquina de hacer cálculos puede considerarse el ábaco de la era babilónica (3500 a. C.). Es un simple artefacto para realizar operaciones aritméticas sencillas con bolas deslizantes sobre barras de madera y con poco valor pedagógico actual.

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Figura 14. Imagen de un ábaco e ilustraciones de máquinas calculadoras del siglo XIX.

En la era moderna, los precedentes en el desarrollo de la informática pueden fijarse a partir del siglo XVII, con la invención de los denominados huesos de Napier (figura 14), por parte del matemático escocés John Napier (1550-1617), célebre por el desarrollo de los logaritmos. Su sistema consistía en plasmar los dígitos en unos cilindros fabricados con marfil, que permitían realizar operaciones aritméticas. Esta invención promovió el desarrollo en ese mismo siglo de diversos aparatos de cálculo: •• La primera calculadora mecánica por Wilhelm Schickard. •• La primera regla deslizante, por el matemático inglés William Oughtred. •• La pascalina, por Blaise Pascal. •• La primera máquina de multiplicar, por Sir Samuel Morland. •• La primera calculadora de propósito general, inventada por el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1673, permitía realizar multiplicaciones y divisiones. El sistema diseñado por Leibniz se usó en años posteriores para fabricar calculadoras mecánicas durante el siglo XVIII. Durante el siglo XIX se retomaron los esfuerzos en el desarrollo de nuevas máquinas: •• En 1801 el francés Joseph Marie Jacquard presenta sus tarjetas perforadas, que podían controlar automáticamente los dibujos usando una línea de tarjetas agujereadas. Esta idea sería la base de diversos aparatos de informática, así como en la programación. A partir de entonces, tienen lugar varias invenciones.

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•• Destacaron los proyectos de Charles Babbage en 1830, que completó su invento llamado artefacto de la diferencia para calcular valores de funciones polinómicas mediante el método de las diferencias. Asimismo, diseñó su artefacto analítico, un aparato de propósito general con el objetivo de realizar cualquier tipo de cálculo matemático. Aunque su artefacto solo pudo ser construido más de 100 años después de su muerte, se considera a Babbage como el padre de las computadoras modernas, debido a que fue la primera conceptualización clara de una máquina capaz de ejecutar el tipo de cálculos computacionales que se consideran el núcleo de la informática. •• William Stanley Jevons inventó la primera máquina lógica en usar el álgebra de Boole, considerada la base de la informática, para resolver problemas más rápidamente que los seres humanos: el piano lógico. •• En 1885, Herman Hollerith construyó la máquina censadora o tabuladora, que redujo en varios años el tiempo para realizar el censo estadounidense por medio de tarjetas perforadas. •• En 1893, Otto Steiger ideó a primera máquina exitosa de multiplicación automática, construida con gran éxito comercial en Zúrich para su uso en los negocios y, posteriormente, en aplicaciones científicas. Ya en el siglo XX existen algunos precedentes importantes antes del desarrollo de la informática moderna: •• Alan Turing describe la máquina de Turing en 1937, la cual formaliza el concepto de algoritmo, precedido por el descubrimiento del tubo de vacío, inventado por el estadounidense, Lee De Forest. •• Se crea el primer circuito multivibrador o biestable (en léxico electrónico flip-flop, 1919), predecesor del bit binario, estructura que utilizan las actuales computadoras. •• Vannevar Bush construye una máquina diferencial parcialmente electrónica, capaz de resolver ecuaciones diferenciales en 1930. •• En 1924, T. J. Watson renombra la empresa CTR como International Business Machines (IBM), mientras que los laboratorios Bell se fundan en 1925. A partir del segundo tercio del siglo XX se produce un desarrollo exponencial de la informática, que puede clasificarse en cinco grandes etapas o generaciones, mediante los siguientes hitos históricos (Lurueña, 2012): •• 1ª Generación 1938-1944. Construcción de las primeras computadoras funcionales Z1, Z2, Z3, Z4 por Konrad Zuse. 1939. Desarrollo de la Complex Number Calculator por George R. Stibitz. 1940. Claude Shannon desarrolla su teoría matemática de la comunicación.

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1942. Atanasoff desarrolla el ABC, máquina electrónica digital para la resolución de sistemas lineales. 1943. Alan Turing dirige un equipo para construir el Colossus (figura 15), que descifra los mensajes de Enigma durante la Segunda Guerra Mundial. En 1950 publica su artículo Computing Machinery and Inteligence y trabaja en el proyecto de la Manchester Mark I. 1945. Se detecta el primer bug informático. Varios computadores se proyectan o construyen antes de 1950, tales como ENIAC o BINAC (relativamente pequeña), por John W. Mauchly y John Eckert, o la UNIVAC, UNIVAC (Universal Automatic Computer I), una de las primeras computadoras no diseñadas con propósito militar (1946). En 1947 se considera que nace la cibernética y en 1948 los laboratorios Bell crean el módem.

Figura 15. Imágenes de máquinas informáticas de 1ª generación en el siglo XX.

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•• 2ª Generación En 1952 se pone en marcha en la Universidad de Pensilvania el EDVAC, una gran computadora que pesaba aproximadamente 7850 kg y tenía una superficie de 150 m2, basada en el sistema binario, en la que la suma, la resta y la multiplicación eran automáticas y la división programable y que tenía una capacidad de 1000 palabras (figura 16). Ese año Shannon desarrolla un ratón eléctrico capaz de salir de un laberinto, lo que representa la primera red neuronal, y comienza la fabricación industrial y comercialización de ordenadores. En 1956 nace la inteligencia artificial, postulada en la Conferencia de Darthmouth, y en 1960 nace el primer lenguaje de programación de inteligencia artificial: el LISP.

Figura 16. Fotografía de EDVAC.

•• 3ª Generación En 1964 IBM empieza a comercializar los 360 y en 1971 crea el disquete de 8 pulgadas. Un año más tarde aparecerán los disquetes de 5,25 pulgadas. En 1968, Robert Noyce y Gordon Moore fundan Intel Corporation y en 1969 Kenneth Thompson y Dennis Ritchie crean crean en los laboratorios AT&T el sistema operativo Unix, precursor del actual Linux. En 1972 Seymour Cray desarrolla monoprocesadores por medio del procesamiento en paralelo, lo que da lugar al Cray-1.

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•• 4ª Generación En 1975 se comercializa el Altair 8800, considerado el primer ordenador personal. Ese mismo año, Bill Gates y Paul Allen fundan Microsoft. En 1976, Steve Jobs y Steve Wozniak fundan la Apple Computer, Inc., y un año después presentan Apple II, el segundo ordenador personal de la historia. •• 5ª Generación En 1981 se comercializa el IBM PC, Microsoft presenta el sistema operativo MS-DOS (Microsoft Disk Operating System) y Sony crea disquetes de 3,5 pulgadas. IBM crea en 1982 el primer PC clónico, y ese año Feynman propone la mecánica cuántica como herramienta de computación. En 1983 nace el primer ordenador personal con interfaz gráfica, el Lisa de Apple, y un año después Sony y Philips crean el CD-ROM para los ordenadores. En 1985 Microsoft lanza Windows 1.0, al que le seguirán las versiones posteriores. En 1988 W. H. Sim funda Creative Labs, que presenta la tarjeta de sonido Sound Blaster un año después. En 1994 Shor describe un algoritmo cuántico que permitiría factorizar enteros en tiempo polinomial y en 1995 se supera el teraflop en computación en paralelo. Además de estos hitos hitos en informática recopilados por la autora Sonia Lurueña, es importante destacar diferentes avances realizados en el campo de Internet desde su creación hasta la actualidad, como son: En 1958, los EE.UU. fundaron la Advanced Research Projects Agency (ARPA) a través del Ministerio de Defensa. Esta agencia estaba formada por aproximadamente 200 científicos de alto nivel y contaba con un elevado presupuesto. La función de esta agencia consistía en crear comunicaciones directas entre ordenadores para así poder comunicar las diferentes bases de investigación, esto es, enlazar varios nodos en forma de red. En 1962, el ARPA creó un programa de investigación computacional bajo la dirección de John Licklider, un científico del MIT (Massachusetts Institute of Technology). En 1967 el ARPA realizó una serie de avances que le llevaron a elaborar un plan para crear una red de ordenadores, que llamaron ARPANET. La red ARPANET fue creciendo y en 1971 contaba con 23 puntos conectados, pertenecientes a universidades y centros de investigación. También en este año se produjo el envío del primer email (Elías Pérez, 2017). En 1972, se presentó en la First International Conference on Computers and Communication en Washington DC, en la que los científicos de la agencia demostraron que el sistema era operativo

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y crearon una red de 40 puntos conectados en diferentes localizaciones. A partir de este hecho y hasta el año 1983, se crearon una gran cantidad de redes. En 1981 había hasta 213 computadoras conectadas. En 1983 se llegaron a alcanzar las 500 computadoras conectadas (Hafner, 1988). En 1981 el tamaño de ARPANET era ya notable, por lo que se puede afirmar que en esa época ya se podía hablar de Internet. Paralelamente, el CERN (Organización Europea para la Investigación Nuclear) disponía de sus propias redes, como FOCUS y CERNET. En 1982 ARPANET, FOCUS y CERNET adoptaron el protocolo TCP/IP, lo que supuso un verdadero avance. Cabe destacar en ese punto que en la actualidad se sigue utilizando el protocolo TCP/IP, con diversas mejoras. En 1989 se fusionaron las redes ARPANET y CERNET, al tiempo que la Réseaux IP Européens (RIPE) tomaba forma en Ámsterdam. En 1990 se registraron numerosos eventos. Singapur comenzó a desarrollar su red, Tailandia comenzaba a trabajar en ella y Japón mejoraba notablemente la suya. En 1993 puede afirmarse que comenzó la era del usuario con el nacimiento del primer navegador web, el NCSA Mosaic, que consistía en un índice de páginas web. En 1998 Google comenzó a ordenar la información. En aquella época había ya más de 10 millones de ordenadores conectados. En 1995 nacen las grandes compañías eBay y Amazon. En 1997 es el año en que se creó SixDegrees, la primera red social de la historia. Aunque se considera que esta red social falló comercialmente en su primer lanzamiento, cimentó las bases de las actuales redes sociales. En 2001 se introdujo la primera red social empresarial, Ryze.com, para aprovechar las conexiones profesionales de los usuarios. A partir del año 2000 se fueron sucediendo las apariciones de numerosas redes sociales que están todavía en uso: –– En 2003, Myspace y LinkedIn. –– En 2004, Facebook. –– En 2005, YouTube. –– En 2006, Twitter. –– En 2008, Pinterest. –– En 2009, WhatsApp. –– En 2010, Instagram y Snapchat.

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Actualmente, no podemos imaginar nuestro día a día sin Internet. Como dato, cabe destacar que, según el informe presentado en 2019 por We Are Social y Hootsuite, el número de usuarios de Internet a nivel mundial alcanza los 4388 millones. En su informe de 2018, el estudio afirmaba que el número de usuarios de Internet era de 4021 millones, es decir, el 53 % de la población mundial. Al margen de todos estos hitos, durante los últimos 30 años se han producido nuevos avances considerables, especialmente relacionados con la tecnología de Internet y los sistemas operativos (figura 17). Microsoft ha desarrollado diversas evoluciones de su sistema Windows (95, 98, 2000, XP, Vista, 7, 8 y 10). También se han desarrollado herramientas de Java, diversos navegadores (Opera, Mozilla Firefox, llamado en un primer momento Phoenix, Netscape), la creación de Hotmail y Gmail, el desarrollo de varias versiones de Mac OS, Internet 2 y procesadores cada vez más potentes. Enlaces de interés Sociedad Científica Informática de España. La SCIE está compuesta por ocho asociaciones que trabajan en diversos ámbitos de la informática: inteligencia artificial, informática educativa, interacción persona-ordenador, informática gráfica, arquitectura de computadores, procesamiento del lenguaje natural, reconocimiento de formas y análisis de imágenes e ingeniería del software. http://www.scie.es/

Figura 17. Sistemas operativos.

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Simultáneamente se han desarrollado, implementado y mejorado los móviles con sistemas 5G, Android e iOS (iPhones y smartphones), tabletas digitales, netbooks y portátiles más ligeros y potentes (Pérochon, 2012). Estos sistemas han revolucionado la forma de comunicarse mediante la integración de las funciones telefónicas, navegación en la red, sincronización de cuentas de correo, distintas aplicaciones (app), navegación GPS, etc., y sistemas de chats que remplazan a los antiguos mensajes de texto. Según el citado informe del año 2019 presentado por We Are Social y Hootsuite, el número de usuarios móviles experimentó experimentó durante los anteriores 12 meses un crecimiento del 2,4 %, es decir, es decir, 124 millones más que durante el año 2018. En la actualidad existen numerosos campos de estudio y avance de las tecnologías de la información y de la comunicación que justifican la existencia de grados universitarios y de formación profesional. La división más general permite reconocer entre hardware y software, al hacer referencia al estudio de componentes y a los programas informáticos utilizados. Entre muchos otros, algunas de estas ramas reconocibles son: •• Los algoritmos y las estructuras de datos. •• La arquitectura de las computadoras. •• Las bases de datos. •• La computación científica. •• Comunicación y seguridad. •• Compiladores y lenguajes de programación. •• Ingeniería de software. •• Inteligencia artificial. •• Infografía. •• Sistemas. •• Teoría de la computación.

1.3. Dimensión social y cultural de las matemáticas y las tecnologías de la información y de la comunicación Tal y como se ha visto en el apartado 1.1, las matemáticas aparecen estrechamente vinculadas a los avances que la civilización ha ido realizando a lo largo de la historia. Su inicio y su desarrollo han estado relacionados con otras disciplinas, desde la geometría egipcia para calcular áreas de tierras y volúmenes de graneros hasta el álgebra moderna que inspira las teorías de supercuerdas (Kaku, 2010).

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Figura 18. Teoría de supercuerdas. Colisionador de partículas.

Su interrelación con estas disciplinas no ha impedido que tengan una entidad propia y que exista un cuerpo de matemáticos puros. Bien sea por su papel en las ciencias y tecnologías actuales o por su propia belleza, las matemáticas tienen un peso extraordinario en el desarrollo de cualquier sociedad.

El ser humano ha creado y desarrollado herramientas matemáticas por su necesidad de dominar su entorno, dominar su entorno, y en su intento de comprender el mundo: •• El cálculo, la medida y el estudio de relaciones entre formas y cantidades han servido a los científicos de todas las épocas para generar modelos de la realidad. Estos modelos contribuyen tanto al desarrollo como a la formalización de las ciencias experimentales y sociales, a las que prestan un adecuado apoyo instrumental. Por otra parte, el lenguaje y el razonamiento propios de las matemáticas, aplicados a los distintos fenómenos y aspectos de la realidad, constituyen un instrumento eficaz que ayuda a comprender y a expresar mejor el mundo actual.

En consecuencia, la finalidad de la enseñanza de las matemáticas no es solo su aplicación instrumental, sino también el desarrollo de las facultades de razonamiento, abstracción y expresión (Bishop, 1998). Tanto a nivel histórico como social, las matemáticas forman parte de la cultura y los individuos deben ser capaces de apreciarlas. Esto implica el dominio del espacio y del tiempo, la organización y optimización de recursos, formas y proporciones, la capacidad de previsión y control de la incertidumbre o el manejo de la tecnología digital, entre otros ejemplos: •• En la sociedad actual las personas necesitan un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas en los distintos ámbitos profesionales respecto al que precisaban hace solo unos años. La toma de decisiones estratégicas requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo, y en la información que se maneja aparecen, cada vez con más frecuencia, tablas, gráficos y fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación. Por ello, los ciudadanos deben dominar estas herramientas.

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•• Adicionalmente, acometer los retos de la sociedad contemporánea supone preparar a los ciudadanos para que adquieran autonomía a la hora de establecer hipótesis y contrastarlas, diseñar estrategias o extrapolar resultados a situaciones análogas. En definitiva, estar preparados para adaptarse a los continuos cambios que se generan. El estudio de las matemáticas potencia el pensamiento autónomo y la capacidad de innovación, como base para el progreso social y cultural.

En este contexto, la actividad docente conlleva una gran responsabilidad. Está en juego la formación de personas para un futuro más o menos inmediato. Esta formación va a desempeñar un papel importante en el desarrollo del individuo, tanto profesional como socialmente, que tendrá sus efectos en el contexto en el que se desenvuelva. En definitiva, la enseñanza de las Matemáticas repercute en el progreso y en el bienestar de toda la sociedad.

El impacto que tiene la didáctica de las matemáticas dentro de la sociedad y el contexto educativo queda patente en los criterios de evaluación que marca el Estado y que concretan las comunidades autónomas en los contenidos para esta disciplina. Estos criterios se describen con más detalle en la Unidad 2. Los criterios están relacionados con las capacidades transversales, y aparecen de forma específica para cada curso. Algunos ejemplos se muestran a continuación (MEC, 2014): 1º y 2º de ESO BL1.1. Interpretar textos orales con contenido matemático del nivel educativo, procedentes de fuentes diversas, utilizando las estrategias de comprensión oral, para obtener información y aplicarla en la reflexión sobre el contenido, la ampliación de sus conocimientos y la realización de tareas de aprendizaje. BL1.14. Colaborar y comunicarse para construir un producto o tarea colectiva compartiendo información y contenidos digitales y utilizando herramientas de comunicación TIC y entornos virtuales de aprendizaje, aplicar buenas formas de conducta en la comunicación y prevenir, denunciar y proteger a otros de las malas prácticas como el ciberacoso. 3º y 4º de ESO. Matemáticas Académicas BL1.4. Participar en intercambios comunicativos del ámbito personal, académico (resolución de problemas en grupo), social o profesional aplicando las estrategias lingüísticas y no lingüísticas del nivel educativo propias de la interacción oral, utilizando un lenguaje no discriminatorio. BL1.11. Buscar y seleccionar información sobre los entornos laborales, profesiones y estudios vinculados con los conocimientos del nivel educativo, analizar los conocimientos, habilidades y competencias necesarias para su desarrollo y compararlas con sus propias aptitudes e intereses para generar alternativas ante la toma de decisiones vocacional.

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Unidad de aprendizaje 1. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Aspectos históricos y sociales del desarrollo del conocimiento

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3º y 4º de ESO. Matemáticas Aplicadas BL5.1 Analizar informaciones estadísticas unidimensionales de fenómenos sociales, económicos o científicos (sondeos de opinión, encuestas de consumo, eficacia de fármacos, experimentos diseñados en el aula, etc.) describiéndolas mediante tablas, parámetros, gráficas o diagramas, utilizando las herramientas adecuadas (calculadora, aplicaciones de escritorio, web o para dispositivos móviles, como hojas de cálculo), para elaborar informes y extraer conclusiones. BL1.6. Leer textos continuos o discontinuos, enunciados de problemas (numéricos, gráficos, geométricos, de medida y probabilísticos) y pequeñas investigaciones matemáticas, en formatos diversos y presentados en soporte papel y digital, utilizando las estrategias de comprensión lectora del nivel educativo para obtener información y aplicarla en la reflexión sobre el contenido, la ampliación de sus conocimientos y la realización de tareas de aprendizaje. Por su parte, la implantación de aplicaciones informáticas científicas-tecnológicas es abrumadora. Las tecnologías de la información y de la comunicación contribuyen a la revolución en la comunicación e intercambio de información que comenzó durante la última parte del siglo XX, especialmente a través del uso de Internet. Cambia nuestros hábitos de vida, acelerando las comunicaciones y su impacto, que alcanza un nivel global.

A lo largo del último siglo, la tecnología ha ido adquiriendo una importancia progresiva en la vida de las personas y en el funcionamiento de la sociedad. Parece evidente que pasarán muchos años antes de que pueda sacarse partido de los actuales computadores. Su importancia, sin embargo, comienza a sentirse fuertemente en muchas de las áreas de nuestro entorno más inmediato.

Esta revolución apenas ha comenzado: •• Solo en lo que se refiere a rapidez, los modernos computadores han multiplicado por un factor mayor que 107 la velocidad de cálculo humano. •• Se ha potenciado una mejora de procesos de datos en los bancos, planificación de empresas, robotización de las fábricas, ordenación de la información de las bibliotecas, educación programada, etc. •• En el desarrollo científico el influjo de los ordenadores es inmenso y la mayor parte de las ciencias todavía no son capaces de optimizar el rendimiento que los ordenadores pueden tener en estos campos.

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Las tecnologías de la información y de la comunicación dinamizan la tercera revolución productiva, en la que la información ocupa el lugar de la energía: •• Los sistemas de comunicaciones han generado un nuevo entorno tecnológico que se caracteriza por su interactividad. •• La sociedad actual se ha visto condicionada por todos estos desarrollos hasta el punto de denominarse sociedad de la información. Ya en 1970 se indicaba que los medios de producción se desplazaban desde los sectores industriales a los sectores de servicios, en los que destaca la manipulación y procesamiento de todo tipo de información. •• Desde el punto de vista económico, las tecnologías de la información se consideran nuevos motores de desarrollo y progreso, en un proceso que no ha dejado de acelerarse en las últimas décadas. Estos beneficios tienen también efectos en el marco sociocultural, condicionado por numerosos retos: •• El crecimiento de la brecha digital debe impulsar un análisis sobre las luces y sombras de este modelo de sociedad, que debe incorporar a todos sus miembros en el acceso a la información. •• También se debe reflexionar sobre cómo el enorme flujo de información influye en los conflictos entre acceso libre y leyes de copyright o derechos de autor. •• Finalmente, y en especial desde el mundo de la educación, se debe considerar que información no es lo mismo que conocimiento. Este cambio de paradigma se ha propuesto desde numerosas fuentes, ya que el conocimiento es el fruto de un proceso de construcción activa. Es necesario tratar la información con espíritu crítico, analizarla, seleccionar sus distintos elementos e incorporar los más interesantes a una base de conocimientos. Enlaces de interés Toyoutome. Blog destinado a la reflexión sobre el conocimiento digital y el pensamiento innovador. http://toyoutome.es/

1.4. Matemáticas y tecnologías de la información y de la comunicación en la educación Las matemáticas representan un papel clave durante todo el proceso educativo. Los currículos actuales presentan materias de matemáticas en todos los cursos de primaria, secundaria y bachillerato, en diferentes modalidades. La importancia social y cultural de las matemáticas, y fundamentalmente su uso como herramienta en el entorno laboral y científico-tecnológico, justifica su presencia en módulos de formación profesional, así como en enseñanzas superiores, de prácticamente todas las carreras y especializaciones científico-técnicas (MEC, 2001).

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Unidad de aprendizaje 1. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Aspectos históricos y sociales del desarrollo del conocimiento

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Es evidente que el grado de especialización de las asignaturas evoluciona a medida que el alumno avanza en el sistema educativo: •• Tal y como se verá en el apartado 2.1, es 3º de ESO el curso en el que el alumno define ya las primeras opciones, escogiendo entre Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas o Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas. •• En Bachillerato existen dos modalidades de Matemáticas, orientadas según el perfil del alumno: Matemáticas o Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. •• En los distintos grados universitarios las matemáticas pueden aparecer ya desglosadas en sus disciplinas (álgebra, cálculo, ecuaciones diferenciales, etc.) y los planes de estudio concretan las necesidades de cada carrera y acomodan los contenidos. La relevancia de las matemáticas en estudios superiores de base tecnológica (Telecomunicaciones, Imagen y Sonido, etc.) y técnica (ingenierías) es evidente. El uso de la informática en estas y otras titulaciones también lo es, dada la cantidad de aplicaciones informáticas que controlan procesos, analizan datos, etc. •• Este nivel de especialización alcanza su máximo en los grados de matemáticas y grado de Informática, anteriormente licenciado en Matemáticas o ingeniero (superior o técnico) informático. En todo caso, la disciplina de Matemáticas está presente en prácticamente todo el período de formación básico y medio, lo que es un claro exponente de su relevancia. Su currículo debe satisfacer un avance lógico de los contenidos matemáticos a lo largo de los cursos. Debe garantizar la adquisición de medios por parte del alumno, fundamentalmente conceptuales y procedimentales, para que el resto de las asignaturas puedan desarrollarse (resolución de ecuaciones, representación de gráficas, elaboración de estudios estadísticos, trigonometría, etc.).

Figura 19. Pensamiento matemático y educación.

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Por tanto, puede entenderse que el currículo de Matemáticas debe contribuir a la adquisición de la competencia matemática mediante la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático como propio objeto de aprendizaje. También a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas.

Simultáneamente, los contenidos están orientados a utilizar el conocimiento matemático con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene señalar que no todas las formas de enseñar matemáticas contribuyen por igual a la adquisición de la competencia matemática.

El énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema determinan la posibilidad real de aplicar las matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.

Este fenómeno ha sido catalogado por algunos autores de pedagogía como recontextualización en educación secundaria (Bernstein, 1996; Lerman, 2001). Existen numerosos casos de recontextualización en situaciones educativas, que también se aplican a la psicología cognitiva y a la filosofía. Por ello las teorías sociales, psicología cultural, sociología y antropología tienen un peso considerable en la educación matemática. La influencia de la metodología en la competencia comunicativa para el caso de las matemáticas se trata en la unidad 3.

Las actuales metodologías para la enseñanza de las matemáticas sitúan al alumno en el centro del proceso de aprendizaje, como en otras disciplinas, y este tiene lugar a través de la resolución de problemas. Esta concepción es el resultado de varios movimientos desarrollados en la enseñanza de las matemáticas durante el siglo pasado.

Enlaces de interés Revista de Investigación e Innovación Educativa Pensamiento Matemático (PM). Publicación científica semestral, de acceso libre y gratuito a través de la red, cuya finalidad principal es contribuir al avance científico y educativo en el área de las matemáticas, dando a conocer trabajos de investigación y de innovación realizados en la enseñanza de esta ciencia, para contribuir al desarrollo profesional de los docentes. http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/

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Unidad de aprendizaje 1. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Aspectos históricos y sociales del desarrollo del conocimiento

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Enlaces de interés Real Sociedad Matemática Española. Comisión de Educación. Esta página contiene información relevante sobre seminarios, congresos y publicaciones relacionadas con los planteamientos de la educación matemática en todos sus niveles y asesora a los organismos competentes. http://www.rsme.es/content/blogsection/15/65/ Breve reseña sobre la evolución en las matemáticas A finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta del siglo pasado, surge la necesidad de reformular la enseñanza en matemáticas, debido a la gran tasa de fracaso en esta disciplina. Así, nacen las matemáticas modernas, (acuñada como new math en EE.UU.) o nueva matemática, como un cambio curricular profundo. Tienen su particular punto de partida en el seminario de royamount, celebrado en 1959, durante el cual el famoso matemático francés Jean Dieudonné lanzó el grito de “abajo Euclides” (Delibes, 2012). Fracaso escolar

1950 Matemática moderna (new maths)

1970 Retorno a lo básico (back to basics)

1980 Resolución de problemas (problem solving approach)

Las matemáticas como actividad social (“recontextualización”)

Actualidad

¿Nuevas estrategias docentes?

Figura 20. Cronología en la educación en matemáticas en el siglo XX.

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Las bases del movimiento son: •• Una enseñanza basada en el carácter deductivo de la matemática, partiendo de unos axiomas básicos. •• El abandono de la enseñanza falsamente axiomática de la geometría euclidiana imperante en aquellos momentos. La idea tenía una base lógica y coherente, dado que pretendía transmitir a los alumnos el carácter lógico-deductivo de la matemática y al mismo tiempo unificar contenidos a partir de generalidades de teoría de conjuntos y de la lógica, dotando de una gran importancia al estudio de conjuntos, relaciones, funciones y estructuras algebraicas. Sin embargo, a finales de los años sesenta y principios de los setenta ya se había aceptado el fracaso de la nueva matemática, que había abandonado parte del trabajo sobre la geometría sintética y el cálculo numérico. Existió entonces un rechazo considerable desde el punto de vista tanto pedagógico como matemático, al comprobar que no se conseguía un aprendizaje de conceptos ni estructuras superiores y los alumnos no dominaban las rutinas básicas del cálculo. Algunas reflexiones sobre este fracaso se exponen en la unidad 3. El fracaso de la matemática moderna produce nuevos movimientos renovadores: •• Durante los años setenta surge el movimiento conocido como el retorno a lo básico (back to basic), pero solo consigue que los alumnos memoricen procedimientos sin comprenderlos. Tampoco resultaba evidente en qué consiste lo básico en matemáticas, lo que creó gran controversia y rechazo. •• En los ochenta empezaron a tomar fuerza las estrategias basadas en la resolución de problemas (the problem solving approach) como alternativas a la resolución memorística, a partir del Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), celebrado en Berkeley en el verano de 1980. •• En este periodo también se comienza a tratar a la matemática como actividad humana, en estrecha relación con la mencionada recontextualización. El foco de atención se centra en el aprendizaje del alumno, buscando las claves de los fracasos de forma particular o personalizada (Planas, 2000). Las tesis de los profesores H. Freudenthal y G. Polya sugieren que los problemas que surgen en la educación matemática deben resolverse considerándola como una actividad social y no solo como campo de investigación educativa. Por tanto, se requiere de los profesores un compromiso con el aprendizaje de sus alumnos para la adquisición y mejora de las capacidades intelectuales, concretando y particularizando los problemas individuales derivados de la enseñanza. El aparente fracaso debe contrarrestarse mediante diagnosis y prescripción de acciones correctoras.

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Unidad de aprendizaje 1. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Aspectos históricos y sociales del desarrollo del conocimiento

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Figura 21. Imágenes de H. Freudenthal y G. Polya.

En el caso de Tecnología, actualmente no existe obligatoriedad en los recorridos en las etapas de secundaria y Bachillerato, sino que pertenece al bloque de asignaturas específicas. En concreto, durante los cursos 1º, 2º y 3º de ESO la asignatura recibe el nombre de Tecnología. En 4º ESO y Bachillerato, la asignatura pasa a ser Tecnologías de la Información y de la Comunicación. De igual forma, muchos estudios superiores contemplan las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en sus planes de estudio, bien a través de cursos de programación o bien como parte de la metodología de determinadas asignaturas. El área de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación contribuye a la consecución de varios de los objetivos de las etapas de Educación Secundaria Obligatoria. Desarrolla destrezas básicas en la utilización de fuentes de información para adquirir nuevos conocimientos, consolida hábitos de trabajo individual y en equipo, contribuye a la comprensión y la expresión en la lengua propia, utiliza la expresión artística a través de medios digitales, desarrolla la autonomía y la iniciativa personal y prepara para el ejercicio de la ciudadanía democrática. En el caso de Bachillerato, contribuye al uso de las nuevas tecnologías con solvencia y responsabilidad; contribuye al dominio, tanto en la expresión oral como escrita, de la lengua propia; desarrolla la sensibilidad artística y el criterio estético y desarrolla actitudes como la creatividad, la iniciativa, la confianza en uno mismo y el sentido crítico. En cuanto a la contribución de la asignatura de Tecnologías de la Información y de la Comunicación a las competencias clave en ambas etapas, es la siguiente: •• Los contenidos que se desarrollan para la consecución de los objetivos descritos en los párrafos anteriores están organizados en bloques que abarcan todos los dominios de la competencia digital (CD). •• La contribución del área a la adquisición de la competencia de comunicación lingüística (CCL) se trabaja con más profundidad en la elaboración de documentos de texto o presentaciones multimedia, ya que se ejercita la expresión escrita y la exposición oral de los contenidos digitales elaborados.

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•• La competencia matemática y en ciencias y tecnologías (CMCT) está presente en el estudio de la representación de la información, de las características de los equipos informáticos y de las redes informáticas, de la programación y de las aplicaciones de procesamiento matemático de la información. •• La contribución a la adquisición de las competencias sociales y cívicas (CSC) se desarrolla a través de la participación y la relación del alumnado en las redes sociales y del análisis de la influencia de las TIC en la transformación de la sociedad actual. •• La competencia de conciencia y expresiones culturales (CEC) se desarrolla a través de la producción de contenidos multimedia en los que el alumnado puede emplear diferentes códigos y formatos digitales para la expresión artística. •• La aportación del área a la adquisición tanto de la competencia de aprender a aprender (CPAA) como de la del sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIE) está presente en el desarrollo propuesto del currículo por tareas o por proyectos.

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Unidad de aprendizaje 2

Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares

Introducción En el desarrollo de la siguiente unidad se persigue la consecución de los siguientes objetivos: •• Adquirir los conocimientos relativos al currículo de las Matemáticas y de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación. •• Aprender cómo se debe planificar el proceso enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas y de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación. •• Profundizar en el hecho de que las Matemáticas y de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación se estudian como materia y se trabajan también como competencias clave: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMBCT) y competencia digital (CD). En la actualidad se pueden distinguir hasta cuatro niveles de ordenación curricular: el Estado, las comunidades autónomas, los centros educativos (y los correspondientes departamentos) y finalmente el propio profesor.

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Unidad de aprendizaje 2. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares

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•• El Estado fija los objetivos, competencias clave, contenidos, criterios de evaluación y estándares de aprendizaje, de las diversas materias y los itinerarios en la ESO, Bachillerato y FP. El objetivo es garantizar una formación común a todo el alumnado y la validez de los títulos correspondientes en todo el territorio español (MEC, 2015). •• Las comunidades autónomas (a través de las Administraciones educativas competentes) son las responsables de concretar el currículo de las distintas enseñanzas reguladas por el Estado, marcando los posibles itinerarios y concretando aspectos sobre criterios de evaluación. •• Los centros de educación son entonces los encargados de ofertar las materias que fija cada autonomía, así como distintas modalidades y asignaturas complementarias, etc, de acuerdo con su capacidad y recursos. •• Por último, los profesores son los encargados de materializar el proceso educativo (enseñanzaaprendizaje). Enlaces de interés Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Portal del Ministerio con competencias en materia de educación. http://www.educacion.gob.es/portada.html

Gobierno Central Competencias/Titulaciones Comunidades autónomas Contenidos Centros de enseñanza Departamento Planificación/Evaluación/contextualización Profesor Ejecución: enseñanza-aprendizaje Alumno Figura 22. Jerarquización de la ordenación curricular.

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La capacidad de cada uno de estos actores puede variar según las directrices en materia de Educación que estén en vigor, pero se entiende que los profesores, organizados en departamentos/seminarios, son los encargados de temporalizar los contenidos de las materias. Los seminarios y profesores concretan las directrices de las comunidades autónomas en términos de planificación (contenidos, metodología y evaluación) y métodos de evaluación, de forma homogénea dentro de cada centro. El profesor es además, el responsable último de ejecutar esta planificación y por tanto de garantizar el éxito del proceso de aprendizaje. Como ejemplo de lo expuesto anteriormente, se pueden consultar los currículos de Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación que están fijados por una serie de criterios a nivel autonómico: •• Decreto 87/2015, de 5 de junio, del Consell, por el que establece el currículo y desarrolla la ordenación general de la Educación Secundaria Obligatoria y el Bachillerato en la Comunitat Valenciana. •• Decreto 136/2015, de 4 de septiembre, del Consell, por el que se modifican el Decreto 108/2014, de 4 de julio, del Consell, por el que se establece el currículo y desarrolla la ordenación general de la Educación Primaria en la Comunitat Valenciana, y el Decreto 87/2015, de 5 de junio, del Consell, por el que se establece el currículo y se desarrolla la ordenación general de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato en la Comunitat Valenciana. •• Decreto 51/2018, de 27 de abril, del Consell, por el que se modifica el Decreto 87/2015, por el que establece el currículo y desarrolla la ordenación general de la educación secundaria obligatoria y del bachillerato en la Comunitat Valenciana. Todos ellos, de acuerdo con la Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa (LOMCE), cuyo currículo está desarrollado en el Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. Ley Orgánica de Mejora de la Calidad Educativa 8/2013 (9 de diciembre) Contenidos mínimos (55 % horario) R.D. (1105/2014, 26 dic.) Currículo básico (ESO y bachillerato)

Currículo

Decreto (51/2018, 27 abril, GV)

Decreto (234/1997, 2 sep., GV) Organización de las programaciones por departamentos didácticos Programaciones didácticas

Orden (45/2011, 8 junio, GV) Regula la estructura de las programaciones didácticas

Figura 23. Esquema que sirve para ilustrar, a modo de ejemplo la regulación de la ESO en la Comunidad Valenciana.

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Unidad de aprendizaje 2. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares

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En el caso de la Formación Profesional, FP, existe normativa que regula la oferta de ciclos formativos a nivel estatal y autonómico. La actual FP está compuesta por diversos: •• Ciclos de Formación Profesional Básica, que conducen al Título de profesional básico correspondiente y son enseñanzas de oferta obligatoria y gratuita. •• Ciclos Formativos de Grado Medio, que conducen al título de Técnico y que forman parte de la educación secundaria post-obligatoria. •• Ciclos Formativos de Grado Superior, que conducen al título de Técnico Superior que forma parte de la educación superior. La Formación Profesional oferta más de 150 ciclos formativos dentro de 26 familias profesionales. Enlaces de interés Portal de Formación Profesional. Portal del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte con información sobre la oferta de Formación Profesional. http://todofp.es/ Enlaces de interés Portal de Formación Profesional. Portal de la Conselleria de Educación, Formación y Ocupación para ayudar a identificar las necesidades de formación a partir de los propios intereses, aptitudes y cualidades, así como facilitar información actualizada de los estudios y ocupaciones que configuran el sistema educativo y productivo. http://www.ceice.gva.es/es/web/formacion-profesional

Las asignaturas de Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación no aparecen como tales, pero existen diversos módulos que desarrollan contenidos relacionados. Algunos de ellos se muestran en la siguiente tabla. Asimismo, existe un ciclo formativo específico sobre Sistemas microinformáticos y redes, con diversos módulos con contenidos relacionados con la informática. Algunos aspectos concretos de este ciclo se exponen en el apartado 2.2.

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Familias profesionales

Ciclos formativos

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Módulos profesionales Operaciones administrativas de compra-venta.

Administración y Gestión

Gestión administrativa

Tratamiento informático de la información. Técnicas contables. Operaciones de venta.

Comercio y Marketing

Comercio

Instalaciones de telecomunicaciones Electricidad y Electrónica

Administración y gestión de un pequeño establecimiento comercial. Aplicaciones informáticas de propósito general. Equipos microinformáticos. Infraestructuras de redes de datos y sistemas de telefonía. Sistemas electrónicos de información.

Equipos electrónicos de Electrónica digital y microprogramable. consumo Equipos microinformáticos y terminales de telecomunicación. Video, Disc-Jockey y Toma y edición digital de imagen. sonido Imagen y Sonido Tratamientos de imágenes fotográficas por procediLaboratorio de imágenes mientos digitales. Montaje y mantenimiento de equipos. Redes locales. Aplicaciones ofimáticas. Informática y Comunicaciones

Sistemas microinformáticos y redes

Sistemas operativos monopuestos. Sistemas operativos en red. Seguridad informática. Servicios en la red. Aplicaciones web.

Instalación y Mantenimiento

Instalación y mantenimiento electromecánico de Automatismos eléctricos, neumáticos e hidráulicos. maquinaria y conducción de líneas

Tabla 2. Familias y ciclos formativos de grado medio en Formación Profesional.

Durante esta Unidad 2 se expone el currículo actual de las Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares.

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Unidad de aprendizaje 2. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares

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Se describe el currículo de las Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación en Secundaria Obligatoria y Bachillerato, haciendo mención a algunos ciclos formativos con potencial uso de estas disciplinas. Se exponen aspectos básicos sobre recorridos e itinerarios dentro del contexto del resto de disciplinas (apartados 2.1 y 2.2).

2.1. El currículo de las Matemáticas en Secundaria Obligatoria, Bachillerato y FP En líneas generales, la configuración de la enseñanza de las Matemáticas durante la ESO y Bachillerato es cíclica, con el objetivo de fomentar un aprendizaje efectivo. En cada curso se planifican contenidos previamente estudiados que sirven de preludio a otros nuevos que completan y afianzan los de cursos anteriores. Los alumnos de los cursos primero y segundo de Secundaria Obligatoria deben cursar la asignatura de Matemáticas como una materia troncal (consideradas como materias instrumentales básicas), además de las siguientes materias: •• Biología y Geología el primer curso. •• Física y Química el segundo curso. •• Geografía e Historia en ambos cursos. •• Lengua Castellana y Literatura en ambos cursos. •• Primera Lengua Extranjera en ambos cursos. •• La lengua cooficial de la comunidad autónoma en cuestión. Los alumnos del tercer curso de Secundaria Obligatoria deberán cursar Matemáticas como materia de opción, en el bloque de asignaturas troncales, bien Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas, o bien Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas. Los alumnos del cuarto curso de Secundaria Obligatoria deberán cursar Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas como asignatura troncal en la opción de enseñanzas académicas o Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas como asignatura troncal en la opción de enseñanzas aplicadas. Esto viene justificado por la dimensión social y cultural que esta disciplina tiene en la actualidad y su peso en el resto del proceso educativo. La etapa de la ESO tiene un doble carácter, básico y orientador: •• El carácter básico se consigue durante los tres primeros cursos. En 3º ESO se puede cursar Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas o bien Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas. •• En el último curso, como sucede en el tercero, la materia de Matemáticas se puede cursar en dos modalidades, Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas, o Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas.

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•• Las Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas inciden más en los aspectos formativos, se tiende a un grado mayor de precisión en el lenguaje simbólico, en el rigor del razonamiento y en las representaciones formales. Los contenidos de las Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas se orientan hacia un desarrollo más práctico y operacional de los conocimientos básicos, enfocados a la resolución de problemas relativos a la actividad cotidiana y otros ámbitos del conocimiento. Con esto se consigue un carácter orientador para atender a la diversidad de motivaciones, intereses y ritmos de aprendizaje del alumnado. En el caso del Bachillerato, existen dos modalidades de matemáticas, orientadas según el perfil del alumno: Matemáticas o Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Así, pertenecen al bloque de asignaturas troncales en las modalidades de: •• Ciencias: Matemáticas. •• Humanidades y Ciencias Sociales: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales.

2.1.1. Criterios de evaluación De acuerdo con el actual sistema educativo, el Estado y las comunidades autónomas fijan unos criterios de evaluación para cada asignatura y etapa, relacionados con los contenidos y la consecución de las competencias clave. Un ejemplo de ellos figura en la Tabla 1 (Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas, 4º ESO, bloque 4. Funciones): Contenidos

Criterios de evaluación

Competencias clave

Estudio de otros modelos funcionales: proporcionalidad inversa, exponenciales, logarítmicas y definidos a trozos. Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfico o expresión analítica.

BL4.2. Interpretar relaciones funcionales (proporcionalidad inversa, expoCompetencia matemánenciales, logarítmicas y funciones tica y competencias definidas a trozos) expresadas en básicas en ciencia y lenguaje algebraico o gráfico, descritecnología. biendo sus propiedades y señalando los valores puntuales o intervalos Competencias sociales y de la variable que las determinan en cívicas contextos personales, sociales, profeLa tasa de variación media sionales o científicos. como medida de la variación BL4.2. Analizar relaciones cuantitade una función en un intervalo. tivas y numéricas (tablas, gráficas y Competencia matemáecuaciones) para modelizar funciones Estudio de la relación entre tica y competencias lineales cuadráticas y otras, en coeficientes y gráficas. básicas en ciencia y contextos personales, sociales, profetecnología. Resolución de problemas sionales o científicos, utilizando las mediante el estudio de herramientas adecuadas (calculadoras Competencia digital. gráficas, aplicaciones de escritorio, funciones. web o para dispositivos móviles). Tabla 3. Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas, 4º. ESO. Contenidos, criterios de evaluación y competencias clave. Bloque 4.

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Unidad de aprendizaje 2. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares

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En todas estas etapas y recorridos se incluyen bloques de contenidos comunes, dirigidos a desarrollar estrategias procedimentales para la resolución de problemas (Heurística), así como la capacidad de expresar verbalmente los procesos que se siguen y la confianza en las propias capacidades para interpretar, valorar y tomar decisiones sobre situaciones que incluyen soporte matemático. Esto constituye el eje transversal vertebrador de los conocimientos. En la actualidad este bloque recibe el nombre de bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas.

2.1.2. Desarrollo del currículo en los distintos cursos Todos los contenidos de Matemáticas están organizados en bloques, tanto en Secundaria Obligatoria como en Bachillerato, de acuerdo con distintas áreas (álgebra, geometría, estadística, etc.). Esta organización es un mero artificio formal, ya que todos los contenidos están estrechamente interrelacionados, pero facilita la temporalización y monitorización del aprendizaje. Existe un bloque de contenidos comunes (bloque 1) que aparece en todo el currículo de Matemáticas y en todos los niveles de ESO y Bachillerato: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. Este bloque tiene un fuerte carácter transversal y una gran importancia desde el punto de vista formativo, dado que activa las capacidades básicas del individuo (leer comprensivamente, reflexionar, establecer, revisar y adaptar planes de trabajo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de la solución, etc.). En este bloque también se consideran la capacidad de expresar verbalmente procesos y la confianza en las propias capacidades para interpretar, valorar y tomar decisiones sobre situaciones que incluyen soporte matemático. El resto de contenidos se distribuyen en diversos bloques, tal y como muestra la siguiente tabla: •• En el caso de la ESO, existen cuatro bloques más: Números y Álgebra, Geometría, Funciones y Estadística y probabilidad, que se mantienen durante toda la etapa. •• En el caso de Bachillerato, el bloque común también es Procesos, métodos y actitudes en matemáticas y el resto de bloques varían según la opción que se curse. CURSOS

1º - 4º ESO

1º BACHILLERATO 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

2. Números y Álgebra

2. Números y Álgebra

3. Análisis

3. Análisis

4. Funciones

4. Geometría

4. Geometría

5. Estadística y Probabilidad

5. Estadística y Probabilidad

5. Estadística y Probabilidad

1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas 2. Números y Álgebra Bloques

2º BACHILLERATO

3. Geometría

Matemáticas

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CURSOS

1º - 4º ESO

1º BACHILLERATO

1. Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas 2. Números y Bloques

3. Álgebra 4. Geometría 5. Funciones

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales

6. Estadística y Probabilidad

2º BACHILLERATO

1. Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas

1. Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas

2. Números y Álgebra

2. Números y Álgebra

3. Análisis

3. Análisis

4. Estadística y

4. Estadística y

Probabilidad

Probabilidad

Tabla 4. Bloques e itinerarios en las asignaturas de Matemáticas.

El desarrollo del currículo durante estas etapas se puede considerar desde dos puntos de vista: a. El peso específico que cada área o subdisciplina de las matemáticas (bloques) tiene en cada curso escolar. b. La evolución de contenidos dentro de cada área a lo largo de los años. Distribución en bloques Los contenidos de cada curso se encuentran definidos por bloques. Un ejemplo se muestra en el siguiente texto extraído del DOGV (Conselleria de Educación, 2018), en el que se muestran los contenidos del bloque 4 de Matemáticas de 1º de ESO: •• Bloque 5. Geometría: –– Representación e identificación de puntos en un sistema de ejes coordenados. –– Concepto de función. –– Variable dependiente e independiente. –– Formas de presentación (lenguaje verbal, tabla, gráfica, fórmula). –– Crecimiento y decrecimiento de una función. –– Resolución de problemas sencillos mediante el estudio de funciones. A pesar de que los contenidos se encuentran fijados por las comunidades autónomas (2º nivel), el peso o importancia de cada bloque dentro de los cursos vendrá determinados por la temporalización de las actividades por parte del centro y los profesores (3º y 4º nivel) :

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–– Es práctica habitual utilizar libros de texto y se tiende a seguir la división en temas que proponen las editoriales para adaptar y dividir los diferentes contenidos. Aunque el concepto de tema o unidad temática es menos actual que el de unidad didáctica, resulta una división reconocible para los alumnos. –– Si el profesor decide preparar su propio material docente mediante apuntes, probablemente podrá tratar con mayor libertad y flexibilidad temas transversales, debiendo incluir todos los contenidos obligatorios. Un ejemplo de temporalización se muestra en la tabla 3, para el caso de 2º de ESO (IES Salvador Rueda, 2019): Tema

Número de sesiones

1ª evaluación

Tema

Número de sesiones

2ª evaluación

1. Divisibilidad y números enteros

2

2. Fracciones y números decimales

16

3. Potencias y raíces

12

4. Proporcionalidad numérica

8

5. Resolución de problemas aritméticos

8

6. Polinomios 7. Ecuaciones de primer y segundo grado 8. Sistemas de ecuaciones

8 16 8

9. Funciones

8

3ª evaluación 10. Semejanza. Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras

12

12. Volumen de cuerpos geométricos

16

11. Cuerpos en el espacio

8

13. Estadística

8

Tabla 5. Temporalización en Matemáticas para un curso de 2º de ESO.

La distribución en el tiempo durante el año escolar viene marcada por la consecución de los objetivos en cada bloque. Se puede observar cómo los contenidos referidos a números y la geometría ocupan gran parte de este curso. En la tabla 6 se muestra la programación de la asignatura Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas correspondiente a 3º de ESO para el mismo centro (IES Salvador Rueda, 2019):

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Número de sesiones

Tema

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Número de sesiones

Tema

1ª evaluación

2ª evaluación

1. Números racionales

12

5. Sistemas de ecuaciones

12

2. Potencias y raíces

8

6. Sucesiones.

12

3. Polinomios

12

7. Geometría del plano. Movimientos.

12

4. Ecuaciones

12

8. Triángulos. Propiedades

12

3ª evaluación 9. Geometría del espacio

12

11. Funciones lineales y cuadráticas

12

10. Funciones

12

12. Estadística

12

Tabla 6. Temporalización en Matemáticas de un curso de 3º de ESO.

Esta programación, esquematizada en la tabla 7, muestra cómo los contenidos de bloques superiores tienen un mayor peso a mayores edades (funciones, carácter simbólico), coincidiendo con la introducción de más contenidos sobre estadística (bloque 5). Es importante recordar, en este punto, que el bloque 1 se desarrolla de modo transversal y simultáneamente al resto de bloques, constituyendo el hilo conductor de la asignatura. 2º ESO

1

BLOQUES 2 3 4

5

Tema 1. Divisibilidad y números enteros Tema 2. Fracciones y números decimales Tema 3. Potencias y raíces Tema 4. Proporcionalidad numérica Tema 5. Resolución de problemas aritméticos Tema 6. Polinomios Tema 7. Ecuaciones de primer y segundo grado Tema 8. Sistemas de ecuaciones Tema 9. Funciones Tema 10. Semejanza. Teorema de Tales y Teorema de Pitágoras Tema 11. Cuerpos en el espacio Tema 12. Volumen de cuerpos geométricos Tema 13. Estadística

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3º ESO

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1

BLOQUES 2 3 4

5

Tema 1. Los números racionales Tema 2. Potencias y raíces Tema 3. Polinomios Tema 4. Ecuaciones Tema 5. Sistemas de ecuaciones Tema 6. Sucesiones Tema 7. Geometría de plano. Movimientos Tema 8. Triángulos. Propiedades Tema 9. Funciones Tema 10. Funciones lineales y cuadráticas Tema 11. Estadística Tabla 7. Ejemplo de evolución de bloques de 2º a 3º de ESO.

Evolución de los bloques en los distintos cursos Dentro de cada bloque, el avance en el proceso de aprendizaje durante la ESO, y también Bachillerato, se articula mediante la consolidación y ampliación de los temas a tratar. Esto permite monitorizar los contenidos de partida mediante una evaluación inicial y determinar claramente el grado de avance mediante evaluaciones continuas y sumativas, respondiendo a la naturaleza cíclica del proceso de aprendizaje de esta y otras materias. Un ejemplo se muestra al comparar los contenidos del Bloque 3 de 2º de Bachillerato (Conselleria de Educación, 2018), respecto al curso anterior, 1º de Bachillerato: •• 1º de Bachillerato. Bloque 3. Análisis. –– Funciones reales de variable real. –– Funciones básicas: polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, raíz, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y funciones definidas a trozos. –– Operaciones y composición de funciones. Función inversa. –– Concepto de límite de una función en un punto y en el infinito. –– Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada de la función en un punto. Recta tangente y normal. –– Función derivada. –– Cálculo de límites. Límites laterales. Indeterminaciones. –– Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades.

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–– Cálculo de derivadas. Regla de la cadena. –– Representación gráfica de funciones, después de un estudio completo de sus características mediante las herramientas básicas del análisis. •• 2º de Bachillerato. Bloque 3. Análisis. –– Límite de una función en un punto y en el infinito. –– Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad. –– Teorema de Bolzano. –– Función derivada. Teoremas de Rolle y del valor medio. –– La regla de L’Hôpital. Aplicación al cálculo de límites. –– Resolución de problemas de optimización. –– Primitiva de una función. La integral indefinida. Técnicas elementales (inmediatas, por partes y racionales) para el cálculo de primitivas. –– La integral definida. –– Teoremas del valor medio y fundamental del cálculo integral. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas. Como se puede observar, existen contenidos comunes en ambos cursos, aunque la mayoría son nuevos y estrechamente relacionados con los anteriores. En el caso de 3º y 4º de la ESO existen dos posibles opciones para tratar aspectos más específicos: Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas y Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas (en ESO). En cuanto a las dos opciones en ESO (Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas y Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas), los contenidos de las dos asignaturas se estructuran en los mismos 5 bloques: bloque 1: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas; bloque 2: Números y álgebra; bloque 3: Geometría; bloque 4: Funciones; bloque 5: Estadística y probabilidad. Las diferencias más significativas que encontramos entre estos bloques son: •• En las Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas se fortalecen tanto los aspectos teóricos como las aplicaciones prácticas en contextos reales de los contenidos impartidos. Están orientadas a conseguir las competencias necesarias para estudiar Bachillerato. •• En las Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Aplicadas se hace hincapié en la aplicación práctica de los contenidos del curso en contextos reales frente a la profundización en los aspectos teóricos. Están orientadas a conseguir las competencias necesarias para estudiar Formación Profesional o la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales en Bachillerato.

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En el caso de Bachillerato también existe la posibilidad de escoger entre dos posibles opciones para tratar aspectos más específicos: Matemáticas I y II o Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales I y II en Bachillerato. •• La opción Matemáticas I y II ofrece una visión centrada en su utilidad científica y la aplicación de procesos deductivos. La formación, especialmente durante el 2º curso de Bachillerato, permite llevar a cabo procesos lógicos y demostraciones de cierto nivel intelectual. •• La opción Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, por el contrario, corresponden con un perfil aplicado a los procedimientos y técnicas instrumentales orientados a la resolución de problemas y actividades relacionadas con el mundo de la economía, de la información y, en general, con todos aquellos fenómenos que se deriven de la realidad social. En general, en el currículo de la 2.ª opción se distingue un mayor peso de contenidos sobre estadística y probabilidad, modelado y optimización, y el uso del lenguaje matricial. Concretamente, tal y como se muestra en la tabla 2, en Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales los bloques se reagrupan según: Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas, Números y Álgebra, Análisis y Estadística y Probabilidad. Es remarcable que no exista ya un bloque dedicado a la Geometría. Las diferencias en los contenidos, especialmente en el caso de la etapa de bachillerato, se aprecian también en los criterios de evaluación: •• En el caso de Matemáticas I y II, los criterios están más asociados al dominio sobre los distintos tipos de números (reales, complejos, etc.), el lenguaje vectorial y propiedades de funciones. •• En el caso de las Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales existe un claro énfasis sobre el lenguaje matricial y su uso para representar modelos, así como la optimización y la estadística y probabilidad (cálculo, análisis, etc.).

2.2. El currículo de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación en Secundaria Obligatoria, Bachillerato y FP 2.2.1. Tecnologías de la Información y de la Comunicación en ESO y Bachillerato Tecnología no aparece como materia obligatoria en los actuales planes de estudio para la ESO y Bachillerato, sino que pertenece al bloque de asignaturas específicas. En concreto, durante los cursos 1º, 2º y 3º ESO la asignatura recibe el nombre de Tecnología. En 4º ESO y Bachillerato, la asignatura pasa a ser Tecnologías de la Información y de la Comunicación. Sin embargo, debido a su importancia los centros deben ofertar asignaturas opcionales de Tecnologías de la Información y de la Comunicación en el transcurso de estas etapas. Teniendo en cuenta el carácter finalista y orientador de 4º de la ESO, el DOGV recoge explícitamente contenidos, criterios de evaluación y competencias clave, para Tecnologías de la Información y de la Comunicación en este curso, siguiendo esquemas similares a los vistos para las Matemáticas:

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•• Tecnologías de la Información y de la Comunicación no se debe entender exclusivamente como una materia meramente instrumental, sino que también debe capacitar al alumnado para comprender el entorno socio-cultural. •• Su finalidad es formar al alumnado en el conocimiento y uso responsable de la Informática como herramienta de trabajo, de creatividad, de comunicación, de organización y también de ocio. Un ejemplo de ellos figura en la Tabla 8 (Tecnologías de la Información y de la Comunicación, 4º ESO, bloque 3. Seguridad informática y ética): Contenidos

Criterios de evaluación

Competencias clave

Herramientas de seguridad. El antivirus. El cortafuegos. El software antiespía. La protección de los datos de carácter personal. Información y consentimiento. Principios de calidad, seguridad y secreto. Derechos de acceso, rectificación, cancelación y oposición. Riesgos de seguridad en las comunicaciones. El fraude en Internet. Hábitos para detectar el fraude en Internet. Políticas preventivas para la protección de la información personal. La identidad digital. La huella digital. Hábitos adecuados en la interacción en la red. La netiqueta. La suplantación de la identidad. Sistemas de identificación en la red. El certificado y la firma digital. El DNI electrónico.

BL3.1. Adoptar hábitos y conductas de seguridad activa y pasiva y de uso responsable en la protección de los sistemas informáticos, en la protección de datos, en la interacción en la red y en el intercambio de información.

Competencia digital.

Competencia social y cívica.

Generación de contraseñas seguras. Métodos de protección pasivos de los datos y en el intercambio de información. Tabla 8. Tecnologías de la Información y de la Comunicación, 4º ESO, bloque 3. Seguridad informática y ética.

La documentación oficial sugiere repartir la materia en varios bloques, que tratan de significar su desarrollo específico dentro del ámbito de la ciencia, la tecnología, las humanidades o las artes. En el caso de 4º de ESO los bloques son: 1. Equipos informáticos, sistemas operativos y redes. 2. Organización, diseño y producción de información digital.

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3. Seguridad informática y ética. 4. Publicación y difusión de contenidos. 5. Internet y redes sociales. 6. Elementos transversales a la asignatura. En 1º de Bachillerato los contenidos están estructurados en los bloques siguientes: 1. La sociedad de la información. 2. Arquitectura de los equipos informáticos. 3. Organización, diseño y producción de información digital. 4. Redes de equipos informáticos. 5. Programación. 6. Elementos transversales a la asignatura. Por último, en 2º de Bachillerato los contenidos están estructurados en los bloques siguientes: 1. Programación. 2. Publicación y difusión de contenidos. 3. Seguridad. 4. Elementos transversales a la asignatura. Al margen de algunos aspectos básicos, durante la etapa de la ESO las asignaturas de Tecnologías de la Información y de la Comunicación desarrollan diversos contenidos relacionados con los siguientes contenidos: ESO La relación de la Informática y la sociedad. Los Sistemas Operativos y la Organización de la Información. El uso y ética en Internet. El diseño de páginas web. La preparación de presentaciones digitales. Ofimática: conectividad entre aplicaciones. Documentos específicos del mundo laboral y civil. Aspectos relacionados con el tratamiento de imágenes y sonido. Tabla 9. Resumen de contenidos de Tecnologías de la Información y de la Comunicación durante la ESO.

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Por otra parte, en la etapa de bachillerato los contenidos se podrán centrar en aspectos más técnicos, sobre todo en aplicaciones científicas, pudiéndose distinguir dos objetivos fundamentales: •• Tratar de preparar a los alumnos para que puedan desenvolverse en cualquier entorno de trabajo propio de la industria, la investigación o la empresa, usando la herramienta informática más útil para cada actividad. •• Sentar las bases de una posible formación posterior, sea ésta universitaria o profesional de grado superior. De forma general se pueden distinguir algunos de los contenidos mostrados en la tabla 10: Bachillerato Un estudio más detallado de hardware y componentes (CPU, periféricos, puertos y tarjetas de conexión) y de software y su clasificación. Programación. Técnicas de búsqueda de información. Aplicaciones de correo electrónico. Conocimiento y uso avanzado de procesadores de texto, hojas de cálculo y bases de datos. Tabla 10. Resumen de contenidos en Informática durante Bachillerato.

Los primeros contenidos de los cursos suelen estar encaminados a que el alumno conozca los elementos funcionales del ordenador, para que sean capaces de distinguirlos y conocer su funcionamiento (hardware, CPU, memoria principal, periféricos, etc.). Algunas actividades pueden consistir en proponer configuraciones básicas, en función de las prestaciones exigidas, o instalar algún dispositivo del ordenador, por ejemplo. En los distintos cursos se tratan también el manejo de los sistemas operativos. En los cursos de Bachillerato, algunos centros introducen conceptos sobre Linux y sus elementos (ventanas, iconos, accesorios, herramientas, etc.). Las redes telemáticas (redes locales) e Internet (su uso, optimización, ética, legislación, etc.) son también abordados durante estas etapas, incluyendo el uso y diseño de sitios y páginas web. En estos temas resulta fundamental promover una actitud favorable hacia las comunicaciones y a compartir la información y otros recursos, a respetar la privacidad de la información y a adquirir un comportamiento ético en el manejo de la información. El uso de procesadores de texto se incluye en muchas programaciones didácticas de Tecnología de la Información y de la Comunicación, especialmente durante el Bachillerato. Se remarca en estos cursos la importancia de diseñar los documentos como fase previa a su composición, analizando la configuración de página, los estilos de los títulos, etc. En algunos casos también se manejan elementos textuales,

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gráficos y títulos, así como la integración de animaciones en los documentos. En general se persigue fomentar el gusto por la presentación correcta de los documentos escritos y la curiosidad por averiguar las prestaciones de los procesadores de textos para utilizarlos en el tratamiento de la autoedición. Otra herramienta importante, tanto en el entorno laboral como académico, es la hoja de cálculo. Los programas suelen dirigirse a que el alumnado conozca y utilice hojas de cálculo, gráficos y otras herramientas para el tratamiento de datos. Si es posible, puede ser también de interés que los alumnos centren parte de su estudio en la asignatura utilizando programas específicos de sus respectivos recorridos: •• En Bachillerato, en el caso de la Modalidad de Ciencias, el alumno puede tomar contacto, probablemente por primera vez, con algunos programas o software matemáticos que son utilizados comúnmente en diversas ramas de la ingeniería, la ciencia u otras carreras artísticas. Pese a que no se espera que alcance un nivel de usuario universitario o semiprofesional, el alumno ya habrá tenido una primera experiencia con programas matemáticos, y por tanto creará un precedente. En particular, puede resultar interesante el uso de algunos de los sistemas de cálculo simbólicos más comúnmente utilizados en la actualidad, tales como mathematica, derive, matlab o mathcad. •• En Bachillerato, en el caso de alumnos de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales, resulta interesante dominar paquetes informáticos de tratamiento estadístico que le permitan resolver todos los problemas que plantea la estadística en la etapa del bachillerato: estadística unidimensional, bidimensional y las distribuciones binomial y normal, tal y como el statgraphics u origin.

Figura 22. Capturas de imagen de DERIVE y MATHCAD.

Figura 23. Capturas de imagen sobre STATGRAPHICS y ORIGIN.

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Por una parte, el uso del ordenador permite comprobar conceptos teóricos con ejemplos de mayor magnitud, con acceso a las grandes posibilidades de formación de Internet. Un estudio más detallado permite también comprender algoritmos cuando se implementan o usan en programas informáticos, gracias a su interfaz gráfica. El carácter participativo que en general tienen estas actividades en aulas de Tecnologías de la Información y de la Comunicación promueven la proactividad de los alumnos, y los resultados obtenidos serán una gran motivación para reforzar los conceptos y procedimientos en disciplinas como las Matemáticas. Algunos de los objetivos procedimentales más relevantes son: •• Creación de hojas de cálculo usando diversos formatos y fórmulas. •• Empleo de funciones para cadenas. •• Resolución de problemas de cálculo financiero. •• Representación gráfica e interpretación de datos. •• Manejo de la hoja de cálculo para el estudio demográfico. •• Utilización de la hoja de cálculo para el estudio estadístico y sus representaciones gráficas. Además, se plantean también bloques y contenidos relacionados con las presentaciones digitales, o el tratamiento de imágenes, lo cual puede ser de interés el alumnado de cualquiera de los itinerarios. Con esto se pretende que adquieran coherencia en la organización de una presentación para conseguir un mensaje final claro y mejorar las capacidades comunicativas a través de imágenes, resaltando los aspectos de mayor importancia y no redundando en efectos insignificantes.

2.2.2. Tecnologías de la Información y de la Comunicación en FP En el caso de la Formación Profesional, FP, en la introducción de la presente unidad se ha indicado cómo algunas de las familias y ciclos formativos contienen módulos aislados relacionados con la informática: •• Administración y gestión (Tratamiento informático de la información). •• Comercio y marketing (Aplicaciones Informáticas de propósito general). •• Electricidad y electrónica (Equipos microinformáticos, Infraestructuras de redes de datos y sistemas de telefonía, Sistemas electrónicos de información, Electrónica digital y micro programable, Equipos microinformáticos y terminales de telecomunicación). •• Imagen y sonido (Toma y edición digital de imagen, Tratamientos de imágenes fotográficas, por procedimientos digitales). •• Instalación y mantenimiento (Automatismos eléctricos, neumáticos e hidráulicos).

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Como se ha mencionado en la introducción de la presente unidad, la actual FP está compuesta por diversos tipos de ciclos: Ciclos de Formación Profesional Básica, Ciclos Formativos de Grado Medio y Ciclos Formativos de Grado Superior. En la familia dedicada específicamente a las Tecnologías de la Información y de la Comunicación, se encuentran los siguientes ciclos: •• Ciclos de Formación Profesional Básica: –– Título Profesional Básico en Informática de Oficina. –– Título Profesional Básico en Informática y Comunicaciones. •• Ciclos Formativos de Grado Medio: –– Técnico en Sistemas Microinformáticos y Redes. •• Ciclos Formativos de Grado Superior: –– Técnico Superior en Administración de Sistemas Informáticos en Red –– Técnico Superior en Desarrollo de Aplicaciones Multiplataforma –– Técnico Superior en Desarrollo de Aplicaciones Web. Como ejemplo, profundizamos en diversos aspectos del ciclo formativo de Sistemas microinformáticos y redes. Esta titulación fue establecida por el Real Decreto 1691/2007, del 14 de diciembre (MEC, 2007b), y su currículo se encuentra regulado por la normativa presente en cada una de las comunidades autónomas. La competencia general de este título consiste en instalar, configurar y mantener sistemas microinformáticos, aislados o en red, así como redes locales en pequeños entornos, asegurando su funcionalidad y aplicando los protocolos de calidad, seguridad y respeto al medio ambiente establecidos. El siguiente texto extraído de (MEC, 2007b) muestra las competencias profesionales, personales y sociales del ciclo: 1. “Determinar la logística asociada a las operaciones de instalación, configuración y mantenimiento de sistemas microinformáticos, interpretando la documentación técnica asociada y organizando los recursos necesarios. 2. Montar y configurar ordenadores y periféricos, asegurando su funcionamiento en condiciones de calidad y seguridad. 3. Instalar y configurar software básico y de aplicación, asegurando su funcionamiento en condiciones de calidad y seguridad. 4. Replantear el cableado y la electrónica de redes locales en pequeños entornos y su conexión con redes de área extensa canalizando a un nivel superior los supuestos que así lo requieran.

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5. Instalar y configurar redes locales cableadas, inalámbricas o mixtas y su conexión a redes públicas, asegurando su funcionamiento en condiciones de calidad y seguridad. 6. Instalar, configurar y mantener servicios multiusuario, aplicaciones y dispositivos compartidos en un entorno de red local, atendiendo a las necesidades y requerimientos especificados. 7. Realizar las pruebas funcionales en sistemas microinformáticos y redes locales, localizando y diagnosticando disfunciones, para comprobar y ajustar su funcionamiento. 8. Mantener sistemas microinformáticos y redes locales, sustituyendo, actualizando y ajustando sus componentes, para asegurar el rendimiento del sistema en condiciones de calidad y seguridad. 9. Ejecutar procedimientos establecidos de recuperación de datos y aplicaciones ante fallos y perdidas de datos en el sistema, para garantizar la integridad y disponibilidad de la información. 10. Elaborar documentación técnica y administrativa del sistema, cumpliendo las normas y reglamentación del sector, para su mantenimiento y la asistencia al cliente. 11. Elaborar presupuestos de sistemas a medida cumpliendo los requerimientos del cliente. 12. Asesorar y asistir al cliente, canalizando a un nivel superior los supuestos que lo requieran, para encontrar soluciones adecuadas a las necesidades de este. 13. Organizar y desarrollar el trabajo asignado manteniendo unas relaciones profesionales adecuadas en el entorno de trabajo. 14. Mantener un espíritu constante de innovación y actualización en el ámbito del sector informático. 15. Utilizar los medios de consulta disponibles, seleccionando el más adecuado en cada caso, para resolver en tiempo razonable supuestos no conocidos y dudas profesionales. 16. Aplicar los protocolos y normas de seguridad, calidad y respeto al medio ambiente en las intervenciones realizadas. 17. Cumplir con los objetivos de la producción, colaborando con el equipo de trabajo y actuando conforme a los principios de responsabilidad y tolerancia. 18. Adaptarse a diferentes puestos de trabajo y nuevas situaciones laborales originados por cambios tecnológicos y organizativos en los procesos productivos. 19. Resolver problemas y tomar decisiones individuales siguiendo las normas y procedimientos establecidos definidos dentro del ámbito de su competencia. 20. Ejercer sus derechos y cumplir con las obligaciones derivadas de las relaciones laborales, de acuerdo con lo establecido en la legislación vigente. 21. Gestionar su carrera profesional, analizando las oportunidades de empleo, autoempleo y aprendizaje.

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Unidad de aprendizaje 2. Las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares

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22. Crear y gestionar una pequeña empresa, realizando un estudio de viabilidad de productos, planificación de la producción y comercialización. 23. Participar de forma activa en la vida económica, social y cultural, con una actitud crítica y responsable.” A modo de ejemplo de la forma de estructurar los contenidos de este ciclo, se muestra en la tabla que figura a continuación cómo quedan estructurados en la Comunidad Valenciana (Conselleria de Educaciòn, 2009): Módulo

Horas

Montaje y mantenimiento de equipos

224

Sistemas operativos mono puesto

128

Aplicaciones ofimáticas

224

Sistemas operativos en red

176

Redes locales

224

Seguridad Informática

110

Servicios en red

176

Aplicaciones web

88

Formación y Orientación Laboral

96

Empresa e iniciativa emprendedora

66

Formación en centros de trabajo

380

Tabla 11. Contenidos del ciclo formativo de “Sistemas microinformáticos y redes”.

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Unidad de aprendizaje 3

Recursos didácticos para la construcción del conocimiento de las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación

Introducción El desarrollo de la unidad tiene los siguientes objetivos: •• Aprender a elaborar la programación, ejecución y evaluación de los contenidos de "Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación" en función de su interés y relevancia. •• Conocer metodologías y recursos didácticos para su eso durante el desarrollo de las asignaturas de "Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación". •• Profundizar en posibles estrategias a utilizar en el proceso enseñanza-aprendizaje de las "Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación". •• Manejar estrategias o pautas para la atención a la diversidad. Esta Unidad 3 versa sobre los recursos didácticos para la construcción del conocimiento de las Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación como disciplinas escolares.

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Unidad de aprendizaje 3. Recursos didácticos para la construcción del conocimiento de las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación

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•• Se describen algunas de las metodologías y recursos didácticos disponibles en el proceso de aprendizaje de las Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación, considerando sus peculiaridades con especial atención a la heurística o resolución de problemas. •• Se subrayan también algunos aspectos concretos en la enseñanza de Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación que el futuro profesor puede utilizar como referencia o consejo para llevar a cabo la planificación y futura ejecución de sus tareas docentes.

3.1. Reseña sobre didáctica en Matemáticas La didáctica de cualquier materia se puede considerar como: •• La organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia (Freudenthal, 1991). •• La ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento (Kieran, 1998). Para algunos expertos mejorar la didáctica en Matemáticas implica comprender los complejos procesos que tienen lugar durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. La comprensión de dichas estructuras ayudará a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar, por tanto el aprendizaje productivo, e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos (Schoenfeld, 1987). En particular, muchos expertos consideran que la innovación en la didáctica de la matemática debe considerar las interacciones entre las múltiples disciplinas, (psicología, pedagogía, sociología y la propia matemática como disciplina científica). Tal y como se vio anteriormente, existen diversas corrientes de pensamiento respecto a la didáctica en Matemáticas, que se pueden resumir en dos posturas antagónicas: •• La idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la matemática. •• La práctica, que persigue el restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje. Estas posturas repercuten tanto en profesores de Matemáticas de los diferentes niveles educativos como en investigadores e innovadores (Kilpatrick, Rico y Sierra, 1994). Un concepto importante en la didáctica de las Matemáticas es la matematización. Matematizar es organizar y estructurar la información que aparece en un problema, identificar los aspectos matemáticos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras. Se pueden distinguir dos formas básicas de matematización: la matematización horizontal y la matematización vertical (Treffers, 1978). La matematización horizontal traduce el mundo real al mundo de los símbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas, a través de algunos de los siguientes procesos:

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•• Identificar las matemáticas en contextos generales. •• Esquematizar. •• Formular y visualizar un problema de varias maneras. •• Descubrir relaciones y regularidades. •• Reconocer aspectos isomorfos en diferentes problemas. •• Transferir un problema real a uno matemático y a un modelo matemático conocido. La matematización vertical consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones y se caracteriza por: •• Representar una relación mediante una fórmula. •• Utilizar, refinar, ajustar, combinar e integrar diferentes modelos. •• Probar regularidades. •• Formular un concepto matemático nuevo. •• Generalizar.

Generalizar Modelos Fórmulas

Esquemas Regularidades Diversos enfoques

Contexto

MATEMATIZACIÓN VERTICAL

Nuevos conceptos matemáticos

PROBLEMA

MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL Figura 24. Matematización horizontal y vertical.

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Unidad de aprendizaje 3. Recursos didácticos para la construcción del conocimiento de las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación

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Estos dos componentes de matematización dan lugar a diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática: a. Estructuralismo (matematización vertical) Considera las matemáticas como una ciencia lógico-deductiva. A los alumnos se les debe enseñar las matemáticas como un sistema bien estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje. El estilo estructuralista tiene sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclideana y en la concepción de las matemáticas como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. b. Mecanicismo (escasa matematización) El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de las matemáticas como un conjunto de reglas que los alumnos deben aprender y aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Se hace énfasis en la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización, y fue duramente atacado por numerosos didactas, entre ellos H. Freudenthal (Freudenthal, 1991). c. Empirismo (matematización horizontal) Toma como punto de partida la realidad (concreta) cercana al alumno. Los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero el aprendizaje carece de profundización y sistematización. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa. d. Realista (matematización horizontal y ligeramente vertical) El estilo realista también parte de la realidad y requiere de matematización horizontal, pero profundiza y sistematiza en los aprendizajes (en oposición al empirismo), poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc. El principio didáctico es la reconstrucción o invención de la matemática por el alumno por lo que las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza orientada básicamente a los procesos. Este estilo surgió y se desarrolló en los Países Bajos, fundamentalmente en el Freudenthal Institut de la Universidad de Utrecht.

3.2. Recursos y estrategias didácticos en las Matemáticas y en las Tecnologías de la Información y de la Comunicación Estrategia general de aprendizaje Los conceptos anteriores representan líneas de pensamiento que influyen en la forma de enseñar-aprender, para el caso particular de la disciplina de Matemáticas, pero no definen una metodología. Esto es tarea última del cuerpo de docentes de Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación y, finalmente del profesor.

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A continuación se muestra un esquema con algunos de los elementos involucrados en el proceso de aprendizaje: •• La sociedad, a través de las administraciones competentes en educación, determina los currículos, capacidades y criterios de evaluación de las distintas disciplinas, tal y como se expone en los anteriores. •• Los profesores y centros concretan estas directrices mediante una metodología clara y la utilización de los recursos didácticos de los que disponga para hacer que el proceso educativo sea exitoso. •• Si es así, esto conlleva el progreso de la sociedad, que analiza y rectifica los aspectos educativos de acuerdo con su evaluación general. Progreso

Sociedad

Recursos didácticos Aprendizaje del Alumno Currículo/Contenidos

Educación Figura 25. Aprendizaje y recursos didácticos.

Este esquema resalta la importancia de la evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto implica un proceso de recogida de información a partir de las actividades realizadas y es utilizado en la formulación de juicios y la toma de decisiones sobre la calidad de enseñanza y el aprendizaje de los alumnos, tales como: •• Medida de logros alcanzados. •• Identificación de dificultades. •• Determinación de causas de fracasos. •• Necesidades específicas de cada alumno. •• Valoración de métodos y materiales. •• Valoración de los programas. •• Valoración de la eficiencia docente.

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Al margen de las valoraciones internas de profesores, existen listados preparados por especialistas internacionales, como el informe PISA, que permiten comparar la calidad de la enseñanza con otras referencias internacionales. En última instancia, es la propia sociedad quien evaluará el proceso y marcar el rumbo de enseñanza en un país. Las directrices actuales sobre la enseñanza en las áreas de Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación han adaptado las tendencias de pensamiento sobre didáctica moderna y sitúan al alumno en el centro del proceso de aprendizaje, promoviendo metodologías basadas en la resolución de problemas y un acercamiento a la realidad (recontextualización, apartado 1.4) (Bernstein, 1996). Un ejemplo de dicha importancia es el bloque común en todos los cursos de ESO y Bachillerato dedicado expresamente a este fin (bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en Matemáticas, tabla 2). Estas directrices se recogen en los textos legales que fijan el currículo, mediante las siguientes implicaciones didácticas: 1. Un aprendizaje significativo es motivador en sí mismo. 2. Las disciplinas científicas facilitan el conocimiento de la realidad y favorecen la interacción entre diversas áreas. 3. Hay que establecer la progresión de los contenidos teniendo en cuenta los preconceptos y provocando una situación de conflicto cognoscitivo. 4. Es necesaria la interacción en el aula. 5. La tarea del profesor es organizar el aprendizaje. 6. El alumno es el protagonista de su propio aprendizaje. 7. Es imprescindible el tratamiento de la diversidad. En resumen, el trabajo del profesor consiste en facilitar a los alumnos la construcción de sus esquemas de conocimiento y conseguir que sean progresivamente más autónomos en su aprendizaje. Esto requiere de una motivación continua, promoviendo la autocrítica para generar más recursos y relacionando conceptos y procedimientos con capacidades en la vida real (competencias), todo ello en un ambiente adecuado dinámico. Planificación y recursos en la ejecución y evaluación del aprendizaje El esquema general que debe seguir todo proceso de enseñanza-aprendizaje se puede resumir en tres etapas: Planificación (de contenidos, metodología y evaluación), ejecución y evaluación (figura 36). El profesor debe actuar como guía del alumno a lo largo de dicho proceso.

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Contenidos

Planificación

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Conceptuales Procedimientos Actitudinales Actividades Temporalización Localización Recursos didácticos

Metodología

Evaluación

Inicial Continua Sumativa

Transmisión de conocimientos Ejecución Relación profesor-alumno

Evaluación final del proceso educativo Figura 26. Esquema sobre el proceso educativo.

•• Planificación Esta etapa debe responder a diversas preguntas tales como: –– ¿Qué se enseña? Delimitar los contenidos. –– ¿Para qué se enseña? Fijar aplicaciones y habilidades. –– ¿Cómo se enseña? Seleccionar una metodología y una forma de evaluación adecuados. –– ¿Dónde se enseña? Analizar el marco donde tiene lugar la enseñanza. –– ¿Cuándo se enseña? Distribución temporal de los contenidos. –– ¿A quién se enseña? Estimar el nivel del alumnado. La planificación implica determinar claramente los objetivos que se desean alcanzar. Esto implica conseguir la adquisición de conocimientos, habilidades y estrategias, profundización en la comprensión de los conceptos conocidos, aplicación en otros campos más específicos y desarrollo de actitudes. Por tanto, los contenidos pueden dividirse en contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales:

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–– En lo que respecta a los contenidos conceptuales, estos pueden dividirse en generales (alcanzados al final de la docencia) y de cada unidad temática, y corresponden a una programación curricular detallada. –– Los contenidos procedimentales los constituyen las habilidades, técnicas y destrezas tanto manuales como intelectuales. En el caso de la asignatura de Matemáticas, muchos de los objetivos procedimentales hacen referencia a aspectos intelectuales (resolución de problemas, planteamientos, asociación de ideas, etc.), aunque también existen algunas áreas que requieren otras destrezas, sobre todo las relacionadas con el uso de la informática, o la preparación de formas o modelos geométricos. –– Algunos de los contenidos actitudinales más evidentes de estas asignaturas son el rigor, la claridad, la precisión de juicios, el respeto, la actitud de diálogo, una actitud abierta a la innovación o la extracción de métodos generales. Estos están relacionados con el desarrollo de competencias clave, ya mencionadas en el apartado 1.4. En el caso de la Generalitat Valenciana, recientemente se ha regulado la estructura de las programaciones didácticas (Conselleria de Educación, 2019), que deben contener como mínimo los siguientes apartados: 1. Introducción. Justificación de la programación. Contextualización. 2. Objetivos de la etapa respectiva vinculados con la materia o el ámbito. 3. Competencias. 4. Contenidos. 5. Criterios de evaluación. 6. Instrumentos de evaluación (y su relación con los criterios de evaluación). 7. Criterios de calificación. 8. Metodología. Orientaciones didácticas. 9. Medidas de respuesta educativa para la inclusión del alumnado con necesidad específica de apoyo educativo o con alumnado que requiera actuaciones para la compensación de las de igualdades (medidas de nivel III y nivel IV). 10. Unidades didácticas:

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Organización de las unidades didácticas (objetivos de la unidad, contenidos, criterios de evaluación, competencias, actividades de enseñanza-aprendizaje, recursos didácticos, actividades de evaluación y actividades de refuerzo y ampliación) Distribución temporal de las unidades didácticas. 11. Elementos transversales. 12. Actividades complementarias. 13. Evaluación de la práctica docente a través de indicadores de éxito. Estas planificaciones deben entregarse antes del 30 de septiembre del año correspondiente para su revisión por parte de las direcciones de los centros y estarán a disposición de todos los miembros de la comunidad educativa. Las programaciones se supervisarán por la Inspección Educativa y tendrán en cuenta los criterios de la comisión de coordinación pedagógica del centro (COCOPE). Cualquier modificación de la actividad docente que el profesorado realice durante el progreso de su actividad docente debe ser justificada e incluida en la programación. En general, la COCOPE también debe procurar que exista una coordinación entre las programaciones de los diferentes departamentos, para que los alumnos desarrollen capacidades Matemáticas que puedan utilizar en otras disciplinas, dentro del mismo curso lectivo (derivación, integración, resolución de ecuaciones para física, química, etc.). La temporalización de los bloques de Matemáticas puede entonces variar para satisfacer estas necesidades transversales. •• Ejecución. Metodología y recursos didácticos La metodología empleada en el caso de las Matemáticas y la Informática puede ser clave para determinar el éxito de la asignatura, ya que debe generar una motivación y participación continua. La metodología debe considerar: –– Actividades. En general es aconsejable presentar una combinación equilibrada en el tipo de actividades propuestas. –– Temporalización. Se deberá considerar el grado de dificultad de las actividades y contrastar con el grado de madurez de los alumnos a los que van dirigidos. Esto se aplicará tanto a actividades presenciales para su realización en clase como a actividades no presenciales (complementarias, asignación de tareas, etc.). Se debe habilitar tanto un tiempo previo al comienzo de las actividades, para que los alumnos se asienten, como un tiempo previo a la finalización, para que tengan la sensación de que el trabajo realizado se ha completado.

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–– Localización. Debe fijarse el lugar donde se llevarán a cabo las distintas actividades. Normalmente será en la propia aula, pero también puede ser interesante romper la monotonía y cambiar la ubicación (trabajos de campo, laboratorio de Tecnologías de la Información y de la Comunicación, etc.) –– Recursos didácticos. En el caso de matemáticas, el uso de recursos didácticos suele estar relacionado con la programación de diversas actividades diferentes a la clase magistral o la resolución de problemas. Asimismo, en el caso de la asignatura de Tecnologías de la Información y de la Comunicación, los recursos representan un aspecto clave, dado que sin el uso de ordenadores por parte de los alumnos, no se pueden practicar muchos aspectos de los cursos. Probablemente los recursos didácticos más utilizados en el caso de las Matemáticas sean la propia palabra, el libro de texto y la pizarra. En el caso de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación, es evidente que resulta necesario utilizar ordenadores y probablemente un proyector conectado al ordenador del profesor. Es habitual que sea un alumno quien se sitúe en este ordenador, de forma que el resto de la clase puede ver el proceso de resolución de los distintos problemas propuestos por parte de su propio compañero. Esto es aplicable también a las prácticas Informáticas de la asignatura de Matemáticas. En los últimos años se ha incrementado el uso de laboratorios de las Tecnologías de la Información y de la Comunicación y de Matemáticas, aunque depende de la dotación de recursos de cada centro. Otros recursos disponibles son el proyector de transparencias o textos y documentos adicionales. En el caso de las matemáticas, las transparencias permiten el análisis de imágenes o esquemas complejos, así como centrar algunos aspectos concretos sobre los que se quiera incidir. Sin embargo, se debe modular la velocidad de exposición, evitando la sobre información. Muchos profesores prefieren el uso de la pizarra. Aunque requiere de una actividad más intensa por su parte, también permite un ritmo de clase más secuencial en la exposición de ideas, así como la participación de los alumnos. Por otro lado, el uso de textos por parte del profesor suele ser de gran ayuda, tanto sobre los contenidos de las unidades didácticas (libros de texto, apuntes del curso) como sobre otra información complementaria: –– Algunos profesores apuntan que los libros de texto son especialmente útiles en los primeros cursos de la ESO por la cantidad de ejemplos visuales que muestran. Los libros contienen también guías sobre su utilización, información sobre historia de las matemáticas y reseñas sobre las competencias que se desarrollan en cada unidad. La información está distribuida de acuerdo con los bloques indicados en el currículo. –– Por otra parte, el uso de manuales o colecciones de problemas preparados por el profesor permite incidir sobre aspectos claves que considere de importancia y que en ocasiones resulta complicado recoger en los libros de texto. Este tipo de recursos puede ser especialmente útil en el Bachillerato, para poder aplicar diversos enfoques a los posibles problemas tipo.

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En el caso de la asignatura de Tecnologías de la Información y de la Comunicación, el uso de enlaces y otro material multimedia permite diversificar los recursos utilizados. En la actualidad, existe también una gran cantidad de material multimedia a disposición del profesor y los alumnos. Las propias editoriales tienen unidades de producción digital, también para el caso de las matemáticas. Este tipo de material debe contrastarse y utilizarse de forma crítica. Tampoco puede sustituir la figura del profesor tutor debido a la necesidad de una retroalimentación en el proceso de aprendizaje, o por la transmisión de competencias transversales, entre otros motivos. •• Estrategias docentes: diversificación El docente de Matemáticas tiene a su alcance un amplio rango de herramientas didácticas, y normalmente una buena estrategia consiste en combinar de forma racional diferentes metodologías que cumplan con las premisas anteriores (figura 27). Asimismo, para que sean eficaces, los métodos deben adaptarse siempre tanto al profesor como a los alumnos.

Figura 27. Posibles estrategias docentes.

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En este contexto, algunos informes ofrecen indicaciones y recomendaciones sobre estrategias de actuación en todos los niveles de la enseñanza (Cockroft, 1985). Algunas de las posibles estrategias relacionadas con la enseñanza de las matemáticas son: c1. Exposición por parte del profesor. Clase magistral La exposición por parte del profesor a toda la clase o a un grupo de alumnos, se producirá con motivo de: Dar una visión general del tema de que se trata. Dar determinadas explicaciones previas que permitan al alumno progresar en el tema. Introducir problemas o actividades en un contexto explícito. Fomentar el debate. Analizar la comprensión que tienen algunos alumnos del tema o de algún punto interesante que se quiera resaltar. c2. Discusión profesor-alumnos y alumnos entre sí La discusión profesor-alumno permite conocer: Sus carencias básicas. Sus necesidades específicas. La capacidad de expresar sus ideas. Los errores más usuales en su razonamiento. El grado de avance del alumno. Por otra parte, la discusión profesor-grupo y alumnos entre sí: Ayuda a los alumnos a analizar la situación. Permite aclaraciones sobre los procesos de resolución y sobre los resultados, ejemplos y contraejemplos. Permite realizar ampliaciones de trabajo no previstas inicialmente. Enseña a los alumnos a ser respetuosos con las opiniones de los demás. Modifica estrategias diseñadas previamente por el profesor, etc.

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c3. Realización de un trabajo práctico apropiado La realización de trabajos prácticos permitirá desarrollar algunas capacidades de los alumnos y alcanzar objetivos fundamentalmente procedimentales, aunque también asociadas a seleccionar herramientas y generar un entorno de trabajo adecuado: Selección de materiales adecuados, tales como: Útiles de escritura y dibujo. Calculadora (incluso ordenador). Utensilios de medida. Cuerpos geométricos. Medios audiovisuales. Libros, etc. La elaboración de proyectos que modelen o resuelvan problemas planteados es especialmente útil en el caso de la geometría o la estadística, mediante: Construcción de: Poliedros. Maquetas. Planos. Sólidos de revolución. Teodolitos. Preparación de: Encuestas. Gráficas de situaciones reales. Análisis de series de datos. c4. Consolidación y práctica de las destrezas básicas En matemáticas existe una serie de acciones o destrezas básicas que se aplican a lo largo del periodo de aprendizaje. Estas operaciones básicas permiten resolver problemas más complejos y deben consolidarse para que el resultado final no se vea limitado por cuestiones meramente operacionales. Algunas de estas destrezas y posibles estrategias son:

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Destrezas algorítmicas. Esto puede reforzarse realizando ejercicios que repitan situaciones similares. Destrezas generales de cálculo básico. A pesar de que cada alumno tendrá una predisposición inicial, existen numerosos ejercicios para reforzar y mejorar el cálculo mental. Realización de medidas. Esto implica tanto la selección adecuada de las herramientas como su uso de elementos. Estimación de cantidades. Es interesante que los alumnos adquieran agilidad en la estimación de órdenes de magnitud y aproximaciones de algunos cálculos complejos. Empleo de la calculadora o programas informáticos. En especial en Bachillerato, los descriptores incluyen el uso de programas de cálculo potentes para resolver problemas muy complejos, aproximaciones o hacer representaciones en el espacio 2D o 3D. c5. Resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las matemáticas a la vida diaria La resolución de problemas es una actividad convergente mediante la cual los alumnos buscan solución a una determinada situación propuesta, utilizando métodos que pueden estar o no claramente definidos por el contexto (figura 38). Su uso requiere una detenida y concienzuda elaboración de los enunciados que considere el nivel actual de los alumnos, las herramientas intelectuales, los recursos temporales y su propia capacidad (Krulik y Rudnik, 1980; Schoenfeld, 1985; Poyla, 1965)]. 1. Observación situacional 2. Exploración experimental

6. Verificación MÉTODO HEURÍSTICO 5. Generalización

3. Experimento

4. Comparación Figura 28. Esquema de resolución de problemas.

El profesor debe aprovechar para incidir en los objetivos y conceptos de los que trata el problema, al tiempo que ayuda a los alumnos a desarrollar la solución. Asimismo, la resolución de problemas tiene como objetivo que el alumno asimile diversos conceptos y procedimientos, como los descritos en la tabla 12.

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Las fases de resolución de un problema •• Comprensión del problema concreto desde una visión de conjunto. •• Elaboración de un plan de actuación. •• Ejecución de dicho plan. •• Comprobación de soluciones (si existen). Las estrategias generales que se pueden adoptar •• Estimar. •• Analizar. •• Generalizar. •• Particularizar. •• Hacer hipótesis. •• Comprobar. •• Demostrar. •• Abstraer. Los posibles métodos de resolución •• Inducción. •• Deducción. •• Prueba y error. •• Uso de gráficos. •• Analogía. •• Subdivisión en problemas más pequeños y concretos (unidades básicas de resolución) •• Iteración. •• Recursión. Los anteriores conceptos se pueden adaptar para plantear prácticas con juegos de estrategia •• Análisis del juego y comprensión y asimilación de reglas (axiomas) •• Estrategias ganadoras y perdedoras. •• Variación de regias. Tabla 12. Elementos en el proceso de resolución de problemas o método heurístico.

Una estrategia habitual en el profesorado de Matemáticas es comenzar las unidades didácticas mediante ejemplos y problemas, que ubiquen al alumno ante una situación de conflicto y generen la necesidad de los nuevos conocimientos y procedimientos.

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Asimismo, es práctica habitual proponer asignaciones de problemas para realizar fuera del horario escolar, que después son resueltos por parte del profesor en el aula. Estas colecciones de problemas presentan numerosas ventajas: Permiten monitorizar el proceso de aprendizaje por parte del alumno y corregirlo durante el transcurso de la unidad didáctica. Permiten reforzar herramientas básicas relacionadas con el cálculo (operaciones) y conceptos de unidades anteriores. Permiten trabajar actitudes transversales relacionadas con el orden en la presentación de los resultados o el esfuerzo por la asignatura. Es una herramienta de evaluación continua y sumativa. Evidentemente, esto requiere del profesor un esfuerzo mayor a la hora de preparar o seleccionar las colecciones adecuadas y corregir sus contenidos en clase (de forma colectiva) o de forma individual (entrega del cuaderno de ejercicios). c6. Realización de trabajos de investigación Los trabajos de investigación deben considerarse como una actividad divergente respecto a la resolución de problemas. En un planteamiento investigador se anima a los alumnos para que piensen estrategias alternativas, a fin de considerar los resultados obtenidos y seguir una línea de acción particular o estudiar diferencias en el resultado tras realizar ciertos cambios. En muchos casos, problemas e investigación se complementan, y un problema puede abordarse mediante un planteamiento investigador, o bien resolver e identificar una serie de problemas en una investigación. •• Adaptaciones curriculares para el tratamiento de la diversidad Hay una gran diversidad de necesidades e intereses que se manifiesta no solo al comparar estudiantes de distintos niveles culturales o socioeconómicos, sino también dentro del mismo nivel. Algunos motivos pueden ser el desinterés, la falta de motivación, el absentismo o el abandono, etc. Es evidente que no todos los estudiantes progresan a la misma velocidad a lo largo del mismo currículo, lo que dependerá de factores intelectuales, sociológicos y ambientales. En cualquier caso, este contexto requiere un tratamiento diferenciado de los estudiantes para aprovechar al máximo las posibilidades de los distintos alumnos. Algunas de las estrategias para el tratamiento de la diversidad son: –– Disponer de un material con lo suficientemente flexible como para ser utilizado por estudiantes con distintas capacidades. –– Considerar tareas de profundización para determinados alumnos avanzados y otro tipo de actividades, que permitan desarrollar o reforzar las destrezas básicas de otros.

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–– Fomentar el trabajo de grupo, que constituirá una ayuda permanente para los estudiantes rezagados y una motivación para los más adelantados. Esto se conseguirá si y sólo si se consigue inculcar el espíritu de solidaridad dentro del grupo. De forma más general, al margen de la propia atención personalizada del alumno dentro del aula, existen o han existido grupos/programas especiales que articulan de forma más eficiente a la diversificación. En la actualidad, existen diversos programas: El programa PMAR (Programa de Mejora del Aprendizaje y el Rendimiento), regulado por parte de la Conselleria de Educación en el caso de la Comunidad Valenciana. Es una medida curricular extraordinaria de nivel III, dirigida al alumnado de tercero de Educación Secundaria Obligatoria que presenta dificultades de aprendizaje con el objeto de que pueda lograr los objetivos y adquirir las competencias correspondientes. El programa PR4 (Programa de refuerzo para el cuarto curso de la Educación Secundaria Obligatoria), regulado por parte de la Conselleria de Educación en el caso de la Comunidad Valenciana. Es una medida curricular extraordinaria de nivel III, dirigida al alumnado que presenta dificultades de aprendizaje y que se considera que, mediante esta medida, puede obtener el título de graduado en Educación Secundaria Obligatoria. El PAC (Programa de Aula Compartida) regulado por parte de la Conselleria de Educación en el caso de la Comunidad Valenciana. Es una medida curricular extraordinaria de nivel III, dirigida al alumnado en riesgo de exclusión social escolarizado en Educación Secundaria Obligatoria que presenta conductas disruptivas, dificultades de adaptación al medio escolar y tendencia al absentismo escolar crónico o al abandono escolar. Tiene como finalidad reducir el absentismo y el abandono escolar prematuro, reforzar las competencias clave, fomentar actitudes cooperativas y conseguir el máximo desarrollo personal, intelectual, social y emocional del alumnado. Programas formativos de cualificación básica, regulados por parte de la Conselleria de Educación en el caso de la Comunidad Valenciana. Los programas formativos de cualificación básica constituyen una oferta formativa adaptada al alumnado que ha finalizado la enseñanza reglada sin haber conseguido los objetivos previstos en la Educación Secundaria Obligatoria. La Formación Profesional Básica de segunda oportunidad es una medida de empleabilidad incluida en el Plan de ocupación juvenil que está recogida en el artículo 106 de la Ley 18/2014, de 15 de octubre, de aprobación de medidas urgentes para el crecimiento, la competitividad y la eficiencia. Esta medida está dirigida a personas jóvenes que abandonaron de forma prematura los estudios, o por cualquier otra causa de carácter similar. Se debe potenciar también la motivación y el desarrollo de alumnos con capacidades e intereses superiores a la media. Esto puede hacerse, por ejemplo, con la realización de actividades complementarias y extraescolares (ver siguiente apartado) o mediante la acción tutorial. En el caso de las matemáticas, existen profesores que han ayudado a alumnos aventajados y grupos de Matemáticas II a preparar pruebas de selectividad correspondientes a Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales, con notable éxito.

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Por supuesto, esto debe hacerse fuera del horario escolar y con los permisos pertinentes, sin que repercuta en el alcance de los objetivos mínimos fijados en el currículo. •• Actividades complementarias y extraescolares Al margen de las actividades curriculares, muchos departamentos de matemáticas proponen actividades complementarias que consoliden la adquisición de los objetivos por parte de los alumnos, fuera del contexto del aula habitual. Según el curso y el nivel, algunos ejemplos son: –– La medición de alturas de objetos del entorno de los centros. –– La realización de encuestas para un posterior tratamiento estadístico. –– El ajuste de variables físicas medidas por los alumnos (velocidades, aceleraciones, temperaturas, etc.) a diversas funciones. –– El diseño de elementos geométricos a partir de medidas en terrenos. Obviamente estas actividades dependerán de la disponibilidad de recursos adecuados (personal, tiempo, materiales). Como actividades propiamente complementarias y extraescolares, es interesante organizar salidas del entorno del instituto con fines didácticos. Tal es el caso de las visitas a exposiciones o asistencia a conferencias con temas relacionados con las matemáticas, o su importancia en su futuro académico o profesional. La realización de estas actividades depende de la oferta cultural que haya durante el curso, como por ejemplo la implicación en el Día del libro, que muchos centros organizan, o la participación en olimpiadas matemáticas. •• Tratamiento de los contenidos transversales Tal y como se mencionó en los apartados 1.3 y 1.4, el sistema educativo actual evalúa el avance del aprendizaje en función de la adquisición de una serie de competencias que se ven reflejadas en el currículo de las disciplinas de Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación como conocimientos (conceptos) y destrezas (procedimientos). Competencia metodológica (saber hacer)

Competencia técnica (saber) Competencias profesionales Competencia participativa (saber estar)

Competencia personal (saber ser)

Figura 29. Diagrama sobre competencias.

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Al margen de competencias técnicas o metodológicas, existen competencias clave que están referidas a las aptitudes, rasgos de personalidad, conocimientos y valores adquiridos durante el proceso de aprendizaje. En el caso de las Matemáticas y Tecnologías de la Información y de la Comunicación, estas competencias deben ser desarrolladas de forma implícita durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Las competencias clave están descritas en la Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la educación primaria, la educación secundaria obligatoria y el bachillerato. Estas competencias se establecen como consecuencia de la Recomendación 2006/962/EC, del Parlamento Europeo y del Consejo, de 18 de diciembre de 2006, sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente, en la que insta a los Estados miembros a desarrollar la oferta de competencias clave. Estas competencias son las siguientes: –– Comunicación lingüística. –– Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. –– Competencia digital. –– Aprender a aprender. –– Competencias sociales y cívicas. –– Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. –– Conciencia y expresiones culturales. En algunos centros se han ensayado programas interdepartamentales para desarrollar estas competencias, fijando como objetivos la mejora en cuatro aspectos fundamentales: –– Comprensión oral. –– Expresión escrita. –– Conocimiento en matemáticas. –– Cultura científica. Tomando algunas horas lectivas de las disciplinas de forma rotativa, se llevan a cabo sesiones de lecturas obligadas sobre textos sobre contenidos diversos (~30 minutos), redacciones semanales sobre la lectura y discusión de las conclusiones. Este tipo de iniciativas promueve competencias sobre cómo asimilar la información, preparar informes, relacionar contenidos de diferentes disciplinas o la inventiva.

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En última instancia, es el propio profesor con su actitud el que transmite una serie de valores. En el caso de las matemáticas y tecnologías de la información y de la comunicación, el rigor en el tratamiento de la información y una visión crítica sobre la misma, son aspectos que los alumnos deben apreciar e integrar en su aprendizaje. Asimismo, el profesor debe motivar al alumno, intentando mostrar el carácter lúdico y aplicado de las matemáticas, siempre que sea posible. Evaluación Las últimas tendencias en estudios sobre enseñanza apuntan a la necesidad de un proceso de evaluación continuo que permita una retroalimentación por parte del alumno y por tanto una mejora continua. Esto además se aplica tanto a nivel de secundaria, Bachillerato y FP, como en estudios superiores. En general, se propone: •• Una evaluación inicial, para detectar el estado de conocimientos del alumnado. •• Una evaluación procesual o continua. •• Una evaluación sumativa, implicando algún tipo de examen. La idea fundamental es que el alumno debe esforzarse durante todo el curso del aprendizaje, y no al final de las unidades didácticas. La formación procesual o continua puede llevarse a cabo mediante la realización de problemas en clase (trabajo cooperativo), prácticas de aula, trabajos complementarios, y promueve las metodologías activas. En grupos pequeños, algunos profesores han logrado llevar a cabo una evaluación personalizada a través de la observación y el trabajo continuo. Sin embargo, son los propios alumnos los que en ocasiones demandan una prueba objetiva al final de las evaluaciones, lo que requerirá de exámenes y controles. La Conselleria de Educación regula las normas de evaluación en las diferentes etapas de forma que sean coherentes con los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje. Los centros educativos fijarán los criterios de evaluación a través del proyecto educativo y las programaciones didácticas. La evaluación debe ser continua y diferenciada según las materias (por tanto, también las matemáticas). El equipo docente y el profesor tutor llevarán a cabo sesiones de evaluación en las que se valorará el progreso de los alumnos según los criterios establecidos y los objetivos curriculares, la calificación, y las medidas correctivas. En todo caso, tanto los mecanismos de evaluación como la calificación de los alumnos deben estar en relación con la metodología utilizada y pueden consistir en pruebas orales, pruebas escritas (tipo test, cuestiones teóricas, resolución de problemas, etc.) y combinar notas individuales y grupales. Asimismo, existe bibliografía específica sobre cómo evaluar la adquisición de competencias y el cumplimiento de los objetivos conceptuales, procedimentales y actitudinales.

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3.3. Consideraciones sobre la docencia en matemáticas Durante esta unidad y la unidad 2, se ha analizado el currículo y los recursos didácticos en la enseñanza de las Matemáticas y las Tecnologías de la Información y de la Comunicación dentro del marco legal actual y particularizando para el caso de la Comunidad Valenciana. En la unidad 1 también se estudiaron algunas relaciones entre las matemáticas y las tecnologías de la información y de la comunicación y educación/sociedad. Este último apartado de la unidad y del módulo remarca algunas reflexiones que pueden ser útiles para el nuevo profesor en estas disciplinas, a partir de la experiencia de profesionales de la enseñanza: Enlaces de interés Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado. El Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado es la unidad del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte responsable de la integración de las TIC en las etapas educativas no universitarias. https://intef.es/ Enlaces de interés Centro Nacional de Innovación e Investigación Educativa. El Centro Nacional de Innovación e Investigación Educativa (CNIIE) puede considerarse como una unidad generadora de conocimiento sobre educación al servicio del sistema educativo español a través del Ministerio de Educación. http://www.educacionyfp.gob.es/educacion/mc/cniie/inicio.html Didáctica en matemáticas •• En primer lugar, la pedagogía sobre didáctica de las matemáticas debe entenderse como una herramienta al servicio del profesor. Los modelos sobre transmisión del conocimiento son útiles pero deben contrastarse con la propia experiencia en el aula. •• Por tanto, los profesores tienen el reto de ser flexibles durante la enseñanza, dado que se pueden encontrar una diversidad considerable en sus alumnos en términos de niveles de conocimientos previos, contextos socio culturales, motivaciones, etc. Por este motivo, la diversificación está contemplada en el actual sistema educativo, especialmente durante la etapa de la ESO. •• La motivación del alumno juega un papel clave en el aprendizaje, y en el caso de las matemáticas es imprescindible establecer vínculos con la realidad o con su futura aplicación en carreras profesionales (recontextualización). •• Los profesores deben ser especialistas en sus áreas y dominar los contenidos que enseñan. •• Se potencian enseñanzas basadas en la resolución de problemas, incluyendo el trabajo en casa, como medio para fomentar una actitud proactiva y por tanto un aprendizaje significativo en el alumno. La comprensión escrita y oral son bases imprescindibles para poder acometer estos problemas y así alcanzar las competencias procedimentales.

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•• No se deben descuidar aspectos relacionados con el cálculo mental o las operaciones, que deben consolidarse tras haber sido aprendidos en la etapa de educación primaria. •• La elección de un aprendizaje inductivo (presentación de un problema  generalización) o deductivo (a partir de unos axiomas, aumentar el conocimiento) dependerá en gran medida del nivel de madurez de los alumnos y de los propios contenidos. Impacto del sistema educativo •• Probablemente no existe un consenso en los profesores de ESO y Bachillerato sobre la evolución de contenidos tenido lugar a lo largo de las últimas reformas educativas en España. Sin embargo, existe la sensación en docentes del cuerpo universitario de que el nivel en algunos campos de las matemáticas ha descendido en los nuevos alumnos en los últimos años, coincidiendo con la implantación del denominado Plan Bolonia en las universidades españolas. En la actualidad, se encuentra en vigor la Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE), con un carácter integrador (enlace 16). •• Las competencias transversales se desarrollan en matemáticas mediante el trabajo del alumno y la actitud del profesor en clase, que debe guiar al alumno para alcanzar los objetivos conceptuales y procedimentales, pero también actitudinales. •• Existen voces críticas sobre el escaso número de horas en Matemáticas, especialmente en la etapa de la ESO. Se debe alcanzar un equilibrio complejo entre los objetivos y los recursos didácticos disponibles. De ello dependerá el éxito de las estrategias docentes y del sistema educativo. Es difícil desarrollar metodologías activas y de grupo en grupos numerosos, muy diversificados o con poca disponibilidad de tiempo. •• Para cumplir con un aprendizaje personalizado, la acción tutorial debe ganar peso en este tipo de enseñanzas. Enlaces de interés Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa. https://www.boe.es/buscar/pdf/2013/BOE-A-2013-12886-consolidado.pdf Bloques y relación con otras asignaturas •• Se requiere una buena coordinación entre departamentos para fomentar la recontextualización de las matemáticas, su conexión con la propia realidad. •• El orden de los bloques o las unidades didácticas puede ser acomodado para obtener un aprendizaje coherente (por ejemplo, sucesiones  ecuaciones) o para que se desarrollen herramientas necesarias en otras disciplinas (física, biología, etc.). •• En general, el bloque de análisis suele resultar el más complicado para los alumnos durante la ESO, por el grado de abstracción necesario (concepto de límite, por ejemplo). La inclusión de demostraciones matemáticas puede ser muy recomendable como medio para practicar el lenguaje y rigor matemático.

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•• El nivel de tecnología y comunicaciones de los alumnos adquirido fuera del aula ha aumentado enormemente durante los últimos años, así como su acceso a las nuevas tecnologías. Esto se debe considerar al programar la asignatura de Tecnologías de la Información y de la Comunicación en la actualidad.

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Academia de Atenas También conocida como Academia platónica, fue una escuela filosófica fundada por Platón cerca del 388 a. C. en los jardines de Academo y clausurada por el emperador Justiniano en 529. Su objetivo era la investigación y profundización en el conocimiento, a través de lo cual se desarrolló todo el trabajo matemático de la época. Álgebra El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, relaciones y cantidades (en el caso del álgebra elemental). Su significado puede provenir de la obra de Khwarizmi, Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado, que proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Álgebra booleana También conocida como álgebra de Boole o retículas booleanas, es la estructura algebraica utilizada en informática y matemáticas, que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Álgebra lineal Es la rama de las matemáticas que estudia los vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Algoritmo Conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos unívocos, dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos, para la obtención de una solución. Análisis matemático Rama de la ciencia matemática, desarrollada a partir del cálculo, que estudia los números reales y complejos, así como las construcciones y funciones derivadas de ellos. Aprendizaje significativo Tipo de aprendizaje en que un estudiante relaciona la información nueva con la que ya posee, reajustando y reconstruyendo ambas informaciones en este proceso.

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Aristóteles Filósofo, lógico y científico de la antigua Grecia (384 a. C.-322 a. C.) cuyas ideas han tenido una enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente durante más de dos milenios. Sus tratados versan sobre gran variedad de temas, incluyendo lógica, metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política, estética, retórica, física, astronomía y biología. Arquímedes Matemático, físico, ingeniero, inventor y astrónomo griego (ca. 287 a. C.-212 a. C.), considerado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica. Contribuyó a la hidrostática, a la estática y a la explicación del principio de la palanca, así como al diseño de innovadoras máquinas. Realizó estudios sobre áreas en parábolas, el sumatorio de una serie infinita, una aproximación extremadamente precisa del número π, definió la espiral que lleva su nombre y desarrolló fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución. Axioma Proposición considerada como evidente, que se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición no deducida de otras, que constituye una regla general de pensamiento lógico por oposición a los postulados. Cálculo infinitesimal Es la rama representativa de la matemática moderna que incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas. Puede distinguirse entre cálculo diferencial e integral. Calendario juliano Calendario antecesor del gregoriano, basado en el movimiento aparente del sol para medir el tiempo. En vigor desde el 46 a. C. hasta la implantación de la reforma del papa Gregorio XIII en países europeos y colonias en 1582, y hasta el siglo XX en algunos países ortodoxos. Ciclos formativos de grado medio Son enseñanzas de Formación Profesional que forman parte de las enseñanzas posobligatorias y que preparan al alumnado para la actividad en un campo profesional, facilitan su adaptación a la evolución del sistema productivo y contribuyen a su desarrollo profesional, personal y social. Competencias clave Combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.

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Currículo El currículo incluye el conjunto de objetivos, competencias básicas, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada etapa educativa. David Hilbert Matemático alemán (1862-1943) que, entre otras aportaciones, trabajó en el desarrollo de un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática. En el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900, presentó una lista de veintitrés problemas que a la sazón no habían sido resueltos todavía. Didáctica Disciplina científico-pedagógica que tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en la enseñanza y el aprendizaje, como parte de la pedagogía. Euclides Matemático y geómetra griego conocido como el padre de la geometría (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Autor de los elementos, una de las obras científicas más conocidas del mundo y una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico griego en la que se recogen las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares (geometría euclidiana). Gauss Matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán (1777-1855), conocido como el príncipe de las matemáticas, que contribuyó significativamente en muchos campos, incluidos la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Geodesia Rama de las geociencias y la ingeniería relativa al levantamiento y la representación de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial, con sus formas naturales y artificiales. También es utilizada en matemáticas para la medición y el cálculo sobre superficies curvas. Geometría Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son puntos, rectas, planos o politopos. Representa la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico y sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía y balística.

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Geometría diferencial Estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático (topología diferencial, conexión y curvatura). Grecia clásica También conocida como Época Clásica, es el periodo cronológico de la historia de Grecia comprendido entre el inicio del siglo V a. C. y el inicio de la hegemonía de Macedonia en 338 a. C., en el que el poder de las polis griegas y las manifestaciones culturales que se desarrollaron en ellas alcanzaron su apogeo. Informática Conjunto de conocimientos científicos y técnicas que hacen posible el tratamiento automático de la información por medio de ordenadores. Informe del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes, o Informe PISA Conocido por sus siglas en inglés (Program for International Student Assessment), informe basado en el análisis del rendimiento de estudiantes a partir de unos exámenes mundiales que se realizan cada tres años y que tienen como fin la valoración internacional de los alumnos. Investigación operativa Rama de las matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones para optimizar un objetivo definido. Hardware Partes tangibles de un sistema informático que comprenden sus componentes eléctricos, electrónicos, electromecánicos y mecánicos. Heurística Arte, técnica o procedimiento práctico o informal para resolver problemas. Ciencia que estudia los procesos de decisión respecto a un campo de conocimiento concreto, como son las estrategias cognitivas. Su contrapartida formal en computación es el algoritmo. Hoja de cálculo Aplicación informática que permite manipular datos numéricos y alfanuméricos dispuestos en forma de tablas compuestas por celdas (las cuales se suelen organizar en una matriz bidimensional de filas y columnas), que permite realizar cálculos complejos con fórmulas y funciones y dibujar distintos tipos de gráficas.

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Hipatia Filósofa y maestra neoplatónica griega natural de Egipto, que destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía, miembro y cabeza de la Escuela neoplatónica de Alejandría a comienzos del siglo V (355-415). Khwarizmi También conocido también como Al-Juarismi (780-850), fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán chií, considerado como el padre del álgebra y como el introductor del actual sistema de numeración. Leibniz Filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán (1646-1716), que realizó importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como en la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Leonard Euler Matemático y físico suizo (1707-1783), con numerosas aportaciones al cálculo, la teoría de grafos, la moderna terminología y notación matemática (función matemática), así como a los campos de la mecánica, óptica y astronomía. Probablemente fue el matemático más importante del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos. Lógica matemática Rama de la lógica y las matemáticas que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica y estudia los sistemas formales en relación con conjuntos, números, demostraciones y computación. Matemáticas Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos como números, figuras geométricas o símbolos y sus relaciones. Matemáticas aplicadas Conjunto de métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las ciencias básicas o aplicadas como la física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas y ecología, entre otras.

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Matemáticas modernas, the new math Movimiento de pensamiento nacido en la segunda mitad del siglo XX que pretendía enfocar la didáctica de las matemáticas a través de las teorías de números y conjuntos. Matemáticas puras También conocidas como matemáticas especulativas, fundamentales o abstractas, es el estudio de las matemáticas, in se y per se, es decir, por sí mismas y en tanto que tales, sin referencia a las aplicaciones prácticas. Matematización Organización y estructuración de la información que aparece en un problema mediante la identificación de los aspectos matemáticos relevantes, sus regularidades, relaciones y estructuras. Newton Físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés (1643-1727), autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica (Principia), obra en la que describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica. En el campo de las matemáticas, contribuyó al desarrollo del cálculo integral y diferencial, el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes, entre otras aportaciones. Números reales Conjunto de números que incluyen tanto los números racionales (positivos, negativos y el cero) como los números irracionales (trascendentes y algebraicos). Olimpiadas Matemáticas Concursos entre jóvenes estudiantes de secundaria y bachillerato, cuyo objetivo primordial es estimular el estudio de las matemáticas y el desarrollo de jóvenes talentos. Platón Filósofo griego seguidor de Sócrates y maestro de Aristóteles (427 a. C.-347 a. C.). Fundó la Academia de Atenas en 387 y realizó numerosos estudios sobre filosofía política, ética, psicología, antropología filosófica, epistemología, gnoseología, metafísica, cosmogonía, cosmología, filosofía del lenguaje, filosofía de la educación y política. Procesador de texto Aplicación informática destinada a la creación o modificación de documentos escritos por medio de una computadora.

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Psicología cognitiva En psicología, los sistemas que se encargan del estudio de la cognición, es decir, los procesos mentales implicados en el conocimiento (incluyendo mecanismos de percepción, memoria, aprendizaje, así como la formación de conceptos y razonamiento). Recontextualización Interpretación y adaptación de las matemáticas (o informática) al contexto educativo, incluyendo conexión con conocimientos en otras disciplinas o situaciones cotidianas Sistema de numeración absoluto Conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Cada sistema de numeración se caracteriza por su base, que es el número de cada símbolo distinto que utiliza, y además determina el valor de cada símbolo, dependiendo de la posición que ocupe. Sistema de numeración sexagesimal Sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número sesenta, con origen en la antigua Babilonia y utilizado por los árabes durante el califato omeya. Se usa para medir tanto el tiempo (horas, minutos y segundos) como ángulos (grados, minutos y segundos). Sociedad de la información Aquella en la que las tecnologías responsables de la creación, distribución y manipulación de la información juegan un papel esencial en las actividades sociales, culturales y económicas. Software Equipamiento o soporte lógico de un sistema informático que comprende el conjunto de los componentes (lógicos) necesarios para la realización de tareas específicas. Supercuerdas Esquemas que pretende explicar todas las partículas y fuerzas fundamentales de la naturaleza utilizando una sola teoría, a través del modelado de las partículas y campos físicos como vibraciones de delgadas cuerdas supersimétricas, las cuales se mueven en un espacio-tiempo de más de 4 dimensiones. Tablas Alfonsinas Libro medieval, también conocido como Tablas alfonsíes. Contiene tablas astronómicas preparadas por iniciativa de Alfonso X el Sabio que muestran las observaciones efectuadas en el firmamento en Toledo desde 1263 hasta 1272, y que consignan el movimiento de los respectivos cuerpos celestes sobre la eclíptica, con posiciones exactas y precisas.

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Teorema enorme También conocido como teorema de clasificación de grupos simples. Se diseñó para clasificar todos los grupos simples finitos, compilando gran cantidad de escritos matemáticos, con más de 500 artículos escritos por más de 100 autores en revistas matemáticas (1955 y 1983). Teoría de grupos Rama de las matemáticas (álgebra) que estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos con el objetivo de clasificarlos y de estudiar sus propiedades y sus aplicaciones, tanto dentro como fuera de las matemáticas. Teoría de los números Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros (anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación), así como diversos problemas derivados de su estudio. El término "aritmética" también se utiliza para referirse a la teoría de números. Unidad didáctica Unidad de programación y actuación docente configurada por un conjunto de actividades que se desarrollan en un tiempo determinado, para la consecución de unos objetivos didácticos. Responde a las cuestiones curriculares sobre qué enseñar (objetivos y contenidos), cuándo enseñar (secuencia ordenada de actividades y contenidos), cómo enseñar (actividades, organización del espacio y del tiempo, materiales y recursos didácticos) y a la evaluación (criterios e instrumentos para la evaluación), todo ello en un tiempo claramente delimitado.

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Bibliografía

Barceló, M. (2008). Una historia de la Informática. Barcelona: UOC. Bernstein, B. (1996). Pedagogy. Symbolic control and identity. Theory, research, critique. London: Taylor & Francis. Bishop, A. J. (1998). Mathematics education and its cultural context. Educational Studies in Mathematics, 19, pp. 179-191. Boyer, C. B. (1991). The Arabic Hegemony, A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. Delibes, A. (2012). Recuperado el 10 de septiembre de 2012, de https://euclides.org/articulos/euclides-y-la-matematica-difusa/ Felipe, M. J. (2005). Proyecto Docente e Investigador. Valencia: Servicio de Publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Gil Orihuela, A. y Rieiro Marín, I. (1987). Historia de la Informática. Madrid: Alhambra. Hormigón, M. (1992). Las Matemáticas en el siglo XIX. Madrid: AKAL, S. A. Kaku, M. (2010). Hiperespacio. Barcelona: Crítica. Kieran, C. (1998). Complexity and Insight. Journal for Research in Mathematics Education, 29, 595-601. Kilpatrick, J., Rico, L. y Sierra, M. (1994). Educación Matemática e Investigación. Colección Educación Matemática en Secundaria. Madrid: Editorial Síntesis. Krulik, S. y Rudnik, J. (1980). Problem Solving, a handbook for teachers. Boston: Allyn & Bacon Inc. Lerman, S. (2001). The social turn in mathematical education research. En J. Boaler (ed.) Multiple perspectives on mathematics teaching and learning). Westport: Ablex Publishers. Lureña Jiménez, S. y y Departamento de Matemática Aplicada de la EU de Informática y Politécnica de Madrid. (2012). Recuperado el 10 de septiembre de 2012, de http://www.dma.eui.upm.es/ historia_informatica/Flash/principal.htm. Cockcroft, W. H. (1985). Las Matemáticas sí cuentan. Informe Cockcroft. Madrid: Ministerio de Educación y Ciencia. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte; Instituto Superior de Formación del Profesorado España (2001). Dificultades del aprendizaje de las Matemáticas. Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte.

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Referencias jurídicas Real Decreto 1691/2007, de 14 de diciembre, por el que se establece el título de Técnico en Sistemas Microinformáticos y Redes y se fijan sus enseñanzas mínimas. BOE, 15, de 17 de enero de 2008, pp. 3445-3470. Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. BOE, 5, de 5 de enero de 2007, pp. 677-773. Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas. BOE, 266, de 6 de noviembre de 2007, pp. 45381-45477.

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Autor/a Dr. D. Alfonso Martínez Felipe

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